Modele przestrzenne i dynamiczne. Modele statyczne i dynamiczne
Definicja. Przez układ dynamiczny rozumie się obiekt, który w każdej chwili czasu tT znajduje się w jednym z możliwych stanów Z i jest zdolny do przejścia w czasie z jednego stanu do drugiego pod wpływem przyczyn zewnętrznych i wewnętrznych.
Układ dynamiczny jako obiekt matematyczny zawiera w swoim opisie następujące mechanizmy:
- - opis zmian stanów pod wpływem przyczyn wewnętrznych (bez ingerencji środowiska zewnętrznego);
- - opis odbioru sygnału wejściowego i zmiany stanu pod wpływem tego sygnału (model w postaci funkcji przejścia);
- - opis powstawania sygnału wyjściowego lub reakcji układu dynamicznego na wewnętrzne i zewnętrzne przyczyny zmian stanów (model w postaci funkcji wyjściowej).
Argumentami sygnałów wejściowych i wyjściowych układu mogą być czas, współrzędne przestrzenne, a także niektóre zmienne wykorzystywane w transformatach Laplace'a, Fouriera i innych.
W najprostszym przypadku operator systemu przekształca funkcję wektorową X(t) na funkcję wektorową Y(t). Modele tego typu nazywane są dynamicznymi (tymczasowymi).
Modele dynamiczne dzielimy na stacjonarne, w których struktura i właściwości operatora W(t) nie zmieniają się w czasie, oraz niestacjonarne.
Odpowiedź układu stacjonarnego na dowolny sygnał zależy jedynie od odstępu czasu pomiędzy momentem rozpoczęcia zakłócenia na wejściu a zadanym momentem. Proces konwersji sygnałów wejściowych nie jest zależny od przesunięcia czasowego sygnałów wejściowych.
Odpowiedź układu niestacjonarnego zależy zarówno od aktualnego czasu, jak i momentu przyłożenia sygnału wejściowego. W tym przypadku, gdy sygnał wejściowy zostanie przesunięty w czasie (bez zmiany jego kształtu), sygnały wyjściowe nie tylko przesuną się w czasie, ale także zmienią kształt.
Modele dynamiczne dzielą się na modele układów bezinercyjnych i inercyjnych (modele z opóźnieniem).
Modele bezinercyjne odpowiadają układom, w których operator W wyznacza zależność wielkości wyjściowych od wielkości wejściowych w tym samym momencie - y=W(X,t).
W układach inercjalnych wartości parametrów wyjściowych zależą nie tylko od obecnych, ale także od poprzednich wartości zmiennych
Y=W(Z,хt,хt-1,…,хt-k).
Modele inercyjne nazywane są także modelami z pamięcią. Operator transformacji może zawierać parametry, które zwykle są nieznane - Y=W(,Z,X), gdzie =(1,2,…,k) jest wektorem parametrów.
Najważniejszą cechą struktury operatora jest liniowość lub nieliniowość w odniesieniu do sygnałów wejściowych.
W przypadku układów liniowych zawsze obowiązuje zasada superpozycji, która polega na tym, że liniowa kombinacja dowolnych sygnałów wejściowych jest skojarzona z tą samą liniową kombinacją sygnałów na wyjściu układu
Model matematyczny wykorzystujący operator liniowy można zapisać jako Y=WH.
Jeżeli warunek (2.1) nie jest spełniony, model nazywa się nieliniowym.
Modele dynamiczne są klasyfikowane według tego, jakie operacje matematyczne są stosowane w operatorze. Wyróżniamy modele: algebraiczne, funkcjonalne (np. całka splotowa), różniczkowe, różnic skończonych, itp.
Model jednowymiarowy to taki, w którym zarówno sygnał wejściowy, jak i odpowiedź są jednocześnie wielkościami skalarnymi.
W zależności od wymiaru parametru modele dzieli się na jedno- i wieloparametrowe. Klasyfikację modeli można kontynuować także w zależności od rodzaju sygnałów wejściowych i wyjściowych.
Kształt układu przestrzennego liny podczas holowania pojazdu podwodnego zależy od sposobu poruszania się (prędkość względem wody, rozkład prądów na głębokości), cech
aparat i charakterystyka liny kablowej (średnica, długość, wyporność itp.). Cechą charakterystyczną kształtu liny kablowej, gdy zespół porusza się po danym profilu, jest to, że na jej długości kąty promieniowe zmieniają się w szerokich granicach (podobnie jak dodatkowe kąty południkowe), natomiast kąty azymutalne i kąty prędkości hydrodynamicznej k przy dowolny punkt kabla ma małe wartości. Założenie to pozwala na przedstawienie równań sprzężenia gwintu giętkiego dla danego przypadku, wyrażonych w rzutach jednostki stycznej na osie stałe, w sposób następujący:
a równania otrzymane z warunku równowagi sił na elementarnym odcinku elastycznego gwintu w trybie stacjonarnym są zapisane w postaci
Nieliniowe równania różniczkowe zwyczajne (7.30) i (7.31) reprezentują matematyczny opis statycznej konfiguracji przestrzennej liny kablowej. Poniżej przedstawiono wyniki badań przeprowadzonych poprzez rozwiązanie równań (7.30) i (7.31) na komputerze cyfrowym.
Na ryc. Rysunek 7.10 przedstawia krzywe zależności naprężenia T, głębokości i odległości pomiędzy PA a statkiem od prędkości holowania dla stałej długości liny wynoszącej 6000 m. Napięcie w miejscu mocowania do statku (przy wciągarce holowniczej) maleje wraz z upływem czasu zwiększanie prędkości do 4 m/s i zwiększanie się wraz z dalszym zwiększaniem prędkości holowania. W tym przypadku UAV wynurza się z głębokości od 6000 do 1000 m, ale zwiększa się odległość między urządzeniem a statkiem.
Ryż. 7.11 pokazuje, jak zmienia się naprężenie w miejscu mocowania do statku, długość liny kablowej oraz odległość PA od statku wraz ze wzrostem prędkości holowania przy zachowaniu stałej
Głębokość zanurzenia PA o 6000 m. Wraz ze wzrostem prędkości holowania do 2 m/s konieczne jest zwiększenie długości liny kablowej do 13000 m. Widok konfiguracji statycznych liny kablowej o długości 6000 m w płaszczyźnie pionowej prędkości holowania (odpowiednio krzywe 1, 2, 3) pokazane na rys. 7.12.
Ryż. 7.10. Parametry statyczne ruchu liny w zależności od prędkości holowania.
Ryż. 7.11. Parametry statyczne ruchu liny kablowej przy stałej głębokości zanurzenia PA.
Cechą charakterystyczną ruchu liny podczas holowania PA jest to, że występuje on przy małych prędkościach poprzecznych i pionowych w porównaniu z prędkością ruchu wzdłużnego liny. Dla żadnego z jego punktów warunki są spełnione i prędkość postępowego ruchu wzdłużnego prawie nigdy nie przekracza m/s. Ponadto starają się, aby holowanie przebiegało sprawnie, bez nagłych sił w linie. W tych warunkach dopuszcza się odrębną analizę dynamiki ruchu liny kablowej w płaszczyźnie pionowej (ruch wzdłużny) i poziomej (ruch poprzeczny). Równania ruchu wzdłużnego zapisano w postaci
i boczne
Wszystkie współczynniki obliczane są przy stałych wartościach prędkości hydrodynamicznej i jej składowej stycznej oraz stałym napięciu liny w czasie, określonym wzorem
Równania różniczkowe cząstkowe (7.32) i (7.33) rozwiązuje się w warunkach początkowych, a także brzegowych na dolnym i górnym końcu liny kablowej, przy czym ten ostatni pełni rolę działań kontrolnych i polega na odpowiednich rzutach prędkości holownika i zmian długość liny w wyniku pracy wyciągarki holowniczej:
Wstęp
dynamiczny model matematyczny
Model dynamiczny to konstrukcja teoretyczna (model) opisująca zmianę (dynamikę) stanów obiektu. Model dynamiczny może zawierać opis etapów lub faz lub diagram stanu podsystemów. Często ma ono wyraz matematyczny i jest stosowane głównie w naukach społecznych (np. socjologii) zajmujących się systemami dynamicznymi, jednak współczesny paradygmat nauki zapewnia, że model ten jest powszechny również we wszystkich naukach bez wyjątku, m.in. w naturalnym i technicznym.
Modele ekonomiczno-matematyczne opisują gospodarkę w fazie rozwoju (w odróżnieniu od modeli statycznych, które charakteryzują jej stan w danym momencie). Istnieją dwa podejścia do budowania modelu dynamicznego:
optymalizacja (wybór optymalnej trajektorii rozwoju gospodarczego spośród wielu możliwych)
opisowy, skupiony na koncepcji trajektorii równowagi (tj. zrównoważonego, zrównoważonego wzrostu).
Dynamiczne modele międzysektorowe, modele ekonomiczne i matematyczne planowanych obliczeń, które pozwalają określić wielkość produkcji, inwestycji kapitałowych (a także uruchomienia środków trwałych i mocy produkcyjnych) w poszczególnych latach w okresie perspektywicznym według działów produkcji materialnej w ich wzajemne powiązanie. W dynamicznych modelach międzysektorowych dla każdego roku okresu planowania wielkość i struktura produktu końcowego „netto” (konsumpcja osobista i publiczna, akumulacja kapitału obrotowego i rezerw państwowych, bilans eksport-import, inwestycje kapitałowe niezwiązane ze wzrostem w produkcji w badanym okresie), a także wielkość i strukturę środków trwałych na początek okresu. W dynamicznych modelach międzysektorowych, oprócz współczynnika kosztów bezpośrednich charakterystycznego dla statycznych modeli międzysektorowych, wprowadza się specjalne współczynniki charakteryzujące strukturę rzeczową inwestycji kapitałowych.
