Det heksadesimale tallsystemet inneholder symboler. Heksadesimale og binære tallsystemer
Det heksadesimale tallsystemet har et alfabet bestående av 16 sifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.
Når du skriver inn et tall heksadesimalt system For å skrive tallene som angir tallene 10, 11, 12. 13, 14. 15, brukes henholdsvis bokstavene A, B, C, D, E, F.
Konvertering av tall fra heksadesimal til desimal
Oversett alle heksadesimalt tall til desimal ved å bruke den allerede kjente formelen
Eksempler.
AE07 16 =10∙16 3 +14∙16 2 +0∙16 1 +7∙16 0 =44551 10 .
100 16 =1∙16 2 +0∙16 1 +0∙16 0 =256 10 .
58 16 =5∙16 1 +8∙16 0 =.88 10 .
2A 16 =2∙16 1 +10∙16 0 =42 10.
Konvertering av et tall fra desimalsystemet til heksadesimalt utføres på samme måte som til binært.
Konvertering av tall fra heksadesimale til binære og omvendt
Du kan konvertere et hvilket som helst heksadesimalt tall til binært som følger. Hvert siffer i et heksadesimalt tall skrives som et firesifret binært tall - notisbok. Etter dette kan nullene til venstre forkastes.
|
2) 2A= 0010 1010 2 = 101010 2 . |
3) 58 16 = 0101 1000 2 = 1011000 2 . |
Omvendt kan du konvertere et hvilket som helst binært tall til heksadesimalt på samme måte. Hvert fjerde binære siffer, tellende fra høyre til venstre, skrives som ett heksadesimalt siffer. Disse tallene er også plassert fra høyre til venstre.
Eksempler.
2. 101010 2 = 10 1010 2 = 2A.
3. 1011000 2 = 101 1000 2 = 58 16 .
Oktalt tallsystem
Det oktale tallsystemet har et alfabet som består av 8 sifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Konvertering av et tall fra desimalsystemet til oktalt og tilbake utføres på samme måte som å konvertere til/fra binært.
Konvertering av tall fra oktale til binære og tilbake
Hvert siffer i et oktalt tall skrives som et tresifret binært tall - triade.
Eksempler.
2563 8 = 010 101 110 011 2 =10101110011 2 .
1001101 2 = 001 001 101 2 = 115 8 .
Metodemateriell til laboratorietime nr. 1
Laboratorietimens tema: Tallsystemer. Måle informasjon.
Antall timer: 2.
Eksempler med løsninger
Oversettelse fras -ært system til 10-ært system. Anta at vi må konvertere et tall i et bestemt tallsystem til desimal. For å gjøre dette, må du representere det i skjemaet
11100110 2 = 1∙2 7 + 1∙2 6 + 1∙2 5 + 0∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230 10 .
2401 5 = 2∙5 3 + 4∙5 2 + 0∙5 1 + 1∙5 0 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.
Konvertering fra 10-sifret system tils -ichnaya.
2.1 98 10 → X 2.
Vi deler tallet på 2. Deretter deler vi den ufullstendige kvotienten med 2. Vi fortsetter til den ufullstendige kvotienten blir mindre enn 2, dvs. lik 1.
98: 2 = 49. Resten - 0 .
49: 2 = 24. Resten - 1 .
24: 2 = 12. Resten - 0 .
12: 2 = 6. Resten - 0 .
6: 2 = 3. Resten - 0 .
3: 2 = 1 . Resten - 1 .
Siden siste delkvotient er 1, er prosessen over. Vi skriver ned alle restene fra bunn til topp, og starter med den siste ufullstendige kvotienten, og vi får tallet 1100010. Så 98 10 = 1100010 2.
2.2 2391 10 → X 16.
Del tallet med 16. Del deretter delkvotienten med 16. Fortsett til delkvotienten er mindre enn 16.
2391: 16 = 149. Resten - 7 .
149: 16 = 9 . Resten - 5 .
