В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода для элементов разбиения выполняется проверка для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Для этого вычисляется нижняя оценка целевой функции на данном подмножестве.

Если оценка снизу не меньше рекорда (наилучшего из найденных решений), то подмножество может больше не рассматриваться. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы. Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д. Вычисление нижней границы является важнейшим элементом данной схемы.

Для каждой конкретной задачи целочисленного программирования (другими словами, дискретной оптимизации) метод ветвей и границ реализуется по-своему. Есть много модификаций этого метода.

Рассмотрим реализацию метода ветвей и границ для задачи коммивояжёра и задачи о рюкзаке.

Рассмотрим алгоритм Литтла (методом ветвей и границ) для задачи коммивояжера. Идею можно сформулировать следующим образом. В каждой строке матрицы расстояний находится минимальный элемент и вычитается из всех элементов соответствующей строки. Получается матрица, приведенная по строкам. Аналогично приводится матрица по столбцам. Получается матрица, приведенная по строкам и столбцам. Суммируя при приведении минимальные элементы, получим константу приведения, которая будет нижней границей множества всех допустимых гамильтоновых контуров. После находятся степени нулей для приведенной матрицы (сумма минимальных элементов строки и столбца, соответствующих этому нулю) и выбирается дуга , для которой степень нулевого элемента достигает максимального значения. Множество всех гамильтоновых контуров разбивается на два подмножества, одно из которых содержит дугу , второе эту дугу не содержит. После этого приводятся полученные матрицы гамильтоновых контуров и сравниваются нижние границы подмножества гамильтоновых контуров с целью выбора для дальнейшего разбиения множества с меньшей нижней границей. Процесс разбиения множеств на подмножества сопровождается построением дерева ветвлений. Сравнивая длину гамильтонова контура с нижними границами оборванных ветвей, выбирается для дальнейшего ветвления подмножество с нижней границей, меньшей полученного контура, до тех пор, пока не получен маршрут с наименьшей длиной или не становится ясно, что такого маршрута не существует.

Пример.

Пусть в задаче коммивояжера задана следующая матрица стоимостей переездов

Находим в каждой строке матрицы минимальный элемент и вычитаем его из всех элементов соответствующей строки. Получим матрицу, приведенную по строкам, с элементами

.

Если в матрице , приведенной по строкам, окажутся столбцы, не содержащие нуля, то приводим ее по столбцам. Для этого в каждом столбце матрицы выбираем минимальный элемент , и вычитаем его из всех элементов соответствующего столбца. Получим матрицу

,

каждая строка и столбец, которой содержит хотя бы один нуль. Такая матрица называется приведенной по строкам и столбцам.

Суммируя элементы и , получим константу приведения:

.

Находим степени нулей для приведенной по строкам и столбцам матрицы. Для этого мысленно нули в матице заменяем на знак и находим сумму минимальных элементов строки и столбца, соответствующих этому нулю. Записываем ее в правом верхнем углу клетки:

.

Выбираем дугу , для которой степень нулевого элемента достигает максимального значения

Разбиваем множество всех допустимых маршрутов на два подмножества:

– подмножество, содержащее дугу ;

– подмножество, не содержащее дугу

Для вычисления оценки затрат для маршрутов, включающих дугу , вычеркиваем в матрице строку и столбец и заменяем симметричный элемент на знак . Приводим полученную матрицу и вычисляем сумму констант приведения .

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. 3

1. ..…………….4

2. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ………………………………………..6

2.1 Алгоритм метода ветвей и грани ц…………………………………....10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………… ………….15

ВВЕДЕНИЕ

Впервые метод ветвей и границ был предложен Лендом и Дойгом в 1960 для решения общей задачи целочисленного линейного программирования. Интерес к этому методу и фактически его “второе рождение” связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрела, посвященной задаче комивояжера. Начиная с этого момента, появилось большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех объясняется тем, что авторы первыми обратили внимание на широту возможностей метода, отметили важность использования специфики задачи и сами воспользовались спецификой задачи коммивояжера.

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества (стратегия “разделяй и властвуй”). На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из не отброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т. д.

1. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Целочисленным (иногда его называют также дискретным) программированием называется раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна.

Огромное количество экономических задач носит дискретный, чаще всего целочисленный характер, что связано, как правило с физической неделимостью многих элементов расчета: например, нельзя построить два с половиной завода, купить полтора автомобиля и т. д. В ряде случаев такие задачи решаются обычными методами, например, симплексным методом, с последующим округлением до целых чисел.

