Каква е оптималната стойност на целевата функция? Оптималната стойност на целевата функция се нарича
Действието на системата и нейното поведение се характеризират не само с установяване на факта на постигане на целта, но и със степента на нейното постигане, определена с помощта на целева функция.
Целева функция – е общ показател за системата, който характеризира степента, в която системата постига целта си. Изготвянето на целева функция е една от най-важните задачи при проектирането на система. Въпреки това, няма обща теория за конструиране на обективни функции, има само някои препоръки.
Целевата функция се съставя съгласно инструкциите на техническите спецификации по критерия за оптимизация чрез анализ външни параметрисистеми и ограничения за тях.
Целевата функция трябва значително да зависи от външни параметри или част от тях. В противен случай оптимизацията за тази целева функция няма смисъл. Целевата функция представлява вектор в м-дименсионално пространство на външните параметри на системата
Обикновено целевата функция се определя в скаларна форма.
Използват се следните четири форми на целевата функция.
1. Най-често използваната целева функция е един външен параметър
В този случай целевата функция е просто равна на един от външните параметри или неговата реципрочна стойност
Други ( м– 1) външните параметри се превеждат в система от ограничения.
Физическият смисъл на целевата функция на дадените типове е, че колкото по-голям (или по-малък) е параметърът г аз, толкова по-добре при равни други условия тази система, а равенството на другите условия се разбира в смисъл на ограничения върху останалите външни параметри. Типични проблеми с намалената форма на целевата функция: оптимизация на системата за надеждност ( г = П(T)), устойчивост на шум, цена и други външни параметри. Такава целева функция има ясен физически (технически или икономически) смисъл, обективно характеризира системата и затова често се използва. Тоест в този случай целевата функция е външен параметър на системата. Това се нарича целева функция на системата. Това могат да бъдат: точност, скорост, време, цена, надеждност, тегло, размери, някакъв технологичен показател и др.
2. Втората форма на целевата функция е сумата от параметри от една и съща размерност или сумата от функции на тези параметри
Тази форма е типична при оптимизиране по икономически критерии, критерии за сложност и др.
Например, когато се минимизират годишните намалени разходи на системата, целевата функция е сумата от два външни параметъра: годишни оперативни разходи и капиталови разходи, свързани с периода на изплащане на системата. В този случай всеки от тези външни параметри на системата е сложна функциянеговите вътрешни (предстои да бъдат намерени) параметри.
Целевите функции на задачите за оптимизация, базирани на критерия за сложност, също имат втора форма, т.к те се представят като сбор от сложностите на отделните подсистеми или блокове на системата.
3. Третата форма на целевата функция - класираната форма - е подреден набор от целеви функции на първата форма с приоритети
Първата целева функция е най-важна, последната целева функция е най-малко важна.
В конкретен случай целевата функция от този тип се записва, както следва:
Пример за класиране е (например) следната последователност от обективни функции: точност, надеждност, цена. Значението на обективната функция на третата форма е следното. Най-важният - първият по ранг - е признат за някои аз-системен параметър – г аз(напр. точност). Ако някоя система има това азПараметърът е по-голям от този на всички други системи, тогава, независимо от стойностите на другите параметри (стига да отговарят на ограниченията), тази система се счита за най-добрата. След това според втория параметър и т.н.
Процедурата за оптимизация в този случай, като правило, е многоетапна. Такава оптимизация често се прилага несъзнателно в техническите системи. Първо се избира системата с най-добра точност, ако няколко системи имат еднаква точност се избира по-надеждната и след това по-евтината. При всяка стъпка на оптимизация се използва само един критерий, което не противоречи на концепцията Систематичен подход(оптимизация въз основа на един единствен критерий, вижте по-долу).
4. Четвъртата - най-обща - форма на целевата функция е произволна зависимост от всички или част (но не по-малко от две) от разнородни външни параметри
В този случай хетерогенните параметри се преобразуват в безразмерни (или едномерни) и целевата функция се формира като определен състав (например средно аритметично) от получените безразмерни показатели.
Една единствена целева функция на четвъртата форма може да бъде получена от целевите функции на третата форма чрез умножаването им по тегловни коефициенти и последващо сумиране:
Където Е С (г аз) - един от кцелеви функции на трета форма;
ω С– неговия коефициент на тежест.
Въпреки това, както е посочено там, определянето на тегловните коефициенти на отделните целеви функции е много трудно.
Екстремната стойност на получената сума ще се счита за оптимална.
