К идее метода ветвей и границ приходили многие исследователи, но Литтл с соавторами на основе указанного метода разработали удачный алгоритм решения ЗК и тем самым способствовали популяризации подхода. С тех пор метод ветвей и границ был успешно применен ко многим задачам, для решения ЗК было придумано несколько других модификаций метода, но в большинстве учебников излагается пионерская работа Литтла.

Общая идея тривиальна: нужно разделить огромное число перебираемых вариантов на классы и получить оценки (снизу - в задаче минимизации, сверху - в задаче максимизации) для этих классов, чтобы иметь возможность отбрасывать варианты не по одному, а целыми классами. Трудность состоит в том, чтобы найти такое разделение на классы (ветви) и такие оценки (границы), чтобы процедура была эффективной.

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Изложим алгоритм Литтла на примере 1 предыдущего раздела. Повторно запишем матрицу:

Нам будет удобнее трактовать С ij как стоимость проезда из города i в город j. Допустим, что добрый мэр города j издал указ выплачивать каждому въехавшему в город коммивояжеру 5 долларов. Это означает, что любой тур подешевеет на 5 долларов, поскольку в любом туре нужно въехать в город j. Но поскольку все туры равномерно подешевели, то прежний минимальный тур будет и теперь стоить меньше всех. Добрый же поступок мэра можно представить как уменьшение всех чисел j-го столбца матрицы С на 5. Если бы мэр хотел спровадить коммивояжеров из j-го города и установил награду за выезд в размере 10 долларов, это можно было бы выразить вычитанием 10 из всех элементов j-й той строки. Это снова бы изменило стоимость каждого тура, но минимальный тур остался бы минимальным. Итак, доказана следующая лемма.

Вычитая любую константу из всех элементов любой строки или столбца матрицы С, мы оставляем минимальный тур минимальным.

Для алгоритма нам будет удобно получить побольше нулей в матрице С, не получая там, однако, отрицательных чисел. Для этого мы вычтем из каждой строки ее минимальный элемент (это называется приведением по строкам, см. табл. 3), а затем вычтем из каждого столбца матрицы, приведенной по строкам, его минимальный элемент, получив матрицу, приведенную по столбцам, см. табл. 4).

Прочерки по диагонали означают, что из города i в город i ходить нельзя. Заметим, что сумма констант приведения по строкам равна 27, сумма по столбцам 7, сумма сумм равна 34.

Тур можно задать системой из шести подчеркнутых (выделенных другим цветом) элементов матрицы С, например, такой, как показано на табл. 2. Подчеркивание элемента означает, что в туре из i-го элемента идут именно в j-тый. Для тура из шести городов подчеркнутых элементов должно быть шесть, так как в туре из шести городов есть шесть ребер. Каждый столбец должен содержать ровно один подчеркнутый элемент (в каждый город коммивояжер въехал один раз), в каждой строке должен быть ровно один подчеркнутый элемент (из каждого города коммивояжер выехал один раз); кроме того, подчеркнутые элементы должны описывать один тур, а не несколько меньших циклов. Сумма чисел подчеркнутых элементов есть стоимость тура. На табл. 2 стоимость равна 36, это тот минимальный тур, который получен лексикографическим перебором.

Теперь будем рассуждать от приведенной матрицы на табл. 2. Если в ней удастся построить правильную систему подчеркнутых элементов, т.е. систему, удовлетворяющую трем вышеописанным требованиям, и этими подчеркнутыми элементами будут только нули, то ясно, что для этой матрицы мы получим минимальный тур. Но он же будет минимальным и для исходной матрицы С, только для того, чтобы получить правильную стоимость тура, нужно будет обратно прибавить все константы приведения, и стоимость тура изменится с 0 до 34. Таким образом, минимальный тур не может быть меньше 34. Мы получили оценку снизу для всех туров.

Теперь приступим к ветвлению. Для этого проделаем шаг оценки нулей. Рассмотрим нуль в клетке (1,2) приведенной матрицы. Он означает, что цена перехода из города 1 в город 2 равна 0. А если мы не пойдем из города 1 в город 2? Тогда все равно нужно въехать в город 2 за цены, указанные во втором столбце; дешевле всего за 1 (из города 6). Далее, все равно надо будет выехать из города 1 за цену, указанную в первой строке; дешевле всего в город 3 за 0. Суммируя эти два минимума, имеем 1+0=1: если не ехать «по нулю» из города 1 в город 2, то надо заплатить не меньше 1. Это и есть оценка нуля. Оценки всех нулей поставлены на табл. 5 правее и выше нуля (оценки нуля, равные нулю, не ставились).

Выберем максимальную из этих оценок (в примере есть несколько оценок, равных единице, выберем первую из них, в клетке (1,2)).

Итак, выбрано нулевое ребро (1,2). Разобьем все туры на два класса - включающие ребро (1,2) и не включающие ребро (1,2). Про второй класс можно сказать, что придется приплатить еще 1, так что туры этого класса стоят 35 или больше.

Что касается первого класса, то в нем надо рассмотреть матрицу на табл. 6 с вычеркнутой первой строкой и вторым столбцом.

Таблица 5

Таблица 7

Дополнительно в уменьшенной матрице поставлен запрет в клетке (2,1), т.к. выбрано ребро (1,2) и замыкать преждевременно тур ребром (2,1) нельзя. Уменьшенную матрицу можно привести на 1 по первому столбцу, так что каждый тур, ей отвечающий, стоит не меньше 35. Результат наших ветвлений и получения оценок показан на рис. 6.

Кружки представляют классы: верхний кружок - класс всех туров; нижний левый - класс всех туров, включающих ребро (1,2); нижний правый - класс всех туров, не включающих ребро (1,2). Числа над кружками - оценки снизу.

Продолжим ветвление в положительную сторону: влево - вниз. Для этого оценим нули в уменьшенной матрице C на табл. 7. Максимальная оценка в клетке (3,1) равна 3. Таким образом, оценка для правой нижней вершины на рис. 7 есть 35+3=38. Для оценки левой нижней вершины на рис. 7 нужно вычеркнуть из матрицы C еще строку 3 и столбец 1, получив матрицу C[(1,2), (3,1)] на табл. 8. В эту матрицу нужно поставить запрет в клетку (2,3), так как уже построен фрагмент тура из ребер (1,2) и (3,1), т.е. , и нужно запретить преждевременное замыкание (2,3). Эта матрица приводится по столбцу на 1 (табл. 9), таким образом, каждый тур соответствующего класса (т.е. тур, содержащий ребра (1,2) и (3,1)) стоит 36 и более.

Таблица 9

Таблица 11

Оцениваем теперь нули в приведенной матрице C[(1,2), (3,1)] нуль с максимальной оценкой 3 находится в клетке (6,5). Отрицательный вариант имеет оценку 38+3=41. Для получения оценки положительного варианта убираем строчку 6 и столбец 5, ставим запрет в клетку (5,6), см. табл. 10. Эта матрица неприводима. Следовательно, оценка положительного варианта не увеличивается (рис. 8).

Оценивая нули в матрице на табл. 10, получаем ветвление по выбору ребра (2,6), отрицательный вариант получает оценку 36+3=39, а для получения оценки положительного варианта вычеркиваем вторую строку и шестой столбец, получая матрицу на табл. 11.

В матрицу надо добавить запрет в клетку (5,3), ибо уже построен фрагмент тура и надо запретить преждевременный возврат (5,3). Теперь, когда осталась матрица 2х2 с запретами по диагонали, достраиваем тур ребрами (4,3) и (5,4). Мы не зря ветвились, по положительным вариантам. Сейчас получен тур: 1>2>6>5>4>3>1 стоимостью в 36. При достижении низа по дереву перебора класс туров сузился до одного тура, а оценка снизу превратилась в точную стоимость.

Итак, все классы, имеющие оценку 36 и выше, лучшего тура не содержат. Поэтому соответствующие вершины вычеркиваются. Вычеркиваются также вершины, оба потомка которой вычеркнуты. Мы колоссально сократили полный перебор. Осталось проверить, не содержит ли лучшего тура класс, соответствующий матрице С , т.е. приведенной матрице С с запретом в клетке 1,2, приведенной на 1 по столбцу (что дало оценку 34+1=35). Оценка нулей дает 3 для нуля в клетке (1,3), так что оценка отрицательного варианта 35+3 превосходит стоимость уже полученного тура 36 и отрицательный вариант отсекается.

Для получения оценки положительного варианта исключаем из матрицы первую строку и третий столбец, ставим запрет (3,1) и получаем матрицу. Эта матрица приводится по четвертой строке на 1, оценка класса достигает 36 и кружок зачеркивается. Поскольку у вершины «все» убиты оба потомка, она убивается тоже. Вершин не осталось, перебор окончен. Мы получили тот же минимальный тур, который показан подчеркиванием на табл. 2.

Удовлетворительных теоретических оценок быстродействия алгоритма Литтла и родственных алгоритмов нет, но практика показывает, что на современных ЭВМ они часто позволяют решить ЗК с n = 100. Это огромный прогресс по сравнению с полным перебором. Кроме того, алгоритмы типа ветвей и границ являются, если нет возможности доводить их до конца, эффективными эвристическими процедурами.

4.3.1. Общая схема метода «ветвей и границ». Другим широко применяемым для решения задач дискретного програм­мирования методом является метод ветвей и границ . Впервые данный метод для решения ЦЗЛП предложили в 1960 г. Лэнг и Дойг, а его «второе рождение» произошло в 1963 г. в связи с выходом работы Литтла, Мурти, Суини и Кэрел, посвященной решению задачи о коммивояжере .

Вообще говоря, термин «метод ветвей и границ» является соби­рательным и включает в себе целое семейство методов, применяе­мых для решения как линейных, так и нелинейных дискретных задач, объединяемое общими принципами. Кратко изложим их.

Пусть стоит задача:

где D - конечное множество.

Алгоритм является итеративным, и на каждой итерации про­исходит работа с некоторым подмножеством множества D . На­зовем это подмножество текущим и будем обозначать его как D ( q ) , где q - индекс итерации. Перед началом первой итерации в качестве текущего множества выбирается все множество D (D (1) =D ), и для него некоторым способом вычисляется значе­ние верхней оценки для целевой функции max f(x) ≤ ξ( D (1)). Стандартная итерация алгоритма состоит из следующих этапов:

1°. Если можно указать план x (q ) ∊D (q ) , для которого f(x (q ) ) ≤ξ( D (q )), то x (q ) =х* - решение задачи (4.29).

2°. Если такой план не найден, то область определения D (q ) некоторым образом разбивается на подмножества D 1 (q ) , D 2 (q ) , ..., D lq (q ) , удовлетворяющие условиям:

Для каждого подмножества находятся оценки сверху (вер­хние границы) для целевой функции ξD 1 ( q ) , ξD 2 ( q ) , ..., ξD l 1 ( q ) , уточняющие ранее полученную оценку ξD ( q ) , то есть ξD i ( q ) ≤ ξD ( q ) , i ∊1:l q . Возможно одно из двух:

2.1. Если существует такой план х ( q ) , что

то этот план оптимальный.

2.2. Если такой план не найден, то выбирается одно из мно­жеств D i ( q ) , i ∊1:l q (как правило, имеющее наибольшую оценку

Все имеющиеся к текущему моменту концевые подмножества, т. е. те подмножества, которые еще не подверглись процессу дробления, переобозначаются как D 1 ( q +1) , D 2 ( q +1) ,..., D l ( q +1) ( q +1) , после чего процесс повторяется.

Схема дробления множества D представлена на рис. 4.3 в виде графа. Существуют и более сложные системы индексации подмножеств, при которых не требуется их переобозначение на каждом шаге.

Конкретные реализации метода ветвей и границ связаны с правилами разбиения на подмножества (правилами ветвления) и построения оценок значений целевых функций на данных под­множествах (границ).

4.3.2. Решение ЦЗЛП методом ветвей и границ. Рас­смотрим применение алгоритма метода ветвей и границ для решения ЦЗЛП (4.2)-(4.3). Как уже упоминалось, через D ( q ) обозначается подмножество множества допустимых планов за­дачи. Перед началом первой итерации (q = 1) в качестве теку­щего множества берется все множество D (D (1) = D ), после чего решается стандартная задача линейного программирования (D (1) , f ). Нетрудно заметить, что она является непрерывным аналогом

исходной задачи (4.2)-(4.3). Если найденный оптималь­ный план (1) содержит только целочисленные компоненты, то он является и оптимальным планом для (4.2)-(4.3): (1) = x* . В противном случае значение f ( (1)) становится оценкой (верх­ней границей) значения целевой функции на множестве D (1) , и мы переходим к выполнению стандартной итерации алгоритма. Опишем входящие в нее этапы.

1) Выбирается некоторая нецелочисленная компонента пла­на k ( q ) . Поскольку в оптимальном плане она должна быть це­лой, то можно наложить ограничения x k ≤ [ k ( q ) ] и x k ≥ [ k ( q ) ]+1. Таким образом, D ( q ) разбивается на подмножества

Графическая интерпретация такого разбиения множества D ( q ) приведена на рис. 4.4.

2) Решаются задачи линейного программирования

Соответствующие максимальные значения целевой функции принимаются как ее оценки на этих множествах:

Если оптимальный план для одной из решенных задач удов­летворяет условию

и содержит только целые компоненты, то, значит, найдено ре­шение основной задачи (4.2)-(4.3). В противном случае среди всех концевых подмножеств , полученных как на предыду­щих (D i ( q )), так и на текущем (D 1 ( q ) , D 2 ( q )) этапе, выбирается об­ласть с наибольшей оценкой ξ(D i ( q )). Она становится текущим рассматриваемым подмножеством (D ( q +1)). Далее производится перенумерация концевых множеств и вычислительный процесс итеративно повторяется.

При решении задач (D 1 ( q ) , f ) и (D 2 ( q ) , f ) можно воспользовать­ся результатами решения предыдущей задачи (D ( q ) , f ). Рас­смотрим вариант организации вычислительного процесса на примере задачи ( 1 ( q ) , f ) (для ( 2 ( q ) , f ) он выглядит аналогично с точностью до знаков неравенств).

Предположим, что на последнем шаге решения задачи (D ( q ) , f ) был получен оптимальный базис β. Без ограничения общности можно считать, что он состоит из первых m столбцов матрицы задачи. Данное предположение делается исключитель­но для обеспечения наглядности дальнейшего изложения и оче­видно, что его выполнения можно всегда добиться за счет про­стой перенумерации векторов а j . По аналогии с предыдущим параграфом введем обозначения для элементов матрицы задачи (D ( q ) , f ) и ее вектора ограничений относительно базиса :

Тогда система ограничений задачи (D ( q ) , f ) может быть пред­ставлена как

а получаемая на ее основе система ограничений задачи ( 1 ( q ) , f ) как

где х n +1 ≥ 0 - фиктивная переменная, которой соответствует нулевой коэффициент в целевой функции, добавляемая для пре­образования неравенства в строгое равенство.

Очевидно, что 1≤k≤m , т. к. небазисные компоненты опти­мального плана (m +1≤j≤n ) равны нулю, т. е. являются заведо­мо целочисленными. Тогда с учетом сделанных предположений о виде базиса можно записать:

Как видно из (4.39), в k -м столбце имеется всего два отлич­ных от нуля элемента: в k -й и (m +1)-й строках. Если вычесть из (m +1)-го уравнения k -e, то, учитывая, что [ά k ] – ά k =-{ά k }, по­лучим эквивалентную систему:

Проведенные преобразования системы ограничений D 1 ( q ) по­зволили явно выделить сопряженный базис, образуемый столб­цами с номерами 1,..., m , n +1, и соответствующий ему псевдо­план (ά 1 , ..., ά m , 0,...., 0, -{ά k }), т.е. для решения задачи (D 1 ( q ) , f ) может быть применен алгоритм двойственного симплекс-мето­да. Практически вычислительный процесс для данного этапа сводится к преобразованию к симплекс-таблицы, показанному на рис. 4.5.

Для случая задачи (D 2 ( q ) , f ) преобразование симплекс-табли­цы, получаемое на базе аналогичных рассуждений, приведено на рис. 4.6.

Очевидным недостатком алгоритма метода ветвей и границ при решении задач большой размерности является необходи­мость перебрать слишком большое количество вариантов пе­ред тем, как будет найден оптимальный план. Однако он отчасти может быть преодолен, если ограничиться поиском не опти­мального, а просто «хорошего» (близкого к оптимальному) пла­на. О степени такой близости и скорости приближения к экст­ремуму нетрудно судить по изменению значений оценок.

Подчеркнем, что приведенная реализация метода ветвей и границ является одной из многих . Помимо нее, например, очень популярна версия метода решения задачи коммивояжера, в которой для ветвления и построения оценок используют специфические свойства данной модели. При желании о ней мож­но прочесть в .

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Ø Ø Задачи с неделимостями.

Ø Ø Экстремальные комбинаторные задачи.

Ø Ø Задачи с разрывными целевыми функциями.

Ø Ø Правильное отсечение.

Ø Ø Метод Гомори.

Ø Ø Методы ветвей и границ.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

4.1. Какие основные проблемы возникают при решении дис­кретных задач?

4.2. Сформулируйте задачу о ранце.

4.3. Какие экономико-математические модели могут быть све­дены к задаче о коммивояжере?

4.4. Приведите пример моделей с разрывными целевыми функ­циями.

4.5. Какой принцип используется для построения правильно­го отсечения в методе Гомори?

4.6. Перечислите основные этапы, входящие в «большую» итерацию метода Гомори.

4.7. Какую роль играет алгоритм двойственного симплекс-ме­тода при решении целочисленной

линейной задачи мето­дом Гомори?

4.8. Перечислите принципиальные идеи, лежащие в основе ме­тодов ветвей и границ.

4.9. Как производится построение отсечения при решении це­лочисленной линейной задачи методом

ветвей и границ?

4.10. Опишите схему решения целочисленной задачи линейно­го программирования методом ветвей и

4.11. За счет каких преобразований удается построить сопря­женный базис при добавлении

отсекающего ограничения?

Введение

При рассмотрении целого ряда задач, необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Методы решения задач линейного программирования не гарантируют целочисленности решения.

Иногда задачи целочисленного линейного программирования решают приближенно. Для этого решают задачу без учета целочисленности переменных, затем в полученном оптимальном решении округляют результаты до ближайших целых значений. Использование таких решений допустимо в тех ситуациях, где значения переменных достаточно велики, и погрешностью округления можно пренебречь. Если значения переменных невелики, то округление может привести к значительному расхождению с оптимальным решением.

Одним из широко распространенных методов решения целочисленных задач является метод ветвей и границ, впервые, он был предложен Ленд и Дойг в 1960 г.

ветвь граница линейное программирование

Метод ветвей и границ

Алгоритм метода ветвей и границ предусматривает декомпозицию исходной задачи линейного программирования (ЗЛП) на последовательность задач, содержащих дополнительные ограничения на переменные, которые затем оптимизируются.

1. Процесс начинают с решения задачи симплексным или графическим методом без учета требования на целочисленность переменных. Эту задачу называют ЗЛП-0. Если все переменные оптимального плана целые, то этот план также является оптимальными для задач целочисленного программирования.

2. Если некоторая переменная, не получила целочисленного значения, то производится ветвление на две новые задачи ЗЛП-1, ЗЛП-2. Одна из задач ЗЛП-1 представляет собой задачу ЗЛП-0, дополненную ограничением где - целая часть числа. Вторая образуется путем добавления к задаче ЗЛП-0 ограничения. Следует отметить, что выбор целочисленной переменной может быть произвольным определяться следующим образом:

по возрастанию или убыванию индексов;

переменная представляет важное решение принимаемое в рамках данной задачи;

коэффициент в целевой функции при этой переменной существенно превосходит все остальные.

3. Задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2 решаются самостоятельно. Ветвь оканчивается, если область допустимых решений пуста, либо её оптимальное решение полностью целочисленное. В противном случае возникает необходимость ветвления с п.2, обозначая следующие номера задач ЗЛП в естественном порядке ЗЛП-3, ЗЛП-4.

Процесс решения можно представить в виде дерева, в котором вершина ЗЛП-0 отвечает начальному плану решения задачи, а каждая из соединенных с ней ветвью вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи.

Рассмотрим следующий пример. Максимизировать целевую функцию

при ограничениях

Воспользуемся графическим методом решения задачи линейного программирования.

1. Решим исходную задачу без учета требования целочисленности переменных.

Обозначим эту задачу линейного программирования ЗЛП-0.

На рисунке 1.1 штриховкой выделен многоугольник решений данной задачи. Максимальное значение достигается в точке Решение не является целочисленным.

Следующий шаг метода ветвей и границ состоит в ветвлении по одной из целочисленных переменных, имеющих дробное значение, например. Для этого добавим к задаче ЗЛП-0 два новых ограничения и Этими ограничениями удаляется интервал = в котором нет целых значений. Таким образом, в процессе ветвления создаются две новые задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2.

Рисунок 1.1 Решение задачи ЗЛП-0

2. Решим задачу ЗЛП-1 графически.

На рисунке 1.2 изображена допустимая область задачи ЗЛП-1. Максимальное значение достигается в точке. Решение задачи нецелочисленное.

Рисунок 1.2 Решение задачи ЗЛП-1

3. Решим задачу ЗЛП-2 графически.

В данном случае множество допустимых решений пусто (рисунок 1.2). Система ограничений несовместна, и задачу ЗЛП-2 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Рисунок 1.3 Решение задачи ЗЛП-2

Теперь продолжим исследование задачи ЗЛП-1, поскольку значение нецелое. Произведем еще одно ветвление, путем введения ограничений и. В результате получаем две новые задачи ЗЛП-3 и ЗЛП-4.

В задаче коммивояжера для формирования оптимального маршрута объезда n городов необходимо выбрать один лучший из (n-1)! вариантов по критерию времени, стоимости или длине маршрута. Эта задача связана с определением гамильтонова цикла минимальной длины. В таких случаях множество всех возможных решений следует представить в виде дерева - связного графа, не содержащего циклов и петель. Корень дерева объединяет все множество вариантов, а вершины дерева - это подмножества частично упорядоченных вариантов решений.
Вершина (i, j) соответствует подмножеству всех маршрутов, содержащих ребро (i,j), а вершина (i*,j*) - подмножеству всех маршрутов, где это ребро отсутствует.
Процесс разбиения на эти подмножества можно рассматривать как ветвление дерева. Поэтому метод называется методом поиска по дереву решений , или методом ветвей и границ .
Метод ветвей и границ представляет собой алгоритм направленного перебора множества вариантов решения задачи. Сущность метода ветвей и границ состоит в том, что от корня дерева ветвятся не все вершины.

Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (ЦЗЛП)

Наиболее известным комбинаторным методом является метод ветвей и границ, который также опирается на процедуру решения задачи с ослабленными ограничениями. При таком подходе из рассматриваемой задачи получаются две подзадачи путем специального «разбиения» пространства решений и отбрасывания областей, не содержащих допустимых целочисленных решений.

В случае когда целочисленные переменные являются булевыми, применяются комбинированные методы. Булевы свойства переменных существенно упрощают поиск решения.

Рассматриваемый в данном разделе метод ветвей и границ решения задачи целочисленного программирования также опирается на решение задачи с ослабленными ограничениями. Метод ветвей и границ непосредственно применим как к полностью, так и к частично целочисленным задачам.

Согласно общей идее метода, сначала решается задача с ослабленными ограничениями (задача линейного программирования). Пусть хr - целочисленная переменная, значение xr* которой в оптимальном решении ослабленной задачи является дробным. Интервал < xr < +1 не содержит допустимых целочисленных компонент решения. Поэтому допустимое целое значение хr должно удовлетворять одному из неравенств xr ≤[ xr* ] или хr ≥[ xr* ] +1.
Введение этих условий в задачу с ослабленными ограничениями порождает две не связанные между собой задачи. В таком случае говорят, что исходная задача разветвляется (или разбивается) на две подзадачи. Осуществляемый в процессе ветвления учет необходимых условий целочисленности позволяет исключить части многогранника допустимых решений, не содержащие точек с целыми координатами.

Затем каждая подзадача решается как задача линейного программирования (с целевой функцией исходной задачи). Если полученный оптимум оказывается допустимым для целочисленной задачи, такое решение следует зафиксировать как наилучшее. При этом нет необходимости продолжать«ветвление» подзадачи, поскольку улучшить полученное решение, очевидно, не удастся. В противном случае подзадача, в свою очередь, должна быть разбита на две подзадачи опять при учете условия целочисленности переменных, значения которых в оптимальном решении не являются целыми. Разумеется, как только полученное допустимое целочисленное решение одной из подзадач оказывается лучше имеющегося, оно фиксируется вместо зафиксированного ранее. Процесс ветвления продолжается, насколько это возможно, до тех пор, пока каждая подзадача не приведет к целочисленному решению или пока не будет установлена невозможность улучшения имеющегося решения. В этом случае зафиксированное допустимое решение является оптимальным. Эффективность вычислительной схемы метода можно повысить, введя в рассмотрение понятие границы, на основе которого делается вывод о необходимости дальнейшего разбиения каждой из подзадач.

Если оптимальное решение подзадачи с ослабленными ограничениями обеспечивает худшее значение целевой функции, чем имеющееся решение, эту подзадачу далее рассматривать не следует. В таких случаях говорят, что подзадача прозондирована, и ее можно вычеркнуть из списка подзадач, порожденных исходной задачей. Иными словами, как только получено допустимое целочисленное решение некоторой подзадачи, целочисленное решение некоторой подзадачи, соответствующее значение целевой функции может быть использовано в качестве(верхней в случае минимизации и нижней в случае максимизации) границы, наличие которой позволяет формализовать процедуру исключения прозондированных подзадач.

Рассмотрим задачу целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП) :
Найти вектор , максимизирующий линейную форму (3.1)
и удовлетворяющий условиям:

x 1 , x 2 ,…,x p –целые (p≤n) (3.4)
Пусть, для каждой целочисленной переменной можно указать верхнюю и нижнюю границы, в пределах которых безусловно содержатся ее оптимальные значения, то есть
V j ≤x j ≤ W j , (3.5)
При этом в систему функциональных ограничений необходимо включить р неравенств (3.5).

В начале любой S-й итерации метода ветвей и границ необходимо иметь:
1. Основной список задач линейного программирования, каждая из которых должна быть решена в последующих итерациях (на первой итерации список содержит одну ЗЛП- задачу 1 (3.1- 3.3) и (3.5).
2. Нижнюю границу оптимального значения линейной формы задачи (3.1) - (3.3), (3.5) Z0 (s) . На первой итерации в качестве Z0 (1) можно взять значение функции f(x) в любой целочисленной точке x, лежащей внутри области(3.2) - (3.5). Если такую точку указать трудно, то можно положить Z0 (1) = - ∞, но это приводит к значительному увеличению числа итераций.

Рассмотрим следующую задачу целочисленного линейного программирования. Максимизировать при ограничениях

На рис.1 пространство допустимых решений задачи целочисленного линейного программирования представлено точками. Соответствующая начальная задача линейного программирования (обозначим ее ЛП0) получается путем отбрасывания условия целочисленности. Ее оптимальным решением будет =3.75, =1.25, z=23.75.

Рис.1.

Так как оптимальное решение задачи ЛП0 не удовлетворяет условия целочисленности, метод ветвей и границ изменяет пространство решений задачи линейного программирования так, что в конечном счете получается оптимальное решение задачи целочисленного линейного программирования. Для этого сначала выбирается одна из целочисленных переменных, значение которой в оптимальном решении задачи ЛП0 не является целочисленным. Например, выбирая (=3.75), замечаем, что область 3 ? ?4 пространства допустимых решений задачи ЛП0 не содержит целочисленных значений переменной и, следовательно, может быть исключена из рассмотрения, как бесперспективная. Это эквивалентно замене исходной задачи ЛП0 двумя новыми задачами линейного программирования ЛП1 и ЛП2, которые определяются следующим образом:

Пространство допустимых решений ЛП1 = пространство допустимых решений ЛП0 + (), пространство допустимых решений ЛП2 = пространство допустимых решений ЛП0 + ().

На рис.2 изображены пространства допустимы решений задач ЛП1 И ЛП2 . Оба пространства содержат все допустимые решения исходной задачи ЦЛП. Это обозначает, что задачи ЛП1 и ЛП2 «не потеряют» решения начальной задачи ЛП0.

Рис.2.

Если продолжим разумно исключать из рассмотрения области, не содержащие целочисленных решений (такие, как), путем введения надлежащих ограничений, то в конечном счете получим задачу линейного программирования, оптимальное решение которой удовлетворяет требованиям целочисленности. Другими словами, будем решать задачу ЦЛП путем решения последовательности непрерывных задач линейного программирования.

Новые ограничения и взаимоисключаемы, так что задачи ЛП1 и ЛП2 необходимо рассматривать как независимые задачи линейного программирования, что и показано на Рис.3. Дихотомизация задач ЛП - основа концепции ветвления в методе ветвей и границ. В этом случае называется переменной ветвления.

Рис.3.

Оптимальное решение задачи ЦЛП находятся в пространстве допустимых решений либо в ЛП1, либо в ЛП2. Следовательно, обе подзадачи должны быть решены. Выбираем сначала задачу ЛП1 (выбор произволен), имеющую дополнительное ограничение?3.

Максимизировать при ограничениях

Оптимальным решением задачи ЛП1 является, и. Оптимальное решение задачи ЛП1 удовлетворяет требованию целочисленности переменных и. В этом случае говорят что задача прозондирована. Это означает, что задача ЛП1 не должна больше зондироваться, так как она не может содержать лучшего решения задачи ЦЛП.

Мы не можем в этой ситуации оценить качество целочисленного решения, полученного из рассмотрения задачи ЛП1, ибо решение задачи ЛП2 может привести к лучшему целочисленному решению (с большим решением в целевой функции z). Пока мы можем лишь сказать, что значение является нижней границей оптимального (максимального) значения целевой функции исходной задачи ЦЛП. Это значит, что любая нерассмотренная подзадача, которая не может привести к целочисленному решению с большим значением целевой функции, должна быть исключена, как бесперспективная. Если же нерассмотренная подзадача может привести к лучшему целочисленному решению, то нижняя граница должна быть надлежащим образом изменена.

При значении нижней границы исследуем ЛП2. Так как в задачи ЛП0 оптимальное значение целевой функции равно 23.75 и вес ее коэффициенты являются целыми числами, то невозможно получить целочисленное решение задачи ЛП2, которое будет лучше имеющегося. В результате мы отбрасываем подзадачу ЛП2 и считаем ее прозондированной.

Реализация метода ветвей и границ завершена, так как обе подзадачи ЛП1 и ЛП2 прозондированы. Следовательно, мы заключаем, что оптимальным решением задачи ЦЛП является решение, соответствующей нижней границе, а именно, и.

Если бы мы выбрали в качестве ветвлении переменную то ветвления и скорость нахождения оптимального решения были бы другими Рис.4.

Рис.4. Дерево ветвлений решений