Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia

Definicja 1

Drugi pierwiastek (lub pierwiastek kwadratowy) z $a$ wywołaj liczbę, która po podniesieniu do kwadratu będzie równa $a$.

Przykład 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, co oznacza, że ​​liczba $7$ jest drugim pierwiastkiem liczby $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, co oznacza, że ​​liczba $0,9$ jest drugim pierwiastkiem liczby $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, co oznacza, że ​​liczba $1$ jest drugim pierwiastkiem liczby $1$.

Uwaga 2

Mówiąc najprościej, dla dowolnej liczby $a

$a=b^2$ dla ujemnego $a$ jest niepoprawne, ponieważ $a=b^2$ nie może być ujemne dla żadnej wartości $b$.

Można stwierdzić, że dla liczb rzeczywistych nie może być drugiego pierwiastka Liczba ujemna .

Uwaga 3

Ponieważ $0^2=0 \cdot 0=0$, to z definicji wynika, że ​​zero jest drugim pierwiastkiem zera.

Definicja 2

Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia liczby $a$($a \ge 0$) to liczba nieujemna, która po podniesieniu do kwadratu równa się $a$.

Nazywa się także korzenie drugiego stopnia pierwiastki kwadratowe.

Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia liczby $a$ oznacza się jako $\sqrt(a)$ lub można zobaczyć w zapisie $\sqrt(a)$. Ale najczęściej w przypadku pierwiastka kwadratowego jest to liczba $2$ wykładnik pierwiastkowy- nieokreślony. Znak „$\sqrt( )$” jest znakiem pierwiastka arytmetycznego drugiego stopnia, zwanego także „ radykalny znak" Pojęcia „korzeń” i „radykalny” są nazwami tego samego obiektu.

Jeśli pod znakiem pierwiastka arytmetycznego znajduje się liczba, wówczas jest ona wywoływana liczba radykalna, a jeśli wyrażenie, to – radykalne wyrażenie.

Wpis $\sqrt(8)$ jest odczytywany jako „pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z ósmej”, a słowo „arytmetyka” często nie jest używane.

Definicja 3

Zgodnie z definicją pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia można zapisać:

Dla dowolnego $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Pokazaliśmy różnicę między drugim pierwiastkiem a drugim pierwiastkiem arytmetycznym. Dalej rozważymy tylko pierwiastki liczb nieujemnych i wyrażeń, tj. tylko arytmetyka.

Pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia

Definicja 4

Pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia (lub pierwiastek sześcienny) liczby $a$($a \ge 0$) to liczba nieujemna, która po podaniu do sześcianu równa się $a$.

Często pomija się słowo arytmetyka i mówi się „trzeci pierwiastek z liczby $a$”.

Pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia z $a$ oznaczamy jako $\sqrt(a)$, znak „$\sqrt( )$” jest znakiem pierwiastka arytmetycznego trzeciego stopnia, a liczbę $3$ w ten zapis nazywa się indeks główny. Nazywa się liczbę lub wyrażenie pojawiające się pod znakiem głównym rodnik.

Przykład 2

$\sqrt(3,5)$ – pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia z 3,5$ lub pierwiastek sześcienny z 3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia z $x+5$ lub pierwiastek sześcienny z $x+5$.

Arytmetyczny n-ty pierwiastek

Definicja 5

Pierwiastek arytmetyczny n-ty stopień z liczby $a \ge 0$ wywoływana jest liczba nieujemna, która podniesiona do $n$-tej potęgi daje $a$.

Zapis pierwiastka arytmetycznego stopnia $n$ z $a \ge 0$:

gdzie $a$ jest liczbą radykalną lub wyrażeniem,

Gratulacje: dziś przyjrzymy się korzeniom - jednemu z najbardziej fascynujących tematów w 8 klasie. :)

Wiele osób myli korzenie nie dlatego, że są one skomplikowane (co w tym takiego skomplikowanego - kilka definicji i jeszcze kilka właściwości), ale dlatego, że w większości podręczników szkolnych korzenie są definiowane poprzez taką dżunglę, że tylko autorzy podręczników sami mogą zrozumieć ten tekst. I nawet wtedy tylko z butelką dobrej whisky. :)

Dlatego teraz podam najbardziej poprawną i najbardziej kompetentną definicję korzenia - jedyną, o której naprawdę powinieneś pamiętać. A potem wyjaśnię: po co to wszystko jest potrzebne i jak zastosować to w praktyce.

Ale najpierw zapamiętaj jedno ważny punkt, o którym wielu kompilatorów podręczników z jakiegoś powodu „zapomina”:

Pierwiastki mogą mieć stopień parzysty (nasz ulubiony $\sqrt(a)$, a także wszelkiego rodzaju $\sqrt(a)$, a nawet $\sqrt(a)$) i stopień nieparzysty (wszelkiego rodzaju $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ itd.). A definicja pierwiastka stopnia nieparzystego różni się nieco od parzystego.

Prawdopodobnie 95% wszystkich błędów i nieporozumień związanych z korzeniami kryje się w tym pieprzonym „nieco innym”. Wyjaśnijmy więc raz na zawsze terminologię:

Definicja. Nawet root N z liczby $a$ jest dowolna nieujemne liczba $b$ jest taka, że ​​$((b)^(n))=a$. Pierwiastkiem nieparzystym tej samej liczby $a$ jest zazwyczaj dowolna liczba $b$, dla której zachodzi ta sama równość: $((b)^(n))=a$.

W każdym razie pierwiastek jest oznaczony w ten sposób:

\(A)\]

Liczba $n$ w takim zapisie nazywana jest wykładnikiem pierwiastkowym, a liczba $a$ nazywana jest wyrażeniem radykalnym. W szczególności dla $n=2$ dostajemy nasz „ulubiony” pierwiastek kwadratowy (swoją drogą, jest to pierwiastek stopnia parzystego), a dla $n=3$ pierwiastek sześcienny (stopień nieparzysty), czyli często spotykane również w problemach i równaniach.

Przykłady. Klasyczne przykłady pierwiastki kwadratowe:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Nawiasem mówiąc, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Korzenie sześcienne są również powszechne - nie trzeba się ich bać:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Cóż, kilka „egzotycznych przykładów”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Jeśli nie rozumiesz, jaka jest różnica między stopniem parzystym a nieparzystym, przeczytaj jeszcze raz definicję. To jest bardzo ważne!

W międzyczasie przyjrzymy się jednemu nieprzyjemna cecha pierwiastki, dlatego musieliśmy wprowadzić osobną definicję wykładników parzystych i nieparzystych.

Dlaczego w ogóle potrzebne są korzenie?

Po przeczytaniu definicji wielu uczniów zapyta: „Co palili matematycy, kiedy wymyślili coś takiego?” I naprawdę: po co w ogóle te wszystkie korzenie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wróćmy na chwilę do zajęcia podstawowe. Pamiętaj: w nich odległe czasy Kiedy drzewa były bardziej zielone, a pierogi smaczniejsze, naszą główną troską było prawidłowe pomnożenie liczb. Cóż, coś w rodzaju „pięć na pięć – dwadzieścia pięć” i to wszystko. Ale możesz mnożyć liczby nie parami, ale trójkami, czwórkami i ogólnie całymi zbiorami:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Jednak nie o to chodzi. Sztuczka jest inna: matematycy to leniwi ludzie, więc trudno było im zapisać mnożenie dziesięciu piątek w ten sposób:

Dlatego wymyślili stopnie naukowe. Dlaczego nie zapisać liczby czynników jako indeksu górnego zamiast długiego ciągu znaków? Coś takiego:

To bardzo wygodne! Wszelkie obliczenia są znacznie skrócone i nie trzeba marnować stosu kartek pergaminu i zeszytów, aby zapisać jakieś 5183. Zapis ten nazwano potęgą liczby, znaleziono w nim szereg właściwości, ale szczęście okazało się krótkotrwałe.