Siden siste delkvotient (9) er mindre enn 16, er prosessen over. Vi skriver ned, med utgangspunkt i den siste ufullstendige kvotienten, alle restene fra bunn til topp, og vi får tallet 957. Så 2391 10 = 957 16.
2.3 12165 10 → X 2.
Hvis du konverterer ved divisjon til det binære systemet, får du en ganske tungvint prosess. Du kan først konvertere tallet til oktal, og deretter erstatte oktale sifre fra høyre til venstre med treklanger.
12165 10 = 27605 8 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.
Bestemme grunnlaget for et tallsystems .
En gutt skrev om seg selv: «Jeg har 24 fingre, 5 på hver hånd og 12 på føttene.» Hvordan kan dette være?
Løsning. Det er nødvendig å bestemme grunnlaget for tallsystemet s. Siden vi vet at det bare er 10 tær 10, så 12 s =1∙s+2 = 10 10. Herfra får vi ligningen s + 2 = 10 s= 8. Så gutten mente tallene inn oktalt system. Det er faktisk 24 8 = 2∙8+4 = 20 10 tær, og 12 8 = 1∙8+2 = 10 10 tær.
Heksadesimalt tallsystem, er den desidert mest populære metoden for kompakt registrering av binære tall. Svært mye brukt i utvikling og design av digital teknologi.
Som navnet antyder, er basisen til dette systemet tallet seksten 16 eller i heksadesimal 10 16 . For å unngå forvirring, når vi skriver tall i andre tallsystemer enn desimal, vil vi angi tallsystemets grunnflate nederst til høyre i hovedtallnotasjonen. Siden basen til systemet er tallet seksten, betyr det at for å representere tallene trenger vi seksten sifre. De første ti sifrene er hentet fra desimalsystemet som er kjent for oss (0,1,..,8,9) og seks bokstaver i det latinske alfabetet (a,b,c,d,e,f) er også lagt til. For eksempel, i det heksadesimale tallet 3f7c2, er bokstavene "f" og "c" heksadesimale sifre.
Å telle i heksadesimal er likt å telle i desimal. La oss prøve å telle og skrive tall ved å konstruere dem fra de tilgjengelige seksten sifrene:
Null - 0
;
En - 1
;
To - 2
;
...
og så videre…
...
Åtte - 8
;
Ni - 9
;
Ti - en;
Elleve - b;
Tolv - c;
Tretten - d;
Fjorten - e;
Femten - f;
Hva skal jeg gjøre videre? Alle tallene er borte. Hvordan skildre tallet seksten? La oss gjøre det samme som vi gjorde i desimalsystem. Der introduserte vi begrepet ti, her vil vi introdusere begrepet "seksten" og si at seksten er en "seksten" og null enheter. Og dette kan allerede skrives ned - "10 16".
Så, Seksten - 10
16 (en "seksten", null enere)
Sytten - 11
16 (en "seksten", en enhet)
...
og så videre…
...
Tjuefem - 19
16 (en "seksten", ni enheter)
Tjueseks - 1a 16 (en "seksten", ti enheter)
Tjuesju - 1b 16 (en "seksten", elleve enheter)
...
og så videre…
...
Tretti - 1e 16 (en "seksten", fjorten enere)
Trettien - 1f 16 (en "seksten", femten enere)
Trettito - 20
16 (to sekstenere, null enere)
Tretti tre - 21
16 (to sekstenere, en en)
...
og så videre…
...
To hundre og femtifem - ff 16 (femten av "seksten", femten enere)
to hundre og femtiseks - 100
16 (en "to hundre og femtiseks", null "seksten", null enere)
to hundre og femtisju - 101
16 (en "to hundre og femtiseks", null til og med "seksten", en en)
to hundre og femtiåtte - 102
16 (en "To hundre og femtiseks", null til og med "seksten", to enere)
...
og så videre...
...
Når vi har brukt opp sifresettet for å vise neste tall, legger vi inn større telleenheter (dvs. teller med "seksten", "to hundre og femtiseks", osv.) og skriver tallet utvidet med ett siffer.
Tenk på antallet 3e2c 16 skrevet i heksadesimalt tallsystem. Vi kan si om den at den inneholder: tre x fire tusen nittiseks, "e" (fjorten) x to hundre og femtiseks, to x seksten og "c" (tolv) enere. Og du kan få dens verdi gjennom tallene som er inkludert i den som følger.
3e2c 16 = 3 *4096+14 *256+2 *16+12 *1, her og under * (stjerne)-tegnet betyr multiplikasjon.
Men serien med tall 4096, 256, 16, 1 er ikke annet enn heltallspotter av tallet seksten (grunnlaget til tallsystemet) og kan derfor skrives:
3e2c 16 = 3 *16 3 +14 *16 2 +2 *16 1 +12 *16 0
Tilsvarende for heksadesimal brøk ( brøktall) For eksempel: 0,5a2 16 om den kan vi si at den inneholder: fem sekstendedeler, "a" (ti) to hundre og femtiseksetdeler og to fire tusen og nittiseksetdeler. Og verdien kan beregnes som følger:
0,5a2 16 = 5 *(1/16) + 10 *(1/256) + 2 *(1/4096)
Og her er en serie med tall 1/16; 1/256 og 1/4096 er ikke annet enn heltallspotenser på seksten, og vi kan også skrive:
0,5a2 16 = 5 *16 -1 + 10 *16 -2 + 2 *16 -3
For det blandede tallet 7b2.1f9 kan vi skrive på samme måte:
7b2.1f9 = 7 *16 2 +11 *16 1 +2 *16 0 +1 *16 -1 +15 *16 -2 +9 *16 -3
La oss nummerere sifrene i heltallsdelen av et heksadesimalt tall, fra høyre til venstre, som 0,1,2...n (nummereringen starter fra null!). Og sifrene til brøkdelen, fra venstre til høyre, som -1,-2,-3...-m, så kan verdien av et visst heksadesimalt tall beregnes ved å bruke formelen:
N = d n 16 n +d n-1 16 n-1 +...+d 1 16 1 +d 0 16 0 +d -1 16 -1 +d -2 16 -2 +...+d -(m-1) 16-(m-1) +d-m16-m
Hvor: n- antall sifre i heltallsdelen av tallet minus én;
m- antall sifre i brøkdelen av tallet
d i- siffer som står i Jeg- rangering
Denne formelen kalles formelen for bitvis utvidelse av et heksadesimalt tall, dvs. tall skrevet i heksadesimalt tallsystem. Hvis vi erstatter tallet seksten i denne formelen med noen vilkårlig nummer q, så får vi utvidelsesformelen for tallet skrevet inn qth tallsystem, dvs. med base q:
N = d n q n +d n-1 q n-1 +...+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +...+d -(m-1) q - (m-1) +d-mq-m
Ved å bruke denne formelen kan du alltid beregne verdien av et tall skrevet i et hvilket som helst posisjonelt tallsystem med en base q.
Andre nummersystemer finner du på nettsiden vår ved hjelp av følgende lenker.
Alle som kommuniserer med en datamaskin eller annet digital teknologi, Jeg har kommet over mystiske oppføringer som 10FEF, som virker som en slags kode for uinnvidde. Hva skjuler seg bak disse symbolene? Det viser seg at de bare er tall. De som bruker heksadesimal
Tallsystemer
Hvert skolebarn vet, eller har i det minste hørt et sted, at alle tallene vi vanligvis bruker danner. Det bærer dette navnet rett og slett fordi det bare er ti forskjellige symboler i det (fra 0 til 9). Et hvilket som helst nummer i vårt vanlige system kan skrives med deres hjelp. Det viser seg imidlertid at det ikke alltid er praktisk å bruke det. For eksempel, når du utveksler informasjon mellom digitale enheter, er det enklest å bruke et tallsystem der det bare er to sifre: "0" - ikke noe signal - eller "1" - det er et signal (spenning eller noe annet). Det kalles binær. For å beskrive prosessene inne i slike enheter som bruker den, må du imidlertid lage notater som er for lange og vanskelige å forstå. Derfor ble det heksadesimale tallsystemet oppfunnet.
