Formuły, prawa, reguły, przykłady na palcach. Dlaczego liczby zespolone są używane do obliczeń w obwodach prądu przemiennego?

Szczegóły 28 marca 2017

Panowie, w dzisiejszym artykule chciałbym Wam trochę opowiedzieć liczby zespolone i sygnały. Ten artykuł będzie mieć głównie charakter teoretyczny. Jego zadaniem jest przygotowanie pewnych podstaw pod możliwość zrozumienia kolejnych artykułów. Tylko jeśli chodzi o fazę lub, powiedzmy, zachowanie kondensatora w obwodzie prąd przemienny, więc od razu zaczynam wspinać się po wszystkich tych zawiłościach. Ale nadal chcę porozmawiać o fazie, to ważna rzecz. Nie, tego artykułu nie będzie krótki kurs TFKP, rozważymy jedynie bardzo wąski obszar tego niewątpliwie interesującego i obszernego tematu. Więc chodźmy!

Ale zanim zaczniemy mówić bezpośrednio o liczbach zespolonych, chciałbym także porozmawiać o tak ciekawej rzeczy jak okrąg trygonometryczny. Panowie, o prądzie sinusoidalnym rozmawiamy już od trzech (jednego, dwóch, trzech) artykułów. Ale jak ogólnie powstaje funkcja sinus? I cosinus też? Można odpowiedzieć na to pytanie na różne sposoby, jednak na potrzeby tego artykułu wybrałem następujące wyjaśnienie. Proszę zwrócić uwagę na rysunek 1. Przedstawia on tzw. okrąg trygonometryczny.

Rysunek 1 - Okrąg trygonometryczny

Jest tam namalowanych wiele rzeczy, więc spróbujmy stopniowo dowiedzieć się, co jest co. Po pierwsze, w rzeczywistości istnieje pewien okrąg, którego środek pokrywa się ze środkiem układu współrzędnych z osiami X I Y. Promień tego okręgu równy jeden. Tylko jeden, bez żadnych woltów, amperów i innych rzeczy. Następnie ze środka tego okręgu rysowane są dwa wektory promienia OA I OE. Oczywiście długość tych wektorów jest równa jeden, ponieważ mamy okrąg o promieniu jednostkowym. Kąt między wektorem OA i oś X jest równy φ 1, kątowi między wektorem OE i oś X równy φ 2

A teraz najciekawsza część, panowie. Spójrzmy, czemu są równe projekcje tych wektorów na osi X I Y. Projekcja wektorowa OA na oś X- to jest odcinek OB i na osi Y- to jest odcinek system operacyjny. I wszystko razem (sam wektor OA i jego prognozy OB I system operacyjny) tworzy trójkąt prostokątny OAV. Korzystając z zasad pracy z trójkątem prostokątnym, możemy znaleźć jego boki OB I system operacyjny, czyli rzut wektora promienia OA na osi X I Y:

Zupełnie podobnie można znaleźć zależności dla wektora OE:

Jeśli nie jest jasne, dlaczego tak jest, radzę poszukać w Google informacji o proporcjach w trójkącie prostokątnym. Cóż, teraz wyciągamy dla siebie jeden ważny wniosek - rzut wektora jednostkowego na oś X jest równy cosinusowi kąta między wektorem a osią X, a rzut na oś XY jest sinusem tego kąta.

Teraz zacznijmy obracać się wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z pewną częstotliwością. Cóż, aby końcem rysował okrąg. I jak już się pewnie domyślacie, przy takim obrocie rzut wektora na oś X narysuje funkcję cosinus, a rzut na oś Y funkcję sinus. Oznacza to, że jeśli ten nasz wektor promienia wykonuje na przykład 50 obrotów na sekundę (czyli obraca się z częstotliwością 50 Hz), to oznacza to, że jego rzut na oś X tworzy funkcję

a jego rzut na oś Y rysuje funkcję

Wystarczająco interesujący fakt Moim zdaniem. Ogólnie rzecz biorąc, okrąg trygonometryczny jest ciekawą rzeczą. Polecam poznać go lepiej poprzez wygooglowanie tego tematu. Pozwala dużo lepiej zrozumieć. Rozważyliśmy teraz tylko kilka funkcji, które będą nam potrzebne. Odłóżmy teraz na bok ten fakt i porozmawiajmy bezpośrednio o liczbach zespolonych.

Zatem, panowie, liczba zespolona jest wyrazem postaci

A- Ten ważny część liczby zespolonej z.

B- Ten wyimaginowany część liczby zespolonej z.

Tak naprawdę w poważnych książkach o matematyce liczbę zespoloną definiuje się nieco inaczej, ale my jesteśmy z tej opcji całkiem zadowoleni.

Z naukowego punktu widzenia to jest to algebraiczny forma zapisu liczby zespolonej. Są jeszcze inne, poznamy je nieco później.

A I B- to zwykłe liczby, do których wszyscy jesteśmy przyzwyczajeni. Na przykład 42, 18, -94, 100500, 1,87 i tak dalej. To znaczy absolutnie dowolne. Mogą na przykład istnieć takie zapisy

Numer J– to tzw wyimaginowana jednostka. Często jest oznaczane nie przez j, ale przez i, ale i jest zwykle obecne w elektrotechnice, więc będziemy używać litery j. Co to jest? Formalnie można to zapisać w ten sposób

Trochę nie jest jasne, w jaki sposób może to być pierwiastek liczby ujemnej. Od dzieciństwa wszyscy przyzwyczailiśmy się do tego, że pod korzeniem mamy tylko liczby dodatnie. Ale matematycy wprowadzili taką abstrakcję, która pozwala wydobyć pierwiastek liczby ujemne. I, co dziwne, taka abstrakcja całkiem dobrze pomaga opisać całkiem realne, a wcale nie abstrakcyjne procesy w elektrotechnice.

Oznacza to, że liczba zespolona sama w sobie składa się po prostu z dwóch bardzo zwyczajnych liczb. Tak, to drugie poprzedzone jest jakimś mitycznym j, ale to nie zmienia istoty sprawy.