W zależności od rodzaju zastosowanego aparatu matematycznego dynamiczne modele międzysektorowe dzielimy na zrównoważone i optymalne. Bilansowe dynamiczne modele międzysektorowe można przedstawić zarówno w postaci układu równań liniowych, jak i w postaci liniowych równań różniczkowych lub różnicowych. Równoważne dynamiczne modele międzysektorowe wyróżniają się także opóźnieniem (przerwą czasową pomiędzy rozpoczęciem budowy a oddaniem budowanego obiektu do użytku). Optymalne dynamiczne modele międzysektorowe charakteryzują się obecnością pewnego kryterium optymalności, zastąpieniem układu równań liniowych układem nierówności oraz wprowadzeniem specjalnych ograniczeń dotyczących pracy i zasobów naturalnych.
Obiektywnie istnieją dynamiczne obiekty fizyczne i wirtualne. Oznacza to, że przedmioty te funkcjonują według określonych praw, niezależnie od tego, czy ktoś je zna i rozumie, czy też nie. Na przykład, aby prowadzić samochód, wcale nie trzeba wiedzieć, jak działa silnik, co się w nim dzieje i dlaczego prowadzi to do ruchu samochodu, jeśli naciśniesz gaz lub obrócisz kierownicę. Ale jeśli ktoś nie zamierza prowadzić samochodu, ale zaprojektować dla niego system sterowania, to wiedza i zrozumienie procesów dynamiki jest już absolutnie konieczna.
Obiekty dynamiczne i ich modele liniowe były szeroko badane i analizowane przez wielu naukowców i inżynierów od ponad dwóch stuleci. Wyniki tych badań i analiz przedstawiono poniżej jakościowo w skoncentrowanej formie, w rozumieniu autora. Przede wszystkim dotyczy to modeli liniowych układów dynamicznych, ich klasyfikacji, opisu właściwości i obszarów spójności.
Ponadto omówiono szczegółowo niektóre właściwości układów nieliniowych. Słowa i terminy „dynamiczny” i „dynamiczny” na dobre i powszechnie zadomowiły się w różnych obszarach ludzkiej wiedzy; używane są także w życiu codziennym jako emocjonalny epitet szeroko rozumianego ruchu energetycznego, będącego synonimem szybkiej zmiany. . W proponowanej pracy termin „dynamika” będzie używany w jego wąskim i bezpośrednim znaczeniu, oznaczającym „władzę”, tj. obiekt dynamiczny to obiekt podlegający wpływom zewnętrznym prowadzącym do ruchu w szerokim tego słowa znaczeniu.
1. Modele dynamiczne: koncepcja, typy
Obiekt dynamiczny to ciało fizyczne, urządzenie techniczne lub proces, który ma wejścia, punkty możliwego zastosowania wpływów zewnętrznych oraz te, które postrzegają te wpływy, a także wyjścia, punkty, wartości wielkości fizycznych charakteryzujące stan obiektu. Obiekt jest w stanie reagować na wpływy zewnętrzne, zmieniając swój stan wewnętrzny i wartości wyjściowe, które charakteryzują jego stan. Oddziaływanie na przedmiot i jego reakcja na ogół zmieniają się w czasie, są obserwowalne, tj. można zmierzyć za pomocą odpowiednich przyrządów. Obiekt ma wewnętrzną strukturę składającą się z oddziałujących na siebie elementów dynamicznych.
Jeśli przeczytasz i pomyślisz o podanej powyżej luźnej definicji, zobaczysz, że odrębny obiekt dynamiczny w „czystej” formie, jako rzecz sama w sobie, nie istnieje: aby opisać obiekt, model musi zawierać także 4 źródła wpływy (generatory):
środowisko i mechanizm oddziaływania na nie tych wpływów
obiekt musi mieć rozszerzenie w przestrzeni
funkcjonować w czasie
model musi posiadać urządzenia pomiarowe.
Oddziaływaniem na obiekt może być określona wielkość fizyczna: siła, temperatura, ciśnienie, napięcie elektryczne i inne wielkości fizyczne lub kombinacja kilku wielkości, a reakcją, reakcją obiektu na uderzenie, może być ruch w przestrzeni, na przykład przemieszczenie lub prędkość, zmiana temperatury, natężenie prądu itp.
W przypadku modeli liniowych obiektów dynamicznych obowiązuje zasada superpozycji (nakładki), tj. reakcja na zbiór oddziaływań jest równa sumie reakcji na każdy z nich, a zmiana oddziaływania na dużą skalę odpowiada proporcjonalnej zmianie reakcji na nie. Jedno oddziaływanie może dotyczyć kilku obiektów lub kilku elementów obiektu.
Pojęcie obiektu dynamicznego zawiera i wyraża związek przyczynowo-skutkowy pomiędzy oddziaływaniem na niego a jego reakcją. Na przykład pomiędzy siłą przyłożoną do masywnego ciała a jego położeniem i ruchem, pomiędzy napięciem elektrycznym przyłożonym do elementu a przepływającym w nim prądem.
W ogólnym przypadku obiekty dynamiczne są nieliniowe, w tym mogą wykazywać dyskretność, np. szybko zmieniać strukturę, gdy uderzenie osiągnie określony poziom. Zwykle jednak przez większość czasu działania obiekty dynamiczne są ciągłe w czasie, a przy małych sygnałach mają charakter liniowy. Dlatego poniżej główna uwaga zostanie poświęcona liniowym, ciągłym obiektom dynamicznym.
Przykład ciągłości: samochód jadący drogą -obiekt funkcjonujący w sposób ciągły w czasie, jego położenie zależy w sposób ciągły od czasu. Przez większość czasu samochód można postrzegać jako obiekt liniowy, obiekt działający w trybie liniowym. I tylko w przypadku wypadków, kolizji, gdy np. zniszczony zostanie samochód, wymagane jest opisanie go jako obiektu nieliniowego.
Liniowość i ciągłość w czasie wartości wyjściowej obiektu jest po prostu wygodnym szczególnym, ale ważnym przypadkiem, który pozwala po prostu uwzględnić znaczną liczbę właściwości obiektu dynamicznego.
Z drugiej strony, jeśli obiekt charakteryzuje się procesami zachodzącymi w różnych skalach czasu, wówczas w wielu przypadkach dopuszczalne i użyteczne jest zastąpienie najszybszych procesów ich dyskretną zmianą w czasie.
Praca ta poświęcona jest przede wszystkim liniowym modelom obiektów dynamicznych pod wpływem wpływów deterministycznych. Gładkie wpływy deterministyczne dowolnego rodzaju można wygenerować poprzez dyskretne, stosunkowo rzadkie działanie addytywne na mniejsze pochodne wpływu dozowanej delty -Funkcje. Modele takie obowiązują dla stosunkowo małych uderzeń dla bardzo szerokiej klasy obiektów rzeczywistych. Tak np. generowane są sygnały sterujące w grach komputerowych symulujących prowadzenie samochodu lub samolotu za pomocą klawiatury. Wpływy przypadkowe pozostają na razie poza zakresem rozważań.
O spójności modelu liniowego obiektu dynamicznego decyduje w szczególności to, czy jego wartość wyjściowa jest dostatecznie gładka, tj. czy on i kilka jego niższych pochodnych są ciągłe w czasie. Faktem jest, że wielkości wyjściowe obiektów rzeczywistych zmieniają się dość płynnie w czasie. Na przykład samolot nie może natychmiast przemieścić się z jednego punktu w przestrzeni do drugiego. Co więcej, jak każde masywne ciało, nie może gwałtownie zmienić swojej prędkości; wymagałoby to nieskończonej mocy. Ale przyspieszenie samolotu lub samochodu może się nagle zmienić.
Pojęcie obiektu dynamicznego nie definiuje kompleksowo obiektu fizycznego. Przykładowo opisanie samochodu jako obiektu dynamicznego pozwala odpowiedzieć na pytania, jak szybko przyspiesza i hamuje, jak płynnie porusza się po nierównych drogach i wybojach, jakie skutki odczują kierowca i pasażerowie samochodu podczas jazdy po drodze , na jaką górę może się wspiąć itp. P. Ale w takim modelu nie ma znaczenia jaki kolor auta, jego cena itp. nie są istotne, byle nie wpływały na przyspieszenie auta. Model powinien odzwierciedlać główne właściwości modelowanego obiektu z punktu widzenia jakiegoś kryterium lub zestawu kryteriów i pomijać jego właściwości drugorzędne. W przeciwnym razie będzie to zbyt skomplikowane, co skomplikuje analizę właściwości interesujących badacza.
Z drugiej strony, jeśli badacza interesuje zmiana koloru samochodu w czasie, spowodowana różnymi czynnikami, na przykład światłem słonecznym lub starzeniem, to dla tego przypadku można zestawić i rozwiązać odpowiednie równanie różniczkowe.
Rzeczywiste przedmioty, podobnie jak ich elementy, które można również uznać za obiekty dynamiczne, nie tylko odbierają wpływy z jakiegoś źródła, ale także same na nie oddziałują i stawiają mu opór. Wartość wyjściowa obiektu sterującego w wielu przypadkach stanowi sygnał wejściowy dla innego, kolejnego obiektu dynamicznego, który z kolei może również wpływać na tryb pracy obiektu. To. Powiązania obiektu dynamicznego ze światem zewnętrznym wobec niego są dwukierunkowe.