Konseptet med heksadesimalt system
Hvorfor for digitale enheter det er systemet som inneholder seksten forskjellige karakterer? Som du vet, overføres informasjon i datamaskiner i form av byte, som vanligvis inneholder 8 biter. En dataenhet - et maskinord - inkluderer 2 byte, det vil si 16 biter. Dermed er det ved hjelp av seksten forskjellige symboler mulig å beskrive informasjonen som er den minste partikkelen i utvekslingen. Det heksadesimale tallsystemet inkluderer våre vanlige tall (naturligvis fra 0 til 9), så vel som de første bokstavene (A, B, C, D, E, F). Det er ved hjelp av disse symbolene at det er vanlig å skrive ned en hvilken som helst informasjonsenhet. Du kan utføre alle aritmetiske operasjoner med dem. Det vil si addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon. Resultatet vil også være et heksadesimalt tall.
Hvor brukes den?
Det heksadesimale systemet brukes til å registrere feilkoder. De kan oppstå under drift av ulike programvareprodukter. For eksempel er det slik feil kodes operativsystem. Hvert tall er standard. Du kan finne ut nøyaktig hvilken feil som oppstod under arbeidsprosessen ved å tyde den ved å bruke instruksjonene. Slike symboler brukes også når du skriver programmer på språk lavt nivå, for eksempel montør. Det heksadesimale tallsystemet er også elsket av programmerere fordi dets komponenter veldig enkelt kan konverteres til binære, som er "innfødt" til all digital teknologi. Disse symbolene brukes også til å beskrive fargevalg. I tillegg presenteres absolutt alle filer på datamaskinen (tekst, grafikk og til og med musikk eller video) etter sending som en sekvens. Det er mest praktisk å se kilden i form av heksadesimale tegn.
Selvfølgelig kan et hvilket som helst tall skrives inn ulike systemer Regning. Dette er desimal, binær og heksadesimal. For å oversette et ord fra ett av dem til et annet, bør du bruke en tjeneste som en tallsystemoversetter, eller gjøre det selv ved hjelp av en bestemt algoritme.
Oppsto i det gamle Babylon. I India fungerer systemet i form av posisjonell desimalnummerering med null, blant hinduer dette systemet tall ble lånt av den arabiske nasjonen, og europeerne på sin side tok dem fra dem. I Europa begynte dette systemet å bli kalt arabisk.
Posisjonssystemdød regning— betydningen av alle sifre avhenger av plasseringen (sifferet) til det gitte sifferet i nummeret.
Eksempler, er standard desimaltallsystem posisjoneringssystem. La oss si gitt et tall453 . Antall 4 står for hundrevis og tilsvarer et tall400, 5 - antall tiere og tilsvarer verdien50 , A 3 - enheter og mening3 . Det er lett å se at når sifferet øker, øker verdien. Dermed skriver vi det gitte tallet som en sum400+50+3=453.
Heksadesimalt tallsystem.
Heksadesimalt tallsystem(heksadesimale tall) - posisjonstallsystem. Heksadesimal base er tallet 16.
Ved å skrive tall i det oktale tallsystemet får vi ganske kompakte uttrykk, men i det heksadesimale systemet får vi mer kompakte uttrykk.
De første ti sifrene av de seksten heksadesimale sifrene er standardavstanden 0 - 9 , de neste seks sifrene uttrykkes med de første bokstavene i det latinske alfabetet: EN, B, C, D, E, F. Konverter fra heksadesimal til binær og motsatt side gjør den samme prosessen for det oktale systemet.
Anvendelse av det heksadesimale tallsystemet.
Det heksadesimale tallsystemet brukes ganske godt i moderne datamaskiner, For eksempel bruk den til å indikere farge: #FFFFFF- Hvit farge.
Konvertering av tall fra ett tallsystem til et annet.
Konvertering av tall fra heksadesimal til desimal.
For å konvertere et heksadesimalt tall til et desimaltall, må du redusere det gitte tallet til formen av summen av produktene av potensene til basen til det heksadesimale tallsystemet med de tilsvarende sifrene i sifrene i det heksadesimale tallet.
For eksempel, konverter det heksadesimale tallet 5A3 til desimal. Her 3 tall. Basert på regelen ovenfor reduserer vi den til formen av en sum av potenser med en base på 16:
5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16 2 = 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 1443 10
Konvertering av tall fra binære til heksadesimale og omvendt.
For å oversette polysemantisk binært tall i det heksadesimale systemet må du dele det inn i tetrader fra høyre til venstre og erstatte alle tetrader med det tilsvarende heksadesimale sifferet. For å konvertere et tall fra det heksadesimale systemet til det binære systemet, må du endre hvert siffer til de tilsvarende tetradene fra konverteringstabellen, som du finner nedenfor.
For eksempel:
010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16
Tallkonverteringstabell.
En algoritme for å konvertere tall fra ett tallsystem til et annet.
1. Fra desimaltallsystemet:
- dividere tallet med basen av det oversatte tallsystemet;
- finn resten når du deler heltallsdelen av et tall;
- skriv ned alle rester fra divisjon i omvendt rekkefølge;
2. Fra det binære tallsystemet:
- for å konvertere til desimaltallsystemet, finner vi summen av produktene til grunntall 2 ved den tilsvarende grad av siffer;
- For å konvertere et tall til oktal deler vi tallet i treklanger.
For eksempel, 1000110 = 1.000.110 = 1068
- For å konvertere et tall fra det binære tallsystemet til heksadesimalt deler vi tallet inn i grupper med 4 sifre.
For eksempel, 1000110 = 100 0110 = 4616.
Oversettelsestabeller:
|
Binær SS |
Heksadesimal SS |
|
0000 |
|
|
0001 |
|
|
0010 |
|
|
0011 |
|
|
0100 |
|
|
0101 |
|
|
0110 |
|
|
0111 |
|
|
1000 |
|
|
1001 |
|
|
1010 |
|
|
1011 |
|
|
1100 |
|
|
1101 |
|
|
1110 |
|
|
1111 |
|
Binær SS |
Mange databrukere forstår at en datamaskin opererer i et binært tallsystem. Tradisjonelt er tilstandene til et binært system representert med tallene 0 og 1, selv om hver tilstand mer presist indikerer tilstedeværelse eller fravær av et signal, det vil si at det ville være mer riktig å kalle tilstandene "av" og "på" eller "nei" og "ja". Tilstanden "av" eller "nei" tilsvarer tallet 0, og tilstanden "på" eller "ja" tilsvarer tallet 1. For vanlige brukere Vanligvis er det ikke nødvendig å fullt ut forstå strukturen til datamaskinen, men det binære tallsystemet gjør seg gjeldende i form av ulike begrensninger basert på to potenser. En mer kompakt versjon av det binære systemet kalles heksadesimalt. Tallet seksten er den fjerde potensen av to. Det følger av dette at du ganske enkelt kan konvertere lange binære sekvenser av nuller og enere til korte heksadesimale enere. For å gjøre dette, del ganske enkelt den binære sekvensen i grupper med fire sifre (siffer) som starter med det minst signifikante sifferet (til høyre) og erstatter hver gruppe med den tilsvarende heksadesimale verdien.
Det heksadesimale systemet brukes vanligvis for å gjøre det enklere å oppfatte binære data, siden konverteringer fra det heksadesimale systemet til det binære systemet og tilbake utføres ved ganske enkelt å erstatte strenger. Datamaskinen fungerer utelukkende med binære sekvenser, og den heksadesimale notasjonen til denne sekvensen er fire ganger mer kompakt, siden dette systemet har base 16 (2 16), og binær 2. Den binære sekvensen kan være ganske tungvint. For eksempel, å skrive tallet 513 krever ti binære sifre (1000000001), men bare tre i heksadesimal (201). For å representere et hvilket som helst heksadesimalt tall kreves det imidlertid seksten forskjellige symboler, i stedet for de ti som brukes i desimaltallsystemet vi er kjent med. De ti første tegnene er tegn i området fra 0 til 9, resten er bokstaver i det latinske alfabetet i området fra A til F. Bokstavene er vanligvis (men ikke alltid) skrevet i stor bokstav(store) tall i heksadesimal notasjon. De første ti tegnene (fra 0 til 9) skrives på samme måte som tall i desimaltallsystemet og tilsvarer dem. Bokstaver i området A til F tilsvarer verdier i området 10 til 15.
La oss vurdere korrespondansen mellom tall fra 0 til 15 i heksadesimale og binære tallsystemer.
| Desimalnotasjon | Heksadesimal notasjon | Binær notasjon |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0000 |
| 1 | 1 | 0001 |
| 2 | 2 | 0010 |
| 3 | 3 | 0011 |
| 4 | 4 | 0100 |
| 5 | 5 | 0101 |
| 6 | 6 | 0110 |
| 7 | 7 | 0111 |
| 8 | 8 | 1000 |
| 9 | 9 | 1001 |
| 10 | EN | 1010 |
| 11 | B | 1011 |
| 12 | C | 1100 |
| 13 | D | 1101 |
| 14 | E | 1110 |
| 15 | F | 1111 |
Oppføringene for 10, 11 osv. i desimal-, binære- og heksadesimale systemer samsvarer ikke med hverandre. La oss se på et lite eksempel. La oss ha et heksadesimalt tall 1A5E. for overføring til binær notasjon Bare bytt ut de heksadesimale sifrene med de tilsvarende binære gruppene. Resultatet er 0001 1010 0101 1110. Fjerner vi de ubetydelige nullene før tallet og skriver det uten skilletegn, får vi 1101001011110. For omvendt overføring La oss dele tallet inn i grupper med fire sifre som starter med den minst signifikante (fra høyre side), og også for enkelhets skyld vil vi legge til ubetydelige nuller til senior gruppe opptil 4 sifre. Vi får 0001 1010 0101 1110. Bytt ut gruppene med de tilsvarende heksadesimale verdier, får vi 1A5E.
For å konvertere et heksadesimalt tall til en desimalrepresentasjon kan du bruke skjemaet som vi skriver desimaltall etter. I et desimaltall representerer hvert siffer den tilsvarende potensen ti, starter fra null og øker fra høyre til venstre. For eksempel, desimaltall 123 betyr 1*10 2 + 2*10 1 + 3*10 0 . Ved å bruke en lignende metode konverterer vi tallet 1A5E til desimaltallsystemet. I det heksadesimale tallsystemet, så vel som i desimaltallsystemet, angir hvert siffer den tilsvarende potensen til tallet seksten, starter fra null og øker fra høyre til venstre. Tegnene 1 og 5 i heksadesimal tilsvarer verdiene 1 og 5 i desimal, og tegnene A og E tilsvarer 10 og 14. Da kan 1A5E representeres i desimal som 1*16 3 + 10*16 2 + 5 *16 1 + 14*16 0 = 6750. Men for å evaluere heksadesimale tall er det slett ikke nødvendig å konvertere dem til desimal. Reglene for sammenligning, addisjon og multiplikasjon i dette systemet er de samme som i desimalsystemet, det viktigste er ikke å glemme at hvert siffer kan inneholde verdier fra 0 til 15. For mer rask oversettelse nummer mellom tallsystemet, kan du bruke en standard kalkulator i Windows; for å gjøre dette, velg bare tallsystemet i avansert modus på kalkulatoren, skriv inn tallet i det og velg riktig system nummeret som resultatet skal vises i.
Fordi bare numeriske heksadesimale tall lett kan forveksles med desimaltall, er de vanligvis merket på en måte som gjør det klart at heksadesimal notasjon brukes. Heksadesimale oppføringer er vanligvis merket med enten vedlegg liten bokstav"h", eller prefikset "0x" før du skriver tallet. Dermed kan det heksadesimale tallet 1A5E skrives som 1A5Eh eller 0x1A5E, der en etterfølgende "h" eller en ledende "0x" indikerer at heksadesimal notasjon brukes.