| Informatyka i technologie informacyjno-komunikacyjne | Plan zajęć i materiały do ​​zajęć | 10. klasa | Planowanie lekcji na rok akademicki (FSES) | Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych

Lekcja 15
§12. Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych

Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych

Działania arytmetyczne w pozycyjnych systemach liczbowych o podstawie Q dokonywane są według zasad zbliżonych do zasad obowiązujących w systemie dziesiętnym.

W szkole podstawowej do nauki liczenia używa się tabliczki dodawania i mnożenia. Podobne tabele można zestawić dla dowolnego systemu liczb pozycyjnych.

12.1. Dodawanie liczb w systemie liczbowym o podstawie q

Rozważ przykłady tablic dodawania w systemach liczbowych trójskładnikowym (tabela 3.2), ósemkowym (tabela 3.4) i szesnastkowym (tabela 3.3).

Tabela 3.2

Dodawanie w trójskładnikowym systemie liczbowym

Tabela 3.3

Dodawanie w szesnastkowym systemie liczbowym

Tabela 3.4

Dodawanie w systemie ósemkowym

Q zdobyć kwotę S dwie liczby A I B, musisz zsumować tworzące je cyfry cyframi I z prawej do lewej:

Jeśli a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
jeśli a i + b i ≥ q, to ​​s i = a i + b i - q, najbardziej znacząca (i + 1) cyfra jest zwiększana o 1.

Przykłady:

12.2. Odejmowanie liczb w podstawowym systemie liczbowym q

A więc w systemie liczbowym z podstawą Q uzyskać różnicę R dwie liczby A I W, należy obliczyć różnice między cyframi tworzącymi je cyframi I z prawej do lewej:

Jeżeli a i ≥ b i, to r i = a i - b i, najbardziej znacząca (i + 1) cyfra nie ulega zmianie;
jeśli ja< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Używany do pracy z danymi kodowanie, tj. wyrażanie danych jednego typu w kategoriach danych innego typu.

Technologia komputerowa ma również swój własny system - nazywa się to kodowanie binarne i opiera się na reprezentowaniu danych jako ciągu zaledwie dwóch znaków: 0 i 1. Znaki te nazywane są liczby binarne, po angielsku - cyfra binarna lub, w skrócie, trochę (bit).

Jeden bit może wyrażać dwie koncepcje: 0 lub 1 (Tak Lub nie, czarny Lub biały, to prawda Lub kłamstwo i tak dalej.). Jeśli liczbę bitów zwiększy się do dwóch, można wyrazić cztery różne koncepcje:

Trzy bity mogą zakodować osiem różnych wartości: 000 001 010 011 100 101 110 111

Zwiększając o jeden liczbę bitów w systemie kodowania binarnego, podwajamy liczbę wartości, które można wyrazić w tym systemie, czyli wzór ogólny wygląda następująco:

N=2m, Gdzie:

N- liczba niezależnych zakodowanych wartości;

T- głębokość bitowa kodowania binarnego przyjętego w tym systemie.

Ponieważ bit jest tak małą jednostką miary, w praktyce częściej stosuje się większą jednostkę - bajt, równy ośmiu bitom.

Używane są również większe pochodne jednostki danych:

Kilobajt (KB) = 1024 bajty = 2 10 bajtów;

Megabajt (MB) = 1024 KB = 2 20 bajtów;

Gigabajt (GB) = 1024 MB = 2 30 bajtów.

W ostatnim czasie, w związku ze wzrostem wolumenu przetwarzanych danych, wprowadzono takie jednostki pochodne jak:

Terabajt (TB) = 1024 GB = 2 40 bajtów;

Petabajt (PB) = 1024 TB = 2 50 bajtów;

Exabajt (Ebajt) = 1024 PB = 2 60 bajtów.

Kodowanie informacji tekstowych jest tworzony przy użyciu amerykańskiego standardowego kodu wymiany informacji ASCII, który ustawia kody znaków od 0 do 127. Normy krajowe przydzielają 1 bajt informacji na znak i obejmują tabelę kodów ASCII, a także kody alfabetu narodowego z liczbami od 128 do 255 Obecnie istnieje pięć różnych kodowań cyrylicy: KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh i ISO. Pod koniec lat 90. pojawił się nowy międzynarodowy standard Unicode, który przydziela nie jeden bajt, ale dwa bajty na każdy znak, dzięki czemu można go używać do kodowania nie tylko różnych znaków.

Podstawowa tabela kodowania ASCII podano w tabeli.

Kodowanie grafiki kolorowej odbywa się za pomocą rastra, gdzie każdy punkt jest powiązany z numerem koloru. W systemie kodowania RGB kolor każdego punktu jest reprezentowany przez sumę kolorów czerwonego (czerwony), zielonego (zielony) i niebieskiego (niebieski). W systemie kodowania CMYK kolor każdego punktu jest reprezentowany przez sumę cyjanu (cyjan), magenty (magenta), żółtego (żółty) i dodatku czarnego (czarny, K).

Kodowanie sygnału analogowego

Historycznie rzecz biorąc, pierwszą technologiczną formą odbierania, przesyłania i przechowywania danych była analogowa (ciągła) reprezentacja sygnału audio, optycznego, elektrycznego lub innego. Aby odebrać takie sygnały, komputer najpierw dokonuje konwersji analogowo-cyfrowej.

Konwersja analogowo-cyfrowa polega na pomiarze sygnału analogowego w regularnych odstępach czasu τ i zakodowaniu wyniku pomiaru w n-bitowym słowie binarnym. W tym przypadku otrzymywany jest ciąg n-bitowych słów binarnych, reprezentujących sygnał analogowy z zadaną dokładnością.

Obecny standard CD wykorzystuje tzw. „16-bitowy dźwięk z częstotliwością skanowania 44 kHz”. Dla powyższego rysunku, w tłumaczeniu na język normalny, oznacza to, że „długość kroku” (t) jest równa 1/44000 s, a „wysokość kroku” (δ) wynosi 1/65 536 maksymalnej głośności sygnału (ponieważ 2 16 = 65536). W tym przypadku zakres częstotliwości odtwarzania wynosi 0-22 kHz, a zakres dynamiki wynosi 96 decybeli (co jest cechą jakościową całkowicie nieosiągalną w przypadku magnetycznego lub mechanicznego nagrywania dźwięku).

Kompresja danych.

Ilość przetwarzanych i przesyłanych danych szybko rośnie. Dzieje się tak na skutek realizacji coraz bardziej złożonych procesów aplikacyjnych, pojawienia się nowych usług informacyjnych oraz wykorzystania obrazu i dźwięku.

Kompresja danych- proces zmniejszający ilość danych. Kompresja pozwala radykalnie zmniejszyć ilość pamięci potrzebnej do przechowywania danych i skrócić (do akceptowalnego rozmiaru) czas potrzebny na ich przesłanie. Kompresja obrazu jest szczególnie skuteczna. Kompresję danych można przeprowadzić przy użyciu oprogramowania, sprzętu lub kombinacji metod.

Kompresja tekstów wiąże się z bardziej zwartym układem bajty, kodowanie znaków. Wykorzystuje to również licznik powtórzeń przestrzeni. W przypadku dźwięku i obrazu ilość reprezentującej je informacji zależy od wybranego stopnia kwantyzacji i liczby bitów konwersji analogowo-cyfrowej. Zasadniczo stosowane są tutaj te same metody kompresji, co przy przetwarzaniu tekstu. Jeśli kompresja tekstu odbywa się bez utraty informacji, wówczas kompresja dźwięku i obrazu prawie zawsze prowadzi do pewnej utraty informacji. Kompresja jest szeroko stosowana w archiwizacji danych.

Notacja– reprezentacja liczby za pomocą określonego zestawu symboli. Systemy liczbowe to:

1. Pojedynczy (system przywieszek lub sztyftów);

2. Niepozycyjny (rzymski);

3. Pozycyjne (dziesiętne, binarne, ósemkowe, szesnastkowe itp.).

Pozycyjny to system liczbowy, w którym wartość ilościowa każdej cyfry zależy od jej miejsca (pozycji) w liczbie. Podstawy System liczb pozycyjnych to liczba całkowita, którą można podnieść do potęgi i która jest równa liczbie cyfr w systemie.

System liczb binarnych obejmuje alfabet składający się z dwóch cyfr: 0 i 1.

System liczb ósemkowych obejmuje alfabet składający się z 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.

System liczb dziesiętnych obejmuje alfabet składający się z 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

System liczb szesnastkowych obejmuje alfabet składający się z 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

			ALFABET

W technice komputerowej kodowanie stosuje się w systemie liczb binarnych, tj. sekwencja 0 i 1.

Aby przekonwertować liczbę całkowitą z jednego systemu liczbowego na inny, należy wykonać następujący algorytm:

1. Wyraź podstawę nowego systemu liczbowego, używając liczb z pierwotnego systemu liczbowego.

2. Konsekwentnie dziel podaną liczbę przez podstawę nowego systemu liczbowego, aż otrzymasz iloraz mniejszy od dzielnika.

3. Przekonwertuj powstałe salda na nowy system liczbowy.

4. Utwórz liczbę z reszt w nowym systemie liczbowym, zaczynając od ostatniej reszty.

Ogólnie rzecz biorąc, w pozycyjnym SS o podstawie P dowolną liczbę X można przedstawić jako wielomian o podstawie P:

Х = а n Р n + za n-1 P n-1 + … + za 1 P 1 + za o P 0 + za -1 P -1 + za -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

gdzie współczynniki a i mogą być dowolną z cyfr P używanych w SS o podstawie P.

Konwersja liczb z 10 SS na dowolne inne części całkowite i ułamkowe liczby odbywa się różnymi metodami:

a) całą część liczby i ilorazy pośrednie dzieli się przez podstawę nowego SS, wyrażoną w 10 SS, aż iloraz podziału stanie się mniejszy niż podstawa nowego SS. Akcje wykonywane są w 10 SS. Wynikiem są ilorazy zapisane w odwrotnej kolejności.

b) część ułamkową liczby i powstałe części ułamkowe produktów pośrednich mnoży się przez podstawę nowego SS, aż do osiągnięcia określonej dokładności, lub w części ułamkowej produktu pośredniego otrzyma się „0”. Efektem są całe części utworów pośrednich, zarejestrowane w kolejności ich otrzymania.

Korzystając ze wzoru (1), możesz przekonwertować liczby z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny.

Przykład 1. Konwertuj liczbę 1011101.001 z systemu liczb binarnych (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Przykład 2. Konwertuj liczbę 1011101.001 z ósemkowego systemu liczbowego (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:

Przykład 3. Konwertuj liczbę AB572.CDF z szesnastkowego systemu liczbowego na dziesiętny SS. Rozwiązanie:

Tutaj A-zastąpiony przez 10, B- o godzinie 11, C- o godzinie 12, F- do 15.

Zamiana liczby 8 (16) na postać 2 - wystarczy zastąpić każdą cyfrę tej liczby odpowiednią liczbą binarną 3-bitową (4-bitową). Odrzuć niepotrzebne zera w wysokich i niskich cyfrach.

Przykład 1: przekonwertuj liczbę 305,4 8 na binarny SS.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Przykład 2: przekonwertuj liczbę 9AF,7 16 na binarny СС.

