Jak budować obwody logiczne. Układy logiczne i wyrażenia logiczne

Przykład rozwiązywania problemów logicznych za pomocą algebry logicznej

Logika

Obwód logiczny to schematyczne przedstawienie urządzenia składającego się z przełączników i łączących je przewodów, a także wejść i wyjść, do których doprowadzany i usuwany jest sygnał elektryczny.

Każdy przełącznik ma tylko dwa stany: Zamknięte I otwarty. Łączymy przełącznik X ze zmienną logiczną x, która przyjmuje wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy przełącznik X jest zamknięty, a obwód przewodzi prąd; jeśli przełącznik jest otwarty, wówczas x wynosi zero.

Obydwa schematy nazywane są równowartość , jeśli prąd przepływa przez jeden z nich wtedy i tylko wtedy, gdy przepływa przez drugi (dla tego samego sygnału wejściowego).

Z dwóch równoważnych obwodów prostszy obwód to ten, którego funkcja przewodności zawiera mniejszą liczbę operacji logicznych lub przełączników.

Rozważając obwody przełączające, pojawiają się dwa główne problemy: synteza I analiza schemat.

SYNTEZA SCHEMATU według danych warunków jego działania sprowadza się do trzech etapów:

1. zestawianie funkcji przewodnictwa przy użyciu tabeli prawdy odzwierciedlającej te warunki;
2. uproszczenie tej funkcji;
3. zbudowanie odpowiedniego diagramu.

ANALIZA SCHEMATU sprowadza się do:

1. wyznaczenie wartości jej funkcji przewodności dla wszystkich możliwych zbiorów zmiennych wchodzących w skład tej funkcji.
2. uzyskując uproszczoną formułę.

Zadanie: Utwórz tabelę prawdy dla tej formuły: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).

Rozwiązanie: Przydatne jest uwzględnienie tablic prawdy funkcji pośrednich w tabeli prawdy tego wzoru:

xyz	x~z	x y	y z	(x y) ~ (y z)	(x~ z)|((x y) ~ (yz)

Wytyczne do wykonania zadania praktycznego nr 2. „Algebra logiki”. Budowa tablic prawdy.

Cel pracy: Zapoznaj się z podstawowymi operacjami arytmetycznymi, podstawowymi elementami logicznymi (AND, NAND, OR, NOR, XOR) i poznaj metody konstruowania na ich podstawie tablic prawdy.

Ćwiczenia:

1. W Załączniku 2 wybierz opcję zadania i utwórz tabela prawdy .

2. Wykonaj zadanie na przykładzie rozwiązywania problemów logicznych z wykorzystaniem algebry logicznej.

Zadanie:

Zbuduj obwód logiczny, korzystając z podanego wyrażenia logicznego:

F =`BA + B`A + C`B.

Rozwiązanie:

Z reguły konstrukcję i obliczenia dowolnego obwodu przeprowadza się, zaczynając od jego wyjścia.

Pierwszy etap: dodawanie logiczne, wykonywana jest operacja logiczna OR, biorąc pod uwagę funkcje `BA A, B`A i C`B jako zmienne wejściowe:

Druga faza: Elementy logiczne AND są podłączone do wejść elementu OR, którego zmiennymi wejściowymi są już A, B, C i ich odwrotności:

Trzeci etap: w celu uzyskania inwersji `A i `B, na odpowiednich wejściach instaluje się falowniki:

Konstrukcja ta opiera się na następującej cesze: ponieważ wartościami funkcji logicznych mogą być tylko zera i jedynki, dowolne funkcje logiczne można przedstawić jako argumenty innych, bardziej złożonych funkcji. W ten sposób konstrukcja obwodu logicznego odbywa się od wyjścia do wejścia.

Wytyczne do wykonania zadania praktycznego nr 3. „Algebra logiki”. Budowa obwodów logicznych

Cel pracy: Zapoznanie się z podstawowymi operacjami arytmetycznymi, podstawowymi elementami logicznymi (AND, NAND, OR, NOR, XOR) oraz badaniem metod budowy na ich podstawie najprostszych układów logicznych.

Ćwiczenia:

1. W dodatku 2 wybierz opcję zadania i zbuduj obwód logiczny .

2. Wykonaj zadanie na przykładzie budowy układów logicznych.

3. Przygotuj pracę w zeszycie do pracy praktycznej.

4. Zaprezentuj nauczycielowi wynik pracy.

5. Obroń wykonaną pracę przed nauczycielem.

Załącznik 2. Tabela opcji zadań

Utwórz tabelę prawdy i diagram logiczny dla tych operacji
Opcja	Operacje

4. Zadanie indywidualne. Moduł 1. „Budowa układów logicznych z wykorzystaniem podanych wyrażeń Boole’a”

Zadania dla IDZ:

1. W Załączniku 3 wybierz opcję dla pojedynczego zadania.
2. Wykonaj zadanie, korzystając z informacji teoretycznych
3. Sprawdź diagram logiczny z nauczycielem.
4. Wypełnij IDZ w formacie A4, strona tytułowa według przykładu w Załączniku nr 4.
5. Efekt pracy zaprezentuj nauczycielowi.
6. Przedstaw swoją pracę nauczycielowi.

