Вывод при решении злп в сфере excel. Решение транспортной задачи с помощью средства поиск решения

Использование Microsoft Excel для решения задач линейного программирования .

В Excel 2007 для включения пакета анализа надо нажать перейти в блок Параметры Excel , нажав кнопку в левом верхнем углу, а затем кнопку «Параметры Excel » внизу окна:

Далее в открывшемся списке нужно выбрать Надстройки , затем установить курсор на пункт Поиск решения , нажать кнопку Перейти и в следующем окне включить пакет анализа.

Для того чтобы решить задачу ЛП в табличном процессоре Microsoft Excel , необходимо выполнить следующие действия:

1. Ввести условие задачи:

a) создать экранную форму для ввода условия задачи :

· переменных,

· целевой функции (ЦФ),

· ограничений,

· граничных условий;

b) ввести исходные данные в экранную форму :

· коэффициенты ЦФ,

· коэффициенты при переменных в ограничениях,

· правые части ограничений;

c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму :

· формулу для расчета ЦФ,

· формулы для расчета значений левых частей ограничений;

d) задать ЦФ (в окне "Поиск решения" ):

· целевую ячейку,

· направление оптимизации ЦФ;

e) ввести ограничения и граничные условия (в окне "Поиск решения" ):

· ячейки со значениями переменных,

· граничные условия для допустимых значений переменных,

· соотношения между правыми и левыми частями ограничений.

2. Решить задачу:

a) установить параметры решения задачи (в окне "Поиск решения" );

b) запустить задачу на решение (в окне "Поиск решения" ) ;

c) выбрать формат вывода решения (в окне "Результаты поиска решения" ).

Рассмотрим подробно использование MS Excel на примере решения следующей задачи.

Задача.

Фабрика "GRM pic" выпускает два вида каш для завтрака - "Crunchy" и "Chewy". Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основ-ном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В приведенной ниже таблице указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта.

*Цех*	*Необходимый фонд рабочего времени* *чел.-ч/т*		*Общий фонд рабочего времени* *чел.-ч. в месяц*
*Цех*	*"Crunchy"*	*"Chewy"*	*Общий фонд рабочего времени* *чел.-ч. в месяц*
А. Производство	10	4	1000
В. Добавка приправ	3	2	360
С. Упаковка	2	5	600

Доход от производства 1 т "Crunchy" составляет 150 ф. ст., а от производства "Chewy" - 75 ф, ст. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж. Имеется возможность продать всю произведенную продукцию.

Требуется:

а) Сформулировать модель линейного программирования, максимизи-рующую общий доход фабрики за месяц.

б) Решить ее c помощью MS Excel.

Формальная постановка данной задачи имеет вид:

(1)
Ввод исходных данных
Создание экранной формы и ввод исходных данных

Экранная форма для решения в MS Excel представлена на рисунке 1.

Рисунок 1.

В экранной форме на рисунке 1 каждой переменной и каждому коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка на листе Excel. Имя ячейки состоит из буквы, обозначающей столбец, и цифры, обозначающей строку, на пересечении которых находится объект задачи ЛП. Так, например, переменным задачи 1 соответствуют ячейки B4 (), C4 (), коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки B6 (150), C6 (75), правым частям ограничений соответствуют ячейки D 18 (1000), D 19 (360), D 20 (600) и т.д.
Ввод зависимостей из формальной постановки задачи в экранную форму

Для ввода зависимостей определяющих выражение для целевой функции и ограничений используется функция MS Excel СУММПРОИЗВ , которая вычисляет сумму попарных произведений двух или более массивов.

Одним из самых простых способов определения функций в MS Excel является использование режима "Вставка функций", который можно вызвать из меню "Вставка" или при нажатии кнопки "

Рисунок 2

Так, например, выражение для целевой функции из задачи 1 определяется следующим образом:

· курсор в поле D 6;

· нажав кнопку "

· в окне "Функция" выберитефункцию СУММПРОИЗВ (рис. 3);

Рисунок 3

· в появившемся окне "СУММПРОИЗВ" в строку "Массив 1" введите выражение B $4: C $4 , а в строку "Массив 2" - выражение B 6: C 6 (рис. 4);

Рисунок 4

Левые части ограничений задачи (1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B 3, C 3 ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B 13, C 13 - 1-е ограничение; B 14, С14 - 2-е ограничение и B 15, С15 - 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл.1.

Таблица 1.
Формулы, описывающие ограничения модели (1)

Левая часть ограничения	Формула Excel
	=СУММПРОИЗВ(B 4: C 4; B 13: C 13))
	=СУММПРОИЗВ(B 4: C 4; B 14: C 14))
	=СУММПРОИЗВ(B 4: C 4; B 15: C 15)

Задание ЦФ

Дальнейшие действия производятся в окне "Поиск решения" , которое вызывается из меню "Сервис" (рис.5):

· поставьте курсор в поле "Установить целевую ячейку" ;

· введите адрес целевой ячейки $ D $6 или сделайте одно нажатие левой клавиши мыши на целевую ячейку в экранной форме ¾ это будет равносильно вводу адреса с клавиатуры;

· введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке "максимальному значению".

Рисунок 5
Ввод ограничений и граничных условий
Задание ячеек переменных

В окно "Поиск решения" в поле "Изменяя ячейки" впишите адреса $ B $4:$С$4 . Необходимые адреса можно вносить в поле "Изменяя ячейки" и автоматически путем выделения мышью соответствующих ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
Задание граничных условий для допустимых значений переменных

В нашем случае на значения переменных накладывается только граничное условие неотрицательности, то есть их нижняя граница должна быть равна нулю (см. рис. 1).

· Нажмите кнопку "Добавить" , после чего появится окно "Добавление ограничения" (рис.6).

· В поле "Ссылка на ячейку" введите адреса ячеек переменных $ B $4:$С$4 . Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью всех ячеек переменных непосредственно в экранной форме.

· В поле знака откройте список предлагаемых знаков и выберите .

· В поле "Ограничение" введите 0.

Рис.6 - Добавление условия неотрицательности переменных задачи (1)
Задание знаков ограничений , , =

· Нажмите кнопку "Добавить" в окне "Добавление ограничения" .

· В поле "Ссылка на ячейку" введите адрес ячейки левой части конкретного ограничения, например $ B $18 . Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью нужной ячейки непосредственно в экранной форме.

· В соответствии с условием задачи (1) выбрать в поле знака необходимый знак, например, .

· В поле "Ограничение" введите адрес ячейки правой части рассматриваемого ограничения, например $ D $18 .

· Аналогично введите ограничения: $ B $19<=$ D $19 , $ B $20<=$ D $20 .

· Подтвердите ввод всех перечисленных выше условий нажатием кнопки OK .

Окно "Поиск решения" после ввода всех необходимых данных задачи (1) представлено на рис. 5.

Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делают, нажав кнопки "Изменить" или "Удалить" (см. рис. 5).
Решение задачи
Установка параметров решения задачи

Задача запускается на решение в окне "Поиск решения". Но предварительно для установления конкретных параметров решения задач оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку "Параметры" и заполнить некоторые поля окна "Параметры поиска решения" (рис. 7).

Рис. 7 - Параметры поиска решения, подходящие для большинства задач ЛП

Параметр "Максимальное время" служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).

Параметр "Предельное число итераций" служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее 32 767.

Параметр "Относительная погрешность" служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.

Параметр "Допустимое отклонение" служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.

Параметр "Сходимость" применяется только при решении нелинейных задач.Установка флажка "Линейная модель" обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода.

Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки " OK " .
Запуск задачи на решение

Запуск задачи на решение производится из окна "Поиск решения" путем нажатия кнопки "Выполнить".

После запуска на решение задачи ЛП на экране появляется окно "Результаты поиска решения" с сообщением об успешном решении задачи, представленном на рис. 8.

Рис. 8 -. Сообщение об успешном решении задачи

Появление иного сообщения свидетельствует не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий задачи в Excel были допущены ошибки , не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует.

Если при заполнении полей окна "Поиск решения" были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра "Относительная погрешность" не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.

В окне "Результаты поиска решения" представлены названия трех типов отчетов: "Результаты", "Устойчивость", "Пределы" . Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность. Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку " OK ". После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис. 9).

Рис.9 - Экранная форма задачи (1) после получения решения

Введение

4.1. Исходные данные

4.2. Формулы для вычислений

4.3. Заполнение диалогового окна «Поиск решения»

4.4. Результаты решения

Заключение

Cписок литературы

Введение

линейный программирование excel оптимизационный задача

Решение широкого круга задач электроэнергетики и других отраслей народного хозяйства основывается на оптимизации сложной совокупности зависимостей, описанных математически с помощью некоторой «целевой функции» (ЦФ). Подобные функции можно записать для определения затрат на топливо для электростанций, на потери электроэнергии при транспорте ее от электростанции к потребителям и многие другие проблемные задачи. В таких случаях требуется найти ЦФ при определенных ограничениях, накладываемых на ее переменные. Если ЦФ линейно зависит от входящих в ее состав переменных и все ограничения образуют линейную систему уравнений и неравенств, то такая частная форма оптимизационной задачи получила название «задачи линейного программирования».

Тема курсовой работы «Решение задач линейного программирования в MS Excel», на примере «транспортная задача» взятой из области общей энергетики, получить практические навыки в использовании электронных таблиц Microsoft Excel и решения оптимизационных задач линейного программирования.

1. Исходные данные для решения задачи

Исходные данные включают в себя - схему расположения угольных бассейнов (УБ) и электрических станций (ЭС) с указанием транспортных связей между ними, таблицы, содержащие сведения о годовой производительности и удельной цене топлива УБ, установленной мощности, числе часов использования установленной мощности и удельный расход топлива на ЭС, расстояниях между УБ и ЭС и удельной стоимости перевозки топлива по трассам УБ-ЭС.

Рис.1. Исходные данные

2. Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel

Рис. 2. Вид окна приложения

Табличными процессами называют пакеты программ, предназначенных для создания электронных таблиц и манипулирование их данными. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными, позволяет автоматизировать вычисление без использования специального программирования. Наиболее широкое применение - в экономических и бухгалтерских расчетах. MS Excel предоставляет пользователю возможность:

.Использовать сложные формулы, содержащие встроенные функции.

2.Организовывать связи ячеек и таблиц, при этом изменение данных в исходных таблицах автоматически изменяет результаты в итоговых таблицах.

.Создавать сводные таблицы.

.Применять к таблицам сортировку и фильтрацию данных.

.Осуществлять консолидацию данных (объединение данных из нескольких таблиц в одну).

.Использовать сценарии - поименованные массивы исходных данных, по которым формируются конечные итоговые значения в одной и той же таблице.

.Выполнять автоматизированный поиск ошибок в формулах.

.Защищать данные.

.Использовать структурирование данных (скрывать и отображать части таблиц).

.Применять автозаполнение.

.Применять макросы.

.Строить диаграммы.

.Использовать автозамену и проверку орфографии.

.Использовать стили, шаблоны, автоформатирование.

.Обмениваться данными с другими приложениями.

Ключевые понятия :

.Рабочая книга - основные документы, хранится в файле.

2.Лист (объем: 256 столбцов, 65536 строк).

.Ячейка - наименьшая структурная единица размещения данных.

.Адрес ячейки - определяет положение ячейки в таблице.

.Формула - математическая запись вычислений.

.Ссылка - запись адреса ячейки в составе формулы.

.Функция - математическая запись, указывающая на выполнение определенных вычислительных операций. Состоит из имени и аргументов.

Ввод данных :

Данные могут быть следующих типов -

·Числа.

·Текст.

·Функции.

·Формулы.

Вводить можно -

·В ячейки.

·В строку формул.

Если на экране в ячейке после ввода появляется ########, значит число длинное и в ячейке не помещается, то надо увеличить ширину ячейки.

Формулы - определяют, каким образом величины в ячейках связаны друг с другом. Т.е. данные в ячейке получаются не заполнением, а автоматически вычисляются. При изменении содержимого ячеек, на которые есть ссылка в формуле, меняется и результат в вычисляемой ячейке. Все формулы начинаются знаком =. Далее могут следовать -

·Ссылка на ячейку (например, А6).

·Функция.

·Арифметический оператор (+, -, /, *).

·Операторы сравнения (>, <, <=, =>, =).

Можно вводить формулы прямо в ячейку, но удобнее вводить с помощью строки формул.

Функции - это стандартные формулы для выполнения определенных задач. Функции используются только в формулах.

Способ: Вставка - Функция или в строке формул щелкнуть на = . Появится диалоговое окно со списком десяти недавно использованных функций. Для расширения списка выбрать Другие функции…, откроется другое диалоговое окно, где функции сгруппированы по типам (категориям), приведено описание назначения функции и их параметров.

Полное описание по работе с электронными таблицами MS Excel, можно найти в учебниках и пособиях (специализированных).

3. Математическая постановка задачи

По критерию минимума затрат на топливо для ЭС указанного района электроснабжения необходимо определить их оптимальное топливоснабжение от трех угольных бассейнов с учетом ограничения по потребностям ЭС и производительности УБ.

Исходные данные задачи и переменные, подлежащие определению в ходе ее решения, можно представить в виде табл.3

Обозначение данных:

Вуб1, Вуб2, Вуб3 - производительность угольных бассейнов, тыс.тонн;

Суб1, Суб2, Суб3 - стоимость топлива на угольных бассейнах, у.е./тонн;

Lу - длина железнодорожного пути между УБ к ЭС, км;

Су - удельная стоимость перевозки топлива по трассе от УБ к ЭС, у.е./тонна*км (С11=С12=С13=С21=С22=С23=С31=С32=С33);

Ву - объем топлива, доставляемого от УБ на ЭС, тыс.тонн;

ВЭС1, ВЭС2, ВЭС3 - годовая потребность в топливе первой, второй, третьей ЭС соответственно, тыс.тонн;

Ву - являются параметрами переменными целевой функции, подлежащими определению в процессе решения задачи;

Необходимо определить оптимальный объем топлива (Ву), доставляемые от УБ к каждой из ЭС, при которых суммарные затраты на топливо для всех трех ЭС будут минимальными.

Целевой функцией, подлежащей оптимизации в процессе решения задачи, будут суммарные затраты на топливо для всех трех ЭС.

4. Решение задачи линейного программирования

.1 Исходные данные

Рис. 4. Исходные данные

4.2 Формулы для вычислений

Рис.5. Промежуточные расчеты

4.3 Заполнение диалогового окна «Поиск решения»

Рис. 6. Процесс оптимизации.

Рис.6.1.Задание ограничений (топлива должно быть>0).

Рис.6.2.Задание ограничений (кол-во привез. = кол-ву потреблен. топлива).

Рис.6.3.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ1).

Рис.6.4.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ2).

Рис.6.5.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ3).

.4 Результаты решения

Рис.8. Результаты решения задачи

Ответ: Количество топлива (тыс. тонн), доставлено на:

ЭС4 из УБ1 составляет 118,17тн;

ЭС6 из УБ1 составляет 545,66тн;

ЭС5 из УБ2 составляет 19,66тн;

ЭС6 из УБ2 составляет 180,34тн;

ЭС5 из УБ3 составляет 277,94тн;

ЭС6 из УБ3 составляет 526,00тн;

ЭС4 всего 118,17тн;

ЭС5 всего 297,60тн;

ЭС6 всего 1252,00тн;

Затраты на топливо составили (у.е.):

Для ЭС4 - 496314,00.

Для ЭС5 - 227064,75.

Для ЭС6 - 23099064,78.

Суммарные затраты для всех ЭС составляют - 23822443,53 у.е.;

Заключение

Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.

В курсовой работе показано как создавать и работать при оформлении документа MS Word, в рамках которого рассмотрено решение экономической оптимизационной задачи, на примере «транспортная задача», взятой из области общей энергетики, средствами Microsoft Excel.

Рассмотрим линейное программирование в Excel на примере задачи, ранее решенной .

Задача. Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно. Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд. На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц. Необходимо определить количество единиц продуктов А и В, которые Николай доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Скачать заметку в формате , пример в формате

1. Воспользуемся математической моделью построенной . Вот эта модель:

Максимизировать: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2

При условии, что: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330

16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400

6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240

2. Создадим экранную форму и введем в нее исходные данные (рис. 1).

Рис. 1. Экранная форма для ввода данных задачи линейного программирования

Обратите внимание на формулу в ячейке С7. Это формула целевой функции. Аналогично, в ячейки С16:С18 введены формулы для расчета левой части ограничений.

3. Проверьте, если у вас установлена надстройка «Поиск решения» (рис. 2), пропустите этот пункт.

Рис. 2. Надстройка Поиск решения установлена; вкладка «Данные», группа «Анализ»

Если надстройки «Поиск решения» вы на ленте Excel не обнаружили, щелкните на кнопку Microsoft Office, а затем Параметры Excel (рис. 3).

Рис. 3. Параметры Excel

Выберите строку Надстройки, а затем в самом низу окна «Управление надстройками Microsoft Excel» выберите «Перейти» (рис. 4).

Рис. 4. Надстройки Excel

В окне «Надстройки» установите флажок «Поиск решения» и нажмите Ok (рис. 5). (Если «Поиск решения» отсутствует в списке поля «Надстройки», чтобы найти надстройку, нажмите кнопку Обзор. В случае появления сообщения о том, что надстройка для поиска решения не установлена на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить ее.)

Рис. 5. Активация надстройки «Поиск решения»

После загрузки надстройки для поиска решения в группе Анализ на вкладке Данные становится доступна команда Поиск решения (рис. 2).

4. Следующим этапом заполняем окно Excel «Поиск решения» (рис. 6)

Рис. 6. Заполнение окна «Поиск решения»

В поле «Установить целевую ячейку» выбираем ячейку со значением целевой функции – $C$7. Выбираем, максимизировать или минимизировать целевую функцию. В поле «Изменяя ячейки» выбираем ячейки со значениями искомых переменных $C$4:$D$4 (пока в них нули или пусто). В области «Ограничения» с помощью кнопки «Добавить» размещаем все ограничения нашей модели. Жмем «Выполнить». В появившемся окне «Результат поиска решения» выбираем все три типа отчета (рис. 7) и жмем Ok. Эти отчеты нужны для анализа полученного решения. Подробнее о данных, представленных в отчетах, можно почитать .

Рис. 7. Выбор типов отчета

На основном листе появились значения максимизированной целевой функции – 130 000 руб. и изменяемых параметров х 1 = 10 и х 2 = 30. Таким образом, для максимизации маржинального дохода Николаю в следующем месяце следует произвести 10 единиц продукта А и 30 единиц продукта В.

Если вместо окна «Результат поиска решения» появилось что-то иное, Excel`ю найти решение не удалось. Проверьте правильность заполнения окна «Поиск решения». И еще одна маленькая хитрость. Попробуйте уменьшить точность поиска решения. Для этого в окне «Поиск решения» щелкните на Параметры (рис. 8.) и увеличьте погрешность вычисления, например, до 0,001. Иногда из-за высокой точности Excel не успевает за 100 итераций найти решение. Подробнее о параметрах поиска решения можно почитать .

Рис. 8. Увеличение погрешности вычислений

Требуется определить, в каком количестве надо выпустить продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены на рис. 1.

Ресурс	Прод1	Прод2	Прод3	Прод4	Знак	Наличие
Прибыль
Трудовые
Сырье
Финансы

Рисунок 1.

Математическая модель задачи имеет вид:

где x j – количество выпускаемой продукции j-го типа; F – функция цели; в левых частях выражений ограничений указаны величины потребного ресурса , а правые части показывают количество имеющегося ресурса .

Ввод условий задачи

Для решения задачи с помощью Excel следует создать форму для ввода исходных данных и ввести их. Форма ввода показана на рис. 2.

В ячейку F6 введено выражение целевой функции как суммы произведений значений прибыли от выпуска единицы продукции каждого типа на количество выпускаемой продукции соответствующего типа. Для наглядности на рис. 3 представлена форма ввода исходных данных в режиме вывода формул.

В ячейки F8:F10 введены левые части ограничений для ресурсов каждого вида.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Решение задачи линейного программирования

Для решения задач линейного программирования в Excel используется мощный инструмент, называемый Поиск решения . Обращение к Поиску решения осуществляется из меню Сервис , на экран выводится диалоговое окно Поиска решения (рис. 4).

Рисунок 4.

Ввод условий задачи для поиска ее решения состоит из следующих шагов:

1 Назначить целевую функцию, для чего установить курсор в поле Установить целевую ячейку окна Поиск решения и щелкнуть в ячейке F6 в форме ввода;

2 Включить переключатель значения целевой функции, т.е. указать ее Равной Максимальному значению ;

3 Ввести адреса изменяемых переменных (x j): для этого установить курсор в поле Изменяя ячейки окна Поиск решения, а затем выделить диапазон ячеек B3:E3 в форме ввода;

4 Нажать кнопку Добавить окна Поиск решения для ввода ограничений задачи линейного программирования; на экран выводится окно Добавление ограничения (рис. 5) :

Ввести граничные условия для переменных x j (x j ³0), для этого в поле Ссылка на ячейку указать ячейку В3, соответствующую х 1 , выбрать из списка нужный знак (³), в поле Ограничение указать ячейку формы ввода, в которой хранится соответствующее значение граничного условия, (ячейка В4), нажать кнопку Добавить ; повторить описанные действия для переменных х 2 , х 3 и х 4 ;

Ввести ограничения для каждого вида ресурса, для этого в поле Ссылка на ячейку окна Добавление ограничения указать ячейку F9 формы ввода, в которой содержится выражение левой части ограничения, наложенного на трудовые ресурсы, в полях Ограничение указать знак £ и адрес Н9 правой части ограничения, нажать кнопку Добавить ; аналогично ввести ограничения на остальные виды ресурсов;

После ввода последнего ограничения вместо Добавить нажать ОК и возвратиться в окно Поиск решения.

Рисунок 5.

Решение задачи линейного программирования начинается с установки параметров поиска:

В окне Поиск решения нажать кнопку Параметры , на экран выводится окно Параметры поиска решения (рис. 6);

Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода;

Указать предельное число итераций (по умолчанию – 100, что подходит для решения большинства задач);

Установить флажок , если необходимо просмотреть все этапы поиска оптимального решения;

Нажать ОК , возврат в окно Поиск решения .

Рисунок 6.

Для решения задачи нажать кнопку Выполнить в окне Поиск решения , на экране – окно Результаты поиска решения (рис. 7), в котором содержится сообщение Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Если условия задачи несовместны, то выводится сообщение Поиск не может найти подходящего решения . Если целевая функция не ограничена, то появляется сообщение Значения целевой ячейки не сходятся .

Рисунок 7.

Для рассматриваемого примера решение найдено и результат оптимального решения задачи выводится в форме ввода: значение целевой функции, соответствующее максимальной прибыли и равное 1320, указывается в ячейке F6 формы ввода, оптимальный план выпуска продукции х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 указывается в ячейках В3:С3 формы ввода (рис. 8).

Количество использованных для выпуска продукции ресурсов выводится в ячейки F9:F11: трудовых – 16, сырья – 84, финансов – 100.

Рисунок 8.

Если при установке параметров в окне Параметры поиска решения (рис. 6) был установлен флажок Показывать результаты итераций , то будут показаны последовательно все шаги поиска. На экран будет выводиться окно (рис. 9). При этом текущие значения переменных и функции цели будут показаны в форме ввода. Так, результаты первой итерации поиска решения исходной задачи представлены в форме ввода на рисунке 10 .

Рисунок 9.

Рисунок 10.

Чтобы продолжить поиск решения, следует нажимать кнопку Продолжить в окне Текущее состояние поиска решения .

Анализ оптимального решения

Прежде чем, перейти к анализу результатов решения, представим исходную задачу в форме

введя дополнительные переменные у i , представляющие собой величины неиспользованных ресурсов.

Составим для исходной задачи двойственную задачу и введем дополнительные двойственные переменные v i .

Анализ результатов поиска решения позволит увязать их с переменными исходной и двойственной задач.

С помощью окна Результаты поиска решения можно вызвать отчеты трех типов, позволяющие анализировать найденное оптимальное решение:

Результаты,

Устойчивость,

Пределы.

Для вызова отчета в поле Тип отчета выделить название нужного типа и нажать ОК .

1 Отчет по результатам (рис. 11) состоит из трех таблиц:

Таблица 1 содержит сведения о целевой функции; в столбце Исходно указывается значение целевой функции до начала вычислений;

Таблица 2 содержит значения искомых переменных x j , полученных в результате решения задачи (оптимальный план выпуска продукции);

Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Для Ограничений в графе Формула приведены зависимости, которые были введены при задании ограничений в окне Поиск решения ; в графе Значение указаны величины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состояние выводится сообщение связанное ; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан. Для Граничных условий приводятся аналогичные величины с той лишь разницей, что вместо неиспользованного ресурса показана разность между значением переменной x j в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием (x j ³0).

Именно в графе Разница можно увидеть значения дополнительных переменных y i исходной задачи в формулировке (2). Здесь у 1 =у 3 =0, т.е. величины неиспользованных трудовых и финансовых ресурсов равны нулю. Эти ресурсы используются полностью. Вместе с тем, величина неиспользованных ресурсов для сырья у 2 =26, значит, имеются излишки сырья.

Рисунок 11.

2 Отчет по устойчивости (рис. 12)состоит из двух таблиц.

В таблице 1 приводятся следующие значения:

Результат решения задачи (оптимальный план выпуска);

- Нормир. стоимость , т.е. величины, показывающие, насколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы продукции соответствующего типа в оптимальный план;

Коэффициенты целевой функции;

Предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется оптимальный план выпуска.

В таблице 2 содержатся аналогичные данные для ограничений:

Величины использованных ресурсов;

- Теневая цена , показывающая, как изменится целевая функция при изменении величины соответствующего ресурса на единицу;

Допустимые значения приращений ресурсов, при которых сохраняется оптимальный план выпуска продукции.

Рисунок 12.

Отчет по устойчивости позволяет позволяет получить двойственные оценки.

Как известно, двойственные переменные z i показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурса i-го типа на единицу. В отчете Excel двойственная оценка называется Теневой ценой .

В нашем примере сырье не используется полностью и его ресурс у 2 =26. Очевидно, что увеличение количества сырья, например, до 111 не повлечет за собой увеличения целевой функции. Следовательно, для второго ограничения двойственная переменная z 2 =0. Таким образом, если по данному ресурсу есть резерв, то дополнительная переменная будет больше нуля, а двойственная оценка этого ограничения равна нулю.

В рассматриваемом примере трудовые ресурсы и финансы использовались полностью, поэтому их дополнительные переменные равны нулю (у 1 =у 3 =0). Если ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции, и следовательно, на величину целевой функции. Двойственные оценки ограничений на трудовые и финансовые ресурсы отличны от нуля, т.е. z 1 =20, z 3 =10.

Значения двойственных оценок находим в Отчете по устойчивости , в таблице 2, в графе Теневая цена .

При увеличении (уменьшении) трудовых ресурсов на единицу целевая функция увеличится (уменьшится) на 20 единиц и будет равна

F=1320+20×1=1340 (при увеличении).

Аналогично, при увеличении объема финансов на единицу целевая функция будет

F=1320+10×1=1330.

Здесь же, в графах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение таблицы 2, показаны допустимые пределы изменения количества ресурсов j-го вида. Например, для при изменении приращения величины трудовых ресурсов в пределах от –6 до 3,55, как показано в таблице, структура оптимального решения сохраняется, т.е наибольшую прибыль обеспечивает выпуск Прод1 и Прод3, но в других количествах.

Дополнительные двойственные переменные также отражены в Отчете по устойчивости в графе Нормир. стоимость таблицы 1.

Если основные переменные не вошли в оптимальное решение, т.е. равны нулю (в примере х 2 =х 4 =0), то соответствующие им дополнительные переменные имеют положительные значения (v 2 =10, v 4 =20). Если же основные переменные вошли в оптимальное решение (х 1 =10, х 3 =6), то их дополнительные двойственные переменные равны нулю (v 1 =0, v 3 =0).

Эти величины показывают, насколько уменьшится (поэтому знак минус в значениях переменных v 2 и v 4) целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Следовательно, если мы захотим принудительно выпустить единицу продукции вида Прод3, то целевая функция уменьшится на 10 единиц и будет равна 1320 -10×1 =1310.

Обозначим через Dс j изменение коэффициентов целевой функции в исходной модели (1). Эти коэффициенты определяют прибыль, получаемую при реализации единицы продукции j-го вида.

В графах Допустимое увеличение и Допустимое Уменьшение таблицы 1 Отчета по устойчивости показаны пределы изменения Dс j , при которых сохраняется структура оптимального плана, т.е. будет выгодно по-прежнему выпускать продукцию вида Продj. Например, при изменении Dс 1 в пределах -12£ Dс 1 £ 40, как показано в отчете, по-прежнему будет выгодно выпускать продукцию вида Прод1. При этом значение целевой функции будет F=1320+x 1 ×Dс j =1320+10×Dс j .

3 Отчет по пределам приведен на рис. 13. В нем показывается, в каких пределах могут изменяться значения x j , вошедшие в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Кроме этого, для каждого типа продукции приводятся значения целевой функции, получаемые при подстановке в оптимальное решение значения нижнего предела выпуска изделий соответствующего типа при неизменных значениях выпуска остальных типов. Например, если при оптимальном решении х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 положить х 1 =0 (нижний предел) при неизменных х 2 , х 3 и х 4 , то значение целевой функции будет равно 60×0+70×0+120×6+130×0=720.

Рассмотрим пример задачи линейного программирования.

Ресурс	Прод1	Прод2	Прод3	Прод4	Знак	Наличие
Прибыль
Трудовые
Сырье
Финансы