(_9 __ _A __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Aby przekonwertować drugą liczbę na 8 (16) SS, wykonaj następujące czynności: przechodząc od przecinka w lewo i w prawo, podziel liczbę binarną na grupy składające się z 3 (4) cyfr, uzupełniając w razie potrzeby zerami skrajną lewą i prawą grupę. Każda grupa jest następnie zastępowana odpowiednią cyfrą ósemkową (16).

Przykład 1: przekonwertuj liczbę 110100011110100111,1001101 2 na ósemkową SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Przykład 2: Konwertuj liczbę 110100011110100111.1001101 2 na szesnastkową SS.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Działania arytmetyczne we wszystkich systemach liczb pozycyjnych liczby wykonywane są według tych samych zasad, które są Ci dobrze znane.

Dodatek. Rozważmy dodanie liczb w systemie binarnym. Opiera się na tabeli dodawania jednocyfrowych liczb binarnych:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Należy zwrócić uwagę na fakt, że przy dodawaniu dwóch jedynek cyfra przepełnia się i jest przenoszona na cyfrę najbardziej znaczącą. Przepełnienie cyfry ma miejsce, gdy wartość zawartej w niej liczby staje się równa lub większa od podstawy.

Dodawanie liczb binarnych wielobitowych odbywa się zgodnie z powyższą tabelą dodawania, z uwzględnieniem możliwych przejść z cyfr niższego rzędu do wyższych. Jako przykład dodajmy liczby binarne 110 2 i 11 2 do kolumny:

Odejmowanie. Przyjrzyjmy się odejmowaniu liczb binarnych. Opiera się na tabeli odejmowania jednocyfrowych liczb binarnych. Odejmując większą liczbę (1) od mniejszej liczby (0), pożyczka zostaje udzielona od najwyższej cyfry. W tabeli pożyczka jest oznaczona liczbą 1 linią:

Mnożenie. Mnożenie opiera się na tabliczce mnożenia dla jednocyfrowych liczb binarnych:

Dział. Operację dzielenia wykonuje się przy użyciu algorytmu podobnego do algorytmu wykonywania operacji dzielenia w systemie liczb dziesiętnych. Jako przykład podzielmy liczbę binarną 110 2 przez 11 2:

Aby wykonywać działania arytmetyczne na liczbach wyrażonych w różnych systemach liczbowych, należy je najpierw przekonwertować na ten sam system.

LEKCJA nr 19-20.

Temat

Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych. Mnożenie i dzielenie.

Cel lekcji: pokazać metody działań arytmetycznych (mnożenie i dzielenie) liczb w różnych systemach liczbowych, sprawdzić znajomość tematu „Dodawanie i odejmowanie liczb w różnych systemach liczbowych”.

Cele Lekcji:

edukacyjny: praktyczne zastosowanie przestudiowanego materiału na temat „Mnożenie i dzielenie w różnych systemach liczbowych”, utrwalenie i sprawdzenie wiedzy na temat „Dodawanie i odejmowanie liczb w różnych systemach liczbowych”. rozwijanie: rozwój indywidualnych umiejętności pracy praktycznej, umiejętność zastosowania wiedzy do rozwiązywania problemów. edukacyjny: osiągnięcie przez uczniów świadomego opanowania materiału.

Materiały i sprzęt do lekcji: karty do samodzielnej pracy, tabliczka mnożenia.

Typ lekcji: lekcja łączona

Forma lekcji: indywidualny, frontalny.

Podczas zajęć:

1. Sprawdzanie pracy domowej.

Praca domowa:

1. № 2.41 (1 i 2 kolumna), warsztat, s. 55

Rozwiązanie:

A) 11102+10012 =101112

B) 678+238=1128

B)AF16+9716 = 14616

D)11102-10012 =1012

D) 678-238 =448

E) AF16-9716 =1816

2. Nr 2.48 (str. 56)

2. Praca samodzielna „Dodawanie i odejmowanie liczb w różnych systemach liczbowych”. (20 minut)

Niezależna praca. klasa 10.
11 + 1110 ; 10111+111 ; 110111+101110 3. Odejmij: 10111-111; 11 - 1110 4. Dodawaj i odejmij w systemie ósemkowym: 738 i 258	opcja 1
Niezależna praca. klasa 10. Binarny system liczbowy: tłumaczenie 2® 10; dodatek.
1. Konwersja z systemu binarnego na system dziesiętny. 2. Dodaj dwie liczby binarne. 1110+111 ; 111+1001 ; 1101+110001 3. Odejmij: 111-1001; 1110+111 4. Dodawaj i odejmij w systemie szesnastkowym: 7316 i 2916	Opcja 2

3. Nowy materiał.

1. Mnożenie

Podczas mnożenia liczb wielocyfrowych w różnych systemach liczb pozycyjnych można zastosować zwykły algorytm mnożenia liczb w kolumnie, ale wyniki mnożenia i dodawania liczb jednocyfrowych należy zapożyczyć z tablic mnożenia i dodawania odpowiadających systemowi w pytanie.

Mnożenie w systemie binarnym

Mnożenie w systemie ósemkowym

Ze względu na niezwykłą prostotę tabliczki mnożenia w systemie dwójkowym, mnożenie ogranicza się jedynie do przesunięć mnożnej i dodawania.

Przykład 1. Pomnóżmy liczby 5 i 6 w systemie dziesiętnym, binarnym, ósemkowym i szesnastkowym.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" szerokość="419" wysokość="86 src=">
Odpowiedź: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Badanie.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Przykład 2. Pomnóżmy liczby 115 i 51 w systemie dziesiętnym, binarnym, ósemkowym i szesnastkowym.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" szerokość="446" wysokość="103 src=">
Odpowiedź: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Badanie. Przeliczmy otrzymane iloczyny na postać dziesiętną:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. PODZIAŁ

Dzielenie w dowolnym systemie liczb pozycyjnych odbywa się według tych samych zasad, co dzielenie przez kąt w systemie dziesiętnym. W systemie binarnym dzielenie jest szczególnie łatwe, ponieważ następną cyfrą ilorazu może być tylko zero lub jeden.
Przykład 3. Podziel liczbę 30 przez liczbę 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" szerokość="478" wysokość="87 src=">
Odpowiedź: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Przykład 4. Podziel liczbę 5865 przez liczbę 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" szerokość="400" wysokość="159 src=">

ósemkowy: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" szerokość="416" wysokość="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" szerokość="72" wysokość="89 src=">
Odpowiedź: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Badanie. Przeliczmy otrzymane ilorazy na postać dziesiętną:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Praca domowa:

1. Przygotuj się do sprawdzianu nr 2 „Na temat systemów liczbowych. Tłumaczenie liczb. Operacje arytmetyczne w systemach liczbowych”

2. Warsztat Ugrinowicza, nr 2.46, 2.47, s. 56.

Literatura:

1. Warsztaty z informatyki i technologii informatycznych. Podręcznik dla placówek oświatowych / , . – M.: Binom. Laboratorium Wiedzy, 2002. 400 s.: il.

2. Ugrinowicz i technologie informacyjne. Podręcznik dla klas 10-11. – M.: BINOM. Laboratorium Wiedzy, 2003.

3. Shautsukova: Podręcznik. dodatek dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje. – M.: Edukacja, 2003.9 – s. 97-101, 104-107.

Systemy liczbowe

System liczbowy – zbiór technik i zasad zapisywania liczb w znakach lub symbolach cyfrowych.

Wszystkie systemy liczbowe można podzielić na dwie klasy: pozycyjny I niepozycyjny. W klasie systemów pozycyjnych do zapisywania liczb w różnych systemach liczbowych używa się szeregu różniących się od siebie znaków. Nazywa się liczbę takich znaków w systemie liczb pozycyjnych podstawa systemu liczbowego. Poniżej znajduje się tabela zawierająca nazwy niektórych systemów liczb pozycyjnych oraz listę znaków (cyfr), z których tworzone są w nich liczby.

Niektóre systemy liczbowe

Baza	Notacja	Oznaki
	Dwójkowy	0,1
	Trójca	0, 1, 2
	Czwartorzędowy	0, 1, 2, 3
	Pięciokrotnie	0, 1, 2, 3, 4
	ósemkowy	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Dziesiętny	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	dwunastkowy	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Szesnastkowy	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

W systemie liczb pozycyjnych względnemu położeniu cyfry w liczbie przypisuje się współczynnik wagi, a liczbę można przedstawić jako sumę iloczynów współczynników przez odpowiednią potęgę podstawy systemu liczbowego (współczynnik wagi ):

ZA n А n–1 ZA n–2 ...A 1 ZA 0 , ZA –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(znak „,” oddziela część całkowitą liczby od części ułamkowej. Zatem znaczenie każdego znaku w liczbie zależy od pozycji, jaką znak zajmuje w zapisie liczbowym. Dlatego takie systemy liczbowe nazywane są pozycyjnymi ).

System liczb pozycyjnych to system, w którym wielkość liczby jest określana na podstawie wartości zawartych w niej cyfr i ich względnej pozycji w liczbie.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Indeks dziesiętny na dole wskazuje podstawę systemu liczbowego.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F,4 16 = ZA ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10.

Pracując z komputerami trzeba używać równolegle kilku pozycyjnych systemów liczbowych (najczęściej binarnego, dziesiętnego, ósemkowego i szesnastkowego), dlatego procedury konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na drugi mają ogromne znaczenie praktyczne. Należy pamiętać, że we wszystkich powyższych przykładach wynikiem jest liczba dziesiętna, a co za tym idzie, sposób konwersji liczb z dowolnego systemu liczb pozycyjnych na dziesiętny został już zademonstrowany.

Ogólnie rzecz biorąc, aby zamienić część całkowitą liczby z systemu dziesiętnego na system podstawowy B, należy ją podzielić przez B. Reszta da najmniej znaczącą cyfrę liczby. Powstały iloraz należy ponownie podzielić przez B - reszta da kolejną cyfrę liczby itp. Podziały są kontynuowane, aż iloraz stanie się mniejszy niż podstawa. Wartości powstałych reszt, wzięte w odwrotnej kolejności, tworzą pożądaną liczbę binarną.

Przykład tłumaczenia całej części: Zamień 25 10 na liczbę binarną.

25/2 = 12 z resztą 1,

12/2 = 6 z resztą 0,

6 /2 = 3 z resztą 0,

Części całe i ułamkowe są tłumaczone oddzielnie. Aby przeliczyć część ułamkową, należy ją pomnożyć przez B. Częścią całkowitą powstałego iloczynu będzie pierwsza cyfra (po przecinku oddzielającym część całkowitą od części ułamkowej). Część ułamkową iloczynu należy ponownie pomnożyć przez B. Część całkowita uzyskanej liczby będzie kolejnym znakiem itp.

Aby przeliczyć część ułamkową (lub liczbę zawierającą liczby całkowite „0”), należy ją pomnożyć przez 2. Część całkowitą iloczynu będzie pierwszą cyfrą liczby w systemie binarnym. Następnie odrzucając część całkowitą wyniku, mnożymy ponownie przez 2 itd. Należy zauważyć, że skończony ułamek dziesiętny może równie dobrze stać się nieskończonym (okresowym) ułamkiem binarnym.

Przykład konwersji części ułamkowej: Zamień 0,73 10 na liczbę binarną.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (część całkowita 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (część całkowita 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (część całkowita 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (część całkowita 1) itd.

Zatem: 0,73 10 = 0,1011 2.

Na liczbach zapisanych w dowolnym systemie liczbowym można wykonywać różne operacje arytmetyczne. Operacje arytmetyczne we wszystkich systemach liczb pozycyjnych wykonywane są według tych samych zasad, które są Ci dobrze znane.

Rozważ dodanie dwóch liczb do podstawy dziesiątej:

Dodając liczby 6 i 7, wynik można przedstawić jako wyrażenie 10 + 3, gdzie 10 to pełna podstawa systemu liczb dziesiętnych. Zamień 10 (podstawę) na 1 i podstaw na lewo od liczby 3. Otrzymujemy:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Rozważ dodanie dwóch liczb podstawowych:

Dodając liczby 6 i 7, wynik można przedstawić jako wyrażenie 8 + 5, gdzie 8 jest pełną podstawą ósemkowego systemu liczbowego. Zamień 8 (podstawę) na 1 i podstaw na lewo od liczby 5. Otrzymujemy:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Rozważ dodanie dwóch dużych liczb do podstawy ósmej:

Dodawanie rozpoczyna się od najmniej znaczącej cyfry. Zatem reprezentujemy 4 8 + 6 8 jako 8 (podstawa) + 2. Zamień 8 (podstawa) na 1 i dodaj tę jednostkę do cyfr wyższego rzędu. Następnie dodajemy następujące cyfry: 5 8 + 3 8 + 1 8, przedstawiamy to jako 8 + 1, zamieniamy 8 (podstawa) na 1 i dodajemy do najbardziej znaczącej cyfry. Następnie reprezentujemy 2 8 + 7 8 + 1 8 jako 8 (podstawa) + 2, zamieniamy 8 (podstawa) na 1 i podstawiamy na lewo od wynikowej liczby (na pozycji najbardziej znaczącej cyfry). Tak się okazuje:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Inne operacje arytmetyczne (odejmowanie, mnożenie i dzielenie) wykonuje się podobnie w różnych systemach liczbowych.

Rozważmy mnożenie w „kolumnie”, na przykładzie dwóch liczb systemu binarnego:

11101 2 101 2

Liczby zapisujemy jedna pod drugą, zgodnie z szeregami. Następnie wykonujemy bitowe mnożenie drugiego czynnika przez pierwszy i zapisujemy go z przesunięciem w lewo, tak jak przy mnożeniu liczb dziesiętnych. Pozostaje dodać liczby „przesunięte”, biorąc pod uwagę podstawę liczb, w tym przypadku binarną.

Przekonwertujmy wynik na podstawę 16.

W drugiej cyfrze reprezentujemy 29 jako 16 (podstawa) i 13 (D). Zamieńmy 16 (podstawę) na 1 i dodajmy ją do najbardziej znaczącej cyfry.

W trzeciej cyfrze 96 + 1 = 97. Następnie wyobraź sobie 97 jako 6 16 (podstawa) i 1. Dodaj 6 do najwyższej cyfry.

W czwartej cyfrze 20 + 6 = 26. Wyobraźmy sobie 26 jako 16 (podstawa) i 10 (A). Przesuwamy jednostkę do najwyższej cyfry.

Przy pewnych umiejętnościach pracy z różnymi systemami liczbowymi wpis można od razu sobie wyobrazić jako

		A
		B	B
	A		D

Zatem A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 – 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 = 10100100001010 2 .

Z punktu widzenia badania zasad reprezentacji i przetwarzania informacji w komputerze, dużym zainteresowaniem cieszą się omawiane systemy (binarny, ósemkowy i szesnastkowy), choć komputer przetwarza dane jedynie skonwertowane na kod binarny (system liczb binarnych). Często jednak, aby zmniejszyć liczbę znaków zapisywanych na papierze lub wprowadzanych z klawiatury komputera, wygodniej jest posługiwać się liczbami ósemkowymi lub szesnastkowymi, zwłaszcza że, jak zostanie pokazane poniżej, procedura wzajemnego przeliczania liczb z każdego z nich tych systemów na binarny jest bardzo prosty - znacznie prostszy niż tłumaczenie pomiędzy którymkolwiek z tych trzech systemów na system dziesiętny.

Przedstawmy sobie odpowiadające sobie liczby z różnych systemów liczbowych:

Dziesiętny	Szesnastkowy	ósemkowy	Dwójkowy
	A
	B
	C
	D
	mi
	F

Tabela pokazuje, że liczby w systemie o podstawie 2, 8 i 16 mają wzorce okresowe. Zatem osiem wartości systemu ósemkowego, to znaczy (od 0 do 7 lub pełnej podstawy) odpowiada trzem cyfrom ( triady) system binarny. Zatem do opisania liczb jednej cyfry systemu ósemkowego potrzebne są dokładnie trzy cyfry systemu binarnego. To samo dotyczy liczb szesnastkowych. Tylko ich opis wymaga dokładnie czterech cyfr ( tetrady) system binarny.

Wynika z tego, że aby zamienić dowolną liczbę całkowitą na ósemkową, należy podzielić ją od prawej do lewej na grupy po 3 cyfry (grupa skrajnie lewa może zawierać mniej niż trzy cyfry binarne), a następnie przypisać każdej grupie jej ósemkowy odpowiednik.

Na przykład musisz przekonwertować 11011001 2 na ósemkową.

Liczbę dzielimy na grupy trzech cyfr 011 2, 011 2 i 001 2. Zastępujemy odpowiednie liczby systemu ósemkowego. Otrzymujemy 3 8, 3 8 i 1 8 lub 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

W podobny sposób realizujemy przelewy zwrotne, np.:

Konwertuj AB5D 16 na system liczbowy binarny.

Jeden po drugim zastępujemy każdy symbol liczby AB5D 16 odpowiednią liczbą z systemu binarnego. Otrzymujemy 1010 16, 1011 16, 0101 16 i 1101 16 lub 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2 .

Oprócz omówionych powyżej systemów liczb pozycyjnych istnieją takie, w których znaczenie znaku nie zależy od miejsca, jakie zajmuje on w liczbie. Takie systemy liczbowe nazywane są niepozycyjny. Najbardziej znanym przykładem systemu niepozycyjnego jest rzymski. System ten wykorzystuje 7 znaków (I, V, X, L, C, D, M), które odpowiadają następującym wartościom:

Zasady zapisywania liczb cyframi rzymskimi: – jeśli przed mniejszą liczbą jest większa, to się je dodaje (zasada dodawania), – jeśli przed większą liczbą jest mniejsza, to od większej odejmuje się mniejszą (zasada dodawania) zasada odejmowania).

Druga zasada służy do unikania czterokrotnego powtarzania tej samej liczby. Zatem cyfry rzymskie I, X, C umieszcza się odpowiednio przed X, C, M, aby wskazać 9, 90, 900 lub przed V, L, D, aby wskazać 4, 40, 400.

Przykłady zapisywania liczb cyframi rzymskimi:

IV = 5 - 1 = 4 (zamiast IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (zamiast XVIIII),

XL = 50 - 10 =40 (zamiast XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 itd.

Należy zaznaczyć, że wykonywanie nawet prostych operacji arytmetycznych na liczbach wielocyfrowych przy użyciu cyfr rzymskich jest bardzo niewygodne. Prawdopodobnie złożoność obliczeń w systemie rzymskim, opartym na użyciu liter łacińskich, była jednym z istotnych powodów zastąpienia go wygodniejszym systemem dziesiętnym.

3.1 Podstawa systemu liczbowego nazywa się...

Zbiór technik i zasad zapisywania liczb w znakach lub symbolach cyfrowych

Liczba cyfr używanych w określonym systemie liczb pozycyjnych

Dzielnik używany podczas konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Wspólny czynnik podczas konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny

3.2 Który system liczbowy nie jest powszechnie stosowany w technologii komputerowej

ósemkowy

Dwójkowy

Pięciokrotnie

Szesnastkowy