Często przy rozwiązywaniu wielu problemów zachowanie obiektu dynamicznego uwzględnia się jedynie w czasie, a jego charakterystyki przestrzenne, w przypadkach, gdy nie interesują one badacza bezpośrednio, nie są uwzględniane ani brane pod uwagę, z wyjątkiem uproszczone wyjaśnienie opóźnienia sygnału, które może wynikać z czasu propagacji oddziaływania w przestrzeni od źródła do odbiornika.
Obiekty dynamiczne opisywane są równaniami różniczkowymi (układem równań różniczkowych). W wielu praktycznych przypadkach jest to liniowe równanie różniczkowe zwyczajne (ODE) lub układ ODE. Różnorodność typów obiektów dynamicznych determinuje duże znaczenie równań różniczkowych jako uniwersalnego aparatu matematycznego do ich opisu, co umożliwia prowadzenie teoretycznych badań (analiz) tych obiektów i na podstawie tej analizy konstruowanie modeli i budowanie systemy, instrumenty i urządzenia przydatne człowiekowi, wyjaśniają strukturę otaczającego nas świata, przynajmniej w skali makrokosmosu (nie mikro- i nie mega-).
Model obiektu dynamicznego jest ważny, jeśli jest adekwatny i odpowiada rzeczywistemu obiektowi dynamicznemu. Ta zgodność ogranicza się do określonego obszaru czasoprzestrzennego i zakresu wpływów.
Model obiektu dynamicznego jest możliwy do zrealizowania, jeżeli możliwe jest zbudowanie obiektu rzeczywistego, którego zachowanie pod wpływem oddziaływań w określonej czasoprzestrzeni i dla określonej klasy i zakresu wpływów wejściowych odpowiada zachowaniu obiektu Model.
Szerokość klas i różnorodność struktur obiektów dynamicznych może prowadzić do założenia, że wszystkie one razem mają niezliczony zestaw właściwości. Jednak próba ogarnięcia i zrozumienia tych właściwości oraz zasad działania obiektów dynamicznych w całej ich różnorodności nie jest wcale beznadziejna.
Faktem jest, że jeśli obiekty dynamiczne są odpowiednio opisane równaniami różniczkowymi, a tak właśnie jest, to zbiór właściwości charakteryzujących dowolny obiekt dynamiczny wyznaczany jest przez zbiór właściwości charakteryzujących jego równanie różniczkowe. Można postawić tezę, że przynajmniej w przypadku obiektów liniowych liczba takich podstawowych właściwości jest dość ograniczona i stosunkowo niewielka, a co za tym idzie, ograniczony jest także zbiór podstawowych właściwości obiektów dynamicznych. W oparciu o te właściwości i łącząc elementy je posiadające możliwe jest budowanie dynamicznych obiektów o szerokiej gamie charakterystyk.
Zatem podstawowe właściwości obiektów dynamicznych wyprowadzane są teoretycznie z ich równań różniczkowych i korelowane z zachowaniem odpowiadających im obiektów rzeczywistych.
Obiekt dynamiczny -Jest to obiekt, który dostrzega zmieniające się w czasie wpływy zewnętrzne i reaguje na nie zmianą wartości wyjściowej. Obiekt ma wewnętrzną strukturę składającą się z oddziałujących na siebie elementów dynamicznych. Hierarchia obiektów ograniczona jest od dołu najprostszymi modelami i opiera się na ich właściwościach.
Oddziaływanie na obiekt i jego reakcja są wielkościami fizycznymi, mierzalnymi, może to być także zbiór wielkości fizycznych, opisanych matematycznie za pomocą wektorów.
Opisując obiekty dynamiczne za pomocą równań różniczkowych, domyślnie zakłada się, że każdy element obiektu dynamicznego otrzymuje i zużywa tyle energii (takiej mocy), ile potrzebuje do normalnej pracy zgodnie ze swoim przeznaczeniem w odpowiedzi na przychodzące wpływy. Obiekt może otrzymać część tej energii z działania wejściowego, co jest wyraźnie opisane równaniem różniczkowym; druga część może pochodzić ze źródeł zewnętrznych i nie pojawiać się w równaniu różniczkowym. Takie podejście znacznie upraszcza analizę modelu bez zniekształcania właściwości elementów i całego obiektu. W razie potrzeby proces wymiany energii z otoczeniem zewnętrznym można szczegółowo opisać w formie jednoznacznej i będą to także równania różniczkowe i algebraiczne.
W niektórych szczególnych przypadkach źródłem całej energii (mocy) sygnału wyjściowego obiektu jest działanie wejściowe: dźwignia, przyspieszenie masywnego ciała siłą, pasywny obwód elektryczny itp.
W ogólnym przypadku wpływ można uznać za kontrolowanie przepływów energii w celu uzyskania wymaganej mocy sygnału wyjściowego: wzmacniacz sygnału sinusoidalnego, wzmacniacz idealny itp.
Obiekty dynamiczne, podobnie jak ich elementy, które również można uznać za obiekty dynamiczne, nie tylko odbierają oddziaływanie od jego źródła, ale także na to źródło oddziałują: np. w mechanice klasycznej wyraża to zasada sformułowana w trzecim prawie Newtona: akcja jest równa reakcji, w elektrotechnice napięcie źródła jest wynikiem ustalenia dynamicznej równowagi pomiędzy źródłem a obciążeniem. To. Powiązania obiektu dynamicznego ze światem zewnętrznym wobec niego są dwukierunkowe.
Zasadniczo wszystkie elementy obiektu dynamicznego są dwukierunkowe, podobnie jak sam obiekt w stosunku do obiektów zewnętrznych. Wynika to z uogólnienia trzeciego prawa Newtona, sformułowanego przez niego dla mechaniki: siła reakcji ciała jest równa sile wywieranej na nie przez inne ciało i jest skierowana w jego stronę, a w chemii jest również formułowana w postaci Zasada Le Chateliera. Uogólniając można powiedzieć: wpływ jednego elementu dynamicznego na drugi spotyka się z pewnym oporem. Na przykład obciążenie elektryczne źródła napięcia przeciwdziała mu prądem, zmieniając wartość napięcia na wyjściu źródła. Ogólnie rzecz biorąc, przeciwdziałanie obciążeniu wpływa na tryb pracy źródła, a jego zachowanie jest określane w miarę możliwości w wyniku przejścia do jakiejś równowagi dynamicznej.
W wielu przypadkach moc źródła oddziaływania jest znacznie większa od wymaganej mocy wejściowej odbiornika będącego obiektem dynamicznym. W tym przypadku obiekt dynamiczny praktycznie nie ma wpływu na tryb pracy źródła (generatora) i połączenie można uznać za jednokierunkowe od źródła do obiektu. Taki jednokierunkowy model elementu, oparty na racjonalnej strukturze fizycznej obiektu, znacznie upraszcza opis i analizę układu. Właściwie wiele obiektów technicznych, choć nie wszystkie, buduje się właśnie według tej zasady, szczególnie przy projektowaniu systemów rozwiązywania problemów sterowania. W innych przypadkach, na przykład przy rozwiązywaniu problemu, w którym wymagana jest maksymalna wydajność silnika, nie można pominąć reakcji.
Opisując szczegółowo strukturę obiektu dynamicznego, można dojść do obiektów elementarnych, których nie da się uprościć. Obiekty takie opisuje się najprostszymi równaniami algebraicznymi i różniczkowymi. W rzeczywistości takie elementy z kolei mogą mieć złożoną strukturę, ale podczas modelowania wygodniej jest postrzegać je jako jedną całość, której właściwości określają te stosunkowo proste równania łączące reakcję z uderzeniem.
1.1 Modele fizyczne
Jest to nazwa nadana powiększonemu lub zmniejszonemu opisowi obiektu lub systemu. Cechą wyróżniającą model fizyczny jest to, że w pewnym sensie wygląda on jak obiekt symulowany.
Najbardziej znanym przykładem modelu fizycznego jest replika budowanego samolotu, wykonana w pełnych proporcjach, powiedzmy 1:50. Na jednym z etapów opracowywania projektu nowego samolotu konieczne staje się sprawdzenie jego podstawowych parametrów aerodynamicznych. W tym celu przygotowany egzemplarz wdmuchuje się do specjalnej (wiatrowej) rurki, a uzyskane odczyty następnie dokładnie bada się. Korzyści z takiego podejścia są dość oczywiste. Dlatego wszystkie wiodące firmy produkujące samoloty korzystają z tego rodzaju modeli fizycznych podczas opracowywania każdego nowego samolotu.
Często małe kopie wielopiętrowych budynków umieszcza się w tunelu aerodynamicznym, symulując różę wiatrów charakterystyczną dla obszaru, na którym mają być budowane. Modele fizyczne są również wykorzystywane w przemyśle stoczniowym.
1.2 Modele matematyczne
Jest to nazwa nadawana modelom wykorzystującym symbole i metody matematyczne do opisu właściwości i charakterystyki obiektu lub zdarzenia. Jeśli problem da się przenieść na język formuł, to jest on znacznie uproszczony. Podejście matematyczne jest również proste, ponieważ podlega dobrze określonym, ścisłym regułom ,których nie można odwołać dekretem ani w inny sposób. Złożoność naszego życia polega właśnie na tym, że wiele z tego, co się w nim dzieje, często jest wolnych od konwencji. Matematyka zajmuje się uproszczonymi opisami zjawisk. Zasadniczo każda formuła (lub zestaw formuł) reprezentuje pewien etap konstrukcji modelu matematycznego. Doświadczenie pokazuje, że zbudowanie modelu (napisanie równania) jest dość łatwe. W tym modelu i dlatego w uproszczonej formie trudno przekazać istotę badanego zjawiska.
Każdy element funkcjonalny rzeczywistego obiektu ma swoją strukturę; można go, podobnie jak cały obiekt, mentalnie lub fizycznie podzielić na oddziałujące na siebie elementy. Elementarny obiekt dynamiczny to racjonalnie wybrany element obiektu rzeczywistego, umownie uznawany za niepodzielny, posiadający jako całość jakąś podstawową właściwość, np. bezwładność, i dający się opisać z wystarczającą dokładnością najprostszym równaniem algebraicznym lub różniczkowym .
Najważniejszą, podstawową właściwością obiektów dynamicznych jest ich bezwładność. Fizycznie bezwładność wyraża się w tym, że obiekt nie reaguje natychmiast, ale stopniowo na wpływy zewnętrzne, a przy braku wpływów zewnętrznych dąży do utrzymania swojego stanu i zachowania. Matematycznie bezwładność wyraża się w tym, że wielkość wyjściowa obiektu rzeczywistego jest wielkością ciągłą w czasie. Co więcej, niektóre dolne pochodne wielkości wyjściowej również muszą być ciągłe i nie mogą zmieniać się gwałtownie pod wpływem wpływów o ograniczonej mocy, w tym także zmieniających się gwałtownie, skokowo w czasie.
Najprostsze inercyjne obiekty dynamiczne -kinedyny .Są to obiekty elementarne, które są mentalnie lub fizycznie odizolowane od struktury obiektu złożonego i z wystarczającym stopniem dokładności spełniają najprostsze równania różniczkowe różnych rzędów. Takie modele są ważne, przynajmniej w jakiejś dziedzinie czasoprzestrzennej i w ograniczonym zakresie wartości sygnału.
Matematyczny opis bezwładności obiektu dynamicznego, obiektu odpowiadającego pewnemu równaniu różniczkowemu, polega na tym, że uderzenie wpływa na reakcję obiektu pośrednio, bezpośrednio wpływa na tę lub inną pochodną czasową reakcji lub na kilka z nich jednocześnie . Prowadzi to do tego, że reakcja objawia się dopiero z czasem.
Rzeczywiście taki opis odpowiada zachowaniu rzeczywistych obiektów. Na przykład, przy chwilowym przyłożeniu stosunkowo małego uderzenia w elementarny obiekt drugiego rzędu, który nie zmienia się po przyłożeniu, na przykład siły działającej na masę bezwładności, obiekt pozostaje przez pewien, aczkolwiek krótki czas, w taki sam stan jak przed aplikacją, ma taką samą prędkość jak poprzednio.
Ale druga pochodna, tj. przyspieszenie, skacze gwałtownie, proporcjonalnie do wielkości przyłożonej siły. I dlatego dopiero z czasem, a nie natychmiast, obecność drugiej pochodnej objawia się zmianą prędkości, a co za tym idzie, położeniem ciała w przestrzeni.
1.3 Modele analogowe
Jest to nazwa nadawana modelom przedstawiającym badany obiekt jako analog, który zachowuje się jak obiekt rzeczywisty, ale tak nie wygląda.
Podajmy dwa dość typowe przykłady.
Przykład 1. Wykres ilustrujący zależność wysiłku od wyników jest modelem analogowym. Wykres na ryc. 1.1 pokazuje, jak ilość czasu, jaką student poświęca na przygotowanie się do egzaminu, wpływa na jego wynik.
Ryż. 1.1. Wykres ilustrujący związek między wysiłkiem a wynikami
Przykład 2. Załóżmy, że musisz znaleźć najbardziej ekonomiczny sposób regularnych, znanych dostaw towarów do trzech miast, budując w tym celu tylko jeden magazyn. Główny wymóg: lokalizacja magazynu musi być taka, aby całkowite koszty transportu były minimalne (uważa się, że koszt każdego transportu jest równy iloczynowi odległości z magazynu do miejsca przeznaczenia przez całkowitą wagę towaru przewożonych i mierzy się w tonokilometrach).
Przyklej mapę okolicy do arkusza sklejki. Następnie w miejscu każdego miasta przetniemy otwory, przewleczemy przez nie nitki i przywiążemy do nich ciężarki proporcjonalne do zapotrzebowania na towary w tym mieście (ryc. 1.2). Zawiąż wolne końce nici w jeden węzeł i puść. Pod wpływem grawitacji układ dojdzie do stanu równowagi. Miejsce na arkuszu sklejki, które zajmie jednostka, będzie odpowiadać optymalnej lokalizacji magazynu (ryc. 1.3).
Komentarz. Dla uproszczenia rozumowania nie bierzemy pod uwagę kosztów dróg, które trzeba będzie zbudować od nowa.
Ryż. 1.2. Mapa okolicy na sklejce
Ryż. 1.3. Optymalna lokalizacja magazynu
2. Budowa modeli matematycznych obiektów dyskretnych
2.1 Model populacji
Co ciekawe, zbudowanie modelu matematycznego często nie jest wcale trudne. Często wykorzystuje się w tym celu najprostsze i najłatwiejsze do wyjaśnienia założenia. Opiszmy jak można to zrobić na jednym, prawie realnym przykładzie. Wyobraźmy sobie następujący obrazek. Połowa XVIII wieku Europa Środkowa ,parafia na odludziu, kościół, parafianie - mieszkańcy okolicznych wiosek, proboszcz zauważa, że w kościele zrobiło się zbyt tłoczno, aby można było nabożeństwa: wzrosła liczba parafian. Ksiądz zastanawia się: jeśli w przyszłości liczba parafian będzie nadal rosła, wówczas konieczna będzie budowa nowego kościoła, na co potrzebne będą fundusze i to znaczne.
Kapłan rozumie, że okres, w którym należy zbudować świątynię i jej wielkość, w dużej mierze zależą od tego, jak zmieni się liczba okolicznych mieszkańców. I postanawia spróbować to rozwikłać. Spróbujmy także nakreślić możliwy tok jego rozumowania, posługując się współczesną notacją i językiem.
Oznaczmy przez x liczbę parafian na koniec n-tego roku. Ich liczba w ciągu roku, tj. do końca (n + 1) roku, naturalnie oznaczonego przez x n+1 .Wtedy zmianę liczb w tym roku można opisać różnicą
Dzieje się tak z dwóch naturalnych powodów – ludzie rodzą się i umierają (dla uproszczenia założymy, że wirus migracyjny jeszcze nie dotarł w te rejony). Ustalenie liczby urodzeń i zgonów w ciągu roku za pomocą ksiąg parafialnych nie jest szczególnie trudne. Licząc liczbę urodzeń i zgonów w poszczególnych latach, ksiądz postanawia porównać otrzymane liczby i d1,...,dk z ogólną liczbą parafian w tych latach x1,...,xk i zauważa, że współczynniki x1, ...,xk rok od Lata różnią się bardzo niewiele. To samo tyczy się relacji.
Dla uproszczenia obliczeń uznamy te stosunki za stałe i oznaczymy je przez? I? odpowiednio. Zatem liczba urodzeń w n-tym roku okazuje się równa, liczba zgonów wynosi αxn, a zmiana liczby ludności z przyczyn naturalnych wynosi + γxn – γxn.
W rezultacie dochodzimy do relacji?xn=?xn - ?xn lub bardziej szczegółowo:
xn+1=xn +?xn-?xn
Postawmy ?=1 + ? -?. Wtedy interesująca nas formuła przybierze postać
Model jest zbudowany.
Spróbujmy teraz dowiedzieć się, co się stało, czyli przeanalizować skonstruowany model. Możliwe są trzy przypadki:
1)?>1(?=?-?>0 -więcej ludzi się rodzi niż umiera), a liczba parafian rośnie z roku na rok,
2)?=1 (?=?-?=0 -tyle umiera, ile się rodzi), a liczba parafian nie zmienia się z roku na rok,
3)?<0 (?=?-?<0 -więcej ludzi umiera niż się rodzi), a liczba parafian stale maleje.
Ponieważ motywacją do zbudowania modelu była chęć sprawdzenia, jak szybko będzie rosła liczba parafian, zacznijmy od rozważenia przypadku 1.
Przypadek 1. Zatem liczba parafian rośnie. Ale jak, jak szybko? Czas tu na krótkie przypomnienie pouczającej historii (smutnej przypowieści) o nieznanym wynalazcy szachów. Mówią, że gra bardzo przypadła do gustu bogatemu i wszechpotężnemu Maharajowi, który od razu postanowił nagrodzić wynalazcę i hojnie zaproponował, że sam wybierze nagrodę. Jak to mówią, starł figury z szachownicy i położył po jednym ziarnie pszenicy na pierwszym polu, a na drugim -dwa ziarna, za trzecie -cztery ziarna, na 4 -osiem ziaren (ryc. 2.1) i zasugerował Maharajowi, aby nakazał sługom ułożyć ziarna pszenicy na innych polach szachownicy zgodnie z proponowanym prawem, tj. w ten sposób: 1,2,4,8,16,.. .,263.