Однако такой подход оправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть всего объема (например, товарных запасов); в противном случае он может внести значительные искажения в действительно оптимальное решение. Поэтому разработаны специальные методы решения целочисленных задач.

1. Количество целочисленных переменных уменьшать насколько возможно. Например, целочисленные переменные, значения которых должно быть не менее 20, можно рассматривать как непрерывные.

2. В отличие от общих задач ЛП, добавление новых ограничений особенно включающих целочисленные переменные, обычно уменьшают время решения задач ЦП.

3. Если нет острой необходимости в нахождении точного оптимального целочисленного решения, отличающегося от непрерывного решения, например, 3%. Тогда реализацию метода ветвей и границ для задачи максимизации можно заканчивать, если отношение разницы между верхней и нижней границ к верхней границы меньше 0,03.

Метод ветвей и границ можно применять для решения задач нелинейного программирования.

Метод ветвей и границ - один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

2. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Одним из широко распространенных методов решения целочислен­ных задач является метод ветвей и границ, который может быть ис­пользован как для задач линейного программирования, так и для задач, не сводимых к задачам линейного программирования. Рассмотрим идею метода ветвей и границ на примере общей задачи дискретного про­граммирования

f(X) -> max,

Х€D,

где D - конечное множество.

Сначала найдем оценку £(D) (границу) функции f(X), X е D: f(X) ≤ £(D) для V X е D. Если для некоторого плана Х° задачи справедливо равенствоf(X0) = £(D), то Х° = X* является решением задачи. Если указанное условие не выполняется, то возмож­но разбиение (ветвление) множества D на конечное число непересека­ющихся подмножеств D1i: ỤD1i. = D, ∩D1i = Ө, и вычисление оценки £(D1i) (границ), 1≤i≤m (Рисунок 2.1)

Рисунок 2. 1

Если для некоторого плана X1i е Di1, 1 ≤ / ≤ m выполняется условие f(Xkl)= £(D1k)≥ £(D1i), 1≤i≤m то Xk1=X* является оптимальным планом (решением) задачи (7.9)-(7.10).

Если такого плана нет, то выбирается подмножество Dkl с наиболь­шей оценкой £(D1i) и разбивается на конечное число непересекающихся подмножеств D2kj: UD2kj=D1k, ∩D2kj=Ө. Для каждого подмножества находится оценка £(D2kj), 1≤j≤n (Рисунок 2.2)

Рисунок 2.2

Если при этом найдется план X2j е D2kJ, 1 ≤j ≤n, такой, что f(X2r)= £(D2kr)≥ £(D2kj), 1≤j≤n, то X2r= X* является решением задачи. Если такого плана нет, то процедуру ветвления осуществля­ют для множества D2kj с наибольшей оценкой £(D2kj) , 1≤j≤n. Способ ветвления определяется спецификой конкретной задачи.

Рассмотрим задачу, которую можно свести к задаче целочисленного линейного программирования.

Пример.

Контейнер объемом 5 м3 помещен на контейнеровоз грузо­подъемностью 12 т. Контейнер требуется заполнить грузом двух наиме­нований. Масса единицы груза mj (в тоннах), объем единицы груза Vj (в м3), стоимости Cj (в условных денежных единицах) приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Вид груза у			С j

Требуется загрузить контейнер таким образом, чтобы стоимость пе­ревозимого груза была максимальной.

Решение. Математическая модель задачи имеет вид

Z(X) = 10x1+12x2→max,

3x1+x2≤12,

x1+2x2≤5

x1≥0

x2≥0

x1, x2- целые числа

где x1, x2 - число единиц соответственно первого и второго груза.

Множество планов этой задачи обозначим через D - это множество целых точек многогранника ОАВС (Рисунок 2.3).

Рисунок 2. 3

Сначала решаем задачу без условия целочисленности, получим оценку множества D - значение функции Z(X) на оптималь­ном плане Х° = (19/5, 3/5).

Точка X не является оптимальным планом задачи. По­этому в соответствии с методом ветвей и границ требуется разбить множество D на непересекающиеся подмножества. Выберем первую нецелочисленную переменную x1=19/5=34/5 и разобьем множество D на два непересекающихся подмножества D11 и D22. Линии x1=3 (L3) и x4= (L3) являются линиями разбиения.

Рисунок 2. 4

L \

Найдем оценки £(D11) и £(D12), для чего решим задачи линейного программирования.

Z(X)=10x1+12x2→max,

3x1+x2≤12

x1+2x2≤5

x1≤3

x1≥0, x2 – целые числа

Z(X)=10x1+12x2→max,

3x1+ x2≤12

x1+2x2≤5

x1≥4

x1≥0, x2 – целые числа

Например, графическим методом:

X11eD11→X01= (3,1); £(D11)=42; X12eD12→X02= (4,0); £(D12)=40.

Результат ветвления приведен на Рисунок 2.5

Рисунок 2. 5

План X01 удовлетворяет условиям задачи, и для него выполняется условие: Z(X11)= £(D11)=42 > £(/)/) = 42 >£(D12) = 40. Следовательно, план X°1= (3, 1) является решением задачи (7.11)-(7.13), т. е. надо взять три единицы первого груза и одну единицу второго груза.

2.1 Алгоритм метода ветвей и границ

· Находим решение задачи линейного программирования без учета целочисленности.

· Составляет дополнительные ограничения на дробную компоненту плана.

· Находим решение двух задач с ограничениями на компоненту.

· Строим в случае необходимости дополнительные ограничения, согласно возможным четырем случаям получаем оптимальный целочисленный план либо устанавливаем неразрешимость задачи.

Алгоритм действия метода ветвей и границ

Первоначально находим, к примеру, симплекс-методом оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X0. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и Fmax = F(X0).

Если же среди компонент плана X0 имеются дробные числа, то X0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X0) ³ F(X) для всякого последующего плана X в связи с увеличением количества ограничений.

Предполагая, что найденный оптимальный план X0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Найдем решение задач линейного программирования (5) и (6). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.

2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (5) и (6).

3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой.

3.1. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

3.2. Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (5) и (6).

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (5) и (6).

Общий алгоритм решения задач с помощью метода границ и ветвей, его суть

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х0, а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (5) и (6). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

1. Находят решение задачи линейного программирования.

2. Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане является дробным числом.

3. Находят решение задач (5) и (6), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.

4. В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (5) и (6), и находят их решение.

Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (1)-(4) и такая, что значение функции в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод.

Пример использования метода ветвей и границ

В качестве примера к методу ветвей и границ рассмотрим функцию z=4х1+х2+1®max при ограничениях:

font-size:14.0pt">Пусть Х0 = (0; 0), z0 = 1 - «оптимальное» решение. Выполним 1-й этап общего алгоритма и найдем с помощью симплекс-метода, а затем и двойственного симплекс-метода (см. Приложение 1) X1, исходя из ограничений Итак, X1 = (3; 0,5; 0; 1; 0; 2,5), z1= 13,5. Так как z1 дробное, то «оптимальным» так и остается план Х0,

Согласно 2-му пункту нашего плана, составим 2 новых системы ограничений для:

https://pandia.ru/text/79/453/images/image012_25.gif" alt="Описание: http://*****/images/paper/93/79/4327993.png" width="108" height="98"> .

Выполним 3-й пункт алгоритма. Для начала, решим задачу с помощью табличного процессора Microsoft Excel (Приложение 2) и получим X2 = (2; 1) z2= 10. Так как z2 ≥ z0, «оптимальным» становится план Х0.

Решим задачу. Из последнего уравнения очевидно, что x2 = 0. Отсюда следует, что x1 = 3 (максимально возможное). Тогда Х3 = (3; 0), z3 = 13, а следовательно, данный план является оптимальным (теперь уже без кавычек).

Нам не пришлось выполнять 4-й пункт нашего алгоритма в связи с тем, что оптимальное решение найдено, переменные целочисленные. Пример, в котором всё складывается не так просто, приведен в Приложении 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе была рассмотрена сущность целочисленного программирования. Затронуты специальные методы решения целочисленных задач. Такие задачи возникают при моделировании разнообразных производственно-экономических, технических, военных и других ситуаций. В то же время ряд проблем самой математики может быть сформулирован как целочисленные экстремальные задачи.

Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Схрейвер. Теория линейного и целочисленного программирования: в 2-х томах.; перевод с английского. 1991г. 360с.

2. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях.; перевод с английского. 1974г.

3. , . Высшая математика: Математическое программирование. Ученик - 2-е издание. 2001г. 351с.

4. . Математическое программирование: Учебное пособие – 5-е издание, стереотип-М:ФИЗМАТ, 2001г.-264с.

5. , .: Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ЮНИТИ, 1999г.-391с.

6. , ; под ред. Проф. . : Исследование операций в экономике; учеб. Пособие для вузов.

