Definition 1

Sættet af alle antiderivater givet funktion$y=f(x)$ defineret på et bestemt segment kaldes det ubestemte integral af en given funktion $y=f(x)$. Det ubestemte integral er angivet med symbolet $\int f(x)dx $.

Kommentar

Definition 2 kan skrives som følger:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Ikke fra alle irrationel funktion integralet kan udtrykkes i form af elementære funktioner. De fleste af disse integraler kan dog reduceres ved hjælp af substitutioner til integraler af rationelle funktioner, som kan udtrykkes i form af elementære funktioner.

$\int R\venstre(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx) +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

jeg

Når man finder et integral af formen $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ er det nødvendigt at udføre følgende substitution:

Med denne substitution udtrykkes hver brøkpotens af variablen $x$ gennem en heltalspotens af variablen $t$. Som følge heraf transformeres integrandfunktionen til en rationel funktion af variablen $t$.

Eksempel 1

Udfør integration:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Løsning:

$k=4$ er fællesnævneren for brøkerne $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2)) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \venstre(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(array)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \venstre+C\]

II

Når man finder et integral af formen $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac) (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ det er nødvendigt at udføre følgende substitution:

hvor $k$ er fællesnævneren for brøkerne $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Som et resultat af denne substitution transformeres integrandfunktionen til en rationel funktion af variablen $t$.

Eksempel 2

Udfør integration:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Løsning:

Lad os foretage følgende erstatning:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \venstre(1) +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \venstre |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Efter at have foretaget den omvendte udskiftning får vi det endelige resultat:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \venstre|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Når man finder et integral af formen $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, udføres den såkaldte Euler-substitution (en af ​​tre mulige substitutioner er Brugt).

Eulers første udskiftning

Til sagen $a>

Ved at tage "+" tegnet foran $\sqrt(a) $, får vi

Eksempel 3

Udfør integration:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Løsning:

Lad os foretage følgende erstatning (case $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t) ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Efter at have foretaget den omvendte udskiftning får vi det endelige resultat:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Eulers anden udskiftning

For sagen $c>0$ er det nødvendigt at udføre følgende substitution:

Ved at tage "+" tegnet foran $\sqrt(c) $, får vi

Eksempel 4

Udfør integration:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Løsning:

Lad os foretage følgende erstatning:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2)) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \venstre|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Efter at have gjort det omvendte udskiftning, får vi det endelige resultat:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \venstre|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \venstre|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\højre|+C) \end ( matrix)\]

Eulers tredje udskiftning

Lad os huske vores glade skoleår. Pionerer i matematiktimerne, da de begyndte at studere rødder, blev først og fremmest bekendt med kvadratroden. Vi vil gå samme vej.

Eksempel 1

Find ubestemt integral

Analyserer integrand funktion, kommer du til den triste konklusion, at det slet ikke ligner tabelintegraler. Hvis alle disse ting var i tælleren, ville det være enkelt. Ellers ville der ikke være nogen rod nedenfor. Eller et polynomium. Ingen fraktionsintegrationsmetoder De hjælper heller ikke. Hvad skal man gøre?

Hovedteknikken til at løse irrationelle integraler er en ændring af variabel, som vil befri os for ALLE rødder i integranden.

Bemærk, at denne erstatning er lidt ejendommelig, den teknisk implementering adskiller sig fra den "klassiske" erstatningsmetode, som blev diskuteret i lektionen Substitutionsmetode i ubestemt integral.

I i dette eksempel skal udskiftes x = t 2, det vil sige i stedet for "X" under roden, vi vil have t 2. Hvorfor udskiftningen? Fordi, og som et resultat af udskiftningen, vil roden forsvinde.

Hvis i integrand-funktionen i stedet kvadrat rod vi havde, så havde vi erstattet det. Hvis det havde været der, ville de have udført det og så videre.

Okay, vi bliver til . Hvad sker der med polynomiet? Der er ingen vanskeligheder: hvis , så .

Det er stadig at se, hvad forskellen bliver til. Dette gøres sådan:

Vi tager vores erstatning og hænge differentialer på begge dele:

(vi vil beskrive det så detaljeret som muligt).

Løsningsformatet skulle se sådan ud:

.

Lad os erstatte: .

.

(1) Vi udfører substitutionen efter udskiftningen (hvordan, hvad og hvor overvejes allerede).

(2) Vi tager konstanten uden for integralet. Tæller og nævner reduceres med t.

(3) Det resulterende integral er tabelformet; vi forbereder det til integration ved at vælge firkanten.

(4) Integrer over tabellen ved hjælp af formlen

.

(5) Vi udfører den omvendte udskiftning. Hvordan gøres det? Vi husker, hvorfor vi dansede: hvis, så.

Eksempel 2

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel på selvstændig beslutning. Fuldstændig løsning og svaret i slutningen af ​​lektionen.

På en eller anden måde viste det sig, at der i eksempel 1, 2 er en "nøgen" tæller med en ensom differential. Lad os rette op på situationen.

Eksempel 3

Find det ubestemte integral

Foreløbig analyse integranden viser igen, at der ikke er nogen nem måde. Og derfor skal du af med roden.

Lad os erstatte: .

Bag vi betegner HELE udtrykket under roden. Udskiftningen fra de foregående eksempler er ikke egnet her (mere præcist kan det gøres, men det vil ikke slippe af med roden).

Vi hænger differentialer på begge dele:

Vi har ordnet tælleren. Hvad skal man gøre med i nævneren?

Vi tager vores erstatning og udtrykker fra den: .

Hvis så.

(1) Vi udfører substitutionen i overensstemmelse med den udførte udskiftning.

(2) Kæm tælleren. Her valgte jeg ikke at tage konstanten ud af integraltegnet (du kan gøre det på denne måde, det vil ikke være en fejl)

(3) Vi udvider tælleren til en sum. Endnu en gang anbefaler vi stærkt, at du læser lektionens første afsnit Integrering af nogle brøker. Gimp med udvidelse af tælleren til en sum i irrationelle integraler der vil være masser, det er meget vigtigt at øve denne teknik.

(4) Divider tælleren med nævneren led for led.

(5) Vi bruger linearitetsegenskaberne for det ubestemte integral. I det andet integral vælger vi et kvadrat til efterfølgende integration i henhold til tabellen.

(6) Vi integrerer i henhold til tabellen. Det første integral er ret simpelt, i det andet bruger vi tabelformlen for den høje logaritme .

(7) Vi udfører den omvendte udskiftning. Hvis vi foretog en udskiftning, så tilbage: .

Eksempel 4

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd; hvis du ikke omhyggeligt har gennemarbejdet de foregående eksempler, vil du begå en fejl! Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

I princippet integraler med flere identisk rødder, for eksempel

Etc. Hvad skal man gøre, hvis integranden har rødder forskellige?

Eksempel 5

Find det ubestemte integral

Her kommer opgørelsen for de nøgne tællere. Når et sådant integral stødes på, bliver det normalt skræmmende. Men frygt er forgæves, bagefter passende erstatning integrand-funktionen er forenklet. Opgaven er følgende: at udføre en vellykket udskiftning for straks at slippe af med ALLE rødder.

Når der gives forskellige rødder, er det praktisk at overholde et bestemt løsningsskema.

Først skriver vi integrand-funktionen ud på et udkast og præsenterer alle rødderne i formularen:

Vi vil være interesserede nævnere grader:

Klassen af ​​irrationelle funktioner er meget bred, så der kan simpelthen ikke være en universel måde at integrere dem på. I denne artikel vil vi forsøge at identificere de mest karakteristiske typer af irrationelle integrandfunktioner og forbinde integrationsmetoden med dem.

Der er tilfælde, hvor det er hensigtsmæssigt at bruge metoden til at abonnere på differentialtegnet. For eksempel, når man finder ubestemte integraler af formen, hvor s– rationel brøk.

Eksempel.

Find det ubestemte integral .

Løsning.

Det er ikke svært at bemærke det. Derfor sætter vi det under differentialtegnet og bruger tabellen over antiderivater:

Svar:

.

13. Fraktionel lineær substitution

Integraler af typen hvor a, b, c, d er reelle tal, a, b,..., d, g er naturlige tal, reduceres til integraler af en rationel funktion ved substitution, hvor K er det mindste fælles multiplum af brøkernes nævnere

Det følger faktisk af substitutionen

dvs. x og dx er udtrykt gennem rationelle funktioner af t. Desuden er hver grad af brøken udtrykt gennem en rationel funktion af t.

Eksempel 33.4. Find integralet

Løsning: Det mindste fælles multiplum af nævnerne i brøkerne 2/3 og 1/2 er 6.

Derfor sætter vi x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Derfor,

Eksempel 33.5. Angiv erstatningen for at finde integraler:

Løsning: For I 1 substitution x=t 2, for I 2 substitution

14. Trigonometrisk substitution

Integraler af type reduceres til integraler af funktioner, der rationelt afhænger af trigonometriske funktioner ved hjælp af følgende trigonometriske substitutioner: x = en sint for det første integral; x=a tgt for det andet integral; for det tredje integral.

Eksempel 33.6. Find integralet

Løsning: Lad os sætte x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Derefter

Her er integranden en rationel funktion med hensyn til x og Ved at vælge et komplet kvadrat under radikalet og foretage en substitution, reduceres integraler af den angivne type til integraler af den allerede betragtede type, dvs. til integraler af typen Disse integraler kan beregnes ved hjælp af passende trigonometriske substitutioner.

Eksempel 33.7. Find integralet

Løsning: Da x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, så x+1=t, x=t-1, dx=dt. Derfor Lad os sætte

Bemærk: Integral type Det er hensigtsmæssigt at finde ved hjælp af substitutionen x=1/t.

15. Bestemt integral

Lad en funktion være defineret på et segment og have en antiderivativ på sig. Forskellen hedder bestemt integral fungerer langs segmentet og betegner. Så,

Forskellen skrives altså i formen . Tal kaldes grænser for integration .

For eksempel et af antiderivaterne for en funktion. Derfor

16 . Hvis c er et konstant tal, og funktionen ƒ(x) er integrerbar på , så

det vil sige, at konstantfaktoren c kan tages ud af tegnet for det bestemte integral.

▼Lad os sammensætte integralsummen for funktionen med ƒ(x). Vi har:

Så følger det, at funktionen c ƒ(x) er integrerbar på [a; b] og formel (38.1) er gyldig.▲

2. Hvis funktionerne ƒ 1 (x) og ƒ 2 (x) er integrerbare på [a;b], så integrerbare på [a; b] deres sum u

det vil sige, at integralet af summen er lig med summen af ​​integralerne.

▼
▲

Egenskab 2 gælder for summen af ​​ethvert begrænset antal led.

3.

Denne egenskab kan per definition accepteres. Denne egenskab bekræftes også af Newton-Leibniz-formlen.

4. Hvis funktionen ƒ(x) er integrerbar på [a; b] og a< с < b, то

det vil sige, at integralet over hele segmentet er lig med summen af ​​integralerne over delene af dette segment. Denne egenskab kaldes additiviteten af ​​et bestemt integral (eller additivitetsegenskaben).

Når segmentet [a;b] opdeles i dele, inkluderer vi punkt c i antallet af divisionspunkter (dette kan gøres på grund af uafhængigheden af ​​grænsen for integralsummen fra metoden til at dividere segmentet [a;b] i dele). Hvis c = x m, så kan integralsummen opdeles i to summer:

Hver af de skrevne summer er integral, henholdsvis for segmenterne [a; b], [a; s] og [s; b]. Går vi til grænsen i den sidste lighed som n → ∞ (λ → 0), opnår vi lighed (38.3).

Egenskab 4 er gyldig for enhver placering af punkterne a, b, c (vi antager, at funktionen ƒ (x) er integrerbar på det største af de resulterende segmenter).

Så hvis f.eks< b < с, то

(egenskaberne 4 og 3 blev brugt).

5. "Sætning om middelværdier." Hvis funktionen ƒ(x) er kontinuert i intervallet [a; b], så er der en tonka med є [a; b] sådan at

▼Ved den Newton-Leibniz-formel, vi har

hvor F"(x) = ƒ(x). Ved at anvende Lagrange-sætningen (sætningen om en funktions endelige tilvækst) på forskellen F(b)-F(a), får vi

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Egenskab 5 ("middelværdisætning") for ƒ (x) ≥ 0 har en simpel geometrisk betydning: værdien af ​​det bestemte integral er lig, for nogle c є (a; b), med arealet af et rektangel med højden ƒ (c) og basis b-a (se fig. 170). Nummer

kaldes gennemsnitsværdien af ​​funktionen ƒ(x) på intervallet [a; b].

6. Hvis funktionen ƒ (x) bevarer sit fortegn på segmentet [a; b], hvor a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Ved "middelværdisætningen" (egenskab 5)

hvor c є [a; b]. Og da ƒ(x) ≥ 0 for alle x О [a; b], så

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Derfor ƒ(с) (b-а) ≥ 0, dvs. ▲

7. Ulighed mellem kontinuerte funktioner i intervallet [a; b], (a

▼Siden ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, så når en< b, согласно свойству 6, имеем

Eller ifølge ejendom 2,

Bemærk, at det er umuligt at skelne mellem uligheder.

8. Estimering af integralet. Hvis m og M er henholdsvis den mindste og største værdi af funktionen y = ƒ (x) på segmentet [a; b], (a< b), то

▼Da vi for enhver x є [a;b] har m≤ƒ(x)≤М, så har vi ifølge egenskab 7

Ved at anvende egenskab 5 til de ekstreme integraler opnår vi

▲

Hvis ƒ(x)≥0, så er egenskab 8 illustreret geometrisk: arealet af en buet trapez er indesluttet mellem områderne af rektangler, hvis basis er , og hvis højder er m og M (se fig. 171).

9. Modulet for et bestemt integral overstiger ikke integralet af integradens modul:

▼Ved at anvende egenskab 7 på de åbenlyse uligheder -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, opnår vi

Den følger det

▲

10. Den afledte af et bestemt integral med hensyn til en variabel øvre grænse er lig med den integrand, hvori integrationsvariablen erstattes af denne grænse, dvs.

At beregne arealet af en figur er et af de sværeste problemer i områdeteori. På skolens geometrikursus lærte vi at finde områderne for geometriske grundformer, for eksempel en cirkel, trekant, rombe mv. Men meget oftere skal du beskæftige dig med at beregne arealer af mere komplekse figurer. Når man løser sådanne problemer, må man ty til integralregning.

I denne artikel vil vi overveje problemet med at beregne arealet af et krumt trapez, og vi vil nærme det i geometrisk forstand. Dette vil give os mulighed for at finde ud af den direkte forbindelse mellem det bestemte integral og arealet af en krumlinjet trapezoid.

Komplekse integraler

Denne artikel afslutter emnet for ubestemte integraler og inkluderer integraler, som jeg finder ret komplekse. Lektionen blev oprettet efter gentagne anmodninger fra besøgende, der udtrykte deres ønske om, at vanskeligere eksempler blev analyseret på webstedet.

Det forudsættes, at læseren af ​​denne tekst er velforberedt og ved, hvordan man anvender grundlæggende integrationsteknikker. Dummies og folk, der ikke er særlig sikre på integraler, bør henvise til den allerførste lektion - Ubestemt integral. Eksempler på løsninger , hvor du kan mestre emnet næsten fra bunden. Mere erfarne studerende kan blive fortrolige med teknikker og metoder til integration, som endnu ikke er stødt på i mine artikler.

Hvilke integraler vil blive overvejet?

Først vil vi overveje integraler med rødder, til hvilken løsning vi successivt bruger variabel udskiftning Og integration af dele . Altså i et eksempel to teknikker kombineres på én gang. Og endnu mere.

Så vil vi stifte bekendtskab med interessant og originalt metode til at reducere integralen til sig selv . En hel del integraler løses på denne måde.

Programmets tredje nummer bliver integraler af komplekse brøker, som fløj forbi kasseapparatet i tidligere artikler.

For det fjerde vil blive demonteret yderligere integraler af trigonometriske funktioner. Der er især metoder, der undgår arbejdskrævende universel trigonometrisk substitution.

(2) I integrandfunktionen dividerer vi tælleren med nævneren led for led.

(3) Vi bruger linearitetsegenskaben for det ubestemte integral. I det sidste integral med det samme sæt funktionen under differentialtegnet .

(4) Vi tager de resterende integraler. Bemærk, at du i en logaritme kan bruge parenteser i stedet for et modul, da .

(5) Vi udfører en omvendt udskiftning, der udtrykker "te" fra den direkte udskiftning:

Masochistiske studerende kan differentiere svaret og få den originale integrand, som jeg lige har gjort. Nej, nej, jeg foretog kontrollen i den rigtige forstand =)

Som du kan se, var vi under løsningen nødt til at bruge mere end to løsningsmetoder, så for at håndtere sådanne integraler har du brug for selvsikre integrationsevner og en del erfaring.

I praksis er kvadratroden selvfølgelig mere almindelig, her er tre eksempler på at løse det selv:

Eksempel 2

Find det ubestemte integral

Eksempel 3

Find det ubestemte integral

Eksempel 4

Find det ubestemte integral

Disse eksempler er af samme type, så den komplette løsning i slutningen af ​​artiklen vil kun være for eksempel 2; eksempel 3-4 har de samme svar. Hvilken erstatning man skal bruge i begyndelsen af ​​beslutninger, synes jeg, er indlysende. Hvorfor valgte jeg eksempler af samme type? Findes ofte i deres rolle. Oftere, måske bare sådan noget .

Men ikke altid, når der under arctangens, sinus, cosinus, eksponentiel og andre funktioner er en rod af en lineær funktion, skal du bruge flere metoder på én gang. I en række tilfælde er det muligt at "komme let af", det vil sige umiddelbart efter udskiftningen opnås et simpelt integral, som nemt kan tages. Den nemmeste af opgaverne foreslået ovenfor er eksempel 4, hvor der efter udskiftning opnås et relativt simpelt integral.

Ved at reducere integralen til sig selv

En finurlig og smuk metode. Lad os tage et kig på klassikerne i genren:

Eksempel 5

Find det ubestemte integral

Under roden er et kvadratisk binomial, og forsøg på at integrere dette eksempel kan give tekanden hovedpine i timevis. Et sådant integral tages i dele og reduceres til sig selv. I princippet er det ikke svært. Hvis du ved hvordan.

Lad os betegne det pågældende integral med et latinsk bogstav og begynde løsningen:

Lad os integrere efter dele:

(1) Forbered integrand-funktionen til term-for-term division.

(2) Vi deler integrandfunktionsleddet efter led. Det er måske ikke klart for alle, men jeg vil beskrive det mere detaljeret:

(3) Vi bruger linearitetsegenskaben for det ubestemte integral.

(4) Tag det sidste integral ("lang" logaritme).

Lad os nu se på begyndelsen af ​​løsningen:

Og til slutningen:

Hvad skete der? Som et resultat af vores manipulationer blev integralet reduceret til sig selv!

Lad os sætte lighedstegn mellem begyndelsen og slutningen:

Flyt til venstre side med et skift af tegn:

Og vi flytter de to til højre side. Som resultat:

Konstanten skulle strengt taget have været tilføjet tidligere, men jeg tilføjede den til sidst. Jeg anbefaler stærkt at læse, hvad stringens er her:

Bemærk: Mere strengt ser den sidste fase af løsningen sådan ud:

Dermed:

Konstanten kan omdesignes af . Hvorfor kan det omdesignes? For han accepterer det stadig nogen værdier, og i denne forstand er der ingen forskel mellem konstanter og.
Som resultat:

Et lignende trick med konstant renotation er meget brugt i differentialligninger . Og der vil jeg være streng. Og her tillader jeg kun sådan en frihed for ikke at forvirre dig med unødvendige ting og for at fokusere opmærksomheden netop på selve integrationsmetoden.

Eksempel 6

Find det ubestemte integral

Et andet typisk integral til uafhængig løsning. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen. Der vil være forskel på svaret i det foregående eksempel!

Hvis der under kvadratroden er et kvadrattrinomium, så kommer løsningen under alle omstændigheder ned til to analyserede eksempler.

Overvej for eksempel integralet . Alt du skal gøre er først vælg en komplet firkant :
.
Dernæst udføres en lineær udskiftning, som gør "uden konsekvenser":
, hvilket resulterer i integralet . Noget velkendt, ikke?

Eller dette eksempel med et kvadratisk binomial:
Vælg en komplet firkant:
Og efter lineær udskiftning opnår vi integralet, som også løses ved hjælp af den allerede diskuterede algoritme.

Lad os se på to mere typiske eksempler på, hvordan man reducerer et integral til sig selv:
– integral af eksponentialet ganget med sinus;
– integral af eksponentialet ganget med cosinus.

I de anførte integraler efter dele bliver du nødt til at integrere to gange:

Eksempel 7

Find det ubestemte integral

Integranden er eksponentialet ganget med sinus.

Vi integrerer i dele to gange og reducerer integralet til sig selv:

Som et resultat af dobbelt integration af dele blev integralet reduceret til sig selv. Vi sidestiller begyndelsen og slutningen af ​​løsningen:

Vi flytter det til venstre side med et tegnskifte og udtrykker vores integral:

Parat. Samtidig er det tilrådeligt at rede højre side, dvs. tag eksponenten ud af parentes, og placer sinus og cosinus i parentes i en "smuk" rækkefølge.

Lad os nu gå tilbage til begyndelsen af ​​eksemplet, eller mere præcist, til integration efter dele:

Vi betegnede eksponenten som. Spørgsmålet opstår: er det eksponenten, der altid skal betegnes med ? Ikke nødvendigt. Faktisk i det betragtede integral grundlæggende betyder ikke noget, hvad mener vi med , vi kunne være gået den anden vej:

Hvorfor er dette muligt? Fordi det eksponentielle bliver til sig selv (både under differentiering og integration), bliver sinus og cosinus gensidigt til hinanden (igen, både under differentiering og integration).

Det vil sige, at vi også kan betegne en trigonometrisk funktion. Men i det betragtede eksempel er dette mindre rationelt, da brøker vises. Hvis du ønsker det, kan du prøve at løse dette eksempel ved hjælp af den anden metode, svarene skal matche.

Eksempel 8

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Inden du beslutter dig, tænk på, hvad der er mere fordelagtigt i dette tilfælde at betegne som en eksponentiel eller en trigonometrisk funktion? Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Og, selvfølgelig, glem ikke, at de fleste af svarene i denne lektion er ret nemme at kontrollere ved differentiering!

De overvejede eksempler var ikke de mest komplekse. I praksis er integraler mere almindelige, hvor konstanten er både i eksponenten og i argumentet for den trigonometriske funktion, for eksempel: . Mange mennesker vil blive forvirrede i sådan et integral, og jeg bliver ofte selv forvirret. Faktum er, at der er stor sandsynlighed for, at der dukker brøker op i løsningen, og det er meget nemt at miste noget ved skødesløshed. Derudover er der stor sandsynlighed for en fejl i fortegnene; bemærk, at eksponenten har et minustegn, og det medfører yderligere vanskeligheder.

På den sidste fase er resultatet ofte noget som dette:

Selv i slutningen af ​​løsningen skal du være ekstremt forsigtig og forstå brøkerne korrekt:

Integration af komplekse brøker

Vi nærmer os langsomt lektionens ækvator og begynder at overveje integraler af brøker. Igen, ikke alle af dem er super komplekse, det er bare, at eksemplerne af den ene eller anden grund var lidt "off topic" i andre artikler.

Fortsætter temaet rødder

Eksempel 9

Find det ubestemte integral

I nævneren under roden er der et kvadratisk trinomium plus et "vedhæng" i form af et "X" uden for roden. Et integral af denne type kan løses ved hjælp af en standardsubstitution.

Vi beslutter:

Udskiftningen her er enkel:

Lad os se på livet efter udskiftning:

(1) Efter substitution reducerer vi termerne under roden til en fællesnævner.
(2) Vi tager det ud under roden.
(3) Tælleren og nævneren reduceres med . På samme tid, under roden, omarrangerede jeg vilkårene i en passende rækkefølge. Med en vis erfaring kan trin (1), (2) springes over ved at udføre de kommenterede handlinger mundtligt.
(4) Det resulterende integral, som du husker fra lektionen Integrering af nogle brøker , bliver besluttet komplet kvadratisk ekstraktionsmetode. Vælg en komplet firkant.
(5) Ved integration opnår vi en almindelig "lang" logaritme.
(6) Vi udfører den omvendte udskiftning. Hvis først , så tilbage: .
(7) Den endelige handling er rettet mod at rette resultatet: Under roden bringer vi igen vilkårene til en fællesnævner og tager dem ud under roden.

Eksempel 10

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Her tilføjes en konstant til det enlige "X", og erstatningen er næsten den samme:

Det eneste du skal gøre yderligere er at udtrykke "x" fra den udskiftning, der udføres:

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Nogle gange i et sådant integral kan der være et kvadratisk binomial under roden, dette ændrer ikke løsningsmetoden, det vil være endnu enklere. Mærk forskellen:

Eksempel 11

Find det ubestemte integral

Eksempel 12

Find det ubestemte integral

Korte løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen. Det skal bemærkes, at eksempel 11 er nøjagtigt binomialt integral, hvis løsningsmetode blev diskuteret i klassen Integraler af irrationelle funktioner .

Integral af et uopløseligt polynomium af 2. grad i potensen

(polynomium i nævneren)

En mere sjælden type integral, men ikke desto mindre stødt på i praktiske eksempler.

Eksempel 13

Find det ubestemte integral

Men lad os vende tilbage til eksemplet med lykketal 13 (helt ærligt, jeg gættede ikke rigtigt). Dette integral er også et af dem, der kan være ret frustrerende, hvis du ikke ved, hvordan du løser.

Løsningen starter med en kunstig transformation:

Jeg tror, ​​at alle allerede forstår, hvordan man dividerer tælleren med nævneren, led for led.

Det resulterende integral er taget i dele:

For et integral af formen ( – naturligt tal) udleder vi tilbagevendende reduktionsformel:
, Hvor – integral af en grad lavere.

Lad os verificere gyldigheden af ​​denne formel for det løste integral.
I dette tilfælde: , , bruger vi formlen:

Som du kan se, er svarene de samme.

Eksempel 14

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Prøveopløsningen bruger ovenstående formel to gange i træk.

Hvis under graden er udelelige kvadrattrinomial, så reduceres løsningen til et binomium ved at isolere det perfekte kvadrat, for eksempel:

Hvad hvis der er et ekstra polynomium i tælleren? I dette tilfælde bruges metoden med ubestemte koefficienter, og integrandfunktionen udvides til en sum af fraktioner. Men i min praksis er der sådan et eksempel aldrig mødt, så jeg savnede denne sag i artiklen Integraler af brøk-rationelle funktioner , jeg springer det over nu. Hvis du stadig støder på sådan en integral, så se på lærebogen - alt er enkelt der. Jeg tror ikke, det er tilrådeligt at inkludere materiale (selv simple), sandsynligheden for at støde på, som har en tendens til nul.

Integrering af komplekse trigonometriske funktioner

Adjektivet "kompleks" for de fleste eksempler er igen stort set betinget. Lad os starte med tangenter og cotangenter i høje potenser. Ud fra de anvendte løsningsmetoder er tangent og cotangens næsten det samme, så jeg vil tale mere om tangent, hvilket antyder, at den demonstrerede metode til løsning af integralet også gælder for cotangens.

I ovenstående lektion kiggede vi på universel trigonometrisk substitution til løsning af en bestemt type integraler af trigonometriske funktioner. Ulempen ved universel trigonometrisk substitution er, at dens anvendelse ofte resulterer i besværlige integraler med vanskelige beregninger. Og i nogle tilfælde kan universel trigonometrisk substitution undgås!

Lad os overveje et andet kanonisk eksempel, integralet af en divideret med sinus:

Eksempel 17

Find det ubestemte integral

Her kan du bruge universel trigonometrisk substitution og få svaret, men der er en mere rationel måde. Jeg vil give den komplette løsning med kommentarer til hvert trin:

(1) Vi bruger den trigonometriske formel for sinus af en dobbelt vinkel.
(2) Vi udfører en kunstig transformation: Divider i nævneren og gange med .
(3) Ved hjælp af den velkendte formel i nævneren omdanner vi brøken til en tangent.
(4) Vi bringer funktionen under differentialtegnet.
(5) Tag integralet.

Et par enkle eksempler, som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 18

Find det ubestemte integral

Bemærk: Det allerførste trin bør være at bruge reduktionsformlen og udfør omhyggeligt handlinger svarende til det foregående eksempel.

Eksempel 19

Find det ubestemte integral

Nå, dette er et meget simpelt eksempel.

Fuldstændige løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen.

Jeg tror nu, at ingen vil have problemer med integraler:
og så videre.

Hvad er ideen med metoden? Ideen er at bruge transformationer og trigonometriske formler til kun at organisere tangenter og tangentafledte i integranden. Det vil sige, vi taler om at erstatte: . I eksempel 17-19 brugte vi faktisk denne erstatning, men integralerne var så enkle, at vi klarede os med en tilsvarende handling - subsumerer funktionen under differentialtegnet.

Lignende ræsonnement, som jeg allerede har nævnt, kan udføres for cotangenten.

Der er også en formel forudsætning for at anvende ovenstående erstatning:

Summen af ​​potenserne af cosinus og sinus er et negativt heltal LIGE tal, For eksempel:

for integralet – et negativt heltal LIGE tal.

! Bemærk : hvis integranden KUN indeholder en sinus eller KUN en cosinus, så tages integralet også for en negativ ulige grad (de simpleste tilfælde er i eksempel nr. 17, 18).

Lad os se på et par mere meningsfulde opgaver baseret på denne regel:

Eksempel 20

Find det ubestemte integral

Summen af ​​potenserne af sinus og cosinus: 2 – 6 = –4 er et negativt heltal LIGE tal, hvilket betyder, at integralet kan reduceres til tangenter og dets afledede:

(1) Lad os transformere nævneren.
(2) Ved at bruge den velkendte formel får vi .
(3) Lad os omdanne nævneren.
(4) Vi bruger formlen .
(5) Vi bringer funktionen under differentialtegnet.
(6) Vi udfører udskiftning. Mere erfarne elever udfører måske ikke udskiftningen, men det er stadig bedre at erstatte tangenten med ét bogstav - der er mindre risiko for at blive forvirret.

Eksempel 21

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Hold da op, mesterskabsrunderne er ved at begynde =)

Ofte indeholder integranden en "hodgepodge":

Eksempel 22

Find det ubestemte integral

Dette integral indeholder til at begynde med en tangent, som umiddelbart leder til en allerede kendt tanke:

Jeg vil forlade den kunstige transformation i begyndelsen og de resterende trin uden kommentarer, da alt allerede er blevet diskuteret ovenfor.

Et par kreative eksempler til din egen løsning:

Eksempel 23

Find det ubestemte integral

Eksempel 24

Find det ubestemte integral

Ja, i dem kan du selvfølgelig sænke potenserne af sinus og cosinus og bruge en universel trigonometrisk substitution, men løsningen vil være meget mere effektiv og kortere, hvis den udføres gennem tangenter. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen