Wyznacznik macierzy, gdy jest równy zero. Metody obliczania wyznaczników

determinanty N Idź zamówić

1. Metoda redukcji do postaci trójkątnej.

a) Oblicz wyznacznik: .

Odejmując pierwszy rząd od wszystkich pozostałych, otrzymujemy wyznacznik, który ma postać trójkątną, a zatem jest równy iloczynowi elementów przekątnych:

. W końcu Dn = (–1)N –1 .

b) Oblicz wyznacznik: .

Od wszystkich pozostałych odejmujemy pierwszy wiersz, a następnie z kolumn wyznacznika wyciągamy: z pierwszego A 1 – X; od drugiego A 2 – X; …..; z N t oraz n – X. Otrzymujemy:

D = (A 1 – X) (A 2 - X)… (jakiś–X) .

Zapiszmy pierwszy element pierwszej kolumny w postaci: = 1 + , a do pierwszej kolumny dodajmy wszystkie kolumny wynikowego wyznacznika. Otrzymujemy wyznacznik trójkątny, który jest równy iloczynowi elementów przekątnych. Stąd:

D = (A 1 – X) (A 2 – X)…(jakiś – X)X + + + … + .

2. Metoda identyfikacji czynników liniowych.

a) Oblicz wyznacznik.

1. Dodając pozostałe trzy do pierwszej kolumny wyznacznika, stwierdzamy, że w pierwszej kolumnie znajduje się wspólny czynnik, który jest równy X + Na + z. Dlatego wyznacznik jest dzielony przez X + Na + z.

2. Podobnie dodając drugą kolumnę do pierwszej kolumny i odejmując od niej trzecią i czwartą kolumnę, stwierdzamy, że wyznacznik jest podzielny przez x – y – z.

3. Jeśli dodamy pierwszą kolumnę do trzeciej i odejmiemy drugą i czwartą, otrzymamy, że wyznacznik jest podzielny przez x – y + z.

4. Jeśli dodamy czwartą do pierwszej kolumny i odejmiemy drugą i trzecią kolumnę, okaże się, że wyznacznik ma współczynnik x – y + z. Więc:

Oczywiste jest, że wyznacznikiem jest wielomian stopnia 4 cala X, Przez y i przez z. Po prawej stronie znajduje się także wielomian tego samego stopnia. Dlatego V= stała W wyznaczniku X 4 zawiera się w określeniu:

A 12 A 21 A 34 A 43 = (–1) 2 × X× X× X× X = X 4 .

Po prawej stronie jest termin starszy X: Vx 4, tj. V= 1. Otrzymujemy wynik:

= (X + y + z)(X – y – z)(X – y + z)(X + y – z) = X 4 + y 4 + z 4 – 2X 2 y 2 – 2X 2 z 2 – 2Na 2 z 2 .

b) Oblicz wyznacznik N-ta kolejność: .

Wyznacznik ten nazywany jest wyznacznikiem Vandermonde’a. Rozważając to jako wielomian ( N–1) krewny stopnia x rz zobaczymy, że kiedy zmieni się na 0 x rz = X 1, x rz= X 2, … x rz = x rz- 1 . Następnie Dn = jakiś – 1 (x rz – X 1)(x rz – X 2) … (x rz– x n–1), oraz jakiś –1 = = Dn-1 . Powtarzając tę procedurę, otrzymujemy: Dn = (X 2 – X 1)(X 3 – X 2)(X 3 – X 1)(X 4 – X 3)(X 4 – X 2)(X 4 – –X 1)… = .

3. Metoda przedstawiania wyznacznika jako sumy wyznaczników.

Oblicz wyznacznik: .

Zauważając, że elementy pierwszej kolumny przedstawione są jako sumy dwóch liczb, rozwińmy wyznacznik do sumy dwóch wyznaczników:

Teraz rozłożymy każdy z otrzymanych wyznaczników na sumę dwóch wyznaczników, korzystając z faktu, że elementy drugiej kolumny są również prezentowane w postaci sum itp. Po wykonaniu tej czynności otrzymujemy ( N> 2) że ciągi otrzymanych wyznaczników będą miały postać: a ja, i,…, i Lub B 1, B 2, … , b n . Wiersze pierwszego typu są proporcjonalne, wiersze drugiego typu są równe i dlatego wszystkie wyrazy są równe zero. Stąd: Dn = 0 ("N > 2).

Dla wyznaczników tego samego typu, ale pierwszego i drugiego rzędu otrzymujemy:

D 1 = | A 1 + b 1 | = A 1 + b 1 ; D 2 = =

= A 1 B 2 –A 2 B 2 + b 1 A 2 – A 1 B 1 = (A 1 – A 2)B 2 + (A 2 + A 1)B 1 = (A 1 – A 2)(B 2 – B 1).

Metoda relacji rekurencyjnych (powrotnych).

Oblicz wyznacznik N-ta kolejność: .

Rozbudowując wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy relację rekurencji: Dn= .

Po rozwinięciu wyznacznika po prawej stronie relacji wzdłuż pierwszej kolumny piszemy nową relację rekurencyjną: Dn= 5Dn –1 – 6Dn –2 .

Przedstaw tę zależność jako: Dn– 2Dn –1 = 3(Dn –1 – 2Dn–2) i wprowadzenie oznaczenia:

T n= Dn– 2Dn–1 otrzymujemy: T n= 3T n –1 – 3 2 T n–2 = … =3 n-2 T 2 = 3n.

