Begrænsningen i kanonisk form har formen. Forskellige former for at skrive et lineært programmeringsproblem

kanonisk form, hvis du ønsker at maksimere objektivfunktionen, er alle systembegrænsninger ligninger, og betingelsen om ikke-negativitet pålægges alle variable.

Opgave lineær programmering sat i symmetrisk form, hvis det kræves for at maksimere den objektive funktion, er alle systemrestriktioner uligheder "" (eller minimer den objektive funktion, alle systemrestriktioner er uligheder ""), og betingelsen om ikke-negativitet pålægges alle variabler.

Et sæt tal kaldes acceptabel løsning (plan), hvis det opfylder begrænsningssystemet i ZLP.

Masser af alle tilladte løsninger hedder område med mulige løsninger(ODR).

En tilladelig løsning, for hvilken den maksimale (minimum) værdi af funktionen er opnået, kaldes optimal plan for PAP.

Udtrykkene "plan" og "optimal plan" stammer fra økonomiske anvendelser.

Alle tre former for ZLP-optagelse er ækvivalente i den forstand, at der er algoritmer til overgang fra en form til en anden. Således, hvis der er en måde at løse et problem på i en af ​​formerne, så er det altid muligt at bestemme den optimale plan for et problem givet i enhver anden form. Problemet løses i symmetrisk form grafisk metode, og i den kanoniske form – ved simpleksmetoden.

Lad os overveje algoritmer til overgang fra en form til en anden.

• 
  Symmetrisk  kanonisk. Overgangen udføres ved at tilføje en ekstra ikke-negativ variabel til venstre side af hver ulighed. Hvis uligheden var "≤", så tilføjes balancevariablen til venstre side af uligheden med et "+"-tegn. Hvis uligheden var “”, så tilføjes balancevariablen til venstre side af uligheden med et “–”-tegn. De nye variabler, der introduceres, kaldes balance. Problemet med at minimere funktionen Z erstattes af problemet med at maksimere funktionen (–Z), og det bruges at min Z = –max (–Z).
• 
  Kanonisk  symmetrisk. For at udføre en sådan overgang findes en generel løsning til ligningssystemet - begrænsninger, målfunktionen udtrykkes i form af frie variable. Dernæst ved at udnytte basisvariablernes ikke-negativitet kan vi udelukke dem fra problemet. Problemets symmetriske form vil indeholde uligheder, der kun vedrører de frie variable og en objektiv funktion, der kun afhænger af de frie variable. Værdierne af de grundlæggende variable findes fra den generelle løsning af det oprindelige ligningssystem.
• 
  Generelt  kanonisk. Hver variabel, som ikke-negativitetsbetingelsen ikke blev pålagt, er repræsenteret som forskellen mellem to nye ikke-negative variable. Uligheder konverteres til ligninger ved at indføre en balancevariabel på venstre side af hver ulighed på samme måde som det blev beskrevet i overgangen fra symmetrisk til kanonisk form. Problemet med at minimere funktionen Z erstattes af problemet med at maksimere funktionen (–Z) på samme måde som det blev beskrevet under overgangen fra den symmetriske til den kanoniske form.

1. Grafisk metode til løsning af et lineært programmeringsproblem

Den grafiske metode bruges til at løse LLP givet i symmetrisk form. Denne metode bruges mest effektivt til at løse problemer med to variable, fordi kræver grafiske konstruktioner. Ved tre variable er konstruktioner i R 3 , i tilfælde af fire variable, konstruktioner i R 4 etc.

Punktsættet kaldes konveks, hvis det for to punkter i sættet indeholder et segment, der forbinder dem.

Eksempel 1

Følgende sæt punkter på planet er konvekse:

Følgende sæt punkter på planet er ikke konvekse:

Sætning 1 Skæringspunktet mellem et vilkårligt antal konvekse sæt er et konveks sæt.

Sætning 2 Lad der være to vilkårlige punkter i rummet R n. Derefter for et hvilket som helst punkt i segmentet [ PQ] skal udføres: .hvor .

