Критерии оценки качества регрессионной модели, или какая модель хорошая, а какая лучше. Большая энциклопедия нефти и газа
Лекция 2. Корреляционно-регрессионный анализ. Парная регрессия
1. Сущность корреляционно-регрессионного анализа и его задачи.
2. Определение регрессии и ее виды.
3. Особенности спецификации модели. Причины существования случайной величины.
4. Методы выбора парной регрессии.
5. Метод наименьших квадратов.
6. Показатели измерения тесноты и силы связи.
7. Оценки статистической значимости.
8. Прогнозируемое значение переменной у и доверительные интервалы прогноза.
1. Сущность корреляционно-регрессионного анализа и его задачи. Экономические явления, будучи весьма разнообразными, характеризуются множеством признаков, отражающих определенные свойства этих процессов и явлений и подверженных взаимообусловленным изменениям. В одних случаях зависимость между признаками оказывается очень тесной (например, часовая выработка работника и его заработная плата), а в других случаях такая связь не выражена вовсе или крайне слаба (например, пол студентов и их успеваемость). Чем теснее связь между этими признаками, тем точнее принимаемые решения.
Различают два типа зависимостей между явлениями и их признаками:
функциональная (детерминированная, причинная) зависимость . Задается в виде формулы, которая каждому значению одной переменной ставит в соответствие строго определенное значение другой переменной (воздействием случайных факторов при этом пренебрегают). Иными словами,функциональная зависимость – это связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует точно определенное значение зависимой переменной у. В экономике функциональные связи между переменными являются исключениями из общего правила;
статистическая (стохастическая, недетерминированная) зависимость – это связь переменных, на которую накладывается воздействие случайных факторов, т.е. это связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует множество значений зависимой переменной у, причем заранее неизвестно, какое именно значение примет у.
Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость.
Корреляционная зависимость – это связь, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует определенное математическое ожидание (среднее значение) зависимой переменной у.
Корреляционная зависимость является «неполной» зависимостью, которая проявляется не в каждом отдельном случае, а только в средних величинах при достаточно большом числе случаев. Например, известно, что повышение квалификации работника ведет к росту производительности труда. Это утверждение часто подтверждается на практике, но не означает, что у двух и более работников одного разряда / уровня, занятых аналогичным процессом, будет одинаковая производительность труда.
Корреляционная зависимость исследуется с помощью методы корреляционного и регрессионного анализа.
Корреляционно-регрессионный анализ позволяет установить тесноту, направление связи и форму этой связи между переменными, т.е. ее аналитическое выражение.
Основная задача корреляционного анализа состоит в количественном определении тесноты связи между двумя признаками при парной связи и между результативными и несколькими факторными признаками при многофакторной связи и статистической оценке надежности установленной связи.
2. Определение регрессии и ее виды. Регрессионный анализ является основным математико-статистическим инструментом в эконометрике.Регрессией принято называть зависимость среднего значения какой-либо величины (y) от некоторой другой величины или от нескольких величин (x i).
В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.
Простая (парная) регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной у рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной х. В неявном виде парная регрессия – это модель вида:
В явном виде:
,
где aиb– оценки коэффициентов регрессии.
Множественная регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной у рассматривается как функция нескольких независимых (объясняющих) переменных х 1 , х 2 , … х n . В неявном виде парная регрессия – это модель вида:
.
В явном виде:
где aиb 1 ,b 2 ,b n – оценки коэффициентов регрессии.
Примером такой модели может служить зависимость заработной платы работника от его возраста, образования, квалификации, стажа, отрасли и т.д.
Относительно формы зависимости различают:
линейную регрессию;
нелинейную регрессию, предполагающую существование нелинейных соотношений между факторами, выражающихся соответствующей нелинейной функцией. Зачастую нелинейные по внешнему виду модели могут быть приведены к линейному виду, что позволяет их относить к классу линейных.
3. Особенности спецификации модели. Причины существования случайной величины. Любое эконометрическое исследование начинается соспецификации модели , т.е. с формулировки вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными.
Прежде всего из всего круга факторов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной. Уравнение простой регрессии характеризует связь между двумя переменными, которая проявляется как некоторая закономерность лишь в среднем в целом по совокупности наблюдений. В уравнении регрессии корреляционная связь представляется в виде функциональной зависимости, выраженной соответствующей математической функцией. Практически в каждом отдельном случае величина у складывается из двух слагаемых:
,
где у – фактическое значение результативного признака;
–
теоретическое значении результативного
признака, найденное исходя из уравнения
регрессии;
– случайная величина, характеризующая
отклонения реального значения
результативного признака от теоретического,
найденного по уравнению регрессии.