Po hucznej imprezie przy piwie zorganizowanej tylko po to, by „odkryć” stopnie naukowe, jakiś szczególnie uparty matematyk nagle zapytał: „A co, jeśli znamy stopień liczby, ale sama liczba jest nieznana?” Rzeczywiście, jeśli wiemy, że pewna liczba $b$, powiedzmy, do potęgi 5 daje 243, to jak możemy zgadnąć, ile wynosi sama liczba $b$?

Problem ten okazał się znacznie bardziej globalny, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Bo okazało się, że dla większości „gotowych” mocy nie ma takich „początkowych” liczb. Oceńcie sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strzałka w prawo b=4\cdot 4\cdot 4\Strzałka w prawo b=4. \\ \end(align)\]

A co jeśli $((b)^(3))=50$? Okazuje się, że musimy znaleźć pewną liczbę, która pomnożona przez siebie trzykrotnie da nam 50. Ale co to za liczba? Jest wyraźnie większa od 3, gdyż 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To znaczy ta liczba leży gdzieś pomiędzy trzema a czterema, ale nie zrozumiecie, ile ona jest równa.

Właśnie dlatego matematycy wymyślili $n$th pierwiastków. Właśnie dlatego wprowadzono radykalny symbol $\sqrt(*)$. Wyznaczyć samą liczbę $b$, która we wskazanym stopniu da nam znaną wcześniej wartość

\[\sqrt[n](a)=b\Strzałka w prawo ((b)^(n))=a\]

Nie twierdzę: często te pierwiastki można łatwo obliczyć - widzieliśmy kilka takich przykładów powyżej. Ale nadal, w większości przypadków, jeśli chcesz dowolna liczba, a następnie spróbuj wyodrębnić z niego pierwiastek dowolnego stopnia, czeka cię straszny kłopot.

Co tam jest! Nawet najprostszego i najbardziej znanego $\sqrt(2)$ nie można przedstawić w naszej zwykłej formie - jako liczby całkowitej lub ułamka. A jeśli wpiszesz tę liczbę do kalkulatora, zobaczysz to:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Jak widać, po przecinku znajduje się nieskończony ciąg liczb, które nie podlegają żadnej logice. Możesz oczywiście zaokrąglić tę liczbę, aby szybko porównać ją z innymi liczbami. Na przykład:

\[\sqrt(2)=1,4142...\około 1,4 \lt 1,5\]

Lub oto inny przykład:

\[\sqrt(3)=1,73205...\około 1,7 \gt 1,5\]

Ale wszystkie te zaokrąglenia są, po pierwsze, dość szorstkie; a po drugie, trzeba też umieć pracować z wartościami przybliżonymi, bo inaczej można wyłapać masę nieoczywistych błędów (swoją drogą umiejętność porównywania i zaokrąglania obowiązkowy zaznaczone na profilu Unified State Examination).

Dlatego w poważnej matematyce nie da się obejść się bez pierwiastków - są one tymi samymi równymi przedstawicielami zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb(R)$, podobnie jak znane nam od dawna ułamki zwykłe i liczby całkowite.

Brak możliwości przedstawienia pierwiastka jako ułamka postaci $\frac(p)(q)$ oznacza, że ​​pierwiastek ten nie jest liczbą wymierną. Takie liczby nazywane są niewymiernymi i nie można ich dokładnie przedstawić inaczej, jak za pomocą pierwiastka lub innych specjalnie do tego zaprojektowanych konstrukcji (logarytmy, potęgi, granice itp.). Ale o tym innym razem.

Rozważmy kilka przykładów, w których po wszystkich obliczeniach liczby niewymierne nadal pozostaną w odpowiedzi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\około 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\około -1,2599... \\\end(align)\]

Naturalnie, wg wygląd root prawie niemożliwe jest odgadnięcie, które liczby pojawią się po przecinku. Można jednak liczyć na kalkulator, ale nawet najbardziej zaawansowany kalkulator daty podaje nam tylko kilka pierwszych cyfr liczby niewymiernej. Dlatego znacznie bardziej poprawne jest zapisanie odpowiedzi w postaci $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Właśnie po to je wymyślono. Aby wygodnie nagrywać odpowiedzi.

Dlaczego potrzebne są dwie definicje?

Uważny czytelnik zapewne zauważył już, że wszystkie pierwiastki kwadratowe podane w przykładach pochodzą z liczb dodatnich. Cóż, przynajmniej od zera. Ale pierwiastki sześcienne można spokojnie wyodrębnić z absolutnie dowolnej liczby - dodatniej lub ujemnej.

Dlaczego to się dzieje? Spójrz na wykres funkcji $y=((x)^(2))$:

Wykres funkcji kwadratowej daje dwa pierwiastki: dodatni i ujemny

Spróbujmy obliczyć $\sqrt(4)$ korzystając z tego wykresu. W tym celu sporządzono wykres linia pozioma$y=4$ (zaznaczone na czerwono), które przecina parabolę w dwóch punktach: $((x)_(1))=2$ i $((x)_(2))=-2$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ

Z pierwszą liczbą wszystko jest jasne - jest dodatnia, więc jest to pierwiastek:

Ale co w takim razie zrobić z drugim punktem? Jak cztery ma dwa pierwiastki na raz? Przecież jeśli podniesiemy liczbę −2 do kwadratu, otrzymamy także 4. Dlaczego więc nie napisać $\sqrt(4)=-2$? A dlaczego nauczyciele patrzą na takie posty jakby chcieli Cię zjeść? :)

To jest problem, jeśli żadnego nie zastosujesz dodatkowe warunki, wówczas poczwórna liczba będzie miała dwa pierwiastki kwadratowe - dodatni i ujemny. A każda liczba dodatnia również będzie miała dwie z nich. Ale liczby ujemne w ogóle nie będą miały pierwiastków - widać to na tym samym wykresie, ponieważ parabola nigdy nie spada poniżej osi y, tj. nie przyjmuje wartości ujemnych.

Podobny problem występuje w przypadku wszystkich pierwiastków z wykładnikiem parzystym:

1. Ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia będzie miała dwa pierwiastki z wykładnikiem parzystym $n$;
2. Z liczb ujemnych pierwiastek z parzystymi $n$ w ogóle nie jest wyodrębniany.

Dlatego w definicji pierwiastka stopnia parzystego $n$ jest wyraźnie określone, że odpowiedź musi być liczbą nieujemną. W ten sposób pozbędziemy się niejasności.