Załącznik nr 3. Tabela opcji poszczególnych zadań

Opcje	Utwórz tabelę prawdy i diagram logiczny za pomocą formuł

Załącznik nr 4. Strona tytułowa IDZ

Sekcje: Informatyka

Cele:

1. Edukacyjne

• Podstawowe operacje logiczne.
• Budowa tablic prawdy dla zdań złożonych.
• Układy logiczne i wyrażenia logiczne.

2. Rozwojowe

• Rozwój działalności badawczej i edukacyjnej.
• Odpowiedz zwięźle, wyczerpująco i sensownie oraz wyciągnij ogólne wnioski.

3. Edukacyjne

• Kształtowanie dokładności podczas pracy z komputerem.
• Zrozumienie powiązań pomiędzy innymi uczniami a kulturą zachowań.

Typ lekcji:łączny

Metody organizacji zajęć edukacyjnych:

• czołowy
• indywidualny
• student informatyki

Oprogramowanie i oprogramowanie dydaktyczne: PC, prezentacja, zadanie praktyczne, materiały informacyjne, Electronics Workbench (EWB512), PowerPoint.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Moment organizacyjny.

II. Aktualizacja wcześniej przestudiowanego materiału i sprawdzenie pracy domowej.

Zadania do wykonania w zeszycie i na tablicy.

nr 1. Utwórz tabele prawdy dla następujących wyrażeń logicznych:

Nr 3. Narysuj na tablicy elementy logiczne AND, OR, NOT, NAND, NOR.

III. Nowy materiał.

Naukowcy i inżynierowie od dawna zastanawiali się nad możliwościami wykorzystania logiki w technologii. Na przykład holenderski fizyk Paul Ehrenfest (1880 - 1933) napisał w 1910 roku: „...Niech powstanie projekt schematu elektrycznego automatycznej centrali telefonicznej. Musimy określić:

1) czy będzie on prawidłowo funkcjonował w przypadku dowolnej kombinacji, jaka może wystąpić w trakcie eksploatacji instalacji;
2) czy zawiera niepotrzebne komplikacje.

Każda taka kombinacja jest przesłanką, każdy mały komutator jest logicznym „albo-albo” ucieleśnionym w ebonicie i mosiądzu; w sumie - system czysto jakościowych… „przesłanek”, nie pozostawiający nic do życzenia pod względem złożoności i zawiłości… Czy to prawda, że ​​pomimo istnienia algebry logiki, rodzaj „algebry rozkładu” obwodów” należy uznać za utopię?

Stworzony później przez M.A. Gavrilov (1903 - 1979) teoria obwodów styków przekaźnikowych pokazała, że ​​wcale nie jest to utopia.

Spójrzmy na mikroukład. Na pierwszy rzut oka nie widzimy niczego, co mogłoby nas zaskoczyć!
Jeśli jednak przyjrzymy się mu w dużym powiększeniu, zadziwi nas smukłą architekturą. Aby zrozumieć jak to działa należy pamiętać, że komputer działa na prąd, czyli każda informacja prezentowana jest w komputerze w postaci impulsów elektrycznych.

Dlaczego konieczna jest umiejętność budowania układów logicznych?

Faktem jest, że bramki służą do tworzenia bardziej złożonych obwodów, które pozwalają wykonywać operacje arytmetyczne i przechowywać informacje. Co więcej, obwód realizujący określone funkcje można zbudować z różnych kombinacji i ilości bramek. Dlatego znaczenie formalnej reprezentacji diagramu logicznego jest niezwykle duże. Jest to konieczne, aby programista miał możliwość wyboru najbardziej odpowiedniej opcji budowy obwodu z bramek. Proces tworzenia ogólnego obwodu logicznego urządzenia (w tym komputera jako całości) staje się hierarchiczny, a na każdym kolejnym poziomie jako „cegiełki” wykorzystywane są utworzone na poprzednim etapie obwody logiczne.
Algebra logiki dała projektantom potężne narzędzie do opracowywania, analizowania i ulepszania obwodów logicznych. Tak naprawdę znacznie łatwiej, szybciej i taniej jest zbadać właściwości i wykazać poprawność działania obwodu za pomocą wzoru, który to wyraża, niż stworzyć prawdziwe urządzenie techniczne. Takie jest właśnie znaczenie każdego modelowania matematycznego.

Obwody logiczne muszą być zbudowane z jak najmniejszej liczby elementów, co z kolei zapewnia większą prędkość działania i zwiększa niezawodność urządzenia.

Zasada budowy obwodów logicznych:

1) Określ liczbę zmiennych logicznych.
2) Określ liczbę podstawowych operacji logicznych i ich kolejność.
3) Narysuj odpowiednią bramkę dla każdej operacji logicznej i połącz bramki w kolejności wykonywania operacji logicznych.

Rozważmy dwa przykłady przejścia od wyrażenia do schematu. (Prezentacja)

Rozważmy dwa przykłady przejścia od schematu do wyrażenia. (Prezentacja)

Częściej w życiu zdarza się sytuacja, gdy wynik jest znany i aby go wdrożyć, konieczne jest zbudowanie urządzenia.

Rozważ następujący problem: (Prezentacja)

Zadanie 1. W domu dwupiętrowym klatkę schodową oświetla jedna lampa X. Na pierwszym piętrze znajduje się jeden włącznik A, na drugim piętrze - włącznik B. Jeżeli A jest włączone, lampa się zapala. Kiedy wejdziesz na drugie piętro i włączysz B, lampa zgaśnie. Jeżeli ktoś wyjdzie i naciśnie B to lampa się zaświeci, przy zejściu na piętro i naciśnięciu A powinna zgasnąć.

Algorytm rozwiązania:

• Utwórz tabelę prawdy.
• Zdefiniuj funkcję logiczną.
• Zbuduj diagram logiczny.

A	B	X
0	0	0
1	0	1
1	1	0
0	1	1
0	0	0

Aby utworzyć funkcję logiczną za pomocą tabeli prawdy, należy zapisać wartości zmiennej wyjściowej.

Pomiędzy wierszami tabeli będzie znajdować się logiczny znak dodawania, a pomiędzy kolumnami logiczny znak mnożenia .

IV. Konsolidacja badanego materiału.

Pracuj przy tablicy i w zeszycie, korzystając z kart.

nr 1. Korzystając z wyrażenia logicznego, zbuduj obwód logiczny:

Nr 2. Korzystając ze diagramu logicznego, utwórz wyrażenie logiczne:

V. Warsztat komputerowy.

Praktyczna praca na stanowisku Electronics Workbench (EWB512).

opcja 1

1. Uprość wyrażenie logiczne

2. Sprawdź swoją pracę za pomocą Electronics Workbench:

Zapisz oryginalne wyrażenie w konwerterze logicznym;
- Zrób tabelę prawdy
- Uprość wyrażenie za pomocą
- Zbuduj uproszczony obwód logiczny .

3. Sprawdź poprawność dokonanych uproszczeń.

VI. Praca domowa:

a) uprościć wyrażenie logiczne, zbudować obwód logiczny i tablicę prawdy
b) korzystając z tabeli prawdy (00001011), ułóż wyrażenie, uprość je, narysuj diagram.

Praca laboratoryjna nr 2. Algebra logiki

Cel pracy

Naucz się podstaw algebry logicznej.

Zadania laboratoryjne

W wyniku zaliczenia zajęć student musi:

• definicje podstawowych pojęć (zdania proste i złożone, operacje logiczne, wyrażenia logiczne, funkcja logiczna);
• kolejność wykonywania operacji logicznych;
• algorytm konstruowania tablic prawdy;
• obwody podstawowych elementów logicznych;
• prawa logiki i zasady przekształcania wyrażeń logicznych;

• stosować bramki logiczne do upraszczania wyrażeń logicznych;
• budować tabele prawdy;
• budować diagramy logiczne złożonych wyrażeń.

Ogólne informacje teoretyczne

Podstawowe pojęcia algebry logicznej

Logiczną podstawą komputera jest algebra logiki, która uwzględnia operacje logiczne na instrukcjach.

Algebra logiki to dział matematyki zajmujący się badaniem zdań rozpatrywanych z punktu widzenia ich logicznych znaczeń (prawda lub fałsz) i operacji logicznych na nich.

Logiczne stwierdzenie to dowolne zdanie oznajmujące, o którym można jednoznacznie stwierdzić, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Przykład.„3 jest liczbą pierwszą” jest twierdzeniem, ponieważ jest prawdziwe.

Nie każde zdanie jest logicznym stwierdzeniem.

Przykład. zdanie „Chodźmy do kina” nie jest wypowiedzią. Zdania pytające i motywujące nie są stwierdzeniami.

Wyrazista forma jest zdaniem deklaratywnym, które bezpośrednio lub pośrednio zawiera co najmniej jedną zmienną i staje się stwierdzeniem, gdy wszystkie zmienne zostaną zastąpione ich wartościami.

Przykład.„x+2>5” jest formą ekspresyjną, która jest prawdziwa dla x>3, w przeciwnym razie jest fałszywa.

Algebra logiczna rozpatruje każde stwierdzenie tylko z jednego punktu widzenia – niezależnie od tego, czy jest ono prawdziwe, czy fałszywe. Słowa i wyrażenia „nie”, „i”, „lub”, „jeśli…, to”, „wtedy i tylko wtedy” i inne pozwalają na budowanie nowych wypowiedzi z już podanych. Takie słowa i wyrażenia nazywane są łączniki logiczne.

Nazywa się instrukcje utworzone z innych instrukcji za pomocą spójników logicznych złożony(skomplikowane). Instrukcje, które nie są złożone, nazywane są podstawowy(prosty).

Przykład. Zdanie „Liczba 6 jest podzielna przez 2” jest prostym stwierdzeniem. Zdanie „Liczba 6 jest dzielona przez 2, a liczba 6 jest dzielona przez 3” jest zdaniem złożonym utworzonym z dwóch prostych za pomocą łącznika logicznego „i”.

Prawdziwość lub fałszywość zdań złożonych zależy od prawdziwości lub fałszywości zdań elementarnych, z których się składają.

Aby odnieść się do zdań logicznych, nadano im nazwy.