По този начин може да се посочи, че в повечето случаи (1-ва и 3-та форма) показателите за качество на системата се оценяват чрез числени стойности на компонентите на векторната целева функция, които се наричат функционалности :
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Тъй като системите работят под произволни влияния, стойностите на функционалите често се оказват случайни променливи. Това е неудобно при използване на функционалност под формата на индикатори за качество. Следователно в такива случаи обикновено се използват средните стойности на съответните функционали. Например: среден брой произведени продукти за смяна; средна себестойност на продукцията и др.
В някои случаи показателите за качество представляват вероятности за определени случайни събития. В този случай вероятността е избрана като целева функция 
изпълнение на поставената цел (задача) от системата
Например вероятността за откриване на цел от радар и др.
Като централизиран, той изпълнява следните функции: функцията за регулиране на цените между нови и серийни продуктифункцията на целенасочена и постоянна подкрепа - процесът на производство на ново оборудване с парични средства; функцията на преразпределение на средствата за разработване на ново оборудване между предприятията, участващи в разработката в различна степен нова технология.
Що се отнася до държавните разходи, те представляват доверителни фондове от средства, разпределени и реално използвани от държавата за изпълнение на нейните функции. Основните функции на целевото харчене включват
Нека сега преминем към описанието на целевите функции. PM целева функция
Целева функция. Целевата функция дефинира проблема, който трябва да бъде разрешен по време на процеса на оптимизация. Например, в тази глава се занимаваме с минимизиране на риска от портфейл от активи. Типична целева функция за портфейл от рискови активи би била
ОБЕКТИВНАТА ФУНКЦИЯ е функция, която свързва целта (променливата, която се оптимизира) и контролираните променливи в задачата за оптимизация.
Първият израз се нарича целева функция (равна на произведението на печалбата за единица продукт c, - от продукцията на този продукт Xj). Останалите уравнения представляват линейни ограничения, което означава, че потреблението на суровини, полуготови продукти, качество на продукта, мощност, т.е. първоначални ресурси, не трябва да надвишава предварително определени стойности / /. Коефициентите a,7 са постоянни стойности, показващи потреблението на ресурси за / и продукт. Проблемът може да бъде решен, ако променливите са неотрицателни и броят на неизвестните е по-голям от броя на ограниченията. Ако последното условие не е изпълнено, тогава проблемът е непоследователен.
Като целева функция приемаме производството на бензин А-76
Целевата функция има формата
Тъй като променливите разходи зависят от обема на производството, разликата между цената и променливите разходи трябва да бъде максимално увеличена. Условно фиксираните разходи (амортизация, разходи за текущи ремонти, заплати с начисления, общи цехови и производствени разходи) не са включени в модела и се изваждат от целевата функция, получена на компютъра. Ако продължителността на работа на инсталацията за всяка опция се приеме като неизвестна, тогава променливите разходи се изчисляват за един ден от нейната работа.
Условието (4.56) характеризира целевата функция, максималната разлика между цената на едро и цената на търговския бензин.
Целевата функция за решаване на този проблем може да бъде или максималната печалба за предприятието (4.52), или максималният обем на производство на продаваеми продукти в стойностно изражение (4.53)
Даденият модел за калкулиране на себестойността е същевременно и модел за калкулиране на печалбата на предприятието. Въпреки това, основният ефект от прилагането на изчисления на разходите на компютър е възможността резултатите от това изчисление да се използват за оптимизиране на производствената програма на предприятието. IN в такъв случайМаксималната печалба от продажбите на продукта може да се приеме като целева функция. При оптимизиране на производствена програма е необходимо да се максимизира функцията на формата
Предимствата и недостатъците на ориентираната към клиента структура като цяло са същите като тези на продуктовата структура, предвид разликите, свързани с различните целеви функции.
Тъй като интегралната енергийна интензивност се определя, като се вземат предвид преките и косвените енергийни разходи (чрез материални, технически и трудови ресурси), намаляването на енергийната интензивност на всеки от консумираните и използвани ресурси също се взема предвид в общите икономически спестявания. Енергийната интензивност на всеки целеви ефект (продукт, услуга) се изчислява като сума от енергийната интензивност на етапите на неговото формиране. Например, енергийната интензивност на една тръба се състои от енергийната интензивност на добива на руда, топенето на стомана, валцуването на листове и самото производство на тръбата и се измерва в килограми стандартно гориво за 1 рубла. неговата стойност. Съществуващите форми на счетоводство и предложената методология позволяват да се определят тези показатели за всеки продукт, услуга и др. По този начин, за да се спести енергия, е необходимо да се намали потреблението на производствени ресурси от всички видове, като същевременно се постигне даден целеви ефект. Тези ресурси и крайният целеви ефект се измерват в парично изражение. Разходите за тях зависят от мащаба на използваната технология, степента на сложност на техническите средства, в които се изпълнява основната целева функция - целевия технологичен процес, броя на мащабите и разклоненията на спомагателните функции, които осигуряват изпълнението Главна функция, както и нивото на използваната технология.
Обикновено се извиква израз (I). оригиналната система от уравнения и неравенства, а израз (II) - функционалът на задачата за линейно програмиране или целевата функция. Целевата функция е критерий за оптималност. Първата група неравенства на системата (I) позволява да се вземат предвид при изчислението ограниченията в съществуващите мощности на предприятията за производство на гориво в началото на плановия период. Втората група неравенства отчита
До М. м. на запад. И. включват следните раздели на приложната математика, математическото програмиране, теорията на игрите, теорията на опашките, теорията за планирането, теорията за управление на запасите и теорията за износването и подмяната на оборудване. Математическото (или оптималното) програмиране развива теорията и методите за решаване на условни екстремални проблеми, е основното нещо. част от формалния апарат за анализиране на различни проблеми на управлението, планирането и проектирането. Играе специална роля в оптимизационните проблеми на външното планиране. х-ва и управление нронз-вом. Проблемите на икономическото планиране и управлението на технологиите обикновено се свеждат до избора на набор от числа (така наречените контролни параметри), които осигуряват оптимума на конкретна функция (целева функция или показател за качество на решението) при ограничения от типа на определени равенства и неравенства. от условията на работа на системата. В зависимост от свойствата на функциите, които определят индикатора за качество и ограниченията на проблема, мат. програмирането се дели на линейно и нелинейно. Задачи, в които целевата функция е линейна, а условията са записани под формата на линейни равенства и неравенства, представляват предмет на линейна програма. Задачи, при които индикаторът за качество на решението или някои от функциите, които определят ограниченията, са нелинейни, принадлежат към нелинейната програма [) onan p go. Нелинейното програмиране от своя страна се разделя на изпъкнало и неизпъкнало програмиране. В зависимост от това дали първоначалните параметри, характеризиращи условията на задачата, са точно определени числа или случайни величини, в математиката. програмиране, има разлики между методите на управление и планиране в условията на пълна и непълна информация. Методите за задаване и решаване на условни екстремални задачи, чиито условия съдържат случайни параметри, са предмет на стохастичното програмиране.
Целта на модела е да максимизира общия дисконтиран нетен доход (до печалба) за набор от находища и газопроводни системи при дадени технологични и икономически ограничения. Моделът позволява използването на алтернативни критерии - минимизиране на претеглената сума на отклоненията от дадена стойност на целевата функция (целево програмиране); изчисленията могат да се извършват за дадено ниво на инвестиции, за дадено ниво на производство, за дадено стойност на DPV.
Успехът на такава бизнес жена зависи от това колко добре администрацията разпознава възможните области, които могат да осигурят удовлетворение от работата. Забелязва се, че жените се справят добре с функции, които изискват общуване с хората, но ако това е и интелектуална дейност - учител, журналист, екскурзовод и т.н., тогава високата ефективност на работата им и положителната им оценка почти сигурно съвпадат . В Япония жените рядко могат да получат инженерно и природонаучно образование, особено в модерни, най-обещаващи специалности, но включването им в широко разпространените мобилни целеви групи за решаване на нестандартни проблеми се оказва продуктивно. Изобретателността на женския ум е забелязана отдавна и във всички страни. В Япония, когато искат да дадат ясно доказателство за това, се сещат за конкурса, обявен от известната компания „Aji no Moto“. Тя предложи голяма парична награда за съвети как да увеличи продажбите на нейната подправка, която прилича на сол и се продава под формата на солници. Хората са написали трактати и са донесли всякакви научни знания. Но победителят беше една домакиня, чийто отговор се събра в един ред: „Направете дупките в солницата по-големи“.
Променливи на задачите
Нека изградим модел на проблема.
Решение
Преди да изградите математически моделзадачи, ᴛ.ᴇ. запишете го с помощта на математически символи, изключително важно е ясно да разберете икономическата ситуация, описана в условието. За това е изключително важно от гледна точка на икономиката, а не на математиката, Отговори на следните въпроси:
1) Какви са необходимите количества от проблема?
2) Каква е целта на решението? Какъв параметър на проблема служи като критерий за ефективността (оптималността) на решението, например печалба, цена, време и др. В каква посока трябва да се промени стойността на този параметър (на max или на min), за да се постигне най-добри резултати?
3) Какви условия трябва да бъдат изпълнени по отношение на необходимите количества и ресурси на задачата?
Тези условия определят как различните параметри на проблема трябва да се съотнасят един към друг, например количеството ресурс, изразходван в производството, и неговия запас в склада; количеството на произведената продукция и капацитета на склада, в който ще се съхранява; количеството на произведените продукти и пазарното търсене на тези продукти и др.
Само след икономическия отговор на всички тези въпроси можете да започнете да записвате тези отговори математическа форма, ᴛ.ᴇ. за записване на математическия модел.
Проблемът изисква да се определи колко боя от всеки тип трябва да се произведе. Поради тази причина желаните количества и следователно променливи на задачатаса дневните производствени обеми на всеки вид боя:
x1 – дневен обем на производство на боя от 1-ви вид, [t боя/ден];
x2 – дневен обем на производство на боя от 2-ри вид, [t боя/ден].
В формулировката на задачата се посочва целта - да се постигне максимален доходот продажба на продукти. Тези. Критерият за ефективност е параметърът дневен доход, който трябва да се стреми към максимума. За да изчислите размера на дневния доход от продажбата на бои от двата вида, е изключително важно да знаете обема на производството на бои, ᴛ.ᴇ. x1 и x2 тона боя на ден, както и Цени на едроза бои от 1-ви и 2-ри тип - според условията, съответно 3 и 2 хиляди рубли. за 1 тон боя. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, приходите от продажбата на дневния обем на производство на бои от 1-ви вид са 3 x 1 хил. Рубли. на ден, а от продажбата на боя от 2-ри тип - 2x 2 хиляди рубли. на ден. Поради тази причина записваме целевата функция като сумата от приходите от продажбата на бои от 1-ви и 2-ри тип (приемайки независимост на обемите на продажбите на всяка боя)
Обективна функция – понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "Целева функция" 2017, 2018.
ГЛАВА 16. ЕФЕКТИВНОСТ НА УПРАВЛЕНИЕТО КОНТРОЛ ВЪПРОСИ 1. Какво е причинило необходимостта от външноикономическа дейност на предприятието? 2. Какво благоприятства външноикономическата дейност на едно предприятие? 3. Какво е пречка за... .
F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2. Функцията е изпъкнала, ако F"(x)>0 за всяко x. Нека проверим: ; ; ; . Това означава, че функцията е изпъкнала, защото "x>0. Следователно изборът на оптимален брой влакове на два участъка се оказва изпъкнал програмен проблем, който може да бъде решен... .
В условията на пазарна система за управление на производствените и търговските дейности на предприятията и фирмите основата за вземане на бизнес решения е пазарната информация, а валидността на решенията се проверява от пазара по време на продажбата на стоки и услуги. С този подход...
Линейно програмиране.
Накратко теоретична информация
Поставяне на цели
Решение на пряката задача линейно програмиранеотговаря на следния въпрос:
с какви интензитети нпроцеси за печелене (предоставяне на различни услуги, производствени процеси), в които мвидове ресурси (фактори на производство) с известен максимален интензитет на използване на тези ресурси, приходите от продажби (печалба) ще бъдат максимални в случай, че интензивността на потреблението на всеки ресурс и интензивността на печалбата (приходите) във всеки от процесите зависят линейно от интензивността на този процес.
Решението на неговия двоен проблем отговаря на следния въпрос:
при какви най-ниски цени на единица ресурс ще бъде неизгодно за икономическия агент да разшири допълнително процеса на получаване на печалба чрез придобиване на нови обеми ресурси, които са оскъдни в настоящите условия на икономическа дейност?
Проблем с директно линейно програмиране може да бъде свързан със следната ситуация. На разположение н начини за печалба (осигуряване н видове услуги) с обеми x i (брой парчета аз предоставените услуги). В този случай те се използват м видове ресурси, запаси й -то от които е равно на b j . В същото време потреблението на всеки ресурс й и размера на печалбата във всеки от процесите аз линейно зависи от броя на предоставените услуги аз -ти тип с коеф а джи И c i , съответно. Матрица А=(а джи )м´н значението е подобно на това от първата част и се нарича още матрица на технологичните или структурните коефициенти. Тогава оптималният план според критерия за максимална печалба може да бъде получен от решаването на следната задача на директно линейно програмиране:
Този проблем може да бъде свързан с разширена матрица със следната форма:
(4.1)
Проблемът, двоен на проблем (4), има следния вид ( z j – изисквани лимитни цени):
При тази формулировка на двойствения проблем (5.1) и (5.3) следват от условието за минимизиране на цените, а от условието за нерентабилност от продължаване на дейността директно възниква условието за превишение или равенство на разходите над приходите от продажби.
Основни понятия на модела
Решение (план, програма) -множество, вектор от специфични стойности на всички променливи параметриуправление на модела - тези величини, които могат да се променят по желание на ръководителя на моделиращия обект. Решенията могат да бъдат приемливи (приложени на практика), неприемливи (неприложими поради ограниченията, съществуващи в модела) и оптимални (най-добрите от приемливите).
Целева функция L(x) – математически израз, свързващ факторите (параметрите) на модела. Икономическият смисъл на целевата функция отразява критерий за оптималност– показател, който има икономическо съдържание и служи за формализиране на конкретна управленска цел, например: максимизиране на печалбата (ред 1 в (4)), максимизиране на качеството на продукта или минимизиране на разходите (5.1).
Ограничителна системамодели - граници, които ограничават диапазон на приемливи(приемливо, осъществимо) решения, записвайки основните вътрешни и външни свойства на обекта, свързани с целта на оптимизацията. Комуникационни уравнения(Тип fj(x) ) – математическа формализация на системата от ограничения (редове 2 и 3 в (4), (5.2, 5.3)). Системата от ограничения отразява икономическия смисъл на комуникационните уравнения.
Система, състояща се от целева функция и комуникационни уравнения - проблем на икономическо-математическото моделиране (ЕММ).В случай, когато целевата функция и уравненията за свързване са линейни и контролните променливи се променят непрекъснато, проблемът EMM се нарича проблем с линейно програмиране (LP).. Основното свойство на множеството от допустими планове (SAP) на задачата LP е, че то е изпъкнал многостен. Едно множество се нарича изпъкнало, ако съдържа всички сегменти, свързващи произволни две точки от това множество. Ако проблемът с LP има решение, то той се намира във върха на MDP. Плановете, разположени във върховете на MDP, се наричат основни. Задачите на линейното програмиране се делят на задачи с ограничения под формата на неравенства (обща задача на ЛП) и под формата на равенства (канонична задача на ЛП). При математическо формализиране на икономически проблеми с помощта на линеен модел се получават общи задачи на ЛП - например (4), (5). Всеки общ проблем може да бъде свързан с каноничен проблем чрез въвеждане на допълнителни променливи. По този начин към задача (4) чрез въвеждане във всяко неравенство от типа „консумация на ресурси £ резерв на ресурси“ (ред 2 в (4)) допълнителна променлива x n+j (неизразходван остатък й th ресурс) се сравнява следният каноничен:
В същото време измерението на проблема (6) - броят на проектните променливи - в сравнение с (4) се увеличава с н преди n+m .
При решаването на задача (4) са важни коефициентите на ресурсна ефективност, сред които тук ще се използват диференциални и инкрементални. Диференциален коефициент на ресурсна ефективност k ji показва цената на рендиране при използване на единица й ти ресурс аз -s услуги. Тези видове услуги, за които всичко k ji се оказват най-малки за всички видове услуги и са най-малко рентабилни. Те не трябва да присъстват в оптималния план. Това позволява, като принуди обема на предоставяне на такива услуги до нула, да намали размера на проблема и по този начин да опрости неговото решение. Те се изчисляват, както следва - k ji =c i /a ji .
коефициент на нарастваща ресурсна ефективност K й е коефициентът на пропорционалност между нарастването на стойността на целевата функция оптимален плани промяната в резервите, която е причинила това увеличение й -ти ресурс. Може да се счита, че ДА СЕ й показват колко ще се увеличи стойността на целевата функция на първоначалния проблем в оптималния план с увеличаване на маржа й -ти ресурс на единица. От математическа гледна точка това е пълното производно на оптимална стойностцелева функция за количеството запас й -ти ресурс: ДА СЕ j =dL опт/db j .
Проектни параметри. Този термин означава независими променливи параметри, които напълно и недвусмислено определят решавания проектен проблем. Проектните параметри са неизвестни величини, чиито стойности се изчисляват по време на процеса на оптимизация. Всички основни или производни величини, които служат за количествено описание на системата, могат да служат като параметри на дизайна. Така че това могат да бъдат неизвестни стойности на дължина, маса, време, температура. Броят на проектните параметри характеризира степента на сложност на даден проектен проблем. Обикновено броят на проектните параметри се означава с n, а самите проектни параметри с x със съответните индекси. Така n проектни параметри на този проблем ще бъдат означени с
X1, X2, X3,...Xp.
Трябва да се отбележи, че проектните параметри могат да бъдат посочени като вътрешни контролируеми параметри в някои източници.
Целева функция. Това е израз, чиято стойност инженерът се стреми да направи максимална или минимална. Целевата функция ви позволява да сравните количествено две алтернативни решения. От математическа гледна точка целевата функция описва някаква (n+1)-мерна повърхност. Стойността му се определя от проектните параметри
M = M (x1,x2,…,xn).
Примери за обективни функции, често срещани в инженерната практика, са цена, тегло, здравина, размери, ефективност. Ако има само един проектен параметър, тогава целевата функция може да бъде представена чрез крива в равнината (фиг. 1). Ако има два проектни параметъра, тогава целевата функция ще бъде изобразена като повърхност в триизмерно пространство (фиг. 2). С три или повече параметри на проектиране, повърхностите, определени от целевата функция, се наричат хиперповърхности и не могат да бъдат изобразени с конвенционални средства. Топологичните свойства на повърхността на целевата функция играят голяма роля в процеса на оптимизация, тъй като изборът на най-ефективния алгоритъм зависи от тях.
Фигура 1. Едномерна целева функция.
Фигура 2. Двумерна целева функция.
Целевата функция в някои случаи може да приеме най-неочаквани форми. Например, тя не винаги може да бъде изразена в затворена математическа форма; в други случаи тя може да бъде частично линейна функция. Задаването на целева функция понякога може да изисква таблица с технически данни (например таблица за състоянието на водната пара) или може да изисква експеримент. В някои случаи параметрите на дизайна приемат само цели числа. Пример за това е броят на зъбите в зъбното колело или броят на болтовете във фланеца. Понякога проектните параметри имат само две значения – да или не. Качествените параметри, като удовлетворението, изпитвано от купувача, закупил продукта, надеждност, естетика, са трудни за отчитане в процеса на оптимизация, тъй като е почти невъзможно да се характеризират количествено. Въпреки това, без значение как е представена целевата функция, тя трябва да бъде недвусмислена функция на проектните параметри.
Редица оптимизационни проблеми изискват въвеждането на повече от една целева функция. Понякога един от тях може да е несъвместим с другия. Пример за това е дизайнът на въздухоплавателни средства, където едновременно се изискват максимална здравина, минимално тегло и минимални разходи. В такива случаи дизайнерът трябва да въведе система от приоритети и да присвои определен безразмерен фактор на всяка целева функция. В резултат на това се появява „компромисна функция“, която позволява използването на една съставна целева функция по време на процеса на оптимизация.
Търсене на минимум и максимум. Някои оптимизационни алгоритми са предназначени да намерят максимума, други - да намерят минимума. Въпреки това, независимо от вида на проблема с екстремума, който се решава, можете да използвате същия алгоритъм, тъй като проблемът с минимизирането може лесно да се превърне в проблем с търсене на максимум чрез обръщане на знака на целевата функция. Тази техника е илюстрирана на фиг. 3.
Фигура 3. Когато знакът на целевата функция се промени на противоположния в минимален проблем, това го превръща в максимален проблем.
Дизайн пространство. Това е името на областта, дефинирана от всички n параметри на дизайна. Пространството за проектиране не е толкова голямо, колкото може да изглежда, тъй като обикновено е ограничено от редица условия, свързани с физическото естество на проблема. Ограниченията може да са толкова силни, че проблемът да няма нито едно задоволително решение. Ограниченията се делят на две групи: ограничения - равенство и ограничения - неравенство.
Ограниченията за равенство са зависимости между проектните параметри, които трябва да се вземат предвид при намиране на решение. Те отразяват законите на природата, икономиката, правото, преобладаващите вкусове и наличието на необходимите материали. Броят на ограниченията - равенства може да бъде всякакъв. Приличат на
C1 (X1, X2, X3, . . ., Xn) = 0,
C2 (X1, X2, X3, . . ., X n) = 0,
..……………………………..
Cj(X1, X2, X 3,..., Xn) = 0.
Ограниченията на неравенствата са специален тип ограничения, изразени чрез неравенства. В общия случай те могат да бъдат колкото искате и всички имат формата
z1 ?r1(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z1
z2 ?r2(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z2
………………………………………
zk ?rk(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Zk
Трябва да се отбележи, че много често, поради ограничения, оптималната стойност на целевата функция не се постига, когато нейната повърхност има нулев градиент. Често най-доброто решение съответства на една от границите на дизайнерското пространство.
Преки и функционални ограничения. Преките ограничения имат формата
xнi? xi? xвi в i? ,
където xнi, xвi са минималните и максимално допустимите стойности на i-тия контролиран параметър; n е размерността на пространството на контролираните параметри. Например за много обекти параметрите на елементите не могат да бъдат отрицателни: xнi ? 0 (геометрични размери, електрическо съпротивление, маса и др.).
Функционалните ограничения, като правило, представляват условия за изпълнение на изходни параметри, които не са включени в целевата функция. Функционалните ограничения могат да бъдат:
- 1) вид равенства
- w(X) = 0; (2.1)
- 2) вид неравенства
tz (X) › 0, (2.2)
където w(X) и q(X) са векторни функции.
Директни и функционални ограничения формират допустимата зона за търсене:
ХД = (Х | w(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,
xi ‹ xвi за i ? ).
Ако ограниченията (2.1) и (2.2) съвпадат с условията на производителност, тогава допустимата зона се нарича още зона на производителност на XP.
Всяка от точките X, принадлежащи на CD, е възможно решение на задачата. Параметричният синтез често се поставя като проблем за определяне на някое от възможните решения. Много по-важно е обаче да се реши проблемът с оптимизацията - да се намери оптималното решение сред осъществимите.
Локален оптимум. Това е името на точката в проектното пространство, в която целевата функция има най-голяма стойност в сравнение със стойностите си във всички други точки в непосредствена близост. Фигура 4 показва едномерна целева функция, която има два локални оптимума. Често проектното пространство съдържа много локални оптимуми и трябва да се внимава да не се обърка първият с оптималното решение на проблема.
Фигура 4. Произволна целева функция може да има няколко локални оптимума.
Глобалният оптимум е оптималното решение за цялото дизайнерско пространство. То е по-добро от всички други решения, съответстващи на локалните оптимуми, и това е, което дизайнерът търси. Възможно е да има няколко равни глобални оптимума, разположени в различни части на проектното пространство. Това ви позволява да изберете най-добрия вариант от равни оптимални варианти въз основа на целевата функция. В този случай дизайнерът може да избере опция интуитивно или въз основа на сравнение на получените опции.
Избор на критерии. Основният проблем при поставянето на екстремални задачи е формулирането на целевата функция. Трудността при избора на целева функция се крие във факта, че всеки технически обект първоначално има векторен характер на критериите за оптималност (мултикритерии). Освен това, подобряването на един от изходните параметри, като правило, води до влошаване на другия, тъй като всички изходни параметри са функции на едни и същи контролирани параметри и не могат да се променят независимо един от друг. Такива изходни параметри се наричат конфликтни параметри.
Трябва да има една целева функция (принцип на уникалност). Намаляването на многокритериален проблем до еднокритериален проблем се нарича конволюция на векторен критерий. Задачата за намиране на неговия екстремум се свежда до задача на математическото програмиране. В зависимост от това как са избрани и комбинирани изходните параметри в скаларната качествена функция, се разграничават частични, адитивни, мултипликативни, минимаксни, статистически критерии и други критерии. IN техническо заданиеза проектиране на технически обект са посочени изисквания за основните изходни параметри. Тези изисквания се изразяват под формата на конкретни цифрови данни, обхвата на тяхното изменение, работни условия и допустими минимални или максимални стойности. Необходимите връзки между изходните параметри и техническите изисквания (TR) се наричат условия на работа и се записват във формата:
yi< TTi , i О ; yi >TTj, j O;
yr = TTr ± ?yr; r O .
където yi, yj, yr - набор от изходни параметри;
TTi, TTj, TTr - необходимите количествени стойности на съответните изходни параметри съгласно техническите спецификации;
Yr е допустимото отклонение на r-тия изходен параметър от стойността на TTr, посочена в техническите спецификации.
Условията на работа са от решаващо значение при развитието технически средства, тъй като задачата за проектиране е да се избере проектно решение, в което по най-добрия начинвсички условия на работа са изпълнени в целия диапазон на промени във външните параметри и когато са изпълнени всички изисквания на техническите спецификации.
Конкретни критерии могат да се използват в случаите, когато сред изходните параметри може да се идентифицира един основен параметър yi(X), който най-пълно отразява ефективността на проектирания обект. Този параметър се приема като целева функция. Примери за такива параметри са: за енергийно съоръжение - мощност, за технологична машина - производителност, за превозно средство- товароносимост. За много технически обектиТози параметър е цената. Условията на работа на всички останали изходни параметри на обекта се наричат функционални ограничения. Оптимизацията, базирана на такава формулировка, се нарича оптимизация по определен критерий.
Предимството на този подход е неговата простота; значителен недостатък е, че може да се получи голяма граница на ефективност само за основния параметър, който се приема като целева функция, а други изходни параметри изобщо няма да имат граници.
Критерият за претеглена добавка се използва, когато условията на изпълнение позволяват да се разграничат две групи изходни параметри. Първата група включва изходни параметри, чиито стойности трябва да бъдат увеличени по време на процеса на оптимизация y+i(X) (производителност, устойчивост на шум, вероятност безпроблемна работаи т.н.), във втория - изходни параметри, чиито стойности трябва да бъдат намалени y-i (X) (разход на гориво, продължителност на преходния процес, превишаване, отместване и др.). Комбинирането на няколко изходни параметъра, които обикновено имат различни физически измерения, в една скаларна целева функция изисква предварително нормализиране на тези параметри. Методите за нормализиране на параметрите ще бъдат разгледани по-долу. Засега ще приемем, че всички y(X) са безразмерни и сред тях няма такива, които да отговарят на условия за изпълнение от типа равенство. Тогава, в случай на минимизиране на целевата функция, конволюцията на векторния критерий ще има формата
където aj>0 е тегловен коефициент, който определя степента на важност на j-тия изходен параметър (обикновено aj се избира от дизайнера и остава постоянен по време на процеса на оптимизация).
Целевата функция във формата (2.1), изразяваща адитивния критерий, може да бъде записана и в случай, когато всички или основните условия на изпълнение имат формата на равенства. След това целевата функция
определя средноквадратичното приближение на yj(X) към дадените технически изисквания TTj.
Мултипликативният критерий може да се използва в случаите, когато няма условия за изпълнение от тип равенство и изходните параметри не могат да приемат нулеви стойности. Тогава мултипликативната целева функция, която трябва да бъде минимизирана, има формата
Един от най съществени недостатъцикакто адитивните, така и мултипликативните критерии е неотчитането на техническите изисквания за изходните параметри при формулирането на проблема.
Критерият за формата на функцията се използва, когато задачата е зададена за най-доброто съвпадение на дадена (референтна) характеристика yCT(X, y) със съответната изходна характеристика y(X, y) на проектирания обект, където y е някаква променлива, например честота, време, избрана фазова променлива. Тези задачи включват: проектиране на системата автоматично регулиране, осигуряващи необходимия тип преходен процес за контролирания параметър; определяне на параметрите на модела на транзистора, които дават максимално съответствие с неговата теоретична характеристики ток-напрежениес експериментални; търсене на параметри на сеченията на гредата, чиито стойности водят до най-доброто съвпадение на дадената диаграма на напрежението с изчислената и др.
Използването на конкретен критерий за оптимизация в тези случаи се свежда до замяна на непрекъснати характеристики с краен набор от възлови точки и избор на една от следните целеви функции, които да бъдат минимизирани:
където p е броят на възловите точки uj на оста на променливата u; aj - тегловни коефициенти, стойностите на които са по-големи, толкова по-малко трябва да се получи отклонението y(X, φj) - yTT(X, φj) в j-та точка.
Критериите Maximin (minimax) позволяват да се постигне една от целите на оптималния дизайн - най-доброто удовлетворяване на условията за изпълнение.
Нека въведем количествена оценка на степента на изпълнение на j-то условие за ефективност, означим я с zj и я наречем резерв за ефективност на параметъра yj. Изчисляването на маржа за j-тия изходен параметър може да се извърши по различни начини, например,
където aj е тегловният коефициент; yjnom - номинална стойност на j-тия изходен параметър; dj е стойност, характеризираща разпространението на j-тия изходен параметър.
Тук се приема, че всички отношения са сведени до формата yi< TТj. Если yi >TTj, след това -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (препоръчителни стойности 5 ? aj ? 20), ако е желателно да се постигне j-тото Технически изискванияс даден толеранс, т.е. yj = TTj ± ?yj; aj=l, ако е необходимо да се получи максимално възможната оценка zj.
Качество на изпълнение техническа системахарактеризиращ се с вектор на изходните параметри и, следователно, вектор Z=(zm,zm,…,zm). Следователно, целевата функция трябва да се формира като някаква функция μ(Z) на вектора за оценка. Например, ако целевата функция разглежда резерва само на този изходен параметър, който в дадена точка X е най-лошият от гледна точка на изпълнение на изискванията на техническите спецификации, тогава
където m е броят на резервите за работоспособност.
Сега е естествено да се постави проблемът за избор на стратегия за търсене X, която да максимизира минимума от резервите, т.е.
където HD е областта за търсене.
Критерият за оптимизация с целева функция (2.6) се нарича максимален критерий.
Статистически критерии. Оптимизацията с помощта на статистически критерии е насочена към получаване на максимална вероятност P за изпълнение. Тази вероятност се приема като целева функция. Тогава имаме проблема
Нормализация на контролирани и изходни параметри. Пространството на контролираните параметри е метрично. Следователно, когато се избират посоките и стойностите на стъпките на търсене, е необходимо да се въведе една или друга норма, идентифицирана с разстоянието между две точки. Последното предполага, че всички контролирани параметри имат една и съща размерност или са безразмерни.
Възможен различни начининормиране. Като пример, разгледайте метода на логаритмична нормализация, чието предимство е преходът от абсолютни увеличения на параметрите към относителни. В такъв случай аз-и контролиранпараметърът ui се преобразува в безразмерен xi, както следва:
където oi е коефициентът, числено равно на еднопараметър ui.
Нормализирането на изходните параметри може да се извърши с помощта на тегловни коефициенти, както в адитивния критерий, или чрез преминаване от уj към резерви за ефективност zj съгласно (2.5).