Ale dla nieparzystych $n$ nie ma takiego problemu. Aby to zobaczyć, spójrzmy na wykres funkcji $y=((x)^(3))$:

Parabola sześcienna może przyjmować dowolną wartość, więc pierwiastek sześcienny można pobrać z dowolnej liczby

Z tego wykresu można wyciągnąć dwa wnioski:

1. Gałęzie paraboli sześciennej, w przeciwieństwie do zwykłej, idą do nieskończoności w obu kierunkach - zarówno w górę, jak i w dół. Dlatego niezależnie od tego, na jakiej wysokości narysujemy linię poziomą, linia ta z pewnością przetnie się z naszym wykresem. W związku z tym pierwiastek sześcienny można zawsze wyodrębnić z absolutnie dowolnej liczby;
2. Ponadto takie przecięcie zawsze będzie unikalne, więc nie musisz zastanawiać się, która liczba jest uważana za „poprawny” pierwiastek, a którą zignorować. Dlatego określenie pierwiastka dla stopnia nieparzystego jest prostsze niż dla stopnia parzystego (nie jest wymagana nieujemność).

Szkoda, że ​​w większości podręczników nie wyjaśniono tych prostych rzeczy. Zamiast tego nasze mózgi zaczynają szybować, korzystając z różnego rodzaju pierwiastków arytmetycznych i ich właściwości.

Tak, nie kłócę się: musisz także wiedzieć, co to jest pierwiastek arytmetyczny. O tym szczegółowo opowiem w osobnej lekcji. Dzisiaj też o tym porozmawiamy, bo bez tego wszelkie przemyślenia na temat pierwiastków $n$-tej krotności byłyby niepełne.

Ale najpierw musisz jasno zrozumieć definicję, którą podałem powyżej. Inaczej przez natłok terminów w Twojej głowie zacznie się taki bałagan, że ostatecznie nic nie zrozumiesz.

Wszystko, co musisz zrobić, to zrozumieć różnicę między wskaźnikami parzystymi i nieparzystymi. Dlatego jeszcze raz zbierzmy wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć o korzeniach:

1. Pierwiastek stopnia parzystego istnieje tylko z liczby nieujemnej i sam w sobie jest zawsze liczbą nieujemną. Dla liczb ujemnych taki pierwiastek jest nieokreślony.
2. Ale pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje z dowolnej liczby i sama może być dowolną liczbą: dla liczb dodatnich jest dodatnia, a dla liczb ujemnych, jak wskazuje czapka, jest ujemna.

Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. Jest jasne? Tak, to całkowicie oczywiste! Zatem teraz poćwiczymy trochę obliczenia.

Podstawowe właściwości i ograniczenia

Korzenie mają wiele dziwnych właściwości i ograniczeń - zostanie to omówione w osobnej lekcji. Dlatego teraz rozważymy tylko najważniejszą „sztuczkę”, która dotyczy tylko pierwiastków o parzystym indeksie. Zapiszmy tę właściwość w postaci wzoru:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lewo| x\prawo|\]

Innymi słowy, jeśli podniesiemy liczbę do potęgi parzystej, a następnie wyodrębnimy pierwiastek z tej potęgi, otrzymamy nie liczbę pierwotną, ale jej moduł. Jest to proste twierdzenie, które można łatwo udowodnić (wystarczy osobno rozważyć nieujemne $x$, a następnie osobno ujemne). Nauczyciele ciągle o tym mówią, jest to podane w każdym szkolnym podręczniku. Ale gdy tylko przychodzi do rozwiązywania równań irracjonalnych (tj. Równań zawierających pierwiastek), uczniowie jednomyślnie zapominają o tym wzorze.

Aby szczegółowo zrozumieć zagadnienie, zapomnijmy na chwilę o wszystkich wzorach i spróbujmy od razu obliczyć dwie liczby:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

To jest bardzo proste przykłady. Większość ludzi rozwiąże pierwszy przykład, ale wiele osób utknie na drugim. Aby rozwiązać takie bzdury bez problemów, zawsze rozważ procedurę:

1. Najpierw liczbę podnosi się do czwartej potęgi. Cóż, to dość łatwe. Otrzymasz nową liczbę, którą znajdziesz nawet w tabliczce mnożenia;
2. A teraz z tej nowej liczby należy wyodrębnić czwarty pierwiastek. Te. nie następuje żadna „redukcja” korzeni i mocy - są to działania sekwencyjne.

Przyjrzyjmy się pierwszemu wyrażeniu: $\sqrt(((3)^(4)))$. Oczywiście najpierw musisz obliczyć wyrażenie pod pierwiastkiem:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Następnie wyodrębniamy czwarty pierwiastek liczby 81:

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Najpierw podnosimy liczbę −3 do potęgi czwartej, co wymaga pomnożenia jej przez samą siebie 4 razy:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lewo(-3 \prawo)=81\]

Dostał Liczba dodatnia, ponieważ całkowita liczba minusów w iloczynie wynosi 4 i wszystkie się znoszą (w końcu minus za minus daje plus). Następnie ponownie wyodrębniamy korzeń:

W zasadzie tego wiersza nie można było napisać, ponieważ nie ma wątpliwości, że odpowiedź byłaby taka sama. Te. nawet root z tego samego parzystego stopnia „spala” minusy i w tym sensie wynik jest nie do odróżnienia od zwykłego modułu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \prawo|=3; \\ & \sqrt(((\lewo(-3 \prawo))^(4)))=\lewo| -3 \prawo|=3. \\ \end(align)\]

Obliczenia te są zgodne z definicją pierwiastka stopnia parzystego: wynik jest zawsze nieujemny, a znak pierwiastka również zawsze zawiera liczbę nieujemną. W przeciwnym razie korzeń jest niezdefiniowany.

Uwaga dotycząca procedury

1. Zapis $\sqrt(((a)^(2)))$ oznacza, że ​​najpierw podnosimy liczbę $a$ do kwadratu, a następnie obliczamy pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości. Zatem możemy być pewni, że pod pierwiastkiem zawsze znajduje się liczba nieujemna, ponieważ w każdym przypadku $((a)^(2))\ge 0$;
2. Natomiast zapis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ oznacza, że ​​najpierw obliczamy pierwiastek z określonej liczby $a$, a dopiero potem podstawiamy wynik do kwadratu. Dlatego liczba $a$ w żadnym wypadku nie może być ujemna – jest to obowiązkowy wymóg zawarty w definicji.

Dlatego w żadnym wypadku nie należy bezmyślnie redukować korzeni i stopni, rzekomo „upraszczając” pierwotne wyrażenie. Ponieważ jeśli pierwiastek ma liczbę ujemną, a jego wykładnik jest parzysty, mamy mnóstwo problemów.

Jednak wszystkie te problemy dotyczą tylko parzystych wskaźników.

Usunięcie znaku minus spod znaku głównego

Oczywiście pierwiastki z wykładnikami nieparzystymi mają również swoją cechę, która w zasadzie nie istnieje w przypadku parzystych. Mianowicie:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Krótko mówiąc, możesz usunąć minus spod znaku pierwiastków stopnia nieparzystego. To jest bardzo przydatna właściwość, co pozwala „wyrzucić” wszystkie negatywy:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Ta prosta właściwość znacznie upraszcza wiele obliczeń. Teraz nie musisz się martwić: co by było, gdyby pod rdzeniem ukryte było wyrażenie negatywne, ale stopień u nasady okazał się równy? Wystarczy „wyrzucić” wszystkie minusy poza pierwiastki, po czym można je mnożyć przez siebie, dzielić i w ogóle robić wiele podejrzanych rzeczy, co w przypadku „klasycznych” korzeni z pewnością doprowadzi nas do błąd.

