Ее применяют для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Согласно опросу журналом «Форчун» вице-президентов по производству из 500 фирм, модели линейного программирования и управления запасами пользуются в промышленности наибольшей популярностью. Линейное программирование обычно используют специалисты штабных подразделений для разрешения производственных трудностей. Некоторые типичные применения этого метода в управлении производством перечислены в табл. 4.

Таблица 4. Типичные варианты применения линейного программирования в управлении производством

Укрупненное планирование производства. Составление графиков производства, минимизирующих общие издержки с учетом издержек в связи с изменением ставки процента, заданных ограничений по трудовым ресурсам и уровням запасов.

Планирование ассортимента изделий. Определение оптимального ассортимента продукции, в котором каждому ее виду свойственны свои издержки и потребности в ресурсах (например, определение оптимальной структуры производства компонентов для бензина, красок, продуктов питания для человека, кормов для животных).

Маршрутизация производства изделия. Определение оптимального технологического маршрута изготовления изделия, которое должно быть последовательно пропущено через несколько обрабатывающих центров, причем каждая операция центра характеризуется своими издержками и производительностью.

Управление технологическим процессом. Сведение к минимуму выхода стружки при резке стали, отходов кожи или ткани в рулоне или полотнище.

Регулирование запасов. Определение оптимального сочетания продуктов на складе или в хранилище.

Календарное планирование производства. Составление календарных планов, минимизирующих издержки с учетом расходов на содержание запасов, оплату сверхурочной работы и заказов на стороне.

Планирование распределения продукции. Составление оптимального графика отгрузки с учетом распределения продукции между производственными предприятиями и складами, складами и магазинами розничной торговли.

Определение оптимального местоположения нового завода. Определение наилучшего пункта местоположения путем оценки затрат на транспортировку между альтернативными местами размещения нового завода и местами его снабжения и сбыта готовой продукции.

Календарное планирование транспорта. Минимизация издержек подачи грузовиков под погрузку и транспортных судов к погрузочным причалам.

Распределение рабочих. Минимизация издержек при распределении рабочих по станкам и рабочим местам.

Перегрузка материалов. Минимизация издержек при маршрутизации движения средств перегрузки материалов (например, автопогрузчиков) между отделениями завода и доставке материалов с открытого склада к местам их переработки на грузовых автомобилях разной грузоподъемности с разными технико-экономическими характеристиками.

Нижеследующий пример иллюстрирует простую ситуацию, в которой для принятия решения следует воспользоваться моделью линейного программирования. Управляющий производством должен решить, сколько галлонов краски каждого из трех ее типов следует производить, чтобы получить наивысшую прибыль. На решение налагается несколько ограничений:

1. В наличии имеется только 40 тыс. фунтов исходных реагентов - 10 тыс. фунтов реагента А, 18 тыс. фунтов реагента В и 12 тыс. фунтов реагента С.

2. Общее время работы оборудования 30 тыс. ч.

3. На один галлон краски типа 1 расходуется один фунт реагента А, 3/4 фунта реагента В и 1 1/2 фунта реагента С, а также 1/8 ч времени работы оборудования. На один галлон краски типа 2 требуется один фунт реагента А, 1/2 фунта реагента В и 3/4 фунта реагента С, а также 1/4 ч работы оборудования. На один галлон краски типа 3 идет 1 1/4 фунта реагента А, 1 1/4 фунта реагента В и 1 1/2 реагента С при 1/6 ч времени работы оборудования.

4. Чистая прибыль от продажи одного галлона краски типов 1,2 и 3 составляет 0,80, 0,65 и 1,25 долл. соответственно.

Задача проиллюстрирована рис. 7. С помощью модели линейного программирования управляющий может определить, какое количество краски каждого типа производить при известных запасах реагентов и имеющемся резерве времени работы оборудования, а также с учетом вклада в прибыль краски каждого типа. Не имея такой модели, крайне сложно принять оптимальное решение даже в сравнительно простой ситуации.

Рис. 7. Модель линейного программирования (линейное программирование применяется для решения задач с несколькими переменными, как например, задачи об ассортименте красок в тексте).

Модели линейного программирования применяют для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Данный вид модели наиболее распространен на промышленных предприятиях. Он заключается в том, что помогает

максимизировать прибыль при наличии одного нескольких ресурсов, каждый из которых используется для производства нескольких видов товара. Обычно при решении оптимизации данного типа моделей обычно используется Симплекс-метод.

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование означает процесс создания модели и ее экспериментальное использование для определения изменений реальной ситуации. Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для математических методов типа линейного программирования. Экспериментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в то время, когда отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности.

Экономический анализ

Экономический анализ один из самых распространенных методов моделирования, хотя он и не воспринимается как моделирование. Экономический анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Экономический анализ включает в себя анализ безубыточности, определение прибыли на инвестированный капитал, величину чистой прибыли на данный момент времени и т.д. эти модели широко применяются в бухгалтерском и финансовом учете.

При принятии решения вне зависимости от применяемых моделей существуют некоторые правила принятия решений. Правило принятия решения – это критерий, по которому выносится суждение об оптимальности данного конкретного исхода. Существует два типа правил. Один использует численные значения вероятных исходов, второй – использует данные значения.

К первому типу относятся следующие правила принятия решений:Максимаксное решение –это решение,при котором принимается решениепо максимизации максимально возможных доходов. Данный метод очень оптимистичен, то есть не учитывает возможные потери и, следовательно, самый рискованный.

Максиминное решение –это решение,при котором максимизируетсяминимально возможный доход. Данный метод в большей степени учитывает отрицательные моменты различных исходов и является более осторожным подходом к принятию решений.

Минимаксное решение –это решение,при котором минимизируютсямаксимальные потери. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски. Под потерями здесь учитываются не только реальные потери, но и упущенные

возможности.

Критерий Гурвича. Данный критерий является компромиссом междумаксиминным и максимаксным решениями и является одним из самых оптимальных.

Ко второму типу принятия решений относятся решения, при которых кроме самих возможных доходов и потерь учитываются вероятности возникновения каждого исхода. К данному типу принятия решений относятся, например, правило максимальной вероятности и правило оптимизации математического ожидания. При данных методах обычно составляется таблица доходов, в которой указываются все возможные варианты доходов и вероятности их наступления. При использовании правила максимальной вероятности соответственно выбирается по одному из правил первого типа один из исходов, имеющий максимальную вероятность.

При использовании правила оптимизации математических ожиданий, высчитываются математические ожидания для доходов или потерь и затем выбирается оптимальный вариант.

Так как значения вероятностей со временем изменяются, при применении правил второго типа обычно используется проверка правил на чувствительность к изменениям вероятностей исходов.

Кроме того, для определения отношения к риску используется понятие полезности. То есть для каждого возможного исхода кроме вероятности рассчитывается полезность данного исхода, которая также учитывается при принятии решений.

Для принятия оптимальных решений применяются следующие методы:

платежная матрица;

дерево решений;

методы прогнозирования.

Платежная матрица –один из методов статистической теории решений,оказывающий помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Особенно полезен в ситуации, когда руководитель должен установить, какая стратегий в наибольшей мере будет способствовать достижению целей. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически совершаются. Если событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизменно будет другим.

В целом платежная матрица полезна, когда:

имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.

То, что может случиться, с полной определенностью не известно. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива, и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен иметь возможность объективно оценить вероятность релевантных событий и рассчитать ожидаемое значение такой вероятности.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения – основного понятия платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта – это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности.

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может выбрать наиболее оптимальный вариант.

Дерево решений –метод науки управления–схематичное представлениепроблемы принятия решений – используется для выбора наилучшего направления действий из имеющихся вариантов.

Метод дерева решений может применяться как в ситуациях, в которых применяется платежная матрица, так и в более сложных ситуациях, в которых результаты одного решения влияют на последующие решения. То есть дерево решений – удобный метод для принятия последовательных решений.

Методы прогнозирования

Прогнозирование – метод, в котором используется как накопленный в прошлом опыт, так и текущие допущения насчет будущего с целью его определения. Результат качественного прогнозирования может служить основой планирования. Существуют различные разновидности прогнозов: экономические прогнозы, прогнозы развития технологии, прогнозы развития конкуренции, прогнозы на основе опросов и исследований, социальное прогнозирование.

Все типы прогнозов используют различные методы прогнозирования.

Методы прогнозирования включают в себя:

неформальные методы;

количественные методы;

качественные методы.

