КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .

Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .

Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).

Примеры.

Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел
, являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией нескольких независимых переменных
в множествеМ , если каждому набору чисел
из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z . Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f
,z = z
.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z = f (x , y ) , (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z = f(x,y)

M y

Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами
. Например, прис =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М 0 (х 0 , у 0 ) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М 0 множество точек М с координатами
, удовлетворяющими условию

где
- координаты точкиМ 0 . Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f
в точкеМ 0 , если

такое, что | f (M ) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0 .

Обозначения:
.

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f
называетсянепрерывной в точке М 0
, если
(1.2)

Если ввести обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .

Чтобы

нескольких функций

скачать график

Построение графика функции онлайн

моментально .

Онлайн сервис моментально рисует график

Поддерживаются абсолютно все математические функции

Тригонометрические функции
				Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс
Гиперболические функции
Прочее
Натуральный логарифм		Логарифм		Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону
Минимум						Максимум
min(выражение1,выражение2,…)						max(выражение1,выражение2,…)

Построить график функции

Построение поверхности 3D

Введите уравнение

Построим поверхность, заданную уравнением f(x, y, z) = 0, где a < x < b, c < y < d, m < z < n.

Другие примеры:

• y = x^2
• z = x^2 + y^2
• 0.3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = sin((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

Канонический вид кривой и поверхности

Вы можете определить вид кривой и поверхности 2-го порядка онлайн с подробным решением:

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

Как построить график функции онлайн на этом сайте?

Чтобы построить график функции онлайн , нужно просто ввести свою функцию в специальное поле и кликнуть куда-нибудь вне его. После этого график введенной функции нарисуется автоматически. Допустим, вам требуется построить классический график функции «икс в квадрате». Соответственно, нужно ввести в поле «x^2».

Если вам нужно построить график нескольких функций одновременно, то нажмите на синюю кнопку «Добавить еще». После этого откроется еще одно поле, в которое надо будет вписать вторую функцию. Ее график также будет построен автоматически.

Цвет линий графика вы можете настроить с помощью нажатия на квадратик, расположенный справа от поля ввода функции. Остальные настройки находятся прямо над областью графика. С их помощью вы можете установить цвет фона, наличие и цвет сетки, наличие и цвет осей, наличие рисок, а также наличие и цвет нумерации отрезков графика. Если необходимо, вы можете масштабировать график функции с помощью колесика мыши или специальных иконок в правом нижнем углу области рисунка.

После построения графика и внесения необходимых изменений в настройки, вы можете скачать график с помощью большой зеленой кнопки «Скачать» в самом низу. Вам будет предложено сохранить график функции в виде картинки формата PNG.

Зачем нужно строить график функции?

На этой странице вы можете построить интерактивный график функции онлайн .

Построить график функции онлайн

Построение графика функции позволяет увидеть геометрический образ той или иной математической функции. Для того чтобы вам было удобнее строить такой график, мы создали специальное онлайн приложение. Оно абсолютно бесплатно, не требует регистрации и доступно для использования прямо в браузере без каких-либо дополнительных настроек и манипуляций. Строить графики для разнообразных функций чаще всего требуется школьникам средних и старших классов, изучающим алгебру и геометрию, а также студентам первых и вторых курсов в рамках прохождения курсов высшей математики. Как правило, данный процесс занимает много времени и требует кучу канцелярских принадлежностей, чтобы начертить оси графика на бумаге, проставить точки координат, объединить их ровной линией и т.д. С помощью данного онлайн сервиса вы сможете рассчитать и создать графическое изображение функции моментально .

Как работает графический калькулятор для графиков функций?

Онлайн сервис работает очень просто. В поле на самом верху вписывается функция (т.е. само уравнение, график которого необходимо построить). Сразу после ввода приложение моментально рисует график в области под этим полем. Все происходит без обновления страницы. Далее, можно внести различные цветовые настройки, а также скрыть/показать некоторые элементы графика функции. После этого, готовый график можно скачать, нажав на соответствующую кнопку в самом низу приложения. На ваш компьютер будет загружен рисунок в формате.png, который вы сможете распечатать или перенести в бумажную тетрадь.

Какие функции поддерживает построитель графиков?

Поддерживаются абсолютно все математические функции , которые могут пригодиться при построении графиков. Тут важно подчеркнуть, что в отличии от классического языка математики принятого в школах и ВУЗах, знак степени в рамках приложения обозначается международным знаком «^». Это обусловлено отсутствием на клавиатуре компьютера возможности прописать степень в привычном формате. Далее приведена таблица с полным списком поддерживаемых функций.

Приложением поддерживаются следующие функции:

Тригонометрические функции
				Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс
Гиперболические функции
Прочее
Натуральный логарифм		Логарифм		Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону
Минимум						Максимум
min(выражение1,выражение2,…)						max(выражение1,выражение2,…)

Примеры. Построить линии уровня функций, соответствующие значениям

Построить линии уровня функций, соответствующие значениям .

Полагая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

Построив эти линии в декартовой системе координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого координатных углов (рис.1)

Напишем уравнения линий уровня:

, , , и .

Построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (рис.2)

Линии уровня этой функции , , , и представляют собой параболы, симметричные относительно Оу с общей вершиной в начале координат (рис. 3).

2. Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в данном направлении.

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора вводят понятие производной поля по направлению.

Рассмотрим функцию в точке и точке .

Проведем через точки и вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Инструкция

При построении линий уровня исходите из того, что они являются проекциями на плоскость с нулевой аппликатой линий пересечения графика заданной функции с некоторой горизонтальной плоскостью. Аппликата этой плоскости сечения и является константой, к которой нужно приравнять уравнение функции, чтобы получить координаты точек линии. Она может меняется с заданным в условиях задачи шагом, если построить требуется набор линий. А если построить нужно всего одну линию уровней, в условиях могут быть даны координаты точки лежащей на ней. Графики с этой страницы можно сохранить или отредактировать в интерактивном режиме.

Приведите заданную в условиях задачи функцию к виду f(x,y) = const. Например, если дана z = x² + y² - 4*y, ее можно записать в альтернативной форме, чтобы лучше представить форму графика функции, и приравнять к константе c: c+4 = x²+(y-2)². Объемный график такой функции представляет собой бесконечный , а все его сечения горизонтальной плоскостью, поднятой на разные , (т.е. искомые линии уровней) будут концентрическими кругами с радиусом, определяемым по формуле √(c+4).

Подставьте вместо константы c заданное в условиях значение для линии уровня. Если оно не дано - выберите сами, исходя из области значений функции. Например, для приведенного выше примера минимальным значением константы может быть число -4. Константу можно приравнять к 5 и в этом случае графиком функции будет круг с радиусом √(5+4) = 3 и центром в точке с абсциссой, равной 0 и ординатой, равной 2.

Если нужно построить несколько линий уровней, повторите предыдущий шаг нужное число раз.

В интернете можно найти сервисы, которые помогут с построением линий уровней. Например, ниже приведена ссылка на сервис WolframAlpha. В поле ввода на его странице введите формулу функции и щелкните по кнопке со значком равенства. Использованную в примере функцию z = x² + y² - 4*y надо вводить в таком виде: x^2+y^2-4*y. Через несколько секунд на странице появятся двух- и трехмерные цветные графики с линиями уровней, а также фигуры, описываемой формулой, альтернативные формы ее записи и другие функции, которые можно использовать при построении линий уровней.

Источники:

• Сервис WolframAlpha

Не каждому хочется быть семейным деспотом, но даже самые робкие и самодостаточные люди нуждаются в том, чтобы к их мнению хотя бы прислушивались. Как правильно выстроить линии влияния ? Влиять можно только на того, кто в чем-либо нуждается, поэтому рассмотрим, как использовать потребности партнера для получения от него желаемого, используя пирамиду Маслоу.

Инструкция

В основе сферы потребностей человека лежат потребности , это в первую очередь жажда, голод и половое влечение. Партнеров дрессируют как собаку Павлова при использовании всех методов, но этот метод наименее тонкий. Так, некоторые жены в молодости лишают мужа близких отношений за малейшую провинность, то же делают мужья в более по отношению к , которые не угодили. Однако гораздо эффективнее использовать этот метод положительно, то есть в ответ на уступки дарить любимому пьянящую, феерическую близость.

Выше в иерархии стоит потребность в безопасности. Каждый человек хочет жить комфортно, со стабильным укладом жизни, ничего не опасаясь. Когда обиженная жена вдруг отказывается готовить для мужа, она неосознанно ломает его бытовые привычки, причиняя боль. Это не всегда разумная политика, в негативных ситуациях лучше вести себя нейтрально, а малейшие позитивные изменения вознаграждать любимым блюдом мужа или тем, с которым у вас связаны романтические ассоциации.

Следующие два уровня рассмотрим вместе, потому что они близки по смыслу – это потребности в уважении и любви. Оскорбления больно ранят, а известный вопрос «Ты меня ?» с последующими попытками манипулировать изрядно портят кровь и мужчинам, и женщинам. А ведь на этом уровне многие люди очень зависимы и уязвимы. Поощрение правильного поведения достигается путем искренних похвал, особенно при посторонних, нежных прикосновений и влюбленных взглядов.

Венчает пирамиду потребность в самореализации. Неправильное поведение здесь – высмеивание вкусов, духовных нужд и стремлений любимого. После каждого нужного Вам решения не скупитесь на знаки внимания к творчеству партнера. Это может проявляться в мелочах, например,вы смеетесь над его удачными шутками и пересказываете их другим людям со ссылкой на автора. Также хорошо создавать любимому человеку условия для творчества в той сфере, где он действительно талантлив.

Конечно, можно добиваться поставленных задач путем лишения партнера необходимого. Но по-настоящему укрепить и обогатить отношения можно только стараясь удовлетворить потребности близкого человека по высшему классу. Беззаветная и неэгоистичная любовь поможет Вам угадать, в отдельно взятой ситуации.

Видео по теме

Обратите внимание

Пользуясь свойством линейности задачи, соединяем эти точки так называемой переходной прямой. Линия влияния, составленная из двух построенных ветвей графика S3−4 (x) и переходной прямой образуют линию влияния усилия S3−4 , означающую зависимость этого усилия от места положения единичной нагрузки (рис. 97). Строим линию влияния усилия в стойке 3-8 при движении единичного груза понизу.

Источники:

• Кинематический метод построения линий влияния в балке в 2019

Мир, который нас всех окружает, имеет три измерения, а вот лист бумаги или холст, на котором мы пытаемся изобразить окружающую реальность, увы, всего-навсего двухмерный. Для того, чтобы изображаемые нами объекты казались максимально объёмными и реалистичными, нужно соблюдать определенные правила и верно выстраивать перспективу .

Вам понадобится

• лист бумаги, карандаш, линейка

Инструкция

Далее определяем, где относительно линии горизонта будет располагаться предмет. Если он находится на уровне глаз (то есть на линии горизонта), то мы смотрим на предмет прямо. Если предмет выше линии горизонта, мы смотрим на него снизу, соответственно, в этом случае становится видно нижнюю часть . Если же предмет поместить ниже линии горизонта, то видимой окажется верхняя часть. Строим предмет, проверяем при помощи линейки, чтобы все параллельные линии сходились в одной точке.

Видео по теме

Обратите внимание

Также при построении преспективы нужно помнить не только о том, что все параллельные прямые сходятся в одной точке, но и о том, что по мере удаления все изображаемые предметы уменьшаются. Сильно удаленные предметы и вовсе превращаются в точки.

В последнее время кровельные материалы с прозрачным покрытием все чаще используются при строительстве гаражей. Преимущество прозрачной крыши состоит в том, что она пропускает большое количество дневного света, а уровень освещения позволяет работать без дополнительного искусственного освещения.

Вам понадобится

• - рулетка;
• - фломастер;
• - дрель;
• - шурупы;
• - шуруповерт;
• - прозрачный пластик;
• - уплотнительные кольца;
• - герметик;
• - профилированный пенопласт.

Инструкция

Замерьте крыши с помощью рулетки. Разметьте кровельное покрытие так, чтобы его листы ложились внахлест. Ширина нахлеста – полтора сантиметра. Отметьте линию среза цветным фломастером. Учтите, что торец должен примыкать к кромке под углом 90 градусов.

Просверлите в листах пластика отверстия под шурупы. Диаметр отверстия должен быть больше диаметра метизов на 4 мм. Закрепите на с помощью шурупов. Крепления должны находиться на каждом втором гребне рельефного листа. Пластик – достаточно хрупкий материал, поэтому в процессе его крепления ограничьте механическое воздействие. Рекомендуется использовать – шуруповерт.

При монтаже кровельного покрытия необходимо установить уплотнительные кольца и пластмассовые колпачки между и стенами. В качестве дополнительного уплотнителя можно использовать профилированный , который крепится с помощью шурупов в сквозных отверстиях.

Видео по теме

Обратите внимание

Крыша гаража будет смотреться правильно и красиво лишь в том случае, если стропильные рамы имеют одинаковую форму и правильно выставлены. Поэтому при производстве подготовительных и кровельных работ следует использовать шаблоны. В качестве такого шаблона используется первая сборная рама.

Полезный совет

Чтобы в процессе резки прозрачное покрытие не смещалось, его нужно зажать инструментом, используя деревянные дощечки в качестве прокладок. Пластиковое кровельное покрытие лучше резать пилой с мелкими зубьями. Инструмент нужно слегка наклонить и работать им без нажима. В противном случае ножовочное полотно заклинит.

Источники:

• Устройство разных видов крыш гаражей в 2019

С наступлением лета хочется изменить свой гардероб, добавить в него новые краски и фасоны. Не обязательно для этого идти в магазин - некоторые модели одежды можно сшить самостоятельно. Одним из самых простых в изготовлении предметов одежды по праву считается сарафан. Достаточно выбрать хорошую легкую ткань, сделать выкройку и сшить все детали вместе.

Вам понадобится

• - бумага;
• - карандаш;
• - сантиметровая лента;
• - линейка;
• - ножницы.

Инструкция

Возьмите сантиметровую ленту и измерьте следующие расстояния: ДСП – длина спины до талии, ДСБ – длина спины до бедер, ПГ – расстояние от плеча до верхней точки груди, ОТ – объем талии, ОБ – объем бедер, ОГ – объем груди, ВТ – расстояние между верхними точками груди, ДИ – длина изделия (от плеча до подола).

Возьмите большой лист бумаги (лучше специальной бумаги для выкроек с миллиметровой разметкой) и начертите прямоугольник, длина которого равна ДИ, а ширина равна четверти ОГ. Если ваш объем бедер больше, чем объем груди, ширина прямоугольника должна быть равна четверти ОБ. Это будет половинка переда. Cразу отметьте одну из вертикальных сторон как середину.

Найдите линию талии, груди и бедер. Для этого от верхней границы прямоугольника отмерьте расстояния, равные ПГ, ДСТ, и ДСБ и проведите на этом уровне горизонтальные линии.

Найдите верхнюю точку груди. Для этого по линии груди от середины переда отмерьте половину ВТ. Проведите от этой точки вертикальную черту через весь прямоугольник.

В месте пересечения этой черты с линией талии сделайте вытачку, для этого вправо и влево от точки пересечения отложите по 2 – 4 см. Соедините эти две точки с верхней точкой груди и с линией бедер. У вас должен получиться длинный вертикальный ромб. Вторую вытачку сделайте вдоль бокового шва (получится половина ромба).

Оформите верхнюю часть сарафана по своему желанию в виде буквы «Л». Можете сделать круглый, треугольный или прямой вырез. Пройму сделайте низкую или высокую, в зависимости от вашей фигуры. На вершине буквы «Л» (на пересечении проймы и выреза) закрепите бретели.

Таким же образом постройте выкройку спинки. Отличие спинки от переда в том, что верхняя часть будет просто горизонтально срезана, по высоте пересечения линии проймы с боковой линией.

Вырежьте детали выкройки сарафана и приступайте к шитью.

Подмостки – это площадки возле береговой линии, как будто парящие над водой.

Обычно они деревянные и представляют собой продолжение садовой тропинки. На подмостки можно поставить деревянную беседку или скамейку, сидя на которой приятно ловить рыбу или просто любоваться прудом. А если в водоеме можно купаться, то более удобного места для ныряний не найти.

Проектирование и установка подмостков – интересная и творческая задача:

1. Сначала устанавливаются сваи, их можно сделать из металлической трубы (100х100 мм),

2. Затем к ним крепится деревянная или металлическая рама, к которой уже крепятся доски настила. Между ними для вентиляции древесины оставляются зазоры.

3. На берегу через каждые три метра, сооружаются фундаментные столбы, на которые опирается настил. Они должны возвышаться над водой на 20-30 см., учитывая то, что в периоды дождей уровень воды повышается. По мнению специалистов, подмостки делаются не больше 25% от зеркала воды.

До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента . Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные . Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .

Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).

Данную функцию обозначают следующим образом:

Либо , или же другой стандартной буквой:

Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости , то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.

Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения .

Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть . Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .

Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:

Как двух переменных?

Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!

Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:

Пример 1

Найти область определения функции

Решение : так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:

Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой

Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж .

Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.

Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.

Пример 2

Найти область определения функции

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Ответ : полуплоскость

Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость . Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.

Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!

Миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти область определения функции

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем разминаться:

Пример 4

И изобразить её на чертеже

Решение : легко понять, что такая формулировка задачи требует выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:

Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств .

Сначала чертим линию , которую задаёт соответствующее равенство . Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром .

Теперь берём произвольную точку плоскости, не принадлежащую окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :

Получено неверное неравенство , таким образом, точка не удовлетворяет неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:

Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг с центром в начале координат, радиуса .

Ответ : внешняя часть круга

Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность :

На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над плоскостью (ближний и дальний от нас октанты) , местами – под плоскостью (левый и правый относительно нас октанты) . Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения . Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет») , о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.

Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 5

Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс , гиперболу или параболу .

Идём на повышение:

Пример 6

Найти область определения функции

Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .

С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства : чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое , то сама прямая также будет являться решением.

Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.

Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:

Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.

Ответ : область определения:

К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.

Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства . Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.

Пример 7

Найти область определения функции

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:

Пример 8

Найти область определения функции

Решение : используя формулу разности квадратов , разложим подкоренное выражение на множители: .

Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны: ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)

Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь верхний «уголок». Штрихуем.

Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь правый «уголок» не является решением системы .

Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.

И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.

В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!

Ответ : область определения представляет собой объединение решений систем .

Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.

А это ваш орешек:

Пример 9

Найти область определения функции

Хороший студент всегда скучает по логарифмам:

Пример 10

Найти область определения функции

Решение : аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .

Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .

Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду . В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.

Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:

Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:

мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…

Ответ :

Следующий логарифм ваш:

Пример 11

Найти область определения функции

В ходе решения придётся построить параболу , которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.

Решение, чертёж и ответ в конце урока.

Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:

Пример 12

Найти область определения функции

Решение : аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:

Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств :

Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:

Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.

Ответ : область определения представляет собой решение системы

Пример 13

Найти область определения функции

В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.

На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу . Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид , «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук) , и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.

Линии уровня

Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой : чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.

Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня ? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .

Определение : линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .

Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:

Пример 14

Найти и построить несколько линий уровня графика функции

Решение : исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:

Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна) . Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).

Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.

Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :

Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку .

Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности) :

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса .

Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!

Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности) :

Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .

И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :

– окружность с центром в точке радиуса 3 .

Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:

Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)

Ответ : линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида

Примечание : при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)

Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты . Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:

На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.