• dom
  •  > 
  • Porada
  •  > 
  • Funkcja liniowa i jej wykres. Funkcja liniowa i jej wykres Wykres funkcji liniowej y 3

Funkcja liniowa i jej wykres. Funkcja liniowa i jej wykres Wykres funkcji liniowej y 3

Definicja funkcji liniowej

Wprowadźmy definicję funkcji liniowej

Definicja

Funkcję w postaci $y=kx+b$, gdzie $k$ jest niezerowe, nazywa się funkcją liniową.

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Liczba $k$ nazywana jest nachyleniem linii.

Gdy $b=0$, funkcja liniowa nazywana jest funkcją bezpośredniej proporcjonalności $y=kx$.

Rozważ rysunek 1.

Ryż. 1. Geometryczne znaczenie nachylenia linii

Rozważmy trójkąt ABC. Widzimy, że $ВС=kx_0+b$. Znajdźmy punkt przecięcia prostej $y=kx+b$ z osią $Ox$:

\ \

Zatem $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Znajdźmy stosunek tych boków:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Z drugiej strony $\frac(BC)(AC)=tg\kąt A$.

Możemy zatem wyciągnąć następujący wniosek:

Wniosek

Znaczenie geometryczne współczynnika $k$. Współczynnik kątowy prostej $k$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $Ox$.

Badanie funkcji liniowej $f\left(x\right)=kx+b$ i jej wykres

Najpierw rozważmy funkcję $f\left(x\right)=kx+b$, gdzie $k > 0$.

  1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx+b\prawo))"=k>0$. W konsekwencji funkcja ta rośnie w całym obszarze definicji. Nie ma skrajnych punktów.
  2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
  3. Wykres (ryc. 2).

Ryż. 2. Wykresy funkcji $y=kx+b$, dla $k > 0$.

Rozważmy teraz funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k

  1. Dziedziną definicji są wszystkie liczby.
  2. Zakres wartości to wszystkie liczby.
  3. $f\lewo(-x\prawo)=-kx+b$. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
  4. Dla $x=0,f\left(0\right)=b$. Gdy $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

  1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx\prawo))"=k
  2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dlatego funkcja nie ma punktów przegięcia.
  3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
  4. Wykres (ryc. 3).

Funkcja liniowa nazywamy funkcją formy y = kx + b, zdefiniowany na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Tutaj k– nachylenie (liczba rzeczywista), B – termin wolny (liczba rzeczywista), X– zmienna niezależna.

W szczególnym przypadku, jeśli k = 0, otrzymujemy stałą funkcję y = b, którego wykres jest linią prostą równoległą do osi Wółu przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0;b).

Jeśli b = 0, wtedy otrzymujemy funkcję y = kx, który jest bezpośrednia proporcjonalność.

B – długość segmentu, który jest odcięty linią prostą wzdłuż osi Oy, licząc od początku.

Geometryczne znaczenie współczynnika k – Kąt pochylenia prosto do dodatniego kierunku osi Wółu, rozpatrywanego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Własności funkcji liniowej:

1) Dziedziną definicji funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista;

2) Jeśli k ≠ 0, wówczas zakresem wartości funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista. Jeśli k = 0, wówczas zakres wartości funkcji liniowej składa się z liczby B;

3) Równość i nieparzystość funkcji liniowej zależą od wartości współczynników k I B.

A) b ≠ 0, k = 0, stąd, y = b – parzysty;

B) b = 0, k ≠ 0, stąd y = kx – nieparzyste;

C) b ≠ 0, k ≠ 0, stąd y = kx + b – funkcja postaci ogólnej;

D) b = 0, k = 0, stąd y = 0 – zarówno funkcje parzyste, jak i nieparzyste.

4) Funkcja liniowa nie ma właściwości okresowości;

5) Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Wół: y = kx + b = 0, x = -b/k, stąd (-b/k; 0)– punkt przecięcia z osią odciętej.

Oj: y = 0k + b = b, stąd (0;b)– punkt przecięcia z osią rzędnych.

Uwaga: Jeśli b = 0 I k = 0, a następnie funkcja y = 0 dąży do zera dla dowolnej wartości zmiennej X. Jeśli b ≠ 0 I k = 0, a następnie funkcja y = b nie znika dla żadnej wartości zmiennej X.

6) Przedziały stałości znaku zależą od współczynnika k.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozytywne, kiedy X z (-b/k; +∞),

y = kx + b– negatywne, kiedy X z (-∞; -b/k).

B) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozytywne, kiedy X z (-∞; -b/k),

y = kx + b– negatywne, kiedy X z (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b dodatni w całym zakresie definicji,

k = 0, b< 0; y = kx + b ujemny w całym zakresie definicji.

7) Przedziały monotoniczności funkcji liniowej zależą od współczynnika k.

k > 0, stąd y = kx + b wzrasta w całym obszarze definicji,

k< 0 , stąd y = kx + b maleje w całym obszarze definicji.

8) Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Aby zbudować linię prostą, wystarczy znać dwa punkty. Położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych zależy od wartości współczynników k I B. Poniżej znajduje się tabela, która wyraźnie to ilustruje.

Funkcja liniowa jest funkcją w postaci y=kx+b, gdzie x jest zmienną niezależną, a k i b są dowolnymi liczbami.
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

1. Aby wykreślić wykres funkcji, potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów należących do wykresu funkcji. Aby je znaleźć, musisz wziąć dwie wartości x, podstawić je do równania funkcji i użyć ich do obliczenia odpowiednich wartości y.

Na przykład, aby wykreślić funkcję y= x+2, wygodnie jest przyjąć x=0 i x=3, wówczas współrzędne tych punktów będą równe y=2 i y=3. Otrzymujemy punkty A(0;2) i B(3;3). Połączmy je i otrzymamy wykres funkcji y= x+2:

2. We wzorze y=kx+b liczbę k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności:
jeśli k>0, to funkcja y=kx+b rośnie
jeśli k
Współczynnik b pokazuje przemieszczenie wykresu funkcji wzdłuż osi OY:
jeśli b>0 to wykres funkcji y=kx+b otrzymujemy z wykresu funkcji y=kx przesuwając b jednostki w górę wzdłuż osi OY
jeśli b
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Należy zauważyć, że we wszystkich tych funkcjach współczynnik k Powyżej zera, i funkcje są wzrastający. Ponadto im większa wartość k, tym większy kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi OX.

We wszystkich funkcjach b=3 - i widzimy, że wszystkie wykresy przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważmy teraz wykresy funkcji y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Tym razem we wszystkich funkcjach współczynnik k mniej niż zero i funkcje maleją. Współczynnik b=3, a wykresy jak w poprzednim przypadku przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważmy wykresy funkcji y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Teraz we wszystkich równaniach funkcyjnych współczynniki k są równe 2. I mamy trzy równoległe proste.

Ale współczynniki b są różne i te wykresy przecinają oś OY w różnych punktach:
Wykres funkcji y=2x+3 (b=3) przecina oś OY w punkcie (0;3)
Wykres funkcji y=2x (b=0) przecina oś OY w punkcie (0;0) – początek układu współrzędnych.
Wykres funkcji y=2x-3 (b=-3) przecina oś OY w punkcie (0;-3)

Jeśli więc znamy znaki współczynników k i b, to od razu możemy sobie wyobrazić, jak wygląda wykres funkcji y=kx+b.
Jeśli k 0

Jeśli k>0 i b>0, to wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k>0 i b, to wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k, wówczas wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k=0, to funkcja y=kx+b zamienia się w funkcję y=b i jej wykres wygląda następująco:

Współrzędne wszystkich punktów na wykresie funkcji y=b są równe b If b=0, to wykres funkcji y=kx (proporcjonalność bezpośrednia) przechodzi przez początek:

3. Zwróćmy uwagę osobno na wykres równania x=a. Wykres tego równania jest linią prostą równoległą do osi OY, której wszystkie punkty mają odciętą x=a.

Przykładowo wykres równania x=3 wygląda następująco:
Uwaga! Równanie x=a nie jest funkcją, więc jednej wartości argumentu odpowiadają różne wartości funkcji, co nie odpowiada definicji funkcji.


4. Warunek równoległości dwóch prostych:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 jest równoległy do ​​wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 jeśli k 1 =k 2

5. Warunek, aby dwie proste były prostopadłe:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 jest prostopadły do ​​wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 jeśli k 1 *k 2 =-1 lub k 1 =-1/k 2

6. Punkty przecięcia wykresu funkcji y=kx+b z osiami współrzędnych.

Z osią OY. Odcięta dowolnego punktu należącego do osi OY jest równa zeru. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OY, należy w równaniu funkcji zamiast x zastąpić zero. Otrzymujemy y=b. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0; b).

Z osią OX: Współrzędna dowolnego punktu należącego do osi OX wynosi zero. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OX, należy w równaniu funkcji zamiast y podstawić zero. Otrzymujemy 0=kx+b. Stąd x=-b/k. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OX ma współrzędne (-b/k;0):