Случайная величина
называется
также возмущением. Она включает влияние
не учтенных в модели факторов, случайных
ошибок и особенностей измерения.
Присутствие в модели случайной величины
порождено тремя источниками:
спецификацией модели,
выборочным характером исходных данных,
особенностями измерения переменных.
К ошибкам спецификации будут относиться не только неправильный выбор той или иной математической функции, но и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора (использование парной регрессии вместо множественной).
Наряду с ошибками спецификации могут иметь место ошибки выборки, поскольку исследователь чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении закономерностей связи между признаками. Ошибки выборки имеют место и в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности, что, как правило, бывает при изучении экономических процессов. Если совокупность неоднородна, то уравнение регрессии не имеет практического смысла. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности единицы с аномальными значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики. Исходных данных
Однако наибольшую опасность в практическом использовании методов регрессии представляют ошибки измерения. Если ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а ошибки выборки – увеличивая объем исходных данных, то ошибки измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками.
4. Методы выбора
парной регрессии.
Предполагая,
что ошибки измерения сведены к минимуму,
основное внимание в эконометрических
исследованиях отводится ошибкам
спецификации модели. В парной регрессии
выбор вида математической функции
может быть осуществлен тремя
методами:
графическим;
аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;
экспериментальным.
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции.Основные типы кривых, используемых при количественной оценке связей
Класс математических функций для описания связи двух переменных достаточно широк, также используются и другие типы кривых.
Аналитический метод выбор типа уравнения регрессии основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков, а также визуальной оценке характера связи. Т.е. если мы говорим о кривой Лаффера, показывающей зависимость между прогрессивностью налогообложения и доходами бюджета, то речь идет о параболической кривой, а в микроанализе изокванты представляют собой гиперболы.
5. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виду четкой экономической интерпретации ее параметров и сводится к нахождению уравнения вида:
,
где х – объясняющая (независимая) переменная – неслучайная величина;
у – объясняемая (зависимая) величина;
– случайный член (ошибка регрессии);
и β – параметры уравнения.
Теоретические значения
представляют
линию регрессии. Построение линейной
регрессии сводится к оценке параметров
a и b уравнения
.
Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными способами.
Метод наименьших квадратов (МНК) – классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии.
Обратимся к полю корреляции.
По графику можно определить значения
параметров. Параметр а – точка пересечения
линии регрессии с осью Оу, а параметр b
оценивается исходя из угла наклона
линии регрессии
,
где dy – приращение фактора у, а dx –
приращение фактора х.
МНК позволяет получить такие оценки
параметров a и b, при которых сумма
квадратов отклонений фактических
значений результативного признака у
от расчетных (теоретических) значений
минимальна:
Т.е. линия регрессии выбирается таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальна.
где
.
Вычислим частные производные по каждому из параметров a и b.
Разделим обе части уравнений на n и получим систему уравнений, из которой можно вычислить оба параметра.
Из МНК можно получить две другие формулы для нахождения параметра b:
1.
2.
или
Оценка параметра а находится одинаковым способом во всех случаях:
.
Параметр b называется коэффициентом регрессии и показывает, на сколько единиц в среднем изменится переменная у при увеличении переменной х на 1 единицу. Знак при коэффициенте регрессии показывает направление связи: при b < 0 – связь обратная, при b > 0 – связь прямая.
Параметр а формально представляет собой значение у при х = 0. Если х не имеет или не может иметь нулевого значения, то а не имеет смысла. Он может и не иметь экономического смысла. При а<0 экономическая интерпретация может оказаться абсурдной.
Интерпретировать можно знак при параметре а. Если а>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Если а<0, то изменение результата опережает изменение фактора.
6. Показатели измерения тесноты и силы связи . Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи.
Качество парной регрессии определяется с помощью парного линейного коэффициента корреляции:
или
,
где
,
–
среднеквадратические отклонения,
которые показывают разброс значений в
множестве значений х и у. Большое значение
среднеквадратического отклонения
показывает большой разброс значений в
представленном множестве со средней
величиной множества; маленькое значение,
соответственно, показывает, что значения
в множестве сгруппированы вокруг
среднего значения.
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах:
1 <
< 1.
Если коэффициент корреляции положительный (рис. а), то связь между признаками прямая, т.е. с увеличением (уменьшением) x признак y увеличивается (уменьшается). Если коэффициент корреляции отрицательный (рис. б), то связь между признаками обратная, т.е. с увеличением (уменьшением) x признак y уменьшается (увеличивается).
Чем ближе значение коэффициента корреляции к 1, тем теснее связь (рис. б), чем ближе к 0, тем слабее (рис. а).