Неформальные методы включают в себя следующие виды информации:Вербальная информация –это наиболее часто используемая информация дляанализа внешней среды. Сюда относят информацию из радио- и телепередач, от поставщиков, от потребителей, от конкурентов, на различных совещаниях и конференциях, от юристов, бухгалтеров и консультантов. Данная

информация легкодоступна, затрагивает все основные факторы внешнего окружения, представляющие интерес для организации. Однако она очень изменчива и нередко неточна.

Письменная информация –это информация из газет,журналов,

информационных бюллетеней, годовых отчетов. Эта информация обладает

теми же достоинствами и недостатками, что и вербальная информация.

Промышленный шпионаж

Количественные методы прогнозирования используются,когда естьоснования считать, что деятельность в прошлом имела определенную тенденцию, которая может продолжиться и в будущем, и когда достаточно информации для выявления таких тенденций. К количественным методам относятся:

Анализ временных рядов. Он основан на допущении,согласно которомуслучившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение к оценке будущего. Проводится с помощью таблицы или графика. Причинно-следственное (казуальное) моделирование. Наиболеематематически сложный количественный метод прогнозирования. Используется в ситуациях с более чем одной переменной. Казуальное моделирование – прогнозирование путем исследования статистической зависимости между рассматриваемым фактором и другими переменными. Из казуальных прогностических моделей самыми сложными являются эконометрические модели, разработанные с целью прогнозирования динамики экономики.

Качественные методы прогнозирования подразумевает прогнозированиебудущего экспертами. Существует 4 наиболее распространенных метода качественного прогнозирования:

Мнение жюри –соединение и усреднение мнений экспертов в релевантныхсферах. Неформальная разновидность данного метода – «мозговой штурм». Совокупное мнение сбытовиков. Мнение дилеров или предприятий сбыта очень ценно, так как они имеют дело непосредственно с конечными потребителями и знают их потребности.

Модель ожидания потребителя –прогноз,основанный на результатахопроса клиентов организации.

Метод экспертных оценок. Он представляет собой процедуру,позволяющуюгруппу экспертов приходить к согласию. По данному методу эксперты из различных областей заполняют опросник по данной проблеме. Затем им дают опросники, заполненные другими экспертами, и просят пересмотреть свое мнение либо аргументировать первоначальное. Процедура проходит 3-4 раза, пока в результате не будет выработано общее решение. Причем все опросники анонимны, как и анонимны сами эксперты, то есть эксперты не

знают, кто еще входит в группу.

Ситуация с принятием стратегических решений усугубляется тем, что в республике еще нет достаточного количества высококвалифицированного управленческого персонала, то есть менеджеров, подготовленных управлять

и принимать решения в условиях рыночной экономики. Это касается как предприятий и организаций, так и Правительства. Кроме того, постоянно изменяющаяся правовая база не позволяет делать долговременных прогнозов, на основе которых могли бы приниматься стратегические решения.

База для обучения менеджеров только складывается, но из-за общего кризиса

и кризиса системы образования, ВУЗы не в состоянии подготовить достаточно квалифицированных менеджеров. Кроме всего прочего, чтобы быть настоящим менеджером необходимо иметь большой стаж работы. Что касается принятия тактических решений, то с этим ситуация складывается лучше. Тактические решения менее зависят от времени, следовательно, быстро изменяющаяся и не очень предсказуемая ситуация создают меньше препятствий для принятия правильного решения. Однако и здесь не все гладко. Это связано с тем, что из-за недостатка релевантной информации не всегда возможно принимать решения, используя научные методы (моделирование, прогнозирование, и т.д.). Большое количество руководителей вообще незнакомо с научными методами принятия решений, используемыми в науке управления.

Кроме того, в нашей стране отсутствует информационная инфраструктура, которая бы позволила в короткие сроки и с небольшими затратами получить информацию, необходимую для принятия решений. На достаточно низком уровне находится компьютерная грамотность. Недостаточно специализированных организаций по проведению различных исследований. Большим минусом также является несовершенная и постоянно изменяющаяся правовая база, наличие коррупции в структуре управления государством.

Однако не во всех отраслях экономики дела обстоят таким образом. В финансово-банковском секторе, жестко контролируемом НБМ, ситуация с принятием решений, несмотря на кризис, лучше. Это связано с тем, что в банках, наряду с поколением руководителей, получивших образование в период существования административно-командной системы управления, очень много молодых кадров (25-35 лет). Новое поколение, изучавшее менеджмент и результаты его применения в развитых странах, стремится использовать полученные знания. Недостаток опыта у них компенсируется наличием более опытных руководителей. Кроме того, здесь в большей степени используется принцип делегирования полномочий, что также увеличивает оптимальность принимаемых решений. Банки Молдовы

поддерживают связи с банками развитых стран, что позволяет руководителям различных уровней банковского сектора на практике ознакомиться с работой менеджеров в развитых странах.

Процесс принятия решений – процесс психологический. Люди, принимая решения, не всегда принимают логичные решения. Решения варьируются от спонтанных до высокологичных. Поэтому процессы принятия решений делятся на имеющий интуитивный, основанный на суждениях и рациональный характер, хотя решение редко относится к какой либо одной категории.

Интуитивное решение –это решение,принятое только на основе того,чторуководитель имеет ощущение того, что оно правильно. При этом руководитель не рассматривает все возможные варианты, не учитывает все их преимущества и недостатки и не нуждается в понимании ситуации. Решения, основанные на суждениях, часто кажутся интуитивными,так каких логика не очевидна. Такое решение – это выбор, обусловленный знаниями или накопленным опытом. Человек использует знание о том, что случалось в сходных ситуациях раньше для того, чтобы спрогнозировать результат альтернативных решений в существующей ситуации. Такой метод принятия решений обладает как положительными, так и отрицательными сторонами. Положительным является то, что действительно многие ситуации имеют тенденцию к повторению и применение такого метода принятия решений позволяет сэкономить время и деньги, так как решение принимается руководителем очень быстро и без сбора дополнительной информации и ее анализа. Однако такие решения принимаются на базе здравого смысла, который в истинном его понимании встречается очень редко. Кроме того, информация, на основе которой принимается данное решение, может быть искажена потребностями людей и другими факторами. Также суждения не позволяют принимать правильные решения в уникальных или абсолютно новых ситуациях, так как лицо, принимающее решение не обладает необходимым опытом для обоснования выбора. Так как суждение всегда опирается на опыт, оно смещает ориентацию принятия решения в направление, знакомое руководителю по предыдущим ситуациям. Это может привести к тому, что руководитель упустит новые альтернативы.

Решение принимается в условиях определенности, когда руководитель может

с точностью определить результат каждого альтернативного решения, возможного в данной ситуации. Сравнительно мало организационных или персональных решений принимается в условиях определенности. Однако они все-таки имеют место. Кроме того, элементы сложных крупных решений можно рассматривать как определенные. Уровень определенности при принятии решений зависит от внешней среды. Он увеличивается при наличии

твердой правовой базы, ограничивающей количество альтернатив и снижающей уровень риска.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1 Математическое описание модели линейного программирования

2 Методы реализации моделей линейного программирования

3 Двойственная задача линейного программирования

Модель линейного программирования (ЛП) имеет место, если в исследуемой системе (объекте) ограничения на переменные и целевая функция линейны .

Модели ЛП используются для решения двух основных типов прикладных задач:

1) оптимального планирования в любых сферах человеческой деятельности – социальной, экономической, научно-технической и военной. Например, при оптимальном планировании производства: распределении финансовых, трудовых и других ресурсов, снабжении сырьем, управлении запасами и т. д.

2) транспортной задачи (нахождение оптимального плана различного рода перевозок, оптимального плана распределения разных средств по объектам различного назначения и т. п.)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Требуется найти неотрицательные значения переменных

удовлетворяющих линейным ограничениям в виде равенств и неравенств

,

где – заданные числа,

и обеспечивающих экстремум линейной целевой функции

,

где – заданные числа, что записывается в виде

Допустимым решением называется любая совокупность , удовлетворяющих условиям.

Область допустимых решений – множество всех допустимых решений.

Оптимальное решение
, для которого .

Замечания

1. Приведенная модель ЛП является общей . Различают также стандартные и канонические формы моделей ЛП.

2. Условия существования реализации модели ЛП:

– множество допустимых решений – не пустое;

– целевая функция ограничена на (хотя бы сверху при поиске максимума и снизу при поиске минимума).

3.ЛП основывается на двух теоремах

Теорема 1. Множество G , определяемое системой ограничений вида, есть выпуклое замкнутое множество (выпуклый многогранник в с угловыми точками - вершинами .)

Теорема 2. Линейная форма , определенная на выпуклом многограннике

j =1,2,…,s

i=s +1,s+2,…,m ,

достигает экстремума в одной из вершин этого многогранника.

Данная теорема получила название теоремы об экстремуме линейной формы.

В соответствии с теоремой Вейерштрасса оптимальное решение единственно и является глобальным экстремумом.

Существует общий аналитический подход к реализации модели ЛП – симплекс-метод. При решении задач линейного программирования достаточно часто решения нет. Это происходит по следующим причинам.

Первую причину проиллюстрируем примером

Про такую причину говорят, что ограничения несовместны. Область допустимых решений – пустое множество.

Вторая причина комментируется следующим примером:

В данном случае, область допустимых решений не ограничена сверху. Область допустимых решений не ограничена.

Следуя традициям линейного программирования, дадим задаче ЛП экономическую интерпретацию. Пусть в нашем распоряжении имеется m типов ресурсов. Количество ресурса типа j равно . Эти ресурсы необходимы для производства n типов товаров. Обозначим количество этих товаров символами соответственно. Единица товара типа i стоит . Производство товаров типа i должно быть ограничено величинами соответственно. На производство единицы товара типа i расходуется ресурса типа j . Необходимо определить такой план производства товаров (), чтобы их суммарная стоимость была минимальной.

Задачи линейного программирования, используемые для оптимизации функционирования реальных объектов, содержат значительное число переменных и ограничений. Это обуславливает невозможность решения их графическими методами. При большом числе переменных и ограничений применяются алгебраические методы, в основе которых лежат итерационные вычислительные процедуры. В линейном программировании разработано множество алгебраических методов, различающихся между собой способами построения начального допустимого решения и условиями перехода от одной итерации к другой. Однако все эти методы базируются на общих теоретических положениях.

Общность основных теоретических положений приводит к тому, что алгебраические методы решения задач линейного программирования во многом сходны между собой. В частности, практически любой из них требует предварительного приведения задачи линейного программирования к стандартной (канонической) форме.

Алгебраические методы решения задачи ЛП начинаются с приведения ее к стандартной (канонической) форме :

,

,

i =1,..,n ; j =1,..,m .

Любая задача линейного программирования может быть приведена к стандартной форме. Сравнение общей модели с канонической моделью позволяет сделать вывод о том, что для приведения задачи ЛП к стандартной форме необходимо, во-первых, от системы неравенств перейти к равенствам, а во-вторых, преобразовать все переменные так, чтобы они были неотрицательными.

Переход к равенствам осуществляется прибавлением к левой части ограничений неотрицательной остаточной переменной для неравенств типа , и вычитанием из левой части неотрицательной избыточной переменной для неравенств типа . Например, неравенство при переходе к стандартной форме преобразуется в равенство , a неравенство - в равенство . При этом, как остаточная переменная , так и избыточная переменная являются неотрицательными.

Предполагается, что правая часть неравенств неотрицательна. В противном случае, этого можно добиться умножением обеих частей неравенства на «-1» и сменой его знака на противоположный.

Если в исходной задаче линейного программирования переменная не ограничена в знаке, ее можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных , где .

Важной особенностью переменных является то, что при любом допустимом решении только одна из них может принимать положительное значение. Это означает, что если , то и наоборот. Следовательно, может рассматриваться как остаточная, а - как избыточная переменные.

Пример Пусть дана задача линейного программирования:

,

.

Необходимо привести ее к стандартной форме. Заметим, что первое неравенство исходной задачи имеет знак , следовательно, в него необходимо ввести остаточную переменную . В результате получим .

Второе неравенство имеет знак и для преобразования к стандартной форме требует введения избыточной переменной , выполнив эту операцию, получим .

Кроме того, переменная не ограничена в знаке. Следовательно, как в целевой функции, так и в обоих ограничениях она должна быть заменена на разность . Выполнив подстановку, получим задачу линейного программирования в стандартной форме, эквивалентную исходной задаче:

.

Задача линейного программирования, записанная в стандартной форме, представляет собой задачу поиска экстремума целевой функции на множестве векторов, являющихся решениями системы линейных уравнений с учетом условий неотрицательности. Как известно, система линейных уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечное множество решений. Оптимизация целевой функции возможна только в том случае, если система имеет бесконечное множество решений. Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если она совместна (ранг основной матрицы равен рангу расширенной) и, если ранг основной матрицы меньше числа неизвестных.

Пусть ранг матрицы системы ограничений равен m . Это значит, что матрица имеет хоть один минор m -го порядка не равный нулю. Не нарушая общности, можно предположить, что минор расположен в левом верхнем углу матрицы. Этого всегда можно добиться, изменив нумерацию переменных. Этот не равный нулю минор ранга m принято называть базисным. Составим систему из первых m уравнений системы, записав ее следующим образом:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ - математические модели решения экономических задан, представленные в форме задач линейного программирования. Целевая функция, связи и в такой модели выражены в виде линейных уравнений.

Экономика и право: словарь-справочник. - М.: Вуз и школа . Л. П. Кураков, В. Л. Кураков, А. Л. Кураков . 2004 .

Смотреть что такое "МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ" в других словарях:

Математические модели решения экономических задач, представленные в форме задач линейного программирования. Целевая функция, связи и ограничения в такой модели выражены в виде линейных соотношений. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б … Экономический словарь

модели линейного программирования - математические модели решения экономических задач, представленные в форме задач линейного программирования. Целевая функция, связи и ограничения в такой модели выражены в виде линейных соотношений … Словарь экономических терминов

МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В МЕНЕДЖМЕНТЕ - вид модели, который применяют для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Некоторые типичные применения этого метода в управлении производством: планирование ассортимента изделий; … Большой экономический словарь

Модели в экономике используются начиная с 18 в. В «Экономических таблицах» Ф. Кенэ, которые К. Маркс назвал идеей «...бесспорно самой гениальной из всех, какие только выдвинула до сего времени политическая экономия» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч.,… …

I Модели в биологии применяются для моделирования (См. Моделирование) биологических структур, функций и процессов на разных уровнях организации живого: молекулярном, субклеточном, клеточном, органно системном, организменном и популяционно … Большая советская энциклопедия

Модели экономических объектов или процессов, при описании которых используются математические средства. Цели создания Э. м. м. разнообразны: они строятся для анализа тех или иных предпосылок и положений экономической теории, логического… … Большая советская энциклопедия

- (scarcity) Свойство (товаров или производственных факторов), состоящее в том, что при нулевой цене спрос на них (по сравнению с предложением) будет чрезмерно высоким. Это значит, что в условиях равновесия цена дефицитного товара или фактора… … Экономический словарь

Построение, разработка и приложения математич. моделей принятия оптимальных решений. Содержанием теоретич. аспекта И. о. являются анализ и решение математич. задач выбора в заданном множестве допустимых решений Xэлемента, удовлетворяющего тем или … Математическая энциклопедия

- (НИР и ОКР, applied research, research and development R D) – научные исследования, направленные на решение социально практических проблем. Наука (science) сфера человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая… … Википедия

Математическая дисциплина, предметом к рой являются модели экономич. объектов и процессов и методы их исследования. Однако понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономич. происхождением, интерпретацией и… … Математическая энциклопедия

Книги

• Экономико-математические методы и модели в коммерческой деятельности. Учебник , Г. П. Фомин. В учебнике рассмотрены операции, экономические показатели, схема образования прибыли, структура связи экономических и математических методов, методы и модели изучения, анализа и…
• Методы и модели оптимизации управленческих решений. Учебное пособие , А. Р. Урубков, И. В. Федотов. В учебном пособии изложены принципы оптимизации управленческих решений на основе методов и моделей линейного программирования. На примерах реальных бизнес-ситуаций показано, как, используя…

Модели линейного программирования

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. К таким задачам относятся:

Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (сырьевых, трудовых, временных);

Задача сетевого планирования и управления;

Задачи массового обслуживания;

Задачи составления расписания (календарного планирования);

Задачи выбора маршрута и другие.

Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие решения в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. Такие решения называются оптимальными, а задачи и соответствующие им модели позволяющие найти эти решения - оптимизационными (оптимальными). Математическим аппаратом задач оптимального планирования является математическое программирование.

Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи - это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2) целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант - из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;
Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым . Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.
Оптимизационная задача, в которой целевая функция и неравенства (уравнения), входящие в систему ограничений являются линейными функциями, называется задачей линейного программирования, а соответствующая ей экономико-математическая модель – оптимизационной моделью линейного программирования

Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.
Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач - симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:
1) умение находить начальный опорный план;
2) наличие признака оптимальности опорного плана;
3) умение переходить к нехудшему опорному плану.