Ryż. 2.1. Problem szachownicy i nagrody Maharadży
Maharadża był prawie urażony tą prostą prośbą i zgodził się nie zrobi się tego od razu. Ale wynalazca nalegał. Maharadża rozkazał. A słudzy natychmiast rzucili się, aby zrobić tę „łatwą” rzecz. ćwiczenia. Nie trzeba dodawać, że nie wykonali polecenia Maharadży. Faktem jest, że całkowita liczba ziaren pszenicy na szachownicy powinno być równe 2 64 - 1,co znacznie przekracza to, co obecnie uprawia się na całym świecie w ciągu roku. Zakończmy tę przypowieść bardzo krótko: maharadża znalazł się w niezwykłej sytuacji -publicznie obiecał i nie dotrzymał. Natychmiast jednak odnaleziono sprawcę. Być może dlatego historia nie zachowała nazwiska wynalazcy szachów. Spróbujmy jednak zobrazować na wykresie, jak szybko rośnie liczba ziaren w każdej kolejnej komórce, dla większej przejrzystości, łącząc sąsiednie punkty (ryc. 2.2).
Ryż. 2.2-2.3. Wykładnicza zmiana liczby ludności
Reguła zaproponowana przez wynalazcę szachów, X n+1 =2x N jest szczególnym przypadkiem wzoru (1) z ?=2 i podobnie jak to opisuje prawo, po którym otrzymujemy ciąg liczb tworzący postęp geometryczny. Dla każdego ?>1obraz ilustrujący zmianę x N ,ma podobny wygląd - x N będzie rosnąć wykładniczo. W 1820 roku w Londynie T.R. Malthus opublikował pracę „Zasady ekonomii politycznej rozpatrywane pod kątem ich praktycznego zastosowania” (w tłumaczeniu rosyjskim -„Doświadczenie z prawa populacji…”, tom 1-2. Petersburg, 1868), który w szczególności stwierdził, że ze względu na biologiczne cechy ludzi populacja ma tendencję do rozmnażania się zgodnie z prawem postępu geometrycznego,
X n=1 =?X N, ?>1,
podczas gdy środki utrzymania mogą się jedynie zwiększać zgodnie z prawem postępu arytmetycznego, y n+1 = y N +d ,d>0. Taka różnica w tempie zmian wielkości bezpośrednio związana z problemami przetrwania populacji (ryc. 2.3) ,nie mogło pozostać niezauważone i wywołało dość ostrą krytykę oraz wysoce upolitycznione kontrowersje w odpowiednich kręgach. Spróbujmy wydobyć z samego faktu krytyki użyteczny dla nas wniosek o adekwatności skonstruowanego modelu (1). Oczywiście próbując opisać sytuację w sposób uproszczony, należy pominąć pewne okoliczności, uznając je za nieistotne. Wydaje się jednak, że nie ma konsensusu co do tego, co dokładnie jest istotne, a co nie. Można na przykład nie zwracać uwagi na to, że zaczął padać deszcz. Ale trzeba przyznać, że przebiegnięcie stu metrów w ulewnym deszczu to jedno, a co innego. -godzinny spacer w tym deszczu bez parasola. Tutaj widzimy coś podobnego: przy obliczaniu z 3-4-letnim wyprzedzeniem formuła (1) sprawdza się całkiem nieźle, ale oparta na niej długoterminowa prognoza okazuje się błędna.
Ważny wniosek. Oferując zbudowany lub wybrany przez siebie model, musisz wskazać ograniczenia, w jakich można go używać i uprzedzić, że naruszenie tych ograniczeń może (i najprawdopodobniej będzie) prowadzić do poważnych błędów. Krótko mówiąc, każdy model ma swój własny zasób. Kupując bluzkę czy koszulę jesteśmy przyzwyczajeni do obecności metek, które wskazują maksymalną dopuszczalną temperaturę prasowania, dozwolone rodzaje prania itp. Nie oznacza to oczywiście w żaden sposób, że zabrania się brania rozpalonego do czerwoności żelazka i chodzenie raz - drugie na tkaninę. Możesz to zrobić. Ale czy po takim prasowaniu będziesz chciała założyć bluzkę lub koszulę? Przypadek 2. Populacja się nie zmienia (ryc. 2.4). Przypadek 3. Populacja wymiera (ryc. 2.5).
Ryż. 2.4. Wykres populacji ze stałymi liczbami
Ryż. 2.5. Wykres populacji z malejącymi liczbami
Celowo szczegółowo rozwodziliśmy się nad opisem modelu populacji, po pierwsze dlatego, że jest to jeden z pierwszych modeli tego rodzaju, a po drugie, aby na jego przykładzie pokazać, poprzez jakie główne etapy rozwiązuje się problem idzie budowanie modelu matematycznego.
Uwaga 1. Bardzo często opisując ten model populacji posługujemy się jego wersją różniczkową: x =?x (tutaj x=x(t) -wielkość populacji zależna od czasu, x” -pochodna po czasie, ?-stały).
Uwaga 2. Dla dużych wartości x rywalizacja o środki utrzymania prowadzi do spadku ?,i ten twardy model należy zastąpić modelem bardziej miękkim: x =?(x)x ,w którym współczynnik ?zależy od populacji. W najprostszym przypadku zależność tę opisuje się następująco:
?(x)=a-bx
gdzie a i b -liczby stałe i odpowiadające im równanie przyjmuje postać
x=ax-bx 2
I dochodzimy do bardziej złożonego, tak zwanego modelu logistycznego, który całkiem dobrze opisuje dynamikę populacji. Analiza krzywej logistycznej (ryc. 2.6) jest bardzo pouczająca, a jej realizacja może zainteresować czytelnika. Model logistyczny dobrze opisuje także inne procesy, np. skuteczność reklamy.
Ryż. 2.6. Krzywa logistyczna
2.2 Model drapieżnika-ofiary
Powyżej rozmawialiśmy o niezakłóconej reprodukcji populacji. Jednak w rzeczywistych okolicznościach populacja współistnieje z innymi populacjami, pozostając z nimi w bardzo różnych relacjach. Tutaj przyjrzymy się krótko antagonistycznej parze drapieżników -ofiara (może to być para rysi -zając i para biedronka -mszyce) i spróbuj prześledzić, jak liczebność obu oddziałujących ze sobą stron może zmieniać się w czasie. Populacja ofiar może istnieć samodzielnie, podczas gdy populacja drapieżników może istnieć jedynie kosztem ofiary. Oznaczmy wielkość populacji ofiary przez x, a wielkość populacji drapieżnika przez y. W przypadku braku drapieżnika ofiara rozmnaża się zgodnie z równaniem x = topór ,a>0 ,a drapieżnik pod nieobecność ofiary ginie zgodnie z prawem y =-?y ,?>0.Drapieżnik zjada więcej ofiary, im jest jej więcej i im jest liczniejsza. Dlatego w obecności drapieżnika liczba ofiar zmienia się zgodnie z prawem
X = topór- ?xy, ?>0
Ilość zjadanej ofiary przyczynia się do reprodukcji drapieżnika, co można zapisać w następujący sposób: y =-?y +?xy , ?>0.
Otrzymujemy w ten sposób układ równań
x=topór- ?xy
y=- ?y +?xy
gdzie x?0, y?0.
Model drapieżnika -ofiara jest zbudowana.
Podobnie jak w poprzednim modelu najbardziej interesuje nas punkt równowagi (x*, y*), gdzie x* i y* -niezerowe rozwiązanie układu równań
ax-?xy =0
Y+ ?xy =0
Lub x(a- ?y )=0, y(- ?+?X )=0
Układ ten wynika z warunku stabilności liczebności obu populacji x=0, y =0
Współrzędne punktu równowagi -jest to punkt przecięcia linii
a-? y =0 (2)
?+?x =0 (3)
łatwe do obliczenia:
, (ryc. 2.7).
Ryż. 2.7. Rozwiązywanie układu równań
Początek współrzędnych O(0,0) leży w dodatniej półpłaszczyźnie względem prostej poziomej określonej równaniem (2) oraz w ujemnej półpłaszczyźnie względem prostej pionowej określonej równaniem (3) (rys. 2.8). Zatem pierwszy kwartał (i tylko to nas interesuje, ponieważ x>0 i y>0) dzieli się na cztery obszary, które wygodnie oznacza się następująco: 1-(+,+), 2-(-,+ ), 3-( -,-), 4-(+,-).
Ryż. 2.8. Podział przestrzeni decyzyjnej na ćwiartki
Niech stan początkowy Q(x0,y0) będzie w obszarze IV. Wtedy nierówności są spełnione?-?y0>0, -?+?x0<0? из которых следует, что скорости x" и у" в этой точке должны быть разных знаков, x>0, j<0 и, значит, величина х должна возрастать, а величина убывать.
Analizując w ten sam sposób zachowanie x i y w obszarach 2, 3 i 4, ostatecznie otrzymujemy obraz pokazany na rys. 2.9.
Ryż. 2.9. Zmiana x i y według ćwiartki
Zatem stan początkowy Q prowadzi do okresowych wahań liczebności zarówno ofiary, jak i drapieżnika, tak że po pewnym czasie system powraca do stanu Q (ryc. 2.10).
Ryż. 2.10. Cykliczne wahania liczebności drapieżników i ofiar
Jak pokazują obserwacje, pomimo swojej prostoty, zaproponowany model jakościowo poprawnie oddaje oscylacyjny charakter liczb w układzie drapieżnik-ofiara (rys. 2.11).
Ryż. 2.11. Oscylacje układu Zając – Ryś i Mszyca – Biedronka
Prawdziwe obserwacje. Ingerowanie w prawa natury, których nie rozumiemy, jest czasem dość niebezpieczne. -stosowanie środków owadobójczych (chyba że prawie całkowicie niszczą owady) ostatecznie prowadzi do wzrostu populacji tych owadów, których liczebność jest kontrolowana przez inne owady drapieżne. Mszyca, która przypadkowo przybyła do Ameryki, zagroziła całej produkcji cytrusów. Wkrótce sprowadzono tam jego naturalnego wroga -biedronka, która natychmiast wzięła się do pracy i znacznie ograniczyła populację mszyc. Aby przyspieszyć proces zabijania, rolnicy stosowali DDT, ale w rezultacie wzrosła liczba mszyc, co patrząc na ryż. 2.11 ,Nie jest to trudne do przewidzenia.