Hyperplan i rummet R n er et sæt punkter, der opfylder ligningen. Bemærk, at i det todimensionale tilfælde er hyperplanet en ret linje.

Halvplads er et sæt punkter, der opfylder en af ​​ulighederne eller . Et hyperplan deler punkter i rummet i to halve rum. I det todimensionelle tilfælde er hyperplanet et halvt plan.

Sætning 3 Et halvrum er et konveks sæt.

Følge Skæringspunktet mellem et vilkårligt antal halvrum er et konveks sæt.

Polyeder kaldes skæringspunktet mellem et eller flere halvrum. Et polyeder i det todimensionelle tilfælde kaldes en polygon.

Eksempel 2

Følgende sæt er polygoner.

Begrænset sæt

Ubegrænset sæt

Enkelt punkt

Tomt sæt

Et punkt i en konveks mængde kaldes kantet, hvis den ikke ligger inde i et segment, der forbinder to andre punkter fra sættet.

Eksempel 3

Hjørnepunkterne i en trekant er dens hjørnepunkter (der er tre af dem). Hjørnepunkterne i en cirkel er punkterne i den cirkel, der afgrænser den (der er et uendeligt antal af dem).

Hjørnepunktet på et polyeder kaldes dets top.

Lad os overveje ZLP givet i symmetrisk form.

Sætning 4 Den optimale plan for ZLP svarer til toppunktet for beslutningspolyederet bestemt af dets system af begrænsninger.

I det generelle tilfælde er et lineært programmeringsproblem skrevet på en sådan måde, at begrænsningerne er både ligninger og uligheder, og variablerne kan enten være ikke-negative eller vilkårligt varierende. I det tilfælde, hvor alle begrænsninger er ligninger, og alle variabler opfylder betingelsen om ikke-negativitet, kaldes det lineære programmeringsproblem kanonisk. Det kan repræsenteres i koordinat-, vektor- eller matrixnotation.

1. Det kanoniske lineære programmeringsproblem i koordinatnotation har formen

.

I en mere kompakt form denne opgave kan skrives ved hjælp af summeringstegnet,

(1.7)

2. Det kanoniske lineære programmeringsproblem i vektornotation har formen

(1.8)

Hvor ,

.

3. Det kanoniske lineære programmeringsproblem i matrixnotation har formen

(1.9)

, .

Her EN- matrix af koefficienter for ligningssystemet, x– matrix-kolonne problemvariabler, – matrix-kolonne af de rigtige dele af begrænsningssystemet.

Lineære programmeringsproblemer bruges ofte, kaldet symmetrisk, som i matrixnotation har formen

(1.10)

(1.11)

1.4. Medbringer fælles opgave lineær programmering
til kanonisk form

I de fleste metoder til løsning af lineære programmeringsproblemer antages det, at systemet af begrænsninger består af ligninger og naturlige betingelser for variables ikke-negativitet. Dog ved kompilering af matematiske modeller økonomiske opgaver restriktioner er hovedsageligt formet til ulighedssystemer, så det er nødvendigt at kunne gå fra et system af uligheder til et ligningssystem. Til dette formål beviser vi følgende sætning.

Sætning 1.1. Om at erstatte en ulighed med en ligning. Hver beslutning uligheder

svarer til en unik løsning på ligningen

og uligheder

, (1.14)

og omvendt svarer hver løsning til ligning (1.13) og ulighed (1.14) til en unik løsning på ulighed (1.12).

Bevis. Lade er løsningen på ulighed (1.12), så . Lad os betegne forskellen mellem højre og venstre side af denne ulighed med , dvs.

Naturligvis . Lad os erstatte i ligning (1.13) i stedet variable værdier , vi får

Opfylder således ligning (1.13) og ulighed (1.14). Det betyder, at den første del af teoremet er blevet bevist.

Lad nu tilfredsstille ligning (1.13) og ulighed (1.14), dvs. vi har

OG

Hvis vi kasserer den ikke-negative værdi på venstre side af den sidste lighed, opnår vi

dvs. tilfredsstiller ulighed (1,12). Sætningen er blevet bevist.

Hvis uligheden er , så skal en yderligere ikke-negativ variabel indføres i dens venstre side med et minustegn, dvs.

Ikke-negative variable introduceret i ulighedsbegrænsninger for at omdanne dem til ligninger kaldes yderligere variabler. Yderligere variable indføres i objektivfunktionen med nulkoefficienter og påvirker derfor ikke dens værdi.

I det tilfælde, hvor problemet har vilkårligt skiftende variabler, erstattes enhver sådan variabel med forskellen mellem to ikke-negative variable, dvs. , Hvor Og .

Nogle gange bliver det nødvendigt at flytte et problem ind fra at finde minimum til at finde maksimum eller omvendt. For at gøre dette er det nok at ændre tegnene på alle koefficienter for den objektive funktion til de modsatte, og ellers lade problemet være uændret. De optimale løsninger af de maksimale og minimale problemer opnået på denne måde falder sammen, og værdierne af de objektive funktioner optimale løsninger afviger kun i fortegn.

Eksempel 1.1. Bring det lineære programmeringsproblem til kanonisk form.

D

Løsning. Lad os gå videre til problemet med at finde maksimum af den objektive funktion. For at gøre dette ændrer vi tegnene på koefficienterne for den objektive funktion. For at transformere den anden og tredje ulighed i systemet af begrænsninger til ligninger introducerer vi ikke-negative yderligere variable (på matematisk model denne operation er markeret med bogstavet D). Variablen introduceres i venstre side af den anden ulighed med et "+"-tegn, da uligheden har formen . Variablen introduceres i venstre side af den tredje ulighed med et "-"-tegn, da uligheden har formen . Variabler indtastes i objektivfunktionen med en koefficient lig med nul. Variablen, som ikke-negativitetsbetingelsen ikke er pålagt, erstattes af differencen , . Vi skriver opgaven ind kanonisk form

I nogle tilfælde bliver det nødvendigt at medbringe kanonisk problem Til symmetrisk problem. Lad os se på et eksempel.

Eksempel 1.2. Bring et lineært programmeringsproblem til en symmetrisk form

Side 1

Kanonisk form problemet er karakteriseret ved følgende tre træk: 1) et homogent system af begrænsninger i form af et ligningssystem; 2) homogene ikke-negativitetsbetingelser, der gælder for alle variabler involveret i problemet, og 3) maksimering, lineær funktion. I dette problem er alle tre af disse funktioner overtrådt.

Problemets kanoniske form er karakteriseret ved følgende tre træk: 1) et homogent system af begrænsninger i form af et ligningssystem; 2) homogene ikke-negativitetsbetingelser, der gælder for alle variabler involveret i problemet, og 3) maksimering af en lineær funktion. I dette problem er alle tre af disse funktioner overtrådt.

Den kanoniske form af det lineære programmeringsproblem er praktisk, fordi det indledende toppunkt er let at finde gyldigt område.  

Lad os overveje den kanoniske form for det lineære programmeringsproblem og Jordan-Gauss-elimineringsmetoden.

Den kanoniske form af et lineært programmeringsproblem er ofte praktisk.

Når et system af begrænsninger transformeres til den kanoniske form af et lineært programmeringsproblem, skal uligheder (12) og (13) erstattes af ligheder. For at gøre dette introduceres yderligere ikke-negative variabler.

Bevis, at parvis pendlende reelle matricer samtidigt reduceres til den kanoniske form af opgave 1128 ved en lighedstransformation ved hjælp af en ortogonal matrix.

Grundlæggende kan (4) - (5) betragtes som den kanoniske form for det ikke-lineære programmeringsproblem, eftersom metoderne skitseret i Kap. Normalt i ikke-lineære programmeringsproblemer er der ingen krav om, at variablerne skal være heltal.

Typer af restriktioner og metoder til deres transformation.

Problemets kanoniske form er karakteriseret ved homogeniteten af ​​systemet af begrænsninger i form af et ligningssystem; maksimering af den objektive funktion; betingelsen om ikke-negativitet af alle variabler involveret i problemet.

