Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Геометрический способ решения стандартных задач линейного программирования с двумя переменными. Универсальный метод решения канонической задачи. Основная идея симплекс-метода, реализация на примере. Табличная реализация простого симплекс-метода.

реферат , добавлен 15.06.2010


Виды задач линейного программирования и формулировка задачи. Сущность оптимизации как раздела математики и характеристика основных методов решения задач. Понятие симплекс-метода, реальные прикладные задачи. Алгоритм и этапы решения транспортной задачи.

курсовая работа , добавлен 17.02.2010


Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом. Решение задачи двойственной к исходной. Определение оптимального плана закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.

контрольная работа , добавлен 15.08.2012


Использование симплексного метода решения задач линейного программирования для расчета суточного объема производства продукции. Проверка плана на оптимальность. Пересчет симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Составление модели транспортной задачи.

контрольная работа , добавлен 18.02.2014


Экономико-математическая модель получения максимальной прибыли, её решение графическим методом. Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс-методом. Составление двойственной задачи и её графическое решение. Решение платёжной матрицы.

контрольная работа , добавлен 11.05.2014


Основы математического моделирования экономических процессов. Общая характеристика графического и симплексного методов решения прямой и двойственной задач линейного программирования. Особенности формулирования и методика решения транспортной задачи.

курсовая работа , добавлен 12.11.2010


Составление математической модели задачи. Расчёт оптимального плана перевозок с минимальной стоимостью с использованием метода потенциалов. Оптимальный вариант специального передвижного оборудования для технического обеспечения управления производством.

контрольная работа , добавлен 01.06.2014

Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие и заданные набором равенств и неравенств.

3.1. Описание

Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях.

Каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным конусом.

Уравнение W(x) = c, где W(x) – максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. При этом экстремальная задача приобретает следующую формулировку: требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причем их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.

Сущность симплекс-метода состоит в том, что если число неизвестных больше числа уравнений, то данная система неопределенная с бесчисленным множеством решений. Для решения системы все неизвестные произвольно подразделяются на базисные и свободные. Число базисных переменных определяется числом линейно-независимых уравнений. Остальные неизвестные свободные. Им придаются произвольные значения и затем подставляются в систему. Любому набору свободных неизвестных можно придать бесчисленное множество произвольных значений, которые дадут бесчисленное множество решений. Если все свободные неизвестные приравнять к нулю, то решение будет состоять из значений базисных неизвестных. Такое решение называется базисным.

В теории линейного программирования существует теорема, которая утверждает, что среди базисных решений системы можно найти оптимальное, а в некоторых случаях – несколько оптимальных решений, причем все они обеспечат экстремум целевой функции. Таким образом, если найти какой-то базисный план и затем улучшить его, то получится оптимальное решение. На этом принципе построен симплекс-метод.

Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:

1. нахождение исходной вершины множества допустимых решений;

2. последовательный переход от вершины к вершине, ведущий к оптимизации значения целевой функции.

В некоторых случаях исходное решение очевидно или его определение не требует сложных вычислений, – например, когда все ограничения представлены неравенствами вида «меньше или равно» (тогда нулевой вектор совершенно точно есть допустимое решение, хотя, скорее всего, далеко не оптимальное). В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить. Симплекс-метод соответственно делится на однофазный и

двухфазный .

3.2. Алгоритм симплекс-метода

Усиленная постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

Теперь поставим эту задачу в эквивалентной усиленной форме. Необходимо максимизировать Z, где:

Здесь x – переменные из исходного линейного функционала; x s – новые переменные, дополняющие старые таким образом, что неравенство переходит в равенство; c – коэффициенты исходного линейного функционала; Z – переменная, которую необходимо максимизировать. Полупространства и в пересечении образуют многогранник, представляющий множество допустимых решений. Разница между числом переменных и уравнений даёт число степеней свободы. Проще говоря, если рассматривать вершину многогранника, это есть число рёбер, по которым можно продолжать движение.

Тогда можно присвоить такому числу переменных значение 0 и назвать

Модифицированный симплекс-метод

В модифицированном методе матрица

не пересчитывается, хранится и пересчитывается только матрица. В остальном алгоритм похож на вышеописанный.

1. Вычисляем двойственные переменные

2. Проверка оптимальности. преобразуется в.

Проверка заключается в вычислении для всех столбцов. Столбец со значением < 0 можно вводить в базис.

Часто выбирают минимальное значение, но для этого нужно перебрать все столбцы.

Чаще выбирают значение, меньшее некоторого заданного значения

Если такого столбца не обнаружится, за принимается максимальное найденное абсолютное значение и соответствующий столбец вводится в базис.

3. Определение выводимого.

Пусть - вводимый столбец, соответствующий переменной Базиный план - это решение системы Увеличиваем.

Умножим слева на, т.е.

Здесь - базисный план, - разложение вводимого столбца по базису.

Находим максимальное значение, при котором все значения не отрицательны. Если может быть взято как угодно велико, решение не ограничено. В противном случае один из элементов выйдет на нулевое значение. Выводим соответствующий столбец из базиса.

4. Пересчет опорного(базисного) плана.

Вычисляем новый опорный план по уже приведенной формуле с найденным значением.

5. Пересчитываем обратную к базисной.

Пусть - выводимый столбец.

Матрица B представима в виде

где - базисная матрица без выводимого столбца.

После замены столбца базисная матрица будет иметь вид

Нам нужно найти матрицу, такую что

Замечание.

При пересчете матрицы накапливаются ошибки округления. Во избежание получения больших ошибок время от времени матрица пересчитывается полностью. Этот процесс называется «повторением».

Мультипликативный вариант симплекс-метода

В мультипликативном варианте матрица не хранится, хранятся лишь множители

При решении экономических задач часто матрица ограничений разреженная, в таком случае мультипликативный вариант получает дополнительные преимущества - можно хранить мультипликаторы в сжатом виде (не хранить нули).

Другие варианты симплекс-метода

Во избежание накопления ошибок округления может использоваться LU-разложение матрицы.

При подавляющем числе ограничений типа «неравенство» может быть использован метод переменного базиса .

Метод основан на том, что базисная матрица может быть представлена в виде

Обратная к ней имеет вид

При относительно небольших размерах матрицы остальная часть матрицы может не храниться.

Таким подходом удается решить задачи с десятками миллионов строк ограничений (например, из теории игр).

Двойственный симплекс-метод

Для реализации двойственного метода необходимо перейти от задачи на минимум к задаче на максимум (или наоборот) путем транспонирования матрицы коэффициентов. При переходе от задачи на минимум целевая функция примет вид:

при ограничениях

Теорема двойственности . Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем экстремальные значения линейных функций этих задач равны.

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.

Поясним вычисления a i , j ¢ с использованием “правила прямоугольника“. Необходимо взять разрешающий элемент a k , s и мысленно соединить его с тем коэффициентом, новое значение которого требуется найти. Эту прямую следует считать главной диагональю, на ней строится прямоугольник, сторонами которого являются строки и столбцы. В прямоугольнике нужно провести побочную диагональ, тогда значение нового коэффициента будет равно его исходному значению, из которого вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, поделœенному на разрешающий элемент. Поясним эти действия на схеме (рис. 1.9). Прежде чем заполнить симплекс-таблицу исходные уравнения следует представить в виде (1.21).

	a k,j
			a i,j

Суть преобразований симплекс-метода рассмотрим на примере 1.4. Давайте вспомним ограничивающие неравенства и целœевую функцию из этого примера и найдем max целœевой функции, пользуясь вышеизложенным методом:

F = 908X 1 + 676X 2 ® max.

X 1 + X 2 14,

X 2 10,

10 X 1 + 8 X 2 120,

7X 1 + 5 X 2 70,

4X 1 + 2X 2 28,

.

Преобразуем ее в каноническую форму, вводя дополнительные переменные X j 0, и превратив неравенства в равенства. Следует обратить внимание, что если в неравенстве стоит знак "", то при свободной переменной пишут " - ", в противном случае - " + ":

X 1 + X 2 = 14 - X 3 ,

X 2 = 10 - X 4 ,

10 X 1 + 8 X 2 = 120 - X 5 ,

7X 1 + 5 X 2 = 70 - X 6 ,

4X 1 + 2X 2 = 28 - X 7 .

Чтобы приступить к процедуре симплекс-метода, нужно из множества базисных решений полученной системы уравнений сначала найти опорное. С учетом этого в решении задач симплекс-методом различают три этапа:

Нахождение первоначального базисного решения и формирование исходной симплекс-таблицы;

Определœение допустимого решения;

Определœение оптимального решения.

1-й этап

Первоначальное базисное решение систем находим, полагая свободными переменные X 1 и X 2 .

Тогда X 3 = 14 - X 1 - X 2 ,

X 4 = 10 - X 2 ,

X 5 =120 - 10X 1 - 8X 2 ,

X 6 = 70 - 10X 1 - 5X 2 ,

X 7 = 28 - 4X 1 - 2X 2 ,

F = 908X 1 + 676X 2 = 0 .

Преобразуем эти уравнения к нормальному виду:

X 3 = 14 - (X 1 + X 2),

X 4 = 10 - (0X 1 + X 2),

X 5 =120 - (10X 1 + 8X 2),

X 6 = 70 - (7X 1 + 5X 2),

X 7 = 10 - (4X 1 + 2X 2),

F = 0 + 908 X 1 + 676 X 2 .

Полученную систему уравнений запишем в виде исходной симплекс-таблицы (табл. 1.9). В табл. 1.9 нет отрицательных свободных членов. Следовательно, нами получено опорное (допустимое) решение, так как допустимым решением является любое неотрицательное решение (при котором > 0 ), но оно не является оптимальным.

Очевидно, что если бы при всœех неизвестных в целœевой функции F стояли положительные коэффициенты, то было бы достигнуто максимальное значение F . Отсюда вытекает признак оптимальности допустимого решения: в F - строке симплекс-таблицы не должно быть отрицательных коэффициентов.

Таблица 1.9

Базисные переменные X б	Свободный член	Свободные переменные
X 1	X 2
X 3
X 4
X 5
X 6
X 7
F		- 908	- 676

2-й этап

Напомним, что основная операция симплекс-метода состоит по сути в том, что некоторая базисная переменная замещается на свободную переменную . При этом операция замещения выполняется при соблюдении следующих условий:

Значение целœевой функции F в новом опорном (допустимом) решении должно быть больше, чем в предыдущем;

Новое решение системы должно быть также опорным (допустимым).

В нашем примере первое условие выполняется, в случае если разрешающий элемент положительный и выбран в столбце отрицательного коэффициента F -строки.

Второе условие выполняется, в случае если разрешающий элемент находится как минимальное положительное отношение элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца.

По выше изложенному правилу для нахождения допустимого решения меняют местами базисные и свободные переменные. Для этого находят разрешающий элемент (в табл. 1.9 он взят в рамку). В нашем случае разрешающим должна быть как столбец X 1 , так и X 2 . Деля свободные переменные на соответствующие значения X 1 иX 2 (кроме строки F ), находим наименьшее положительное значение. Важно заметить, что для столбца X 1 :

Важно заметить, что для столбца X 2 :

Наименьшее отношение 28/4 определяет разрешающую строку и разрешающий столбец, а пересечение разрешающего столбца и разрешающей строки - разрешающий элемент a ks = 4. В табл. 1.9 разрешающий столбец и разрешающую строку отмечаем стрелками (®). Определивa ks , строят следующую таблицу, в которой меняют местами переменные, входящие в строку и столбец разрешающего элемента͵ ᴛ.ᴇ. переводят базисные переменные в свободные, а свободные - в базисные.

В нашем примере меняем местами переменные Х 7 и Х 1 , отмеченные в табл. 1.9 стрелками. Коэффициенты новой табл. 1.10 находят по коэффициентам старой табл. 1.9, используя выражения, приведенные в табл. 1.8 и “правило прямоугольника”. В табл. 1.10 снова не имеем оптимального решения.

Таблица 1.10

Базисные переменные Х б

Свободный член В

Свободные переменные

X 7

X 2

Х 3

- 1/4

1/2

Х 4

Х 5

-5/2

Х 6

-7/4

3/2

Х 1

1/4

1/2

F

-222

По вышеописанным правилам в табл. 1.10 находим разрешающий элемент 1 и строим новую табл. 1.11 сделав замещение базиса (Х 4 и Х 2 ). Особо подчеркнем, что для нахождения разрешающего элемента мы должны выбирать наименьшее положительное значение, ᴛ.ᴇ. отрицательные отношения свободных членов к коэффициентам разрешающего столбца мы не рассматриваем.

3-й этап

Проверим, является ли найденное решение оптимальным, а для нашего примера - максимальным. Для этого сделаем анализ целœевой функции F : F = 8576 + 227 X 7 + 222 X 4 .

Целœевая функция не содержит отрицательных коэффициентов и имеет наибольшее значение в последней таблице, нами получено оптимальное решение:

X 3 = 2; X 2 = 10; X 5 = 20; X 6 = 6; X 1 = 2; X 7 = X 4 = 0;

F max = 8576.

Обратите внимание, что результаты решения симплекс методом и графическим совпадают.

В соответствии с рассмотренной последовательностью, алгоритм симплекс-метода должен иметь следующие блоки:

1. Нахождения первоначального базисного (опорного) решения и формирование исходной таблицы.

2. Отыскание разрешающего элемента a ks (нахождение отрицательного свободного члена - b i < 0 и минимального отношенияb i / a ij ; если в строке отрицательного свободного члена нет отрицательных коэффициентов, то задача неразрешима).

3. Перерасчет новой таблицы по формулам табл. 1.8.

4. Проверка наличия отрицательного свободного члена. В случае если он есть, то переходим к п. 2. Отсутствие отрицательного свободного члена означает, что получено опорное (допустимое) решение.

5. Аналогично п. 2 - 4 выполняется перерасчет таблицы при поиске оптимального решения.

Решение задачи ЛП симплекс-методом в матричной форме

Требуется минимизировать ,

при ограничениях

при "x ³ 0.

Введем векторы:

C = (C 1 , ... , C n) - вектор оценок,

X = (X 1 , ... , X n) - вектор переменных,

b = (B 1 , ... , B m) - вектор ограничений

и матрицу

A =

размером (mn) - матрицу коэффициентов ограничений.

Тогда задача ЛП будет иметь следующую трактовку:

минимизировать F=CX

при условиях AX = b, X 0.

Эту задачу можно записать в матричной форме:

Введем обозначение:

А * = - здесь матрица A * размером (m+1)(n+1).

Согласно выше приведенной методике находят разрешающий элемент a ks .

Следующий шаг симплекс-метода - процедура исключения Гаусса, которая позволяет сделать всœе коэффициенты в s - м столбце, кроме a ks , нулевыми, a ks - равным единице.

Важно заметить, что для симплекс-метода в матричной форме итерация симплекс-метода эквивалентна умножению матричного уравнения слева на следующую квадратную матрицу:

(1.23)

, гдеk 0; s 0.

В случае если всœе столбцы матрицы A разделить на базисные B и небазисные N, то задачу ЛП можно записать так:

,

где C b и C N - соответствующие компоненты вектора C, X b , X N - базисные и небазисные переменные.

Для выбора начальных базисных переменных x b следует умножить уравнение слева на матрицу:

где R= C b B -1 .

В результате получим

,

гдеI - единичная матрица.

Отсюда следует, что относительные оценки при небазисных переменных

c j = c j - C b B -1 a j = c j - Ra j .

Базис будет допустимым, в случае если свободные члены при базисных переменных будут неотрицательными, ᴛ.ᴇ. B -1 b ³ 0.

В случае если c j ³ 0 для , то базис является оптимальным решением задачи. Вектор называют вектором текущих цен. Каждая строка умножается на вектор R и вычитается из строки коэффициентов стоимости, для того чтобы исключить коэффициенты стоимости при базисных переменных.

В случае если задача ЛП задана не в канонической форме, ᴛ.ᴇ.

минимизировать F=CX

при условиях AX b , X 0,

то, вводя слабые переменные, их можно записать в виде

Метод исключения по строкам для матрицы эквивалентен умножению этой матрицы слева на B -1 , где B - базис подматрицы A , тогда

,

ᴛ.ᴇ. матрица, получаемая на месте единичной I , будет матрицей, обратной для текущего базиса. Относительные оценки, расположенные над единичной матрицей, будут

,

поскольку - единичные векторы.

Так как F= C b B -1 b = Rb, текущее значение целœевой функции равно произведению вектора текущих цен матрицы A на исходный вектор b .

Пример.
Размещено на реф.рф
F= 5X 1 + 6X 2 + 3X 3 + 4X 4 + 5X 5 ® min

при ограничениях

2X 1 + 3X 3 + 4X 4 + 2X 5 = 10,

3X 2 + 3X 4 + 6X 5 = 9,

.

Для данного примера матрицаA * будет иметь вид

.

Пусть X 1 и X 2 - базисные переменные.

Матрица B имеет вид

.

Тогда обратная матрица B -1 имеет следующий вид

.

Напомним, что , где присоединœенная матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов b ik определителя матрицы B .

Определитель равен:

= .

Следовательно, матрица B неособенная.

Алгебраические дополнения элементов определителя имеют следующие значения:

b 11 = 3, b 12 = 0, b 12 = 0, b 22 = 2 ; т.е. .

Умножив на , находим обратную матрицу:

.

Вектор текущих цен будет

R = C b B -1 = = .

Напомним, что C b - базисные компоненты вектора C :

Тогда = .

Для выбора начального базиса нужно матрицу A * умножить слева на матрицу

=

.

Разрешающий элемент находится в квадрате.

Итерация симплекс-метода эквивалентна полученной таблице, умноженной слева на следующую матрицу:

.

Эта матрица получена из матрицы (1.23)

Здесь a ks = 2 ;

a 11 = 1; a 12 = - a 0s / a ks = - 12/2 = - 6;

a 13 = 0 ; a 21 = 0 ; a 22 = 1/ a ks = 1/2 ; a 23 = 0;

a 31 = 0 ; a 32 = - a ms / a ks = -1/2 ; a 33 = 1.

Тогда имеем

=

(1.24)

Разрешающий элемент помещен в квадрат.

Следующая итерация симплекс-метода равносильна умножению слева на матрицу

.

=

.

Следовательно, F min =11; X 4 =7/3; X 5 =1/3; X 1 =X 2 =X 3 =0.

Модифицированный симплекс-метод(МСМ ) отличается от обычного симплекс-метода(СМ ) тем, что в СМ всœе элементы симплекс-таблиц пересчитываются на каждой итерации и при получении очередной таблицы, всœе предыдущие таблицы, включая исходную, не сохраняются. В МСМ сохраняется исходная таблица, а на каждой итерации определяются: строка относительных оценок C , вводимых в базис , и текущее значение вектора правых частей ограничений . Для того чтобы определить всœе элементы таблицы после j- й итерации СМ , достаточно знать матрицу B -1 , соответствующую этой таблице, исходную матрицу и индексы текущих базисных переменных. Тогда текущий вектор R = C b B -1 (индексы текущих базисных переменных определяют, какие элементы вектора оценок из исходной таблицы входят в вектор С b ); =B -1 b , где b берется из исходной таблицы, а любой столбец новой таблицы=B -1 a j , гдеa j - столбец исходной таблицы.

Пусть задана теперь исходная таблица B -1 , соответствующая таблице i -й итерации. Для того чтобы получить матрицуB -1 , соответствующую (i+1)- й итерации, нужно определить небазисный столбец i -й таблицы , который должен быть введен в базис. ИзСМ следует, что должна быть введен в базис, в случае если C j <0. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, крайне важно вычислить С j для i -ой таблицы, выбрать среди них <0, а затем вычислить

a S = B -1 и =B -1 b (= C j - Ra j ).

Найдя разрешающий элемент и используя элементы векторов и , находим матрицу B -1 для следующей таблицы.

Пример. Модифицированным симплекс-методом минимизировать

F = 5X 1 + 6X 2 + 3X 3 + 4X 4 + 5X 5 ® min

при ограничениях:

2X 1 + 3X 3 + 4X 4 + 2X 5 = 10,

3X 2 + 3X 4 + 6X 5 = 9,

Выбрав в качестве базисных переменных X 1 и Х 2 , получили следующую задачу: F = 43 - 9/2X 3 - 12X 4 - 12X 5

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

≤ = ≥

≤ = ≥

≤ = ≥

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x при . min (40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 3 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 2 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x 1 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x 4 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F (X )=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е.

Базисные векторы x 4 , x 3 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 3 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x 3 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x 2 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 2 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x 3 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x 5 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 3 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы x 4 , x 5 , x 6 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 5 , x 6 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 5 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 6 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x 0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.