2.3 Model mobilizacji
Termin mobilizacja polityczna lub społeczna odnosi się do zaangażowania ludzi w partię lub wśród jej zwolenników, w jakikolwiek ruch społeczny itp. Z uwagi na fakt, że obecny poziom mobilizacji jest ściśle powiązany z jej poziomem w przeszłości, a przyszła mobilizacja zależy od dzisiejszych sukcesów kampanii propagandowej widać, że przy konstruowaniu odpowiedniego modelu należy uwzględnić czynnik czasu. Innymi słowy, musisz zrozumieć, że pożądany model musi być dynamiczny.
Sformułowanie problemu .Odzwierciedlić logikę zmian poziomu mobilizacji w danym regionie pomiędzy dwoma sąsiadującymi punktami w czasie, powiedzmy, w ciągu miesiąca (ponad rok, tydzień, dzień itp.).
Budowa modelu .Przyjmijmy jako taką część populacji, dla której tego typu mobilizacja ma sens. Niech M N -udział zmobilizowanej populacji w czasie t N =rzecz .Wówczas udział ludności niezmobilizowanej będzie równy 1-Mn (ryc. 2.12).
Ryż. 2.12. Stosunek ludności zmobilizowanej do niezmobilizowanej
W ciągu miesiąca poziom mobilizacji może się zmienić z dwóch głównych powodów:
) udało się przyciągnąć dodatkową część populacji; jasne jest, że wartość ta jest tym większa, im większy odsetek populacji, która w chwili t nie uzyskała jeszcze awansu N =rzecz ,i dlatego można je uznać za równe ?(1-M N ),(Tutaj ?>0- współczynnik pobudzenia, stały dla danego regionu);
2) część populacji spadła (z różnych powodów); widać, że zmniejsza to udział ludności wzburzonej, im bardziej, tym udział ten był wyższy w chwili tn=n, a zatem straty związane z emeryturą można uznać za równe (tutaj?>0 to stały współczynnik emerytury ). Podkreślmy, że parametry numeryczne? I? odzwierciedlają proporcjonalną zmianę interesów, poglądów i intencji odpowiednich części ludności danego regionu. Zatem zmiana poziomu mobilizacji w jednostce czasu jest równa różnicy pomiędzy udziałem populacji przyciągniętej dodatkowo a udziałem populacji zmotywowanej, która opuściła:
To jest równanie procesu mobilizacji. Zbudowano model mobilizacji.
Ostatnią relację można łatwo przekształcić do postaci:
Komentarz. Parametr pomocniczy? nie może być większa niż 1 ze względu na to, że parametry początkowe? I? są pozytywne. Otrzymane równanie (4) nazywa się liniowym równaniem różnicowym o stałych współczynnikach.
Równania tego rodzaju można spotkać w różnych, przeważnie najprostszych wersjach.
Jedna z nich (dla?=1) opisuje regułę, zgodnie z którą każdy człon ciągu, zaczynając od drugiego, otrzymuje się z poprzedniego przez dodanie jakiejś stałej liczby: Mn+1=?+Mn, czyli liczbę arytmetyczną postęp.
Druga (at?=0) opisuje regułę, według której każdy człon ciągu, zaczynając od drugiego, otrzymuje się z poprzedniego poprzez pomnożenie przez jakąś stałą liczbę: Mn+1=?Mn, czyli postęp geometryczny.
Załóżmy, że znany jest początkowy udział przyciągniętej populacji M0. Wtedy równanie (4) daje się łatwo rozwiązać (dla pewności to zakładamy). Mamy:
Zastosowanie modelu.
Spróbujmy przeanalizować możliwości tego modelu (zbudowanego na podstawie prostych rozważań).
Zacznijmy od sprawy |?|<1.
W tym celu ostatnią relację zapisujemy w postaci, gdzie M* oznacza następującą wielkość:
Komentarz. Ten sam wynik otrzymamy jeśli w równaniu (4) umieścimy Mn+1=Mn=M*.
Rzeczywiście, wtedy otrzymujemy M*=?+?M*, skąd
Znaleziona wartość M* nie zależy od początkowej wartości M0, czy jest wyrażona w parametrach początkowych? I? według formuły
i dlatego spełnia warunek 0 Aby wynikowa formuła była bardziej przejrzysta, ponownie zastosujemy metodę współrzędnych. Na ryc. 2.13 pokazuje zakres możliwych wartości parametru pomocniczego?, na ryc. 2.14 - parametry początkowe? i? oraz na ryc. 2.15-17 - odpowiednie zbiory wartości Mn dla różnych n, M0 i M* (dla ułatwienia percepcji sąsiednie punkty (n,Mn) i (n+l,Mn+1) są połączone odcinkami prostymi). Wydarzenie?<1 проиллюстрирован на рис. 2.18. Oczywiście rysunki te przedstawiają obraz wysokiej jakości. Ale nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy przyjmowali bardzo konkretne wartości wielkości M0, ? I? i szczegółowo obliczyć odpowiednią sytuację. Ryż. 2.13.obszary możliwych wartości? 2.14.parametry początkowe? I? Ryż. 2.15 - 2.16 Ryż. 2,17 2,18. Wydarzenie?<1 Na przykład, bo mamy ,…(Rys. 2.19) Ryż. 2.19. Mobilizacja o godz Co ciekawe, skonstruowany model, pomimo prostoty podejścia i rozumowania, dość dobrze odzwierciedla rzeczywiste procesy. Zatem zaproponowany model mobilizacji wykorzystano do badania dynamiki liczby głosów oddanych na Partię Demokratyczną w Lake Country (USA) w latach 1920-1968 i okazało się, że dość dobrze opisuje on cechy jakościowe procesu mobilizacji. 2.4 Model wyścigu zbrojeń Rozważmy sytuację konfliktową, w której mogą znaleźć się dwa kraje; dla ścisłości nazwijmy je krajami X i Y. Oznaczmy przez x=x(t) wydatki na uzbrojenie kraju X i przez y=y(t) wydatki na uzbrojenie kraju Y w danym momencie. Założenie 1. Kraj X zbroi się, obawiając się potencjalnego zagrożenia wojną ze strony kraju Y, który z kolei wiedząc o rosnących kosztach uzbrojenia kraju X, zwiększa także swoje wydatki na zbrojenia. Każdy kraj zmienia tempo wzrostu (lub redukcji) zbrojeń proporcjonalnie do poziomu wydatków drugiego kraju. W najprostszym przypadku można to opisać następująco: Gdzie ?I ?-stałe dodatnie. Jednak zapisane równania mają oczywistą wadę - poziom broni nie jest niczym ograniczony. Dlatego prawa strona tych równań wymaga naturalnej korekty. Założenie 2. Im wyższy poziom bieżących wydatków danego kraju na obronę, tym niższa dynamika jego wzrostu. Umożliwia to dokonanie następujących zmian w stosunku do poprzedniego systemu: x= ?y -?X y= ?X -?y jeśli ten kraj nie zagraża istnieniu tego. Oznaczmy odpowiednie twierdzenia przez a i b (a i b są stałymi dodatnimi). Jeżeli stałe aib są ujemne, można je nazwać współczynnikami wartości firmy. W oparciu o wszystkie trzy założenia otrzymujemy następujący układ równań: x=?y-?x+a y=?x-?y+b Zbudowano model wyścigu zbrojeń. Rozwiązaniem otrzymanego układu są funkcje x(t) i y(t), wyznaczone dla danych warunków początkowych x 0?0 i y 0?0 (stan początkowy wyścigu zbrojeń). Przeanalizujmy powstały układ, zakładając, że poziomy wydatków obu krajów na broń nie zależą od czasu (są stacjonarne). Oznacza to, że x =0, y=0 lub inaczej: T- ?X +a=0 X- ?y +b=0 Spójrzmy na konkretny przykład. Przykład. Niech system wyścigu zbrojeń będzie miał następującą postać: x=3y-5x+15 y=3x-4y+12 Jeżeli szybkości zmian wielkości x i y są równe zero, wówczas wielkości te są koniecznie powiązane warunkami: Każde z tych równań opisuje prostą na płaszczyźnie (x,y), a punkt przecięcia tych prostych leży w pierwszej ćwiartce (ryc. 2.20) Linia prosta określona równaniem (a) dzieli płaszczyznę, a punkt początkowy O(0,0) leży w dodatniej półpłaszczyźnie. W rozpatrywanym przypadku to samo dotyczy prostej określonej równaniem (b) (rys. 2.21). Zatem pierwszy kwartał (i tylko to nas interesuje, ponieważ x? 0 i y? 0 są zawsze) dzieli się na cztery obszary, które wygodnie oznaczono następująco: I-(+,+), II-(- ,+), III- (-,-), IV-(+,-). Niech stan początkowy (x 0, j 0) znajduje się w obszarze I. Zachodzą wówczas nierówności: (a): 3у0 -5x 0+15>0,
(b): 3x 0-4 ty 0+12>0,
z czego wynika, że prędkości x” i y” w tym punkcie są dodatnie: x”>0, y”>0 i dlatego obie wielkości (x i y) powinny wzrosnąć (rys. 2.22). Ryż. 2.22 .zwiększenie x i y Zatem z biegiem czasu w obszarze I rozwiązanie osiąga punkt równowagi. Analizując w podobny sposób możliwe lokalizacje stanu początkowego w obszarach II, III i IV, ostatecznie otrzymujemy, że stan stabilny (równowaga sił) osiągany jest niezależnie od początkowego poziomu uzbrojenia krajów X i Y. Jedyna różnica polega na tym, że jeśli przejściu do stanu stacjonarnego z obszaru I towarzyszy jednoczesne zwiększenie poziomu uzbrojenia, to z obszaru III -ich jednoczesne zmniejszenie; dla obszarów II i IV sytuacja jest odmienna -jedna strona zwiększa swoje uzbrojenie, podczas gdy druga się rozbraja. Możliwe są także inne przypadki (ryc. 2.23). Ryż. 2.23 . inne przypadki Co ciekawe, możliwości zbudowanego modelu zostały przetestowane w rzeczywistej sytuacji -wyścig zbrojeń przed I wojną światową. Badania wykazały, że pomimo swojej prostoty model ten dość rzetelnie opisuje stan rzeczy w Europie w latach 1909-1913. Na zakończenie tej części przytoczmy wypowiedź T. Saaty’ego na temat tego modelu: „Model wydaje się znacznie bardziej przekonujący, jeśli zamiast broni posłuży się badaniem problemów zagrożeń, gdyż ludzie reagują na bezwzględny poziom wrogości okazywanej im przez innych i doświadczają uczucia niepokoju w stopniu proporcjonalnym do poziomu wrogości, jakiej sami doświadczają.” Wniosek Współcześnie nauka coraz większą uwagę poświęca zagadnieniom organizacji i zarządzania, co prowadzi do konieczności analizowania złożonych procesów celowych z punktu widzenia ich struktury i organizacji. Potrzeby praktyki dały początek specjalnym metodom, które wygodnie łączy się pod nazwą „badania operacyjne”. Termin ten odnosi się do stosowania matematycznych metod ilościowych do uzasadniania decyzji we wszystkich obszarach celowej działalności człowieka. Celem badań operacyjnych jest określenie najlepszego sposobu działania w celu rozwiązania konkretnego problemu. Główną rolę w tym przypadku przypisuje się modelowaniu matematycznemu. Aby zbudować model matematyczny, konieczne jest ścisłe zrozumienie celu działania badanego układu oraz posiadanie informacji o ograniczeniach wyznaczających zakres dopuszczalnych wartości. Cel i ograniczenia muszą być reprezentowane jako funkcje. W modelach badań operacyjnych zmienne, od których zależą ograniczenia i funkcja celu, mogą być dyskretne (najczęściej całkowite) lub ciągłe (ciągłe). Z kolei ograniczenia i funkcje celu dzielą się na liniowe i nieliniowe. Istnieją różne metody rozwiązywania tych modeli, najbardziej znane i skuteczne z nich to metody programowania liniowego, gdy funkcja celu i wszystkie ograniczenia są liniowe. Do rozwiązywania modeli matematycznych innych typów służą metody programowania dynamicznego (które były omawiane w tym projekcie kursu), programowanie liczb całkowitych, programowanie nieliniowe, optymalizacja wielokryterialna i metody modeli sieciowych. Prawie wszystkie metody badań operacyjnych generują algorytmy obliczeniowe o charakterze iteracyjnym. Oznacza to, że problem rozwiązuje się sekwencyjnie (iteracyjnie), gdy w każdym kroku (iteracji) otrzymujemy rozwiązanie, które stopniowo zbliża się do rozwiązania optymalnego. Iteracyjny charakter algorytmów zwykle prowadzi do dużych, powtarzalnych obliczeń. Z tego powodu algorytmy te opracowano przede wszystkim do implementacji komputerowej. Konstrukcja modelu opiera się na znacznym uproszczeniu badanej sytuacji ,dlatego też wnioski z niej płynące należy traktować z ostrożnością -modelka nie może zrobić wszystkiego. Jednocześnie nawet pozornie bardzo prymitywna idealizacja często pozwala głębiej zagłębić się w istotę problemu. Próbując w jakiś sposób wpłynąć na parametry modelu (wybrać je, kontrolować), uzyskujemy możliwość poddania badanego zjawiska analizie jakościowej i wyciągnięcia ogólnych wniosków. Programowanie dynamiczne jest aparatem matematycznym pozwalającym na optymalne planowanie wieloetapowych procesów zależnych od czasu. Ponieważ procesy w problemach programowania dynamicznego zależą od czasu, dla każdego etapu znajduje się szereg optymalnych rozwiązań, zapewniających optymalny rozwój całego procesu jako całości. Dzięki planowaniu krok po kroku programowanie dynamiczne pozwala nie tylko uprościć rozwiązywanie problemów, ale także rozwiązać te, do których nie można zastosować metod analizy matematycznej. Z pewnością ,to jest nic nie warte ,że metoda ta jest dość pracochłonna przy rozwiązywaniu problemów z dużą liczbą zmiennych. Bibliografia 1.Akulich I.L. Programowanie matematyczne na przykładach i problemach: Proc. dodatek - M.: Szkoła Wyższa, 2009. .Berezhnaya E.V., Berezhnaya V.I. Metody modelowania matematycznego. - M.: Biznes i usługi, 2009 .Intriligator M. Matematyczne metody optymalizacji i teoria ekonomii. - M.: Iris-Press, 2008. .Kurbatow V.I., Ugolnitsky G.A. Metody matematyczne technologii społecznych. - M.: Księga Uniwersytecka, 2011. .Monachow A.V. Matematyczne metody analizy ekonomicznej. - Petersburg: Piotr, 2007 .Orłowa I.V., Połownikow V.A. Metody i modele ekonomiczno-matematyczne. - M.: Podręcznik uniwersytecki, 2008. .Popow I.I., Partyka T.L. Metody matematyczne. - M.: INFRA-M, 2007. .Popova N.V. Metody matematyczne. - M.: Ankil, 2007 Potrzebujesz pomocy w studiowaniu jakiegoś tematu?
Nasi specjaliści doradzą lub zapewnią korepetycje z interesujących Cię tematów. Do niedawna czynniki geograficzne mające istotny wpływ na rozprzestrzenianie się chorób były stosunkowo mało badane. Od dawna kwestionuje się zasadność założenia o jednorodnym wymieszaniu się ludności w małym miasteczku lub wsi, choć w pierwszym przybliżeniu całkiem akceptowalne jest przyjęcie, że przemieszczanie się źródeł infekcji ma charakter przypadkowy i pod wieloma względami przypomina przemieszczanie się ludności cząstki w roztworze koloidalnym. Oczywiście konieczne jest, aby mieć pewne pojęcie o skutkach, jakie może mieć obecność dużej liczby podatnych osób w punktach znajdujących się w dość dużych odległościach od dowolnego źródła infekcji. W modelu deterministycznym, za D. Kendallem, zakłada się istnienie nieskończonego dwuwymiarowego kontinuum populacji, w którym na jednostkę powierzchni przypada około osobników. Rozważ obszar otaczający punkt P i załóż, że liczba osobników podatnych, zakażonych i usuniętych ze zbiorowiska jest równa. Wielkości x, y i z mogą być funkcjami czasu i położenia, ale ich suma musi być równa jedności. Podstawowe równania ruchu, podobnie jak układ (9.18), mają postać gdzie jest przestrzennie ważoną średnią Niech i będą stałymi, będą elementem powierzchni otaczającym punkt Q i będą nieujemnym współczynnikiem ważenia. Załóżmy, że początkowa koncentracja chorób jest równomiernie rozłożona na pewnym małym obszarze otaczającym początkowe ognisko. Należy również zauważyć, że mnożnik o jest wyraźnie wprowadzony do produktu Rohu, tak że tempo rozprzestrzeniania się infekcji pozostaje niezależne od gęstości zaludnienia. Jeżeli y pozostałoby stałe na płaszczyźnie, to całka (9,53) z pewnością byłaby zbieżna. W tym przypadku wygodnie byłoby tego wymagać Opisany model pozwala dość daleko posunąć się w badaniach matematycznych. Można wykazać (z jednym lub dwoma zastrzeżeniami), że pandemia obejmie całą płaszczyznę wtedy i tylko wtedy, gdy gęstość zaludnienia przekroczy wartość progową. Jeżeli wystąpiła pandemia, to o jej intensywności decyduje jedyny dodatni pierwiastek równania Znaczenie tego wyrażenia jest takie, że odsetek osób, które ostatecznie zachorują w dowolnym obszarze, niezależnie od tego, jak daleko jest on od pierwotnego ogniska epidemii, nie będzie mniejszy? Oczywiście to twierdzenie o progu pandemicznym Kendalla jest podobne do twierdzenia o progu Kermacka i McKendricka, w którym nie uwzględniono czynnika przestrzennego. Można także zbudować model dla następującego przypadku specjalnego. Niech x i y będą odpowiednio gęstościami przestrzennymi osobników podatnych i zakażonych. Jeżeli uznamy infekcję za lokalną i izotropową, to łatwo pokazać, że równania odpowiadające dwóm pierwszym równaniom układu (9.18) można zapisać w postaci gdzie nie są współrzędnymi przestrzennymi] i Dla okresu początkowego, gdy można ją w przybliżeniu uznać za wartość stałą, drugie równanie układu (9.56) będzie miało postać Jest to standardowe równanie dyfuzji, którego rozwiązaniem jest gdzie stała C zależy od warunków początkowych. Całkowita liczba zarażonych osobników znajdujących się poza okręgiem o promieniu R jest równa Stąd, a jeśli , to . Promień odpowiadający dowolnej wybranej wartości rośnie w tempie . Wartość tę można uznać za prędkość rozprzestrzeniania się epidemii, a jej wartość graniczna dla dużych t wynosi . Podczas jednej z epidemii odry w Glasgow tempo rozprzestrzeniania się wynosiło około 135 m tygodniowo przez prawie sześć miesięcy. Równania (9.56) można łatwo zmodyfikować, aby uwzględnić migrację osobników podatnych i zakażonych, a także pojawienie się nowych osobników podatnych. Podobnie jak w przypadku epidemii nawracających omawianych w rozdz. 