I tu pojawia się kolejna definicja – ta sama, od której w większości szkół rozpoczyna się naukę wyrażeń irracjonalnych. I bez których nasze rozumowanie byłoby niepełne. Poznać!

Pierwiastek arytmetyczny

Załóżmy na chwilę, że pod pierwiastkiem mogą znajdować się tylko liczby dodatnie lub w skrajnych przypadkach zero. Zapomnijmy o wskaźnikach parzystych/nieparzystych, zapomnijmy o wszystkich definicjach podanych powyżej - będziemy pracować tylko z liczbami nieujemnymi. Co wtedy?

A wtedy otrzymamy pierwiastek arytmetyczny - częściowo pokrywa się on z naszymi „standardowymi” definicjami, ale nadal się od nich różni.

Definicja. Pierwiastek arytmetyczny n$tego stopnia liczby nieujemnej $a$ jest liczbą nieujemną $b$ taką, że $((b)^(n))=a$.

Jak widać, parytet nas już nie interesuje. Zamiast tego pojawiło się nowe ograniczenie: wyrażenie radykalne jest teraz zawsze nieujemne i sam pierwiastek również jest nieujemny.

Aby lepiej zrozumieć, czym pierwiastek arytmetyczny różni się od zwykłego, spójrz na wykresy paraboli kwadratowej i sześciennej, które już znamy:

Obszar wyszukiwania pierwiastka arytmetycznego - liczby nieujemne

Jak widać, od tej chwili interesują nas tylko te fragmenty wykresu, które znajdują się w pierwszej ćwiartce współrzędnych - gdzie współrzędne $x$ i $y$ są dodatnie (lub co najmniej zerowe). Nie trzeba już patrzeć na wskaźnik, aby zrozumieć, czy mamy prawo umieścić liczbę ujemną pod pierwiastkiem, czy nie. Ponieważ liczby ujemne nie są już w zasadzie brane pod uwagę.

Możesz zapytać: „No cóż, po co nam tak wykastrowana definicja?” Lub: „Dlaczego nie możemy obejść się przy standardowej definicji podanej powyżej?”

Cóż, podam tylko jedną właściwość, ze względu na którą nowa definicja staje się właściwa. Na przykład zasada potęgowania:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Uwaga: możemy podnieść wyrażenie pierwiastkowe do dowolnej potęgi i jednocześnie pomnożyć wykładnik pierwiastkowy przez tę samą potęgę - a wynik będzie taki sam! Oto przykłady:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\\end(align)\]

Więc o co chodzi? Dlaczego nie mogliśmy tego zrobić wcześniej? Dlatego. Rozważmy proste wyrażenie: $\sqrt(-2)$ - liczba ta jest w naszym klasycznym rozumieniu całkiem normalna, jednak z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego jest absolutnie nie do przyjęcia. Spróbujmy to przekonwertować:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Jak widać, w pierwszym przypadku usunęliśmy minus spod pierwiastka (mamy wszelkie prawo, ponieważ wskaźnik jest nieparzysty), a w drugim zastosowaliśmy powyższy wzór. Te. Z matematycznego punktu widzenia wszystko odbywa się zgodnie z regułami.

WTF?! Jak ta sama liczba może być zarówno dodatnia, jak i ujemna? Nie ma mowy. Tyle, że wzór na potęgowanie, który świetnie sprawdza się w przypadku liczb dodatnich i zera, w przypadku liczb ujemnych zaczyna dawać zupełną herezję.

Aby pozbyć się takiej dwuznaczności, wymyślono pierwiastki arytmetyczne. Poświęcona jest im osobna duża lekcja, w której szczegółowo rozważamy wszystkie ich właściwości. Więc nie będziemy się teraz nad nimi rozwodzić - lekcja okazała się już za długa.

Pierwiastek algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej

Długo zastanawiałem się, czy umieścić ten temat w osobnym akapicie, czy nie. W końcu zdecydowałem się to tutaj zostawić. Ten materiał przeznaczony jest dla tych, którzy chcą jeszcze lepiej zrozumieć korzenie – już nie na przeciętnym poziomie „szkolnym”, ale na poziomie bliskim olimpiady.

Zatem: oprócz „klasycznej” definicji pierwiastka liczby $n$ i związanego z nią podziału na wykładniki parzyste i nieparzyste, istnieje bardziej „dorosła” definicja, która w ogóle nie zależy od parzystości i innych subtelności. Nazywa się to pierwiastkiem algebraicznym.

Definicja. Pierwiastek algebraiczny $n$-tego dowolnego $a$ jest zbiorem wszystkich liczb $b$ takich, że $((b)^(n))=a$. Nie ma ustalonego oznaczenia takich korzeni, więc po prostu postawimy myślnik na górze:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Zasadnicza różnica w stosunku do standardowej definicji podanej na początku lekcji polega na tym, że pierwiastek algebraiczny nim nie jest konkretny numer, ale dużo. A ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, ten zestaw występuje tylko w trzech typach:

1. Pusty zestaw. Występuje, gdy trzeba znaleźć pierwiastek algebraiczny stopnia parzystego z liczby ujemnej;
2. Zestaw składający się z jednego pojedynczego elementu. Do tej kategorii należą wszystkie pierwiastki potęg nieparzystych, a także pierwiastki parzystych potęg zera;
3. Wreszcie zbiór może zawierać dwie liczby - te same $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$, które widzieliśmy na wykres funkcji kwadratowej. Odpowiednio taki układ jest możliwy tylko przy wyodrębnianiu pierwiastka stopnia parzystego z liczby dodatniej.

Ostatni przypadek zasługuje na bardziej szczegółowe rozpatrzenie. Policzmy kilka przykładów, aby zrozumieć różnicę.

Przykład. Oceń wyrażenia:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Rozwiązanie. Pierwsze wyrażenie jest proste:

\[\overline(\sqrt(4))=\lewo\( 2;-2 \prawo\)\]

Są to dwie liczby, które są częścią zestawu. Bo każdy z nich podniesiony do kwadratu daje czwórkę.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lewo\( -3 \prawo\)\]

Widzimy tutaj zbiór składający się tylko z jednej liczby. Jest to całkiem logiczne, ponieważ wykładnik pierwiastkowy jest nieparzysty.

Na koniec ostatnie wyrażenie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnic\]

Otrzymaliśmy pusty zestaw. Ponieważ nie ma ani jednej liczby rzeczywistej, która podniesiona do czwartej (tj. parzystej!) potęgi da nam liczbę ujemną –16.

Uwaga końcowa. Uwaga: to nie przypadek, że wszędzie zauważyłem, że pracujemy z liczbami rzeczywistymi. Ponieważ jest więcej Liczby zespolone— całkiem możliwe jest obliczenie $\sqrt(-16)$ i wielu innych dziwnych rzeczy.

Jednak liczby zespolone prawie nigdy nie pojawiają się na kursach matematyki w nowoczesnych szkołach. Usunięto je z większości podręczników, ponieważ nasi urzędnicy uznali temat za „zbyt trudny do zrozumienia”.

Czas to uporządkować metody ekstrakcji korzeni. Opierają się one na własnościach pierwiastków, w szczególności na równości, która obowiązuje dla każdej liczby nieujemnej b.

Poniżej przyjrzymy się głównym metodom wydobywania korzeni jeden po drugim.

Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

Jeśli tabele kwadratów, sześcianów itp. Jeśli nie masz go pod ręką, logiczne jest zastosowanie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze.

Warto szczególnie wspomnieć, co jest możliwe dla pierwiastków o wykładnikach nieparzystych.

Na koniec rozważmy metodę, która pozwala nam sekwencyjnie znajdować cyfry wartości pierwiastkowej.

Zacznijmy.

Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

W większości proste przypadki tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wyodrębnienie pierwiastków. Co to za tabele?

Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli znajduje się na szarym tle; za pomocą selekcji konkretny ciąg a konkretna kolumna pozwala na utworzenie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy wiersz składający się z 8 dziesiątek i kolumnę zawierającą 3 jednostki, w ten sposób ustaliliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda komórka znajduje się na przecięciu określonego wiersza i określonej kolumny i zawiera kwadrat odpowiedniej liczby od 0 do 99. Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jedności znajduje się komórka z liczbą 6889, która jest kwadratem liczby 83.

Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablicy kwadratów, tyle że zawierają kostki, czwarte potęgi itp. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.

Tablice kwadratów, sześcianów, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio na podstawie liczb w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich stosowania podczas wydobywania korzeni.

Powiedzmy, że musimy wyodrębnić n-ty pierwiastek z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych potęg. Korzystając z tej tabeli, znajdujemy liczbę b taką, że a=b n. Następnie dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.

Jako przykład pokażmy, jak użyć tabeli kostek do wyodrębnienia pierwiastka sześciennego z 19 683. W tabeli kostek znajdujemy liczbę 19 683, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego też .

Jest oczywiste, że tablice n-tych potęg są bardzo wygodne do wyodrębniania pierwiastków. Często jednak nie są one pod ręką, a ich skompilowanie zajmuje trochę czasu. Ponadto często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach należy zastosować inne metody ekstrakcji korzeni.

Rozkładanie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze

Wystarczająco w wygodny sposób, który umożliwia wyodrębnienie pierwiastka z liczby naturalnej (o ile oczywiście pierwiastek zostanie wyodrębniony), to rozkład liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Jego chodzi o to: potem dość łatwo jest przedstawić to jako potęgę o pożądanym wykładniku, co pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy tę kwestię.

Weźmy n-ty pierwiastek liczby naturalnej a i jego wartość będzie równa b. W tym przypadku prawdziwa jest równość a=bn. Liczbę b, jak każdą liczbę naturalną, można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 ·p 2 ·…·p m , oraz w tym przypadku liczby pierwiastkowej a jest reprezentowane jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Ponieważ rozkład liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, rozkład pierwiastka liczby a na czynniki pierwsze będzie miał postać (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, co pozwala obliczyć wartość pierwiastka Jak .

Należy zauważyć, że jeśli rozkładu liczby a na czynniki pierwsze nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, to n-ty pierwiastek takiej liczby a nie jest wyodrębniony całkowicie.

Rozwiążmy to, rozwiązując przykłady.

Przykład.

Weź pierwiastek kwadratowy ze 144.

Rozwiązanie.

Jeśli spojrzysz na tabelę kwadratów podaną w poprzednim akapicie, wyraźnie zobaczysz, że 144 = 12 2, z czego jasno wynika, że ​​pierwiastek kwadratowy z 144 jest równy 12.

Ale w świetle tego akapitu interesuje nas sposób wyodrębnienia pierwiastka poprzez rozłożenie pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.

Rozłóżmy się 144 do czynników pierwszych:

Oznacza to, że 144=2,2,2,2,3,3. Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2·2·2·2·3·3=(2,2) 2,3 2 =(2,2,3) 2 =12 2. Stąd, .

Korzystając z właściwości stopnia i właściwości pierwiastków, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .

Odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.

Przykład.

Oblicz wartość pierwiastka.

Rozwiązanie.

Rozkład na czynniki pierwsze rodnika 243 ma postać 243=3 5 . Zatem, .

Odpowiedź:

Przykład.

Czy wartość pierwiastkowa jest liczbą całkowitą?

Rozwiązanie.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej.

Mamy 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Wynikowego rozwinięcia nie można przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej, ponieważ potęga czynnika pierwszego 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego nie można całkowicie wyodrębnić pierwiastka sześciennego z 285 768.

Odpowiedź:

NIE.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych

Czas dowiedzieć się, jak wyodrębnić korzeń liczba ułamkowa. Niech rodnik ułamkowy zostanie zapisany jako p/q. Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika zasada wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi pierwiastka licznika podzielonego przez pierwiastek mianownika.

Spójrzmy na przykład wyodrębnienia pierwiastka z ułamka.

Przykład.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy ułamka zwykłego 25/169?

Rozwiązanie.

Korzystając z tabeli kwadratów, stwierdzamy, że pierwiastek kwadratowy licznika ułamka pierwotnego jest równy 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika jest równy 13. Następnie . Na tym kończy się ekstrakcja pierwiastka frakcji wspólnej 25/169.

Odpowiedź:

Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej wyodrębnia się po zastąpieniu liczb pierwiastkowych ułamkami zwykłymi.

Przykład.

Weź pierwiastek sześcienny ułamka dziesiętnego 474,552.

Rozwiązanie.

Wyobraźmy sobie pierwotny ułamek dziesiętny jako ułamek zwykły: 474,552=474552/1000. Następnie . Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku powstałego ułamka. Ponieważ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000 = 10 3, wtedy I . Pozostaje tylko dokończyć obliczenia .

Odpowiedź:

.

Biorąc pierwiastek z liczby ujemnej

Warto zastanowić się nad wyodrębnianiem pierwiastków z liczb ujemnych. Badając pierwiastki, powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastkowy jest liczbą nieparzystą, wówczas pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Nadaliśmy tym wpisom następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1, . Ta równość daje zasada rootowania dziwny stopień od liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wziąć pierwiastek z przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.

Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość pierwiastka.

Rozwiązanie.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod pierwiastkiem znajdowała się liczba dodatnia: . Teraz zamień liczbę mieszaną na ułamek zwykły: . Stosujemy regułę wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: . Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku powstałego ułamka: .

Oto krótkie podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

.

Bitowe określenie wartości pierwiastkowej

W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu technik omówionych powyżej nie można przedstawić jako n-tą potęgę dowolnej liczby. Ale w tym przypadku trzeba znać znaczenie danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala sekwencyjnie uzyskać wystarczającą liczbę wartości cyfr żądanej liczby.

Na pierwszym kroku tego algorytmu musisz dowiedzieć się, jaki jest najbardziej znaczący fragment wartości pierwiastkowej. W tym celu liczby 0, 10, 100, ... są kolejno podnoszone do potęgi n, aż do momentu, gdy liczba przekroczy liczbę pierwiastkową. Następnie liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n na poprzednim etapie, wskaże odpowiednią najbardziej znaczącą cyfrę.