Podobnie zapisując relację rekurencji w postaci: Dn– 3Dn –1 = 2(Dn –1 – 3Dn–2) i oznaczające: Vn= Dn– 3Dn–1 otrzymujemy Vn= 2V n = 1 = 2 2 Vn –2 =…= 2N .

1. Ogólna zasada znaków. W dalszych celach przydatne będzie ustalenie, pod jakim znakiem dany termin jest zawarty w wyznaczniku, gdzie występują dwie permutacje liczb.

Aby się tego dowiedzieć, należy ułożyć czynniki w kolejności linii. Należy zauważyć, że jeśli zamienimy dwa czynniki, to transpozycja nastąpi zarówno w pierwszym, jak i drugim indeksie, tak że liczba inwersji w pierwszych indeksach i liczba inwersji w drugich indeksach zmienią się na liczby nieparzyste, a zatem ich suma zmieni się na Liczba parzysta. Nie zmienia się zatem przy zmianie miejsc dwóch czynników, a co za tym idzie, przy zmianie kolejności czynników, gdyż każda zmiana kolejności jest równoznaczna z kilkoma zmianami miejsc parami. Wynika z tego, że znak, za pomocą którego wyraz jest zawarty w wyznaczniku, to . Rzeczywiście, niech będzie sekwencją numerów kolumn po ułożeniu czynników w kolejności wierszy, tak aby Wtedy

i jest to współczynnik ±1, z jakim interesujący nas termin włącza się do wyznacznika.

2. Wyznacznik transponowanej macierzy jest równy macierzy pierwotnej. Innymi słowy, wyznacznik nie zmienia się podczas transpozycji macierzy.

Rzeczywiście, pobranie iloczynów elementów, po jednym z każdego wiersza i jednej z każdej kolumny oryginalnej macierzy, jest tym samym, co zrobienie tego w odniesieniu do macierzy transponowanej. Co więcej, numery wierszy oryginału są numerami kolumn transponowanych, a numery kolumn oryginału są numerami wierszy transponowanych. Dlatego każdy wyraz jest zawarty w wyznaczniku macierzy pierwotnej i wyznaczniku macierzy transponowanej z tym samym współczynnikiem

Ustalone dwie właściwości wskazują, że w wyznaczniku wiersze i kolumny są całkowicie równe. Dlatego wszystkie dalsze właściwości ustawione dla wierszy pozostają ważne dla kolumn.

Dwie kolejne właściwości oznaczają, że wyznacznik jest liniowy względem elementów dowolnego z jego wierszy.

3. Jeżeli elementy wiersza przedstawiamy jako sumę dwóch wyrazów, to wyznacznik jest równy sumie dwóch wyznaczników, w pierwszym z nich elementy zaznaczonej linii są równe pierwszym członom, w drugim - do drugiego.

Właściwość ta stanie się bardziej przejrzysta, jeśli przejdziemy od sformułowania słownego do wzoru:

Dowód.

Jest oczywiste, że pierwsza suma jest równa , a druga jest równa

Sprawdzoną właściwość można w naturalny sposób uogólnić na przypadek, gdy elementy ciągu znaków są reprezentowane jako suma kilku wyrazów.

4. Jeżeli wszystkie elementy dowolnego rzędu wyznacznika mają wspólny czynnik, to ten wspólny czynnik można usunąć ze znaku wyznacznika.

Naprawdę,

5. Wyznacznik z dwoma identycznymi wierszami jest równy zero.

6. Jeżeli w macierzy zamienimy dwa wiersze, to jej wyznacznik zmieni znak na przeciwny.

Te dwie właściwości są ze sobą ściśle powiązane i odgrywają szczególnie ważną rolę w teorii wyznaczników.

Najpierw udowodnijmy piątą własność, a potem szóstą.

Niech wyznacznik zostanie podany za pomocą dwóch identycznych linii:

Podzielmy sumę na dwie części odpowiadające permutacjom parzystym i nieparzystym:

Pamiętajmy, że wszystkie permutacje nieparzyste otrzymamy, jeśli we wszystkich permutacjach parzystych dokonamy tej samej transpozycji.

Ale . Zatem dla każdego składnika pierwszej sumy istnieje taki sam wyraz w drugiej sumie, a zatem , co należało udowodnić.

Przejdźmy teraz do dowodu własności i oznaczmy permutowane wiersze po prostu jako I i II. Musimy porównać determinanty

W tym celu rozważ wyznacznik pomocniczy, który jest oczywiście równy zeru:

Dwukrotnie skorzystaliśmy z właściwości 3.

Pierwszy i czwarty wyraz są równe zeru. Dlatego suma drugiej i trzeciej jest równa zero, co należało udowodnić.

Rozważmy inny sposób udowodnienia właściwości 5 i 6. Zacznijmy od szóstego. Pozwalać

Weźmy jakiś termin z drugiego wyznacznika, zapisany w kolejności jego wierszy:

Pochodzi z mnożnikiem. Ale więc wchodzi do A z mnożnikiem. Jasne jest, że zatem każdy termin z A wchodzi do A z przeciwnym znakiem, tj.

Teraz, aby udowodnić właściwość 5, rozważ wyznacznik z dwoma identycznymi wierszami i zamień te wiersze. Z jednej strony zmieni znak, ale jednocześnie nie ulegnie zmianie. Stąd, .

Jednakże to rozumowanie ma zastosowanie tylko wtedy, gdy w pierścieniu możliwy jest dzielenie przez 2, więc to następuje

W zakresie reszt modulo 2 nie mogliśmy wyciągnąć takiego wniosku. Jest to niewielka wada drugiego dowodu w porównaniu z pierwszym.

7. Wyznacznik z dwoma proporcjonalnymi wierszami jest równy zero.

Rzeczywiście, jeśli zgodnie z własnością 4 ze znaku wyznacznika wyciągniemy współczynnik proporcjonalności, wówczas pozostanie nam wyznacznik o równych wierszach, który jest równy zero.

8. Wyznacznik nie zmienia się, jeżeli do którejkolwiek z jego linii dodamy liczby proporcjonalne do innej linii.

Naprawdę,

Właściwość 8 jest szczególnie ważna, ponieważ dostarcza klucza do obliczania wyznaczników.

Spójrzmy na mały przykład.

Załóżmy, że musimy obliczyć wyznacznik

Dodajmy pierwszą linię pomnożoną przez -1 do drugiej linii, następnie dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -1 do trzeciej linii, a następnie dodaj pierwszą linię pomnożoną przez -1 do czwartej linii. Otrzymujemy równy wyznacznik

Teraz dodaj do czwartej linii trzecią pomnożoną przez -1, a do czwartej - drugą pomnożoną przez -1.

Otrzymujemy równy wyznacznik

Teraz okazuje się, że z 24 wyrazów wyznacznika tylko jeden jest różny od zera: . Permutacja (1, 3, 2, 4) jest nieparzysta, dlatego wyznacznikiem jest -16.

Tutaj zarysujemy te właściwości, które są zwykle używane do obliczania wyznaczników w standardowym kursie wyższej matematyki. Jest to temat pomocniczy, do którego w razie potrzeby będziemy odnosić się z innych rozdziałów.

Niech więc pewna macierz kwadratowa $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) zostanie podany & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end(tablica) \right)$. Każda macierz kwadratowa ma cechę zwaną wyznacznikiem (lub wyznacznikiem). Nie będę tutaj wnikał w istotę tego pojęcia. Jeśli wymagałoby to wyjaśnienia, to proszę napisać o tym na forum, a ja poruszę tę kwestię szerzej.

Wyznacznik macierzy $A$ oznaczamy jako $\Delta A$, $|A|$ lub $\det A$. Porządek determinujący równa liczbie zawartych w nim wierszy (kolumn).

Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli jego wiersze zostaną zastąpione odpowiednimi kolumnami, tj. $\Delta A=\Delta A^T$.
Pokaż ukryj

Zamieńmy w nim wiersze na kolumny zgodnie z zasadą: „był pierwszy rząd - była pierwsza kolumna”, „był drugi rząd - była druga kolumna”:

Obliczmy wynikowy wyznacznik: $\left| \begin(tablica) (cc) 2 i 9 \\ 5 i 4 \end(tablica) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Jak widać wartość wyznacznika nie uległa zmianie w wyniku podstawienia.
Jeżeli zamienimy dwa wiersze (kolumny) wyznacznika, znak wyznacznika zmieni się na przeciwny.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (cc) 2 i 5 \\ 9 i 4 \end(tablica) \right|$. Znajdźmy jego wartość korzystając ze wzoru nr 1 z tematu obliczania wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu:
$$\pozostało| \begin(tablica) (cc) 2 i 5 \\ 9 i 4 \end(tablica) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Zamieńmy teraz pierwszą i drugą linię. Otrzymujemy wyznacznik $\left| \begin(tablica) (cc) 9 i 4 \\ 2 i 5 \end(tablica) \right|$. Obliczmy wynikowy wyznacznik: $\left| \begin(tablica) (cc) 9 i 4 \\ 2 i 5 \end(tablica) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Zatem wartość pierwotnego wyznacznika wynosiła (-37), a wartość wyznacznika przy zmienionej kolejności wierszy wynosi $-(-37)=37$. Znak wyznacznika zmienił się na przeciwny.
Wyznacznik, dla którego wszystkie elementy wiersza (kolumny) są równe zero, jest równy zero.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Ponieważ w wyznaczniku $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ wszystkie elementy trzeciej kolumny wynoszą zero, wówczas wyznacznik wynosi zero, tj. $\pozostał| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 0\\ 2 i -3 i 0 \end(tablica) \right|=0$.
Wyznacznik, dla którego wszystkie elementy danego wiersza (kolumny) są równe odpowiednim elementom innego wiersza (kolumny), jest równy zero.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Ponieważ w wyznaczniku $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ wszystkie elementy pierwszego wiersza są równe elementy drugiego rzędu, wówczas wyznacznik jest równy zeru, tj. $\pozostał| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -7 i 10 i 0\\ 2 i -3 i 18 \end(tablica) \right|=0$.
Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza (kolumny) są proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny), to taki wyznacznik jest równy zero.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Ponieważ w wyznaczniku $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Drugi i trzeci rząd są proporcjonalne, tj. $r_3=-3\cdot(r_2)$, wówczas wyznacznik jest równy zeru, tj. $\pozostał| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 28\\ 5 i -3 i 0\\ -15 i 9 i 0 \end(tablica) \right|=0$.
Jeżeli wszystkie elementy wiersza (kolumny) mają wspólny czynnik, wówczas czynnik ten można usunąć ze znaku wyznacznika.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -9 i 21 \end(tablica) \right|$. Zauważ, że wszystkie elementy drugiego rzędu są podzielne przez 3:
$$\pozostało| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -9 i 21 \end(tablica) \right|=\left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ 3\cdot(-3) i 3\cdot 7 \end(tablica) \right|$$
Liczba 3 jest wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów drugiego rzędu. Weźmy trójkę ze znaku wyznacznika:
$$\pozostało| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -9 i 21 \end(tablica) \right|=\left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(tablica) \right|= 3\cdot \left| \begin(tablica) (cc) -7 i 10 \\ -3 i 7 \end(tablica) \right| $$
Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeśli do wszystkich elementów danego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|$. Dodajmy do elementów drugiej linii odpowiednie elementy trzeciej linii pomnożone przez 5. Działanie to zapisujemy następująco: $r_2+5\cdot(r_3)$. Druga linia zostanie zmieniona, pozostałe linie pozostaną niezmienione.
$$\pozostało| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right| \begin(tablica) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9+5\cdot 2 i 21+5\cdot (-3) i 4+5\cdot 1 \\ 2 i -3 i 1 \end (tablica) \right|= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ 1 i 6 i 9 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|. $$
Jeżeli dany wiersz (kolumna) wyznacznika jest liniową kombinacją innych wierszy (kolumn), to wyznacznik jest równy zero.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Od razu wyjaśnię, co oznacza wyrażenie „kombinacja liniowa”. Załóżmy, że mamy wiersze (lub kolumny): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Wyrażenie
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
gdzie $k_i\in R$ nazywa się liniową kombinacją wierszy (kolumn) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

Rozważmy na przykład następujący wyznacznik:
$$\pozostało| \begin(tablica) (cccc) -1 i 2 i 3 i 0\\ -2 i -4 i -5 i 1\\ 5 i 0 i 7 i 10 \\ -13 i -8 i -16 i -7 \end(tablica) \right| $$
W tym wyznaczniku czwarty wiersz można wyrazić jako liniową kombinację pierwszych trzech wierszy:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Zatem rozpatrywany wyznacznik jest równy zeru.
Jeżeli każdy element pewnego k-tego wiersza (k-tej kolumny) wyznacznika jest równy sumie dwóch wyrazów, to taki wyznacznik jest równy sumie wyznaczników, z których pierwszy ma pierwsze wyrazy w k-ty rząd (k-ta kolumna), a drugi wyznacznik k-ty rząd (k-ta kolumna) zawiera drugie wyrazy. Pozostałe elementy tych wyznaczników są takie same.
Przykład użycia tej właściwości: show\hide

Rozważ wyznacznik $\left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|$. Zapiszmy elementy drugiej kolumny w następujący sposób: $\left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 3+7 i 0\\ -9 i 21+0 i 4 \\ 2 i 5+(-8) & 1 \end(tablica) \right|$. Wtedy taki wyznacznik jest równy sumie dwóch wyznaczników:
$$\pozostało| \begin(tablica) (ccc) -7 i 10 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i -3 i 1 \end(tablica) \right|= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 3+7 i 0\\ -9 i 21+0 i 4 \\ 2 i 5+(-8) i 1 \end(tablica) \right|= \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 3 i 0\\ -9 i 21 i 4 \\ 2 i 5 i 1 \end(tablica) \right|+ \left| \begin(tablica) (ccc) -7 i 7 i 0\\ -9 i 0 i 4 \\ 2 i -8 i 1 \end(tablica) \right| $$
Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych tego samego rzędu jest równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy, tj. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Z tej reguły możemy otrzymać następujący wzór: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
Jeżeli macierz $A$ nie jest pojedyncza (tj. jej wyznacznik nie jest równy zero), to $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Wzory do obliczania wyznaczników

Dla wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu poprawne są następujące wzory:

\begin(równanie) \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (cc) a_(11) i a_(12) \\ a_(21) i a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(tablica) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(wyrównane)\end(równanie)

Przykłady wykorzystania wzorów (1) i (2) znajdują się w temacie „Wzory do obliczania wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu. Przykłady obliczania wyznaczników”.

Wyznacznik macierzy $A_(n\times n)$ można rozwinąć w i-tym wierszu korzystając ze wzoru:

\begin(equation)\Delta A=\suma\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(w)A_(w) \end(równanie)

Analog tego wzoru istnieje również dla kolumn. Wzór na rozwinięcie wyznacznika w j-tej kolumnie jest następujący:

\begin(equation)\Delta A=\suma\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(równanie)

Reguły wyrażone wzorami (3) i (4) szczegółowo zilustrowano przykładami i wyjaśniono w temacie Redukowanie rzędu wyznacznika. Rozkład wyznacznika w wierszu (kolumnie).

Wskażmy inny wzór na obliczenie wyznaczników macierzy trójkątnych górnego i dolnego trójkąta (wyjaśnienie tych terminów można znaleźć w temacie „Macierze. Rodzaje macierzy. Pojęcia podstawowe”). Wyznacznik takiej macierzy jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej. Przykłady:

\begin(wyrównane) &\left| \begin(tablica) (cccc) 2 i -2 i 9 i 1 \\ 0 i 9 i 8 i 0 \\ 0 i 0 i 4 i -7 \\ 0 i 0 i 0 i -6 \end(tablica) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(tablica) (cccc) -3 i 0 i 0 i 0 \\ -5 i 0 i 0 i 0 \\ 8 i 2 i 1 i 0 \\ 5 i 4 i 0 i 10 \end(tablica) \ prawo|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(wyrównane)

Odpowiedź: WŁASNOŚĆ 1. Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeśli wszystkie jego wiersze zostaną zastąpione kolumnami, a każdy wiersz zastąpiony zostanie kolumną o tym samym numerze, czyli

WŁAŚCIWOŚĆ 2. Przestawienie dwóch kolumn lub dwóch wierszy wyznacznika jest równoznaczne z pomnożeniem go przez -1. Na przykład,

.Własność 3. Jeżeli wyznacznik ma dwie identyczne kolumny lub dwa identyczne wiersze, to jest równy zero WŁAŚCIWOŚĆ 4. Pomnożenie wszystkich elementów jednej kolumny lub jednego wiersza wyznacznika przez dowolną liczbę k jest równoznaczne z pomnożeniem wyznacznika przez tę liczbę liczba k. Na przykład,

WŁAŚCIWOŚĆ 5. Jeżeli wszystkie elementy danej kolumny lub wiersza są równe zero, to sam wyznacznik jest równy zero. Własność ta jest szczególnym przypadkiem poprzedniej (dla k=0) WŁAŚCIWOŚĆ 6. Jeżeli odpowiadające sobie elementy dwóch kolumn lub dwóch wierszy wyznacznika są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy zeru WŁAŚCIWOŚĆ 7. Jeżeli każdy element n-tej kolumny lub n-tego rzędu wyznacznika jest sumą dwóch wyrazów, wówczas wyznacznik można przedstawić jako sumę dwóch wyznaczników, z których jeden w n-tej kolumnie lub odpowiednio w n-tym wierszu ma pierwszy z wymienionych terminów, a drugi drugi; elementy stojące na pozostałych miejscach są takie same dla kamieni milowych trzech wyznaczników. Na przykład,

WŁAŚCIWOŚĆ 8. Jeśli do elementów pewnej kolumny (lub innego wiersza) dodamy odpowiednie elementy innej kolumny (lub innego wiersza), pomnożone przez dowolny wspólny czynnik, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie. Na przykład,

Dalsze właściwości wyznaczników związane są z pojęciem dopełnienia algebraicznego i molowego. Moll jakiegoś elementu jest wyznacznikiem otrzymanym z danego elementu poprzez skreślenie wiersza i kolumny, na przecięciu którego ten element się znajduje.Dopełnienie algebraiczne dowolnego elementu wyznacznika jest równe mollowi tego elementu, wziętemu jego znak, jeśli suma liczb wiersza i kolumny, na przecięciu którego znajduje się element, jest liczbą parzystą, oraz znakiem przeciwnym, jeśli liczba ta jest nieparzysta. Dopełnienie algebraiczne elementu będziemy oznaczać przez wielka litera o tej samej nazwie i takim samym numerze jak litera oznaczająca sam element WŁAŚCIWOŚĆ 9. Wyznacznik

jest równa sumie iloczynów elementów dowolnej kolumny (lub wiersza) przez ich uzupełnienia algebraiczne.

Wyznacznik. Jest to wielomian, który łączy elementy macierzy kwadratowej w taki sposób, że przy transpozycji i liniowych kombinacjach wierszy lub kolumn jego wartość zostaje zachowana, czyli wyznacznik charakteryzuje zawartość macierzy. W szczególności, jeśli macierz ma liniowo zależne wiersze lub kolumny, wyznacznik jest równy zeru. Wyznacznik odgrywa kluczową rolę w rozwiązywaniu układów równań liniowych w postaci ogólnej, na jego podstawie wprowadzane są podstawowe pojęcia. W ogólnym przypadku macierz można zdefiniować po dowolnym pierścieniu przemiennym, w tym przypadku wyznacznikiem będzie element tego samego pierścienia.Wyznacznik macierzy A oznaczamy jako: det(A), |A| lub Δ(A).

5.macierz osobliwa. macierz odwrotna, jej własności, obliczenia, twierdzenie o istnieniu.

Odpowiedź: Macierz kwadratowa A nazywana jest macierzą zdegenerowaną, specjalną (osobliwą), jeśli jej wyznacznik (Δ) jest równy zero. W przeciwnym razie mówi się, że macierz A jest nieosobliwa.

Rozważmy problem zdefiniowania odwrotnej operacji mnożenia macierzy.

Niech będzie macierzą kwadratową porządku . Macierz spełniająca wraz z podaną macierzą równości:

To się nazywa odwrócenie. Macierz nazywa się odwracalną, jeśli istnieje dla niej odwrotność, w przeciwnym razie jest ona nieodwracalna.

Z definicji wynika, że jeśli istnieje macierz odwrotna, to jest ona kwadratowa tego samego rzędu co . Jednak nie każda macierz kwadratowa ma odwrotność. Jeśli wyznacznik macierzy wynosi zero, to nie ma dla niej odwrotności. Faktycznie stosując twierdzenie o wyznaczniku iloczynu macierzy dla macierzy jednostkowej otrzymujemy sprzeczność

Ponieważ wyznacznik macierzy jednostkowej jest równy 1. Okazuje się, że niezerowy wyznacznik macierzy kwadratowej jest jedynym warunkiem istnienia macierzy odwrotnej. Przypomnijmy, że macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zero, nazywa się liczbą pojedynczą (pojedynczą); w przeciwnym razie nazywa się ją niezdegenerowaną (niepojedynczą).

Twierdzenie 4.1 o istnieniu i jednoznaczności macierzy odwrotnej. Macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od zera, ma macierz odwrotną i tylko jedną:

(4.1)

gdzie jest macierzą transponowaną dla macierzy złożonej z algebraicznych uzupełnień elementów macierzy.

Macierz nazywana jest macierzą sprzężoną względem macierzy.

W rzeczywistości macierz istnieje pod warunkiem . Należy pokazać, że jest to odwrotność , tj. spełnia dwa warunki:

Udowodnimy pierwszą równość. Zgodnie z paragrafem 4 uwag 2.3 z właściwości wyznacznika wynika, że . Dlatego

co trzeba było pokazać. Drugą równość dowodzi się w podobny sposób. Dlatego pod warunkiem, że macierz ma odwrotność

Jedyność macierzy odwrotnej udowodnimy przez sprzeczność. Załóżmy, że oprócz macierzy istnieje inna macierz odwrotna takie, że. Mnożąc obie strony tej równości od lewej strony przez macierz, otrzymujemy . Zatem jest to sprzeczne z założeniem. Dlatego macierz odwrotna jest wyjątkowa.

Uwagi 4.1

1. Z definicji wynika, że macierze i są przemienne.

2. Odwrotność nieosobliwej macierzy diagonalnej jest również przekątna:

3. Odwrotnością nieosobliwej dolnej (górnej) macierzy trójkątnej jest dolny (górny) trójkąt.

4. Macierze elementarne mają odwrotności, które również są elementarne (patrz paragraf 1 uwag 1.11).

Własności macierzy odwrotnej

Operacja inwersji macierzy ma następujące właściwości:

Jeśli operacje określone w równościach 1-4 mają sens.

Udowodnijmy własność 2: jeśli iloczyn nieosobliwych macierzy kwadratowych tego samego rzędu ma macierz odwrotną, to .

Rzeczywiście, wyznacznik iloczynu macierzy nie jest równy zeru, ponieważ

Dlatego macierz odwrotna istnieje i jest unikalna. Pokażmy z definicji, że macierz jest odwrotnością macierzy. Naprawdę:

Wyjątkowość macierzy odwrotnej implikuje równość. Udowodniono drugą własność. Pozostałe własności dowodzi się w podobny sposób.

Uwagi 4.2

1. W przypadku macierzy zespolonej zachodzi równość podobna do własności 3:

Gdzie jest operacja koniugacji macierzy.

2. Operacja inwersji macierzy pozwala wyznaczyć ujemną potęgę całkowitą macierzy. Dla macierzy nieosobliwej i dowolnej liczby naturalnej definiujemy .

6.układy równań liniowych. Współczynniki dla nieznanych, dowolnych terminów. Rozwiązywanie układu równań liniowych. Zgodność układu równań liniowych. Układ liniowych równań jednorodnych i jego cechy.

Odpowiedź: Układ liniowych równań algebraicznych zawierający m równań i n niewiadomych nazywamy układem postaci

gdzie liczby a ij nazywane są współczynnikami systemowymi, liczby b i nazywane są terminami wolnymi. Należy znaleźć liczby x n.

Wygodnie jest napisać taki system w postaci zwartej macierzy

Tutaj A jest macierzą współczynników układu, zwaną macierzą główną;

Wektor kolumnowy niewiadomych x j .

Wektor kolumnowy wolnych terminów b i .

Iloczyn macierzy A*X jest określony, ponieważ w macierzy A jest tyle kolumn, ile wierszy w macierzy X (n sztuk).

Rozbudowana macierz systemu to macierz A systemu, uzupełniona kolumną wolnych terminów

Rozwiązaniem układu jest n wartości niewiadomych x 1 =c 1, x 2 =c 2, ..., x n =c n, po podstawieniu których wszystkie równania układu zamieniają się w prawdziwe równości. Każde rozwiązanie układu można zapisać w postaci macierzy kolumnowej

Układ równań nazywamy spójnym, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójnym, jeśli nie ma żadnego rozwiązania.

Mówi się, że system spójny jest określony, jeśli ma jedno rozwiązanie, i nieokreślony, jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie. W tym drugim przypadku każde z jego rozwiązań nazywane jest szczególnym rozwiązaniem układu. Zbiór wszystkich rozwiązań szczegółowych nazywamy rozwiązaniem ogólnym.

Rozwiązanie systemu oznacza sprawdzenie, czy jest on kompatybilny, czy niespójny. Jeżeli układ jest spójny, znajdź jego rozwiązanie ogólne.

Dwa układy nazywane są równoważnymi (równoważnymi), jeśli mają to samo rozwiązanie ogólne. Innymi słowy, systemy są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego z nich jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

Układy równoważne uzyskuje się w szczególności poprzez elementarne przekształcenia układu, pod warunkiem, że przekształcenia dokonywane są tylko na wierszach macierzy.

Układ równań liniowych nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe zero:

Układ jednorodny jest zawsze spójny, ponieważ x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 jest rozwiązaniem układu. To rozwiązanie nazywa się zerowym lub trywialnym.

4.2. Rozwiązywanie układów równań liniowych.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Niech zostanie dany dowolny układ n równań liniowych z n niewiadomymi

Kompleksową odpowiedź na pytanie o kompatybilność tego układu daje twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Twierdzenie 4.1. Układ liniowych równań algebraicznych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy stopień rozszerzonej macierzy układu jest równy rządowi macierzy głównej.

Przyjmijmy to bez dowodu.

Zasady praktycznego poszukiwania wszystkich rozwiązań jednoczesnego układu równań liniowych wynikają z poniższych twierdzeń.

Twierdzenie 4.2. Jeżeli stopień wspólnego układu jest równy liczbie niewiadomych, to układ ma rozwiązanie unikalne.

Twierdzenie 4.3. Jeśli stopień wspólnego układu jest mniejszy niż liczba niewiadomych, to układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zasada rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych

1. Znajdź szeregi macierzy głównej i rozszerzonej układu. Jeśli r(A)≠r(A), to układ jest niespójny.

2. Jeżeli r(A)=r(A)=r, to układ jest niesprzeczny. Znajdź dowolną bazę moll rzędu r (przypomnienie: baza, której rząd określa rząd macierzy, nazywa się bazą). Weź r równań, których współczynniki stanowią podstawę mniejszą (pozostałe równania odrzuć). Niewiadome, których współczynniki są zawarte w molowej podstawie, nazywane są głównymi i pozostawiane po lewej stronie, a pozostałe n-r niewiadome nazywane są wolnymi i przenoszone na prawą stronę równań.

3. Znajdź wyrażenia głównych niewiadomych w postaci wolnych. Otrzymuje się ogólne rozwiązanie układu.

4. Podając dowolne wartości wolnym niewiadomym, otrzymujemy odpowiadające im wartości głównych niewiadomych. W ten sposób można znaleźć częściowe rozwiązania pierwotnego układu równań.

Przykład 4.1.

4.3 Rozwiązanie niezdegenerowanych układów liniowych. Wzory Cramera

Niech będzie dany układ n równań liniowych z n niewiadomymi

(4.1)

lub w postaci macierzowej A*X=B.

Główna macierz A takiego układu jest kwadratowa. Wyznacznik tej macierzy

nazywa się wyznacznikiem układu. Jeżeli wyznacznik układu jest różny od zera, wówczas układ nazywa się niezdegenerowanym.

Znajdźmy rozwiązanie tego układu równań w przypadku D¹0

Mnożąc obie strony równania A*X=B po lewej stronie przez macierz A -1, otrzymujemy

A -1 *A*X=A -1 *B Od. Zatem A -1 *A=E i E*X=X

Znalezienie rozwiązania układu za pomocą wzoru (4.1) nazywa się macierzową metodą rozwiązywania układu.

W formularzu zapisujemy równość macierzy (4.1).

Wynika, że

Ale następuje rozkład wyznacznika

przez elementy pierwszej kolumny. Wyznacznik D 1 otrzymuje się z wyznacznika D, zastępując pierwszą kolumnę współczynników kolumną wyrazów fikcyjnych. Więc,

Podobnie:

gdzie D2 otrzymuje się z D poprzez zastąpienie drugiej kolumny współczynników kolumną fikcyjnych terminów:

nazywane są wzorami Cramera.

Zatem niezdegenerowany układ n równań liniowych z n niewiadomymi ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą macierzową (4.1) lub korzystając ze wzorów Cramera (4.2).

Przykład 4.3.

4.4 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa

Jedną z najbardziej uniwersalnych i skutecznych metod rozwiązywania liniowych układów algebraicznych jest metoda Gaussa, która polega na sekwencyjnej eliminacji niewiadomych.

Niech będzie dany układ równań

Proces rozwiązania Gaussa składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie (skok bezpośredni) system zostaje zredukowany do formy schodkowej (w szczególności trójkątnej).

Poniższy system ma formę krokową

Współczynniki aii nazywane są głównymi elementami układu.

W drugim etapie (odwrotnym) następuje sekwencyjne wyznaczanie niewiadomych z tego układu krokowego.

Opiszemy bardziej szczegółowo metodę Gaussa.

Przekształćmy układ (4.3), eliminując niewiadomą x1 we wszystkich równaniach z wyjątkiem pierwszego (wykorzystując elementarne transformacje układu). Aby to zrobić, mnożymy obie strony pierwszego równania przez i dodajemy je wyraz po wyrazie do drugiego równania układu. Następnie mnożymy obie strony pierwszego równania przez i dodajemy je do trzeciego równania układu. Kontynuując ten proces, otrzymujemy układ równoważny

Oto nowe wartości współczynników i prawych stron, które uzyskano po pierwszym kroku.

Podobnie, biorąc pod uwagę element główny, wykluczamy niewiadomą x 2 ze wszystkich równań układu, z wyjątkiem pierwszego i drugiego, i tak dalej. Kontynuujemy ten proces tak długo, jak to możliwe.

Jeżeli w procesie redukcji układu (4.3) do postaci schodkowej pojawią się równania zerowe, czyli równości postaci 0 = 0, to je odrzucamy. Jeżeli pojawi się równanie postaci oznacza to niekompatybilność systemu.

Drugi etap (odwrotny) polega na rozwiązaniu układu schodkowego. Stopniowy układ równań, ogólnie rzecz biorąc, ma nieskończoną liczbę rozwiązań.W ostatnim równaniu tego układu wyrażamy pierwszą niewiadomą x k poprzez pozostałe niewiadome (x k+ 1,…,x n). Następnie podstawiamy wartość x k do przedostatniego równania układu i wyrażamy x k-1 do (x k+ 1,…,x n). , następnie znajdź x k-2 ,…,x 1. . Podanie wolnych niewiadomych (x k+ 1,…,x n). dowolnych wartości, otrzymujemy nieskończoną liczbę rozwiązań układu.

Uwagi:

1. Jeżeli układ schodkowy okaże się trójkątny, tj. k=n, to pierwotny układ ma rozwiązanie jednoznaczne. Z ostatniego równania znajdujemy x n z przedostatniego równania x n-1, następnie przechodząc przez układ, znajdujemy wszystkie pozostałe niewiadome (x n-1,...,x 1).

2. W praktyce wygodniej jest pracować nie z systemem (4.3), ale z jego rozszerzoną macierzą, wykonując wszystkie elementarne przekształcenia na jego wierszach. Wygodnie jest, aby współczynnik a 11 był równy 1 (przekształć równania lub podziel obie strony równania przez 11 ¹1).

Przykład 4.4.