9.4 możliwe jest tu rozwiązanie równowagowe, ale małe oscylacje zanikają równie szybko lub nawet szybciej niż w modelu nieprzestrzennym. Widać zatem, że podejście deterministyczne ma w tym przypadku pewne ograniczenia. W zasadzie należy oczywiście preferować modele stochastyczne, jednak zazwyczaj ich analiza jest obarczona ogromnymi trudnościami, przynajmniej jeśli przeprowadzana jest w sposób czysto matematyczny. Przeprowadzono kilka badań w celu modelowania tych procesów. Dlatego Bartlett użył komputera do zbadania kilku kolejnych sztucznych epidemii. Uwzględniono czynnik przestrzenny poprzez wprowadzenie siatki komórek. W każdej komórce zastosowano typowe modele nieprzestrzenne dla czasu ciągłego lub dyskretnego i umożliwiono losową migrację zakażonych osobników między komórkami mającymi wspólną granicę. Uzyskano informację o krytycznej wielkości populacji, poniżej której proces epidemiczny wygasa. Główne parametry modelu uzyskano w oparciu o rzeczywiste dane epidemiologiczne i demograficzne. Ostatnio autor tej książki podjął szereg podobnych badań, w których podjęto próbę skonstruowania przestrzennego uogólnienia modeli stochastycznych dla prostych i ogólnych przypadków rozpatrywanych w rozdz. 9.2 i 9.3. Załóżmy, że istnieje siatka kwadratowa, której każdy węzeł jest zajęty przez jednego podatnego osobnika. Źródło infekcji umieszcza się na środku kwadratu i w dyskretnym czasie rozpatrywany jest proces typu łańcuchowo-dwumianowego, w którym na niebezpieczeństwo infekcji narażone są tylko osoby bezpośrednio sąsiadujące z jakimkolwiek źródłem infekcji. Mogą to być albo tylko czterej najbliżsi sąsiedzi (Schemat 1), albo też osobniki położone po przekątnej (Schemat 2); w drugim przypadku łącznie będzie osiem osobników leżących po bokach kwadratu, którego środek zajmuje źródło infekcji. Oczywiście wybór schematu jest dowolny, jednak w naszej pracy zastosowano ten drugi układ. Najpierw rozważano prostą epidemię bez przypadków wyzdrowienia. Dla wygody zastosowano siatkę o ograniczonej wielkości, a informacje o stanie każdej osoby (tj. o tym, czy był podatny na infekcję lub o jej źródle) przechowywano w komputerze. Podczas symulacji prowadzono bieżący zapis zmian stanu wszystkich osób i we wszystkich kwadratach obliczano całkowitą liczbę nowych przypadków choroby, z pierwotnym źródłem infekcji pośrodku. W pamięci maszyny zapisywane były także aktualne wartości sumy i sumy kwadratów liczby przypadków. Ułatwiło to obliczenie średnich i błędów standardowych. Szczegóły tych badań zostaną opublikowane w osobnym artykule, tutaj jednak zwrócimy uwagę tylko na jedną lub dwie szczególne cechy tej pracy. Przykładowo jasne jest, że z bardzo dużym prawdopodobieństwem wystarczającego kontaktu nastąpi niemal deterministyczne rozprzestrzenianie się epidemii, w którym na każdym nowym etapie epidemii dodawany będzie nowy plac ze źródłami infekcji. Przy niższym prawdopodobieństwie nastąpi prawdziwie stochastyczne rozprzestrzenianie się epidemii. Ponieważ każde źródło infekcji może zainfekować tylko ośmiu swoich bezpośrednich sąsiadów, a nie całą populację, możemy spodziewać się, że krzywa epidemii dla całej sieci nie będzie rosła tak gwałtownie, jak gdyby cała populacja była jednorodnie wymieszana. To przewidywanie rzeczywiście się sprawdza, a liczba nowych przypadków rośnie mniej więcej liniowo w czasie, aż do momentu, w którym zaczną działać efekty brzegowe (ponieważ siatka ma ograniczony zasięg). Tabela 9. Przestrzenny model stochastyczny prostej epidemii zbudowany na siatce 21x21 W tabeli Rycina 9 przedstawia wyniki uzyskane dla siatki w obecności jednego początkowego źródła infekcji i prawdopodobieństwa wystarczającego kontaktu równego 0,6. Można zauważyć, że pomiędzy pierwszym a dziesiątym etapem epidemii średnia liczba nowych przypadków wzrasta każdorazowo o około 7,5. Następnie zaczyna dominować efekt brzegowy, a krzywa epidemii gwałtownie spada. Można także określić średnią liczbę nowych przypadków dla dowolnego punktu siatki i w ten sposób znaleźć krzywą epidemii dla tego punktu. Wygodnie jest przeprowadzić uśrednianie po wszystkich punktach leżących na granicy kwadratu, w środku którego znajduje się źródło infekcji, choć w tym przypadku symetria nie będzie pełna. Porównanie wyników dla kwadratów o różnych rozmiarach daje obraz fali epidemii przemieszczającej się od pierwotnego źródła infekcji. Mamy tu ciąg rozkładów, których mody rosną w postępie liniowym i których dyspersja stale rośnie. Przeprowadzono również bardziej szczegółowe badanie ogólnej epidemii, usuwając zakażone osoby. Oczywiście są to wszystko bardzo uproszczone modele. Jednak ważne jest, aby zrozumieć, że można je znacznie ulepszyć. Biorąc pod uwagę mobilność populacji, należy założyć, że osoby podatne zakażają się ze źródeł infekcji, które nie są ich najbliższymi sąsiadami. Być może będziesz musiał zastosować tutaj jakiś rodzaj ważenia opartego na odległości. Modyfikacje, które trzeba będzie wprowadzić w programie komputerowym, są stosunkowo niewielkie. W kolejnym etapie być może uda się opisać w ten sposób populacje rzeczywiste lub typowe o najbardziej zróżnicowanej strukturze. Stworzy to możliwość oceny stanu epidemiologicznego populacji realnych z punktu widzenia ryzyka wystąpienia różnego rodzaju epidemii. Informacja Cechy czasoprzestrzeni RELACJE WSKAŹNIKÓW WIELOCZYNNIKOWE MODELE DYNAMICZNE Wieloczynnikowe modele dynamiczne relacji wskaźnikowych budowane są wg próbki czasoprzestrzenne, które reprezentują zbiór danych o wartościach atrybutów zbioru obiektów w określonej liczbie okresów (chwil) czasu. Próbki przestrzenne powstają w wyniku połączenia próbek przestrzennych na przestrzeni kilku lat (okresów), tj. zbiory przedmiotów należących do tych samych okresów czasu. Stosowane w przypadku małych próbek, tj. krótkie tło rozwój obiektu. Dynamiczne selekcje powstają poprzez połączenie dynamicznych serii poszczególnych obiektów w obudowie długa prehistoria, tj. duże próbki. Klasyfikacja metod pobierania próbek jest warunkowa, ponieważ zależy od celu modelowania, stabilności zidentyfikowanych wzorców, stopnia jednorodności obiektów, liczby czynników. W większości przypadków preferowana jest pierwsza metoda. Za szeregi czasowe o długiej historii uważa się szeregi, na podstawie których można budować modele zależności pomiędzy wskaźnikami różnych obiektów o odpowiednio wysokiej jakości. Dynamiczny modele komunikacji wskaźniki mogą być: · przestrzenny, tj. modelowanie zależności pomiędzy wskaźnikami dla wszystkich rozpatrywanych obiektów w określonym momencie (przedziale czasu); · dynamiczne, które budowane są w oparciu o ogół realizacji jednego obiektu dla wszystkich okresów (momentów) czasu; · przestrzenno-dynamiczne, które kształtują się dla wszystkich obiektów dla wszystkich okresów (momentów) czasu. Modele dynamiki wskaźniki są pogrupowane w następujące typy: 1) jednowymiarowe modele dynamiki: scharakteryzowane jako modele pewnego wskaźnika danego obiektu; 2) wielowymiarowe modele dynamiki jednego obiektu: modelują kilka wskaźników obiektu; 3) wielowymiarowe modele dynamiki zbioru obiektów :
modelować kilka wskaźników systemu obiektów. W związku z tym stosowane są modele komunikacji ekstrapolacja przestrzenna(do przewidywania wartości wskaźników wydajności nowych obiektów na podstawie wartości charakterystyk czynnikowych), modele dynamiki - dla ekstrapolacja dynamiczna(aby przewidzieć zmienne zależne). Potrafimy zidentyfikować główne zadania wykorzystania informacji czasoprzestrzennej. 1. W przypadku krótkiego tła: identyfikacja zależności przestrzennych pomiędzy wskaźnikami, tj. badanie struktury połączeń między obiektami w celu zwiększenia dokładności i wiarygodności modelowania tych wzorców. 2. W przypadku długiej historii: aproksymacja wzorców zmian wskaźników w celu wyjaśnienia ich zachowania i przewidzenia możliwych stanów.
Korepetycje
Prześlij swoją aplikację wskazując temat już teraz, aby dowiedzieć się o możliwości uzyskania konsultacji.