Если 0 < |
|
<0,3, то связь между признаками практически
отсутствует,
если 0,3 < |
|
<0,5, то связь слабая,
если 0,5 < |
|
<0,7, то связь умеренная,
если 0,7 < |
|
<1, то связь сильная.
И, наконец, при r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна оси Ох.
Следует отметить, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствие связи между признаками. При иной спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции R 2 , называемыйкоэффициентом детерминации . Он характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.
Соответственно величина 1 – R 2 характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.
В силу своего определения R 2 принимает значения между 0 и 1, т.е.
0 ≤ R 2 ≤ 1.
Если R
2
= 0,
то это означает, что регрессия ничего
не дает, т.е х не улучшает качество
предсказания у по сравнению с тривиальным
предсказанием
.
Другой крайний вариант R
2
= 1 означает точную подгонку модели: все
точки наблюдений лежат на регрессионной
прямой (все
=0).
Чем ближеR
2
к
1, тем лучше качество подгонки модели и
тем точнее
.
Параметре регрессии b хотя и показывает, на сколько единиц в среднем изменится переменная у при увеличении переменной х на 1 единицу, но использовать для непосредственной оценки влияния факторного признака на результативный нельзя из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей используют коэффициент эластичности . Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%, и вычисляется по формуле:
,
где
– первая производная, характеризующая
соотношение приростов результата и
фактора для соответствующей формы
связи.
В силу того того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:
.
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет не имеет экономического смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах (например, на сколько процентов изменится урожайность пшеницу, если качество почвы улучшится на 1%).
Коэффициенты эластичности для ряда математических функций
7. Оценки статистической значимости. После того как найдено уравнение регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Оценка значимости уравнения в целом.
Оценка значимости уравнения регрессии
в целом дается с помощьюF-критерия
Фишера и служит для выяснения того, что
полученное значение коэффициента
детерминации
неслучайно, т.е. соответствует ли
математическая модель, выражающая
зависимость между переменными,
экспериментальным данным и достаточно
ли включенных в уравнение объясняющих
переменных (одной или нескольких) для
описания зависимой переменной.
В парной линейной регрессии проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используют F-критерий Фишера. В случае парной линейной регрессии значимость модели регрессии проверяется по следующей формуле:
,
где m– количество объясняющих факторных признаков, т.е. х.
Наблюдаемые значения сравниваются с табличными.
,
где α – уровень значимости, соответствующий доверительному интервалу;
Если при заданном уровне значимости F набл >F крит, то модель считается значимой, гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отрицается и признается их статистическая значимость и надежность.
Если F набл Стандартная ошибка оценки уравнения
регрессии.
Хотя МНК дает нам линию
регрессии, которая обеспечивает минимум
вариации, не все наблюдения совпадают
с линией регрессии. Поэтому необходима
статистическая мера вариации фактических
значений у от предсказанных значений Стандартная ошибка оценки определяется
как: где у – фактические значения зависимой
переменной для заданных значений
независимой переменной; m – количество объясняющих переменных
х. Данный коэффициент характеризует меру
вариации фактических данных вокруг
линии регрессии. Проверка значимости параметров.
Кроме того, проверяется значимость
параметров регрессии. Проверка значимости
параметров отдельных коэффициентов
регрессии проводится по t-критерию
Стьюдента путем проверки гипотезы о
равенстве нулю каждого коэффициента
регрессии. При этом выясняют, не являются
ли полученные значения параметров
результатом действия случайных величин. Значимость коэффициентов регрессии
проверяется по следующим формулам. Для
коэффициента b: где S b – стандартная ошибка
коэффициента b, которая в свою очередь
определяется как: Для коэффициента а аналогично: где S a – стандартная ошибка
свободного члена а, также находится по
формуле: Расчетные значения t-критерия сравниваются
с табличным значением критерия
Если расчетное значение t-критерия
превосходит его табличное значение, то
параметр признается значимым, т.е. не
является случайно найденным. 8. Прогнозируемое
значение переменной у и доверительные
интервалы прогноза.
Точечный
прогноз заключается в получении
прогнозного значения Y*, которое
определяется путем подстановки в
уравнение регрессии
Вероятность реализации точечного
прогноза практически равна нулю, поэтому
рассчитывается доверительный интервал
прогноза с большей надежностью. Интервальный прогноз заключается в
построении доверительного интервала
прогноза, т.е. нижней и верхней –
минимально и максимально возможных
границ интервала, содержащего точную
величину для прогнозного значения Y* с
заданной вероятностью, т.е.: У min Доверительные интервалы прогноза
определяются по следующим формулам: где
Доверительный интервал для коэффициентов
регрессии определяются как: Так как коэффициент регрессии в
эконометрических исследованиях имеет
четкую экономическую интерпретацию,
то доверительные границы интервала для
коэффициента регрессии не должны
содержать противоречивых результатов,
например, -10b40
– такого рода запись указывает на то,
что истинное значение коэффициента
регрессии одновременно содержит
положительные и отрицательные величины
и даже ноль, чего быть не может. Тогда
параметр принимается равным нулю. Решение
находим с помощью калькулятора .
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Для оценки значимости параметров уравнения множественной регрессии используют критерий Стьюдента. Напомним, что значимость параметров означает их отличие от нуля
с высокой долей вероятности. Нулевой гипотезой в данном случае является утверждение Фактическое значение t-критерия определяется по формуле В формуле (2.27) под оценкой параметра понимается как коэффициент регрессии, так и свободный член (при ). Величина среднего квадратического отклонения оцениваемого параметра определяется как корень из дисперсии , рассчитанной по формуле (2.25). Величину называют стандартной ошибкой
параметра . Формулу для оценки коэффициента регрессии (т.е. для ) можно привести к виду где – среднее квадратическое отклонение результативной переменной ; – среднее квадратическое отклонение объясняющей переменной , являющейся сомножителем коэффициента ; – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной от переменных , включая ; – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной от других переменных , входящих в рассматриваемую модель множественной регрессии. Теоретическое значение t-критерия находят по таблице значений критерия Стьюдента для уровня значимости а и числа степеней свободы . Уровень значимости а представляет собой вероятность ошибки первого рода, т.е. вероятность отвергнуть гипотезу , когда она верна. Как правило, а выбирают равным 0,1; 0,05 или 0,01. Нулевая гипотеза о незначимости параметра : отвергается, если выполняется неравенство где – теоретическое значение критерия Стьюдента. На основе выражения (2.29) можно построить также доверительный интервал для оцениваемого параметра : Выражение (2.30) позволяет как оценить значимость параметра, так и дать его экономическую интерпретацию (если оценивается коэффициент регрессии). Очевидно, что параметр будет значим, если в доверительный интервал (2.30) не входит нуль, т.е. с большой долей вероятности оцениваемый параметр не равен нулю. Так как коэффициент регрессии является абсолютным показателем силы связи, границы доверительного интервала и для него также можно интерпретировать аналогичным образом: с вероятностью при единичном изменении независимой переменной зависимая переменная у
изменится не меньше, чем на , и не больше, чем на . Рассмотрим результаты оценки значимости параметров для примера 2.1. Стандартные ошибки параметров равны Напомним, что под знаком корня в квадратных скобках стоит элемент матрицы , который находится на пересече- нии j-й строки и j-го столбца, номер; равен номеру оцениваемого параметра. Фактическое значение критерия Стьюдента равно Табличное значение t-критерия для и уровне значимостисоставляет 2,0153, следовательно, все параметры, кроме свободного члена, значимы . Найдем границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии. Отметим, что, руководствуясь значениями границ доверительных интервалов, можно сделать те же выводы о значимости коэффициентов регрессии (так как нуль не попадает в доверительный интервал). Выводы в данном случае и не могли быть иными, чем при сравнении фактического и табличного значений критерия Стьюдента, так как формула (2.30) является следствием формулы (2.29). Дадим экономическую интерпретацию границ доверительных интервалов для коэффициентов регрессии. Коэффициент является характеристикой силы связи между объемом поступления налогов и количеством занятых. С учетом значений границ доверительного интервала дляможно сказать, что изменение количества занятых на 1 тыс. человек приведет к изменению (с вероятностью 0,95 ()) поступления налогов не менее чем на 3,56 млн руб. и не более чем на 21,34 млн руб. при неизменном объеме отгрузки в обрабатывающих производствах и производстве энергии. Для двух других коэффициентов регрессии выводы будут следующими. Изменение объема отгрузки в обрабатывающих производствах на 1 млн руб. приведет к изменению (с вероятностью 0,95 ()) поступления налогов не менее чем на 0,028 млн руб. и не более чем на 0,092 млн руб. при неизменных значениях количества занятых и производства энергии. При изменении производства энергии на 1 млн руб. поступление налогов изменится (с вероятностью 0,95 ()) не менее чем на 0,13 млн руб. и не более чем на 0,18 млн руб. при неизменных значениях количества занятых и объема отгрузки в обрабатывающих производствах. Как было отмечено в параграфе 2.2, при построении модели регрессии с использованием центрированных переменных
коэффициенты регрессии не отличаются от коэффициентов регрессии в натуральной форме. Это утверждение относится также к величине стандартных ошибок коэффициентов регрессии и, следовательно, к фактическим значениям критерия Стьюдента. При использовании стандартизованных переменных
меняется масштаб их измерения, что приводит к другим, чем в исходной регрессии, значениям параметров (стандартизованных коэффициентов регрессии) и их стандартных ошибок. Однако фактические значения критерия Стьюдента для параметров уравнения в стандартизованном масштабе совпадают с теми значениями, которые были получены по уравнению в натуральном масштабе. Для оценки значимости всего уравнения регрессии в целом используется критерий Фишера (F-критерий)
,
который в данном случае называют также общим F-критерием
.
Под незначимостью уравнения регрессии понимается одновременное равенство нулю (с высокой долей вероятности) всех коэффициентов регрессии в генеральной совокупности: Фактическое значение F-критерия определяется как соотношение факторной и остаточной сумм квадратов, рассчитанных по уравнению регрессии и скорректированных на число степеней свободы: где – факторная сумма квадратов; – остаточная сумма квадратов. Теоретическое значение F-критерия находят по таблице значений критерия Фишера для уровня значимости α, числа степеней свободы и . Нулевая гипотеза отвергается, если где – теоретическое значение критерия Фишера. Отметим, что если модель незначима, то незначимы и показатели корреляции, рассчитанные по ней. Действительно, если и линия регрессии параллельна оси абсцисс. Кроме того, из системы нормальных уравнений, полученной по методу наименьших квадратов (2.8), следует, что . При нулевых значения всех коэффициентов регрессии имеем выражение т.е. при равенстве всех коэффициентов регрессии нулю (их статистической незначимости) коэффициент детерминации также будет равен нулю (статистически незначим). Формулу (2.31) расчета F-критерия можно преобразовать, разделив факторную и остаточную суммы квадратов на общую сумму квадратов: После простых преобразований получаем выражение Расчет общего F-критерия можно оформить в виде таблицы дисперсионного анализа (табл. 2.2). Таблица 2.2.
Анализ статистической значимости модели множественной регрессии Источники вариации Число степеней свободы df
Сумма квадратов SS
Дисперсия на одну степень свободы MS = SS/df
F-критерий Фишера фактическое значение табличное значение для а = 0,05 Аналогичную таблицу дисперсионного анализа можно увидеть в результатах компьютерной обработки данных. Ее отличие от приведенной выше таблицы заключается в содержании последнего столбца. В нашем случае это теоретическое значение критерия Фишера. В компьютерных вариантах в последнем столбце приводится значение вероятности допустить ошибку первого рода (отвергнуть верную нулевую гипотезу), которая соответствует фактическому значению F-критерия. В Excel
эта величина называется "значимость F". Обозначим величину, выдаваемую компьютером в таблице дисперсионного анализа, как . Ее значение можно проинтерпретировать следующим образом: если теоретическое значение F-критерия равно его фактическому значению, то вероятность ошибки первого рода (уровень значимости) равна . Выбирая для определения табличного значения критерия некий уровень значимости, мы соглашаемся на величину ошибки, равную. Следовательно, если , то фактическая ошибка будет меньше запланированной и можно говорить о значимости уравнения регрессии при заданном уровне значимости . Проверим на статистическую значимость уравнение регрессии, полученное в примере 2.1. Фактическое значение F-критерия равно Табличное значение критерия Фишера для а = 0,05, числа степеней свободы и равно 2,82. Так как фактическое значение F-критерия больше табличного, уравнение регрессии значимо с вероятностью Следовательно, значим также коэффициент детерминации, т.е. он с большой долей вероятности отличен от нуля. При использовании опции "Регрессия" в ППП Excel
для данного примера получена следующая таблица дисперсионного анализа (табл. 2.3). Таблица 2.3.
Таблица дисперсионного анализа, полученная при применении опции "Регрессия" в ППП Excel
Фактическое значение F-критерия содержится в предпоследнем столбце данной таблицы. Отметим, что его значение отличается от приведенного выше из-за ошибок округления. В последнем столбце табл. 2.3 приведена вероятность допустить ошибку первого рода. Она равна 1,10224Е -12, т.е. 0,00000000000110224. Нами задана максимальная величина этой вероятности, равная 0,05. Так как фактическое значение вероятности допустить ошибку первого рода меньше (значительно меньше) установленного нами максимального, нулевая гипотеза о незначимости уравнения регрессии должна быть отвергнута. 25.07.16
Ирина Аничина
33095
0
В данной статье мы поговорим о том, как понять, качественную ли модель мы построили. Ведь именно качественная модель даст нам качественные прогнозы. Prognoz Platform обладает обширным списком моделей для построения и анализа. Каждая модель имеет свою специфику и применяется при различных предпосылках. Объект «Модель» позволяет построить следующие регрессионные модели: Начнём с модели линейной регрессии. Многое из сказанного будет распространяться и на другие виды. Модель линейной регрессии (оценка МНК)
где y
– объясняемый ряд, x
1
, …,
x k
– объясняющие ряды, e
– вектор ошибок модели, b
0
,
b
1
, …,
b k
– коэффициенты модели. Итак, куда смотреть? Коэффициенты модели
Для каждого коэффициента на панели «Идентифицированное уравнение» вычисляется ряд статистик: стандартная ошибка,
t
-статистика
, вероятность значимости коэффициента
. Последняя является наиболее универсальной и показывает, с какой вероятностью удаление из модели фактора, соответствующего данному коэффициенту, не окажется значимым. Открываем панель и смотрим на последний столбец, ведь он – именно тот, кто сразу же скажет нам о значимости коэффициентов. Факторов с большой вероятностью незначимости в модели быть не должно. Как вы видите, при исключении последнего фактора коэффициенты модели практически не изменились. Возможные проблемы:
Что делать, если согласно вашей теоретической модели фактор с большой вероятностью незначимости обязательно должен быть? Существуют и другие способы определения значимости коэффициентов. Например, взгляните на матрицу корреляции факторов. Матрица корреляции
Панель «Корреляция факторов» содержит матрицу корреляции
между всеми переменными модели, а также строит облако наблюдений для выделенной пары значений. Коэффициент корреляции
показывает силу линейной зависимости между двумя переменными. Он изменяется от -1 до 1. Близость к -1 говорит об отрицательной линейной зависимости, близость к 1 – о положительной. Облако наблюдений позволяет визуально определить, похожа ли зависимость одной переменной от другой на линейную. Если среди факторов встречаются сильно коррелирующие между собой, исключите один из них. При желании вместо модели обычной линейной регрессии вы можете построить модель с инструментальными переменными, включив в список инструментальных исключённые из-за корреляции факторы. Матрица корреляции не имеет смысла для модели нелинейной регрессии, поскольку она показывает только силу линейной
зависимости. Критерии качества
Помимо проверки каждого коэффициента модели важно знать, насколько она хороша в целом. Для этого вычисляют статистики, расположенные на панели «Статистические характеристики». Коэффициент детерминации (R
2
)
– наиболее распространённая статистика для оценки качества модели. R
2
рассчитывается по следующей формуле: где n
– число наблюдений; y i
— значения объясняемой переменной; R
2
принимает значение от 0 до 1 и показывает долю объяснённой дисперсии объясняемого ряда. Чем ближе R
2
к 1, тем лучше модель, тем меньше доля необъяснённого. Возможные проблемы:
Проблемы с использованием R
2
заключаются в том, что его значение не уменьшается при добавлении в уравнение факторов, сколь плохи бы они ни были. Он гарантированно будет равен 1, если мы добавим в модель столько факторов, сколько у нас наблюдений. Поэтому сравнивать модели с разным количеством факторов, используя R
2
, не имеет смысла. Для более адекватной оценки модели используется скорректированный коэффициент детерминации (Adj
R
2
)
. Как видно из названия, этот показатель представляет собой скорректированную версию R
2
, накладывая «штраф» за каждый добавленный фактор: где k
– число факторов, включенных в модель. Коэффициент Adj
R
2
также принимает значения от 0 до 1, но никогда не будет больше, чем значение R
2
. Аналогом t
-статистики коэффициента является статистика Фишера (F
-статистика)
. Однако если t
-статистика проверяет гипотезу о незначимости одного коэффициента, то F
-статистика проверяет гипотезу о том, что все факторы (кроме константы) являются незначимыми. Значение F
-статистики также сравнивают с критическим, и для него мы также можем получить вероятность незначимости. Стоит понимать, что данный тест проверяет гипотезу о том, что все факторы одновременно
являются незначимыми. Поэтому при наличии незначимых факторов модель в целом может быть значима. Возможные проблемы:
Большинство статистик строится для случая, когда модель включает в себя константу. Однако в Prognoz Platform мы имеем возможность убрать константу из списка оцениваемых коэффициентов. Стоит понимать, что такие манипуляции приводят к тому, что некоторые характеристики могут принимать недопустимые значения. Так, R
2
и Adj
R
2
при отсутствии константы могут принимать отрицательные значения. В таком случае их уже не получится интерпретировать как долю, принимающую значение от 0 до 1. Для моделей без константы в Prognoz Platform рассчитываются нецентрированные коэффициенты детерминации
(R
2
и Adj
R
2
). Модифицированная формула приводит их значения к диапазону от 0 до 1 даже в модели без константы. Посмотрим значения описанных критериев для приведённой выше модели: Как мы видим, коэффициент детерминации достаточно велик, однако есть ещё значительная доля необъяснённой дисперсии. Статистика Фишера говорит о том, что выбранная нами совокупность факторов является значимой. Сравнительные критерии
Кроме критериев, позволяющих говорить о качестве модели самой по себе, существует ряд характеристик, позволяющих сравнивать модели друг с другом (при условии, что мы объясняем один и тот же ряд на одном и том же периоде). Большинство моделей регрессии сводятся к задаче минимизации суммы квадратов остатков (sum
of
squared
residuals
,
SSR
)
. Таким образом, сравнивая модели по этому показателю, можно определить, какая из моделей лучше объяснила исследуемый ряд. Такой модели будет соответствовать наименьшее значение суммы квадратов остатков. Возможные проблемы:
Стоит заметить, что с ростом числа факторов данный показатель так же, как и R
2
, будет стремиться к граничному значению (у SSR, очевидно, граничное значение 0). Некоторые модели сводятся к максимизации логарифма функции максимального правдоподобия (LogL
)
. Для модели линейной регрессии эти задачи приводят к одинаковому решению. На основе LogL
строятся информационные критерии, часто используемые для решения задачи выбора как регрессионных моделей, так и моделей сглаживания: Все критерии учитывают число наблюдений и число параметров модели и отличаются друг от друга видом «функции штрафа» за число параметров. Для информационных критериев действует правило: наилучшая модель имеет наименьшее значение критерия. Сравним нашу модель с её первым вариантом (с «лишним» коэффициентом): Как можно увидеть, данная модель хоть и дала меньшую сумму квадратов остатков, оказалась хуже по информационным критериям и по скорректированному коэффициенту детерминации. Анализ остатков
Модель считается качественной, если остатки модели не коррелируют между собой. В противном случае имеет место постоянное однонаправленное воздействие на объясняемую переменную не учтённых в модели факторов. Это влияет на качество оценок модели, делая их неэффективными. Для проверки остатков на автокорреляцию первого порядка (зависимость текущего значения от предыдущих) используется статистика Дарбина-Уотсона (DW
)
. Её значение находится в промежутке от 0 до 4. В случае отсутствия автокорреляции DW
близка к 2. Близость к 0 говорит о положительной автокорреляции, к 4 — об отрицательной. Как оказалось, в нашей модели присутствует автокорреляция остатков. От автокорреляции можно избавиться, применив преобразование «Разность» к объясняемой переменной или воспользовавшись другим видом модели – моделью ARIMA или моделью ARMAX. Возможные проблемы:
Статистика Дарбина-Уотсона неприменима к моделям без константы, а также к моделям, которые в качестве факторов используют лагированные значения объясняемой переменной. В этих случаях статистика может показывать отсутствие автокорреляции при её наличии. Модель линейной регрессии (метод инструментальных переменных)
Модель линейной регрессии с инструментальными переменными имеет вид: где y
– объясняемый ряд, x
1
, …,
x k
– объясняющие ряды, x
̃ 1 , …,
x
̃
k
– смоделированные при помощи инструментальных переменных объясняющие ряды, z
1
, …,
z l
– инструментальные переменные, e
,
∈
j
– вектора ошибок моделей, b
0
,
b
1
, …,
b k
– коэффициенты модели, c
0
j
,
c
1
j
, …,
c lj
– коэффициенты моделей для объясняющих рядов. Схема, по которой следует проверять качество модели, является схожей, только к критериям качества добавляется J
-статистика
– аналог F
-статистики, учитывающий инструментальные переменные. Модель бинарного выбора
Объясняемой переменной в модели бинарного выбора является величина, принимающая только два значения – 0 или 1. где y
– объясняемый ряд, x
1
, …,
x k
– объясняющие ряды, e
– вектор ошибок модели, b
0
,
b
1
, …,
b k
– коэффициенты модели, F
– неубывающая функция, возвращающая значения от 0 до 1. Коэффициенты модели вычисляются методом, максимизирующим значение функции максимального правдоподобия. Для данной модели актуальными будут такие критерии качества, как: Нелинейная регрессия
Под моделью линейной регрессии будем понимать модель вида: где y
– объясняемый ряд, x
1
, …,
x k
– объясняющие ряды, e
– вектор ошибок модели, b
– вектор коэффициентов модели. Коэффициенты модели вычисляются методом, минимизирующим значение суммы квадратов остатков. Для данной модели будут актуальны те же критерии, что и для линейной регрессии, кроме проверки матрицы корреляций. Отметим ещё, что F-статистика будет проверять, является ли значимой модель в целом по сравнению с моделью y
=
b
0
+
e
, даже если в исходной модели у функции f
(x
1
, …,
x k
,
b
) нет слагаемого, соответствующего константе. Итоги
Подведём итоги и представим перечень проверяемых характеристик в виде таблицы: Надеюсь, данная статья была полезной для читателей! В следующий раз мы поговорим о других видах моделей, а именно ARIMA, ARMAX.
.
Мера вариации относительно линии
регрессии называетсястандартной
ошибкой оценки
.
,
–
теоретические / предсказанные значения
зависимой переменной для заданных
значений независимой переменной;
,
.
,
.
,
где k = n–m–1 степеням свободы и
соответствующем уровне значимости α.
соответствующего прогнозного
значения X*:
.
–
стандартная ошибка предсказаний для
парной регрессии.
Требуется:
Номер региона
Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х
Среднедневная заработная плата, руб., у
1
78
133
2
82
148
3
87
134
4
79
154
5
89
162
6
106
195
7
67
139
8
88
158
9
73
152
10
87
162
11
76
159
12
115
173
1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
Использование графического метода
.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции
.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
Для наших данных система уравнений имеет вид
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 0.92, a = 76.98
Уравнение регрессии:
y = 0.92 x + 76.98
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока :
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между среднедневной заработной платы и среднедушевым прожиточным минимумом высокая и прямая.
1.2. Уравнение регрессии
(оценка уравнения регрессии).
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.92 x + 76.98
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.
Коэффициент b = 0.92 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 руб. среднедушевого прожиточного минимума в день среднедневная заработная плата повышается в среднем на 0.92.
Коэффициент a = 76.98 формально показывает прогнозируемый уровень Среднедневная заработная плата, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между среднедневной заработной платы и среднедушевого прожиточного минимума в день определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.
Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:
Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении среднедушевого прожиточного минимума в день на 1%,
среднедневная заработная плата изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние среднедушевого прожиточного минимума Х на среднедневную заработную плату Y не существенно.
Бета – коэффициент
показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:
Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению средней среднедневной заработной платы Y на 0.721 среднеквадратичного отклонения этого показателя.
1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.72 2 = 0.5199
т.е. в 51.99 % случаев изменения среднедушевого прожиточного минимума х приводят к изменению среднедневной заработной платы y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 48.01% изменения среднедневной заработной платы Y объясняются факторами, не учтенными в модели.x
y
x 2
y 2
x o y
y(x)
(y i -y cp) 2
(y-y(x)) 2
(x i -x cp) 2
|y - y x |:y
78
133
6084
17689
10374
148,77
517,56
248,7
57,51
0,1186
82
148
6724
21904
12136
152,45
60,06
19,82
12,84
0,0301
87
134
7569
17956
11658
157,05
473,06
531,48
2,01
0,172
79
154
6241
23716
12166
149,69
3,06
18,57
43,34
0,028
89
162
7921
26244
14418
158,89
39,06
9,64
11,67
0,0192
106
195
11236
38025
20670
174,54
1540,56
418,52
416,84
0,1049
67
139
4489
19321
9313
138,65
280,56
0,1258
345,34
0,0026
88
158
7744
24964
13904
157,97
5,06
0,0007
5,84
0,0002
73
152
5329
23104
11096
144,17
14,06
61,34
158,34
0,0515
87
162
7569
26244
14094
157,05
39,06
24,46
2,01
0,0305
76
159
5776
25281
12084
146,93
10,56
145,7
91,84
0,0759
115
173
13225
29929
19895
182,83
297,56
96,55
865,34
0,0568
1027
1869
89907
294377
161808
1869
3280,25
1574,92
2012,92
0,6902
2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим t крит:
t крит = (10;0.05) = 1.812
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t набл > t критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t набл > t крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.
В парной линейной регрессии t 2 r = t 2 b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:
S 2 y = 157.4922 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
12.5496 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S a - стандартное отклонение случайной величины a.
S b - стандартное отклонение случайной величины b.
2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.
(a + bx p ± ε)
где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X p = 94
(76.98 + 0.92*94 ± 7.8288)
(155.67;171.33)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H 0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H 1 не равно) на уровне значимости α=0.05.
t крит = (10;0.05) = 1.812
Поскольку 3.2906 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Поскольку 3.1793 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b - t крит S b ; b + t крит S b)
(0.9204 - 1.812 0.2797; 0.9204 + 1.812 0.2797)
(0.4136;1.4273)
(a - t lang=SV>a)
(76.9765 - 1.812 24.2116; 76.9765 + 1.812 24.2116)
(33.1051;120.8478)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fkp = 4.96
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.31)
— среднее значение объясняемой переменной; ỹ
i
— модельные значения, построенные по оцененным параметрам.