Приложение 2

Решение задачи z = 4х1 + х2 +1 ® max при ограничениях:

с помощью табличного процессора Microsoft Excel.

Рассмотрим задачу дискретного программирования в общем виде:

Найти -вектор неизвестных, D- конечное

множество допустимых значений этого вектора, F(x)- заданная целевая функция.

Идея метода состоит в разбиении D на непересекающиеся подмножества Di (эта процедура называется ветвлением) и вычислении верхней и нижней границ целевой функции на каждом из подмножеств. Нижнюю границу будем обозначать Н, а верхнюю Е. Соответственно Hi Eo, то это подмножество не содержит точку оптимума и может быть исключено из дальнейшего рассмотрения. Если верхняя граница Ei H заменяем Н на min Hi. Если Е=Н, то задача решена, иначе надо продолжить процедуру ветвления и вычисления верхней и нижней границ. При этом разбиению на очередном шаге могут подвергаться все или только некоторые подмножества до достижения равенства верхней и нижней границ, причём не на отдельном подмножестве, а для допустимой области в целом.

Простая идея метода ветвей и границ требует дополнительных вычислений для определения границ. Как правило, это приводит к решению вспомогательной оптимизационной задачи. Если эти дополнительные вычисления требуют большого числа операций, то эффективность метода может быть невелика.

Схему динамического программирования при движении от начальной точке к конечной (рис. 5.1) можно представлять как процедуру ветвления.

Множество всех допустимых траекторий (последовательность по-шаговых переходов) - это исходное множество D, на котором мы должны найти нижнюю и верхнюю границы, а также траекторию, на которой целевая функция достигает верхней границы и объявить рекордом соответствующее ей значение целевой функции. Построение множества состояний, получаемых после первого шага, - это первое ветвление.

Рис. 5.1.

Теперь подмножествами Di являются множества траекторий, каждая из которых проходит через соответствующую i-ую точку.

На последующих шагах после отбраковки всех путей, приводящих в любое (i-oe) состояние, кроме одного, соответствующим подмножеством является этот оставшийся путь со всеми его допустимыми продолжениями (рис. 5.1). Для каждого из таких подмножеств надо как-то найти верхнюю и нижнюю границы. Если нижняя граница превышает текущее значение рекорда, соответствующее состояние и все его продолжения отбраковываются. Если верхняя граница достигается на некоторой траектории и она меньше текущего значения рекорда, то получаем новый рекорд.

Эффективность такого подхода зависит от точности получаемых оценок, т.е. от Ei - Hi, и от затрат времени на их вычисление.

Фактически в упрощённом виде мы уже использовали этот метод при решении задачи о защите поверхности (разд. 4.6), когда отбраковывали состояния, для которых текущие затраты превышали суммарные затраты для начального приближения. В этом случае текущие затраты являются нижней границей, если считать нулевыми затраты на весь оставшийся путь, а суммарные затраты, соответствующие начальному приближению, являются рекордом. При таком подходе рекорд не обновлялся, хотя это можно было сделать построением начального приближения (верхней границы) для оставшегося пути подобно тому как это делалось для всей траектории при построении начального приближения. Получаемая без вычислений нижняя граница соответствует нулевым затратам на весь оставшийся путь и является крайне грубой оценкой, но получаемой «бесплатно», т.е. без вычислений.

Покажем как получать и использовать более точные оценки при решении рассмотренных выше и целого ряда других задач. При этом будем стремиться получать авозможно более точные границы при минимуме вычислений.

Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.

Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .

Общий план решения задачи коммивояжера

Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):

1. Построение матрицы с исходными данными.
2. Нахождение минимума по строкам.
3. Редукция строк.
4. Нахождение минимума по столбцам.
5. Редукция столбцов.
6. Вычисление оценок нулевых клеток.
7. Редукция матрицы.
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.

Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.

Подробная методика решения задачи коммивояжера

В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».

Итак, методика решения задачи коммивояжера:

1. Построение матрицы с исходными данными

Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:

В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).

Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.

2. Нахождение минимума по строкам

Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.

3. Редукция строк

Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).

В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .

4. Нахождение минимума по столбцам

5. Редукция столбцов

Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.

В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .

6. Вычисление оценок нулевых клеток

Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.

И так по всем нулевым клеткам:

7. Редукция матрицы

Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).

Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).

8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9

Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.

Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .

9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута

Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.

В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Общая длина пути: L = 30 .

Практическое применение задачи коммивояжера

Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.

Решение задачи коммивояжера онлайн

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на