Rozważmy na przykład ten krok algorytmu podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z pięciu. Weź liczby 0, 10, 100, ... i podnieś je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5. Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, co oznacza, że ​​najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jedności. Wartość tego bitu, jak i niższych, zostanie odnaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji pierwiastka.

Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sekwencyjne doprecyzowanie wartości pierwiastka poprzez znalezienie wartości kolejnych bitów pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższych. Przykładowo wartość pierwiastka w pierwszym kroku okazuje się wynosić 2, w drugim – 2,2, w trzecim – 2,23 i tak dalej 2,236067977…. Opiszmy, jak znaleźć wartości cyfr.

Cyfry można znaleźć, przeszukując ich możliwe wartości 0, 1, 2, ..., 9. W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas uznaje się, że wartość cyfry odpowiadająca poprzedniej wartości zostaje znaleziona i następuje przejście do kolejnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastka; jeżeli tak się nie stanie, wówczas wartość tej cyfry wynosi 9.

Wyjaśnijmy te punkty na tym samym przykładzie wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z pięciu.

Najpierw znajdujemy wartość cyfry jedności. Będziemy przechodzić przez wartości 0, 1, 2, ..., 9, obliczając odpowiednio 0 2, 1 2, ..., 9 2, aż otrzymamy wartość większą niż pierwiastek 5. Wszystkie te obliczenia wygodnie jest przedstawić w formie tabeli:

Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2 (ponieważ 2 2<5 , а 2 3 >5). Przejdźmy do znalezienia wartości miejsca dziesiątego. W tym przypadku podniesiemy liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 do kwadratu, porównując uzyskane wartości z rodnikiem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 2. Możesz przystąpić do znajdowania wartości miejsca setnego:

W ten sposób znaleziono kolejną wartość pierwiastka z pięciu, która wynosi 2,23. Możesz więc nadal znajdować wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aby utrwalić materiał, przeanalizujemy ekstrakcję pierwiastka z dokładnością do setnych, stosując rozważany algorytm.

Najpierw określamy najbardziej znaczącą cyfrę. Aby to zrobić, dzielimy liczby 0, 10, 100 itd. dopóki nie otrzymamy liczby większej niż 2 151 186. Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, więc najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra dziesiątek.

Ustalmy jego wartość.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątek wynosi 1. Przejdźmy do jednostek.

Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2. Przejdźmy do dziesiątek.

Ponieważ nawet 12,9 3 jest mniejsze niż pierwiastek 2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 9. Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, który da nam wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością.

Na tym etapie wartość pierwiastka ustala się z dokładnością do setnych: .

Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów ekstrakcji korzeni. Ale w przypadku większości zadań wystarczą te, które przestudiowaliśmy powyżej.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

Rozwiążmy prosty problem znalezienia boku kwadratu o polu 9 cm 2. Jeśli założymy, że bok kwadratu A cm, następnie układamy równanie zgodnie z warunkami zadania:

A X A = 9

A2 = 9

A2-9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 lub A=-3

Długość boku kwadratu nie może być liczbą ujemną, zatem wymagany bok kwadratu wynosi 3 cm.

Rozwiązując równanie, znaleźliśmy liczby 3 i -3, których kwadraty wynoszą 9. Każda z tych liczb nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby 9. Nieujemna liczba tych pierwiastków, to znaczy liczba 3, nazywa się pierwiastkiem arytmetycznym liczby.

Całkiem logiczne jest zaakceptowanie faktu, że pierwiastek można znaleźć od liczb do trzeciej potęgi (pierwiastek sześcienny), czwartej potęgi i tak dalej. W zasadzie pierwiastek jest odwrotną operacją potęgowania.

ŹródłoN stopień od numeru α jest taką liczbą B, Gdzie b n = α .

Tutaj N- zwykle nazywa się liczbę naturalną indeks główny(lub stopień korzenia); z reguły jest ona większa lub równa 2, bo przypadek N = 1 staromodny.

Oznaczone na literze jako symbol (znak główny) po prawej stronie nazywa się rodnik. Numer α - radykalne wyrażenie. W naszym przykładzie z imprezą rozwiązanie mogłoby wyglądać następująco: ponieważ (± 3) 2 = 9 .

Otrzymaliśmy dodatnie i ujemne wartości pierwiastka. Ta funkcja komplikuje obliczenia. Aby uzyskać jednoznaczność, wprowadzono pojęcie pierwiastek arytmetyczny, którego wartość jest zawsze ze znakiem plus, to znaczy tylko dodatnia.

Źródło zwany arytmetyka, jeśli zostanie wyodrębniony z liczby dodatniej i sam jest liczbą dodatnią.

Na przykład,

Z danej liczby istnieje tylko jeden pierwiastek arytmetyczny danego stopnia.

Operacja obliczeniowa jest zwykle nazywana „ ekstrakcja korzeni N stopień” spośród α . Zasadniczo wykonujemy operację odwrotną do podnoszenia do potęgi, a mianowicie znalezienie podstawy potęgi B według znanego wskaźnika N i wynik podniesienia do potęgi

α = miliardy

Korzenie drugiego i trzeciego stopnia są stosowane w praktyce częściej niż inne, dlatego nadano im specjalne nazwy.

Pierwiastek kwadratowy: W tym przypadku zwyczajowo nie zapisuje się wykładnika 2, a określenie „pierwiastek” bez wskazania wykładnika najczęściej oznacza pierwiastek kwadratowy. W interpretacji geometrycznej jest to długość boku kwadratu, którego pole jest równe α .

Pierwiastek sześcianu: W interpretacji geometrycznej długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa α .

Własności pierwiastków arytmetycznych.

1) Przy obliczaniu pierwiastek arytmetyczny produktu, należy wyodrębnić go z każdego czynnika osobno

Na przykład,

2) Do obliczeń pierwiastek ułamka, należy wyodrębnić go z licznika i mianownika tego ułamka

Na przykład,

3) Podczas obliczeń pierwiastek stopnia, musisz podzielić wykładnik przez wykładnik pierwiastkowy

Na przykład,

Pierwsze obliczenia związane z wyciąganiem pierwiastka kwadratowego znaleziono w pracach matematyków starożytnego Babilonu i Chin, Indii, Grecji (w źródłach brak informacji o osiągnięciach starożytnego Egiptu w tym zakresie).

Matematycy starożytnego Babilonu (II tysiąclecie p.n.e.) stosowali specjalną metodę numeryczną do wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego. Wstępne przybliżenie pierwiastka kwadratowego ustalono na podstawie liczby naturalnej najbliższej pierwiastkowi (w mniejszym kierunku) N. Przedstawiamy radykalne wyrażenie w postaci: α=n2 +r, otrzymujemy: x 0 = n+r/2n, następnie zastosowano iteracyjny proces udoskonalania:

Iteracje w tej metodzie zbiegają się bardzo szybko. Dla ,

Na przykład, α=5; n=2; r=1; x 0 = 9/4 = 2,25 i otrzymujemy ciąg przybliżeń:

W wartości końcowej wszystkie cyfry są poprawne oprócz ostatniej.

Grecy sformułowali problem podwojenia sześcianu, który sprowadzał się do skonstruowania pierwiastka sześcianu za pomocą kompasu i linijki. Zasady obliczania dowolnego stopnia liczby całkowitej badali matematycy w Indiach i krajach arabskich. Następnie były szeroko rozwinięte w średniowiecznej Europie.