Przykład. Oznaczmy przez A proste stwierdzenie „liczba 6 jest podzielna przez 2”, a przez B proste stwierdzenie „liczba 6 dzieli się przez 3”. Wtedy zdanie złożone „Liczba 6 jest podzielna przez 2, a liczba 6 jest podzielna przez 3” można zapisać jako „A i B”. Tutaj „i” jest łącznikiem logicznym, A, B są zmiennymi logicznymi, które mogą przyjmować tylko dwie wartości - „prawda” lub „fałsz”, oznaczone odpowiednio „1” i „0”.

Każdy łącznik logiczny traktowany jest jako operacja na zdaniach logicznych i ma swoją nazwę oraz oznaczenie (tabela 1).

Tabela 1. Podstawowe operacje logiczne

NIE Operację wyrażoną słowem „nie” nazywa się odmowa i jest oznaczony linią nad oświadczeniem (lub znakiem). Zdanie A jest prawdziwe, gdy A jest fałszywe, i fałszywe, gdy A jest prawdziwe.

Przykład. Niech A = „Dzisiaj jest pochmurno”, następnie A = „Dzisiaj nie jest pochmurno”.

I Operacja wyrażona łącznikiem „i” nazywa się spójnik(łac. conjunctio - połączenie) lub mnożenie logiczne i jest oznaczone kropką „ ” (może być również oznaczone znakami lub &). Zdanie A B jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania A i B są prawdziwe.

Przykład. Stwierdzenie „Liczba 6 jest podzielna przez 2, a liczba 6 jest podzielna przez 3” jest prawdziwe, ale stwierdzenie „Liczba 6 jest podzielna przez 2, a liczba 6 jest większa niż 10” jest fałszywe.

LUB Operacja wyrażona łącznikiem „lub” (w niewyłącznym znaczeniu tego słowa) nazywa się dysjunkcja(łac. disjunctio - dzielenie) lub dodatek logiczny i jest oznaczony znakiem

(lub plusem). Zdanie A B jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania A i B są fałszywe.

Przykład: Stwierdzenie „Liczba 6 jest podzielna przez 2 lub liczba 6 jest większa niż 10” jest prawdziwe, a stwierdzenie „Liczba 6 jest podzielna przez 5 lub liczba 6 jest większa niż 10” jest fałszywe.

JEŚLI NASTĘPNIE Operacja wyrażona spójnikami „jeśli… to”, „z… wynika”, „… implikuje…” nazywa się implikacja(łac. implico - blisko spokrewniony) i jest oznaczony znakiem →. Zdanie A → B jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy A jest prawdziwe, a B jest fałszywe.

Przykład. Powiedzenie „jeśli student zda wszystkie egzaminy z oceną doskonałą, otrzyma stypendium”. Oczywiście tę implikację należy uznać za fałszywą tylko w przypadku, gdy student zdał wszystkie egzaminy „celowo”, ale nie otrzymał stypendium. W innych przypadkach, gdy nie wszystkie egzaminy zdano „celowo” i otrzymano stypendium (np. ze względu na to, że student żyje w ubogiej rodzinie) lub gdy w ogóle nie zdano egzaminów i nie ma w kwestii stypendium, tę implikację można uznać za prawdziwą.

RÓWNE Działanie wyrażone spójnikami „wtedy i tylko wtedy”, „konieczne i wystarczające”, „... jest równoważne ...” nazywa się równowartość Lub podwójna implikacja i jest oznaczony przez ↔ lub ~. Stwierdzenie A↔B jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wartości A i B są zbieżne.

Przykład: Stwierdzenie „Liczba jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 2 bez reszty” jest prawdziwe, a stwierdzenie „Liczba jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 2 bez reszty” jest fałszywe.

LUB ALBO Operacja wyrażona łącznikami „Albo... albo” nazywa się wyłączne LUB Lub dodawanie modulo 2 i jest oznaczony jako XOR lub . Stwierdzenie A B jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wartości A i B nie pokrywają się.

Przykład. Zdanie „Liczba 6 jest albo nieparzysta, albo podzielna przez 2” jest prawdziwe, natomiast stwierdzenie „Albo liczba 6 jest parzysta, albo liczba 6 jest podzielna przez 3” jest fałszywe, ponieważ oba zawarte w nim stwierdzenia są prawdziwe.

Komentarz. Implikację można wyrazić poprzez alternatywę i negację:

Równoważność można wyrazić poprzez negację, alternatywę i koniunkcję:

Ekskluzywne OR można wyrazić poprzez negację, alternatywę i koniunkcję:

Wniosek. Do opisu i przetwarzania zdań logicznych wystarczą operacje negacji, alternatywy i koniunkcji.

Kolejność operacji logicznych jest określona w nawiasach. Aby jednak zmniejszyć liczbę nawiasów, zgodziliśmy się przyjąć, że najpierw wykonywana jest operacja negacji („nie”), następnie koniunkcja („i”), po koniunkcji – dysjunkcja („lub”) i wyłączność lub wreszcie implikacja i równoważność.

Za pomocą zmiennych logicznych i symboli operacji logicznych dowolne stwierdzenie można sformalizować, czyli zastąpić formułą logiczną (wyrażeniem logicznym).

Formuła logiczna jest symbolicznym zapisem wyrażenia składającego się z wielkości logicznych (stałych lub zmiennych) połączonych operacjami logicznymi (łącznikami).

