Ufff, złożone funkcje. Zakres dopuszczalnych wartości - ODZ
Funkcjonować y=f(x) to taka zależność zmiennej y od zmiennej x, gdy każda obowiązująca wartość zmiennej x odpowiada pojedynczej wartości zmiennej y.
Dziedzina definicji funkcji D(f) jest zbiorem wszystkiego dopuszczalne wartości zmienna x.
Zakres funkcji E(f) jest zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennej y.
Wykres funkcji y=f(x) to zbiór punktów na płaszczyźnie, których współrzędne spełniają zadaną zależność funkcjonalną, czyli punkty postaci M (x; f(x)). Wykresem funkcji jest pewna linia na płaszczyźnie.
Jeżeli b=0 to funkcja przyjmie postać y=kx i zostanie wywołana bezpośrednia proporcjonalność.
D(f): x \in R;\enspace E(f): y \in R
Harmonogram funkcja liniowa- prosty.
Nachylenie k prostej y=kx+b oblicza się ze wzoru:
k= tan \alpha, gdzie \alpha jest kątem nachylenia linii prostej do dodatniego kierunku osi Ox.
1) Funkcja rośnie monotonicznie dla k > 0.
Na przykład: y=x+1
2) Funkcja maleje monotonicznie jako k< 0 .
Na przykład: y=-x+1
3) Jeżeli k=0, to podając b dowolne wartości, otrzymujemy rodzinę prostych równoległych do osi Wółu.
Na przykład: y=-1
Odwrotna proporcjonalność
Odwrotna proporcjonalność nazywamy funkcją formy y=\frac (k)(x), gdzie k jest niezerową liczbą rzeczywistą
D(f): x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f): y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).
Wykres funkcji y=\frac (k)(x) jest hiperbolą.
1) Jeżeli k > 0, to wykres funkcji będzie znajdował się w pierwszej i trzeciej ćwiartce płaszczyzny współrzędnych.
Na przykład: y=\frac(1)(x)
2) Jeżeli k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Na przykład: y=-\frac(1)(x)
Funkcja zasilania
Funkcja zasilania jest funkcją postaci y=x^n, gdzie n jest niezerową liczbą rzeczywistą
1) Jeśli n=2, to y=x^2. D(f): x \in R; \: E(f): y \in; okres główny funkcji T=2 \pi
W matematyce istnieje nieskończona liczba funkcji. I każdy ma swój własny charakter.) Aby pracować z szeroką gamą funkcji, których potrzebujesz pojedynczy podejście. W przeciwnym razie co to za matematyka?!) I istnieje takie podejście!
Pracując z dowolną funkcją, przedstawiamy jej standardowy zestaw pytań. I pierwszy, najbardziej ważne pytanie- Ten dziedzina definicji funkcji. Czasami ten obszar nazywany jest zbiorem prawidłowych wartości argumentów, obszarem, w którym określona jest funkcja itp.
Jaka jest dziedzina funkcji? Jak to znaleźć? Pytania te często wydają się skomplikowane i niezrozumiałe... Chociaż tak naprawdę wszystko jest niezwykle proste. Możesz się o tym przekonać czytając tę stronę. Iść?)
Cóż mogę powiedzieć... Po prostu szacunek.) Tak! Dziedzina naturalna funkcji (która jest omawiana tutaj) mecze z ODZ wyrażeń zawartych w funkcji. W związku z tym są one przeszukiwane według tych samych zasad.
Przyjrzyjmy się teraz nie do końca naturalnej dziedzinie definicji.)
Dodatkowe ograniczenia zakresu funkcji.
Tutaj porozmawiamy o ograniczeniach nałożonych przez zadanie. Te. Zadanie zawiera dodatkowe warunki, które wymyślił kompilator. Albo ograniczenia wynikają z samego sposobu definiowania funkcji.
Jeśli chodzi o ograniczenia w zadaniu, wszystko jest proste. Zwykle nie trzeba niczego szukać, wszystko jest już powiedziane w zadaniu. Przypominam, że ograniczenia zapisane przez autora zadania nie anulują podstawowe ograniczenia matematyki. Trzeba tylko pamiętać o uwzględnieniu warunków zadania.
Na przykład to zadanie:
Znajdź dziedzinę funkcji:
na zbiorze liczb dodatnich.
Naturalną dziedzinę definicji tej funkcji znaleźliśmy powyżej. Ten teren:
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
W werbalnej metodzie określania funkcji należy uważnie przeczytać warunek i znaleźć tam ograniczenia dotyczące X. Czasami oczy szukają formuł, ale słowa gwiżdżą obok świadomości tak...) Przykład z poprzedniej lekcji:
Funkcję określa warunek: każda wartość argumentu naturalnego x jest powiązana z sumą cyfr tworzących wartość x.
Należy tutaj zauważyć, że mówimy tylko o naturalnych wartościach X. Następnie D(f) natychmiast nagrane:
D(f): x ∈ N
Jak widać dziedzina funkcji nie jest aż tak skomplikowanym pojęciem. Znalezienie tego obszaru sprowadza się do zbadania funkcji, napisania układu nierówności i rozwiązania tego układu. Oczywiście istnieją różne rodzaje systemów, proste i złożone. Ale...
Otworzę to mała tajemnica. Czasami funkcja, dla której trzeba znaleźć dziedzinę definicji, wygląda po prostu zastraszająco. Mam ochotę zbladnąć i płakać.) Ale gdy tylko zapiszę system nierówności... I nagle system okazuje się elementarny! Co więcej, często im straszniejsza funkcja, tym prostszy system...
Morał: oczy się boją, głowa decyduje!)
Funkcja jest modelem. Zdefiniujmy X jako zbiór wartości zmiennej niezależnej //niezależne oznacza dowolne.
Funkcja to reguła, za pomocą której dla każdej wartości zmiennej niezależnej ze zbioru X można znaleźć unikalną wartość zmiennej zależnej. // tj. na każde x przypada jedno y.
Z definicji wynika, że istnieją dwa pojęcia - zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x i może przyjmować dowolną wartość) oraz zmienna zależna (którą oznaczamy y lub f(x) i jest ona wyliczana z funkcji gdy podstawiamy x).
NA PRZYKŁAD y=5+x
1. Niezależne jest x, co oznacza, że przyjmujemy dowolną wartość, niech x=3
2. Teraz obliczmy y, co oznacza y=5+x=5+3=8. (y zależy od x, bo cokolwiek x podstawimy, otrzymamy to samo y)
Mówi się, że zmienna y jest funkcjonalnie zależna od zmiennej x i jest oznaczana w następujący sposób: y = f (x).
NA PRZYKŁAD.
1.y=1/x. (tzw. hiperbola)
2. y=x^2. (zwana parabolą)
3.y=3x+7. (tzw. linia prosta)
4. y= √ x. (zwana gałęzią paraboli)
Zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x) nazywana jest argumentem funkcji.
Dziedzina funkcji
Zbiór wszystkich wartości, jakie przyjmuje argument funkcji, nazywany jest dziedziną funkcji i oznaczany D(f) lub D(y).
Rozważ D(y) dla 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cały zbiór liczb rzeczywistych oprócz zera.
2. D (y)= (∞; +∞)//cała liczba liczb rzeczywistych
3. D (y)= (∞; +∞)//cała liczba liczb rzeczywistych
4. D (y) = .
Wszystko to pokazuje, jak ważne jest posiadanie ODZ.
Przykład 3
Znajdź wyrażenie ODZ x 3 + 2 x y − 4 .
Rozwiązanie
Każdą liczbę można poszerzyć do sześcianu. To wyrażenie nie ma ułamka, więc wartości x i y mogą być dowolne. Oznacza to, że ODZ jest dowolną liczbą.
Odpowiedź: x i y – dowolne wartości.
Przykład 4
Znajdź ODZ wyrażenia 1 3 - x + 1 0.
Rozwiązanie
Można zauważyć, że istnieje jeden ułamek, którego mianownik wynosi zero. Oznacza to, że dla dowolnej wartości x otrzymamy dzielenie przez zero. Oznacza to, że możemy stwierdzić, że wyrażenie to jest uważane za niezdefiniowane, czyli nie wiąże się z żadną dodatkową odpowiedzialnością.
Odpowiedź: ∅ .
Przykład 5
Znajdź ODZ danego wyrażenia x + 2 · y + 3 - 5 · x.
Rozwiązanie
Dostępność pierwiastek kwadratowy wskazuje, że to wyrażenie musi być większe lub równe zero. Jeżeli jest negatywny, to nie ma to żadnego znaczenia. Oznacza to, że należy zapisać nierówność w postaci x + 2 · y + 3 ≥ 0. Oznacza to, że jest to pożądany zakres dopuszczalnych wartości.
Odpowiedź: zbiór x i y, gdzie x + 2 y + 3 ≥ 0.
Przykład 6
Określ wyrażenie ODZ w postaci 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .
Rozwiązanie
Pod warunkiem mamy ułamek, więc jego mianownik nie powinien być równy zero. Otrzymujemy, że x + 1 - 1 ≠ 0. Wyrażenie radykalne zawsze ma sens, gdy jest większe lub równe zero, to znaczy x + 1 ≥ 0. Ponieważ ma logarytm, jego wyrażenie musi być ściśle dodatnie, to znaczy x 2 + 3 > 0. Podstawa logarytmu również musi mieć wartość dodatnią i różną od 1, wówczas dodajemy warunki x + 8 > 0 i x + 8 ≠ 1. Wynika z tego, że pożądany ODZ przybierze postać:
x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1
Innymi słowy nazywa się to układem nierówności z jedną zmienną. Rozwiązanie doprowadzi do następującej notacji ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .
Odpowiedź: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)
Dlaczego ważne jest, aby wziąć pod uwagę DPD podczas zmiany pracodawcy?
Podczas przemian tożsamości ważne jest odnalezienie ODZ. Zdarzają się przypadki, gdy istnienie ODZ nie występuje. Aby zrozumieć, czy dane wyrażenie ma rozwiązanie, należy porównać VA zmiennych pierwotnego wyrażenia i VA wynikowego.
Transformacje tożsamości:
- może nie mieć wpływu na DL;
- może prowadzić do rozbudowy lub dodania DZ;
- może zawęzić DZ.
Spójrzmy na przykład.
Przykład 7
Jeśli mamy wyrażenie w postaci x 2 + x + 3 · x, to jego ODZ jest określony w całej dziedzinie definicji. Nawet przy wprowadzeniu podobnych terminów i uproszczeniu sformułowań ODZ się nie zmienia.
Przykład 8
Jeśli weźmiemy przykład wyrażenia x + 3 x − 3 x, sytuacja będzie inna. Mamy wyrażenie ułamkowe. A wiemy, że dzielenie przez zero jest niedopuszczalne. Wtedy ODZ ma postać (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Widać, że zero nie jest rozwiązaniem, więc dodajemy je w nawiasie.
Rozważmy przykład z obecnością radykalnego wyrażenia.
Przykład 9
Jeśli istnieje x - 1 · x - 3, to należy zwrócić uwagę na ODZ, ponieważ należy go zapisać jako nierówność (x - 1) · (x - 3) ≥ 0. Można to rozwiązać metodą przedziałową, wtedy stwierdzamy, że ODZ przybierze postać (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Po przekształceniu x - 1 · x - 3 i zastosowaniu własności pierwiastków mamy, że ODZ można uzupełnić i wszystko zapisać w postaci układu nierówności postaci x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Rozwiązując to, okazuje się, że [ 3 , + ∞) . Oznacza to, że ODZ jest całkowicie zapisany w następujący sposób: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .
Należy unikać przekształceń zawężających DZ.
Przykład 10
Rozważmy przykład wyrażenia x - 1 · x - 3, gdy x = - 1. Podstawiając otrzymujemy, że - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Jeśli przekształcimy to wyrażenie i doprowadzimy je do postaci x - 1 · x - 3, to przy obliczaniu okaże się, że 2 - 1 · 2 - 3 wyrażenie nie ma sensu, ponieważ wyrażenie radykalne nie powinno być ujemne.
Konieczne jest przestrzeganie identycznych przekształceń, których ODZ nie zmieni.
Jeśli istnieją przykłady, które to rozwijają, należy je dodać do DL.
Przykład 11
Spójrzmy na przykład ułamka postaci x x 3 + x. Jeśli anulujemy przez x, otrzymamy 1 x 2 + 1. Następnie ODZ rozszerza się i staje się (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Co więcej, podczas obliczeń pracujemy już z drugim ułamkiem uproszczonym.
W obecności logarytmów sytuacja jest nieco inna.
Przykład 12
Jeśli istnieje wyrażenie w postaci ln x + ln (x + 3), jest ono zastępowane przez ln (x · (x + 3)), w oparciu o właściwość logarytmu. Z tego widzimy, że ODZ od (0 , + ∞) do (− ∞, − 3) ∪ (0 , + ∞) . Dlatego też, aby wyznaczyć ODZ ln (x · (x + 3)) należy przeprowadzić obliczenia na ODZ, czyli zbiorze (0, + ∞).
Podczas rozwiązywania zawsze należy zwrócić uwagę na strukturę i rodzaj wyrażenia danego warunku. Jeśli obszar definicji zostanie znaleziony prawidłowo, wynik będzie pozytywny.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter