Чему равно оптимальное значение целевой функции. Оптимальное значение целевой функции называется
Действие системы, ее поведение характеризуются не только установлением факта достижения цели, но и степенью ее достижения, определяемой с помощью целевой функции.
Целевая функция – есть обобщенный показатель системы, который характеризует степень достижения системой ее цели. Составление целевой функции одна из важнейших задач при проектировании системы. Однако нет общей теории построения целевых функций, есть только некоторые рекомендации.
Целевая функция составляется по указаниям ТЗ о критерии оптимизации путем анализа внешних параметров системы и ограничений на них.
Целевая функция должна существенно зависеть от внешних параметров или части их. В противном случае оптимизация по данной целевой функции не имеет смысла. Целевая функция представляет вектор в m -мерном пространстве внешних параметров системы
Обычно целевая функция задается в скалярном виде.
Используются следующие четыре формы целевой функции.
1. Наиболее часто используется целевая функция одного внешнего параметра
В этом случае целевая функция просто равна одному из внешних параметров или его обратной величине
Все остальные (m – 1) внешних параметров переводятся в систему ограничений.
Физический смысл целевой функции приведенных видов заключается в том, что чем больше (или меньше) параметр y i , тем лучше при прочих равных условиях данная система, причем равенство прочих условий понимается в смысле ограничений на остальные внешние параметры. Типичные задачи с приведенной формой целевой функции: оптимизация системы по надежности (y = P (t )), помехоустойчивости, стоимости и другим внешним параметрам. Такая целевая функция имеет ясный физический (технический или экономический) смысл, объективно характеризует систему и поэтому часто используется. То есть в этом случае целевой функцией является внешний параметр системы. Он и называется целевой функцией системы. Это могут быть: точность, быстродействие, время, стоимость, надежность, масса, габариты, какой-то технологический показатель и т.п.
2. Вторая форма целевой функции – это сумма параметров одной размерности или сумма функций от этих параметров
Такая форма характерна при оптимизации по экономическим критериям, по критериям сложности и т.п.
Например, при минимизации годовых приведенных затрат на систему целевая функция представляет собой сумму двух внешних параметров: годовых эксплуатационных расходов и капитальных затрат, отнесенных к сроку окупаемости системы. В этом случае каждый из этих внешних параметров системы является сложной функцией ее внутренних (подлежащих нахождению) параметров.
Целевые функции задач оптимизации по критерию сложности также имеют вторую форму, т.к. они представляются в виде суммы сложностей отдельных подсистем или блоков системы.
3. Третья форма целевой функции – ранжированная форма – представляет собой упорядоченную совокупность целевых функций первой формы с приоритетами
Первая целевая функция наиболее важная, последняя целевая функция наименее важная.
В частном случае целевая функция этого вида записывается так:
Пример ранжирования – это (например) такая последовательность целевых функций: точность, надежность, стоимость. Смысл целевой функции третьей формы состоит в следующем. Самым главным – первым по рангу – признается некоторый i -й параметр системы – y i (например, точность). Если у некоторой системы этот i -ый параметр больше, чем у всех других систем, то независимо от значений других параметров (если только они удовлетворяют ограничениям) данная система считается лучшей. Затем по второму параметру и т.д.
Процедура оптимизации в этом случае, как правило, является многошаговой. Такая оптимизация часто неосознанно применяется в технических системах. Сначала выбирают систему лучшую по точности, при одинаковой точности нескольких систем – более надежную, а затем – более дешевую. На каждом шаге при оптимизации используется только один критерий, что не противоречит концепции системного подхода (оптимизация по одному единственному критерию, см. далее).
4. Четвертая – наиболее общая – форма целевой функции представляет собой произвольную зависимость от всех или части (но не меньше двух) разнородных внешних параметров
При этом разнородные параметры преобразуются в безразмерные (или одноразмерные) и целевая функция формируется как некоторая композиция (например, среднее арифметическое) полученных безразмерных показателей.
Единую целевую функцию четвертой формы можно получить из целевых функций третьей формы путем умножения их на весовые коэффициенты и последующего суммирования :
где F S (y i ) – одна из k целевых функций третьей формы;
ω S – ее весовой коэффициент.
Однако, как указывается там же, определение весовых коэффициентов отдельных целевых функций является очень сложным.
Экстремальное значение полученной суммы будет считаться оптимальным.
Таким образом, можно указать, что в большинстве случаев (1-я и 3-я формы) показатели качества системы оцениваются численными значениями компонентов векторной целевой функции, которые носят названия функционалов :
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Так как системы работают в условиях случайных воздействий, то значения функционалов часто оказываются случайными величинами. Это неудобно при использовании функционалов в виде показателей качества. Поэтому в таких случаях обычно пользуются средними значениями соответствующих функционалов. Например: среднее количество изделий, выпускаемых за смену; средняя стоимость продукции и т.д.
В
некоторых случаях показатели качества
представляют собой вероятности некоторых
случайных событий. При этом в качестве
целевой функции выбирается вероятность
выполнения системой поставленной цели
(задачи)
Например, вероятность обнаружения цели радиолокатором и т.п.
Являясь централизованным, выполняет следующие функции функцию регулирования цен между новой и серийной продукцией функцию целевого и постоянного обеспечения -процесса производства новой техники денежными средствами функцию перераспределения средств по освоению новой техники между предприятиями, в различной степени участвующими в освоении новой техники.
Что касается расходов государства, то они представляют целевые фонды денежных средств , ассигнованные и фактически использованные государством для реализации своих функций. К основным функциям целевых расходов относят
Перейдем теперь к описанию целевых функций. Целевая функция ПМ
Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет
ФУНКЦИЯ ЦЕЛЕВАЯ - это функция, которая связывает цель (оптимизируемую переменную) и управляемые переменные в задаче оптимизации.
Первое выражение называется целевой функцией (равно произведению прибыли на единицу продукта с,- на выпуск этого продукта Xj). Остальные уравнения составляют линейные ограничения , которые означают, что расход сырья, полуфабрикатов, качество продукции , мощности, т. е. исходные ресурсы, не должны превышать заранее установленных величин / /. Коэффициенты а,7 - постоянные величины , показывающие расход ресурса на /-и продукт. Задача может быть решена при неотрицательности переменных и при числе неизвестных большем, чем число ограничений. Если последнее условие не удовлетворяется, то задача является несовместной.
В качестве целевой функции принимаем выработку автобензина А-76
Целевая функция имеет вид
Поскольку от объема производства зависят переменные затраты , то максимизации подлежит разность между ценой и переменными затратами . Условно-постоянные расходы (амортизационные отчисления , затраты па текущий ремонт , заработная плата с начислениям общецеховые и общезаводские расходы) в модель не включают и вычитают из целевой функции, полученной на ЭВМ. Если в качестве неизвестных принята длительность работы установки по каждому варианту, то рассчитывают переменные затраты на один день ее работы.
Условие (4,56) характеризует целевую функцию, те максимальную разность между оптовой ценой и себестоимостью товарных бензинов.
В качестве целевой функции при решении данной задачи может быть как максимум прибыли по предприятию (4.52), так и максимум объема производства товарной продукции в стоимостном выражении (4.53)
Приведенная модель расчета себестоимости является одновременно и моделью расчета прибыли предприятия. Однако основной эффект реализации расчета себестоимости на ЭВМ состоит в возможности использования результатов этого расчета для оптимизации производственной программы предприятия . В данном случае в качестве целевой функции может быть принят максимум прибыли от реализации продукции . Оптимизируя производственную программу , необходимо максимизировать функцию вида
Преимущества и недостатки структуры, ориентированной на покупателя, в общем те же, что и у продуктовой структуры , если учесть различия, связанные с разной целевой функцией.
Так как интегральную энергоемкость определяют с учетом энергозатрат прямых и опосредованных (через материальные, технические и трудовые ресурсы), то и в суммарной народнохозяйственной экономии учитывают снижение энергоемкости каждого из расходуемых и используемых ресурсов. Энергоемкость каждого целевого эффекта (продукта, услуги) рассчитывают как сумму энергоемкостей по стадиям его формирования. Например, энергоемкость трубы складывается из энергоемкости добычи руды, выплавки стали, проката листа и собственно изготовления трубы и измеряется в килограммах условного топлива на 1 руб. ее стоимости. Существующие формы учета и предложенная методика позволяют определить эти показатели для любого продукта, услуги и т.д. Таким образом, для экономии энергии необходимо снизить расход производственных ресурсов всех видов при достижении заданного целевого эффекта. Эти ресурсы и конечный целевой эффект измеряют в стоимостном выражении. Затраты на них зависят от масштаба применяемой технологии, уровня срвершенства технических средств , в которых реализуется главная целевая функция - целевой технологический процесс , числа масштабности и разветвленности вспомогательных функций, обеспечивающих выполнение главной функции, а также уровня применяемой техники и технологии.
Выражение (I) обычно наз. исходной системой уравнений и неравенств, а выражение (II) - функционалом задачи линейного программирования или целевой функцией. Целевая функция является критерием оптимальности . Первая группа неравенств системы (I) позволяет учесть в расчете ограничения в существующих на начало планируемого периода мощностях топливодобывающих предприятий. Вторая группа неравенств учиты-
К М. м. в з. и. относят след, разделы прикладной математики математическое программирование , теорию игр, теорию массового обслуживания , теорию расписании , теорию управления запасами и теорию износа п замены оборудования . М а т е м а т и ч. (или оптимальное) п р о г р а м м н р о в а н и о разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных адач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления , планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления нронз-вом. Задачи планирования экономики п управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум пек-рой функции (целевой функции пли показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы . В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, и к-рых целевая функция - линейная, а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программа-ронпии.ч. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к н е л и н е и н о м у п р о-г р а м м и [) о н а н п го. Нелинейное программирование , в свою очередь, делится на выпуклое и невынуклое программирование. В зависимости от того, являются лп исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами , в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации . Методы постановки и решения условных экстремальных задач , условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет с т о х а с т и ч о с к о г о п р о г р а м м и р о в а-
Цель модели - максимизация суммарного дисконтированного чистого дохода (до на-огов) для совокупности месторождений и газопроводных систем при заданных ехнологических и экономических ограничениях. Модель позволяет использовать льтернативные критерии - минимизации взвешенной суммы отклонений от заданного начения целевой функции (целевое программирование) расчеты могут проводиться ля заданного уровня инвестиций, для заданного уровня добычи, для заданного начения ДЧД.
Успех такой деловой женщины зависит от того, насколько администрацией будутугаданы возможные поприща, способные дать удовлетворение трудом. Замечено, что женщины хорошо справляются с функциями, требующими общения с людьми, если же это еще и интеллектуальная деятельность -учительница, журналист, экскурсовод и т. п. - то высокая эффективность их труда и положительная ими самими оценка почти наверняка совпадут. В Японии женщинам редко удается получить инженерное, естественно-научное образование, особенно по современным, наиболее перспективным специальностям, тем не менее их включение в широко распростра-няющиеся подвижные целевые группы по решению нестандартных задач оказывается продуктивным. Изобретательность женского ума замечена давно и во всех странах. В Японии же, когда хотят привести яркое тому доказательство, вспоминают конкурс, объявленный известной фирмой "Адзи-но мото". Она предложила большой денежный приз за подсказку, как увеличить продажи, выпускаемой ею приправы, с виду похожей на соль и продаваемой в подобии солонок. Люди писали трактаты, привлекали всевозможные научные знания. Но победительницей стала домохозяйка, ответ которой уместился в одной строке "Сделать покрупнее дырки у солонки".
Переменные задачи
Построим модель задачи.
Решение
Прежде чем построить математическую модель задачи, ᴛ.ᴇ. записать ее с помощью математических символов, крайне важно четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого крайне важно с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
1) Что является искомыми величинами задачи?
2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, к примеру, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?
3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?
Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, к примеру, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, ᴛ.ᴇ. к записи математической модели.
В задаче требуется установить, сколько краски каждого вида нужно производить. По этой причине искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объёмы производства каждого вида красок:
x1 – суточный объём производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];
x2 – суточный объём производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].
В условии задачи сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, крайне важно знать объёмы производства красок, ᴛ.ᴇ. x1 и x2 т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, доход от продажи суточного объёма производства краски 1-го вида равен 3 x 1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 2x 2 тыс. руб. в сутки. По этой причине запишем целевую функцию в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объёмов сбыта каждой из красок)
Целевая функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Целевая функция" 2017, 2018.
ГЛАВА 16. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕНЕДЖМЕНТА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Чем вызвана необходимость внешнеэкономической деятельности предприятия? 2. Что благоприятствует внешнеэкономической деятельности предприятия? 3. Что является препятствием для... .
F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2 . Функция выпукла, если F"(x)>0 для любого x. Проверим: ; ; ; . Значит, функция выпукла, поскольку "x>0. Следовательно, выбор оптимального числа поездов на двух участках оказывается задачей выпуклого программирования, которая может быть решена... .
В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе...
Линейное программирование.
Краткие теоретические сведения
Постановка задач
Решение прямой задачи линейного программирования отвечает на следующий вопрос:
при каких интенсивностяхn процессов получения прибыли (оказании различных услуг, производственных процессов), в которых используютсяm видов ресурсов (факторов производства) с известными предельными интенсивностями использования этих ресурсов выручка от реализации (прибыль) будет максимальна в случае, когда интенсивность расхода каждого ресурса и интенсивность получения прибыли (выручки) в каждом из процессов линейно зависят от интенсивности этого процесса.
Решение двойственной к ней задачи отвечает на следующий вопрос:
при каких наименьших ценах на единицу ресурса экономическому агенту будет невыгодно дальнейшее расширение процесса получения прибыли за счёт приобретения новых объёмов дефицитных в сложившихся условиях экономической деятельности ресурсов.
Прямая задача линейного программирования может быть связана со следующей ситуацией. Имеются n способов получения прибыли (оказание n видов услуг) с объёмами x i (число штук i -й оказанных услуг) . При этом используются m видов ресурсов, запас j -го изкоторых равен b j . При этом расход каждого ресурса j и величина прибыли в каждом из процессов i линейно зависят от количества оказанных услуг i -го вида с коэффициентами a ji и c i , соответственно. Матрица А =(a ji ) m ´ n по смыслу аналогична такой же из первой части и также называется матрицей технологических, или структурных коэффициентов. Тогда оптимальный по критерию максимума получения прибыли план может быть получен из решения следующей прямой задачи линейного программирования:
Этой задаче можно поставить в соответствие расширенную матрицу следующего вида:
(4.1)
Двойственная к задаче (4) задача имеет следующий вид (z j – искомые предельные цены):
При такой формулировке двойственной задачи из условия минимизации цен вытекают (5.1) и (5.3), а из условия невыгодности продолжения деятельности прямо возникает условие превышения или равенства издержек над выручкой от реализации.
Основные понятия модели
Решение (план, программа)- набор, вектор конкретных значений всех переменных параметров управления модели – тех величин которые могут быть изменены по воле управляющего объектом моделирования. Решения бывают допустимые (реализуемые на практике), недопустимые (не реализуемые в силу существующих в модели ограничений) и оптимальные (лучшие из допустимых).
Целевая функция L(x) – математическое выражение, связывающее факторы (параметры) модели. Экономический смысл целевой функции отражает критерий оптимальности – показатель, имеющий экономическое содержание и служащий формализацией конкретной цели управления, например: максимизация прибыли (строка 1 в (4)), максимизация качества продукции или минимизация издержек (5.1).
Система ограничений модели – пределы, ограничивающие область допустимых (приемлемых, осуществимых) решений , фиксирующие основные внутренние и внешние свойства объекта, связанные с целью оптимизации. Уравнения связи (типа f j (x) )– математическая формализация системы ограничений (строки 2 и 3 в (4), (5.2 , 5.3)). Система ограничений отражает экономический смысл уравнений связи.
Система, состоящая из целевой функции и уравнений связи, -задача экономико- математического моделирования (ЭММ). В случае, когда целевая функция и уравнения связи линейны, а переменные управления меняются непрерывно, задача ЭММ называетсязадачей линейного программирования (ЛП) . Основное свойство множества допустимых планов (МДП) задачи ЛП - оно является выпуклым многогранником. Выпуклым называется множество, которому принадлежат все отрезки, соединяющие любые две точки этого множества. Если задача ЛП имеет решение, то оно находится в вершине МДП. Планы, находящиеся в вершинах МДП, называются базовыми. Задачи линейного программирования делятся на задачи с ограничениями в форме неравенств (общая задача ЛП) и в форме равенств (каноническая задача ЛП). При математической формализации экономических задач с помощью линейной модели получаются общие задачи ЛП – например, (4), (5). Любой общей задаче путём введения дополнительных переменных может быть сопоставлена каноническая задача. Так, задаче (4) путём введения в каждое неравенство типа “расход ресурса £ запас ресурса” (строка 2 в (4)) дополнительной переменной x n+j (неизрасходованный остаток j -го ресурса) сопоставляется следующая каноническая:
При этом размерность задачи (6) – число переменных плана - по сравнению с (4) увеличилась с n до n+m .
При решении задачи (4) важное значение имеют коэффициенты ресурсоотдачи, среди которых здесь будут использованы дифференциальные и приростные. Дифференциальный коэффициент ресурсоотдачи k ji показывает стоимость оказанных при использовании единицы j -го ресурса i –ых услуг. Те виды услуг, для которых все k ji оказываются наименьшими по всем видам услуг, являются наименее выгодными. Они не должны присутствовать в оптимальном плане. Это позволяет, путём принудительного обнуления объёмов оказания таких услуг снизить размерность задачи и, таким образом, упростить её решение. Вычисляются они следующим образом - k ji =c i /a ji .
приростной коэффициент ресурсоотдачи К j – это коэффициент пропорциональности между приращением значения целевой функции оптимального плана и вызвавшим это приращение изменением запасов j -го ресурса. Можно считать, что К j показывают, на сколько увеличится значение целевой функции исходной задачи в оптимальном плане при увеличении величины запаса j -го ресурса на единицу. С математической точки зрения является полной производной от оптимального значения целевой функции по величине запаса j -го ресурса: К j =dL opt /db j .
Проектные параметры. Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через п, а сами проектные параметры через х с соответствующими индексами. Таким образом п проектных параметров данной задачи будем обозначать через
Х1,Х2,Х3,…Хп.
Следует отметить, что проектные параметры в некоторых источниках могут называться внутренними управляемыми параметрами.
Целевая функция. Это - выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (п+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами
М = М (х1,х2,…,хп).
Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.
Рисунок 1. Одномерная целевая функция.
Рисунок 2. Двумерная целевая функция.
Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-линейную функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.
В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.
Поиск минимума и максимума. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется на рис.3.
Рисунок 3. При изменении знака целевой функции на противоположный в задаче на минимум, превращает ее в задачу на максимум.
Пространство проектирования. Так называется область, определяемая всеми п, проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.
Ограничения-равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид
С1 (X1, X2, Х3, . . ., Хп) = 0,
С2 (X1, X2, Х3, . . ., Х п) = 0,
..……………………………..
Сj(X1, X2, Х 3, . . ., Хп) = 0.
Ограничения-неравенства - это особый вид ограничений, выражаемых неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно много, причем все они имеют вид
z1 ?r1(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z1
z2 ?r2(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z2
………………………………………
zk ?rk(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Zk
Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.
Прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения имеют вид
xнi ? xi ? xвi при i ? ,
где xнi , xвi - минимально и максимально допустимые значения i-го управляемого параметра; п - размерность пространства управляемых параметров. Например для многих объектов параметры элементов не могут быть отрицательными: xнi ? 0 (геометрические размеры, электрические сопротивления, массы и т.п.).
Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию. Функциональные ограничения могут быть:
- 1) типа равенств
- ш (Х) = 0; (2.1)
- 2) типа неравенств
ц (Х) › 0, (2.2)
где ш (Х) и ц (Х) - вектор-функции.
Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска:
ХД = {Х | ш(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,
xi ‹ xвi при i ? }.
Если ограничения (2.1) и (2.2) совпадают с условиями работоспособности, то допустимую область называют также областью работоспособности ХР.
Любая из точек Х принадлежащая ХД является допустимым решением задачи. Часто параметрический синтез ставится как задача определения любого из допустимых решений. Однако гораздо важнее решить задачу оптимизации - найти оптимальное решение среди допустимых.
Локальный оптимум. Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.
Рисунок 4. Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов.
Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Это позволяет выбрать наилучший вариант из равных оптимальных вариантов по целевой функции. В данном случае проектировщик может выбрать вариант интуитивно либо на основе сравнения полученных вариантов.
Выбор критериев. Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность). Причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называют конфликтными параметрами.
Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования. В зависимости от того каким образом выбираются и объединяются выходные параметры, в скалярной функции качества, различают частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, статистические критерии и другие критерии. В техническом задании на проектирование технического объекта указываются требования к основным выходным параметрам. Эти требования выражаются в виде конкретных числовых данных, диапазона их изменения, условия функционирования и допустимых минимальных или максимальных значений. Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) называют условиями работоспособности и записываются в виде:
yi < TTi , i О ; yi > TTj , j О ;
yr = TTr ± ?yr; r О .
где yi, yj, yr - множество выходных параметров;
TTi, TTj, TTr - требуемые количественные значения соответствующих выходных параметров по техническому заданию;
Yr - допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в техническом задании значения TTr.
Условия работоспособности имеют определяющее значение в разработке технических устройств, так как задачей проектирования является выбор проектного решения, в котором наилучшим образом выполняются все условия работоспособности во всем диапазоне изменения внешних параметров и при выполнении всех требований технического задания.
Частные критерии могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной параметр yi(Х), наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию. Примерами таких параметров являются: для энергетического объекта - мощность, для технологического автомата - производительность, для транспортного средства - грузоподъемность. Для многих технических объектов таким параметром служит стоимость. Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.
Достоинство такого подхода - его простота, существенный недостаток - то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие выходные параметры вообще не будут иметь запасов.
Взвешенный аддитивный критерий применяют тогда, когда условия работоспособности позволяют выделить две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптимизации нужно увеличивать y+i(X) (производительность, помехоустойчивость, вероятность безотказной работы и т. п.), во вторую - выходные параметры, значения которых следует уменьшать y-i (X) (расход топлива, длительность переходного процесса, перерегулирование, смещение и пр.). Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров. Способы нормирования параметров будут рассмотрены ниже. Пока будем считать, что все у(Х) безразмерны и среди них нет таких, которым соответствуют условия работоспособности типа равенства. Тогда для случая минимизации целевой функции свертка векторного критерия будет иметь вид
где aj>0 - весовой коэффициент, определяющий степень важности j-го выходного параметра (обычно aj выбираются проектировщиком и в процессе оптимизации остаются постоянными).
Целевую функцию в форме (2.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать и в том случае, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств. Тогда целевая функция
определяет среднеквадратичное приближение yj(X) к заданным техническим требованиям TTj.
Мультипликативный критерий может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид
Одним из наиболее существенных недостатков как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам.
Критерий формы функции используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной) характеристики yТТ(Х,щ) с соответствующей выходной характеристикой y(Х,щ) проектируемого объекта, где щ - некоторая переменная, например частота, время, избранная фазовая переменная. К таким задачам относятся: проектирование системы автоматического регулирования, обеспечивающей требуемый вид переходного процесса по регулируемому параметру; определение параметров модели транзистора, дающих максимальное совпадение его теоретических вольт-амперных характеристик с экспериментальными; поиск параметров сечений балки, значения которых приводят к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной, и т. п.
Использование частного критерия оптимизации в этих случаях сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации:
где р -- количество узловых точек щj на оси переменной щ; aj - весовые коэффициенты, значения которых тем больше, чем меньшее отклонение y(Х, щj) - yTT(Х, щj) нужно получить в j-и точке.
Максиминные (минимаксные) критерии позволяют достичь одной из целей оптимального проектирования - наилучшего удовлетворения условий работоспособности.
Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через zj и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например,
где аj - весовой коэффициент; yjном - номинальное значение j-го выходного параметра; дj - величина, характеризующая разброс j -го выходного параметра.
Здесь предполагается, что все соотношения сведены к виду yi < TТj. Если yi > TТj , то -yj < -TТj . Следует принимать аj >1 (рекомендуемые значения 5 ? аj ? 20), если желательно достичь выполнения j-го технического требования с заданным допуском, т. е. yj = TТj ± ?yj; aj=l, если необходимо получить максимально возможную оценку zj.
Качество функционирования технической системы характеризуется вектором выходных параметров и, следовательно, вектором Z=(zm,zm,…,zm). Поэтому целевую функцию следует формировать как некоторую функцию ц(Z) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке X является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ, то
где m - количество запасов работоспособности.
Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии поиска X, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.
где ХД - допустимая для поиска область.
Критерий оптимизации с целевой функцией (2.6) называют максиминным критерием.
Статистические критерии. Оптимизация при статистических критериях имеет целью получение максимальной вероятности Р выполнение работоспособности. Эту вероятность принимают в качестве целевой функции. Тогда имеем задачу
Нормирование управляемых и выходных параметров. Пространство управляемых параметров - метрическое. Поэтому при выборе направлений и величин шагов поиска необходимо вводить ту или иную норму, отождествляемую с расстоянием между двумя точками. Последнее предполагает, что все управляемые параметры имеют одинаковую размерность или являются безразмерными.
Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-и управляемый параметр ui преобразуется в безразмерный хi следующим образом:
где оi - коэффициент, численно равный единице параметра ui .
Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивом критерии, или переходом от уj к запасам работоспособности zj по (2.5).