Ingen yderligere funktioner den kanoniske form for problemer føjer ikke til den pågældende beregningsordning.

Lad os først overveje den anden kanoniske form for minimumsproblemet.

Simplex-mete-algoritmen kan opdeles i to trin. På det første trin finder vi ved at eliminere variabler grundlæggende løsning. Hvis det er fundet, så har vi den kanoniske form af problemet til at gå til anden fase. Det andet trin er at kontrollere, om der er et afgrænset optimum. Hvis det eksisterer, bestemmes tilladte basisløsninger, og hvorfra den optimale vælges.

Hvis problemet er løst i kanonisk form, bruges kun en del af de operationer, der er introduceret i andet afsnit. For det kanoniske minimumsproblem er det således kun tilfældet i afsnit 3.4.1, der realiseres, og kun operationerne med cyklisk omarrangering af søjler, at passere søjlen gennem den lodrette grænsezone, korrigere strukturelle overtrædelser og en del af trunkeringsoperationen er nødvendige. Symmetrisk, når det kanoniske maksimale problem løses, realiseres kun tilfældet i afsnit 3.4.2, og operationer med cyklisk omarrangering af strenge, føring af en streng gennem den horisontale grænsezone, korrektion af strukturelle overtrædelser og en anden del af trunkeringsoperationen er havde brug for. Ellers tilføjer den kanoniske form af problemet ikke nogen yderligere specificitet.

Det første afsnit af indledningen viste, hvordan et generelt lineært programmeringsproblem kan reduceres til en af ​​de kanoniske former. For kanonisk (samme opgavebeskrivelse af metoden konsekvent forbedring er formelt forenklet, da der ikke er behov for at overveje to muligheder for at overtræde optimalitetsbetingelserne og to muligheder for at nå det næste toppunkt. Dette øger dog størrelsen basis matrix A [ /, J ], som hovedsageligt bestemmer kompleksiteten af ​​en shat. Men i mange tilfælde viser det sig at være at foretrække at anvende metoden på de kanoniske former for problemet, og i dette afsnit vil vi dvæle ved varianter af metoden opnået til særlige lineære programmeringsproblemer.

Sider:      1

Lineært programmeringsproblem af formen ax = b hvor a er koefficientmatrixen, b er begrænsningsvektoren.
Eksempel:

I hvert LP-problem søges værdier af variabler under den betingelse, at:

• disse værdier opfyldte et eller andet system lineære ligninger eller uligheder;
• ved disse værdier vil den objektive funktion blive til et minimum eller maksimum.

Instruktioner. Vælg antallet af variable og antallet af rækker (antal begrænsninger). Den resulterende løsning gemmes i en Word-fil.

En af universelle metoder LP er simpleks metode, som dog kan bruges, hvis LP-problemet har en kanonisk form.

Definition. LP-problemet har en kanonisk form, hvis alle systembegrænsninger kun består af ligninger (undtagen uligheder, der udtrykker variables ikke-negativitet), og den objektive funktion skal minimeres.
Et eksempel på et sådant LP-problem i kanonisk form er opgave 1 – et balanceret transportproblem med et system af begrænsninger (1) og en objektiv funktion (2).
Men i de fleste økonomiske problemer inkluderer begrænsningssystemet i begyndelsen ikke kun ligninger, men også uligheder.

Udmelding. Ethvert generelt LP-problem kan reduceres til kanonisk form.
Reduktion af det generelle LP-problem til kanonisk form opnås ved at introducere nye (de kaldes ekstra) variable.
Systemet af begrænsninger (3) i dette problem består af fire uligheder. Ved at indføre yderligere variabler y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0, kan vi gå til systemet med begrænsninger:

Disse yderligere variabler y Jeg har en helt klar økonomisk betydning, nemlig de betyder mængden af ​​ubrugt arbejdstid (maskinnedetid jeg-th type).
For eksempel, hvis maskiner af den første type arbejdede i alle 18 timer, så er x + y = 18, derfor er y 1 = 0. Men vi giver mulighed for ufuldstændig brug af den første maskines driftstid x + y<18. В этом случае y 1 får en positiv værdi og kan betragtes som en uudnyttet tidsfrist. For eksempel kender løsningen på dette problem fra afsnit 3.3.2, x = 12, y= 6, kan vi ud fra systemet af restriktioner (3.9) konkludere, at y 1 = y 2 = y 3 = 0, og y 4 = 12 – 6 = 6. Det vil sige, at maskiner af den første, anden, tredje type bruger deres arbejdstid fuldstændigt. Men den fjerde maskine er kun halvt lastet, 6 timer, og er, givet den optimale plan, inaktiv. Måske vil virksomhedens leder efter sådanne konklusioner ønske at fylde det med andet arbejde, leje det ud for denne gang osv.
Så ved at introducere yderligere variabler kan vi reducere enhver ulighedstype begrænsning til en ligning.

Lad os overveje blandingsproblemet. Systemet med restriktioner har formen:
Ulighederne blev vendt mod "mere", og ved at indføre yderligere variabler y 1, y 2, y 3 ≥ 0, skal de trækkes fra venstre side for at udligne den med højre. Vi får et system af begrænsninger i kanonisk form:
Variablerne y i vil også give økonomisk mening. Hvis du husker problemets praktiske indhold, så vil variablen y 1 betyde mængden af ​​overskydende stof A i blandingen, y 2 vil betyde mængden af ​​overskydende stof I i blandingen y 3 – overskud MED i blandingen.
Opgaven med at finde den maksimale værdi af den objektive funktion kan reduceres til at finde minimum for funktionen - F på grund af udsagnets selvfølgelighed max F = –min (– F). Se på billedet: hvis på et tidspunkt x= x 0 funktion y= F(x) når sit maksimum, derefter funktionen y= –F(x), symmetrisk til den i forhold til aksen OKSE, på samme tidspunkt x 0 vil nå et minimum, og F max = – (– F min) kl x = x 0 .

Konklusion. For at repræsentere LP-problemet i kanonisk form er det nødvendigt:

• transformere ulighederne inkluderet i systemet af begrænsninger af problemet til ligninger ved at indføre yderligere variable;
• hvis den objektive funktion F→max (maksimerer), den erstattes af funktionen – F→ min (som er minimeret).

MP opgaver

General ZLP kaldes <,=,>=)bi (i=1,n) (2) underlagt xj>

Symmetrisk < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > Kanonisk blandet.

min f(x) = -max(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

Geometrisk fortolkning af ZLP's objektive funktion og begrænsninger. Geometrisk formulering af ZLP.

Lad opgaven f=c1x1+c2x2-max (1) være givet

a11x1+a12x2<=b1 }

am1x1+am2x2<=bm}

x1>=0, x2>=0 (3)

Planen for opgaven (x1,x2) er et punkt på planet. Hver ulighed med-vi 2 repræsentationer. er et halvt fly. Et halvplan er et konveks sæt. Konveks kaldes et sæt, hvor punkterne i segmentet, der forbinder (x1 og x2), der hører til dette sæt, også hører til mængden. C-ma 2 repræsenterer skæringen af ​​halvplaner. Ved krydsning kan du få:

1) konveks polygonalt lukket område.

2) konveks åbent polygonalt område

3) enkelt punkt

4) tomt sæt

5) stråle og segment

Geometrisk fortolkning af den objektive funktion: Funktion 1 er en familie af parallelle rette linjer, som kaldes niveaulinjer (linjer med konstant værdi af den objektive funktion). De partielle afledte af funktionen med hensyn til x1 og x2 viser stigningshastigheden af ​​objektivfunktionen langs aksernes koordinater. Gradient vektor viser retningen for den hurtigste stigning i objektivfunktionen For opgave 1-3 forlader gradientvektoren = (c1; c2) punktet (0,0) og rettes til punktet med koordinaterne (c1; c2). Gradientvektoren er vinkelret på niveaulinjerne. Skæringspunktet mellem halvplaner kaldes normalt område med tilladte løsninger (ADD).

Hovedsætningen i LP. Skematisk diagram løsning af ZLP, som følger af denne sætning.

Hvis ZLP har en løsning, så når objektivfunktionen en ekstrem værdi ved mindst et af yderpunkterne af planpolyederet. Hvis objektivfunktionen når en ekstrem værdi ved mere end et ekstremt punkt, så når den en og samme værdi, som er en konveks lineær kombination af dem, på ethvert punkt. Når du løser ZLP manuelt, er det praktisk at bruge en tabeloplysning.

BP		SP -Xm+1 -Xm+2 -Xn
x1	b1o	b11 b12 b1n-m
x2	b2o	b21 b22 b2n-m
xm	bm	bm1 bm2 bmn-m
f	buh	bo1 bo2 bon-m

Simplex-metodens algoritme.

1. bringe problemmodellen til kanonisk form;

2. find den første referenceplan;

3. skriv opgaven i en simpel form. bord;

5. flytte til en ny referenceplan, til en ny symp. bord. For at flytte til en ny referenceplan er det nok at erstatte én grundvariabel med en fri. Variablen inkluderet i basis og den tilsvarende opløsningskolonne bestemmes af det største absolutte negative element i f-rækken. Variablen, der udelukker fra grundlaget og den tilsvarende opløsningslinje, bestemmes af det mindste simpleksforhold, dvs. forholdet mellem elementerne i enhedskolonnen og det tilsvarende element i opløsningskolonnen. Simplexforholdet er en ikke-negativ størrelse. I skæringspunktet mellem den løsende række og den løsende kolonne er der et opløsningselement, som simplex transformation Næste regel: 1. elementerne i den tilladte streng er opdelt i det tilladte element; 2. elementerne i opløsningskolonnen er opdelt i opløsningselementet og ændrer deres fortegn til det modsatte; 3. De resterende elementer i tabellen er omarrangeret i henhold til rektangelreglen:

bij bis bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

Den anden dualitetssætning.

hvis et af de dobbelte problemer har en optimal plan, så er det andet også løseligt, dvs. har en optisk plan. I dette tilfælde falder de ekstreme værdier af objektivfunktionerne sammen (j=fra 1 til n) Σcjxj*= (i=fra 1 til m)Σbiyi* hvis den er i originalen. problem, den objektive funktion er ubegrænset på sættet af planer, så ind dobbelt problem begrænsningssystemet er inkonsekvent.

Sætning om rangen af ​​TK-matricen.

Rangeringen af ​​matrix A for transportproblemet er én mindre end antallet af ligninger: r(A)=m+n-1.

39. Algoritme til at konstruere den indledende referenceplan for ZLP.

For at finde den indledende referenceplan kan vi foreslå følgende algoritme:

1. skriv opgaven i form af en Jordan-tabel, så alle elementer i kolonnen med frie udtryk er ikke-negative, dvs. uligheden aio>=0 (i=1,m) var opfyldt. De ligninger, hvor de frie led er negative, ganges først med -1.

		-x1….. -xn
0=	a1o	a11…. a1n
…..	…..	………………………..
0=	amo	amn.. amn
f=		-c1…. -cn

Transformér tabellen ved hjælp af Jordan-elimineringstrin, og udskift nullerne i venstre kolonne med det tilsvarende x. På samme tid, ved hvert skridt permissive kan vælges enhver kolonne, der indeholder mindst ét ​​positivt element. Den løsende række bestemmes af det mindste af forholdet mellem de frie led og de tilsvarende positive elementer i den løsende kolonne. Hvis der i elimineringsprocessen stødes på en 0-række, hvis elementer alle er nul, og det frie led er ikke-nul, så har systemet af begrænsningsligninger ingen løsninger. Hvis vi støder på en 0-række, hvor der udover det frie led ikke er andre positive elementer, så har mængden af ​​restriktive ligninger ikke ikke-negative løsninger Hvis mængden af ​​restriktive ligninger samling, så vil efter et vist antal trin alle nuller i venstre kolonne blive erstattet af x og derved opnå et bestemt grundlag, og følgelig en tilsvarende referenceplan.