Obecnie dla wygody obliczania pierwiastków kwadratowych i sześciennych powszechnie stosuje się kalkulatory.

Pierwszy poziom

Korzeń i jego właściwości. Szczegółowa teoria z przykładami (2019)

Spróbujmy dowiedzieć się, czym jest koncepcja „korzenia” i „z czym jest spożywany”. Aby to zrobić, spójrzmy na przykłady, które już spotkałeś na zajęciach (no cóż, albo dopiero się z tym spotkasz).

Na przykład mamy równanie. Jakie jest rozwiązanie tego równania? Jakie liczby można podnieść do kwadratu i otrzymać? Pamiętając o tabliczce mnożenia, możesz łatwo udzielić odpowiedzi: i (w końcu mnożąc dwie liczby ujemne, otrzymuje się liczbę dodatnią)! Dla uproszczenia matematycy wprowadzili specjalne pojęcie pierwiastka kwadratowego i przypisali mu specjalny symbol.

Zdefiniujmy arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.

Dlaczego liczba musi być nieujemna? Na przykład, czemu to jest równe? No cóż, spróbujmy wybrać jedno. Może trzy? Sprawdźmy: , nie. Może, ? Ponownie sprawdzamy: . No właśnie, nie pasuje? Tego można było się spodziewać – ponieważ nie ma liczb, które po podniesieniu do kwadratu dają liczbę ujemną!
O tym musisz pamiętać: liczba lub wyrażenie pod znakiem pierwiastka musi być nieujemne!

Jednak najbardziej uważni zapewne zauważyli już, że z definicji wynika, że ​​rozwiązanie pierwiastka kwadratowego z „liczby” nazywa się to nieujemne liczba, której kwadrat jest równy „. Niektórzy z Was powiedzą, że na samym początku analizowaliśmy przykład, wybrane liczby, które można podnieść do kwadratu i otrzymać, odpowiedź brzmiała i, ale tutaj mówimy o jakiejś „liczbie nieujemnej”! Ta uwaga jest całkiem trafna. Tutaj wystarczy rozróżnić pojęcia równań kwadratowych i arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z liczby. Na przykład nie jest równoważne wyrażeniu.

Wynika z tego, to znaczy, lub. (Przeczytaj temat „”)

I z tego wynika.

Oczywiście jest to bardzo mylące, ale należy pamiętać, że znaki są wynikiem rozwiązania równania, ponieważ przy rozwiązywaniu równania musimy zapisać wszystkie X, które po podstawieniu do pierwotnego równania dadzą prawidłowy wynik. Obydwa i pasują do naszego równania kwadratowego.

Jeśli jednak po prostu weź pierwiastek kwadratowy od czegoś, to zawsze otrzymujemy jeden wynik nieujemny.

Spróbuj teraz rozwiązać to równanie. Wszystko nie jest już takie proste i gładkie, prawda? Spróbuj przejrzeć liczby, może coś się uda? Zacznijmy od początku - od zera: - nie pasuje, idź dalej - mniej niż trzy, też odsuń na bok, a co jeśli. Sprawdźmy: - też się nie nadaje, bo... to więcej niż trzy. To ta sama historia z liczbami ujemnymi. Co więc powinniśmy teraz zrobić? Czy poszukiwania naprawdę nic nam nie dały? Wcale nie, teraz wiemy na pewno, że odpowiedzią będzie jakaś liczba pomiędzy i, a także pomiędzy i. Oczywiście rozwiązania nie będą liczbami całkowitymi. Co więcej, nie są one racjonalne. Co dalej? Zróbmy wykres funkcji i zaznaczmy na niej rozwiązania.

Spróbujmy oszukać system i uzyskać odpowiedź za pomocą kalkulatora! Wyciągnijmy z tego korzeń! Och, och, och, okazuje się, że. Ta liczba nigdy się nie kończy. Jak możesz to pamiętać, skoro na egzaminie nie będzie kalkulatora!? Wszystko jest bardzo proste, nie trzeba o tym pamiętać, wystarczy zapamiętać (lub móc szybko oszacować) przybliżoną wartość. i same odpowiedzi. Liczby takie nazywa się niewymiernymi; aby uprościć zapisywanie takich liczb, wprowadzono pojęcie pierwiastka kwadratowego.

Aby to wzmocnić, spójrzmy na inny przykład. Rozważmy następujący problem: musisz przejść przez kwadratowe pole o boku km po przekątnej, ile km musisz przejść?

Najbardziej oczywistą rzeczą jest rozważenie trójkąta osobno i skorzystanie z twierdzenia Pitagorasa: . Zatem, . Jaka jest zatem wymagana odległość w tym przypadku? Oczywiście odległość nie może być ujemna, rozumiemy to. Pierwiastek z dwóch jest w przybliżeniu równy, ale, jak zauważyliśmy wcześniej, - jest już pełną odpowiedzią.

Aby rozwiązać przykłady z korzeniami bez powodowania problemów, musisz je zobaczyć i rozpoznać. Aby to zrobić, musisz znać przynajmniej kwadraty liczb od do, a także umieć je rozpoznać. Na przykład musisz wiedzieć, co jest równe kwadratowi i odwrotnie, co jest równe kwadratowi.

Czy zrozumiałeś, co to jest pierwiastek kwadratowy? Następnie rozwiąż kilka przykładów.

Przykłady.

No i jak wyszło? Teraz spójrzmy na te przykłady:

Odpowiedzi:

pierwiastek sześcienny

Cóż, wydaje się, że wyjaśniliśmy koncepcję pierwiastka kwadratowego, teraz spróbujmy dowiedzieć się, czym jest pierwiastek sześcienny i jaka jest ich różnica.

Pierwiastek sześcienny liczby to liczba, której sześcian jest równy. Czy zauważyłeś, że tutaj wszystko jest znacznie prostsze? Nie ma ograniczeń co do możliwych wartości zarówno wartości pod znakiem pierwiastka sześcianu, jak i wyodrębnianej liczby. Oznacza to, że pierwiastek sześcienny można wyodrębnić z dowolnej liczby: .

Czy rozumiesz, czym jest pierwiastek sześcienny i jak go wyodrębnić? Następnie przejdź dalej i rozwiąż przykłady.

Przykłady.

Odpowiedzi:

Korzeń - och, stopień

Cóż, zrozumieliśmy pojęcia pierwiastka kwadratowego i sześciennego. Podsumujmy teraz wiedzę zdobytą dzięki tej koncepcji 1. korzeń.

1. korzeń liczby to liczba, której potęga jest równa, tj.

równowartość.

Jeśli nawet, To:

• z negatywem, wyrażenie nie ma sensu (parzysty pierwiastek liczb ujemnych nie można usunąć!);
• dla wartości nieujemnych() wyrażenie ma jeden nieujemny pierwiastek.

Jeśli - jest nieparzyste, wówczas wyrażenie ma unikalny rdzeń dla dowolnego.

Nie przejmuj się, obowiązują tu te same zasady, co w przypadku pierwiastków kwadratowych i sześciennych. Oznacza to, że zasady, które zastosowaliśmy przy rozpatrywaniu pierwiastków kwadratowych, rozciągają się na wszystkie pierwiastki stopnia parzystego.

A właściwości użyte dla pierwiastka sześciennego odnoszą się do pierwiastków stopnia nieparzystego.

Czy stało się jaśniejsze? Spójrzmy na przykłady:

Tutaj wszystko jest mniej więcej jasne: najpierw patrzymy - tak, stopień jest parzysty, liczba pod pierwiastkiem jest dodatnia, co oznacza, że ​​naszym zadaniem jest znaleźć liczbę, której czwarta potęga nam da. Cóż, jakieś domysły? Może, ? Dokładnie!

Zatem stopień jest równy - nieparzysty, liczba pod pierwiastkiem jest ujemna. Naszym zadaniem jest znaleźć liczbę, która podniesiona do potęgi daje. Trudno jest od razu zauważyć korzeń. Można jednak od razu zawęzić poszukiwania, prawda? Po pierwsze, wymagana liczba jest zdecydowanie ujemna, a po drugie, można zauważyć, że jest ona nieparzysta, a zatem żądana liczba jest nieparzysta. Spróbuj znaleźć korzeń. Oczywiście możesz go bezpiecznie odrzucić. Może, ?

Tak, tego właśnie szukaliśmy! Należy pamiętać, że dla uproszczenia obliczeń wykorzystaliśmy własności stopni: .

Podstawowe właściwości korzeni

Jest jasne? Jeśli nie, to po zapoznaniu się z przykładami wszystko powinno się ułożyć.

Mnożenie korzeni

Jak pomnożyć korzenie? Najprostsza i najbardziej podstawowa właściwość pomaga odpowiedzieć na to pytanie:

Zacznijmy od czegoś prostego:

Czy pierwiastki otrzymanych liczb nie zostały dokładnie wyodrębnione? Nie ma problemu – oto kilka przykładów:

A co jeśli nie ma dwóch, ale więcej mnożników? Ten sam! Wzór na mnożenie pierwiastków działa z dowolną liczbą czynników:

Co możemy z tym zrobić? No cóż, oczywiście ukryj trójkę pod pierwiastkiem, pamiętając, że trójka to pierwiastek kwadratowy!

Dlaczego tego potrzebujemy? Tak, tylko po to, aby poszerzyć nasze możliwości przy rozwiązywaniu przykładów:

Jak podoba Ci się ta właściwość korzeni? Czy to znacznie ułatwia życie? Dla mnie to dokładnie prawda! Musisz po prostu o tym pamiętać Liczby dodatnie możemy wprowadzać tylko pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego.

Zobaczmy, gdzie jeszcze może się to przydać. Przykładowo, zadanie polega na porównaniu dwóch liczb:

Tego więcej:

Nie możesz tego stwierdzić od razu. Cóż, skorzystajmy z rozłożonej właściwości wprowadzania liczby pod znakiem głównym? Wtedy idź przed siebie:

Cóż, wiedząc, że im większa liczba pod znakiem pierwiastka, tym większy sam pierwiastek! Te. Jeśli następnie, . Z tego stanowczo wnioskujemy, że. I nikt nas nie przekona, że ​​jest inaczej!

Wcześniej wpisaliśmy mnożnik pod znakiem pierwiastka, ale jak go usunąć? Wystarczy rozłożyć to na czynniki i wyodrębnić to, co wyodrębnisz!

Można było pójść inną ścieżką i rozszerzyć się na inne czynniki:

Nieźle, prawda? Każde z tych podejść jest prawidłowe, zdecyduj, jak chcesz.

Oto na przykład wyrażenie:

W tym przykładzie stopień jest parzysty, ale co, jeśli jest nieparzysty? Ponownie zastosuj właściwości wykładników i rozłóż wszystko na czynniki:

Wszystko wydaje się jasne, ale jak wyodrębnić pierwiastek z liczby do potęgi? Tutaj na przykład jest tak:

Całkiem proste, prawda? A co jeśli stopień jest większy niż dwa? Kierujemy się tą samą logiką, wykorzystując właściwości stopni:

Czy wszystko jest jasne? Oto przykład:

Oto pułapki, o nich zawsze warto pamiętać. Znajduje to odzwierciedlenie w przykładach właściwości:

dla nieparzystych: dla parzystych i:

Jest jasne? Wzmocnij przykładami:

Tak, widzimy, że pierwiastek jest do potęgi parzystej, liczba ujemna pod pierwiastkiem również jest do potęgi parzystej. No cóż, czy to działa tak samo? Oto co:

To wszystko! Oto kilka przykładów:

Rozumiem? Następnie przejdź dalej i rozwiąż przykłady.

Przykłady.

Odpowiedzi.

Jeśli otrzymałeś odpowiedzi, możesz spokojnie kontynuować sprawę. Jeśli nie, zrozumiemy te przykłady:

Przyjrzyjmy się dwóm innym właściwościom korzeni:

Właściwości te należy przeanalizować w przykładach. Cóż, zróbmy to?

Rozumiem? Zabezpieczmy to.

Przykłady.

Odpowiedzi.

KORZENIE I ICH WŁAŚCIWOŚCI. ŚREDNI POZIOM

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy

Równanie ma dwa rozwiązania: i. Są to liczby, których kwadrat jest równy.

Rozważ równanie. Rozwiążmy to graficznie. Narysujmy wykres funkcji i linię na poziomie. Punkty przecięcia tych prostych będą rozwiązaniami. Widzimy, że to równanie ma również dwa rozwiązania - jedno dodatnie, drugie ujemne:

Ale w tym przypadku rozwiązania nie są liczbami całkowitymi. Co więcej, nie są one racjonalne. Aby zapisać te irracjonalne decyzje, wprowadzamy specjalny symbol pierwiastka kwadratowego.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy. Gdy wyrażenie nie jest zdefiniowane, ponieważ Nie ma liczby, której kwadrat jest równy liczbie ujemnej.

Pierwiastek kwadratowy: .

Na przykład, . I wynika z tego lub.

Jeszcze raz zwrócę uwagę, to bardzo ważne: Pierwiastek kwadratowy jest zawsze liczbą nieujemną: !

pierwiastek sześcienny liczby to liczba, której sześcian jest równy. Pierwiastek sześcienny jest zdefiniowany dla każdego. Można go wyodrębnić z dowolnej liczby: . Jak widać może przyjmować także wartości ujemne.

Pierwiastek th z liczby to liczba, której th potęga jest równa, tj.

Jeśli jest równo, to:

• jeśli, to pierwiastek a nie jest zdefiniowany.
• jeśli, to nieujemny pierwiastek równania nazywany jest pierwiastkiem arytmetycznym th stopnia i jest oznaczony.

Jeśli - jest nieparzyste, wówczas równanie ma unikalny pierwiastek z dowolnego.

Czy zauważyłeś, że po lewej stronie nad znakiem pierwiastka piszemy jego stopień? Ale nie dla pierwiastka kwadratowego! Jeśli widzisz pierwiastek bez stopnia, oznacza to, że jest on kwadratowy (stopnie).

Przykłady.

Podstawowe właściwości korzeni

KORZENIE I ICH WŁAŚCIWOŚCI. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pierwiastek kwadratowy (arytmetyczny pierwiastek kwadratowy) z liczby nieujemnej nazywa się to liczba nieujemna, której kwadrat wynosi

Właściwości korzeni: