Десетично число 5 в двоична система. Преобразуване от произволна бройна система в десетична
Резултатът вече е получен!
Бройни системи
Има позиционни и непозиционни системи за позициониранеОтчитане. Арабската бройна система, която използваме в Ежедневието, е позиционен, но Роман не е. В позиционните бройни системи позицията на числото еднозначно определя големината на числото. Нека разгледаме това на примера на числото 6372 в десетичната бройна система. Нека номерираме това число отдясно наляво, започвайки от нула:
Тогава числото 6372 може да бъде представено по следния начин:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Числото 10 определя бройната система (в в такъв случайтова е 10). Стойностите на позицията на дадено число се приемат като степени.
Помислете за реалното десетично число 1287.923. Нека го номерираме, започвайки от нулева позиция на числото от десетичната запетая наляво и надясно:
Тогава числото 1287.923 може да бъде представено като:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Най-общо формулата може да бъде представена по следния начин:
C n с n +C n-1 · с n-1 +...+C 1 · с 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
където C n е цяло число на позиция н, D -k - дробно число в позиция (-k), с- бройна система.
Няколко думи за бройните системи Числото в десетичната бройна система се състои от много цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), в осмичната бройна система се състои от много цифри (0,1, 2,3,4,5,6,7), инч двоична системазапис - от набор от цифри (0,1), в шестнадесетичната бройна система - от набор от цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C ,D,E, F), където A, B, C, D, E, F съответстват на числата 10,11,12,13,14,15. Таблица 1 показва числата в различни системиОтчитане.
| маса 1 | |||
|---|---|---|---|
| Нотация | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | б |
| 12 | 1100 | 14 | ° С |
| 13 | 1101 | 15 | д |
| 14 | 1110 | 16 | д | 15 | 1111 | 17 | Е |
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
За да преобразувате числа от една бройна система в друга, най-лесният начин е първо да преобразувате числото в десетична системабройна система и след това преобразувайте от десетичната бройна система в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
Използвайки формула (1), можете да преобразувате числа от произволна бройна система в десетична бройна система.
Пример 1. Преобразувайте числото 1011101.001 от двоична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Пример2. Преобразувайте числото 1011101.001 от осмична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
Пример 3 . Преобразувайте числото AB572.CDF от шестнадесетична бройна система в десетична SS. Решение:
Тук А-заменен с 10, б- на 11, ° С- на 12, Е- до 15.
Преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числа от десетичната бройна система в друга бройна система, трябва да преобразувате поотделно цялата част от числото и дробната част от числото.
Цялата част на числото се преобразува от десетична SS в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система (за двоична SS - на 2, за 8-дневна SS - на 8, за 16 -ary SS - с 16 и т.н. ), докато се получи цял остатък, по-малък от основата CC.
Пример 4 . Нека преобразуваме числото 159 от десетичен SS в двоичен SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Както се вижда от фиг. 1, числото 159, когато е разделено на 2, дава частното 79 и остатъка 1. Освен това, числото 79, когато е разделено на 2, дава частното 39 и остатъка 1 и т.н. В резултат на това, конструирайки число от остатъците от деление (отдясно наляво), получаваме число в двоичен SS: 10011111 . Следователно можем да напишем:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Нека преобразуваме числото 615 от десетичен SS в осмичен SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Когато преобразувате число от десетична SS в осмична SS, трябва последователно да разделите числото на 8, докато получите цяло число, по-малко от 8. В резултат на това, конструирайки число от остатъци от деление (отдясно наляво), получаваме число в осмичен SS: 1147 (виж фиг. 2). Следователно можем да напишем:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Нека преобразуваме числото 19673 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Както може да се види от фигура 3, чрез последователно разделяне на числото 19673 на 16, остатъците са 4, 12, 13, 9. В шестнадесетичната бройна система числото 12 съответства на C, числото 13 - D. Следователно нашето шестнадесетично число- това е 4CD9.
За да преобразувате обикновени десетични дроби (реално число с нулева цяло число) в бройна система с основа s, трябва дадено числопоследователно умножаваме по s, докато дробната част стане чиста нула, или получим необходимия брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава тази цяла част не се взема предвид (те се включват последователно в резултата).
Нека разгледаме горното с примери.
Пример 7 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.214 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Както се вижда от фиг. 4, числото 0,214 се умножава последователно по 2. Ако резултатът от умножението е число с цяла част, различна от нула, тогава цяла частсе записва отделно (отляво на числото), а числото се записва с нулева цяла част. Ако резултатът от умножението е число с нулева цяла част, тогава вляво от него се записва нула. Процесът на умножение продължава, докато дробната част достигне чиста нула или получим необходимия брой цифри. Изписвайки удебелени числа (фиг. 4) отгоре надолу, получаваме търсеното число в двоичната бройна система: 0. 0011011 .
Следователно можем да напишем:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Нека преобразуваме числото 0,125 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.125 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.0 |
За да преобразувате числото 0,125 от десетична SS в двоична, това число се умножава последователно по 2. В третия етап резултатът е 0. Следователно се получава следният резултат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.
| 0.214 | ||
| х | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| х | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| х | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| х | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| х | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| х | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следвайки примери 4 и 5, получаваме числата 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадесетичния SS числата 12 и 11 съответстват на числата C и B. Следователно имаме:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Пример 10 . Нека преобразуваме числото 0,512 от десетичната бройна система в осмична SS.
| 0.512 | ||
| х | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| х | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| х | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Има:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Нека преобразуваме числото 159.125 от десетичната бройна система в двоична SS. За да направим това, превеждаме отделно цялата част на числото (Пример 4) и дробната част на числото (Пример 8). По-нататъшно комбиниране на тези резултати получаваме:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Нека преобразуваме числото 19673,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS. За целта превеждаме поотделно цялата част на числото (Пример 6) и дробната част на числото (Пример 9). Освен това, комбинирайки тези резултати, получаваме.
С двоичната бройна система се сблъскваме при изучаване на компютърни дисциплини. В крайна сметка именно на базата на тази система са изградени процесорът и някои видове криптиране. Има специални алгоритми за запис на десетично число в двоичната система и обратно. Ако знаете принципа на изграждане на система, няма да е трудно да работите в нея.
Принципът на изграждане на система от нули и единици
Двоичната бройна система е изградена с помощта на две цифри: нула и единица. Защо точно тези числа? Това се дължи на принципа на конструиране на сигналите, които се използват в процесора. На най-ниското си ниво сигналът приема само две стойности: false и true. Следователно беше обичайно да се обозначава липсата на сигнал, „фалшив“, с нула, а присъствието му, „вярно“, с единица. Тази комбинация е лесна за изпълнение технически. Числата в двоичната система се образуват по същия начин, както в десетичната система. Когато цифра достигне горната си граница, тя се нулира и се добавя нова цифра. Този принцип се използва за преминаване през десет в десетичната система. По този начин числата са съставени от комбинации от нули и единици и тази комбинация се нарича „двоична бройна система“.
Записване на номер в системата |
|||
В десетичен знак | В двоичен код | В десетичен знак | В двоичен код |
Как да напиша двоично число като десетично?
Има онлайн услуги, които преобразуват числата в двоични и обратно, но е по-добре да можете да го направите сами. Когато се превежда, двоичната система се обозначава с долен индекс 2, например 101 2. Всяко число във всяка система може да бъде представено като сбор от числа, например: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - в десетичната система. Числото също е представено в двоична система. Да вземем произволно число 101 и го обмислете. То има 3 цифри, така че подреждаме числото по следния начин: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, където индексът 10 означава десетичната система.
Как да напиша просто число в двоична система?
Много е лесно да се преобразува в двоичната бройна система, като се раздели числото на две. Необходимо е да се раздели, докато е възможно да се завърши напълно. Вземете например числото 871. Започваме да делим, като се уверяваме, че записваме остатъка:
871:2=435 (остатък 1)
435:2=217 (остатък 1)
217:2=108 (остатък 1)
Отговорът се записва според получените остатъци в посока от край към начало: 871 10 =101100111 2. Можете да проверите правилността на изчисленията, като използвате обратен трансфер, описан по-рано.
Защо трябва да знаете правилата за превод?
Двоичната бройна система се използва в повечето дисциплини, свързани с микропроцесорна електроника, кодиране, предаване на данни и криптиране, както и в различни области на програмирането. Познаването на основите на превода от всяка система към двоична система ще помогне на програмиста да разработи различни микросхеми и да контролира работата на процесора и други подобни системи програмно. Двоичната бройна система също е необходима за прилагане на методи за предаване на пакети данни по криптирани канали и създаване на базата на тях софтуерни проектиТип "клиент-сървър". В училищен курс по компютърни науки основите на преобразуването в двоична система и обратно са основният материал за изучаване на програмиране в бъдеще и създаване на прости програми.
Аритметичните операции в позиционните бройни системи се извършват с помощта на един алгоритъм. По този начин добавянето на двоични числа става съгласно класическия алгоритъм „колона“ с прехвърляне на число, което е кратно на две по едно, към следващата цифра.
Нека разгледаме този алгоритъм на примера на две двоични числа 1010101 2 и 110111 2:
Резултатът от добавянето изглежда като 10001100 2. Нека проверим резултата от събирането, като преобразуваме всички числа в десетичната бройна система:
1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .
Двоичната система, която е в основата на компютърната аритметика, е много тромава и неудобна за човешка употреба. Следователно програмистите използват две кратни на двоичната бройна система: осмична и шестнадесетична. В случая на шестнадесетичната система арабските цифри липсват и първите шест главни букви от латинската азбука се използват като числа. Поместени са примери за изписване на естествени числа от 1 до 16 в четири бройни системи Таблица 2.
Таблица 2. Примери за писане на естествени числа от 1 до 16
в четири бройни системи
от Таблици 2Вижда се, че в двоичната система записът на числата от втората осмица (от 8 до 15) се различава от записа на първата осмица (от 0 до 7) по наличието на единица в четвъртата (вдясно ) цифра. На това се основава алгоритъмът за преобразуване на двоични числа в осмични числа „по триади“. За да приложите този алгоритъм, трябва да разделите двоичното число на тройки от цифри (броейки отдясно) и да напишете осмична цифра вместо всяка тройка:
10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .
Най-лявата тройка може да е непълна (както в примера); за да получите пълни тройки, можете да добавите липсващи нули вляво.
Нека се уверим, че алгоритъмът е правилен:
10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;
255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .
За преобразуване на числата от осмичната система в двоичната система се използва обратен алгоритъм: осмичните цифри се заменят с тройки двоични цифри (ако е необходимо, липсващите нули се добавят отляво):
325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .
За преобразуване на числата от двоични в шестнадесетични се използва алгоритъмът "по тетрада". Низът от двоични цифри се разделя на четворки и вместо тях се записват шестнадесетични цифри:
10101101 2 → 1010 1101 → AD 16.
Обратният алгоритъм работи по подобен начин: вместо шестнадесетични цифри се заместват четворни двоични цифри.
По-лесно е да конвертирате от осмична в шестнадесетична и обратно с двоичната система:
D5 16 → D 5 →1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8 .
Когато изпълнявате задачи за събиране на числа от различни бройни системи, те трябва да бъдат преобразувани в една бройна система. Най-добре е да използвате системата, в която трябва да бъде представен резултатът.
Задача 14. (Задача А6 демо версия 2004)
Изчислете стойността на сумата в десетичен запис:
10 2 +10 8 +10 16 = ? 10
Решение.
Нека преобразуваме всички числа в десетична система:
10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .
Отговор: 26.
Задача 15.
Намерете сумата x+y, ако x=1110101 2 , y=1011011 2 . Изразете отговора си в осмична система.
Решение.
Нека намерим сумата: 1110101 2 + 1011011 2:
1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2
Нека преобразуваме полученото число от двоичната бройна система в осмична:
11 010 000 → 320 8 .
Отговор: 320.
Задача 16.(Задача B1 от демонстрацията от 2004 г.)
В бройна система с някаква основа числото 12 се записва като 110. Намерете тази основа.
Решение.
Нека означим търсената база с n. Въз основа на правилата за записване на числата в позиционни означения 110 n =n 2 +n 1 +0. Нека съставим уравнение: n 2 +n=12, намерете корените: n 1 =-4, n 2 =3. Коренът n 1 = -4 не е подходящ, тъй като основата на бройната система по дефиниция е естествено число, по-голямо от едно. Нека проверим дали коренът n=3 е подходящ:
110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10
Отговор: 3.
Упражнение17 .
В клас 1111 има 2 момичета и 1100 2 момчета. Колко ученици има в класа?
Решение.
1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .
1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10
15 10 +12 10 =27 10
Отговор: В класа има 27 ученици.
Упражнение18 .
В градината има 100 плодни дръвчета, от които 33 са ябълки, 22 са круши, 16 са сливи и 5 са череши. В коя бройна система се броят дърветата?
Решение.
100 x = 33 x + 22 x + 16 x + 5 x
1*x 2 =3*x 1 +3*x 0 +2*x 1 +2*x 0 + 1*x 1 +6*x 0 +5*x 0
x 2 =3x+3+2x+2+ 1x+6+5
D=b 2 -4ac=36+4*16=36+64=100
х 1,2 = 
= (6±10)/2
x 1 = - 2 – не отговаря на смисъла на задачата,
x 2 = 8 – основата на търсената бройна система.
Отговор: дърветата се броят в осмична бройна система.
Упражнение19 .
Разделени със запетаи, във възходящ ред, се посочват всички основи на бройни системи, в които числото 17 завършва на 2.
Решение.
Последната цифра в числото е остатъкът, когато числото се раздели на основата на числовата система. Тъй като 17-2=15, тогава търсените основи на бройните системи ще бъдат делители на 15, това са: 3, 5, 15.
Нека проверим нашия отговор, като представим числото 17 в съответните бройни системи:
Калкулаторът ви позволява да конвертирате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на бройната система не може да бъде по-малка от 2 и по-голяма от 36 (10 цифри и 26 латински буквислед всичко). Дължината на числата не трябва да надвишава 30 знака. Да влезеш дробни числаизползвайте символ. или, . За да конвертирате число от една система в друга, въведете оригиналното число в първото поле, основа оригинална системаномер във второто и основата на бройната система, в която искате да преобразувате числото в третото поле, след което щракнете върху бутона "Вземи запис".
Оригинален номер написана на 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.
Искам да напиша число 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.
Вземете вход
Завършени преводи: 1363703
Бройни системи
Бройните системи са разделени на два вида: позиционенИ не позиционно. Използваме арабската система, тя е позиционна, но има и римска система - тя не е позиционна. В позиционните системи позицията на цифра в число еднозначно определя стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като се разгледа някакво число като пример.
Пример 1. Нека вземем числото 5921 в десетичната бройна система. Нека номерираме числото отдясно наляво, започвайки от нула:
Числото 5921 може да се запише в следния вид: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Числото 10 е характеристика, която определя бройната система. Стойностите на позицията на дадено число се приемат като степени.
Пример 2. Помислете за реалното десетично число 1234,567. Нека го номерираме, като започнем от нулева позициячисла от десетичната запетая отляво и отдясно:
Числото 1234.567 може да се запише в следната форма: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
Повечето по прост начинпреобразуването на число от една бройна система в друга е първо да преобразувате числото в десетична бройна система, а след това полученият резултат в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
За да преобразувате число от която и да е бройна система в десетична, е достатъчно да номерирате цифрите му, като започнете с нула (цифрата вляво от десетичната запетая) подобно на примери 1 или 2. Нека намерим сумата от произведенията на цифрите на числото по основата на бройната система на степен на позицията на тази цифра:
1.
Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетичната бройна система.
Решение: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Отговор: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Преобразувайте числото E8F.2D 16 в десетичната бройна система.
Решение: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Отговор: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числата от десетичната бройна система в друга бройна система, целите и дробните части на числото трябва да се преобразуват отделно.
Преобразуване на цяла част от число от десетична бройна система в друга бройна система
Една цяла част се преобразува от десетична бройна система в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система, докато се получи цял остатък, който е по-малък от основата на бройната система. Резултатът от превода ще бъде запис на остатъка, като се започне от последния.
3.
Преобразувайте числото 273 10 в осмичната бройна система.
Решение: 273/8 = 34 и остатък 1. 34/8 = 4 и остатък 2. 4 е по-малко от 8, така че изчислението е завършено. Записът от балансите ще изглежда така: 421
Преглед: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, резултатът е същият. Това означава, че преводът е направен правилно.
Отговор: 273 10 = 421 8
Нека разгледаме превода на редовни десетични дроби в различни бройни системи.
Преобразуване на дробната част на число от десетичната бройна система в друга бройна система
Припомнете си, че се нарича правилна десетична дроб реално число с нулева цяла част. За да преобразувате такова число в бройна система с основа N, трябва последователно да умножите числото по N, докато фракцияняма да се нулира или няма да бъде получен необходимия брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част не се взема предвид допълнително, тъй като тя се въвежда последователно в резултата.
4.
Преобразувайте числото 0,125 10 в двоичната бройна система.
Решение: 0,125·2 = 0,25 (0 е цялата част, която ще стане първата цифра на резултата), 0,25·2 = 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5·2 = 1,0 (1 е третата цифра на резултата и тъй като дробната част е нула, тогава преводът е завършен).
Отговор: 0.125 10 = 0.001 2
1. Поредно броене в различни бройни системи.
IN модерен животизползваме позиционни бройни системи, т.е. системи, в които числото, означено с цифра, зависи от позицията на цифрата в записа на числото. Затова в бъдеще ще говорим само за тях, като пропускаме термина „позиционни“.
За да научите как да преобразувате числа от една система в друга, ще разберем как се извършва последователното записване на числата, използвайки примера на десетичната система.
Тъй като имаме десетична бройна система, имаме 10 символа (цифри) за конструиране на числа. Започваме да броим: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числата свършиха. Увеличаваме битовата дълбочина на числото и нулираме цифрата от нисък ред: 10. След това отново увеличаваме цифрата от нисък порядък, докато всички цифри изчезнат: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличаваме цифрата от висок ред с 1 и нулираме цифрата от нисък ред: 20. Когато използваме всички цифри и за двете цифри (получаваме числото 99), ние отново увеличаваме капацитета на цифрите на числото и нулираме съществуващи цифри: 100. И така нататък.
Нека се опитаме да направим същото във 2-ра, 3-та и 5-та система (въвеждаме нотацията за 2-ра система, за 3-та и т.н.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ако бройната система има основа по-голяма от 10, тогава ще трябва да влезем допълнителни знаци, обичайно е да въвеждате букви от латинската азбука. Например, за 12-цифрената система, в допълнение към десет цифри, имаме нужда от две букви ( и ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Превръщане от десетичната бройна система към всяка друга.
За да преобразувате положително цяло десетично число в бройна система с различна основа, трябва да разделите това число на основата. Разделете полученото частно отново на основата и по-нататък, докато частното стане по-малко от основата. В резултат на това запишете в един ред последното частно и всички остатъци, като започнете от последния.
Пример 1.Нека преобразуваме десетичното число 46 в двоичната бройна система.
Пример 2.Нека преобразуваме десетичното число 672 в осмична системаОтчитане.
Пример 3.Нека преобразуваме десетичното число 934 в шестнадесетична системаОтчитане.
3. Преобразуване от произволна бройна система в десетична.
За да научите как да преобразувате числа от всяка друга система в десетична, нека анализираме обичайната нотация за десетично число.
Например десетичното число 325 е 5 единици, 2 десетици и 3 стотици, т.е.
Ситуацията е абсолютно същата и в другите бройни системи, само че ще умножаваме не по 10, 100 и т.н., а по степените на основата на бройната система. Например, нека вземем числото 1201 в троичната бройна система. Нека номерираме цифрите отдясно наляво, като започнем от нула и си представим нашето число като сбор от произведенията на цифра и три на степен на цифрата на числото:
Това е, което е десетичен записнашия номер, т.е.
Пример 4.Нека преобразуваме в десетичната бройна система осмично число 511.
Пример 5.Нека преобразуваме шестнадесетичното число 1151 в десетичната бройна система.
4. Преминаване от двоичната система към системата с основа „степен две” (4, 8, 16 и т.н.).
Превръщам двоично числов число с основа „сила на две“ е необходимо двоичната последователност да се раздели на групи според броя на цифрите, равни на степента отдясно наляво, и да се замени всяка група със съответната цифра нова системаОтчитане.
Например, нека преобразуваме двоичното число 1100001111010110 в осмичната система. За да направите това, ще го разделим на групи от 3 знака, започвайки отдясно (от ), след което ще използваме таблицата за съответствие и ще заменим всяка група с ново число:
Научихме как да изградим таблица за съответствие в стъпка 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Тези.
Пример 6.Нека преобразуваме двоичното число 1100001111010110 в шестнадесетично.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | А |
| 1011 | б |
| 1100 | ° С |
| 1101 | д |
| 1110 | д |
| 1111 | Е |
5. Преобразуване от система с основата „степен две” (4, 8, 16 и т.н.) в двоична система.
Този превод е подобен на предишния, направен през обратна страна: Заменяме всяка цифра с група двоични цифри от справочната таблица.
Пример 7.Нека преобразуваме шестнадесетичното число C3A6 в двоичната бройна система.
За да направите това, заменете всяка цифра от числото с група от 4 цифри (от ) от таблицата за съответствие, като допълните групата с нули в началото, ако е необходимо: