Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод – это аналитический метод решения ЗЛП, реализующий алгоритм графического метода аналитически, без построения чертежа.

Таким образом, суть симплексного метода состоит в направленном переборе допустимых решений, при котором значение целевой функции на каждом шаге лучше, чем на предыдущем. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет получено оптимальное по значению целевой функции решение.

Симплекс метод может использоваться для решения ЗЛП с любым количеством неизвестных.

Техническая реализация симплексного метода связана с решением систем линейных уравнений, для чего используют метод Гаусса, разработаны табличные формы и правила преобразования симплексных таблиц.

Симплекс-метод с естественным базисом применяется, если ЗЛП задана в канонической форме записи, и матрица в КЗЛП содержит единичную подматрицу размером m´m . Для определённости положим, что первые m векторов матрицы системы уравнений составляют единичную матрицу. Тогда первоначальный план выбирается следующим образом:

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью признака оптимальности, переход к другому плану проводится с помощью преобразования Жордана-Гаусса при использовании математического признака оптимальности. Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т.д.

Математический признак оптимальности состоит из следующих двух теорем:

1. Если для всех векторов A 1 , A 2 , … , A n выполняется условие , где , то полученный опорный план является оптимальным. В сумме для определения Z j участвуют m слагаемых, то есть в ней участвуют не все коэффициенты целевой функции c j , а лишь с номерами соответствующими номерам текущих базисных векторов A i , количество которых равно m .

2. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие , то следует искать новый опорный план, для которого значение ЦФ больше, чем для текущего. При этом возможны два случая:

а) если все компоненты вектора A k , подлежащего вводу в базис, неположительны, то ЗЛП не имеет решения (конечного оптимума нет);

б) если имеется хотя бы одна положительная компонента у вектора A k , подлежащего ввода в базис, то можно получить новый опорный план.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор A k , давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности:

Чтобы выполнялось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор A r , который даёт минимальное положительное оценочное отношение

Строка A r , в которой находился старый базисный вектор, называется направляющей, столбец A k и элемент a rk - направляющими.

Элементы направляющей строки в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:

а элементы любой другой i -й строки - по формулам:

Значения нового опорного плана рассчитываются по аналогичным формулам:

,

Процесс продолжают либо до получения оптимального плана, либо до установления неограниченности ЦФ. Если среди разностей Δ j , j=1, 2, … , n оптимального плана нулевыми являются только разности, соответствующие базисным векторам, то это говорит о единственности оптимального плана. Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему в базис, то в общем случае это означает, что оптимальный план не единственный.

Пример. Решить ЗЛП по модели:

найти ,

при ограничениях

Эта ЗЛП сводится к каноническому виду путём введения дополнительных переменных x 3 и x 4 :

КЗЛП имеет необходимое количество (два) нулевых столбцов при x 3 и x 4 , то есть обладает очевидным начальным опорным планом (0,0,300,150).

Решение осуществляется симплекс-методом с естественным базисом с оформлением расчётов в симплекс-таблицах:

Номер симплекс-таблицы	Базис	с j	с j					Q
B	A 1	A 2	A 3	A 4
	← A 3
A 4
Δ	-		-2	-3			-
I	→ A 2			1/3		1/3
← A 4			2/3		-1/3
Δ	-		-1				-
II	A 2					1/2	-1/2	-
→ A 1					-1/2	3/2	-
Δ	-				1/2	3/2	-

Остановимся подробнее на заполнении симплекс-таблиц и, соответственно, получении решения КЗЛП.

В верхнюю строку общей таблицы внесены коэффициенты c j , j=1, 2, 3, 4 при переменных в ЦФ. В первые две строки нулевой симплекс-таблицы внесены вектор-столбцы B, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , соответствующие векторной форме записи КЗЛП. Поскольку исходным базисом является пара векторов A 3 , A 4 , они внесены в колонку под названием “Базис” нулевой симплекс-таблицы. При этом, A 3 внесён в первую строку, что определяется единицей, являющейся первым элементов этого вектора, а вектор A 4 - во вторую строку, у этого вектора единица находится во второй строке. В столбец под названием “ c i ” внесены коэффициенты целевой функции, соответствующие базисным векторам A 3 , A 4 , то есть c 3 , c 4 . Они оба равны нулю. Далее вычисляются значения разностей Δ для векторов B, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 и заносятся в третью строку нулевой таблицы. Для вектора A 1 :

для вектора :

Аналогично , .

Для вектора B вычисление разности несколько упрощается, поскольку ему нет соответствующего коэффициента c j , j=1, 2, 3, 4 в ЦФ:

Не для всех векторов A 1 , A 2 , A 3 , A 4 полученные разности являются неотрицательными, поэтому выбранный нами опорный план не является оптимальным. Нам необходимо искать новый опорный план, а для этого нужно заменить один из входящих в базис векторов A 3 , A 4 .

Для определения вектора, который мы должны ввести, ищем вектор, для которого значение разности получилось минимальным. Таким является вектор, A 2 , ему соответствует минимальное значение разности: -3. То есть индекс k из формулы (8.4) равен 2. Для определения вектора, который мы должны будем вывести из базиса, вычисляем значения Q для каждой строки по формуле (8.5) и вносим их в последнюю колонку. В данном случае в каждой строке мы должны величину элемента вектора B разделить на величину элемента вектора A 2 . В первой строке получим 300/3=100, во второй: 150/1=150. Меньше получилось отношение в первой строке, ей соответствовал базисный вектор A 3 , следовательно, индекс r в формуле (8.5) равен 1, a rk =3 (выделен в таблице рамкой), а выводить из базиса мы будем вектор A 3 (обозначено в таблице стрелкой).

Поскольку среди элементов вектора A 2 , который должен быть введён в базис, имеются положительные, то можно получить новый опорный план и решение следует продолжить.

После этого заполняется вторая симплекс-таблица. Для перерасчёта элементов векторов B, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 используются формулы (8.6)-(8.8). Они несколько отличаются для определения элементов направляющей строки (в нашем случае первая) и для определения элементов прочих строк. Распишем вычисления нескольких элементов:

Другие элементы первой симплекс-таблицы вычисляются аналогично тому, как мы это делали для нулевой таблицы. Поскольку не все разности в первой симплекс-таблице неотрицательны, возникает необходимость продолжить расчёты.

Как мы видим, в результате расчётов во второй симплекс-таблице с базисными векторами A 2 , A 1 все разности получились неотрицательные, что означает достижение оптимального плана (75; 75; 0; 0). Симплекс-разность для вектора В равна искомому максимальному значению ЦФ - 375.

Теорема (о конечности симплекс-алгоритма). Если существует оптимальное решение ЗЛП, то существует и базисное оптимальное решение. Последнее всегда может быть получено с помощью симплекс-метода, причём начинать можно с любого исходного базиса.

Признак оптимальности опорного плана. Симплекс таблица

Для решения задач обычно условия заносят в таблицу, которая называется симплексной. Перед занесением систему ограничений приводят к предпочтительному виду.

при ограничениях

Система ограничений данной задачи имеет предпочтительный вид. Составим симплексную таблицу.

Находим начальный опорный план

Обозначим через Б множество базисных переменных, через В- множество свободных переменных. Очевидно, при, . Значения называются оценками свободных переменных.

Признак оптимальности опорного плана:

1) Опорный план доставляет целевой функции минимальное значение, если для него все оценки свободных переменных неположительны.

2) Опорный план доставляет целевой функции максимальное значение, если все оценки свободных переменных неотрицательны.

Строка функции цели называется Z-строкой или индексной строкой. Начальный опорный план Х 0 =(1/2;3/2;0;2;0) и Z(Х 0)=-9/2. Т.к. все оценки индексной строки неположительны, то план Х 0 - оптимален.

Переход к нехудщему опорному плану. Симплексные преобразования

Рассмотрим задачу

Начальный опорный план

Если все оценки свободных переменных, то план Х 0 - оптимальный. Если существуют положительные оценки свободных переменных, то столбец, которому соответствует наибольшее значение?j называется разрешающим. Обозначим его номер j o , а величину x jo введем в базис.

Т.к. ? jо > 0, то, не изменяя нулевых значений всех свободных переменных, можно уменьшить функцию Z за счет увеличения x jo .

Чтобы перейти к новому опорному плану из базиса нужно вывести одну из переменных.

Значение xj o нужно увеличить так, чтобы ни одно из значений базисных переменных x i не было отрицательным. Т.е.

Возможны два случая.

1) Все элементы разрешающего столбца j o неположительны, т.е. a ijo ? 0. Если при решении задачи на min (max) в индексной строке имеются положительные (отрицательные) оценки свободных переменных, а в столбце переменной xj o нет ни одного положительного элемента, то целевая функция не ограниченна снизу (сверху) на множестве допустимых планов задачи.

2) Если среди элементов разрешающего столбца имеются положительные, то x jo можно увеличивать до тех пор, пока не нарушается система неравенств:

Отсюда получаем

Пусть данное выражение выполняется при i=i o , тогда

Если условие выполняется при нескольких i, то в качестве i o можно выбрать любое. Строку i o называют разрешающей, элемент - разрешающим.

Новое значение целевой функции:

В результате преобразований целевая функция уменьшилась. Теперь новую базисную переменную нужно выразить через свободные и подставить в систему ограничений и целевую функцию. Причем старая базисная переменная становится свободной.

Правила симплексного преобразования:

1) В индексной строке симплекс-таблицы найти наибольший положительный (или отрицательный) элемент. Столбец соответствующий этому элементу - разрешающий.

2) Вычислить отношение свободных членов уравнения к положительным элементам разрешающего столбца. Данное отношение называется симплекс-отношением. Найти наименьшее из симплекс-отношений, оно соответствует разрешающей строке.

3) На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент. Если имеется несколько одинаковых по величине симплекс-отношений, то выбирают любое из них.

4) Неизвестные элементы, соответствующие разрешающим столбцу и строке, меняются местами.

5) Переход к следующей таблице. Элементы разрешающей строки новой таблицы будут равны

6) Элементы разрешающего столбца равны нулю, за исключением, т.к. x jo - базисная величина.

7) Все остальные элементы находятся по формулам

Для нахождения элементов в исходной таблице выделяется прямоугольник, вершинами которого служат нужные для вычисления элементы. Диагональ, содержащую разрешающий и искомый элемент новой таблицы, называется главной, а другая - побочной. Из произведения угловых элементов главной диагонали вычитается произведение угловых элементов побочной диагонали и полученное число делят на разрешающий элемент. Это правило прямоугольника.

8) вычисляем элементы индексной строки

Для контроля вычислений можно вычислить

9) алгоритм продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто условие оптимальности.

а) Опорный план доставляет целевой функции минимальное значение, если для него все оценки свободных переменных неположительные.

б) Опорный план доставляет целевой функции максимальное значение, если все оценки свободных переменных неотрицательны.

Пример: Решить симплекс-методом задачу линейного программирования

Оптимальный план X (7;0;0;42;2) и Z(x)=72.

Пример задачи с искусственным базисом .

Приведем задачу к каноническому виду:

Во 2-е и 3-е уравнение введем искусственные переменные:

Составим симплексную таблицу:

Для применения симплекс-метода с естественным базисом КЗЛП должна содержать единичную подматрицу размером mxm – в этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение системы ограничений КЗЛП).
Для определенности предположим, что первые m векторов матрицы системы уравнений составляют единичную матрицу. Тогда первоначальный опорный план очевиден – (b 1 , b 2 ,…, b m ,0,…,0).
Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью признака оптимальности, переход к другому опорному плану проводится с помощью преобразований Жордана-Гаусса при использовании математического признака оптимальности. Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и так далее. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получается оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение ЦФ.
Математический признак оптимальности состоит из следующих двух теорем:
1. Если для всех векторов А 1 , А 2 ,…, А n выполняется условие
где ,
то полученный опорный план является оптимальным.
2. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие, то можно получить новый опорный план, для которого значение ЦФ будет больше исходного, при этом могут быть два случая:
- если все компоненты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительны, то ЗЛП не имеет решения (конечного оптимума нет);
- если имеется хотя бы одна положительная компонента у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.
На основании признака оптимальности в базис вводится вектор А к, давший минимальную отрицательную величину симплекс разности:
Чтобы выполнялось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор А r , который дает минимальное положительное оценочное отношение

Строка А r называется направляющей, столбец А к и элемент a r к – направляющими.
Элементы направляющей строки в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:
а элементы i-й строки – по формулам:
Значения нового опорного плана рассчитываются по формулам:
для i = r ;
Процесс решения продолжают либо до получения оптимального плана, либо до установления неограниченности ЦФ. Если среди симплекс-разностей (оценок) оптимального плана нулевые только оценки, соответствующие базисным векторам, то это говорит о единственности оптимального плана. Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему, то в общем случае это означает, что оптимальный план не единственный.
Примечание. Для использования приведенной процедуры к минимизации линейной функции f (x 1 ,x 2 ,…, x n) следует искать максимум - f (x 1 ,x 2 ,…, x n), затем полученный максимум взять с противоположным знаком. Оптимальное решение то же.
Пример. Получить решение по модели:
Эта задача (модель) линейного программирования, приведем ее к каноническому виду путем введения дополнительных переменных x 3 и x4:
КЗЛП имеет необходимое число единичных столбцов, т.е. обладает очевидным начальным опорным планом (0,0,300,150). Решение осуществляется симплекс-методом с естественным базисом с оформлением расчетов в симплекс-таблицах:

j. Оптимальные значения переменных равны: x1*=75, x2* =75 (основные переменные), x3* =0, x4* =0 (дополнительные переменные). Максимальное значение целевой функции равно 375.
Таким образом, в рассмотренной выше задаче об оптимальном использовании ограниченных ресурсов, оптимальная производственная программа состоит в выпуске 75ед. изделий первого вида и 75ед. изделий второго вида. С этой программой связана максимальная выручка от реализации готовой продукции – 375 у.е.

Номер			В	2	3	0	0
симплекс-	Базис		план					Q
таблицы
	А3	0	300	1	3	1	0	100
0	А4	0	150	1	1	0	1	150
		f(x)	0	-2	-3	0	0
	А2	3	100	1/3	1	1/3	0	300
I	А4	0	50	2/3

Табличный вид ЗЛП. Симплекс - таблицы.

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЛП

3.1. Общая характеристика и основные этапы симплекс – метода

Основоположниками симплекс-метода являются советский математик Л.В. Канторович и американский математик Дж. Данциг.

Симплекс-методом можно решить любую ЗЛП или обнаружить ее неразрешимость. Многие специальные классы ЗЛП можно решить другими, более эффективными для этих классов методами. Однако преимущество симплекс-метода - его универсальность. Почти для всех ЭВМ разработаны стандартные программы для решения ЗЛП симплекс - методом.

Опишем общую идею симплекс-метода.

Считаем, что ЗЛП записана в каноническом виде и целевую функцию нужно минимизировать. Как мы уже знаем, оптимальный план следует искать среди опорных планов ЗЛП. Симплекс-метод не перебирает все опорные планы (что было бы часто невозможно из-за их огромного количества), а, начиная с некоторого исходного опорного плана, он последовательно переходит к другим опорным планам с уменьшением целевой функции. Симплекс-метод прекращает свою работу тогда, когда либо будет найден оптимальный опорный план, либо установлена неразрешимость задачи.

При решении ЗЛП симплекс-методом можно выделить следующие этапы:

1) приведение ЗЛП к каноническому виду;

2) приведение системы линейных уравнений к жордановой форме с неотрицательными правыми частями с одновременной проверкой на неразрешимость ЗЛП из-за противоречивости системы линейных ограничений;

3) исследование опорного плана на оптимальность;

4) исследование ЗЛП на неразрешимость из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции;

5) переход к новому, "лучшему" опорному плану.

Для сокращения и упорядочения записей при решении ЗЛП симплекс-методом используются так называемые симплекс-таблицы. Чтобы воспользоваться симплекс-таблицей, ЗЛП нужно привести к табличному виду. Делается это так.

Пусть ЗЛП записана в каноническом виде (2.3-2.5). Для приведения ЗЛП к табличному виду систему (2.4) следует сначала привести к жордановой форме с неотрицательными правыми частями. Предположим, что эта жорданова форма имеет вид (2.6). Выразим из (2.6) базисные переменные через свободные:

Подставив в целевую функцию (2.3) вместо базисных переменных их выражения через свободные переменные по формулам (3.1), исключим тем самым из целевой функции базисные переменные. Целевая функция примет вид:

В табличном виде целевая функция записывается так:

где .

Отметим следующие особенности табличного вида ЗЛП:

а) система линейных уравнений приведена к жордановой форме с неотрицательными правыми частями;

б) из целевой функции исключены базисные переменные и она записана в форме (3.3).

Перейдем теперь к описанию симплекс-таблицы. Пусть ЗЛП записана в табличном виде:

(3.4)

Тогда заполненная симплекс-таблица выглядит так.