Трендовая модель в excel. Расчет параметров уравнения тренда
Выполнение заданий на построение линии тренда отличает то, что исходные данные могут быть набором чисел не связанных между собой.
Прогнозирование по обычному графику невозможно, так как его коэффициент детерминированности (R^2) будет близок к нулю.
Именно поэтому применяются специальные функции.
Сейчас мы их построим, настроим и проанализируем.
Легкая версия построения
Процесс построения линии тренда состоит из трех этапов: ввод в excel исходных данных, построение графика, выбор линии тренда и ее параметров.
Начнем с ввода данных.
1. Создаем в Excel таблицу с исходными данными.
(Рисунок 1)
2. Выделяем ячейки B3:B17 и перейдя на закладку «Вставка» выбираем «График».
(Рисунок 2)
3. После того как график построен, можно добавить подписи и заголовок.
Для начала кликнем левой кнопкой мыши по границе графика, чтобы выделить его.
Затем перейдем на закладку "Конструктор" и выберем "Макет 1".
(Рисунок 3)
4. Переходим к построению линии тренда. Для этого снова выделяем график и переходим на закладку «Макет».
(Рисунок 4)
5. Нажимаем на кнопку «Линия тренда» и выбираем «линейное приближение» или «экспоненциальное приближение».
(Рисунок 5)
Так мы построили первичную Линию тренда, которая может мало соответствовать действительности.
Это наш промежуточный результат.
(Рисунок 6)
И поэтому потребуется настроить параметры нашей линии тренда или выбрать другую функцию.
Профессиональная версия: выбор линии тренда и настройка параметров
6. Нажимаем на кнопку «Линия тренда» и выбираем «Дополнительные параметры и линии тренда».
(Рисунок 7)
7. В окне «Формат линии тренда», мы ставим флажок напротив «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2 и нажимаем кнопку «закрыть».
Видим на диаграмме коэффициент R^2= 0,6442
(Рисунок 8)
8. Отменяем изменения. Выделяем график, нажимаем на закладку "Макет", кнопку "линия тренда" и выбираем "Нет".
9. Переходим в окно «Формат линии тренда», но уже для того, чтобы выбрать «Полиноминальную» линию тренда, меняем степень, добиваясь показателей коэффициента R^2= 0,8321
(Рисунок 9)
Прогноз
Если нам нужно предположить, какие данные могли бы быть получены в следующем измерении, в окне «Формат линии тренда», указываем количество периодов на которые делается прогноз.
(Рисунок 10)
На основе прогноза мы можем предположить, что 25 января количество набранных баллов было бы от 60 до 70.
Вывод
И в заключение если Вам интересна формула по которой построен тренд, в коне «Формат линии тренда» поставьте флажок напротив «показать уравнение на диаграмме».
Теперь Вы знаете, как выполнить задание и построить линию тренда, даже в такой программе как excel 2010.
Задавайте вопросы, не стесняйтесь.
Назначение сервиса . Сервис используется для расчета параметров тренда временного ряда y t онлайн с помощью метода наименьших квадратов (МНК) (см. пример нахождения уравнения тренда), а также способом от условного нуля. Для этого строится система уравнений:a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
и таблица следующего вида:
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) |
| 1 | |||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| N | |||||
| ИТОГО | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ | ∑ |
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .
Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.
Способ отсчета времени от условного начала
Для определения параметров математической функции при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы ∑t i . При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. Например, при обозначения времени будут: –2, –1, 0, +1, +2 . При четном числе уровней порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: –1, –3, –5 , а нижней половины ряда обозначаются +1, +3, +5 .Пример . Статистическое изучение динамики численности населения.
- С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
- С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
- Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
| 1990 | 1996 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
| 1249 | 1133 | 1043 | 1030 | 1016 | 1005 | 996 | 985 | 975 | 968 |
а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов
. Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y |
| -9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 |
| -7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 |
| -5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 |
| -3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 |
| -1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 |
| 1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 |
| 3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 |
| 5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 |
| 7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 |
| 9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 |
| 0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 |
Для наших данных система уравнений примет вид:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.
б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2
| t | y | t 2 | y 2 | t y | t 3 | t 4 | t 2 y |
| -9 | 1249 | 81 | 1560001 | -11241 | -729 | 6561 | 101169 |
| -7 | 1133 | 49 | 1283689 | -7931 | -343 | 2401 | 55517 |
| -5 | 1043 | 25 | 1087849 | -5215 | -125 | 625 | 26075 |
| -3 | 1030 | 9 | 1060900 | -3090 | -27 | 81 | 9270 |
| -1 | 1016 | 1 | 1032256 | -1016 | -1 | 1 | 1016 |
| 1 | 1005 | 1 | 1010025 | 1005 | 1 | 1 | 1005 |
| 3 | 996 | 9 | 992016 | 2988 | 27 | 81 | 8964 |
| 5 | 985 | 25 | 970225 | 4925 | 125 | 625 | 24625 |
| 7 | 975 | 49 | 950625 | 6825 | 343 | 2401 | 47775 |
| 9 | 968 | 81 | 937024 | 8712 | 729 | 6561 | 78408 |
| 0 | 10400 | 330 | 10884610 | -4038 | 0 | 19338 | 353824 |
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400
0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038
330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824
Получаем a 0 = 1.258, a 1 = -12.236, a 2 = 998.5
Уравнение тренда:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = y n+L ± K
где
L - период упреждения; у n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2
.
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.
1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)
Диаграммы и графики используются для анализа числовых данных, например, для оценки зависимости меж-ду двумя видами значений. С этой целью к данным диаграммы или графика можно добавить линию тренда и ее уравнение, прогнозные значения, рассчитанные на несколько периодов вперед или назад.
Линия тренда представляет собой прямую или кривую линию, аппроксимирующую (приближающую) исходные данные на основе уравнения регрессии или скользящего среднего. Аппроксимация определяется по ме-тоду наименьших квадратов. В зависимости от характера поведения исходных данных (убыва-ют, возрастают и т.д.) выбирается метод интерполяции, который сле-дует использовать для построения тренда.
Предусмотрено несколько вариантов формирования линии трен-да.
Линейной функцией: y=mx+b
где m — тангенс угла наклона прямой, b — смещение.
Прямая линия тренда (линейный тренд) наилучшим образом подходит для величин, изменяющихся с постоянной скоростью. Приме-няется в случаях, когда точки данных расположены близко к прямой.
Логарифмической функцией: y=c*lnx+b
где с и b — константы.
Логарифмическая линия тренда соответствует ряду данных, значения которого вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Может использоваться для положительных и отрицательных данных.
Полиномиальной функцией (до 6-й степени включительно): y= b + c 1 *x + c 2 *x 2 + c 3 *x 3 + ...+ c 6* x 6
где b, c 1 , c 2 , ... c 6 — константы.
Полиномиальная линия тренда используется для описания попеременно возрастающих и убывающих данных. Степень полинома подбирают таким образом, чтобы она была на единицу больше количества экстремумов (максимумов и минимумов) кривой.
Степенной функцией: y = cxb
где c и b — константы.
Степенная линия тренда дает хорошие результаты для положительных данных с постоянным ускорением. Для рядов с нулевыми или отрицательными значениями построение указанной линии трен-да невозможно.
Экспоненциальной функцией: y = cebx
где c и b — константы, е — основание натурального логарифма.
Экспоненциальный тренд используется в случае непрерывного возрастания изменения данных. Построение указанного тренда не- возможно, если в множестве значений членов ряда присутствуют нулевые или отрицательные данные.
С использованием линейной фильтрации по формуле: F t = (A t +A (t-1) +⋯+A (t-n+1))/n
где n — общее число членов ряда, t — заданное число точек (2 ≤ t < n).
Тренд с линейной фильтрацией позволяет сгладить колебания данных, наглядно демонстрируя характер зависимостей. Для построения указанной линии тренда пользователь должен задать число — параметр фильтра. Если задано число 2, то первая точка линии трен-да определяется как среднее значение из первых двух элементов данных, вторая точка — как среднее второго и третьего элементов данных и т.д.
Для некоторых типов диаграмм линия тренда в принципе не мо-жет быть построена — диаграмм с накоплением, объемных, лепест-ковых, круговых, поверхностных, кольцевых. При возможности к диаграмме можно добавить несколько линий с разными па-раметрами. Соответствие линии тренда фактическим значениям ряда данных устанавливается с помощью коэффициента достоверности аппрок-симации:
Линия тренда, а также ее параметры добавляются к данным диа-граммы следующими командами:
При необходимости параметры линии можно изменить, вызвав щелчком мыши по ряду данных диаграммы или линии трен-да окно Формат линии тренда. Можно добавить (или удалить) урав-нение регрессии, коэффициент достоверности аппроксимации, оп-ределить направление и прогноз изменения ряда данных, а также выполнить коррекцию оформительских элементов линии тренда. Выделенная линия тренда может быть также удалена.
На рисунке приведена таблица данных по изменению стоимости ценной бумаги. На основе этих условных данных построена точечная диаграмма, добавлена поли-номиальная линия тренда третьего порядка (задана штриховой ли-нией) и некоторые другие параметры. Полученное значение коэф-фициента достоверности аппроксимации R 2 на диаграмме близко к единице, что свидетельствует о близости расчетной линии тренда с данными задачи. Прогнозное значение изменения стоимости ценной бумаги направлено в сторону роста.
Как поступить в случае, если для определенных объемов/размеров продукции хронометражные замеры отсутствуют? Или число замеров недостаточно, а дополнительные наблюдения в ближайшее время осуществить невозможно? Наилучший способ решения данной проблемы – построение расчетных зависимостей (уравнений регрессии) с помощью линий тренда в MS Excel.
Рассмотрим реальную ситуацию: на складе с целью установления величины трудовых затрат по коробочной отборке заказа были проведены хронометражные наблюдения. Результаты этих наблюдений представлены в таблице 1 ниже.
Впоследствии возникла необходимость определения затрат времени на отборку 0,6 и 0,9 м3 товара/заказа. В связи с невозможностью проведения дополнительных хронометражных исследований затраты времени на отборку данных объемов заказа были рассчитаны с помощью уравнений регрессии в MS Excel. Для этого таблица 1 была преобразована в таблицу 2.
Выбор точечной диаграммы, рис. 1
Следующий шаг: курсор мыши был установлен на одной из точек графика и с помощью правой кнопки мыши было вызвано контекстное меню, в котором был выбран пункт: «добавить линию тренда» (рис.2).
Добавление линии тренда, рис. 2
В появившемся окне настройки формата линии тренда (рис. 3) были последовательно выбраны: тип линии линейная/степенная и установлены флажки на следующие пункты: «показать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмме величину достоверности аппроксимации (R^2)» (коэффициент детерминации).
Формат линии тренда, рис. 3
В результате были получены графики, представленные на рис. 4 и 5.
Линейная расчетная зависимость, рис. 4
Степенная расчетная зависимость, рис. 5
Наглядный анализ графиков однозначно свидетельствует о близости полученных зависимостей. Кроме того, величина достоверности аппроксимации (R^2), которую также называют коэффициентом детерминации, в случае обеих зависимостей составляет одну и ту же величину 0,97. Известно, что чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем больше линия тренда соответствует действительности. Также можно констатировать, что изменение затрат времени на обработку заказа на 97% объясняется изменением количества товара. Поэтому в данном случае не принципиально: какую расчетную зависимость выбрать в качестве основной для последующего расчета временных затрат.
Примем за основную - линейную расчетную зависимость. Тогда значения затрат времени в зависимости от количества товара будут определяться по формуле: y = 54,511x + 0,1489. Результаты этих расчетов для количества товара, по которому ранее были проведены хронометражные наблюдения, представлены в таблице 3 ниже.
Определим среднее отклонение затрат времени, рассчитанных по уравнению регрессии от затрат времени, рассчитанных по данным хронометражных наблюдений: (-0,05+0,10-0,05+0,01)/4=0,0019. Таким образом, затраты времени, рассчитанные по уравнению регрессии отличаются от затрат времени, рассчитанных по данным хронометражных наблюдений всего на 0,19%. Расхождение данных ничтожно мало.
По формуле: y = 54,511x + 0,1489 установим затраты времени для количества товара, по которому ранее не были проведены хронометражные наблюдения (таблица 4).
Таким образом, построение расчетных зависимостей с помощью линий тренда в MS Excel – это отличный способ установления затрат времени по операциям, которые в силу различных причин не были охвачены хронометражными наблюдениями.