Целевая функция быть представлена виде. Целевые функции

Переменные задачи

Построим модель задачи.

Решение

Прежде чем построить математическую модель задачи, ᴛ.ᴇ. записать ее с помощью математических символов, крайне важно четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого крайне важно с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, к примеру, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?

3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены?

Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, к примеру, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на всœе эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, ᴛ.ᴇ. к записи математической модели.

В задаче требуется установить, сколько краски каждого вида нужно производить. По этой причине искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объёмы производства каждого вида красок:

x1 – суточный объём производства краски 1-го вида, [т краски/сутки];

x2 – суточный объём производства краски 2-го вида, [т краски/сутки].

В условии задачи сформулирована цель – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, крайне важно знать объёмы производства красок, ᴛ.ᴇ. x1 и x2 т краски в сутки, а также оптовые цены на краски 1-го и 2-го видов – согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 т краски. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, доход от продажи суточного объёма производства краски 1-го вида равен 3 x 1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски 2-го вида – 2x 2 тыс. руб. в сутки. По этой причине запишем целœевую функцию в виде суммы дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов (при допущении независимости объёмов сбыта каждой из красок)

Целевая функция - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Целевая функция" 2017, 2018.

- Основные понятия. Критерии эффективности. Целевая функция

ГЛАВА 16. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕНЕДЖМЕНТА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Чем вызвана необходимость внешнеэкономической деятельности предприятия? 2. Что благоприятствует внешнеэкономической деятельности предприятия? 3. Что является препятствием для... .

- В нашем примере целевая функция имеет вид

F(X) = 75X1 + 800/X1 + 78X2 + 1600/X2 . Функция выпукла, если F"(x)>0 для любого x. Проверим: ; ; ; . Значит, функция выпукла, поскольку "x>0. Следовательно, выбор оптимального числа поездов на двух участках оказывается задачей выпуклого программирования, которая может быть решена... .

- Целевая функция потребления и моделирование поведения потребителей

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе...

Определение . Любое решение системы ограничений называется допустимым решением ЗЛП.
Определение . Допустимое решение, в котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

В силу этих определений задача ЛП может быть сформулирована следующим образом: среди всех точек выпуклой области, являющейся решением системы ограничений, выбрать такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию F = с 1 x + с 2 y .
Заметим, что переменные x , y в ЗЛП принимают, как правило, неотрицательные значения (x ≥ 0, y ≥ 0), поэтому область расположена в I четверти координатной плоскости.

Рассмотрим линейную функцию F = с 1 x + с 2 y и зафиксируем какое-нибудь ее значение F . Пусть, к примеру, F = 0, т.е. с 1 x + с 2 y = 0. Графиком этого уравнения будет прямая, проходящая через начало координат (0;0) (рис.).
Рисунок
При изменении этого фиксированного значения F = d , прямая с 1 x + с 2 y = d будет смещаться параллельно и «зачертит» всю плоскость. Пусть D – многоугольник – область решения системы ограничений. При изменении d прямая с 1 x + с 2 y = d , при некотором значении d = d 1 достигнет многоугольника D , назовем эту точку А «точкой входа», и затем, пройдя многоугольник, при некотором значении d = d 2 будем иметь с ним последнюю общую точку В , назовем В «точкой выхода».
Очевидно, что своего наименьшего и наибольшего значения целевая функция F =с 1 x + с 2 y достигнет в точках «входа» А и «выхода» В .
Учитывая, что оптимальное значение на множестве допустимых решений целевая функция принимает в вершинах области D , можно предложить следующий план решения ЗЛП:

1. построить область решений системы ограничений;
2. построить прямую, соответствующую целевой функции, и параллельным переносом этой прямой найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования минимизировать или максимизировать целевую функцию);
3. определить координаты этой точки, вычислить в них значение целевой функции.

Заметим, что вектор (с 1 , с 2), перпендикулярный прямой, показывает направление роста целевой функции.

При графическом решении ЗЛП возможны два случая, которые требуют особого обсуждения.

Случай 1
Рисунок 6
При перемещении прямой с 1 x + с 2 y = d «вход» или «выход» (как на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с 1 х + с 2 у = d .
В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно – любая точка отрезка АВ . Это означает, что целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей стороне многоугольника D .

Случай 2
Рассмотрим случай, когда область допустимых значений неограниченна.
В случае неограниченной области целевая функция может быть задана таким образом, что соответствующая ей прямая не имеет точки «выхода» (или «входа»). Тогда максимальное значение функции (минимальное) не достигается никогда – говорят, что функция не ограничена.
Рисунок
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max , при системе ограничений
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
x + y = 18

x	12	9
y	6	9

0,5x + y = 12

x	12	18
y	6	3

x = 12 – параллельна оси OY ;
y = 9 – параллельна оси OX ;
x = 0 – ось OY ;
y = 0 – ось OX ;
x ≥ 0 – полуплоскость правее оси OY ;
y ≥ 0 – полуплоскость выше оси OX ;
y ≤ 9 – полуплоскость ниже y = 9;
x ≤ 12 – полуплоскость левее x = 12;
0,5x + y ≤ 12 – полуплоскость ниже прямой 0,5x + y = 12;
x + y ≤ 18 – полуплоскость ниже прямой x + y = 18.
Рисунок
Пересечением всех этих полуплоскостей является очевидно, пятиугольник ОАВСД , с вершинами в точках О (0; 0), А (0; 9), В (6; 9), С (12; 6), Д (12; 0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x + 6y → max.

x	3	0
y	–2	0

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: 4x + 6y = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Из всего семейства прямых 4x + 6y = const последней вершиной, через которую пройдет прямая при выходе за границу многоугольника, будет вершина С (12; 6). Именно в ней F = 4x + 6y достигнет своего максимального значения.
Значит, при x = 12, y = 6 функция F достигает своего максимального значения F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84. Точка с координатами (12; 6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F * = 84 (оптимальное значение будем обозначать «*»).
Задача решена. Итак, необходимо выпустить 12 изделий I вида и 6 изделий II вида, при этом прибыль составит 84 тыс. руб.

Графический метод применяется для решения задач, которые имели в системе ограничений только две переменные. Этот метод может применяться и для систем неравенств, имеющих три переменных. Геометрически ситуация будет иная, роль прямых будут играть плоскости в трехмерном пространстве, а решением неравенства от трех переменных будет являться полупространство, находящееся по одну сторону от плоскости. Роль областей будут играть многогранники, являющиеся пересечением полупространств.

Целевая функция представляет собой функцию с некоторыми переменными, от которых непосредственно зависит достижение оптимальности. Также она может выступать в качестве нескольких переменных, которые характеризуют тот или иной объект. Можно сказать, что, по сути, она показывает, как мы продвинулись в достижении поставленной задачи.

Примером таких функций может выступать расчет прочности и массы конструкции, мощности установки, объема выпуска продукции, стоимости перевозок и другие.

Целевая функция позволяет ответить на несколько вопросов:

Выгодно или нет то или иное событие;

В правильном ли направлении идет движение;

Насколько верно сделан выбор и т.д.

Если мы не имеем возможности влиять на параметры функции, то, можно сказать, что и сделать мы ничего не можем, разве что только проанализировать и все. Но чтобы быть в состоянии что-то изменить, обычно существуют изменяемые параметры функции. Главная задача - это изменить значения на те, при которых функция станет оптимальной.

Целевые функции не всегда могут быть представлены в виде формулы. Это может быть таблица, например. Также условие может быть в виде нескольких целевых функций. Например, если требуется обеспечить максимальную надежность, минимальные затраты и минимальную материалоемкость.

Задачи на оптимизацию должны иметь важнейшее исходное условие - целевую функцию. Если мы ее то можно считать, что оптимизации не существует. Иными словами, если нет цели, то и нет путей ее достижения, а тем более выгодных условий.

Задачи на оптимизацию бывают условными и безусловными. Первый вид предполагает ограничения, то есть определенные условия при постановке задачи. Второй вид состоит в том, чтобы отыскать максимум или при существующих параметрах. Зачастую такие задачи предполагают поиск минимума.

В классическом понимании оптимизации подбираются такие значения параметров, при которых целевая функция удовлетворяет желаемым результатам. Также ее можно обозначить как процесс подбора самого лучшего варианта из возможных. Например, выбрать лучшее распределение ресурсов, вариант конструкции и т.д.

Существует такое понятие, как неполная оптимизация. Она может образоваться по нескольким причинам. Например:

Число попавших в максимальную точку систем ограничено (уже установлена монополия или олигополия);

Нет монополии, но отсутствуют ресурсы (недостаток квалификации на каком-либо конкурсе);

Отсутствие самой а точнее «незнание» ее (мужчина мечтает о некой красивой женщине, но неизвестно, существует ли такая в природе) и т.д.

В условиях рыночных отношений управления сбытовой и производственной деятельностью фирм и предприятий основой принятия решений является информация о рынке, а обоснованность этого решения проверяется уже при выходе на рынок с соответствующим товаром или услугой. В таком случае отправной точкой является изучение потребительского спроса. Для нахождения решений устанавливается целевая функция потребления. Она показывает количество потребляемых благ и степень удовлетворения потребностей потребителя, а также зависимость между ними.

где - постоянные затраты, которые не зависят от режима обработки, мин;

Здесь - подготовительно – заключительное время на операцию, мин;

Размер партии обрабатываемых деталей;

Вспомогательное время операции, мин;

Время на обслуживание без учета времени на замену инструмента, мин;

Время на отдых рабочего, мин;

Затраты времени, связанные с заменой затупившегося инструмента и соответствующей поднастройкой технологической системы;

где - время на замену инструмента и соответствующую размерную настройку;

Диаметр и длина обрабатываемого вала;

Коэффициент для расчета скорости резания;

Скорость резания;

Глубина резания;

Здесь - показатели степени в формулах для расчета режимов резания.

Анализ целевой функции времени позволяет вскрыть резервы дополнительного повышения производительности и определить оптимальные режимы резания, обеспечивающие минимальные затраты на выполнение операции.

Целевая функция стоимости на примере обработки вала имеет вид:

Здесь - расходы на материал;

Расходы в единицу времени соответственно на эксплуатацию оборудования, приспособления, по зарплате с учетом накладных расходов;

Время на замену инструмента и соответствующую размерную настройку;

Стоимость инструмента за период его эксплуатации.

Первый член выражения определяет постоянные затраты на материал, расходы, связанные с подготовительно – заключительным временем и временем обслуживания. Второй член выражения определяет затраты на режущий инструмент и простои при его замене. Третий член выражения определяет расходы, связанные непосредственно с выполнением процесса резания.

Объемное планирование работы технологических станочных систем

Эта и все последующие лекции посвящены вопросам математического моделирования и оптимизации технологических станочных систем.

Объемное планирование работы механического участка при достижении максимальной загрузки технологического оборудования

Постановка задачи . Имеется m – станков (m – групп станков), на которых могут быть изготовлены n – типов деталей. Трудоемкость обработки j - ой детали на i – м станке составляет , час. Известны фонды времени работы каждого станка (группы станков) – B i . Исходные данные для решения задачи представлены в таблице 14.1.

Таблица 14.1. Исходные данные для решения задачи, представленные в общем виде

Требуется определить количество деталей каждого наименования , при обработке которых достигается максимальная загрузка оборудования участка.

Математическая модель для решения задачи запишется:

Ограничения :

Задача решается методом линейного программирования. При этом следует иметь в виду следующее. Количество ограничений вида (14.1) - (14.3) в математической модели должно строго равняться количеству станков (групп станков) участка. При решении задачи с помощью компьютера количество станков (групп станков), а также типов деталей практически не ограничено и определяется только возможностями компьютера и соответствующей программы. При решении задачи вручную с применением графо-аналитического метода количество типов станков (групп станков) также не ограничено, но их увеличение естественным образом приведет к увеличению времени расчетов. Количество же типов деталей не должно превышать двух, т.к. в противном случае невозможно будет на плоскости выполнить необходимые графические построения.

Пример. Исходные данные для примера приведены в таблице 14.2.

Таблица 14.2. Исходные данные для решения задачи

Обозначим через количество деталей типа D 1 , через количество деталей типа D 2 .

Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим образом:

Ограничения (по фонду времени работы оборудования):

Требуется найти значения и , удовлетворяющие заданным ограничениям (14.6) – (14.10) и обеспечивающие максимум целевой функции (14.11). Параметры и являются управляемыми параметрами в математической модели.

Решим задачу графо – аналитическим методом (см. лекцию 6). Графическая иллюстрация решения задачи приведена на рис. 14.1.

Рис.14.1. Графическая иллюстрация решения задачи

Вычисления для построения ограничений (14.6) – (14.8):

x 1
x 2

x 1
x 2

Проведя прямую линию, параллельную данной, находим точку касания ее границы ОДР – это точка А. Для нахождения ее координат (точки пересечения ограничений 14.7 и 14.8) решаем следующую систему уравнений:

Т.е. окончательно

Максимальное значение целевой функции (максимальная загрузка оборудования участка) при оптимальных значениях искомых параметров составит:

Задача о минимальной загрузке оборудования

Эта и последующие задачи в данной лекции приводятся на уровне постановки задачи и формирования математической модели для ее решения. Все они решаются методами линейного программирования.

Имеется m станков, на которых могут быть изготовлены n типов деталей. Производительность i - го станка при изготовлении детали j - го типа составляет C ij . Величины плановых заданий A j на изготовление j - ой детали и ресурс времени B i работы i - го станка приведены в таблице 14.3.

Таблица 14.3 Исходные данные для решения задачи

Требуется, учитывая ресурсы времени работы каждого станка распределить задания между станками таким образом, чтобы общее время работы всех станков было минимальным.

Пусть t ij - время изготовления j - ой детали i - м станком. Составим ограничения по ресурсу времени для каждого станка:

Решение поставленной задачи состоит в минимизации линейной целевой функции (суммарного времени)

(14.14)

при ограничениях (14.12), (14.13) и условии, что все переменные .

Задача об оптимальном распределении деталей по станкам

Пусть некоторая машина состоит из различных видов деталей, которые мы пронумеруем числами . Имеется типов различных станков, причем количество станков - го типа равно . Детали могут быть изготовлены на станках разного типа. Производительность станка - го типа при изготовлении - ой детали составляет . После изготовления детали поступают на сборку. Требуется закрепить станки за деталями так, чтобы в единицу времени получать максимальное количество машин.

Пусть - количество станков - го типа, на которых можно изготовить - ю деталь. Очевидно, что количество станков - го типа, изготавливающих детали видов, не должно превышать заданное число :

Общее количество комплектов деталей, необходимых для сборки машины, равно общему количеству какой-либо одной детали, имеющей, например, номер 1. Поэтому решение задачи заключается в максимизации линейной функции

(14.17)

при ограничениях (14.15), (14,16) с дополнительным условием, что все переменные .

Найденные оптимальные значения этой задачи не обязательно целые числа. Например, означает, что на двух станках первого типа в течение единицы времени будут изготовлять деталь с номером 1, тогда как третий станок того же типа будет работать лишь половину указанного времени.

Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья

Из видов сырья производится различных типов продукции. Стоимость реализации изготовленной продукции - го типа составляет . Запас сырья - го вида на планируемый период равен . Потребность в сырье - го типа составляет . Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 14.4.

Таблица 14.4 Исходные данные для решения задачи

Требуется для каждого типа продукта определить такой объем производства , чтобы обеспечить максимальную стоимость реализации изготовленной продукции при условии, что не будут превышены запасы имеющегося сырья.

Ограничения по запасам сырья имеют вид:

(14.18)

Задача заключается в том, чтобы определить оптимальные значения параметров (переменных) , обращающих в максимум стоимость продукции, т.е. целевую функцию

при ограничениях (14.18) и дополнительных условиях .

Основы теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели (до этого нами рассматривались детерминированные математические модели). Напомним, что:

Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.

Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Т.е. здесь как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условиях неопределенности .

Рассмотрим сначала некоторые понятия, которые характеризуют «стохастическую неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «благоприятной», «доброкачественной».

Понятие случайного процесса

Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс , если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.

Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским , если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t 0 система находится в определенном состоянии S 0 . Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t < t 0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет при t > t 0 ? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S 1 или останется в состоянии S 0 и т.д.

Пример . Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t 0 количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x 0 , y 0 . Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t 0 , а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t 0 самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием , если его возможные состояния S 1 , S 2 , … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем , если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Пример . Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:

S 0 - оба станка исправны;

S 1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;

S 2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;

S 3 - оба станка ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в

Рис.15.1. Граф состояний системы

состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис.15.1.

Примечание. Переход из состояния S 0 в S 3 на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.

Потоки событий

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений. Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t – рис. 15.2.

Рис.15.2. Изображение потока событий на оси времени

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.

Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.

Поток событий называется стационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

В частности, интенсивность стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется потоком без последствий , если для любых двух непересекающихся участков времени и (см. рис.15.2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным , если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

Целевая функция - вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации (минимизации или максимизации) в целях решения некоторой оптимизационной задачи. Термин используется в математическом программировании, исследовании операций, линейном программировании, теории статистических решений и других областях математики в первую очередь прикладного характера, хотя целью оптимизации может быть и решение собственно математической задачи. Помимо целевой функции в задаче оптимизации для переменных могут быть заданы ограничения в виде системы равенств или неравенств. В общем случае аргументы целевой функции могут задаваться на произвольных множествах.

Примеры

Гладкие функции и системы уравнений

Задача решения любой системы уравнений

{ F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{matrix}}\right.}

может быть сформулирована как задача минимизации целевой функции

S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) {\displaystyle S=\sum _{j=1}^{N}F_{j}^{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})\qquad (1)}

Если функции гладкие, то задачу минимизации можно решать градиентными методами.

Для всякой гладкой целевой функции можно приравнять к 0 {\displaystyle 0} частные производные по всем переменным. Оптимум целевой функции будет одним из решений такой системы уравнений. В случае функции (1) {\displaystyle (1)} это будет система уравнений метода наименьших квадратов (МНК). Всякое решение исходной системы является решением системы МНК. Если исходная система несовместна, то всегда имеющая решение система МНК позволяет получить приближённое решение исходной системы. Число уравнений системы МНК совпадает с числом неизвестных, что иногда облегчает и решение совместных исходных систем.

Линейное программирование

Другим известным примером целевой функции является линейная функция, которая возникает в задачах линейного программирования. В отличие от квадратичной целевой функции оптимизация линейной функции возможна только при наличии ограничений в виде системы линейных равенств или неравенств.

Комбинаторная оптимизация

Типичным примером комбинаторной целевой функции является целевая функция задачи коммивояжёра. Эта функция равна длине гамильтонова цикла на графе. Она задана на множестве перестановок n − 1 {\displaystyle n-1} вершины графа и определяется матрицей длин рёбер графа. Точное решение подобных задач часто сводится к перебору вариантов.

Глава 1. Постановка основной задачи линейного программирования

1. Линейное программирование

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Такие задачи находят обширные приложения в различных сферах человеческой деятельности. Систематическое изучение задач такого типа началось в 1939 – 1940 гг. в работах Л.В. Канторовича.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк.Это, например:

задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

задача о смесях (планирование состава продукции);

задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или);

транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

целевая функция

(1.1) при ограничениях

(1.2) требования неотрицательности

(1.3) где x j – переменные (неизвестные);

- коэффициенты задачи линейного программирования.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3).

Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) - прямыми.

Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

1.2. Симплекс метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом.

Двумерные задачи линейного программирования решаются графически. Для случая N=3 можно рассмотреть трехмерное пространство и целевая функция будет достигать своё оптимальное значение в одной из вершин многогранника.

Допустимым решением (допустимым планом) задачи ЛП, данной в стандартной форме, называется упорядоченное множество чисел (х1, х2, …, хn), удовлетворяющих ограничениям; это точка в n-мерном пространстве.

Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП. ОДР представляет собой выпуклый многогранник (многоугольник).

В общем виде, когда в задаче участвуют N-неизвестных, можно сказать, что область допустимых решений, задаваемая системой ограничивающих условий, представляется выпуклым многогранником в n-мерном пространстве и оптимальное значение целевой функции достигается в одной или нескольких вершинах.

Базисным называется решение, при котором все свободные переменные равны нулю.

Опорное решение - это базисное неотрицательное решение. Опорное решение может быть невырожденным и вырожденным. Опорное решение называется невырожденным, если число его ненулевых координат равно рангу системы, в противном случае оно является вырожденным.

Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным и обозначается .

Решить данные задачи графически, когда количество переменных более 3 весьма затруднительно. Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом.

Симплекс-метод - это универсальный метод решения задач ЛП, представляющий собой итерационный процесс, который начинается с одного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимых решений до тех пор, пока не достигнет оптимального значения.

С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования.

В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения получаемого решения.

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение - вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).

Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным.

Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов:

способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;

правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

критерий проверки оптимальности найденного решения.

Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

6.1.Введение

Оптимизация. Часть 1

Методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции из всех возможных вариантов. В последние годы этим методам уделялось большое внимание, и в результате был разработан целый ряд высокоэффективных алгоритмов, позволяющих найти оптимальный вариант конструкции при помощи ЭЦВМ. В данной главе излагаются основы теории оптимизации, рассмат-риваются принципы, лежащие в основе построения алгоритмов оптимальных решений, описываются наиболее известные алгоритмы, анализируются их достоинства и недостатки.

6.2.Основы теории оптимизации

Термином «оптимизация» в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего, или «оптимального», решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто.

Рассматривая некоторую произвольную систему, описываемую m уравнениями с n неизвестными, можно выделить три основных типа задач. Если m=n , задачу называют алгебраической. Такая задача обычно имеет одно решение. Если m>n, то задача переопределена и, как правило, не имеет решения. Наконец, при m

Прежде чем приступить к обсуждению вопросов оптимизации, введем ряд определений.

Проектные параметры

Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или произ-водные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, време-ни, температуры. Число проектных параметров характеризует сте-пень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через n, а сами проектные пара-метры через х с соответствующими индексами. Таким образом n проектных параметров данной задачи будем обозначать через

X1, x2, x3,...,xn.

Целевая функция

Это - выражение, значение которого инженер стремится сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С мате-матической точки зрения целевая функция описывает некоторую (n+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами

M=M(x 1 , x 2 ,...,x n).

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.6.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверх-ностью в пространстве трех измерений (рис.6.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изобра-

жению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в

Рис.1.Одномерная целевая функция.

Рис.6.2.Двумерная целевая функция.

замкнутой математической форме, в других случаях она может

представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несов-местимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный мно-житель. В результате появляется «функция компромисса», позво-ляющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Поиск минимума и максимума

Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним т тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется рис.6.3.

Пространство проектирования

Так называется область, определяемая всеми n проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом

условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного

Рис.6.3.Изменением знака целевой функции на противоположный

задача на максимум превращается в задачу на минимум.

удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.

Ограничения - равенства

Ограничения - равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид

C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,

C 2 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,

..................

C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0.

Если какое-либо из этих соотношений можно разрешить отно-сительно одного из проектных параметров, то это позволяет исключить данный параметр из процесса оптимизации. Тем самым уменьшается число измерений пространства проектирования и упрощается решение задачи.

Ограничения - неравенства

Это особый вид ограничений, выраженных неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно, причем все они имееют вид

z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1

z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2

.......................

z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k

Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не тем, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.

Локальный оптимум

Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности.

Рис.6.4.Произвольная целевая функция может иметь несколько

локальных оптимумов.

На рис. 6.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

Глобальный оптимум

Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений, соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Как ставится задача оптимизации, лучше всего показать на примере.

Пример 6.1

Пусть требуется спроектировать прямоугольный контейнер объемом 1м , предназначенный для перевозки неупакованного волокна. Желательно, чтобы на изготовление таких контейнеров затрачивалось как можно меньше материала (при условии посто-янства толщины стенок это означает, что площадь поверхности должна быть минимальной), так как при этом он будет дешевле. Чтобы контейнер удобно было брать автопогрузчиком, его ширина должна быть не менее 1,5м.

Сформулируем эту задачу в виде, удобном для применения алгоритма оптимизации.

Проектные параметры: x 1 , x 2 , x 3 .

Целевая функция (которую требуется минимизировать) - площадь боковой поверхности контейнера:

A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), м2.

Ограничение - равенство:

Объем = x 1 x 2 x 3 =1м3.

Ограничение - неравенство:

Задачи линейного программирования

Линейное программирование (ЛП) является одним из разделов математического программирования – дисциплины, изучающей экстремальные (оптимизационные) задачи и разработкой методов их решения.

Оптимизационная задача – это математическая задача, заключающаяся в нахождении оптимального (т.е. максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений (ОДЗ).

В общем виде постановка экстремальной задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения функции , называемой целевой функцией , при условиях (ограничениях) , где и – заданные функции, а – заданные постоянные величины. При этом ограничения в виде равенств и неравенств определяют множество (область) допустимых решений (ОДР), а – называют проектными параметрами .

В зависимости от вида функций и задачи математического программирования делятся на ряд классов (линейной, нелинейное, выпуклое, целочисленное, стохастическое, динамическое программирование и др.).

В общем виде задача ЛП имеет следующий вид:

, (5.1)

, , (5.2)

, , (5.3)

где , , – заданные постоянные величины.

Функцию (5.1) называют целевой функцией; системы (5.2), (5.3) – системой ограничений; условие (5.4) – условием неотрицательности проектных параметров.

Совокупность проектных параметров , удовлетворяющих ограничениям (5.2), (5.3) и (5.4), называют допустимым решением или планом .

Оптимальным решением или оптимальным планом задачи ЛП называется допустимое решение , при котором целевая функция (5.1) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

Стандартной задачей ЛП называют задачу нахождения максимального (минимального) значения целевой функции (5.1) при условии (5.2) и (5.4), где , , т.е. т.е. ограничения только в виде неравенств (5.2) и все проектные параметры удовлетворяют условию неотрицательности, а условия в виде равенств отсутствуют:

,

, , (5.5)

.

Канонической (основной) задачей ЛП называют задачу нахождения максимального (минимального) значения целевой функции (5.1) при условии (5.3) и (5.4), где , , т.е. т.е. ограничения только в виде равенств (5.3) и все проектные параметры удовлетворяют условию неотрицательности, а условия в виде неравенств отсутствуют:

,

.

Каноническую задачу ЛП можно также записать в матричной и векторной форме.

Матричная форма канонической задачи ЛП имеет следующий вид:

Векторная форма канонической задачи ЛП.