Jednym z najważniejszych pojęć w teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zmienna losowa.

Losowy zwany rozmiar, które w wyniku testów przyjmuje pewne możliwe wartości, które są z góry nieznane i zależą od przyczyn losowych, których nie można z góry uwzględnić.

Zmienne losowe są oznaczone dużymi literami alfabetu łacińskiego X, Y, Z itp. lub wielkimi literami alfabetu łacińskiego z prawym dolnym indeksem, a wartości, jakie mogą przyjmować zmienne losowe - odpowiednimi małymi literami alfabetu łacińskiego X, y, z itp.

Pojęcie zmiennej losowej jest ściśle powiązane z koncepcją zdarzenia losowego. Połączenie ze zdarzeniem losowym polega na tym, że przyjęcie przez zmienną losową określonej wartości liczbowej jest zdarzeniem losowym charakteryzującym się prawdopodobieństwem .

W praktyce istnieją dwa główne typy zmiennych losowych:

1. Dyskretne zmienne losowe;

2. Ciągłe zmienne losowe.

Zmienna losowa jest funkcją numeryczną zdarzeń losowych.

Przykładowo zmienną losową jest liczba punktów uzyskanych w rzucie kostką lub wzrost losowo wybranego z badanej grupy ucznia.

Dyskretne zmienne losowe nazywane są zmiennymi losowymi, które przyjmują tylko wartości odległe od siebie, które można z góry wyliczyć.

Prawo dystrybucji(funkcja rozkładu i szereg rozkładów lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisują zachowanie zmiennej losowej. Jednak w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Rozważmy główne cechy liczbowe dyskretnych zmiennych losowych.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej nazywa się każdą relację , ustalenie związku między możliwymi wartościami zmiennej losowej i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami .

Prawo dystrybucji zmiennej losowej można przedstawić jako stoły:

Suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej jest równa jeden, tj.

Można przedstawić prawo dystrybucji graficznie: możliwe wartości zmiennej losowej są wykreślane wzdłuż osi odciętych, a prawdopodobieństwa tych wartości są wykreślane wzdłuż osi rzędnych; powstałe punkty są połączone odcinkami. Skonstruowana polilinia nazywa się wielokąt dystrybucyjny.

Przykład. Łowca z 4 nabojami strzela do zwierzyny, dopóki nie odda pierwszego trafienia lub nie zużyje wszystkich nabojów. Prawdopodobieństwo trafienia pierwszym strzałem wynosi 0,7, z każdym kolejnym strzałem maleje o 0,1. Sporządź prawo podziału liczby nabojów wydanych przez myśliwego.

Rozwiązanie. Ponieważ myśliwy, mając 4 naboje, może oddać cztery strzały, to zmienna losowa X- liczba nabojów wydanych przez myśliwego może przyjmować wartości 1, 2, 3, 4. Aby znaleźć odpowiednie prawdopodobieństwa, wprowadzamy zdarzenia:

- „uderz I- och, strzał”;

- „Tęsknię za kiedy I- om shot” oraz zdarzenia i są parami niezależne.

Według warunków problemowych mamy:

,

Korzystając z twierdzenia o mnożeniu dla zdarzeń niezależnych i twierdzenia o dodawaniu dla zdarzeń niezgodnych, znajdujemy:

(myśliwy trafił w cel pierwszym strzałem);

(myśliwy trafił w cel drugim strzałem);

(myśliwy trafił w cel trzecim strzałem);

(myśliwy trafił w cel czwartym strzałem lub chybił wszystkie cztery razy).

Sprawdź: - prawda.

Zatem prawo rozkładu zmiennej losowej X ma postać:

Przykład. Pracownik obsługuje trzy maszyny. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny pierwsza maszyna nie będzie wymagała regulacji, wynosi 0,9, druga - 0,8, trzecia - 0,7. Sporządź prawo dystrybucji liczby maszyn, które będą wymagały regulacji w ciągu godziny.

Rozwiązanie. Losowa wartość X- liczba maszyn, które będą wymagały regulacji w ciągu godziny, może przyjmować wartości 0,1, 2, 3. Aby znaleźć odpowiednie prawdopodobieństwa, wprowadzamy zdarzenia:

- “I- maszyna będzie wymagała regulacji w ciągu godziny”;

- “I- maszyna nie będzie wymagała regulacji w ciągu godziny.”

Zgodnie z warunkami problemu mamy:

, .

Zadanie 5.

Stan : schorzenie: Urządzenie można złożyć z części wysokiej jakości i części zwykłej jakości. 40% urządzeń składa się z części wysokiej jakości.

W przypadku urządzenia wysokiej jakości jego niezawodność w czasie t wynosi 0,95, w przypadku zwykłych urządzeń jego niezawodność wynosi 0,7. Urządzenie zostało przetestowane na czas t i działało bez zarzutu.

Znajdź prawdopodobieństwo, że jest on złożony z części wysokiej jakości.

Rozwiązanie: H 1 - urządzenie zmontowane jest z wysokiej jakości części,

N 2 - urządzenie jest zmontowane z części o zwykłej jakości.

Prawdopodobieństwo tych hipotez przed eksperymentem:

W wyniku eksperymentu zaobserwowano zdarzenie A – urządzenie pracowało bez zarzutu przez czas t.

Prawdopodobieństwa warunkowe tego zdarzenia zgodnie z hipotezami H 1 i H 2 są równe:

Po eksperymencie znajdujemy prawdopodobieństwo hipotezy H 1:

pierwiastek prawdopodobieństwa średnia kwadratowa wariancja matematyczna

Statystyka matematyczna

Ćwiczenie 1.

Stan : schorzenie: Narysuj prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X, obliczyć matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Myśliwy strzela do zwierzyny, aż trafi, ale może oddać nie więcej niż trzy strzały. Prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału wynosi 0,6. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej X – liczby strzałów oddanych przez strzelca. Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo, że liczba chybień wynosi 0, wynosi 0,6

• - prawdopodobieństwo, że liczba chybionych trafień wynosi 1, wynosi 0,4 · 0,6 = 0,24 (w pierwszym przypadku chybione, w drugim trafione)
• - prawdopodobieństwo, że liczba chybień wyniesie 2 wynosi 0,4·0,4·0,6=0,096 (w pierwszych dwóch chybionych, w trzecim trafionych)
• - prawdopodobieństwo, że liczba chybień wyniesie 3 wynosi 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (ominięte pierwsze trzy)

Oczekiwanie matematyczne wynosi 0,0,6 + 1,0,24 +2,0,096 +3,0,064 = 0,624

M(x*x)=0,24 +0,384+0,576=1,2

D(x)=1,2-0,389376=0,810624

Zadanie 2.

Stan : schorzenie: Losowa wartość X dane przez funkcję dystrybucji F(X).