Funkcja logiczna jest funkcją zmiennych logicznych, która może przyjmować tylko dwie wartości: 0 lub 1. Z kolei sama zmienna logiczna (argument funkcji logicznej) również może przyjmować tylko dwie wartości: 0 lub 1.

Przykład. – funkcja logiczna dwóch zmiennych A i B.

Wartości funkcji logicznej dla różnych kombinacji wartości zmiennych wejściowych – lub, jak się je inaczej nazywa, zbiorów zmiennych wejściowych – są zwykle określone w specjalnej tabeli. Ta tabela nazywa się tabela prawdy.

Przedstawmy tablicę prawdy podstawowych operacji logicznych (tabela 2)

Tabela 2

A	B

Na podstawie danych z tabeli prawdy podstawowych operacji logicznych można tworzyć tabele prawdy dla bardziej złożonych formuł.

Algorytm konstruowania tablic prawdy dla wyrażeń złożonych:

• liczba linii = 2 n + linia nagłówka,
• n to liczba prostych instrukcji.

• liczba kolumn = liczba zmiennych + liczba operacji logicznych;
• określić liczbę zmiennych (prostych wyrażeń);
• określić liczbę operacji logicznych i kolejność ich wykonywania.

Przykład 1. Utwórz tabelę prawdy dla formuły AND–NOT, którą można zapisać w następujący sposób: .

1. Określ liczbę linii:

Na wejściu znajdują się dwie proste instrukcje: A i B, więc n=2 i liczba linii =2 2 +1=5.

2. Określ liczbę kolumn:

Wyrażenie składa się z dwóch wyrażeń prostych (A i B) oraz dwóch operacji logicznych (1 inwersja, 1 koniunkcja), czyli: liczba kolumn tabeli prawdy = 4.

3. Wypełnij kolumny, uwzględniając tablice prawdy operacji logicznych (tabela 3).

Tabela 3. Tabela prawdy dla operacji logicznych

Uwaga: ORAZ – NIE nazywane również „Udar Schaffera”(oznaczyć |) lub „antykoniunkcja”; ALBO NIE nazywane również „Strzałka Pierce'a”(oznaczone ↓) lub „antydysjunkcja”.

Przykład 2. Utwórz tabelę prawdy dla wyrażenia logicznego.

Rozwiązanie:

1. Określ liczbę linii:

Dane wejściowe zawierają dwie proste instrukcje: A i B, więc n=2 i liczba linii=2 2 +1= 5.

2. Określ liczbę kolumn:

Wyrażenie składa się z dwóch wyrażeń prostych (A i B) oraz pięciu operacji logicznych (2 inwersje, 2 spójniki, 1 alternatywna), tj. liczba kolumn tabeli prawdy = 7.

Najpierw wykonywane są operacje inwersji, następnie operacje koniunkcji, a na końcu operacja rozłączenia.

3. Wypełnij kolumny, uwzględniając tablice prawdy operacji logicznych (tabela 5).

Tabela 5. Tabela prawdy dla operacji logicznych
Ponieważ dowolną operację logiczną można przedstawić jako kombinację trzech podstawowych operacji, dowolne urządzenia komputerowe przetwarzające lub przechowujące informacje można złożyć z podstawowych elementów logicznych, takich jak „cegły”.

Elementy logiczne komputera działają za pomocą sygnałów będących impulsami elektrycznymi. Jest impuls - logiczne znaczenie sygnału wynosi 1, brak impulsu - 0. Sygnały-wartości argumentów odbierane są na wejściach elementu logicznego, a wartość sygnału funkcji pojawia się na wyjściu.

Transformację sygnału przez element logiczny określa tablica stanów, która w rzeczywistości jest tablicą prawdy odpowiadającą funkcji logicznej, przedstawioną jedynie w postaci obwodów logicznych. W tej formie wygodnie jest przedstawić łańcuchy operacji logicznych i wykonać ich obliczenia.

Algorytm budowy obwodów logicznych.

1. Określ liczbę zmiennych logicznych.
2. Określ liczbę operacji logicznych i ich kolejność.
3. Dla każdej operacji logicznej narysuj odpowiedni element logiczny.
4. Łącz elementy logiczne w kolejności wykonywania operacji logicznych.

Przykład. Na podstawie zadanej funkcji logicznej zbuduj obwód logiczny.

Rozwiązanie.

1. Liczba zmiennych logicznych = 2 (A i B).
2. Liczba operacji = 5 (2 inwersje, 2 spójniki, 1 alternatywna). Najpierw wykonywane są operacje inwersji, następnie operacje koniunkcji, a na końcu operacja rozłączenia.
3. Obwód będzie zawierał 2 falowniki, 2 łączniki i 1 rozłącznik.
4. Konstrukcję należy rozpocząć od operacji logicznej, którą należy wykonać jako ostatnią. W tym przypadku taka operacja jest logicznym dodawaniem, dlatego wynikiem musi być dysjunktor. Sygnały doprowadzane są do niego z dwóch złączy, do których z kolei doprowadzany jest jeden normalny i jeden odwrócony sygnał wejściowy (z falowników).

Powiązana informacja.

W obwodach cyfrowych sygnał cyfrowy to sygnał, który może przyjmować dwie wartości, uważane za logiczne „1” i logiczne „0”.