Poznajmy się teraz Reprezentacja graficzna Liczby zespolone.

Panowie, spójrzcie na rysunek 2. Dokładnie taki pomysł jest tam przedstawiony.

Rysunek 2 - Złożona płaszczyzna

Więc o co dokładnie tu chodzi? Sztuka polega na tym, że bierzemy i rysujemy układ współrzędnych. W nim nazywamy oś X Odnośnie, a oś Y wynosi Jestem. Re jest osią liczb rzeczywistych, orazIm jest osią liczb urojonych. Teraz na osi Odnośnie odkładamy wartość A i na osi Jestem- rozmiar B nasza liczba zespolona z. W rezultacie otrzymujemy punkt na płaszczyźnie zespolonej ze współrzędnymi (A,B). A teraz możemy narysować wektor promienia od początku do tego punktu. W rzeczywistości wektor ten można uznać za liczbę zespoloną.

Ciekawostka: wyobraźmy to sobie B równa się 0. Wtedy okazuje się, że liczba zespolona degeneruje się do najzwyklejszej, „jednowymiarowej”: część urojona po prostu znika. I oczywiście wektor w tym przypadku będzie leżał na osi Odnośnie. Oznacza to, że możemy powiedzieć, że wszystkie liczby, które otaczają nas w życiu codziennym, znajdują się na osi Odnośnie, a liczba zespolona wychodzi poza tę oś, w jakiś sposób poszerzając granice. No cóż, nie wchodźmy w to głębiej.

Zagłębmy się w coś innego. Mianowicie, jak inaczej można przedstawić liczby zespolone. Właśnie doszliśmy do wniosku, że liczba zespolona jest zasadniczo wektorem. I wektor można scharakteryzować długość i kąt nachylenia na przykład do osi X. Rzeczywiście te dwa parametry całkowicie determinują dowolny wektor, pod warunkiem oczywiście, że mamy przestrzeń dwuwymiarową. W przypadku objętości lub jakiejś przestrzeni wielowymiarowej (co za horror) nie jest to prawdą, ale w przypadku przestrzeni dwuwymiarowej jest to prawdą. Wyraźmy to teraz matematycznie. Załóżmy więc teraz, że znamy długość wektora (nazwijmy to | z|) i kąt φ 1 .

Co możemy dowiedzieć się z tej wiedzy? Generalnie całkiem sporo. W rzeczywistości znamy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego i jeden z jego kątów, czyli zgodnie z niektórymi twierdzeniami geometrii trójkąt prostokątny w pełni zdefiniowany. Znajdźmy więc jego nogi A I B:

A teraz, panowie, czy możemy zrobić małą sztuczkę z uszami? Pamiętasz zapis algebraiczny liczby zespolonej? Cóż, ten

Umieśćmy to tutaj A I B, reprezentowane przez sinusy i cosinusy. Dostajemy

Otrzymaliśmy ciekawą wypowiedź. Wyrażenie formy

zwany trygonometryczny forma zapisu liczby zespolonej. Dobrze jeśli znamy długość naszego wektora |z| i jego kąt nachylenia φ 1. Gdy porozmawiamy w elektrotechnice długość wektora nagle zmieni się w amplitudę sygnału, a kąt nachylenia w fazę sygnału. Nawiasem mówiąc, należy pamiętać, że trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej jest nieco zbliżona do koła trygonometrycznego, które narysowaliśmy na początku artykułu. Ale do tego podobieństwa powrócimy nieco później.

Panowie, teraz pozostaje nam zapoznać się z ostatnią formą zapisu liczby zespolonej - orientacyjny. Aby to zrobić, musisz znać tzw Wzór Eulera. Za pozwoleniem nie będę poruszał tematu wyprowadzenia tej formuły i nie będę zastanawiał się, skąd ona się wzięła. To trochę wykracza poza zakres artykułu, a poza tym jest wiele źródeł, w których bez wątpienia opowiedzą Wam o wyprowadzeniu tego wzoru znacznie bardziej profesjonalnie niż ja. Po prostu przedstawimy gotowy efekt. Tak wygląda wzór Eulera

Gdzie mi- Ten wykładnik potęgowy lub, jak to się nazywa, funkcją wykładniczą. Dla matematyków jest to pewna granica, gdy coś dąży do nieskończoności, czyli w uproszczeniu zwykłej liczby

Tak, tylko dwa przecinek siedem.

Porównaj teraz wzór Eulera z zapisem trygonometrycznym liczby zespolonej. Nie zauważasz jakichś ciekawych podobieństw? Krzyżując te dwa wyrażenia, możemy uzyskać dokładnie orientacyjny postać liczb zespolonych:

Co dziwne, ten skomplikowany zapis nie jest tak rzadko używany w elektrotechnice.

Zapoznaliśmy się więc z głównymi opcjami pisania liczb zespolonych. Teraz przejdźmy stopniowo w stronę naszej ulubionej elektrotechniki. Zapiszmy prawo zmiany napięcia cosinus.

Prawo to pisaliśmy już kilkukrotnie, na przykład w pierwszym artykule poświęconym prądowi przemiennemu. To prawda, był sinus, a tutaj cosinus, ale to niczego zasadniczo nie zmienia, po prostu cosinus jest trochę wygodniejszy do wyjaśnienia.

A teraz uwaga, panowie. Bardzo sprytna sekwencja działań.

Po pierwsze, nikt nie zabrania nam brać pod uwagę cosinusa występującego w tym wyrażeniu na okręgu trygonometrycznym, który narysowaliśmy na rysunku 1 na samym początku artykułu. I co? Dlaczego nie? Wyobraźmy sobie, że jakiś wektor Jestem, równa amplitudzie naszego napięcia cosinus, obraca się w prostokątnym układzie współrzędnych z częstotliwością kołową ω . A wtedy, ze względu na okoliczności opisane powyżej, jego rzut na oś X będzie dokładnie zarysował nasze prawo v(t). Wygląda na to, że nie ma jeszcze żadnego haczyka.

Spójrzmy dalej. Na osi X rzut rysuje naszą funkcję czasu, natomiast oś Y nie jest jeszcze w ogóle używana. Aby nie stała bezczynnie - załóżmy, że nie jest to byle jaka ośY, o oś liczb urojonych . Oznacza to, że teraz wprowadzamy tę samą złożoną przestrzeń. W tej przestrzeni podczas obracania wektora Jestem(wektory są zwykle oznaczone literą z kropką lub strzałką u góry), podczas gdy jego rzut na oś X rysuje cosinus, na osi Y narysujemy funkcję sinus. Cała sztuczka polega na tym, że teraz niejako przecinamy okrąg trygonometryczny z płaszczyzną zespoloną. W efekcie otrzymujemy coś takiego jak na rysunku 3 (obrazek można kliknąć).

Rysunek 3 - Reprezentacja naprężeń na płaszczyźnie zespolonej

Co na nim widzimy? Właściwie to o czym przed chwilą rozmawialiśmy. W układzie współrzędnych obraca się wektor o długości równej amplitudzie naszego napięcia, a na osi X (czyli Re) pojawia się prawo cosinusa (całkowicie pokrywa się to z naszym sygnałem v(t)). A na osi Y (czyli Im) pojawia się prawo sinusoidalne. Razem na podstawie powyższego nasz oryginalny sygnał

możemy przedstawić w formie trygonometrycznej lubię to

lub w forma demonstracyjna lubię to

Wyobraźmy sobie teraz, że nie mamy sygnału cosinus, ale sinusoidalny. W jakiś sposób bardziej się do tego przyzwyczailiśmy. Oznacza to, że napięcie zmieni się zgodnie z tym prawem

Przeprowadźmy całe rozumowanie w podobny sposób. Jedyna różnica będzie taka, że teraz nasz sygnał jest „rysowany” na wyimaginowanej osi Im, a oś Re wydaje się nie działać. Ale wprowadzając złożoną przestrzeń, nagle otrzymujemy złożony zapis sygnału ta sprawa dokładnie tak samo jak w przypadku cosinusa. To znaczy dla sygnału

możemy napisać złożoną reprezentację w postaci trygonometrycznej lubię to

lub w forma demonstracyjna lubię to

Okazało się, że złożona reprezentacja przypadku sygnału sinus i cosinus ma tę samą postać. Nawiasem mówiąc, jest to dość oczywiste, jeśli pamiętasz, że gdy wektor obraca się wokół okręgu, zarówno sinus, jak i cosinus pojawiają się jednocześnie na różnych osiach. A sama liczba zespolona opisuje dokładnie ten obracający się wektor, a zatem zawiera informacje zarówno o osi X, jak i Y.

Cofnijmy się teraz i wyobraźmy sobie, że mamy nagranie jakiegoś złożonego sygnału w postaci

Lub na przykład w tej formie

Jak rozumiesz to, co opisuje: sinus czy cosinus? Odpowiedź brzmi nie. Opisuje jedno i drugie jednocześnie. A jeśli mamy cosinus sygnał, to musimy przyjąć ważny część tego złożonego sygnału, i jeśli sinusoidalny - wyimaginowany. To jest dla przypadku cosinusa wygląda to mniej więcej tak:

lub tak

A dla przypadku sinusa To wygląda tak

lub tak

Tutaj Odnośnie() I Jestem()- funkcje obliczające część rzeczywistą lub urojoną liczby zespolonej. Nawiasem mówiąc, są one definiowane w wielu matematycznych systemach CAD i można je bezpośrednio stosować w tej formie. Oznacza to, że przekaż im liczbę zespoloną i otrzymaj na wyjściu część rzeczywistą lub urojoną.

Być może zapytasz: po co tak bardzo komplikować sprawy? Jaka jest z tego korzyść? Jaki jest zysk? Oczywiście jest zysk, ale o tym porozmawiamy nieco później, w kolejnych artykułach. To wszystko na dziś, panowie. Dziękuję za przeczytanie i do widzenia!

Dołączć do naszego

Z listu klienta:
Powiedz mi, na litość boską, dlaczego moc UPS jest podawana w woltoamperach, a nie w zwykłych kilowatach. To bardzo stresujące. W końcu wszyscy od dawna są przyzwyczajeni do kilowatów. Moc wszystkich urządzeń jest podawana głównie w kW.
Aleksiej. 21 czerwca 2007

W Specyfikacja techniczna dowolnego UPS-a wskazana jest moc całkowita [kVA] i moc czynna [kW] - charakteryzują one obciążalność UPS. Przykład, spójrz na zdjęcia poniżej:

Moc nie wszystkich urządzeń jest wskazana w W, na przykład:

Moc transformatorów jest wskazana w VA:
http://www.mstator.ru/products/sonstige/powertransf (Transformatory TP: patrz załącznik)
http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (Transformatory TSGL: patrz załącznik)
Moc kondensatora jest wyrażana w Varach:
http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kondensatory K78-39: patrz załącznik)
http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (kondensatory brytyjskie: patrz dodatek)
Przykłady innych obciążeń znajdują się w załącznikach poniżej.

Charakterystykę mocy obciążenia można precyzyjnie określić za pomocą jednego parametru (moc czynna w W) tylko dla przypadku prąd stały, ponieważ w obwodzie prądu stałego występuje tylko jeden rodzaj rezystancji - aktywny opór.

Charakterystyki mocy obciążenia w przypadku prądu przemiennego nie można dokładnie określić za pomocą jednego parametru, ponieważ są dwa różne rodzaje opór – aktywny i reaktywny. Dlatego tylko dwa parametry: czynna moc i moc bierna dokładnie charakteryzują obciążenie.

Zasady działania rezystancji czynnej i reaktywnej są zupełnie inne. Aktywny opór – nieodwracalnie przemienia energia elektryczna na inne rodzaje energii (cieplna, świetlna itp.) - przykłady: lampa żarowa, grzejnik elektryczny (pkt 39, klasa fizyki 11 V.A. Kasyanov M.: Drop, 2007).

Reaktancja - na przemian gromadzi energię, a następnie oddaje ją z powrotem do sieci - przykłady: kondensator, cewka indukcyjna (pkt 40,41, Fizyka 11. klasa V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Dalej w każdym podręczniku elektrotechniki można przeczytać, że moc czynną (rozpraszaną przez rezystancję czynną) mierzy się w watach, a moc bierną (krążącą poprzez reaktancję) mierzy się w var; Ponadto, aby scharakteryzować moc obciążenia, stosuje się dwa kolejne parametry: moc pozorną i współczynnik mocy. Wszystkie te 4 parametry:

Moc czynna: oznaczenie P, jednostka miary: Wat
Reaktywna moc: Przeznaczenie Q, jednostka miary: VAR(reaktywny wolt-amper)
Moc pozorna: oznaczenie S, jednostka miary: VA(wolt amper)
Współczynnik mocy: symbol k Lub cos, jednostka miary: wielkość bezwymiarowa

Parametry te powiązane są zależnościami: S*S=P*P+Q*Q, cosФ=k=P/S

Również cos zwany współczynnikiem mocy ( Współczynnik mocy – PF)

Dlatego w elektrotechnice dowolne dwa z tych parametrów są określone w celu scharakteryzowania mocy, ponieważ resztę można znaleźć na podstawie tych dwóch.

Na przykład silniki elektryczne, lampy (wyładowcze) - w nich. wskazane dane P[kW] i cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (silniki AIR: patrz dodatek)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 ( Lampy DRL: Zobacz załącznik)
(przykłady danych technicznych dla różnych obciążeń znajdują się w załączniku poniżej)

Podobnie jest z zasilaczami. Ich moc (obciążalność) charakteryzuje się jednym parametrem dla zasilaczy prądu stałego – mocą czynną (W) i dwoma parametrami dla źródeł. Zasilanie sieciowe. Zazwyczaj te dwa parametry to moc pozorna (VA) i moc czynna (W). Zobacz na przykład parametry agregatu prądotwórczego na olej napędowy i UPS.

Większość biur i sprzęt AGD, aktywne (brak lub niewielka reaktancja), dlatego ich moc jest podawana w watach. W takim przypadku przy obliczaniu obciążenia używana jest wartość mocy UPS w watach. Jeśli obciążeniem są komputery z zasilaczami (PSU) bez korekcji wejściowego współczynnika mocy (APFC), drukarka laserowa, lodówka, klimatyzator, silnik elektryczny (na przykład pompa głębinowa lub silnik jako część maszyny), świetlówki balastowe itp. - w obliczeniach uwzględniane są wszystkie wyjścia. Dane UPS: kVA, kW, charakterystyka przeciążeniowa itp.

Zobacz podręczniki elektrotechniki, na przykład:

1. Evdokimov F. E. Podstawy teoretyczne Inżynieria elektryczna. - M.: Ośrodek Wydawniczy „Akademia”, 2004.

2. Niemcow M.V. Elektrotechnika i elektronika. - M.: Ośrodek Wydawniczy „Akademia”, 2007.

3. Chastoedov L. A. Elektrotechnika. - M.: Szkoła Wyższa, 1989.

Zobacz także moc prądu przemiennego, współczynnik mocy, opór elektryczny, reaktancję http://en.wikipedia.org
(tłumaczenie: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Aplikacja

Przykład 1: moc transformatorów i autotransformatorów jest wyrażana w VA (woltoamperach)

http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (transformatory TSGL)

Autotransformatory jednofazowe
TDGC2-0,5 kVa, 2A		AOSN-2-220-82
TDGC2-1,0 kVa, 4A	Latr 1,25	AOSN-4-220-82
TDGC2-2,0 kVa, 8A	szer. 2,5	AOSN-8-220-82
TDGC2-3,0 kVa, 12A
TDGC2-4,0 kVa, 16A
TDGC2-5,0 kVa, 20A		AOSN-20-220
TDGC2-7,0 kVa, 28A
TDGC2-10 kVa, 40A		AOMN-40-220
TDGC2-15 kVa, 60A
TDGC2-20 kVa, 80A

http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (LATR / autotransformatory laboratoryjne TDGC2)

Przykład 2: moc kondensatorów jest wyrażana w VAR (reaktywne woltoampery)

http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (kondensatory K78-39)

http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (kondensatory brytyjskie)

Przykład 3: dane techniczne silników elektrycznych zawierają moc czynną (kW) i cosF

Do obciążeń takich jak silniki elektryczne, lampy (wyładowcze), bloki komputerowe zasilacze, połączone obciążenia itp. - dane techniczne wskazują P [kW] i cosФ (moc czynna i współczynnik mocy) lub S [kVA] i cosФ ( pełna moc i współczynnik mocy).

http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(łączone obciążenie – przecinarka plazmowa stali / przecinarka plazmowa inwertorowa LGK160 (IGBT)

http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (zasilacz komputera PC)

Załącznik 1

Jeśli ładunek ma wysoki współczynnik moc (0,8 ... 1,0), wówczas jego właściwości zbliżają się do właściwości obciążenia czynnego. Takie obciążenie jest idealne zarówno dla linii sieciowej, jak i dla źródeł zasilania, ponieważ nie generuje w systemie prądów i mocy biernych.

Dlatego wiele krajów przyjęło normy regulujące współczynnik mocy sprzętu.

Dodatek 2

Sprzęt zasilany pojedynczym obciążeniem (na przykład zasilacz komputera PC) i wieloelementowy sprzęt kombinowany (na przykład frezarka przemysłowa zawierająca kilka silników, komputer PC, oświetlenie itp.) mają niskie współczynniki mocy (poniżej 0,8) wynoszące jednostki wewnętrzne (na przykład prostownik zasilacza komputera PC lub silnik elektryczny mają współczynnik mocy 0,6 .. 0,8). Dlatego obecnie większość urządzeń ma jednostkę wejściową korekcji współczynnika mocy. W tym przypadku współczynnik mocy wejściowej wynosi 0,9 ... 1,0, co odpowiada standardom regulacyjnym.

Dodatek 3. Ważna uwaga w stosunku do współczynnika mocy UPS i stabilizatorów napięcia

Obciążalność UPS-a i agregatu prądotwórczego jest znormalizowana do standardowego obciążenia przemysłowego (współczynnik mocy 0,8 o charakterze indukcyjnym). Na przykład UPS 100 kVA / 80 kW. Oznacza to, że urządzenie może zasilać obciążenie rezystancyjne maksymalna moc 80 kW lub obciążenie mieszane (bierno-bierne) o maksymalnej mocy 100 kVA i indukcyjnym współczynniku mocy 0,8.

W przypadku stabilizatorów napięcia sytuacja jest inna. W przypadku stabilizatora współczynnik mocy obciążenia jest obojętny. Na przykład stabilizator napięcia 100 kVA. Oznacza to, że urządzenie może zasilać obciążenie czynne o maksymalnej mocy 100 kW lub dowolną inną (czysto czynną, wyłącznie bierną, mieszaną) moc 100 kVA lub 100 kVAr o dowolnym współczynniku mocy o charakterze pojemnościowym lub indukcyjnym. Należy pamiętać, że dotyczy to obciążenia liniowego (bez wyższych prądów harmonicznych). Na wolności zniekształcenia harmoniczne prąd obciążenia (wysokie THD) moc wyjściowa stabilizator maleje.

Dodatek 4

Ilustrujące przykłady czystych obciążeń aktywnych i czysto reaktywnych:

Żarówka o mocy 100 W jest podłączona do sieci prądu przemiennego o napięciu 220 VAC - wszędzie w obwodzie występuje prąd przewodzący (przez przewodniki drutowe i żarnik wolframowy lampy). Charakterystyka obciążenia (lampy): moc S=P~=100 VA=100 W, PF=1 => wszystkie energia elektryczna aktywny, co oznacza, że jest całkowicie pochłaniany przez lampę i zamieniany na energię cieplną i świetlną.
Niepolarny kondensator 7 µF jest podłączony do sieci prądu przemiennego o napięciu 220 VAC - w obwodzie drutu występuje prąd przewodzenia, a wewnątrz kondensatora płynie prąd polaryzacji (przez dielektryk). Charakterystyka obciążenia (kondensatora): moc S=Q~=100 VA=100 VAr, PF=0 => cała moc elektryczna jest bierna, co oznacza, że stale krąży od źródła do obciążenia i z powrotem do obciążenia, itp.

Dodatek 5

Aby wskazać dominującą reaktancję (indukcyjną lub pojemnościową), współczynnikowi mocy przypisuje się znak:

+ (plus)– jeśli reaktancja całkowita jest indukcyjna (przykład: PF=+0,5). Faza prądu jest opóźniona w stosunku do fazy napięcia o kąt Ф.

- (minusem)– jeżeli reaktancja całkowita jest pojemnościowa (przykład: PF=-0,5). Faza prądu przesuwa fazę napięcia o kąt F.

Załącznik 6

Dodatkowe pytania

Pytanie 1:
Dlaczego we wszystkich podręcznikach elektrotechniki przy obliczaniu obwodów prądu przemiennego posługuje się liczbami/wielkościami urojonymi (na przykład moc bierna, reaktancja itp.), które nie istnieją w rzeczywistości?

Odpowiedź:
Tak, wszystkie indywidualne wielkości w otaczającym świecie są rzeczywiste. W tym temperatura, reaktancja itp. Stosowanie liczb urojonych (zespolonych) jest jedynie techniką matematyczną ułatwiającą obliczenia. Wynik obliczeń jest koniecznie liczbą rzeczywistą. Przykład: moc bierna obciążenia (kondensatora) o wartości 20 kVAr jest rzeczywistym przepływem energii, to znaczy rzeczywistymi watami krążącymi w obwodzie źródło-obciążenie. Aby jednak odróżnić te waty od watów nieodwracalnie pochłoniętych przez obciążenie, postanowiono nazwać te „krążące waty” reaktywnymi woltoamperami.

Komentarz:
Wcześniej w fizyce używano tylko pojedynczych wielkości, a przy obliczeniach wszystkie wielkości matematyczne odpowiadały rzeczywistym ilościom otaczającego świata. Na przykład odległość równa się prędkość razy czas (S=v*t). Następnie wraz z rozwojem fizyki, to znaczy w miarę badania bardziej złożonych obiektów (światło, fale, naprzemienne Elektryczność, atom, przestrzeń itp.) coś takiego się pojawiło duża liczba wielkości fizyczneże nie dało się policzyć każdego z osobna. To nie tylko problem obliczenia ręczne, ale także problem kompilacji programów komputerowych. Dla rozwiązań dane zadanie Bliskie pojedyncze wielkości zaczęto łączyć w bardziej złożone (w tym 2 lub więcej pojedynczych wielkości), podlegając znanym w matematyce prawom transformacji. Tak powstały wielkości skalarne (pojedyncze) (temperatura itp.), wielkości wektorowe i zespolone wielkości podwójne (impedancja itp.), potrójne wielkości wektorowe (wektor) pole magnetyczne itp.) oraz wielkości bardziej złożone - macierze i tensory (tensor stałej dielektrycznej, tensor Ricciego itp.). Aby uprościć obliczenia w elektrotechnice, stosuje się następujące urojone (zespolone) wielkości podwójne:

Całkowita rezystancja (impedancja) Z=R+iX
Moc pozorna S=P+iQ
Stała dielektryczna e=e"+ie"
Przenikalność magnetyczna m=m"+im"
itd.

Pytanie 2:

Strona http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power pokazuje S P Q Ф na płaszczyźnie zespolonej, czyli wyimaginowanej/nieistniejącej. Co to wszystko ma wspólnego z rzeczywistością?

Odpowiedź:
Trudno jest przeprowadzić obliczenia na rzeczywistych sinusoidach, dlatego dla uproszczenia obliczeń należy zastosować reprezentację wektorową (zespoloną) jak na rys. wyższy. Nie oznacza to jednak, że S P Q pokazane na rysunku nie mają związku z rzeczywistością. Rzeczywiste wartości S P Q można przedstawić w zwykłej postaci, na podstawie pomiarów sygnałów sinusoidalnych za pomocą oscyloskopu. Wartości S P Q Ф I U w obwodzie prądu przemiennego „obciążenie źródłowe” zależą od obciążenia. Poniżej znajduje się przykład rzeczywistych sygnałów sinusoidalnych S P Q i Ф dla przypadku obciążenia składającego się z rezystancji czynnej i reaktywnej (indukcyjnej) połączonych szeregowo.

Pytanie 3:
Za pomocą konwencjonalnej cęgów prądowych i multimetru zmierzono prąd obciążenia 10 A i napięcie obciążenia 225 V. Mnożymy i otrzymujemy moc obciążenia w W: 10 A · 225 V = 2250 W.

Odpowiedź:
Otrzymałeś (obliczyłeś) całkowitą moc obciążenia 2250 VA. Dlatego twoja odpowiedź będzie ważna tylko wtedy, gdy twoje obciążenie jest czysto rezystancyjne, wtedy rzeczywiście woltamper jest równy watowi. Dla wszystkich innych rodzajów obciążeń (na przykład silnika elektrycznego) - nie. Aby zmierzyć wszystkie cechy dowolnego dowolnego obciążenia, należy użyć analizatora sieci, na przykład APPA137:

Zobacz dalszą lekturę, na przykład:

Evdokimov F. E. Teoretyczne podstawy elektrotechniki. - M.: Ośrodek Wydawniczy „Akademia”, 2004.

Niemcow M.V. Elektrotechnika i elektronika. - M.: Ośrodek Wydawniczy „Akademia”, 2007.

Chastoedov L. A. Elektrotechnika. - M.: Szkoła Wyższa, 1989.

Moc prądu przemiennego, współczynnik mocy, opór elektryczny, reaktancja
http://en.wikipedia.org (tłumaczenie: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Teoria i obliczenia transformatorów małej mocy Yu.N. Starodubtsev / RadioSoft Moskwa 2005 / wersja d25d5r4feb2013

Formuły	Oznaczenie i jednostki miary

Prawo Ohma dla odcinka obwodu prądu stałego
1. Napięcie na odcinku obwodu, V U=IR	I to obecna siła w tej sekcji, A; R - rezystancja odcinka obwodu, Ohm; U jest napięciem w odcinku obwodu, V;
2. Prąd w części obwodu, A I=U/R
3. Rezystancja w odcinku obwodu, Ohm R=U/I
4. Rezystancja przewodu na prąd stały, Ohm R 0 =ρ	ρ - oporność, 10 -6 Ohm∙m; l - długość, m; S - przekrój, mm 2;
5. Zależność rezystancji czynnej przewodnika od temperatury R=R 1 ∙	R, R 1 - odpowiednio rezystancja przewodu w temperaturach t i t 1,0 C, Ohm; α - współczynnik temperaturowy, 1/ 0 C;
6. Ogólny opór obwód elektryczny Na połączenie szeregowe opór R=R 1 +R 2 +R 3 +…+R n	R- całkowity opór obwody, Ohm; R 1 , R 2 , R 3 …R n - rezystancja n rezystorów, Ohm;
7. Rezystancja obwodu dwóch rezystory równoległe R=R 1 ∙R 2 /R 1 +R 2
	C to całkowita pojemność kondensatorów, H; C 1 , C 2 , C 3 ... Cn - pojemność poszczególnych kondensatorów obwodu, Gn;
10. Moc prądu stałego, W P=UI=I 2 R=U 2 /R	I - siła prądu w obwodzie, A; U jest napięciem w obwodzie, V; R - rezystancja, Ohm;
11. Energia obwodu elektrycznego, J W=Pt	P - moc w obwodzie, W; t - czas, s;
12. Efekt cieplny A=0,24∙I 2 ∙R∙t= 0,24∙U∙I∙t	A - ilość wytworzonego ciepła, cal; t - czas przepływu prądu; R - rezystancja, Ohm;
Prawo Ohma dla prądu przemiennego
13. Prąd, A I=U/Z	Ja - prąd, A; U - napięcie, V; Z- impedancja w obwodzie, Ohm; - Reaktywność indukcyjna obwody, Ohm; Z= = X L =ωL – reaktancja indukcyjna obwodu, Ohm X C =1/ωC – reaktancja pojemnościowa obwodu, Ohm ω – częstotliwość kątowa sieci, s -1 ; f - częstotliwość prądu przemiennego, Hz; L - indukcyjność, H; C - pojemność, F;
14. Napięcie, W U=I∙Z
15. Prawo Kirchhoffa dla węzła (I zasada): dla pętli zamkniętej (II zasada): E= =	I i - prądy w poszczególnych gałęziach obwodu zbiegające się w jednym punkcie, A i=(1,2,3,...); E - EMF działający w obwodzie, V; U jest napięciem w odcinku obwodu, V; Z to całkowity opór przekroju, Ohm;
16. Rozkład prądu w dwóch równoległych gałęziach obwodu prądu przemiennego I 1 / I 2 = Z 2 / Z 1	I 1 - prąd pierwszego obwodu, A; I 2 - prąd drugiego obwodu, A; Z 1 - rezystancja pierwszej gałęzi, Ohm; Z 2 - rezystancja drugiej gałęzi, Ohm;
17. Impedancja, om Z=	R - rezystancja czynna, Ohm; X L - reaktancja indukcyjna, Ohm; X C - pojemność, Ohm;
18. Reaktancja reaktywna (indukcyjna), Ohm X L =ωL=2 ∙f∙L	ω - częstotliwość kątowa, rad/s; f - częstotliwość oscylacji, Hz; L - indukcyjność, H; C - pojemność, F; X - całkowita reaktancja, Ohm;
19. Rezystancja bierna (pojemnościowa), Ohm X C =1/ωL= 1/2 ∙f∙L
20. Reaktancja całkowita X= X L - X C
21. Indukcyjność cewki, H, bez rdzenia stalowego: L= 10 -8 z rdzeniem stalowym: L= μ 10 -8	n to liczba zwojów cewki; S to powierzchnia średniego przekroju uzwojenia tworzącego cewkę, cm 2; l - długość cewki, cm; μ - przenikalność magnetyczna materiału rdzenia, Gn/m;
22. Prawo indukcji elektromagnetycznej dla prądu sinusoidalnego E= 4,44∙f∙ω∙B∙S∙10 -4	E - indukowany emf, V; f - częstotliwość, Hz; ω - liczba zwojów uzwojenia; B - indukcja magnetyczna, T; S - przekrój obwodu magnetycznego, cm 2;
23. Elektrodynamiczne oddziaływanie prądu na dwa równoległe przewodniki F=I m 1 ∙ I m 2 ∙ ∙10 -7	F jest siłą działającą na przewodniki, N; Jestem 1, jestem 2 - wartości amplitudy prądy w przewodniki równoległe, A; l - długość przewodu, cm; α - odległość między przewodnikami, cm;
24. Zależności dla obwodu prądu przemiennego: prąd w obwodzie: I= I R =I∙cosω I X =I∙ sinω napięcie w obwodzie: U= U R =U∙ cosω U X =U∙ sinω	Ja - prąd w obwodzie, A; I R - składnik prądu czynnego, A; I X - składnik bierny prądu, A; U jest napięciem w obwodzie, V; U R - aktywny składnik napięcia, V; U X - składowa napięcia biernego, V;
25. Stosunek prądów i napięć w układzie trójfazowym a) połączenie w gwiazdę: I L =I F, U L =1,73∙U F; b) połączenie „trójkątne”: U L = U F, I L =1,73∙I F;	I L - prąd liniowy, A; I Ф - prąd fazowy, A; U L - napięcie liniowe, V; U Ф - napięcie fazowe, V;
26. Współczynnik mocy cos	P - moc bierna, W; S - moc całkowita, V∙A; R - rezystancja czynna, Ohm; Z - całkowity opór, Ohm;
27. Energia mocy i prądu w obwodzie prądu przemiennego a) obwód prądu jednofazowego: P=I∙U∙ cos , Q=I∙U∙sin , S=IU= ; W R =I∙U∙ sałata ∙t; W X = I∙U∙sin ∙t; b) obwód prądu trójfazowego: P= ∙I∙U∙ cos ; Q= ∙I∙U∙sin ; W R = ∙I∙U∙ sałata ∙t; W X = ∙I∙U∙sin ∙t;	Q - moc bierna, var; W R - energia czynna, Wh; W X - energia bierna, var∙h; t - czas przepływu prądu, h; S - moc całkowita, V∙A;
28. Moc bierna kondensatora, Var Q C =U 2 ∙ω∙C=U 2 ∙2П∙f∙C, gdzie kondensator, F C=	I C - prąd płynący przez kondensator, A; U jest napięciem przyłożonym do kondensatora, V;
29. Synchroniczna prędkość obrotowa maszyny elektrycznej, obr/min n=	f - częstotliwość zasilania, Hz; p - liczba par biegunów maszyny;
30. Moment obrotowy maszyny elektrycznej, N∙m M=9,555∙	P - moc, W; n - prędkość obrotowa, obr/min;

Załącznik 13

Obliczanie skomplikowanych obwodów elektrycznych

Złożone obwody elektryczne mogą zawierać kilka zamknięte pętle z dowolnym rozmieszczeniem źródeł energii i odbiorców. Dlatego tak złożonych obwodów nie można sprowadzić do kombinacji połączeń szeregowych i równoległych.

Korzystając z praw Ohma i Kirchhoffa, można znaleźć rozkład prądów i napięć we wszystkich sekcjach dowolnego złożonego obwodu.

Jedną z metod obliczania złożonych obwodów elektrycznych jest metoda superpozycji prądów, której istotą jest to, że prąd w dowolnej gałęzi jest sumą algebraiczną prądów wytwarzanych w niej przez każdy z Obwód EMF osobno. Na ryc. pokazuje obwód zawierający trzy źródła z polem elektromagnetycznym mi 1 , mi 2 , mi 3 i cztery rezystory połączone szeregowo R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Jeśli zaniedbamy rezystancję wewnętrzną źródeł energii, wówczas całkowitą rezystancję obwodu R=R 1 +R 2 +R 3 +R 4 . Załóżmy najpierw, że emf pierwszego źródła mi 1 ≠ 0 oraz drugi i trzeci mi 2 = 0 i mi 3 = 0. Następnie ustalamy mi 2 ≠ 0 oraz mi 1 = 0 i mi 3 = 0. I na koniec zakładamy mi 3 ≠ 0 oraz mi 1 = 0 i mi 2 = 0. W pierwszym przypadku prąd w obwodzie pokrywa się w kierunku z polem elektromagnetycznym mi 1 , jest równy I 1 = mi 1 /R; w drugim przypadku prąd w obwodzie pokrywa się w kierunku z polem elektromagnetycznym mi 2, równa się I 2 = mi 2 /R; w trzecim przypadku prąd jest równy I 3 = mi 3 / R i pokrywa się w kierunku z polem elektromagnetycznym mi 3. Od EMF mi 1 I mi 3 pokrywa się w kierunku w obwodzie, a następnie prądy I 1 I I 3 również pokrywają się i prąd I 2 ma przeciwny kierunek, ponieważ EMF mi 2 skierowany przeciwnie do emf mi 1 I mi 3 . Dlatego prąd w obwodzie jest równy

I = I 1 – I 2 + I 3 = mi 1 / R – mi 2 / R + mi 3 / R =

= (mi 1 – mi 2 + mi 3 ) / (R 1 + R 2 + R 3 ).

Obwód elektryczny z trzema źródłami energii

Kierunek w dowolnej części łańcucha, na przykład między punktami A I B,równa się Uok = IR 4 .

Obliczając złożone obwody, aby określić prądy we wszystkich gałęziach obwodu, należy znać rezystancję gałęzi, a także wartość i kierunek wszystkich pól elektromagnetycznych.

Przed ułożeniem równań zgodnie z prawami Kirchhoffa należy dowolnie wyznaczyć kierunki prądów w gałęziach, pokazując je na schemacie za pomocą strzałek. Jeżeli rzeczywisty kierunek prądu w którejkolwiek gałęzi jest przeciwny do wybranego, to po rozwiązaniu równań prąd ten będzie oznaczony znakiem „-”. Liczba niezbędnych równań jest równa liczbie nieznanych prądów, a liczba równań skompilowanych zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa musi być o jeden mniejsza niż liczba węzłów w obwodzie; pozostałe równania są kompilowane zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa i najwięcej proste kontury i tak, aby każdy z nich zawierał przynajmniej jedną gałąź, która nie została uwzględniona w zestawionych wcześniej równaniach.

Rozważmy obliczenia złożonego obwodu za pomocą równań zgodnych z prawami Kirchhoffa na przykładzie dwóch równolegle połączonych źródeł zamkniętych dla rezystancji. Niech emf źródeł mi 1 = mi 2 =120B, oni rezystancje wewnętrzne R 1 = 3 omy i R 2 = 6 omów, rezystancja obciążenia R= 18 omów.

Ponieważ liczba nieznanych prądów wynosi 3, konieczne jest utworzenie trzech równań. W przypadku dwóch punktów węzłowych wymagane jest jedno równanie węzłowe zgodnie z pierwszą zasadą Kirchhoffa: I = I 1 + I 2 . Drugie równanie zapisujemy obchodząc obwód składający się z pierwszego źródła i rezystancji obciążenia: mi 1 = I 1 R 1 + IR. Zapiszmy trzecie równanie podobnie: mi 2 = I 2 R 2 + IR. Zastępowanie wartości liczbowe, otrzymujemy 120 V = 3 I 1 + 18I i 120 V = 6 I 2 + 18I. Ponieważ mi 1 – mi 2 = I 1 R 1 – I 2 R 2 = 3I 1 – 6I 2 = 0, zatem I 1 = 2I 2 I I = 3I 2 . Podstawienie tych wartości do wyrażenia emf mi 1 , otrzymujemy 120 =

2I 2 × 3 + 18 × 3I 2 = 60I 2 , Gdzie I 2 = 120 / 60 = 2A, I 1 = 2I 2 = 4A, I = I 1 ++ I 2 = 6A.

W złożonych obwodach elektrycznych z dwoma węzłami A I B i składających się z kilku równolegle połączonych źródeł energii działających na wspólnym odbiorniku, wygodnie jest zastosować metodę napięcia węzłowego. Po wyznaczeniu potencjałów w punktach węzłowych φa – φb napięcie pomiędzy tymi punktami U można wyrazić różnicą tych potencjałów, tj.

U = φa – φb.

A B

Schemat obliczania złożonego obwodu elektrycznego:

a – metodą naprężeń węzłowych;

b – metodą prądu pętlowego

Biorąc dodatni kierunek pola elektromagnetycznego i prądów w gałęziach z węzła, A do węzła B dla każdej z gałęzi możemy zapisać następujące równości: I 1 = (φa – φb – mi 1 )/

/ R 1 = (U – mi 1 )G 1 ; I 2 = (φa – φb – mi 2 ) / R 2 = (U – mi 2 )G 2 ; I 3 = (φa – φb – mi 3 ) / / R 3 = (U – mi 3 )G 3; I= (φa – φb) / R = Ug .

Opierając się na pierwszym prawie Kirchhoffa dla punktu węzłowego, który mamy I 1 + I 2 + + I 3 +I= 0. Zastąp bieżące wartości tą sumą i znajdź

(U – mi 1 )G 1 + (U + mi 2 )G 2 + (U – mi 3 )G 3 + Ug = 0,

U = (mi 1 G 1 – mi 2 G 2 + mi 3 G 3 ) / (G 1 + G 2 + G 3 + G) =

= ΣNp / Σg,

te. napięcie węzłowe jest równe sumie algebraicznej produktów emf i przewodności wszystkich równoległych gałęzi podzielonej przez sumę przewodności wszystkich gałęzi. Obliczając napięcie węzłowe za pomocą tego wzoru i używając wyrażeń na wiązania w gałęziach, łatwo jest wyznaczyć te prądy.

Aby określić prądy w złożonych obwodach zawierających kilka węzłów i emf, stosuje się metodę prądu pętlowego. Dzięki temu można zmniejszyć liczbę równań do rozwiązania. Zakłada się, że w gałęziach wchodzących w skład dwóch sąsiednich obwodów płyną dwa prądy obwodu, z których pierwszy reprezentuje prąd jednego z sąsiednich obwodów, a drugi - prąd drugiego obwodu. Rzeczywisty prąd w rozważanym odcinku obwodu jest określony przez sumę lub różnicę tych dwóch prądów, w zależności od wzajemnego względnego kierunku.

Stosując metodę prądu pętli, równania sporządza się na podstawie sumy rezystancji wchodzących w skład danej pętli i sumy rezystancji wchodzących w skład gałęzi wspólnej dla sąsiednich pętli. Pierwsza suma jest umownie oznaczona na przykład podwójnym indeksem R 11 , R 22 itp., a drugi - indeks zawierający numery obwodów, dla których na przykład ten odcinek obwodu jest wspólny R 12 , R 13 itp.