40. Algoritme til at konstruere den optimale referenceplan for ZLP.

Ho's indledende støtteplan undersøges for optimalitet.

Hvis der ikke er negative elementer i f-rækken (frit led ikke medregnet), er -planen optimal. Hvis der heller ikke er nul-elementer i f-rækken, så er der kun én optimal plan; hvis der blandt elementerne er mindst et nul, så er der et uendeligt antal optimale planer. Hvis der er mindst et negativt element i f-rækken, og der ikke er nogen positive elementer i den tilsvarende kolonne, så er objektivfunktionen ikke begrænset i det mulige område. Problemet er ikke løseligt. Hvis der er mindst et negativt element i f-rækken, og i hver kolonne med et sådant element er der mindst et positivt element, så kan du flytte til en ny referenceplan, der er tættere på den optimale. For at gøre dette tages kolonnen med et negativt element i f-rækken som eftergivende; De bestemmer den løsende streng ud fra den minimale simplex-relation og udfører Jordan-elimineringstrinnet. Den resulterende referenceplan undersøges igen for optimalitet. Dette gentages, indtil den optimale referenceplan er fundet, eller problemets uløselighed er fastslået.

Algoritme for Gomori-metoden.

1. Ved hjælp af simpleksmetoden findes den optimale plan for problemet. Hvis alle komponenter i en optimal plan er heltal, så er den optimal. Ellers gå til trin 2

2. Blandt ikke-heltalskomponenterne skal du vælge den med brøkdel er den største, og ved hjælp af den tilsvarende række i simplekstabellen skal du formulere den korrekte afskæring ved hjælp af formlen

(n-m,s=1)∑ (αkm+1)Xm+1≥(βk)

3. Transform den formulerede ulighed til en ækvivalent nul-lighed og medtag den i simplex bord med en ikke-heltal optimal plan

4. Det resulterende udvidede problem løses ved hjælp af simpleksmetoden. Hvis den resulterende plan ikke er heltal, skal du fortsætte til trin 2.

Hvis der under løsningsprocessen vises en linje med et ikke-heltals frit led og andre heltalskoefficienter, så har den tilsvarende ligning ikke en løsning i heltal. I dette tilfælde, og oprindelige problem kan ikke afgøres i heltal. Gomoris metode har begrænset anvendelse. Med dens hjælp er det tilrådeligt at løse små problemer, fordi... antallet af interaktioner kan være meget stort.

Forskellige former for notation af ZLP (generel, kanonisk, symmetrisk)

MP opgaver: bestemmelse af den optimale plan, bestemmelse af det optimale outputvolumen, bestemmelse af den optimale kombination af afgrøder, dannelse af den optimale pakke af aktiver, maksimering af bankoverskud osv.

General ZLP kaldes maksimering (minimerings) problem lineær funktion f=Σcj*xj-max(min) (1) under lineære begrænsninger ∑aij *xj(=<,=,>=)bi (i=1,n) (2) forudsat xj>=0(j=1,n1), xj-vilkårlig (j=n1+1,n)(3) hvor cj,aij, bi-konstanter tal .

Symmetrisk Formen til at skrive ZLP kaldes problemet med at maksimere funktionen (1) under lineære begrænsninger i signerede uligheder< либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком >eller = og ikke-negative variable. Kanonisk Formen til at skrive ZLP kaldes problemet med den maksimale funktion (1) under lineære begrænsninger af ligheder og ikke-negative variable. Enhver anden form kaldes blandet.

min f(x) = -max(-f(x))

Transformationen af ​​en ulighed til en ligning og omvendt udføres på basis af Lemmaet: for hver løsning x1...xn af uligheden a1x1+...+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) og omvendt. Hver løsning x1…xn,xn+1 af ligning 6 og ulighed 7 svarer til en løsning x1…xn af ulighed 5.

For at flytte fra den bagerste sim-form til den bagerste kanoniske form, skal du indtaste balance (udlignende) variable. Dette er baseret på ulighedsteoremet: enhver ulighed kan repræsenteres som en ligning eller en simpel ulighed.