Najwięcej informacji otrzymuje około 90 osób. Oczy w wielkim mieście: jak zachować wzrok? Jak uniknąć rozwoju chorób i pogorszenia wzroku?

Przyjrzyjmy się podstawowym operacjom arytmetycznym: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Zasady wykonywania tych operacji w systemie dziesiętnym są dobrze znane - są to dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez kolumnę i dzielenie przez kąt. Zasady te mają zastosowanie do wszystkich innych systemów liczb pozycyjnych. Wystarczy użyć specjalnych tabliczek dodawania i mnożenia dla każdego systemu.

1. Dodatek

Tabele dodawania można łatwo utworzyć za pomocą reguł liczenia.

Podczas dodawania liczby są sumowane cyframi, a jeśli jest nadmiar, są przenoszone w lewo.

Przykład 1. Dodajmy liczby 15 i 6 w różnych systemach liczbowych.

Przykład 2. Dodajmy liczby 15, 7 i 3.

Przykład 3. Dodajmy liczby 141,5 i 59,75.

Odpowiedź: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Badanie. Przelicz otrzymane kwoty na postać dziesiętną:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Odejmowanie

Pożyczkajednostki starsze

Przykład 4. Odejmij jeden od liczb 10 2 , 10 8 i 10 16

Przykład 5. Odejmij jeden od liczb 100 2 , 100 8 i 100 16 .

Przykład 6. Odejmij liczbę 59,75 od liczby 201,25.

Odpowiedź: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D.8 16.

Badanie. Przeliczmy powstałe różnice na postać dziesiętną:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Oprócz dziesiętnego istnieje niezliczona liczba innych systemów, a niektóre z nich służą do reprezentowania i przetwarzania informacji w komputerze. Istnieją dwa rodzaje systemów liczbowych: pozycyjny i niepozycyjny.

Systemy niepozycyjne to takie, w których każda cyfra zachowuje swoje znaczenie niezależnie od jej położenia w liczbie. Przykładem jest rzymski system liczbowy, który wykorzystuje liczby takie jak I, V, X, L, C, D, M itp.

Pozycyjny to systemy liczbowe, w których znaczenie każdej cyfry jest takie samo zależy od jego lokalizacji. System pozycyjny charakteryzuje się podstawą rachunku różniczkowego, który będzie rozumiany jako liczba £, która pokazuje, ile jednostek dowolnej cyfry potrzeba, aby otrzymać jednostkę wyższego rzędu.

Możesz na przykład pisać

Co odpowiada liczbom w systemie dziesiętnym

Poniższy indeks wskazuje podstawę liczby.

Aby przekonwertować liczby dodatnie z jednego systemu liczbowego na inny, znane są dwie zasady:

Tłumaczenie numerów z systemu , do systemu ;

Tłumaczenie numerów z systemu , do systemu za pomocą arytmetyki systemowej ;

Rozważmy pierwszą zasadę . Załóżmy, że liczba jest w systemie dziesiętnym muszą być reprezentowane binarnie . Aby to zrobić, liczba ta jest dzielona przez podstawę systemu prezentowane w systemie , tj. do 210. Pozostała część podziału będzie najmniej znaczącą cyfrą liczby binarnej. Część całkowitą wyniku dzielenia dzieli się ponownie przez 2. Operację dzielenia powtarzaj tyle razy, ile to możliwe, aż iloraz będzie mniejszy niż dwa.

Przykład: przekonwertuj liczbę 89 10 na postać binarną, stosując arytmetykę dziesiętną

89 10 → 1011001 2

Tłumaczenie odwrotne, według tej samej zasady, wygląda następująco:

Konwertuj 1011001 2 na liczbę dziesiętną, korzystając z arytmetyki systemu liczb binarnych

Liczby binarne 1000 i 1001 zgodnie z tabelą 2.1 są odpowiednio równe 8 i 9. Zatem 1011001 2 → 89 10

Czasami wygodniej jest przeprowadzić tłumaczenie odwrotne, korzystając z ogólnej zasady przedstawiania liczby w jakimś systemie liczbowym.

Spójrzmy na drugą zasadę. Tłumaczenie numerów z systemu , do systemu za pomocą arytmetyki systemowej . Do wykonania przelewu potrzebna jest każda cyfra numeru w systemie pomnóż przez podstawę systemu liczbowego reprezentowane w systemie liczbowym i do stopnia położenia tej liczby. Następnie powstałe produkty sumuje się.

Operacje arytmetyczne i logiczne

Działania arytmetyczne

Rozważmy arytmetykę systemu liczb binarnych, ponieważ to właśnie ten system jest używany w nowoczesnych komputerach z następujących powodów:

Istnieją najprostsze elementy fizyczne, które mają tylko dwa stany i które można interpretować jako 0 i 1;

Przetwarzanie arytmetyczne jest bardzo proste.

Liczby ósemkowe i szesnastkowe są powszechnie używane w celu zastąpienia długiej i dlatego niewygodnej reprezentacji liczb binarnych.

Operacje dodawania, odejmowania i mnożenia w systemie binarnym to:

Jak wykazano wcześniej, aby zadowolić się tylko dodawaniem, czyli wykonać tylko operacje dodawania, operację odejmowania zastępuje się dodawaniem. Aby to zrobić, kod liczby ujemnej jest tworzony jako uzupełnienie liczb 2, 10, 100 itd.

Na liczbach zapisanych w dowolnym systemie liczbowym można wykonywać różne operacje arytmetyczne. Zasady wykonywania tych operacji w systemie dziesiętnym są dobrze znane - są to dodawanie, odejmowanie, mnożenie według kolumny I dzielenie przez kąt. Zasady te mają zastosowanie do wszystkich innych systemów liczb pozycyjnych. Tylko należy stosować tabliczki dodawania i mnożeniaspecjalnydla każdego systemu.

Podczas dodawania liczby są sumowane cyframi, a jeśli jest nadmiar, są przenoszone w lewo. Dodawanie i mnożenie liczb binarnych odbywa się według zasad:

Przykłady z liczbami binarnymi:

101001 101 10111 1100,01

1011 + 011 + 10110 - 0,10

110100 1000 101101 1011,11

Mnożenie

Podczas mnożenia liczb wielocyfrowych w różnych systemach liczb pozycyjnych można zastosować zwykły algorytm mnożenia liczb w kolumnie, ale wyniki mnożenia i dodawania liczb jednocyfrowych należy zapożyczyć z tablic mnożenia i dodawania odpowiadających systemowi w pytanie.

Ze względu na niezwykłą prostotę tabliczki mnożenia w systemie dwójkowym, mnożenie ogranicza się jedynie do przesunięć mnożnej i dodawania.

00000 + 100111

00000 + 100111

11011 + 100111

11110011 101011010001

Dział

Dzielenie w dowolnym systemie liczb pozycyjnych odbywa się według tych samych zasad, co dzielenie przez kąt w systemie dziesiętnym. W systemie binarnym dzielenie jest szczególnie proste, ponieważ następna cyfra ilorazu może wynosić tylko zero lub jeden.

101001101 1001 − 333 9 11110 110

1001 100101 27 37 - 110 101

1001 1001000 1000

Operacje arytmetyczne na liczbach w systemach ósemkowych i szesnastkowych wykonuje się analogicznie do systemów binarnych i dziesiętnych. Aby to zrobić, musisz skorzystać z niezbędnych tabel.

Procesor nie wie, jak bezpośrednio wykonać operację odejmowania, dlatego odejmowanie należy sprowadzić do dodawania, przedstawiając odejmowanie w tzw. kodzie uzupełnienia do dwójki. Rozważmy najpierw odwrotny kod liczby. Na przykład 1001 (numer oryginalny), a 0110 to kod odwrotny + 1 = 0111 kod dodatkowy.

Te. Odejmowanie w arytmetyce binarnej polega na dodawaniu odjemnika z dopełnieniem odejmowania. Na przykład od 101 2 odejmij 10 2

1) 10 2 = 010, jego kod odwrotny to 101

2) następnie zwiększając kod odwrotny o 1 otrzymamy dodatkowy kod 110

110 (lub 5-2=3)

4) Należy pamiętać, że przeniesienie z najwyższego wyniku oznacza, że ​​uzyskany wynik jest dodatni

Pytania do samokontroli

Jak nazywa się system liczbowy?

Jaka jest różnica między pozycyjnymi systemami liczbowymi a niepozycyjnymi?

Jak określa się proces kodowania informacji i dlaczego jest on konieczny?

Jakie znasz jednostki miary ilości informacji?

Dlaczego binarna reprezentacja informacji jest jedną z podstawowych zasad działania współczesnych komputerów?

Konwertuj z systemu binarnego na dziesiętny: 10100011 2 i 1101011 2.

Jaka jest podstawa naturalnego systemu liczb pozycyjnych?

Jakie znasz metody konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny?

Dodatkowy materiał

Przykład 1. Dodajmy liczby 15 i 6 w różnych systemach liczbowych.

Przykład 2. Dodaj liczby 15, 7 i 3.

Przykład 3. Dodaj liczby 141,5 i 59,75.

Odpowiedź: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Badanie. Przeliczmy otrzymane kwoty na postać dziesiętną: 11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25 311,2 8 = 3*8 2 + 1 8 1 + 1*8 0 + 2*8 - 1 = 201,25 C9,4 16 = 12*16 1 + 9*16 0 + 4*16 -1 = 201,25