12.3.4. Obiekty funkcji logicznych Obiekty funkcji logicznych obsługują operacje „logiczne AND” (zwraca wartość true, jeśli oba operandy są prawdziwe – wykorzystuje operator && skojarzony z typem Type), „logiczne OR” (zwraca wartość true, jeśli przynajmniej jeden z operandów jest równy PRAWDA, -

Operacje logiczne Do operacji logicznych zaliczają się operacje binarne and, or i xor, a także jednoargumentowa operacja not, które mają operandy typu boolean i zwracają wartość typu boolean. Operacje te są zgodne ze standardowymi zasadami logiki: aib jest prawdą tylko wtedy, gdy aib jest prawdą, a lub b jest prawdą

Definicja 1

Funkcja logiczna– funkcja, której zmienne przyjmują jedną z dwóch wartości: $1$ lub $0$.

Dowolną funkcję logiczną można określić za pomocą tabeli prawdy: zbiór wszystkich możliwych argumentów jest zapisany po lewej stronie tabeli, a odpowiadające wartości funkcji logicznej po prawej stronie.

Definicja 2

Tabela prawdy– tabela pokazująca, jakie wartości przyjmie wyrażenie złożone dla wszystkich możliwych zestawów wartości wyrażeń prostych w nim zawartych.

Definicja 3

Równowartość nazywane są wyrażeniami logicznymi, których ostatnie kolumny tabel prawdy pokrywają się. Równoważność jest oznaczana znakiem $«=»$.

Kompilując tabelę prawdy, należy wziąć pod uwagę następującą kolejność operacji logicznych:

Obrazek 1.

Nawiasy mają pierwszeństwo przy wykonywaniu kolejności operacji.

Algorytm konstruowania tablicy prawdy funkcji logicznej

Określ liczbę linii: Liczba linii= 2 $^n + 1 $ (dla linii tytułowej), $n$ – liczba prostych wyrażeń. Przykładowo dla funkcji dwóch zmiennych mamy $2^2 = 4$ kombinacji zbiorów wartości zmiennych, dla funkcji trzech zmiennych $2^3 = 8$ itd.

Określ liczbę kolumn: liczba kolumn = liczba zmiennych + liczba operacji logicznych. Przy określaniu liczby operacji logicznych brana jest pod uwagę także kolejność ich wykonywania.

Wypełnij kolumny wynikami operacji logicznych w określonej kolejności, z uwzględnieniem tablic prawdy podstawowych operacji logicznych.

Rysunek 2.

Przykład 1

Utwórz tabelę prawdy dla wyrażenia logicznego $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$.

Rozwiązanie:

Określmy liczbę linii:

liczba linii = 2^3 + 1=9$.

Liczba zmiennych – $3$.

1. odwrotność ($\bar(A)$);
2. dysjunkcja, ponieważ jest w nawiasach ($B \vee C$);

3. rozłączenie ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) jest wymaganym wyrażeniem logicznym.

   Liczba kolumn = $3 + 3=6$.

Wypełnijmy tabelę, biorąc pod uwagę tablice prawdy operacji logicznych.

Rysunek 3.

Przykład 2

Korzystając z tego logicznego wyrażenia, skonstruuj tabelę prawdy:

Rozwiązanie:

Określmy liczbę linii:

Liczba prostych wyrażeń wynosi $n=3$, co oznacza

Liczba linii = $2^3 + 1=9$.

Określmy liczbę kolumn:

Liczba zmiennych – $3$.

Liczba operacji logicznych i ich kolejność:

1. negacja ($\bar(C)$);
2. dysjunkcja, ponieważ jest w nawiasach ($A \vee B$);
3. koniunkcja ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
4. negacja, którą oznaczamy przez $F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$);
5. rozłączenie ($A \vee C$);
6. koniunkcja ($(A\vee C)\bigwedge B$);
7. negacja, którą oznaczamy przez $F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$);

8. dysjunkcja jest pożądaną funkcją logiczną ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).

Zadanie 1 #10050

\((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x)\)

Zrób dla tego tabelę prawdy. Jako odpowiedź podaj liczbę krotek \((x,\) \(y,\) \(z),\), dla których funkcja jest równa 1.

1. Uprośćmy \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y).\)

Zgodnie z prawem rozdzielności \((y \wedge x) \vee (x \wedge \overline y)\) = \(x \wedge (y \vee \overline y).\)\(y \vee \overline y = 1\) (jeśli \(y = 0,\) to \(\overline y \vee y = 1 \vee 0 = 1,\) jeśli \(y = 1,\) to \(\overline y \vee y = 0 \vee 1 = 1).\) Następnie \(x \wedge (y \vee \overline y) = x \wedge 1 = x .\)

2. Uprośćmy \((y\klin z) \vee (z \klin x).\) Zgodnie z prawem rozdzielności \((y\wedge z) \vee (z \wedge x) = z \wedge (y \vee x).\)

3. Otrzymujemy: \((x \wedge y) \vee (x \wedge \overline y) \vee (y\wedge z) \vee (z \wedge x) = x \vee z \wedge (y \vee x).\)

4. Tabela prawdy zawiera 8 linii (linie to zawsze \(2^n,\) gdzie \(n\) to liczba zmiennych). W naszym przypadku są 3 zmienne.

5. Wypełnij tabelę prawdy.

\[\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|) \hline x & y & z & y \vee x & z \wedge (y \vee x) & F = x \vee z \wedge (y \vee x) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 i 1 i 0 i 1 i 0 i 1 \\ \hline 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 \\ \hline \end(array)\]

Od rozłączenia \(x \vee z \wedge (y \vee x)\) jest prawdziwe, jeśli przynajmniej jedno ze stwierdzeń w nim zawartych jest prawdziwe, to dla \(x = 1\) \(F = 1\) dla dowolnego \(y\) i \(z\) (wiersze 5-8 w tablica prawdy).

Rozważmy przypadek, gdy \(x = 0.\) Wtedy wartość funkcji będzie zależała od wartości \(z \wedge (y \vee x).\) Jeśli \(z \wedge (y \vee x) \) jest prawdą, to \(F\) jest prawdą, jeśli jest fałszywe, to \(F\) jest fałszem. Rozważmy przypadek, gdy \(F = 1.\) Spójnik \((z \wedge (y \vee x))\) jest prawdziwy, jeśli wszystkie zawarte w nim stwierdzenia są prawdziwe, czyli \(y \vee x = 1\) i \(z = 1.\) \(x = 0,\) oznacza \(y \vee x = 1,\) gdy \(y = 1\) (linia 4).

Jeżeli jedno ze zdań zawartych w spójniku jest fałszywe, to cała spójnika jest fałszywa. Jeśli \(x = 0\) i \(y = 0,\) to \(y \vee x = 0.\) Wtedy \(z \wedge (x \vee y) = 0\) dla dowolnego \(z \) (linie 1-2). Ponieważ \(x = 0,\) i drugie zdanie zawarte w alternatywie \((z \wedge (x \vee y)),\) jest również fałszywe, to cała funkcja jest fałszywa. Jeśli \(x = 0\) i \(y = 1,\) to \(y \vee x = 1.\) Jeśli \(z = 0,\) \(z \wedge (y \vee x) = 0.\) Następnie \(F = 0\) (linia 3). Przypadek, gdy \(z = 1,\) \(y = 1,\) \(x = 0,\) został omówiony w poprzednim akapicie.

Stworzyliśmy tabelę prawdy. Widzimy, że jest w nim 5 zbiorów, dla których \(F = 1.\) Zatem odpowiedź brzmi: 5.

Odpowiedź: 5

Zadanie 2 #10051

Funkcja logiczna \(F\) jest dana wyrażeniem:

\((x \wedge \overline y \wedge z) \vee (x \rightarrow y)\)

Zrób dla tego tabelę prawdy. Jako odpowiedź podaj liczbę krotek \((x,\) \(y,\) \(z),\), dla których funkcja jest równa 0.

\[\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|c|) \hline x & y & z & \overline y & x\wedge \overline y & x \wedge \overline y \wedge z & \overline x & \overline x \vee y & x \wedge \overline y \wedge z \vee \overline x \vee y \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 i 1\\ \hline \end(tablica)\]

1. \(x \rightarrow y\) = \(\overline x \vee y.\)

2. Zauważ, że dla \(y = 1\) \(F = 1,\) ponieważ alternatywna wersja jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno zawarte w niej wyrażenie jest prawdziwe (wiersze 3-4, 7-8 tabeli prawdy). Podobnie dla \(\overline x = 1,\), czyli dla \(x = 0,\) \(F = 1\) (linie 1-4).

3. Dla \(x = 1\) i \(y = 0\) \(\overline x \vee y = 0,\) \(x \wedge \overline y = 1.\) Dla \(z = 1 \) \(x \wedge \overline y \klin z = 1\) i \(F = 1,\), ponieważ jedno z wyrażeń jest prawdziwe (linia 6), oraz dla \(z = 0\) \(x \wedge \overline y \wedge z = 0\) i \(F = 0,\), ponieważ oba wyrażenia zawarte w rozłączeniu są fałszywe (wiersz 5).

Ze skonstruowanej tabeli prawdy widzimy, że dla jednego zbioru \((x,\) \(y,\) \(z)\) \(F = 0.\)

Odpowiedź 1

Zadanie 3 #10052

Funkcja logiczna \(F\) jest dana wyrażeniem:

\((\overline(z \vee \overline y)) \vee (w \wedge (z \equiv y)) \)

Zrób dla tego tabelę prawdy. Jako odpowiedź podaj sumę wartości \(z,\) \(y\) i \(w,\) dla których \(F = 1.\)

\[\begin(array)(|c|c|c|c|c|c|c|c|) \hline w & y & z & \overline y & z \vee \overline y & \overline( z \vee \overline y) & z \equiv y & w \wedge (z \equiv y) & \overline z \vee \overline y \vee w \wedge (z \equiv y) \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hlinia 1 i 0 i 1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 0 \\ \hlinia 1 i 1 i 0 i 0 i 0 i 1 i 0 i 0 i 1 \\ \hlinia 1 i 1 i 1 i 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end(array)\]

1. \((\overline(z \vee \overline y)) = \overline z \wedge y \)

2. W tabeli prawdy będzie znajdować się \(2^3 = 8\) wierszy.

3. Jeśli \(z = 1\) i \(y = 1,\) \(wtedy (z \equiv y) = 1\) (ponieważ równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia są jednocześnie fałszywe lub prawdziwe) . \(\overline z \wedge y = 0\) \((0 \wedge 1 = 0).\) If \(w = 1,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 1\) \ ((1 \wedge 1 = 1)\) i \(F = 1,\) ponieważ dysjunkcja jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno z zawartych w niej stwierdzeń jest prawdziwe (wiersz 8 tabeli prawdy). Jeśli \(w = 0,\) \(w \wedge (z \equiv y) = 0\) \((0 \wedge 1 = 0)\) i \(F = 0,\) ponieważ oba stwierdzenia, to te zawarte w rozłączeniu są fałszywe (wiersz 4).

4. Podobnie dla \(z = 0, y = 0.\) \((z \equiv y) = 1,\) \(\overline z \wedge y = 0\) \((1 \wedge 0 = 0 ).\) Wtedy znowu wartość funkcji będzie zależała od \(w.\) Dla \(w = 1\) \(w \wedge (z \equiv y) = 1,\)\(F = 1,\) ponieważ jedno ze zdań zawartych w alternatywie jest prawdziwe (wiersz 5), oraz dla \(w = 0\) \(w \wedge (z \equiv y) = 0,\)\(F = 0,\), ponieważ wszystkie stwierdzenia są fałszywe (wiersz 1).

5. Jeśli \(z = 0\) i \(y = 1,\) to \(\overline z \wedge y = 1\) \((1 \wedge 1 = 1).\) Ponieważ \(( z \equiv y) = 0\) (w końcu wartości \(z\) i \(y\) są różne), dla dowolnego \(w.\) będzie fałszywe. Wtedy, ponieważ wartość zmiennej \(w\) nie będzie miało wpływu na wartość funkcji, gdzie \(z = 0\) i \(y = 1\) \(w\) może wynosić 0 lub 1. \(F = 1,\ ), ponieważ jedno ze zdań zawartych w alternatywie jest prawdziwe (wiersze 3, 7).

6. Jeśli \(z = 1\) i \(y = 0,\) to \(\overline z \wedge y = 0 \wedge 0 = 0.\) Ponieważ \((z \równoważnik y) = 0,\) \(w \wedge (z \equiv y) = w \wedge 0\) będzie fałszywe dla dowolnego \(w\) (to znaczy \(w\) może wynosić zarówno 0, jak i 1). Oznacza to, że dla \(z = 1\) i \(y = 0\) \(F\) będzie zawsze fałszywe (ponieważ oba stwierdzenia zawarte w rozłączeniu są fałszywe, wiersze 2, 5).

7. \(F = 1\) dla następujących zbiorów \(z,\) \(y,\) \(w:\) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 0). Jeśli podsumujemy wartości, otrzymamy 7.

Odpowiedź: 7

Zadanie 4 #10053

Funkcja logiczna \(F\) jest dana wyrażeniem:

\(a \wedge ((\overline(b \wedge c)) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a)) \)

Zrób dla tego tabelę prawdy. Jako odpowiedź wpisz sumę wartości \(a,\) \(b\) i \(c,\) dla których \(F = 1.\)

\[\begin(array)(|c|c|c|c|) \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \ \\hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 i 1 \\ \hline 1 i 1 & 1 & 0 \\ \hline \end(array)\]

1. W tabeli prawdy znajduje się \(2^3 = 8\) wierszy.

2. Dla \(a = 0\) \(F = 0\) dla dowolnych wartości \(b\) i \(c,\) ponieważ spójnik jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zawarte w nim stwierdzenia są prawdziwe (wiersze 1-4 w tabeli prawdy).

3. Rozważ przypadki, gdy \(a = 1.\) If \(\overline ((b \wedge c)) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = 1,\) wtedy \(F = 1\) (ponieważ oba stwierdzenia będą prawdziwe), w przeciwnym razie \(F = 0\) (ponieważ jedno stwierdzenie będzie fałszywe). Zgodnie z prawem De Morgana \(\overline(b \wedge c) = \overline b \vee \overline c.\) Następnie, biorąc pod uwagę, że \(a = 1,\) \(\overline ((b \wedge c)) \vee (a \wedge \overline b) \vee (\overline c \wedge a) = \overline b \vee \overline c \vee \overline b \vee \overline c = \overline b \vee \overline c.\)

4. Jeśli \(\overline b = 0\) i \(\overline c = 0\) (jednocześnie, czyli dla \(b = 1\) i \(c = 1),\) to \(\overline b \vee \overline c = 0\) i \(F = 0\) (linia 8). W innych sprawach \(\overline b \vee \overline c = 1\) i \(F = 1\) (linie 5-7).

5. Zestawy \((x,\) \(y,\) \(z),\) dla których \(F = 1:\) (1, 0, 0), (1, 1, 0), ( 1, 0, 1). Suma wartości wynosi 5.

Odpowiedź: 5

Zadanie 5 #10054

Funkcja logiczna \(F\) jest dana wyrażeniem:

\(((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) \)

Utwórz tabelę prawdy. Jako odpowiedź wpisz sumę wartości \(a,\), dla których \(F = 0.\)

\[\begin(array)(|c|c|c|c|c|) \hline a & b & c & d & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end(array)\]

1. Zgodnie z prawem rozdzielności \((a \wedge b) \vee (b \wedge c) = b \wedge (a \vee c).\)

2. \(d \rightarrow a = \overline d \vee a.\)

3. \(((a \wedge b) \vee (b \wedge c)) \equiv ((d \rightarrow a) \vee (b \wedge \overline c)) = b \wedge (a \vee c) \equiv (\overline d \vee a \vee (b \wedge \overline c)).\)

4. Jeżeli \(b = 0,\) to lewa strona funkcji jest równa 0 \((0 \wedge (a \vee c) = 0).\) \(b \wedge \overline c = 0 \wedge \overline c = 0.\) Oznacza to, że dla \(b = 0\) \(c\) może być wszystko, ponieważ nie wpływa to na wartość funkcji. \(F = 1,\) if \(\overline d \vee a = 0\) (wtedy jedno z wyrażeń zawartych w alternatywie będzie prawdziwe). Dotyczy to \(\overline d = 0\) \((d = 1)\) i \(a = 0\) (linie 2, 3). Dla other \(d\) i \(a\) \(\overline d \vee a = 0,\) oznacza \(F = 0,\), ponieważ operacja równoważności jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia są jednocześnie prawdziwe lub fałsz (linie 1, 10 tabeli prawdy).

5. Jeśli \(b = 1,\) to \(b \wedge (a \vee c) = 1 \wedge (a \vee c) = a \vee c.\) \(b \wedge \overline c = 1 \wedge \overline c = \overline c.\) Potem to mamy \(a \vee c \equiv \overline d \vee a \vee \overline c.\) Jeśli \(a = 1,\) to \(a \vee c = 1\) i \(\overline d \vee a \vee \overline c = 1,\) ponieważ alternatywna wersja jest prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno z wyrażeń jest prawdziwe (a w obu alternatywach występuje \(a = 1).\) Następnie, jeśli \(b = 1\) i \(a = 1,\) \ (F = 1\) dla dowolnego \(c\) i \(d\) (linie 5, 7, 8, 11).

Jeśli \(a = 0,\) to \(a \vee c = 0 \vee c = c,\) a \(\overline d \vee a \vee \overline c = \overline d \vee \overline c.\) Mamy: \(c \równoważnik (\overline d \vee \overline c).\) Dla \(c = 1\) \(1 \equiv \overline d.\) Dla \(d = 1\) \(F = 0,\) ponieważ instrukcje są różne (wiersz 4), dla \(d = 0 \) \(F = 1,\), ponieważ oba stwierdzenia są prawdziwe (linia 14). Kiedy \(c = 0\) \(0 \równoważnik (\overline d \vee 1).\) Ponieważ \(\overline d \vee 1\) jest rozłączeniem, w którym jedno ze stwierdzeń jest prawdziwe, to całe rozłączenie jest prawdziwe. Wtedy \(0 \equiv 1,\), które jest fałszywe, oznacza \(F = 0\) dla dowolnego \(d\) (linia 9, 16).

Ze skonstruowanej tabeli widzimy, że \(F = 0\) dla \(a = 0\) (linie 1, 4, 9, 10, 16) i dla \(a = 1\) (linie 6, 12, 13 , 15). Wtedy suma wartości wynosi 0 * 5 + 1 * 4 = 4.

Odpowiedź: 4

Zadanie 6 #10055

Funkcja logiczna \(F\) jest dana wyrażeniem:

\((a \equiv (b \vee \overline c)) \rightarrow (c \wedge (b \vee a)) \)

Utwórz tabelę prawdy. Jako odpowiedź wpisz sumę wartości \(c,\), dla których \(F = 1.\)

\[\begin(array)(|c|c|c|c|) \hline a & b & c & F\\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \ \\hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 i 1 \\ \hline 1 i 0 & 1 i 1 \\ \hline \end(array)\]

Tabela zawiera \(2^3 = 8\) wierszy.

1. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie fałszywe wynika ze zdania prawdziwego. Oznacza to \(F = 0,\) jeśli a \(c \wedge (b \vee a) = 0.\) W pozostałych przypadkach \(F = 1.\) Zastanówmy się przy jakich wartościach \(a ,\) \(b\) i \(c\) \(a \równoważnik (b \vee \overline c) = 1\)(Jeśli \(a \equiv (b \vee \overline c) = 0,\) wtedy \(F = 1\) dla dowolnej wartości \(c \wedge (b \vee a) = 0).\)

Jeśli \(a = 0,\) to tak, że \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1,\) konieczne \(b \vee \overline c = 0\) (w końcu operacja równoważności jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia są prawdziwe lub oba są fałszywe). Aby rozłączenie \((b \vee \overline c)\) było fałszywe, oba zawarte w nim stwierdzenia muszą być fałszywe, czyli \(b = 0\) i \(\overline c = 0\) \( ( c = 1).\) Dla takich wartości \(c \wedge (b \vee a) = 1 \wedge (0 \vee 0) = 0.\) Następnie \((a \equiv (b \vee \overline c)) \rightarrow (c \wedge (b \vee a)) = 1 \rightarrow 0 = 0,\)\(F = 0.\) Odpowiada to wierszowi 2 tabeli prawdy.

Jeśli \(a = 1,\) to tak, że \(a \equiv (b \vee \overline c) = 1,\)\(b \vee \overline c = 1.\) Działa to w kilku przypadkach. Jeśli \(b = 1,\) to \(c\) może być równe zero i jeden, ponieważ jedno ze stwierdzeń zawartych w alternatywie jest już prawdziwe. Kiedy \(c = 1\) \(c \wedge (b \vee a) = 1 \wedge 1 = 1,\) wtedy \(F = 1\) (ponieważ \(1 \rightarrow 1 = 1,\) linia 7). Kiedy \(c = 0\) \(c \wedge (b \vee a) = 0 \wedge 1 = 0,\) to znaczy \(F = 0\) \((1 \rightarrow 0 = 0,\) linia 6). Jeśli \(b = 0,\) to \(\overline c = 1\) \((c = 0,\) to jedno ze zdań zawartych w alternatywie będzie prawdziwe). W tym przypadku \(c \wedge (b \vee a) = 0 \wedge (0 \vee 1) = 0.\)\(F = 0,\) ponieważ \(1 \rightarrow 0 = 0\) (linia 5).

2. Dla innych wartości \(a,\) \(b\) i \(c\) \(F = 1,\) ponieważ \(a \równoważnik (b \vee \overline c) = 0\)(linie 1, 3, 7, 8).

3. Ze skompilowanej tabeli prawdy widzimy, że \(F = 1\) dla \(c = 0\) (linie 1, 4) i dla \(c = 1\) (linie 3, 7, 8). Suma wartości wynosi 0 * 2 + 1 * 3 = 3.\(2^4 = 16\) wierszy.

1. Ponieważ koniunkcja jest fałszywa, jeśli przynajmniej jedno ze zdań jest fałszywe, to dla \(d = 0\) \(F = 0\) dla dowolnego \(a,\) \(b\) i \(c \) (wiersze 1, 6-10, 12, 14 w tabeli prawdy).

2. Rozważmy przypadek, gdy \(d = 1.\) Wtedy \((a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge d = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv c) \wedge 1 = (a \rightarrow b) \wedge (b \equiv C).\) Kiedy \(b = 1\) \(a \rightarrow b = a \rightarrow 1 = 1\) dla dowolnego \(a,\), ponieważ implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy fałszywe zdanie wynika z prawdziwego stwierdzenia. Jeśli \(c = 1,\) to \(b \equiv c = 1,\) ponieważ operacja równoważności jest prawdziwa, gdy oba wyrażenia są prawdziwe lub oba wyrażenia są fałszywe, oraz \(F = 1\) (ponieważ wszystkie wyrażenia są uwzględnione w spójnik, są prawdziwe). Odpowiada to wierszom 4 i 5. Jeśli \(c = 0,\) to \(b \equiv c = 0,\) \(F = 0,\) ponieważ jedno z wyrażeń zawartych w spójniku jest fałszywe (linie 11 i 16).

Dla \(b = 0:\) jeśli \(a = 1,\) to \(a \rightarrow b = 1 \rightarrow 0 = 0,\) wtedy jedno z wyrażeń zawartych w koniunkcji jest fałszywe i \(F = 0\) dla dowolnego \(c\) (wiersze 13 i 15). Jeśli \(a = 0,\) to \(a \rightarrow b = 0 \rightarrow 0 = 1.\) Jeśli \(c = 0,\) to \(b \równoważnik c = 0 \równoważnik 0 = 1,\)\(F = 1,\), ponieważ oba wyrażenia zawarte w spójniku są prawdziwe (wiersz 2). Jeśli \(c = 1,\) to \(b \równoważnik c = 0 \równoważnik 1 = 0,\)\(F = 0,\), ponieważ jedno z wyrażeń zawartych w spójniku jest fałszywe (wiersz 3).

Zatem \(F = 1\) dla \(d = 1\) (linie 2, 4, 5). Suma wartości \(d\) wynosi 1 * 3 = 3.

Algebra logiki

Algebra logiki

Algebra logiki(Język angielski) algebra logiki) to jedna z głównych gałęzi logiki matematycznej, w której w przekształceniach logicznych wykorzystuje się metody algebraiczne.

Założycielem algebry logiki jest angielski matematyk i logik J. Boole (1815-1864), który swoje logiczne nauczanie oparł na analogii między algebrą a logiką. Zapisywał dowolne zdanie, posługując się symbolami opracowanego przez siebie języka i otrzymywał „równania”, których prawdziwość lub fałszywość można było udowodnić w oparciu o pewne prawa logiczne, takie jak prawa przemienności, rozdzielności, skojarzeń itp.

Nowoczesny algebra logiki jest gałęzią logiki matematycznej zajmującą się badaniem operacji logicznych na zdaniach pod kątem ich wartości logicznej (prawda, fałsz). Stwierdzenia mogą być prawdziwe, fałszywe lub zawierać prawdę i fałsz w różnych proporcjach.

Logiczne stwierdzenie to dowolne zdanie oznajmujące, którego treść można jednoznacznie stwierdzić jako prawdziwe lub fałszywe.

Na przykład „3 razy 3 równa się 9”, „Archangielsk jest na północ od Wołogdy” to prawdziwe stwierdzenia, ale „Pięć to mniej niż trzy”, „Mars to gwiazda” są fałszywe.