Obwody logiczne mogą zawierać do 100 milionów wejść, a istnieją takie gigantyczne obwody. Wyobraź sobie, że funkcja Boole'a (równanie) takiego obwodu została utracona. Jak go przywrócić najmniejszą stratą czasu i bez błędów? Najbardziej produktywnym sposobem jest podzielenie diagramu na warstwy. W przypadku tej metody funkcja wyjściowa każdego elementu poprzedniego poziomu jest rejestrowana i zastępowana odpowiednimi danymi wejściowymi następnego poziomu. Dzisiaj rozważymy tę metodę analizy obwodów logicznych ze wszystkimi jej niuansami.

Obwody logiczne realizowane są za pomocą elementów logicznych: „NOT”, „AND”, „OR”, „AND-NOT”, „OR-NOT”, „XOR” i „Equivalence”. Pierwsze trzy elementy logiczne umożliwiają implementację dowolnej, niezależnie od tego, jak złożonej, funkcji logicznej w oparciu o zasadę Boole'a. Rozwiążemy problemy na układach logicznych zaimplementowanych precyzyjnie w oparciu o zasadę Boole'a.

Do wyznaczania elementów logicznych stosuje się kilka standardów. Najpopularniejsze to amerykańskie (ANSI), europejskie (DIN), międzynarodowe (IEC) i rosyjskie (GOST). Poniższy rysunek przedstawia oznaczenia elementów logicznych w tych normach (w celu powiększenia można kliknąć na rysunek lewym przyciskiem myszy).

Na tej lekcji będziemy rozwiązywać problemy dotyczące obwodów logicznych, w których elementy logiczne są oznaczone w standardzie GOST.

Problemy z obwodami logicznymi są dwojakiego rodzaju: zadanie syntezy obwodów logicznych i zadanie analizy obwodów logicznych. Zaczniemy od zadania drugiego typu, gdyż w tej kolejności możemy szybko nauczyć się czytać obwody logiczne.

Najczęściej w związku z konstrukcją obwodów logicznych rozważa się funkcje algebry logicznej:

• trzy zmienne (będą uwzględniane w problemach analizy i jednym problemie syntezy);
• cztery zmienne (w problemach syntezy, czyli w dwóch ostatnich akapitach).

Rozważmy budowę (syntezę) obwodów logicznych

• w bazie logicznej „AND”, „OR”, „NOT” (w przedostatnim akapicie);
• w także wspólnych podstawach „AND-NOT” i „OR-NOT” (w ostatnim akapicie).

Problem analizy obwodu logicznego

Zadaniem analizy jest określenie funkcji F, realizowanego przez dany układ logiczny. Rozwiązując taki problem, wygodnie jest przestrzegać następującej sekwencji działań.

1. Schemat logiczny jest podzielony na poziomy. Poziomom przypisane są kolejne numery.
2. Wyjścia każdego elementu logicznego są oznaczone nazwą żądanej funkcji, wyposażone w indeks cyfrowy, gdzie pierwsza cyfra to numer warstwy, a pozostałe cyfry to numer seryjny elementu w warstwie.
3. Dla każdego elementu zapisywane jest wyrażenie analityczne, które łączy jego funkcję wyjściową ze zmiennymi wejściowymi. Wyrażenie wyznacza funkcja logiczna realizowana przez dany element logiczny.
4. Zastępowanie niektórych funkcji wyjściowych innymi odbywa się aż do uzyskania funkcji logicznej wyrażonej w postaci zmiennych wejściowych.

Przykład 1.

Rozwiązanie. Obwód logiczny dzielimy na poziomy, co pokazano już na rysunku. Zapiszmy wszystkie funkcje, zaczynając od pierwszego poziomu:

X, y, z :

X	y	z					F
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	0	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	1	0	0

Przykład 2. Znajdź funkcję Boole'a obwodu logicznego i skonstruuj tablicę prawdy dla obwodu logicznego.

Przykład 3. Znajdź funkcję Boole'a obwodu logicznego i skonstruuj tablicę prawdy dla obwodu logicznego.

Kontynuujemy wspólne poszukiwanie funkcji logicznej obwodu logicznego

Przykład 4. Znajdź funkcję Boole'a obwodu logicznego i skonstruuj tablicę prawdy dla obwodu logicznego.

Rozwiązanie. Diagram logiczny dzielimy na poziomy. Zapiszmy wszystkie funkcje, zaczynając od pierwszego poziomu:

Zapiszmy teraz wszystkie funkcje, zastępując zmienne wejściowe X, y, z :

W rezultacie otrzymujemy funkcję, którą obwód logiczny realizuje na wyjściu:

.

Tabela prawdy dla tego obwodu logicznego:

X	y	z			F
1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1

Przykład 5. Znajdź funkcję Boole'a obwodu logicznego i skonstruuj tablicę prawdy dla obwodu logicznego.

Rozwiązanie. Diagram logiczny dzielimy na poziomy. Struktura tego obwodu logicznego, w przeciwieństwie do poprzednich przykładów, ma 5 poziomów, a nie 4. Jednak jedna zmienna wejściowa – najniższa – przechodzi przez wszystkie poziomy i bezpośrednio wchodzi do elementu logicznego pierwszego poziomu. Zapiszmy wszystkie funkcje, zaczynając od pierwszego poziomu:

Zapiszmy teraz wszystkie funkcje, zastępując zmienne wejściowe X, y, z :

W rezultacie otrzymujemy funkcję, którą obwód logiczny realizuje na wyjściu:

.

Tabela prawdy dla tego obwodu logicznego:

X	y	z			F
1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	1
0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Problem syntezy obwodów logicznych w oparciu o zasadę Boole’a

Rozwój obwodu logicznego zgodnie z jego opisem analitycznym nazywany jest problemem syntezy obwodu logicznego.

Każdej alternatywie (sumie logicznej) odpowiada element „OR”, którego liczba wejść jest określona przez liczbę zmiennych w alternatywie. Każdemu spójnikowi (iloczynowi logicznemu) odpowiada element „AND”, którego liczba wejść jest określona przez liczbę zmiennych w spójniku. Każda negacja (inwersja) odpowiada elementowi „NIE”.

Projektowanie logiki często rozpoczyna się od zdefiniowania funkcji logicznej, którą musi realizować obwód logiczny. W tym przypadku podana jest tylko tablica prawdy obwodu logicznego. Przeanalizujemy właśnie taki przykład, czyli rozwiążemy problem całkowicie odwrotny do omawianego powyżej problemu analizy układów logicznych.

Przykład 6. Zbuduj obwód logiczny realizujący funkcję z podaną tabelą prawdy.

Wygodnym sposobem przedstawiania wyrażeń logicznych jest użycie diagramów logicznych. Oto jak na takich diagramach przedstawiono trzy główne operacje logiczne:

Rysunek 6.1 - Schematyczne przedstawienie operacji logicznych

Przykład. Aby ocenić wyrażenie logiczne: 1 Lub 0 I 1 narysuj diagram przedstawiający sekwencję operacji logicznych. Korzystając ze diagramu, oblicz wartość wyrażenia logicznego.

To wyraźnie pokazuje, że operacja jest wykonywana jako pierwsza I, Następnie Lub. Teraz w kolejności od lewej do prawej przypiszemy wyniki operacji do wychodzących strzałek:

Rezultat był 1 , tj. "PRAWDA".

Przykład. Dane wyrażenie: Nie (1 I (0 Lub 1) I 1).

Oblicz wartość wyrażenia za pomocą obwodu logicznego.

Rozwiązanie. Schemat logiczny z wynikami obliczeń wygląda następująco:

Implikacja i równoważność

Implikacja(instrukcja warunkowa). W języku rosyjskim ta operacja logiczna odpowiada spójnikom Jeśli następnie; Kiedy wtedy; jak tylko... wtedy i tak dalej.

Wyrażenie rozpoczynające się po spójnikach jeśli, kiedy, gdy tylko, nazywa się podstawą instrukcji warunkowej.

Wyrażenie po słowach a następnie, zwane konsekwencją. We wzorach logicznych działanie implikacji oznacza się znakiem „→”. Implikacja to operacja obejmująca dwa miejsca; jest napisane tak: A → B.

Równorzędność. Odpowiednik językowy - spójniki wtedy i tylko wtedy; wtedy i tylko wtedy kiedy... Wskazana jest równoważność podpisać„≡” lub „↔”.

Kolejność wszystkich pięciu operacji logicznych w malejącym porządku pierwszeństwa jest następująca: negacja, koniunkcja, dysjunkcja, implikacja, równoważność.

Konwersja wyrażeń logicznych

Formuła ma postać normalną, jeśli nie zawiera znaków równoważności, implikacji lub podwójnej negacji, natomiast znaki negacji znajdują się tylko dla zmiennych.

Podstawowe formuły do ​​konwersji wyrażeń logicznych:

2. (A i B) ≡ A W.

3. (A B) ≡ A i B.

4. (A → B) ≡A i B.

5. A → B ≡ A B.

6. A ↔ B ≡ (A i B) (A i B) ≡ (A B) i (A B).

7. A i (A B) ≡ A.

8. A A i B ≡ A.

9. A i (A B) ≡ A i B.

10 A A i B ≡ A W.

11. Prawa przemienności:

A i B ≡ B i A;

A B ≡ B A.

12. Prawa skojarzeń:

(A B) C ≡ A (W Z);

(A i B) i C ≡ A i (B i C).

13. Prawa idempotencji:

A A ≡ A;

14. Prawa rozdzielności:

A&(B C) ≡ (A i B) (klimatyzacja);

A (B i C) ≡ (A B) i (A Z).

15. A 1 ≡ 1;

16. A i 1 ≡ A;

17. A A ≡ 1;

18. A i 0 ≡ 0;

19. A i A ≡ 0.

6.3. Zadanie laboratoryjne

Zadania rozdzielane są w zależności od tego, co zleci nauczyciel mn-kod. Jeśli m jest liczbą nieparzystą, to twoja opcja to 1, jeśli jest parzysta, to opcja 2.

Ćwiczenie 1. Korzystając z działań logicznych, zapisz stwierdzenia, które są prawdziwe, jeśli spełnione są następujące warunki:

Opcja 1.

1) co najmniej jedna z liczb X, Y, Z jest dodatnia;

2) tylko jedna z liczb X, Y, Z nie jest dodatnia.

3) tylko jedna z liczb X, Y, Z jest większa od 10

4) żadna z liczb X, Y, Z nie jest równa 104

Opcja 2.

1) co najmniej jedna z liczb X, Y, Z jest ujemna;

2) tylko jedna z liczb X, Y, Z jest ujemna.

3) tylko jedna z liczb X, Y, Z jest nie większa niż 10

4) każda z liczb X, Y, Z wynosi 0

Zadanie 2. Określ wartość wyrażenia logicznego Nie (X>Z) W przeciwnym razie (X=Y), jeżeli:

Opcja 1.

1) X=3, Y=5, Z=2;

2) X=5, Y=0, Z=–8.

Opcja 2.

1) X=9, Y=–9, Z=9;

2) X=0, Y=1, Z=19.

Zadanie 3. Niech a, b, c będą wielkościami logicznymi o następującym znaczeniu: a = PRAWDA, b= kłamstwo, c = PRAWDA. Narysuj diagramy logiczne dla następujących wyrażeń logicznych i oceń ich wartości:

Opcja 1.

1) I B;

2) Nie A Lub B;

3) Lub B I Z;

4) (a Lub B) I(C Lub B).

Opcja 2.

1) Lub B;

2) I B Lub Z;

3) Nie A Lub B I Z;

4) Nie(A I B I Z).

Zadanie 4. Konstruuj obwody logiczne za pomocą wyrażenia logicznego:

Opcja 1. x 1 I (Nie x 2 Lub x3).

Opcja 2. x 1 I x 2 Albo nie x 1 I x 3 .

Zadanie 5. Wykonaj obliczenia logiczne. Zapisz odpowiednie wyrażenia logiczne:

Opcja 1. Opcja 2.

Zadanie 6. Podano schemat logiczny. Zbuduj wyrażenie logiczne odpowiadające temu obwodowi.

Oblicz wartość wyrażenia dla:

Opcja 1.

1) x 1 =0, x 2 =1;

2) x 1 =1, x 2 =1.

Opcja 2.

1) x 1 =1, x 2 =0;

2) x 1 =0, x 2 =0.

Zadanie 7. Podano schemat logiczny. Skonstruuj tabelę prawdy dla tego obwodu.

Zadanie 8. Określ prawdziwość wzoru:

Opcja 1. (a) .

Opcja 2. .

Zadanie 9. Uprość wyrażenie:

Opcja 1. .

Opcja 2. .

6.4. Wymagania dotyczące treści raportu

1. Cel pracy laboratoryjnej.

2. Przypisanie laboratorium. Mn – kod.

3. Wyniki rozwiązania problemów Twojej wersji.

4. Wnioski na podstawie uzyskanych wyników.

6.5. Pytania kontrolne

1. Co to jest zdanie logiczne, stała, zmienna, wzór?

2. Jakie rodzaje operacji logicznych uwzględnia się w pracy laboratoryjnej?

3. Tablice prawdy dla implikacji i równoważności?

4. Wymień prawa algebry logiki?

Praca laboratoryjna nr 7
„SYSTEMY NUMEROWE”

7.1. Cel pracy

Badanie systemów liczbowych. Nabycie umiejętności przenoszenia z jednego systemu liczbowego do drugiego

7.2. Wytyczne

Rozbudowana forma zapisanie liczby nazywa się zapisywaniem w postaci:

A q =±(a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q -1 + a -2 q -2 + …+ a -m q - M).

Tutaj A q to sama liczba, q to podstawa systemu liczbowego, a i to cyfry tego systemu liczbowego, n to liczba cyfr części całkowitej liczby, m to liczba cyfr ułamka część numeru.

Przykład. Uzyskaj rozszerzoną formę liczb dziesiętnych 32478; 26 387.

32478 10 = 3*10000 + 2*1000 + 4*100 + 7*10 + 8 = 3*10 4 + 2*10 3 + 4*10 2 + 7*10 1 + 8*10 0 .

26,387 10 = 2*10 1 + 6*10 0 + 3*10 -1 + 8*10 -2 + 7*10 -3 .

Przykład. Uzyskaj rozszerzoną formę liczb 112 3, 101101 2, 15FC 16, 101,11 2

112 3 =1*10 2 + 1*10 1 + 2*10 0 .

1011012 = 1*10 101 + 0*10 100 + 1*10 11 + 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 .

15FC 16 = 1*10 3 + 5 *10 2 + F*10 1 + C.

101,11 2 = 1*10 10 + 0*10 1 + 1*10 0 + 1*10 -1 + 1*10 -10 .

Jeśli wszystkie wyrazy w rozwiniętej postaci liczby niedziesiętnej zostaną przedstawione w systemie dziesiętnym, a wynikowe wyrażenie zostanie obliczone zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej, wówczas otrzymana zostanie liczba w systemie dziesiętnym równa podanej. Zasadę tę stosuje się przy konwersji z systemu innego niż dziesiętny na system dziesiętny.

Przykład. Konwertuj wszystkie liczby z poprzedniego przykładu na system dziesiętny.

112 3 =1*3 2 + 1*3 1 + 2*3 0 = 9+3+2 = 14 10 .

101101 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 =32+8+4+1 = 45 10 ,

15FC 16 = 1*16 3 + 5*16 2 + 15*16 1 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628 10.

101,11 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 + 1*2 –1 + 12 -2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75 10 .