Rozwiązanie: W wyniku elementarnych przekształceń po rozszerzonej macierzy układu

oryginalny system został zredukowany do stopniowego:

Zatem ogólne rozwiązanie układu: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Jeśli wstawimy np. x 3 =0,x 4 =0, to otrzymamy znajdź jedno z konkretnych rozwiązań tego układu x 1 =-1,x 2 =-3,x 3 =0,x 4 =0.

Przykład 4.5.

Rozwiąż układ metodą Gaussa:

Rozwiązanie: Dokonajmy elementarnych przekształceń na liniach rozszerzonej macierzy układu:

Otrzymana macierz odpowiada systemowi

Wykonując ruch odwrotny, znajdujemy x 3 =1, x 2 =1, x 1 =1.

4.5 Układy liniowych równań jednorodnych

Niech będzie dany układ liniowych równań jednorodnych

Oczywiście układ jednorodny jest zawsze spójny i ma rozwiązanie zerowe (trywialne) x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

W jakich warunkach układ jednorodny ma rozwiązania niezerowe?

Twierdzenie 4.4. Aby układ równań jednorodnych miał rozwiązania niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby rząd r jego głównej macierzy był mniejszy od liczby n niewiadomych, czyli r

Konieczność.

Ponieważ ranga nie może przekraczać rozmiaru macierzy, to oczywiście r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Oznacza to, że nie ma innych rozwiązań niż trywialne. Jeśli więc istnieje nietrywialne rozwiązanie, to r

Adekwatność:

Niech r

Twierdzenie 4.5. Aby jednorodny układ n równań liniowych z n niewiadomymi miał rozwiązania niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby jego wyznacznik D był równy zeru, czyli D=0.

Jeśli układ ma rozwiązania niezerowe, to D=0. Ponieważ dla D¹0 układ ma tylko unikalne, zerowe rozwiązanie. Jeżeli D=0, to stopień r macierzy głównej układu jest mniejszy od liczby niewiadomych, tj. R

Przykład 4.6.

Rozwiąż system

Stawiając x 3 =0, otrzymujemy jedno szczególne rozwiązanie: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Wstawiając x 3 =1, otrzymujemy drugie szczególne rozwiązanie: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 itd.

DOPEŁNIENIA ALGEBRAI I DOLNE

Mamy wyznacznik trzeciego rzędu: .

Drobny, odpowiadający temu elementowi ij wyznacznikiem trzeciego rzędu nazywa się wyznacznikiem drugiego rzędu uzyskanym z danego przez usunięcie wiersza i kolumny, na przecięciu którego znajduje się dany element, tj. I-ta linia i J kolumna. Minory odpowiadające danemu elementowi ij będziemy oznaczać M ij.

Na przykład, drobny M 12, odpowiadający elementowi 12, będzie wyznacznik , co uzyskuje się poprzez usunięcie pierwszego wiersza i drugiej kolumny z tego wyznacznika.

Zatem wzór określający wyznacznik trzeciego rzędu pokazuje, że wyznacznik ten jest równy sumie iloczynów elementów pierwszego rzędu przez ich odpowiednie niepełnoletnie; w tym przypadku minor odpowiadający elementowi 12, przyjmuje się ze znakiem „–”, tj. możemy to napisać

(1)

Podobnie można wprowadzić definicje nieletnich dla wyznaczników drugiego i wyższego rzędu.

Wprowadźmy jeszcze jedną koncepcję.

Dopełnienie algebraiczne element ij wyznacznik nazywa się jego mniejszym M ij, pomnożone przez (–1) i+j.

Dopełnienie algebraiczne elementu ij oznaczony przez Ij.

Z definicji wynika, że związek pomiędzy dopełnieniem algebraicznym elementu a jego mollem wyraża się równością Ij= (–1) i+j Mij.

Na przykład,

Przykład. Podano wyznacznik. Znajdować A 13, A 21, A 32.

Łatwo zauważyć, że stosując algebraiczne dodawanie elementów, wzór (1) można zapisać jako:

Podobnie jak w tym wzorze, można uzyskać rozwinięcie wyznacznika na elementy dowolnego wiersza lub kolumny.

Na przykład rozkład wyznacznika na elementy drugiego rzędu można uzyskać w następujący sposób. Zgodnie z własnością 2 wyznacznika mamy:

Rozwińmy powstały wyznacznik na elementy pierwszego rzędu.

(2)

Stąd ponieważ Wyznaczniki drugiego rzędu we wzorze (2) są elementami drugorzędnymi 21, 22, 23. Zatem, tj. otrzymaliśmy rozkład wyznacznika na elementy drugiego rzędu.

Podobnie możemy otrzymać rozwinięcie wyznacznika na elementy trzeciego rzędu. Korzystając z właściwości 1 wyznaczników (o transpozycji), możemy pokazać, że podobne rozwinięcia obowiązują również przy rozszerzaniu po elementach kolumn.

Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie (o rozwinięciu wyznacznika w danym wierszu lub kolumnie). Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów któregokolwiek z jego wierszy (lub kolumn) i ich uzupełnień algebraicznych.

Wszystko powyższe odnosi się również do wyznaczników dowolnego wyższego rzędu.

Przykłady.

MACIER ODWROTNA

Pojęcie macierzy odwrotnej zostało wprowadzone tylko dla macierze kwadratowe.

Jeśli A jest zatem macierzą kwadratową odwracać dla niego macierz jest macierzą, oznaczoną A-1 i spełniający warunek. (Definicja ta jest wprowadzana przez analogię do mnożenia liczb)