Введение в динамическое программирование.

Динамическим программированием называется метод оптимизации, в котором процесс принятия решения может быть разбит на шаги . Каждый шаг переводит объект управления из состояния в состояние посредством управления . Если общее количество шагов равно , то можно говорить о последовательности состояний системы, которую она принимает в результате воздействия различных управлений Целевая функция системы зависит от начального состояния и управления

Предполагается, что состояние системы в конце -того шага зависит только от предшествующего состояния и управления на -том шаге . Тогда уравнение состояния системы имеет вид

Если считать целевую функцию аддитивной от показателя эффективности каждого шага, то на шаге и целевая функция имеет вид

Решением задачи динамического программирования является определение такого управления , которое переводит систему из состояния в состояние при наибольшем (наименьшем) значении .

Для решения задачи динамического программирования был сформулирован так называемый принцип оптимальности. Его смысл которого сводится к следующему: каково бы ни было состояние системы в результате выполнения какого-либо числа шагов, управление на ближайшем шаге нужно выбирать так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к максимальному выигрышу на всех оставшихся шагах включая данный.

Рассмотрим последний шаг . Состояние системы к началу шага , управление, а - целевая функция. Согласно принципу оптимальности управление нужно выбирать так, чтобы для любого состояния получался условный максимум целевой функции

Решение , при котором достигается называется условным оптимальным управлением на шаге . Условный максимум целевой функции отыскивается для всех возможных состояний системы на последнем шаге. Далее рассматривается совместно последний и предпоследний шаг. Целевая функция в этом случае имеет вид

Отыскивается условное оптимальное управление на двух последних шагах для всех возможных состояний системы на предпоследнем шаге

Состояние системы при известном управлении определяется как , в связи с чем целевая функция зависит только от состояния на предыдущем шаге и текущего управления. Далее рассматривается три, четыре и т.д. последних шага. В общем случае для шага получается уравнение Белмана, впервые разработавшего метод динамического программирования.

В результате условной оптимизации могут быть получены последовательности значений критериальной функции и условных управлений

Решение задачи динамического программирования получается в результате подстановки конкретного значения в выражение для решения на первом шаге и . Далее определяется состояние первого шага

и так далее для всех шагов. Оптимальное решение задачи получается при последовательном расчете оптимальных решений и и новых состояний .

При практической реализации метода динамического программирования на ЭВМ возникает ряд трудностей, связанных, в частности, со способами описания состояния объекта управления. Как правило, рассматривается конечное число состояний объекта управления на каждом шаге. Тем не менее, наибольший интерес представляет случай отыскания оптимального состояния объекта из бесконечного числа возможных состояний, например, методом математического программирования. В доступной литературе такие материалы отсутствуют, кроме того, не имеется сведений о программной реализации метода динамического программирования, хотя потребность в решении таких задач в достаточно велика. Из сказанного следует, что доведение методов динамического программирования до практического использования представляет собой актуальную и важную задачу исследования.

Для развития трех торговых предприятий выделено 4 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданное значением нелинейной функции? k (x k). Требуется составить оптимальный план распределения капитальных вложений между предприятиями. Предполагается, что распределение денежных средств проводится в целых числах x k , x k = 0, 1, 2, 3, 4.

Исходные данные.

Используя метод динамического программирования, решаем задачу с помощью сервиса распределение денежных средств .

I этап. Условная оптимизация.

1-ый шаг. k = 3.

2-ый шаг. k = 2.

3-ый шаг. k = 1.

Поясним построение таблиц и последовательность проведения расчетов.

Столбцы 1, 2 и 3 для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими. Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 3-го шага столбцы 5 и 6 отсутствуют).

В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.

Этап II. Безусловная оптимизация.

Из таблицы 3-го шага имеем F* 3 (e 0 = 4) = 7.6. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e 0 = 4 равен 7.6 млн. руб.

Из этой же таблицы получаем, что первому торговому предприятию следует выделить u* 1 (e 0 = 4) = 1

Из таблицы 2-го шага имеем F* 2 (e 1 = 3) = 4.5. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e 1 = 3 равен 4.5 млн. руб.

Из этой же таблицы получаем, что второму торговому предприятию следует выделить u* 2 (e 1 = 3) = 2

При этом остаток средств составит:

Последнему торговому предприятию достается 1 млн. руб..

Таким образом, применив метод динамического программирования, мы нашли, что капитальные вложения в размере 4 млн. руб. необходимо распределить следующим образом:

1-му торговому предприятию выделить 1;

2-му торговому предприятию выделить 2;

3-му торговому предприятию выделить 1;

Что обеспечит максимальный доход, равный 7.6 млн. руб.

К вопросу об экономике и управлении

Экономика – динамическая социальная система, образуемая совокупностью отношений отдельных личностей, к окружающему, в том числе, к себе подобным, определяющая и обеспечивающая использование, производство и потребление различных благ, необходимых для существования и жизнедеятельности отдельной личности и всего социума. (определение используемое в социально-личностной парадигме)

Экономика вторична по отношению к человеческой личности и социуму, и отражает один из способов существования индивидов, обладающих способностью и возможностью к творчеству (не путать с Творением), как преобразованию окружающего в направлении достижения комфортности существования, и развития (или деградации) себя и окружающих.
В основе экономики и экономических отношений лежит человеческая личность, и её направленная жизнедеятельность, со всем присущим ей набором атрибутов и признаков, делающих её таковой, какая она есть. Именно материально-экономические отношения с окружающим и между людьми, реализуемые в социуме, и составляют основу процесса, обеспечивающего существование социума (исходную для жизнедеятельности вида человека, как просто рассуждающего, так и разумного).
С другой стороны, экономические, как и все остальные отношения являются результатом предыдущего социального опыта передаваемого от поколения к поколению (если опыт утрачивается, то происходит социально-личностная деградация, проявляющаяся в борьбе друг с другом за возможности существования, что путем «свободной конкуренции», что путем прямого насилия).
В основе экономических отношений лежит целеполагающее начало, как совокупность личностной сущности и сущности общественной (накопленного социального опыта, воспринимаемого и передаваемого под определенным «углом зрения») в их направленности на развитие или деградацию.
Само же целеполагающее начало – есть проявление природных закономерностей в текущей реальности и степени их понимания людьми на данном этапе существования.
Реализация направленности в сторону развития личности, не возможна, без обеспечения существования на уровне, позволяющем «освободить» некоторое личное время от постоянного поиска «хлеба насущного», «крыши над головой», «обустройства быта». Свободное время необходимо не только для восстановления жизненных сил, но и чтобы использовать его для осмысления окружающего (накопления нового опыта) и личностной гармонизации (как для обеспечения физического и психического здоровья, так и заботы о следующих поколениях).

Условия (граничные) необходимые для существования, вытекают и задаются животным началом человека, формируя определенный круг потребностей индивида, как некоторую данность, необходимую для его существования и жизнедеятельности в реальных окружающих условиях.
Они, закономерно, меняются по мере становления и развития личности, в том числе, её эмоционального и физического планов (если ограничиваться индивидом, а не социально развитой личностью). Наличие интеллектуального плана делает животное умным, но не доставляет разумности. Разумность – это социальное начало, закладываемое определенным воспитанием и образованием, как передачей осмысленного (что, правда, не всегда имеет место) опыта предыдущих поколений, а его адекватности реальности.

Сфера экономических отношений оперирует, главным образом, материальными объектами, доступными человеку для их преобразования и/или использования в целях обеспечения собственного существования, как напрямую, так и опосредованно через существующий социум.
Экономические, как и любые другие отношения и взаимосвязи, возникают на основании личных потребностей.
Изначально - это отражение животного начала в человеке (потребности для поддержания организма в дееспособном состоянии).
При определенном уровне социально-личностного развития они также являются проявлением творческого (разумного) начала, как социальной составляющей личности (определенного способа мышления и осознавания), обеспечивающей ей возможность достижения направленного развития в своем существовании (в том числе, посредством экономической деятельности).
Таким образом, отдельная личность выступает и как объект, наделенный заданными потребностями для существования, и как субъект, реализующий потребность творчества через жизнедеятельность в данной сфере отношений.
Следовательно, субъектно-объектные и субъектно-субъектные отношения составляют основу отношений экономических, выделяя их из всей совокупности социальных отношений, по признаку материального (физического) обеспечения существования индивида, в первую очередь.

Из сказанного вытекает, что целью и направленностью, таких отношений, является удовлетворение потребностей индивида, обеспечивая ему сносное или комфортное существование в окружающей среде. Данное существование обеспечивается как, исходя из ресурсов окружающей среды, так и собственными усилиями индивида, самостоятельно или во взаимодействии с остальным социумом. Возможно также, использование результатов усилий социума для удовлетворения личных потребностей, без собственного участия в получении этих результатов.
Поэтому, основной вопрос любых экономических отношений – это вопрос меры личных усилий и их результатов, и личностно потребляемых результатов усилий всего социума .
Именно совокупность сложившихся («установленных») мер говорит об устойчивости или неустойчивости экономики, как системы, и указывает на места приложения сил и их направленность. Выводом, который может быть получен из анализа мер (имеющих место или вытекающих из текущего социального целеполагания) является как текущее состояние экономики, так и возможность её дальнейшего развития, податливость к внешнему разрушению или склонность к саморазрушению, и какие другие социальные процессы, при этом, могут быть затронуты. Такой подход позволяет моделировать решения (на уровне макроуправления) в их развитии и, основываясь на возможных результатах, не допускать нежелательных тенденций в общественной жизни (не дожидаясь их явных проявлений) путем отказа от ошибочных решений.
Критерием, как нижней границей, «правильности» протекания процессов в экономических отношениях в текущих условиях, является личное удовлетворение на уровне физических (имеющих инстинктивную основу) потребностей организма, отражающих животное начало человека, всеми членами конкретного социума. Что отражает соответствие природной заданности, обуславливающей существования животного мира.
Критерий (точнее совокупность критериев), отражающий верхнюю границу(ы), определяется уровнем личностного развития человека, который, в данной системе отношений, может полностью использовать собственные возможности (таланты, умения, знания) с пользой для социума и себя лично. Реализация социальной функции личности в направлении деградации социума, указывает на разбалансировку системы в сторону её разрушения, с деградацией и в неё входящих элементов, т.е. в конечном итоге - к исчезновению вида человека разумного.
В этом отношении ролевая функция системы имеющихся отношений и её изменение является определяющей, а собственно личность её реализующая подчиненной. Неадекватность (мера несоответствия) личности и функциональной социальной роли, «диктуемой» системой, может носить как позитивный, так и негативный характер – в этом и проявляется роль личности в истории.
При общей позитивности текущего социального устройства, несоответствие обычно несет негатив, в противном случае, оно является позитивным фактором (несущим элемент управляющего начала, заложенного в активной составляющей личностной жизнедеятельности, к дополнительному преобразованию в позитивном направлении)
При общей негативности текущего социального устройства, несоответствие может быть позитивным (обусловленным позитивностью личностного начала, если его реализация в принципе возможна), в противном случае, оно является усугубляющим негативным фактором (несущим элемент управляющего начала, заложенного в активной составляющей личностной жизнедеятельности, к ещё большей ущербности в сторону дальнейшей деградации системы, если, конечно – это не природно-заданный социальный цикл, ведущий к качественному переустройству, в частности и изъятию, данного социума в рамках глобальной последовательности существования)

Исходя из вышесказанного, говоря об управлении, необходимо сразу зафиксировать, что управление - всегда динамический процесс, что и отличает управление по существу от простого исполнения той или иной команды, реализация которой отражает один из шагов (циклов) в управляемом процессе. Если эти шаги не связаны некоторым общим управляющим алгоритмом (включены в него) то управление носит прерывистый (возможно, даже хаотичный, инстинктивный) характер и, по сути, управлением не является, представляя из себя «болтание жести по ветру».

Управление экономикой лежит в физическом плане существования и связано с взаимодействием объектов и личностное участие в этом взаимодействии в меру возможного и допустимого. Сочетание возможного и допустимого формирует некоторую последовательность (как «коридор») управления, в соответствие с текущим целеполагающим началом управляющего субъекта, находящегося в определенных отношениях и взаимосвязях, как с объектами управления, так и с субъектами активной деятельности по реализации общего алгоритма управления.
Возможности физического плана дополняются субъектными возможностями, обусловленными мотивационным началом в деятельности субъектов, реализующих управленческое решение.
Таким образом, преобразующее (управленческое, творческое) начало – как субъектно-социальное, принадлежит эмоциональному плану существования.
В таком случае, весь процесс управления опирается на знание, понимание и предвидение развития природных (главным образом, физических) процессов, обуславливающих суть происходящих изменений с объектами, и такое же понимание субъективной составляющей, используемых движущих сил, для их активного участия в объективных процессах с пользой для социума и личности в глобальной перспективе (которая и определяет критерии нахождения «границ коридора», на его соответствие выбранному, на основе целеполагания, вектору жизнедеятельности).
Динамика управления достигается использованием сослагательного подхода к анализу происходящего и его увязки с обозначенным коридором – и заключается в ответах на совокупность возможных (или невозможных) - а если?
(что, в частности, отражает и метод познания, в том числе исторический – «история, как данность не имеет сослагательного наклонения», но метод исторического анализа вполне может быть "сослагателен" – поиск алгоритма социально-личностного понимания общего, природно-социального, функционала задающего историческую данность).
Именно набор полученных ответов и позволяет вводить коррекцию на каждом шаге (цикле) последовательности управления (и познания), удерживая процесс в изначально обозначенном коридоре.
Динамичность управления отражает интеллектуальный план существования и используемые осознанные (в отличие от «метода тыка» - прерогативы эмоционального плана) методы познания происходящего.
«Заключительным аккордом» управления является предвидение – постановка вопроса - а вдруг?
Которое не базируется на текущей логике понимания разворачивающихся процессов, но отражает «пришедшую на ум» возможность в происходящем (обычно трактуемую, как случайную, но именно в силу личностного непонимания, а не как отражение объективно развивающегося природного процесса). Ответы на этот вопрос «лежат» в духовном плане, заключающем в себе общий функционал личностного (и социального) развития. При определенной личностной грамотности в его использовании, появляется возможность получать ответы из области априорного (интуитивного) «знания» того, что не только уже имеет место, но и грядущего на уровне субъективных возможностей (откуда и «судьба хранит», правда лишь тех, кому этот канал доступен в должной мере, чтобы быть значимым для конкретной личности).

Отсюда вытекает, что в любой социальной системе существует оптимальное (в общем, меняющееся со временем) соотношение элементов (конкретных личностей) и занимаемого ими местоположения в системе (обуславливая реализацию функциональных социальных ролей).
Образующаяся система социально-личностных отношений (в частности экономических) и является основным объектом управления, как «стихийным», так и разумным образом.

В течение 50-х годов XX века американский математик Р. Беллман и ряд его сотрудников развили новый общий метод решения вариационных задач, названный или динамическим программированием. Этот метод пригоден для оптимизации любых сложных систем, описываемых не только дифференциальными уравнениями с ограничениями на переменной, или без них, но и другим математическим аппаратом, включая различные статические системы, СМО и экономические системы.

МДП по своей идее значительно отличается от классического вариационного исчисления и принципа максимума Понтрягина. Методика решения последними двумя способами заключается в том, что оптимальная траектория считается уже каким то образом найденной известной. Затем вся эта оптимальная траектория варьируется целиком, в целом их множества проварьируемых траекторий находится оптимальная.

В МДП принят иной путь нахождения оптимальной траекторий, который заключается в том, что оптимальная траектория и соответствующая ей уравнение ищутся на отдельных участках или ступенях. Иными словами, проще разбиваются на несколько ступеней, на каждой стоится множество траекторий и соответствующих им управлений. Теперь казалось бы достаточно перебрать все траектории, и выбрать оптимальную, но это нерациональный титанический труд. Создатели МДП пошли другим путем – на каждой стадии они выбирают оптимальную и отбрасывают неоптимальные, бесперспективные участки траекторий (на отдельной стадии для участка это сделать много легче, чем для траектории в целом). При этом оказывается, что отбрасывается не только не оптимальный кусочек траектории на этой стадии, но и вся траектория в целом, которые в своем составе имеют неперспективный кусочек на рассматриваемой стадии. Выбор оптимальной траектории при этом ставится намного легче и короче.

Для подтверждения сказанного рассмотрим статическую задачу по выбору оптимальной траектории.

Пример .

Пусть между пунктами и следует проложить железную дорогу или шоссейную минимальной стоимости. Рельеф местности очень сложный и предварительные изыскания показали, что если дорогу проложить по прямой , её стоимость будет очень высокой. Геодезисты и экономисты рассмотрели отдельные сравнительно простые для строительства участки между и и определили стоимость строительства этих участков. Стоимость строительства дороги будет суммой стоимости строительства этих участках. Данную задачу можно решить перебором всех возможных траекторий между и и выбрать самую дешевую. Однако этот путь практически необозрим. По этому найдем по пути МДП. Разобьем весь район строительства на стадии, из которых до начальной или конечной точек можно попасть за одинаковое количество шагов. В МДП решение начинается с конца и хотя в нашем случае начало и конец неразличимы, по традиции МДП решение начинается с конца . Рассмотрим переход стадии к точке . Причем нас совершено не интересует предыстория движения, т.е. каким образом мы попали на стадию , но уже если попали в точку или , то попасть в точку мы можем за один шаг с затратами 8 из точки или 9 из точки . Эти затраты и ставим в соответствующие кружочки. Других траекторий из стадии в точку нет.

Сдвинемся еще на шаг назад на стадию и проанализируем траектории, по которым а точку можно попасть за два шага из точки до стадии можно попасть единственным образом , а в точку за два шага можно попасть по единственной траектории и стоимость это го участка 8 денежных единиц. А из точки до стадии можно попасть единственным образом и стоимость этого участка 25 д. ед. А из точки до стадии можно попасть двумя путями (стоимость 10 д.ед.) и (стоимость 11 д.ед.). И здесь на стадии (а не на всей траектории) очень легко выбрать оптимальный путь () и отвергнуть бесперспективный (). При этом отвергается не только бесперспективный путь , но и все траектории, исходящие из точки и включающие участок к . В кружочек поставим наименьшую стоимость пути д.ед.

Продолжая понятное движение и отсекая неперспективные траектории, доходим до точки , из которой до стадии два пути и , отсекая неоптимальный путь , выбираем наилучший , стоимостью в 4 д.ед.

Теперь двигаемся из точки по не отвергнутым траекториям, мы выбираем оптимальный путь , стоимостью д.ед.

Понятно, что отвергая неперспективные маленькие участки между стадиями, мы тем самым, не проделывая непосредственно этого, отвергаем все неоптимальные траектории, включающие в себя этот отвергнутый участок т.е. эффективность выбора оптимальной траектории очень высока.

Обратимся теперь к шестой типовой задаче управления, т.е. к динамической задаче в которой объект управления характеризуется уравнением .

Причем -вектор координат состояния

- вектор управления

Пусть и требуется минимизировать интеграл

В основе МДП лежит принцип оптимальности. Этот принцип сформулирован Р. Беллманом для широкого круга систем, будущее поведение которых полностью определяется их состоянием в настоящем. Поэтому оно не зависит от характера их «предыстории», т.е. поведение системы в прошлом, коль скоро система находится в данный момент в данном состоянии. Для иллюстрации рассмотрим оптимальную траекторию в мерном фазовом пространстве с начальным и конечным значением вектора , равным при и при .

Пусть начальное условие заданы, значение , вообще говоря, не известно.

Отметим какую-либо промежуточную точку , траектории, соответствующую ,где и назовем участок траектории от до первым, а от до - вторым.

Второму участку соответствует часть интеграла (1), равная

Второй участок траектории может рассматриваться и как самостоятельная траектория. Она будет оптимальной, если соответствующий ей интеграл минимален. Принцип оптимальности можно сформулировать так:

Это означает, что в том случае, когда начальное состояние системы есть , а начальный момент времени , то не зависимо от того, каким образом пришла система к этому состоянию. Ее оптимальным последующим движением будет траектория 2. Действительно допустим противное – тогда критерий (1), рассматриваемый для интервала времени от до , будет наименьшим не для траектории 2, а для какой-либо иной траектории , исходящей из точки и показанной пунктиром на рис.2. Но в этом случае можно было бы построить «лучшую» траекторию, чем траектория 1-2, и для первоначальной задачи, нужно лишь выбрать управление таким, чтобы описываемая траектория 1, а затем . Между тем мы исходим из того, что траектория 1-2 оптимальна. Противоречие доказывает невозможность существования траектории , обеспечивающее меньшее значение, чем траектория 2. И так траектория 2 оптимальна.

Сформулированный выше принцип оптимальности является весьма общим необходимым условием оптимального процесса, справедливым как для непрерывных, так и для дискретных систем.

Принцип оптимальности выглядит почти тривиальным и, на первый взгляд бедным по содержанию утверждением. Однако из него можно, как показывал Беллман, методически рассуждая вывести необходимое условие для оптимальной траектории, имеющее отнюдь не тривиальный характер. В сущности, принцип оптимальности не так уж тривиален, как может в начале показаться. Это видно хотя бы из того, что утверждение, кажущееся его обобщением: «Любой участок оптимальной траектории является оптимальной траекторией» - вообще говоря, не справедливо. Так, например, первый участок траектории на рис.2 может сам по себе не быть оптимальной траекторией, т.е. не давать минимум интегралу , если заданы только лишь начальные условия .

Поясним это утверждение элементарной иллюстрацией. Как распределяет свой силы хороший бегун при беге на длинную дистанцию? Действует ли он по принципу: Беги на каждом отрезке на столько быстро, на сколько сможешь? Конечно нет, ведь, бегун может «выдохнуться» за долго до подхода к цели. Разумно распределяя свои ресурсы в соответствии с конечной целью, бегун в начале экономит свои силы, чтобы не «выдохнуться» в конце дистанции. Аналогичным образом любое управлением не должно быть «близоруким», не должно руководствоваться лишь достижением наилучшего моментального, локального эффекта. Оно должно быть «дальновидным», оно должно быть подчинено конечной цели, т.е. минимизации функционала (1) на всем интервале от до . Только в том случае, когда задана конечная точка первого участка при , первый участок также сам по себе является оптимальной траекторией.

Можно дать и другую формулировку принципа оптимальности:

Эквивалентность этой и предыдущей формулировок очевидно, если понимать под «предысторией» системы ту траекторию 1, по которой изображающая точка пришла в положение (рис.2). Под состоянием системы в рассматриваемый момент времени понимается в данном случае именно то состояние, соответствующее точке при .

Поясним метод рассуждения Беллмана на простом принципе управляемого объекта с управлением

.

Где – единственная координата системы:

Единственное управляемое воздействие, ограниченное некоторой областью .

Пусть задано начальное условие . Допустим, что требуется найти закон управления минимальный интеграл

где для удобства за примем время равное нулю, т.е. ; значение будем для простоты считать фиксированным.

Прежде всего дискретизируем задачу, т.е. приближено значением непрерывную систему дискретно-непрерывной. Основания для этого следующее: во первых, дискретизация является неизбежным этапом подготовки задачи для ее решения на ЭВМ.

Во вторых, методику рассуждений проще пояснить на примере дискретно – непрерывной системы. Вообще говоря, основная сфера применения метода динамического программирования лежит в области дискретно-непрерывных либо чисто дискретных систем, либо систем, приближению к ним приводимых.

Разобьем интервал на равных участков малой длины и будем рассматривать лишь дискретные значения и в моменты времени . Тогда дифференциальное уравнение (27) объекта можно приближенно заменить уравнением в конечных разностях

Начальное условие остается прежним

Интервал (28) приближенно заменяется суммой

Задача теперь состоит в определении последовательности дискретных значений управляющего воздействия , т.е. величины , минимизирующих сумму (32) при условиях (4), (30) и (31), наложенных на систему таким образом, требуется найти минимум сложной функции многих переменных. Однако МДП дает возможность свести эту операцию к последовательности минимизаций значительно более простых функций одного переменного.

Для решения задачи применяется прием, заключающийся в «понятном» движении о конца процесса, т.е. от момента , к его началу. Допустим сначала, что рассматривается момент . Все значения , кроме последнего , уже каким то образом были осуществлены, причем получено некоторое значение , соответствующие моменту . Согласно принципу оптимальности воздействие не зависит от «предыстории» системы и определяется лишь состоянием и целью управления.

Рассмотрим последний участок траектории от до . Величина влияет лишь на те члены суммы (32), которые относятся к этому участку.

Обозначим сумму этих членов через .

из (30) получаем

Следовательно, так же зависит от . Найдем допустимое значение , удовлетворяющее (4) и минимизирующее величину . Обозначим найденное минимальное значение через . Эта величина очевидно зависит от состояния системы при т.е. от значения , входящее в (33) и (34). И так

Обратим внимание на то, что для определения нужно проводить минимизацию только по одному переменному простого выражения (33)(вместо минимизации по многим переменным ) сложного выражения (32), выполнив этот процесс, получим в виде функций от ; эту функцию следует запомнить, например, в каком либо запоминающем устройстве при вычислении на ЭВМ) при переходе к последующим стадиям решения.