Oczywiście nie każde zdanie może być stwierdzeniem logicznym, ponieważ nie zawsze ma sens mówienie o jego fałszywości lub prawdzie. Na przykład stwierdzenie „Informatyka to interesujący przedmiot” jest niejasne i wymaga dodatkowych informacji, a stwierdzenie „Dla ucznia klasy 10-A Iwanowa A.A. informatyka jest interesującym przedmiotem” w zależności od zainteresowań Iwanowa A.A. , może przyjąć znaczenie „prawda” lub „kłamstwo”.

Z wyjątkiem dwuwartościowa algebra zdań, w którym akceptowane są tylko dwie wartości - „prawda” i „fałsz”. wielowartościowa algebra zdań. W takiej algebrze oprócz wartości „prawda” i „fałsz” stosowane są takie wartości prawdy, jak „prawdopodobne”, „możliwe”, „niemożliwe” itp.

W algebrze logika jest inna prosty(podstawowy) sprawozdania, oznaczone literami łacińskimi (A, B, C, D, ...) i złożony(złożony), złożony z kilku prostych za pomocą spójników logicznych, np „nie”, „i”, „lub”, „jeśli i tylko wtedy”, „jeśli… wtedy”. O prawdziwości lub fałszywości otrzymanych w ten sposób zdań złożonych decyduje znaczenie zdań prostych.

Oznaczmy to jako A stwierdzenie „Algebra logiczna jest z powodzeniem stosowana w teorii obwodów elektrycznych” i poprzez W— „Algebra logiczna jest wykorzystywana w syntezie obwodów przekaźnikowych”.

Następnie zdanie złożone „Algebra logiczna jest z powodzeniem stosowana w teorii obwodów elektrycznych i syntezie obwodów przekaźnikowych” można krótko zapisać jako A i B; tutaj „i” jest łącznikiem logicznym. Jest oczywiste, że od elementarnych stwierdzeń A i B są prawdziwe, to zdanie złożone jest prawdziwe A i B.

Każdy łącznik logiczny traktowany jest jako operacja na instrukcjach logicznych i ma swoją nazwę i oznaczenie.

Istnieją tylko dwie wartości logiczne: Prawda, prawda) I fałsz (FAŁSZ). Odpowiada to reprezentacji cyfrowej − 1 I 0 . Wyniki każdej operacji logicznej można zapisać w formie tabeli. Takie tabele nazywane są tabelami prawdy.

Podstawowe operacje logiki algebry

1. Negacja logiczna, inwersja(łac. inwersja- inwersja) to operacja logiczna, w wyniku której z danego zestawienia otrzymuje się nowe zdanie (np. A) ani), który jest nazywany zaprzeczenie pierwotnego stwierdzenia, jest symbolicznie oznaczone kreską górną ($A↖(-)$) lub konwencjami takimi jak ¬, „nie” i brzmi: „nie A”, „A jest fałszywe”, „nie jest prawdą, że A”, „negacja A”. Na przykład „Mars jest planetą Układu Słonecznego” (stwierdzenie A); „Mars nie jest planetą Układu Słonecznego” ($A↖(-)$); stwierdzenie „10 jest liczbą pierwszą” (stwierdzenie B) jest fałszywe; Stwierdzenie „10 nie jest liczbą pierwszą” (stwierdzenie B) jest prawdziwe.

Nazywa się operację wykonaną na pojedynczej wielkości jednoargumentowy. Tak wygląda tabela wartości dla tej operacji

Zdanie $A↖(-)$ jest fałszywe, gdy A jest prawdziwe, i prawdziwe, gdy A jest fałszywe.

Geometrycznie negację można przedstawić w następujący sposób: jeśli A jest pewnym zbiorem punktów, to $A↖(-)$ jest dopełnieniem zbioru A, czyli wszystkimi punktami, które nie należą do zbioru A.

2.Spójnik(łac. połączenie- połączenie) - mnożenie logiczne, operacja wymagająca co najmniej dwóch wielkości logicznych (operandów) i łącząca dwie lub więcej instrukcji za pomocą łącznika "I"(Na przykład, „A i B”), co jest symbolicznie oznaczone znakiem ∧ (A ∧ B) i brzmi: „A i B”. Następujące znaki są również używane do wskazania koniunkcji: A ∙ B; A i B, A i B, a czasami między stwierdzeniami nie ma znaku: AB. Przykład mnożenia logicznego: „Ten trójkąt jest równoramienny i prostokątny”. Dane stwierdzenie może być prawdziwe tylko wtedy, gdy spełnione są oba warunki, w przeciwnym razie stwierdzenie jest fałszywe.

Oświadczenie A ∧ W prawdziwe tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia są takie A I W są prawdziwe.

Geometrycznie koniunkcję można przedstawić w następujący sposób: jeśli A, B A ∧ W istnieje przecięcie zbiorów A I W.

3. Dysjunkcja(łac. dysjunkcja- dzielenie) - dodawanie logiczne, operacja łączenia dwóch lub więcej instrukcji za pomocą łącznika "Lub"(Na przykład, "A lub B"), co jest symbolicznie oznaczone znakiem ∨ (A∨ W) i czyta: "A lub B". Następujące znaki są również używane do wskazania alternatywy: A + B; A lub B; | B. Przykład dodawania logicznego: „Liczba x jest podzielna przez 3 lub 5”. To stwierdzenie będzie prawdziwe, jeśli zostaną spełnione oba warunki lub co najmniej jeden z warunków.

Tablica prawdy operacji ma postać

Oświadczenie A∨ W jest fałszywe tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia są takie A I W FAŁSZ.

Geometrycznie dodawanie logiczne można przedstawić w następujący sposób: jeśli A, B to w takim razie pewne zbiory punktów A ∨ W jest sumą zbiorów A I W, czyli figura będąca połączeniem kwadratu i koła.

4. Ściśle separująca dysjunkcja, dodawanie modulo dwa- operacja logiczna łącząca dwie instrukcje za pomocą łącznika "Lub", używane w sensie wyłącznym, co jest symbolicznie oznaczone znakami ∨ ∨ lub ⊕ ( A ∨ ∨ B, A ⊕ W) i brzmi: „albo A, albo B”. Przykładem dodania modulo dwa jest stwierdzenie „Ten trójkąt jest rozwarty lub ostry”. Stwierdzenie jest prawdziwe, jeśli spełniony jest którykolwiek z warunków.

Tablica prawdy operacji ma postać

Zdanie A ⊕ B jest prawdziwe tylko wtedy, gdy zdania A i B mają różne znaczenia.

5. Implikacja(łac. implisito- ściśle połączyć) - operacja logiczna łącząca dwie instrukcje za pomocą łącznika "Jeśli następnie" w wypowiedź złożoną, na co symbolicznie wskazuje znak → ( A → W) i brzmi: „jeśli A, to B”, „A implikuje B”, „z A wynika B”, „A implikuje B”. Znak ⊃ (A ⊃ B) jest również używany do oznaczenia implikacji. Przykład implikacji: „Jeśli powstały czworokąt jest kwadratem, to wokół niego można opisać okrąg”. Operacja ta łączy dwa proste wyrażenia logiczne, z których pierwsze jest warunkiem, a drugie konsekwencją. Wynik operacji jest fałszywy tylko wtedy, gdy przesłanka jest prawdziwa, a konsekwencja jest fałszywa. Na przykład: „Jeśli 3 * 3 = 9 (A), to Słońce jest planetą (B)”, wynik implikacji A → B jest fałszywy.

Tablica prawdy operacji ma postać

W przypadku działania implikacji prawdziwe jest stwierdzenie, że z kłamstwa może wynikać wszystko, ale z prawdy może wynikać tylko prawda.

6. Równoważność, podwójna implikacja, równoważność(łac. równowodny- równe i Walenty- posiadanie siły) - operacja logiczna pozwalająca na użycie dwóch instrukcji A I W uzyskać nowy wyraz A ≡ B który brzmi: „A jest równoważne B”. Do wskazania równoważności używa się również następujących znaków: ⇔, ∼. Operację tę można wyrazić za pomocą łączników „wtedy i tylko wtedy”, „konieczne i wystarczające”, „równoważne”. Przykładem równoważności jest stwierdzenie: „Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z kątów ma 90 stopni”.

Tablica prawdy operacji równoważności ma postać

Operacja równoważności jest przeciwieństwem dodawania modulo dwa i ma wartość true wtedy i tylko wtedy, gdy wartości zmiennych są takie same.

Znając znaczenie zdań prostych, można na podstawie tablic prawdy określić znaczenie zdań złożonych. Warto wiedzieć, że do przedstawienia dowolnej funkcji w algebrze logicznej wystarczą trzy operacje: koniunkcja, alternatywna i negacja.

Priorytet operacji logicznych jest następujący: negacja ( "Nie") ma najwyższy priorytet, wówczas koniunkcja ( "I"), po koniunkcji - dysjunkcja ( "Lub").

Za pomocą zmiennych logicznych i operacji logicznych każde zdanie logiczne można sformalizować, to znaczy zastąpić logiczną formułą. W tym przypadku zdania elementarne tworzące zdanie złożone mogą być całkowicie niepowiązane ze sobą znaczeniowo, ale nie przeszkadza to w określeniu prawdziwości lub fałszywości zdania złożonego. Na przykład stwierdzenie „Jeśli pięć jest większe niż dwa ( A), to wtorek zawsze następuje po poniedziałku ( W)” – implikacja A→ W, a wynik operacji w tym przypadku jest „true”. W operacjach logicznych nie bierze się pod uwagę znaczenia zdań, rozważa się jedynie ich prawdziwość lub fałszywość.

Rozważmy na przykład konstrukcję instrukcji złożonej na podstawie instrukcji A I W, co byłoby fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy oba stwierdzenia są prawdziwe. W tabeli prawdy dodawania modulo dwa znajdujemy: 1 ⊕ 1 = 0. A stwierdzenie mogłoby wyglądać na przykład tak: „Ta kula jest całkowicie czerwona lub całkowicie niebieska”. Dlatego też, jeśli oświadczenie A„Ta piłka jest całkowicie czerwona” to prawda i stwierdzenie W„Ta piłka jest całkowicie niebieska” jest prawdziwe, to zdanie złożone jest fałszywe, ponieważ kula nie może być jednocześnie czerwona i niebieska.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Dla podanych wartości X określ wartość wyrażenia logicznego ((X > 3) ∨ (X< 3)) → (X < 4) :

1) X = 1; 2) X = 12; 3) X = 3.

Rozwiązanie. Kolejność operacji jest następująca: najpierw wykonuje się operacje porównania w nawiasach, następnie alternatywę, a na końcu wykonuje się operację implikacji. Operacja rozłączenia ∨ jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba operandy są fałszywe. Tabela prawdy dla implikacji wygląda tak

Stąd otrzymujemy:

1) dla X = 1:

((1 > 3) ∨ (1 < 3)) → (1 < 4) = ложь ∨ истина → истина = истина → истина = истина;

2) dla X = 12:

((12 > 3) ∨ (12 < 3) → (12 < 4) = истина ∨ ложь → ложь = истина → ложь = ложь;

3) dla X = 3:

((3 > 3) ∨ (3 < 3)) → (3<4) = ложь ∨ ложь → истина = ложь → истина = истина.

Przykład 2. Wskaż zbiór wartości całkowitych X, dla którego wyrażenie ¬((X > 2) → (X > 5)) jest prawdziwe.

Rozwiązanie. Operację negacji stosuje się do całego wyrażenia ((X > 2) → (X > 5)), zatem gdy wyrażenie ¬((X > 2) → (X > 5)) jest prawdziwe, wyrażenie ((X > 2) →(X > 5)) jest fałszywe. Dlatego konieczne jest określenie, dla których wartości X wyrażenie ((X > 2) → (X > 5)) jest fałszywe. Operacja implikacji nabiera wartości „fałszywej” tylko w jednym przypadku: gdy z prawdy wynika kłamstwo. I jest to prawdą tylko dla X = 3; X = 4; X = 5.

Przykład 3. Dla którego z poniższych słów stwierdzenie ¬(pierwsza litera to samogłoska ∧ trzecia litera to samogłoska) ⇔ ciąg 4 znaków jest fałszywe? 1) ass; 2) kuku; 3) kukurydza; 4) błąd; 5) siłacz.

Rozwiązanie. Rozważmy wszystkie proponowane słowa sekwencyjnie:

1) dla słowa assa otrzymujemy: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - stwierdzenie jest prawdziwe;

2) dla słowa kuku otrzymujemy: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 - stwierdzenie jest prawdziwe;

3) dla słowa kukurydza otrzymujemy: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 - stwierdzenie jest fałszywe;

4) dla błędu słownego otrzymujemy: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 - stwierdzenie jest prawdziwe;

5) dla słowa siłacz otrzymujemy: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 - stwierdzenie jest fałszywe.

Wyrażenia logiczne i ich transformacja

Pod wyrażenie logiczne należy rozumieć jako zapis, który może przyjmować wartość logiczną „prawda” lub „fałsz”. Dzięki tej definicji wśród wyrażeń logicznych należy rozróżnić:

• wyrażenia korzystające z operacji porównania („większe niż”, „mniejsze niż”, „równe”, „nie równe” itp.) i przyjmujące wartości logiczne (na przykład wyrażenie a > b, gdzie a = 5 oraz b = 7, równa się wartości „fałsz”);
• bezpośrednie wyrażenia logiczne powiązane z wielkościami logicznymi i operacjami logicznymi (na przykład A ∨ B ∧ C, gdzie A = prawda, B = fałsz i C = prawda).

Wyrażenia logiczne mogą obejmować funkcje, operacje algebraiczne, operacje porównania i operacje logiczne. W takim przypadku priorytet działań jest następujący:

1. obliczenie istniejących zależności funkcjonalnych;
2. wykonywanie operacji algebraicznych (najpierw mnożenie i dzielenie, następnie odejmowanie i dodawanie);
3. wykonywanie operacji porównawczych (w kolejności losowej);
4. wykonywanie operacji logicznych (najpierw wykonywane są operacje negacji, następnie operacje mnożenia logicznego, dodawania logicznego, a na końcu wykonywane są operacje implikacji i równoważności).

Wyrażenie logiczne może zawierać nawiasy, które zmieniają kolejność wykonywania operacji.

Przykład. Znajdź znaczenie wyrażenia:

$1 ≤ a ∨ A ∨ sin(π/a - π/b)< 1 ∧ ¬B ∧ ¬(b^a + a^b >a + b ∨ A ∧ B)$ dla a = 2, b = 3, A = prawda, B = fałsz.

Rozwiązanie. Kolejność zliczania wartości:

1) b a + a b > a + b, po podstawieniu otrzymujemy: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, czyli 17 > 2 + 3 = prawda;

2) A ∧ B = prawda ∧ fałsz = fałsz.

Zatem wyrażenie w nawiasach to (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = prawda ∨ fałsz = prawda;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = prawda;

4) grzech(π/a - π/b)< 1 = sin(π/2 - π/3) < 1 = истина.

Po tych obliczeniach w końcu otrzymujemy: prawda ∨ A ∧ prawda ∧ ¬B ∧ ¬ prawda.

Teraz należy wykonać operacje negacji, następnie mnożenia logicznego i dodawania:

5) ¬B = ¬fałsz = prawda; ¬prawda = fałsz;

6) A ∧ prawda ∧ prawda ∧ fałsz = prawda ∧ prawda ∧ prawda ∧ fałsz = fałsz;

7) prawda ∨ fałsz = prawda.

Zatem wynikiem wyrażenia logicznego dla podanych wartości jest „prawda”.

Notatka. Biorąc pod uwagę, że pierwotne wyrażenie jest ostatecznie sumą dwóch wyrazów, a wartość jednego z nich wynosi 1 ≤ a = 1 ≤ 2 = true, bez dalszych obliczeń możemy powiedzieć, że wynik dla całego wyrażenia jest również „prawdziwy” ”.

Identyczne przekształcenia wyrażeń logicznych

W algebrze logiki obowiązują podstawowe prawa, które pozwalają na identyczne przekształcenia wyrażeń logicznych.

Dowody tych twierdzeń przeprowadza się w oparciu o konstrukcję tablic prawdy dla odpowiednich rekordów.

Równoważne przekształcenia formuł logicznych mają ten sam cel, co przekształcenia formuł w zwykłej algebrze. Służą uproszczeniu formuł lub sprowadzeniu ich do określonej postaci poprzez wykorzystanie podstawowych praw algebry logicznej. Pod uproszczenie formuły, który nie zawiera operacji implikacji i równoważności, rozumiany jest jako równoważna transformacja prowadząca do wzoru zawierającego albo mniejszą liczbę operacji, albo mniejszą liczbę zmiennych w porównaniu do wzoru pierwotnego.

Niektóre przekształcenia formuł logicznych przypominają przekształcenia formuł w zwykłej algebrze (wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie praw przemienności i kombinacji itp.), inne natomiast opierają się na własnościach, których nie mają działania zwykłej algebry ( stosując prawo rozdzielności dla koniunkcji, prawa absorpcji, sklejania, de Morgana itp.).

Przyjrzyjmy się kilku przykładom technik i metod stosowanych w celu uproszczenia formuł logicznych:

1) X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2 ∪ ¬X1 ∧ X2 = X1 ∧ X2 ∨ ¬X1 ∧ X2 = (X1 ∨ ¬X1) ∧ X2 = 1 ∧ X2 = X2 .

Aby dokonać tutaj transformacji, można zastosować prawo idempotencji, prawo rozdzielcze; działanie zmiennej z inwersją i działanie ze stałą.

2) X1 ∨ X1 ∧ X2 = X1 ∨ (1 ∨ 1 ∧ X2) = X1 ∨ (1 ∨ X2) = X1.

Tutaj dla uproszczenia zastosowano prawo absorpcji.

3) ¬(X1 ∧ X2) ∨ X2 = (¬X1 ∨ ¬X2) ∨ X2 = ¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X2 = ¬X1 ∨ 1 = 1 .

Podczas transformacji stosuje się regułę de Morgana, działanie zmiennej z jej inwersją oraz działanie na stałą

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Znajdź wyrażenie logiczne równoważne wyrażeniu A ∧ ¬(¬B ∨ C) .

Rozwiązanie. Stosujemy regułę de Morgana dla B i C: ¬(¬B ∨ C) = B ∧ ¬C.

Otrzymujemy wyrażenie równoważne pierwotnemu: A ∧ ¬(¬B ∨ C) = A ∧ B ∧ ¬C .

Odpowiedź: ZA ∧ B ∧ ¬C.

Przykład 2. Wskaż wartość zmiennych logicznych A, B, C, dla których wartość wyrażenia logicznego (A ∨ B) → (B ∨ ¬C ∨ B) jest fałszywa.

Rozwiązanie. Operacja implikacji jest fałszywa tylko wtedy, gdy fałszywe stwierdzenie wynika z prawdziwej przesłanki. Zatem dla danego wyrażenia przesłanka A ∨ B musi być „prawdziwa”, a konsekwencja, czyli wyrażenie B ∨ ¬C ∨ B, musi być „fałszywa”.

1) A ∨ B — wynik alternatywy jest „prawdą”, jeśli przynajmniej jeden z operandów jest „prawdą”;

2) B ∨ ¬C ∨ B - wyrażenie jest fałszywe, jeśli wszystkie wyrazy mają wartość „fałszywy”, tj. B jest „fałszywe”; ¬C jest „fałszywe” i dlatego zmienna C ma wartość „prawda”;

3) jeśli rozważymy przesłankę i uwzględnimy, że B jest „fałszywe”, otrzymamy, że wartość A jest „prawdziwa”.

Odpowiedź: A jest prawdą, B jest fałszywe, C jest prawdą.

Przykład 3. Jaka jest największa liczba całkowita X, dla której stwierdzenie (35

Rozwiązanie. Zapiszmy tablicę prawdy dla operacji implikacji:

Wyrażenie X< (X - 3) ложно при любых положительных значениях X. Следовательно, для того чтобы результатом импликации была «истина», необходимо и достаточно, чтобы выражение 35 < X · X также было ложно. Максимальное целое значение X, для которого 35 < X · X ложно, равно 5.

Odpowiedź: X = 5.

Używanie wyrażeń boolowskich do opisu obszarów geometrycznych

Do opisu obszarów geometrycznych można używać wyrażeń logicznych. W tym przypadku zadanie formułuje się następująco: zapisz dla zadanego obszaru geometrycznego wyrażenie logiczne, które przyjmie wartość „true” dla wartości x, y wtedy i tylko wtedy, gdy należy dowolny punkt o współrzędnych (x; y) do obszaru geometrycznego.

Rozważmy opis obszaru geometrycznego za pomocą wyrażenia logicznego na przykładach.

Przykład 1. Określony jest obraz obszaru geometrycznego. Napisz wyrażenie logiczne opisujące zbiór należących do niego punktów.

1) .

Rozwiązanie. Dany obszar geometryczny można przedstawić jako zbiór następujących obszarów: obszar pierwszy - D1 - półpłaszczyzna $(x)/(-1) +(y)/(1) ≤ 1$, drugi - D2 - okrąg ze środkiem w początku $x ^2 + y^2 ≤ 1$. Ich przecięcie D1 $∩$ D2 reprezentuje pożądany obszar.

Wynik: wyrażenie logiczne $(x)/(-1)+(y)/(1) ≤ 1 ∧ x^2 + y^2 ≤ 1$.

2)

Obszar ten można zapisać następująco: |x| ≤ 1 ∧ y ≤ 0 ∧ y ≥ -1 .

Notatka. Konstruując wyrażenie logiczne, stosuje się luźne nierówności, co oznacza, że ​​​​granice figur również należą do zacienionego obszaru. Jeśli użyjesz ścisłych nierówności, granice nie będą brane pod uwagę. Granice nienależące do obszaru są zwykle pokazane liniami przerywanymi.

Można rozwiązać problem odwrotny, a mianowicie: narysować obszar dla danego wyrażenia logicznego.

Przykład 2. Narysuj i zacienij obszar, dla którego spełniony jest warunek logiczny y ≥ x ∧ y + x ≥ 0 ∧ y< 2 .

Rozwiązanie. Poszukiwany obszar to przecięcie trzech półpłaszczyzn. Konstruujemy proste na płaszczyźnie (x, y) y = x; y = -x; y = 2. To są granice regionu, a ostatnia granica y = 2 nie należy do obszaru, więc rysujemy ją linią przerywaną. Aby spełnić nierówność y ≥ x, punkty muszą znajdować się na lewo od prostej y = x, a nierówność y = -x jest spełniona dla punktów znajdujących się na prawo od prostej y = -x. Warunek r< 2 выполняется для точек, лежащих ниже прямой y = 2. В результате получим область, которая изображена на рис.:

Używanie funkcji logicznych do opisu obwodów elektrycznych

Funkcje logiczne są bardzo przydatne do opisu działania obwodów elektrycznych. Zatem dla obwodu pokazanego na rys., gdzie wartość zmiennej X jest stanem przełącznika (jeśli jest włączona, wartość X jest „prawda”, a jeśli jest wyłączona, wartość jest „fałszywa” ), ta wartość Y to stan żarówki (jeśli świeci - wartość jest „prawda”, a jeśli nie - „fałsz”), funkcja logiczna zostanie zapisana w następujący sposób: Y = X. Wywołuje się funkcję Y funkcja przewodności.

Dla obwodu pokazanego na rys. funkcja logiczna Y ma postać: Y = X1 ∪ X2, gdyż wystarczy jedno włączenie, aby żarówka się zaświeciła. W obwodzie pokazanym na rys., aby żarówka się zaświeciła, oba przełączniki muszą być włączone, dlatego funkcja przewodności ma postać: Y = X1 ∧ X2.

W przypadku bardziej złożonego obwodu funkcja przewodności będzie miała postać: Y = (X11 ∨ (X12 ∧ X13)) ∧ X2 ∧ (X31 ∨ X32).

Obwód może zawierać także styki zwierające. W tym przypadku otwarty styk pełni funkcję przełącznika, który zapewnia włączenie żarówki po zwolnieniu przycisku, a nie jego naciśnięciu. W przypadku takich obwodów rozłącznik jest opisywany przez negację.

Obydwa schematy nazywane są równowartość, jeśli prąd przepływa przez jeden z nich, to przepływa także przez drugi. Z dwóch równoważnych obwodów prostszy obwód to ten, którego funkcja przewodności zawiera mniejszą liczbę elementów. Zadanie znalezienia najprostszych obwodów wśród równoważnych jest bardzo ważne.

Wykorzystanie aparatu algebry logicznej w projektowaniu układów logicznych

Matematyka algebry logicznej jest bardzo przydatna do opisu działania sprzętu komputerowego. Każda informacja przetwarzana na komputerze jest prezentowana w formie binarnej, to znaczy jest kodowana przez określoną sekwencję 0 i 1. Przetwarzanie sygnałów binarnych odpowiadających 0 i 1 odbywa się w komputerze za pomocą elementów logicznych. Bramki logiczne wykonujące podstawowe operacje logiczne ORAZ, LUB, NIE, są przedstawione na ryc.

Symbole elementów logicznych są standardowe i stosowane przy projektowaniu obwodów logicznych komputera. Za pomocą tych obwodów można zaimplementować dowolną funkcję logiczną opisującą działanie komputera.

Technicznie rzecz biorąc, komputerowy element logiczny realizowany jest w postaci obwodu elektrycznego, który jest połączeniem różnych części: diod, tranzystorów, rezystorów, kondensatorów. Na wejście elementu logicznego, zwanego także bramką, odbierane są sygnały elektryczne o wysokim i niskim poziomie napięcia, a także wydawany jest jeden sygnał wyjściowy o wysokim lub niskim poziomie. Poziomy te odpowiadają jednemu ze stanów układu binarnego: 1 - 0; PRAWDA JEST FAŁSZYWA. Każdy element logiczny ma swój własny symbol, który wyraża jego funkcję logiczną, ale nie wskazuje, jaki rodzaj układu elektronicznego jest w nim zaimplementowany. Ułatwia to pisanie i zrozumienie złożonych obwodów logicznych. Działanie układów logicznych opisano za pomocą tablic prawdy. Symbolem na diagramie OR jest znak „1” - z przestarzałego oznaczenia alternatywy jako „>=1” (wartość alternatywy wynosi 1, jeśli suma dwóch operandów jest większa lub równa 1). Znak „&” na diagramie AND jest skrótem angielskiego słowa i.

Elektroniczne obwody logiczne składają się z elementów logicznych, które wykonują bardziej złożone operacje logiczne. Nazywa się zestaw elementów logicznych składających się z elementów NOT, OR, AND, za pomocą których można zbudować strukturę logiczną o dowolnej złożoności funkcjonalnie kompletny.

Budowa tablic prawdy wyrażeń logicznych

Dla formuły logicznej zawsze możesz napisać tabela prawdy, czyli przedstawić daną funkcję logiczną w formie tabelarycznej. W takim przypadku tabela powinna zawierać wszystkie możliwe kombinacje argumentów funkcji (wzórów) i odpowiadających im wartości funkcji (wyniki formuły na zadanym zbiorze wartości).

Wygodną formą zapisu przy znajdowaniu wartości funkcji jest tabela zawierająca, oprócz wartości zmiennych i wartości funkcji, także wartości obliczeń pośrednich. Rozważmy przykład konstrukcji tabeli prawdy dla wzoru $(X1)↖(-) ∧ X2 ∨ (X1 ∨ X2)↖(-) ∨ X1$.

Jeśli funkcja przyjmuje wartość 1 dla wszystkich zestawów wartości zmiennych, to tak jest identycznie prawdziwe; jeżeli dla wszystkich zbiorów wartości wejściowych funkcja przyjmuje wartość 0 to tak identycznie fałszywe; jeśli zbiór wartości wyjściowych zawiera zarówno 0, jak i 1, funkcja jest wywoływana wykonalny. Powyższy przykład jest przykładem identycznie prawdziwej funkcji.

Znając postać analityczną funkcji logicznej, zawsze możesz przejść do postaci tabelarycznej funkcji logicznych. Korzystając z danej tabeli prawdy, można rozwiązać zadanie odwrotne, a mianowicie: dla danej tabeli skonstruować wzór analityczny na funkcję logiczną. Istnieją dwie formy konstruowania zależności analitycznej funkcji logicznej w oparciu o funkcję określoną w tabeli.

1. Rozłączna postać normalna (DNF)- suma iloczynów utworzonych ze zmiennych i ich negacji dla wartości fałszywych.

Algorytm konstruowania DNF jest następujący:

1. w tablicy prawdy funkcje wybierają zbiory argumentów, dla których formy logiczne są równe 1 („prawda”);
2. wszystkie wybrane zbiory logiczne są zapisywane jako iloczyny logiczne argumentów, łącząc je sekwencyjnie ze sobą za pomocą operacji sumy logicznej (alternatywy);
3. w przypadku argumentów, które są fałszywe, w skonstruowanym rekordzie wprowadzana jest operacja negacji.

Przykład. Skonstruuj funkcję, która określi, że pierwsza liczba jest równa drugiej, korzystając z metody DNF. Tabela prawdy funkcji wygląda tak

Rozwiązanie. Wybieramy zbiory wartości argumentów, w których funkcja jest równa 1. Są to pierwszy i czwarty wiersz tabeli (przy numerowaniu nie uwzględniamy wiersza nagłówka).

Zapisujemy iloczyny logiczne argumentów tych zbiorów, łącząc je w sumę logiczną: X1 ∧ X2 ∨ X1 ∧ X2.

Zapisujemy negację argumentów wybranych zbiorów, które mają wartość fałszywą (czwarty wiersz tabeli; drugi zbiór we wzorze; pierwszy i drugi element): X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(- )$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Odpowiedź: F(X1, X2) = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

2. Łączna postać normalna (CNF)- iloczyn sum utworzonych ze zmiennych i ich negacji dla wartości prawdziwych.

Algorytm konstruowania CNF jest następujący:

1. w tabeli prawdy wybierane są zbiory argumentów, dla których formy logiczne są równe 0 („fałsz”);
2. wszystkie wybrane zbiory logiczne jako sumy logiczne argumentów zapisywane są sekwencyjnie, łącząc je ze sobą za pomocą operacji iloczynu logicznego (spójnika);
3. w przypadku argumentów, które są prawdziwe, w skonstruowanym rekordzie wprowadzana jest operacja negacji.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Rozważmy poprzedni przykład, czyli skonstruujmy funkcję określającą, że pierwsza liczba jest równa drugiej, korzystając z metody CNF. Dla danej funkcji jej tablica prawdy ma postać

Rozwiązanie. Wybieramy zbiory wartości argumentów, w których funkcja jest równa 0. Są to druga i trzecia linia (przy numerowaniu nie uwzględniamy linii nagłówka).

Zapisujemy sumy logiczne argumentów tych zbiorów, łącząc je w iloczyn logiczny: X1 ∨ X2 ∧ X1 ∨ X2.

Zapisujemy negację argumentów wybranych zbiorów, które mają wartość prawdziwą (drugi wiersz tabeli, pierwszy zbiór wzoru, drugi element; dla trzeciego wiersza i to jest drugi zbiór wzoru , pierwszy element): X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

W ten sposób uzyskano zapis funkcji logicznej w CNF.

Odpowiedź: X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2.

Wartości funkcji uzyskane obiema metodami są równoważne. Aby udowodnić to stwierdzenie, używamy reguł logiki: F(X1, X2) = X1 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ X2 = X1 ∧ $(X1)↖ (-)$ ∨ X1 ∧ X2 ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ $(X2)↖(-)$ ∧ X2 = 0 ∨ X1 ∨ X2 ∨ $(X2 )↖(- )$ ∧ $(X1)↖(-)$ ∨ 0 = X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ $(X2)↖(-)$.

Przykład 2. Konstruuj funkcję logiczną dla danej tabeli prawdy:

Wymagana formuła: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 .

Można to uprościć: X1 ∧ X2 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 = X2 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) = X2 ∧ 1 = X2.

Przykład 3. Dla podanej tabeli prawdy skonstruuj funkcję logiczną metodą DNF.

Wymagana formuła: X1 ∧ X2 ∧ X ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∪ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $ (X3)↖(-)$.

Wzór jest dość uciążliwy i należy go uprościć:

X1 ∧ X2 ∧ X3 ∨ $(X1)↖(-)$ ∧ X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ X2 ∧ $(X3)↖(-)$ ∨ X1 ∧ $(X2)↖(-)$ ∧ $(X3) ↖(-)$ = X2 ∧ X3 ∧ (X1 ∨ $(X1)↖(-)$) ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$ ∧ (X2 ∨ $(X2)↖(-)$) = X2 ∧ X3 ∨ X1 ∧ $(X3)↖(-)$.

Tablice prawdy do rozwiązywania problemów logicznych

Kompilowanie tabel prawdy jest jednym ze sposobów rozwiązywania problemów logicznych. Podczas korzystania z tej metody rozwiązania warunki zawarte w problemie są rejestrowane przy użyciu specjalnie opracowanych tabel.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Utwórz tabelę prawdy dla urządzenia zabezpieczającego, które wykorzystuje trzy czujniki i jest wyzwalane, gdy tylko dwa z nich są zwarte.

Rozwiązanie. Oczywiście wynikiem rozwiązania będzie tabela, w której żądana funkcja Y(X1, X2, X3) będzie miała wartość „prawda”, jeśli dowolne dwie zmienne będą miały wartość „prawda”.

Przykład 2. Zrób harmonogram lekcji na dany dzień, biorąc pod uwagę, że lekcja informatyki może być tylko pierwszą lub drugą, lekcja matematyki - pierwszą lub trzecią, a lekcja fizyki - drugą lub trzecią. Czy da się stworzyć harmonogram spełniający wszystkie wymagania? Ile jest opcji planowania?

Rozwiązanie. Problem można łatwo rozwiązać tworząc odpowiednią tabelę:

Tabela pokazuje, że istnieją dwie opcje żądanego harmonogramu:

1. matematyka, informatyka, fizyka;
2. informatyka, fizyka, matematyka.

Przykład 3. Na obóz sportowy przyjechało trzech przyjaciół - Piotr, Borys i Aleksiej. Każdy z nich pasjonuje się dwoma sportami. Wiadomo, że istnieje sześć takich sportów: piłka nożna, hokej, narciarstwo, pływanie, tenis, badminton. Wiadomo również, że:

1. Borys jest najstarszy;
2. piłkarz młodszy od hokeisty;
3. gra w piłkę nożną i hokej, a Peter mieszka w tym samym domu;
4. gdy między narciarzem a tenisistą dochodzi do kłótni, Borys je godzi;
5. Peter nie potrafi grać w tenisa ani badmintona.

Jakie sporty lubi każdy chłopiec?

Rozwiązanie. Przygotujmy tabelę i odzwierciedlmy w niej warunki problemu, wypełniając odpowiednie komórki liczbami 0 i 1, w zależności od tego, czy odpowiednie stwierdzenie jest fałszywe, czy prawdziwe.

Ponieważ istnieje sześć rodzajów sportów, okazuje się, że wszyscy chłopcy interesują się różnymi sportami.

Z warunku 4 wynika, że ​​Borys nie interesuje się narciarstwem ani tenisem, a z warunku 3 i 5, że Piotr nie umie grać w piłkę nożną, hokeja, tenisa i badmintona. Dlatego ulubionymi sportami Petera są narciarstwo i pływanie. Umieśćmy to w tabeli, a pozostałe komórki kolumn „Narciarstwo” i „Pływanie” wypełnijmy zerami.

Tabela pokazuje, że tylko Aleksiej może grać w tenisa.

Z warunków 1 i 2 wynika, że ​​Borys nie jest piłkarzem. Zatem Aleksiej gra w piłkę nożną. Kontynuujmy wypełnianie tabeli. Wprowadźmy zera w puste komórki wiersza „Aleksej”.

W końcu dowiadujemy się, że Borys interesuje się hokejem i badmintonem. Ostateczna tabela będzie wyglądać następująco:

Odpowiedź: Peter lubi jeździć na nartach i pływać, Borys gra w hokeja i badmintona, a Aleksiej gra w piłkę nożną i tenisa.

Strona 1

Lekcja informatyki na temat „Podstawy logiki, tablice prawdy”

Temat: Jakzbudować tabelę prawdy?

Typ lekcji:łączny:

• 
  test wiedzy – praca ustna;
• 
  nowy materiał - wykład;
• 
  utrwalenie – ćwiczenia praktyczne;
• 
  testowanie wiedzy - zadania do samodzielnej pracy.

1. 
   Edukacyjny:
   1. 
      Naucz się tworzyć wyrażenia logiczne na podstawie stwierdzeń
   2. 
      Wprowadź pojęcie „tablicy prawdy”
   3. 
      Przestudiuj sekwencję działań związanych z konstruowaniem tabel prawdy
   4. 
      Naucz się znajdować znaczenie wyrażeń logicznych, konstruując tabele prawdy
2. 
   Edukacyjny:
   1. 
      Rozwijaj logiczne myślenie
   2. 
      Rozwijaj uwagę
   3. 
      Rozwijaj pamięć
   4. 
      Rozwijaj mowę uczniów
3. 
   Edukacyjny:
   1. 
      Rozwijaj umiejętność słuchania nauczycieli i kolegów z klasy
   2. 
      Pielęgnuj dokładność w prowadzeniu notatników
   3. 
      Pielęgnuj dyscyplinę

1. 
   Chwila organizacyjna (2 min).
2. 
   Powtórzenie materiału z poprzedniej lekcji + sprawdzenie pracy domowej (pytanie ustne) (5 min).
3. 
   Wyjaśnienie nowego materiału (10 min).
4. 
   Wychowanie fizyczne minuta (1 min).
5. 
   Konsolidacja
   • 
     studium przypadku (5 min);
   • 
     ćwiczenia praktyczne (10 min);
   • 
     zadania do samodzielnej pracy (5 min).
6. 
   

• 
  Biała tablica;
• 
  materiały referencyjne „Tabele prawdy”;
• 
  Pokaz prezentacji „Tablicy Prawdy”.

1. Moment organizacyjny

• 
  Pozdrowienia.
• 
  Sprawdzanie nieobecności na zajęciach.
• 
  Ogłoszenie ocen z ostatniej lekcji.

3 uczniów pracuje z kartami:

Dopasuj właściwe definicje lub oznaczenia:

1. Logika	1.
2. Oświadczenie	2. Dodatek logiczny
3. Algebra logiki	3. Nauka o formach i sposobach myślenia
4. Zmienna logiczna	4. Negacja logiczna
5. Dysjunkcja	5. PRAWDA i FAŁSZ
6. Inwersja	6.
7. Koniunkcja	7.
8. Implikacja	8. Nauka o operacjach zdaniowych
9. Równoważność	9. Zdanie oznajmujące, w którym coś zostaje potwierdzone lub zaprzeczone, co może być prawdą lub fałszem.

1)Przykłady są zapisane na tablicy:

1. 
   W przypadku wyrażeń logicznych sformułuj instrukcje złożone w języku potocznym:

B) (X=Y) i (X=Z). (Odpowiedź: liczbyX, YIZsobie równi)

2) Podaj przykłady zdań złożonych z przedmiotów szkolnych i zapisz je, stosując operacje logiczne: literatura, biologia, geografia, historia.

Jakich łączników logicznych użyłeś? ( Inwersja, dysjunkcja i koniunkcja)

Widzieliśmy, że logika jest dość ściśle związana z naszym codziennym życiem, a także widzieliśmy, że prawie każde stwierdzenie można zapisać w formie formuły.

Przypomnijmy podstawowe definicje i pojęcia:

3. Wyjaśnienie nowego materiału

Z instrukcji złożonej utwórz formułę, zastępując proste instrukcje zmiennymi.

Problem: Szkło w klasie zostało rozbite. Nauczyciel wyjaśnia reżyserowi: Kola lub Sasha to zrobili. Ale Sasha tego nie zrobił, ponieważ w tym czasie zdawał za mnie test. Dlatego Kolya to zrobił.

Rozwiązanie: Sformalizujmy to złożone stwierdzenie:

K - Kola to zrobił; P – Sasza to zrobił.

Formularz oświadczenia:

Na ostatniej lekcji znaleźliśmy wartość instrukcji złożonej, zastępując oryginalne wartości przychodzących zmiennych logicznych. A dzisiaj dowiemy się, że można skonstruować tablicę prawdy, która określa prawdziwość lub fałszywość wyrażenia logicznego dla wszystkich możliwych kombinacji wartości początkowych prostych stwierdzeń (zmiennych logicznych) i że możemy określić wartości początkowych zmiennych logicznych, wiedząc, jakiego wyniku potrzebujemy.

Zatem tematem dzisiejszej lekcji jest: „Jak zbudować tabelę prawdy?”

Czy przez kilka lekcji z rzędu korzystaliśmy z koncepcji „tablicy prawdy”? Więc czym jest tabela prawdy?

Tabela prawdy to tabela pokazująca prawdziwość złożonego stwierdzenia dla wszystkich możliwych wartości zmiennych wejściowych.

Spójrzmy jeszcze raz na nasz przykład

i zbuduj tabelę prawdy dla tego złożonego stwierdzenia

Podczas konstruowania tabel prawdy istnieje pewna sekwencja działań. Zapiszmy to

1. 
   Konieczne jest określenie liczby wierszy tabeli prawdy.

• 
  liczba linii = 2 n, gdzie n jest liczbą zmiennych logicznych

1. 
   Konieczne jest określenie liczby kolumn w tabeli prawdy.

• 
  liczba kolumn = liczba zmiennych logicznych + liczba operacji logicznych.
• 
  Należy zbudować tabelę prawdy o określonej liczbie wierszy i kolumn, wpisać nazwy kolumn tabeli zgodnie z kolejnością operacji logicznych, biorąc pod uwagę nawiasy i priorytety (¬, &, V);

1. 
   Wypełnij kolumny zmiennych wejściowych zestawami wartości
2. 
   Wypełniaj tabelę prawdy kolumna po kolumnie, wykonując operacje logiczne zgodnie z ustaloną kolejnością.

DO	Z
0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	0	1

4. Minuta wychowania fizycznego

1. 
   Konsolidacja

• 
  analiza przykładu.
• 
  ćwiczenia praktyczne.
• 
  zadania do samodzielnej pracy.

A)

A	W
0	0	0	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	1	0

B)

A	W
0	0	1	0	1
0	1	0	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	1	0

W)

A	W	Z
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1

Zadanie do samodzielnej pracy „Kto jest szybszy?”

Przygotowane karty dla uczniów, w których muszą wypełnić tabelę prawdy kolumna po kolumnie, wykonując operacje logiczne zgodnie z ustaloną kolejnością.

A	W	Z

Odpowiedź:

A	W	Z
0	0	0	1	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1
0	1	0	1	0	1	0
0	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	1	0
1	1	1	0	1	1	0

1. 
   Podsumowanie lekcji, praca domowa (2 min).

D/Z nie jest podany, ponieważ lekcja jest sparowana, dzieci przechodzą przez lekcję i kontynuują naukę tematu „Podstawy logiki i logiczne podstawy komputera”.

Strona 1