Matrix multiplikationseksempler 2x2. Multiplicer en kvadratisk matrix med en kolonnematrix

Vi vil sekventielt "udelukke" de ukendte. For at gøre dette vil vi lade den første ligning af systemet være uændret og transformere den anden og tredje:

1) til den anden ligning lægger vi den første, ganget med –2, og bringer den til formen –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) til den tredje ligning lægger vi den første, ganget med – 4, og bringer den til formen –3 x 2 – 4x 3 = 2.

Som et resultat vil det ukendte blive udelukket fra den anden og tredje ligning x 1, og systemet vil antage formen

Vi ganger systemets anden og tredje ligning med –1, får vi

Koefficient 1 i den første ligning for den første ukendte x 1 kaldes førende element det første trin af eliminering.

I andet trin forbliver den første og anden ligning uændret, og den samme metode til at eliminere variablen anvendes på den tredje ligning x 2 . Førende element af det andet trin er koefficienten 3. Til den tredje ligning lægger vi den anden, ganget med –1, så transformeres systemet til formen

(1.2)

Processen med at reducere system (1.1) til dannelse (1.2) kaldes direkte metodens fremskridt Gauss.

Proceduren for løsning af system (1.2) kaldes i bakgear. Fra den sidste ligning får vi x 3 = –2. Ved at indsætte denne værdi i den anden ligning får vi x 2 = 2. Herefter giver den første ligning x 1 = 1. Således er en løsning til systemet (1.1).

Matrix koncept

Lad os overveje de mængder, der er inkluderet i systemet (1.1). Et sæt af ni numeriske koefficienter, der vises før de ukendte i ligninger, danner en tabel med tal kaldet matrix:

EN= .

(1.3)

Bordnumrene kaldes elementer matricer. Elementer dannes rækker og kolonner matricer. Antallet af rækker og antallet af kolonner dannes dimension matricer. Matrix EN har en dimension på 3´3 ("tre gange tre"), hvor det første tal angiver antallet af rækker, og det andet antallet af kolonner. Ofte er en matrix angivet ved at angive dens dimension A (3 ´ 3). Siden antallet af rækker og kolonner i matrixen EN det samme kaldes matrixen firkant. Antallet af rækker (og kolonner) i en kvadratisk matrix kaldes dens i orden, Derfor EN- matrix tredje orden.

Ligningernes højre sider danner også en taltabel, dvs. matrix:

Hver række i denne matrix er dannet af et enkelt element, så B(3 ´ 1) kaldes matrix-kolonne, dens dimension er 3´1. Sættet af ukendte kan også repræsenteres som en kolonnematrix:

Multiplikation kvadratisk matrix til matrix-kolonne

Med matricer er det muligt at producere forskellige operationer, som vil blive diskuteret i detaljer senere. Her vil vi kun analysere reglen for at gange en kvadratisk matrix med en kolonnematrix. Ved definition, resultatet af matrixmultiplikation EN(3 ´ 3) pr. kolonne I(3 ´ 1) er kolonnen D(3 ´ 1) , hvis elementer er lig med summen af produkterne af elementerne i matrixrækkerne EN til kolonneelementer I:

2)anden kolonneelement D lig med summen af grundstoffernes produkter anden matrix rækker EN til kolonneelementer I:

Fra ovenstående formler er det klart, at gange en matrix med en kolonne I er kun muligt, hvis antallet af matrixkolonner EN lig med antallet af elementer i kolonnen I.

Lad os se på yderligere to numeriske eksempler på matrixmultiplikation (3 ´3) pr. kolonne (3 ´1):

Eksempel 1.1

AB =
.

Eksempel 1.2

AB= .

1. år, videregående matematik, læser matricer og grundlæggende handlinger på dem. Her systematiserer vi de grundlæggende operationer, der kan udføres med matricer. Hvor skal man begynde at stifte bekendtskab med matricer? Selvfølgelig fra de enkleste ting - definitioner, grundlæggende begreber og simple operationer. Vi forsikrer dig om, at matricerne vil blive forstået af alle, der bruger mindst lidt tid på dem!

Matrix definition

Matrix er en rektangulær tabel af elementer. Tja, hvad nu hvis i et enkelt sprog– taltabel.

Typisk er matricer angivet med store bogstaver med latinske bogstaver. For eksempel matrix EN , matrix B og så videre. Matricer kan være forskellige størrelser: rektangulær, kvadratisk, der er også rækkematricer og søjlematricer kaldet vektorer. Størrelsen af matrixen bestemmes af antallet af rækker og kolonner. Lad os for eksempel skrive en rektangulær matrix af størrelse m på n , Hvor m – antal linjer, og n – antal kolonner.

Varer til hvilke i=j (a11, a22, .. ) danner matrixens hoveddiagonal og kaldes diagonal.

Hvad kan du gøre med matricer? Tilføj/træk fra, gange med et tal, formere sig indbyrdes, omsætte. Nu om alle disse grundlæggende operationer på matricer i rækkefølge.

Matrix addition og subtraktion operationer

Lad os straks advare dig om, at du kun kan tilføje matricer af samme størrelse. Resultatet bliver en matrix af samme størrelse. At addere (eller trække fra) matricer er simpelt - du skal blot tilføje deres tilsvarende elementer . Lad os give et eksempel. Lad os foretage tilføjelsen af to matricer A og B af størrelse to og to.

Subtraktion udføres analogt, kun med det modsatte fortegn.

På vilkårligt antal Du kan gange enhver matrix. At gøre dette, du skal gange hvert af dets elementer med dette tal. Lad os for eksempel gange matricen A fra det første eksempel med tallet 5:

Matrix multiplikation operation

Ikke alle matricer kan ganges sammen. For eksempel har vi to matricer - A og B. De kan kun ganges med hinanden, hvis antallet af kolonner i matrix A er lig med antallet af rækker i matrix B. I dette tilfælde hvert element i den resulterende matrix placeret i den i-te række og jth kolonne, vil være lig med summen af produkterne af de tilsvarende elementer i i-te linje den første faktor og den j-te kolonne i den anden. For at forstå denne algoritme, lad os skrive ned, hvordan to kvadratiske matricer ganges:

Og et eksempel med reelle tal. Lad os gange matricerne:

Matrixtransponeringsoperation

Matrixtransponering er en operation, hvor de tilsvarende rækker og kolonner byttes om. Lad os for eksempel transponere matricen A fra det første eksempel:

Matrix determinant

Determinant eller determinant er et af de grundlæggende begreber i lineær algebra. Engang fandt man på lineære ligninger, og efter dem skulle man finde på en determinant. I sidste ende er det op til dig at håndtere alt dette, så det sidste skub!

Determinanten er en numerisk karakteristik af en kvadratisk matrix, som er nødvendig for at løse mange problemer.
For at beregne determinanten for den enkleste kvadratiske matrix skal du beregne forskellen mellem produkterne af elementerne i hoved- og sekundærdiagonalerne.

Determinanten af en matrix af første orden, det vil sige bestående af et element, er lig med dette element.

Hvad hvis matrixen er tre gange tre? Det er sværere, men du kan klare det.

For en sådan matrix er værdien af determinanten lig med summen af produkterne af elementerne i hoveddiagonalen og produkterne af elementerne, der ligger på trekanterne med en side parallel med hoveddiagonalen, hvorfra produktet af elementer af den sekundære diagonal og produktet af de elementer, der ligger på trekanterne med forsiden af den parallelle sekundære diagonal, fratrækkes.

Heldigvis er det i praksis sjældent nødvendigt at beregne determinanter for matricer af store størrelser.

Her så vi på grundlæggende operationer på matricer. Selvfølgelig i I virkeligheden du vil måske aldrig støde på en antydning af et matrixsystem af ligninger, eller tværtimod kan du støde på meget mere komplekse sager når du virkelig er nødt til at pille dine hjerner. Det er til sådanne sager, at der findes professionelle studenterydelser. Bed om hjælp, få kvalitet og detaljeret løsning, nyd din akademiske succes og fritid.

Givet Værktøjskasse vil hjælpe dig med at lære at udføre operationer med matricer: addition (subtraktion) af matricer, transposition af en matrix, multiplikation af matricer, finde den inverse matrix. Alt materiale præsenteres i en enkel og tilgængelig form, relevante eksempler er givet, så selv en uforberedt person kan lære at udføre handlinger med matricer. Til egenkontrol og selvtest kan du gratis downloade en matrixberegner >>>.

Jeg vil forsøge at minimere teoretiske beregninger; nogle steder er forklaringer "på fingrene" og brug af ikke-videnskabelige termer mulige. Elskere af solid teori, bedes du ikke engagere dig i kritik, vores opgave er lære at udføre operationer med matricer.

Til SUPER HURTIG forberedelse til emnet (hvem er “on fire”) er der et intensivt pdf-kursus Matrix, determinant og test!

En matrix er en rektangulær tabel af nogle elementer. Som elementer vi vil overveje tal, det vil sige numeriske matricer. ELEMENT er et udtryk. Det er tilrådeligt at huske udtrykket, det vil forekomme ofte, det er ikke tilfældigt, at jeg brugte fed skrift for at fremhæve det.

Betegnelse: matricer er normalt angivet med store latinske bogstaver

Eksempel: Overvej en to-til-tre matrix:

Denne matrix består af seks elementer:

Alle tal (elementer) inde i matricen eksisterer hver for sig, det vil sige, at der ikke er tale om nogen subtraktion:

Det er bare en tabel (sæt) med tal!

Vi er også enige ikke omarranger tal, medmindre andet er angivet i forklaringerne. Hvert nummer har sin egen placering og kan ikke blandes!

Den pågældende matrix har to rækker:

og tre kolonner:

STANDARD: når man taler om matrixstørrelser, så i første omgang angiv antallet af rækker, og først derefter antallet af kolonner. Vi har lige opdelt to-til-tre-matricen.

Hvis antallet af rækker og kolonner i en matrix er det samme, kaldes matrixen firkant, For eksempel: – en tre gange tre matrix.

Hvis en matrix har én kolonne eller én række, kaldes sådanne matricer også vektorer.

Faktisk har vi kendt begrebet en matrix siden skolen; overvej for eksempel et punkt med koordinaterne "x" og "y": . I det væsentlige er koordinaterne for et punkt skrevet ind i en en-til-to matrix. Her er i øvrigt et eksempel på, hvorfor rækkefølgen af tal betyder noget: og er to helt forskellige punkter på flyet.

Lad os nu gå videre til at studere operationer med matricer:

1) Første akt. Fjernelse af et minus fra matrixen (indførelse af et minus i matrixen).

Lad os vende tilbage til vores matrix . Som du sikkert har bemærket, er der for mange negative tal i denne matrix. Dette er meget ubelejligt set ud fra et præstationssynspunkt. forskellige handlinger med en matrix er det ubelejligt at skrive så mange minusser, og det ser bare grimt ud i designet.

Lad os flytte minus uden for matricen ved at ændre tegnet for HVER element i matricen:

Ved nul, som du forstår, ændres tegnet ikke; nul er også nul i Afrika.

Omvendt eksempel: . Det ser grimt ud.

Lad os introducere et minus i matricen ved at ændre tegnet for HVER element i matricen:

Nå, det blev meget pænere. Og vigtigst af alt vil det være LETTERE at udføre alle handlinger med matrixen. Fordi der er sådan et matematisk folketegn: jo flere minusser, jo mere forvirring og fejl.

2) Akt to. At gange en matrix med et tal.

Eksempel:

Det er enkelt, for at gange en matrix med et tal, skal du bruge hver matrixelement ganget med givet nummer. I I dette tilfælde- for tre.

En anden brugbart eksempel:

– gange en matrix med en brøk

Lad os først se på, hvad vi skal gøre INTET BEHOV:

Det er IKKE nødvendigt at indtaste en brøk i matrixen, for det første komplicerer det kun yderligere tiltag med en matrix, for det andet gør det det svært for læreren at tjekke løsningen (især hvis – endelig besvarelse af opgaven).

Og især, INTET BEHOV divider hvert element i matrixen med minus syv:

Fra artiklen Matematik for dummies eller hvor skal man begynde, husker vi, at de i højere matematik forsøger at undgå decimalbrøker med kommaer på alle mulige måder.

Det eneste er helst Hvad du skal gøre i dette eksempel er at tilføje et minus til matricen:

Men hvis bare ALLE matrixelementer blev divideret med 7 uden spor, så ville det være muligt (og nødvendigt!) at dele.

Eksempel:

I dette tilfælde kan du BEHØVER gange alle matrixelementer med , da alle matrixtal er delelige med 2 uden spor.

Bemærk: i teorien om højere skoles matematik er der ikke noget begreb om "deling". I stedet for at sige "dette divideret med det", kan du altid sige "dette ganget med en brøk." Det vil sige opdeling er særlig situation multiplikation.

3) Tredje akt. Matrix Transponering.

For at transponere en matrix skal du skrive dens rækker ind i kolonnerne i den transponerede matrix.

Eksempel:

Transponer matrix

Der er kun én linje her, og ifølge reglen skal den skrives i en kolonne:

– transponeret matrix.

En transponeret matrix er normalt angivet med et hævet skrift eller et primtal øverst til højre.

Trin for trin eksempel:

Transponer matrix

Først omskriver vi den første række til den første kolonne:

Så omskriver vi den anden linje til den anden kolonne:

Og til sidst omskriver vi den tredje række til den tredje kolonne:

Parat. Groft sagt betyder transponering at vende matrixen om på siden.

4) Akt 4. Sum (forskel) af matricer.

Summen af matricer er en simpel operation.
IKKE ALLE MATRICER KAN FOLDES. For at udføre addition (subtraktion) af matricer er det nødvendigt, at de har SAMME STØRRELSE.

For eksempel, hvis en to-til-to matrix er givet, så kan den kun tilføjes med en to-til-to matrix og ingen anden!

Eksempel:

Tilføj matricer Og

For at tilføje matricer skal du tilføje deres tilsvarende elementer:

For forskellen mellem matricer er reglen ens, det er nødvendigt at finde forskellen på de tilsvarende elementer.

Eksempel:

Find matrixforskel ,

Hvordan man beslutter sig dette eksempel nemmere for ikke at blive forvirret? Det er tilrådeligt at slippe af med unødvendige minusser; for at gøre dette skal du tilføje et minus til matrixen:

Bemærk: I teorien om højere skoles matematik er der ikke noget begreb om "subtraktion". I stedet for at sige "træk dette fra dette", kan du altid sige "tilføj det her." et negativt tal" Det vil sige, at subtraktion er et særligt tilfælde af addition.

5) Akt fem. Matrix multiplikation.

Hvilke matricer kan ganges?

For at en matrix skal ganges med en matrix, er det nødvendigt således at antallet af matrixkolonner er lig med antallet af matrixrækker.

Eksempel:
Er det muligt at gange en matrix med en matrix?

Det betyder, at matrixdata kan multipliceres.

Men hvis matricerne omarrangeres, så er multiplikation i dette tilfælde ikke længere mulig!

Derfor er multiplikation ikke mulig:

Det er ikke så sjældent at støde på opgaver med et trick, når eleven bliver bedt om at gange matricer, hvis multiplikation naturligvis er umulig.

Det skal bemærkes, at det i nogle tilfælde er muligt at multiplicere matricer på begge måder.
For eksempel for matricer, og både multiplikation og multiplikation er mulige

Så i den forrige lektion så vi på reglerne for at lægge til og trække matricer fra. Det er så simple operationer at de fleste elever forstår dem bogstaveligt talt med det samme.

Dog glæder man sig tidligt. Freebie er forbi - lad os gå videre til multiplikation. Jeg vil advare dig med det samme: at multiplicere to matricer er slet ikke at gange tal i celler med de samme koordinater, som du måske tror. Alt er meget sjovere her. Og vi bliver nødt til at starte med foreløbige definitioner.

Matchede matricer

En af de vigtigste egenskaber matrix er dens størrelse. Vi har allerede talt om dette hundrede gange: notationen $A=\left[ m\times n \right]$ betyder, at matrixen har præcis $m$ rækker og $n$ kolonner. Vi har også allerede diskuteret, hvordan man ikke forveksler rækker med kolonner. Noget andet er vigtigt nu.

Definition. Matricer af formen $A=\venstre[ m\gange n \højre]$ og $B=\venstre[ n\gange k \højre]$, hvor antallet af kolonner i den første matrix falder sammen med antallet af rækker i den anden kaldes konsekvente.

Endnu en gang: antallet af kolonner i den første matrix er lig med antallet af rækker i den anden! Herfra får vi to konklusioner på én gang:

Rækkefølgen af matricerne er vigtig for os. For eksempel er matricerne $A=\venstre[ 3\gange 2 \højre]$ og $B=\venstre[ 2\gange 5 \højre]$ konsistente (2 kolonner i den første matrix og 2 rækker i den anden) , men omvendt — matricer $B=\venstre[ 2\gange 5 \højre]$ og $A=\venstre[ 3\gange 2 \højre]$ er ikke længere konsistente (5 kolonner i den første matrix er ikke 3 rækker i den anden).
Konsistens kan nemt kontrolleres ved at skrive alle dimensionerne ned efter hinanden. Ved at bruge eksemplet fra forrige afsnit: "3 2 2 5" - der er identiske tal i midten, så matricerne er konsistente. Men "2 5 3 2" er ikke konsekvente, da der er forskellige tal i midten.

Derudover synes Captain Obviousness at antyde, at kvadratiske matricer af samme størrelse $\left[ n\ gange n \right]$ altid er konsistente.

I matematik, når rækkefølgen af listeobjekter er vigtig (for eksempel i definitionen diskuteret ovenfor, er rækkefølgen af matricer vigtig), taler vi ofte om ordnede par. Vi mødte dem tilbage i skolen: Jeg synes, det er uoverskueligt, at koordinaterne $\left(1;0 \right)$ og $\left(0;1 \right)$ definerer forskellige punkter på flyet.

Altså: koordinater er også ordnede par, der er opbygget af tal. Men intet forhindrer dig i at lave sådan et par af matricer. Så kan vi sige: "Et ordnet par matricer $\left(A;B \right)$ er konsistent, hvis antallet af kolonner i den første matrix er det samme som antallet af rækker i den anden."

Nå, hvad så?

Definition af multiplikation

Overvej to konsistente matricer: $A=\venstre[ m\ gange n \højre]$ og $B=\venstre[ n\ gange k \højre]$. Og vi definerer multiplikationsoperationen for dem.

Definition. Produktet af to matchede matricer $A=\venstre[ m\ gange n \right]$ og $B=\venstre[ n\ gange k \right]$ er ny matrix$C=\venstre[ m\gange k \right]$, hvis elementer er beregnet efter formlen:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\grænser_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Et sådant produkt betegnes på standardmåden: $C=A\cdot B$.

De, der ser denne definition for første gang, har straks to spørgsmål:

Hvad er det for et voldsomt spil?
Hvorfor er det så svært?

Nå, første ting først. Lad os starte med det første spørgsmål. Hvad betyder alle disse indekser? Og hvordan man ikke laver fejl, når man arbejder med rigtige matricer?

Først og fremmest bemærker vi, at den lange linje til beregning af $((c)_(i;j))$ (jeg satte specielt et semikolon mellem indeksene for ikke at blive forvirret, men der er ingen grund til at sætte dem i generelt - jeg blev selv træt af at skrive formlen i definitionen) kommer faktisk ned til en simpel regel:

Tag den $i$th række i den første matrix;
Tag $j$th kolonnen i den anden matrix;
Vi får to talsekvenser. Vi multiplicerer elementerne i disse sekvenser med de samme tal, og tilføjer derefter de resulterende produkter.

Denne proces er let at forstå fra billedet:

Skema til at gange to matricer

Endnu en gang: vi fikser række $i$ i den første matrix, kolonne $j$ i den anden matrix, multiplicerer elementer med de samme tal og tilføjer derefter de resulterende produkter - vi får $((c)_(ij))$ . Og så videre for alle $1\le i\le m$ og $1\le j\le k$. De der. Der vil være $m\ gange k$ af sådanne "perversioner" i alt.

Faktisk er vi allerede stødt på matrixmultiplikation i skolepensum, kun i en stærkt reduceret form. Lad vektorerne være givet:

\[\begin(align) & \vec(a)=\venstre(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\venstre(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]

Så vil deres skalarprodukt være præcis summen af parvise produkter:

\[\overhøjrepil(a)\ gange \overhøjrepil(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Grundlæggende gange, da træerne var grønnere og himlen var lysere, gangede vi simpelthen rækkevektoren $\overrightarrow(a)$ med kolonnevektoren $\overrightarrow(b)$.

Intet har ændret sig i dag. Det er bare, at nu er der flere af disse række- og kolonnevektorer.

Men nok teori! Lad os tage et kig på rigtige eksempler. Og lad os starte helt fra begyndelsen simpel sag— kvadratiske matricer.

Kvadratmatrix multiplikation

Opgave 1. Gør multiplikationen:

\[\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Så vi har to matricer: $A=\venstre[ 2\gange 2 \højre]$ og $B=\venstre[ 2\ gange 2 \højre]$. Det er tydeligt, at de er konsistente (kvadratiske matricer af samme størrelse er altid konsistente). Derfor udfører vi multiplikationen:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ start(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(array)\right]. \end(align)\]

Det er alt!

Svar: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Opgave 2. Gør multiplikationen:

\[\venstre[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Igen, konsistente matricer, så vi udfører følgende handlinger:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(align)\]

Som du kan se, er resultatet en matrix fyldt med nuller

Svar: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Fra ovenstående eksempler er det indlysende, at matrixmultiplikation ikke er så kompliceret en operation. Ved i det mindste for kvadratiske matricer i størrelse 2 x 2.

I processen med beregninger kompilerede vi en mellemmatrix, hvor vi direkte beskrev, hvilke tal der indgår i en bestemt celle. Det er præcis, hvad man skal gøre, når man løser reelle problemer.

Grundlæggende egenskaber for matrixproduktet

I en nøddeskal. Matrix multiplikation:

Ikke-kommutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ i det generelle tilfælde. Der er selvfølgelig specielle matricer, for hvilke ligheden $A\cdot B=B\cdot A$ (f.eks. hvis $B=E$ er identitetsmatricen), men i langt de fleste tilfælde virker dette ikke ;
Associativt: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Der er ingen muligheder her: står i nærheden matricer kan ganges uden at bekymre dig om, hvad der er til venstre og højre for disse to matricer.
Distributivt: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ og $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (på grund af produktets ikke-kommutativitet er det nødvendigt at specificere højre og venstre fordeling separat.

Og nu - alt er det samme, men mere detaljeret.

Matrixmultiplikation ligner på mange måder klassisk talmultiplikation. Men der er forskelle, hvoraf den vigtigste er det Matrixmultiplikation er generelt set ikke-kommutativ.

Lad os se igen på matricerne fra opgave 1. Vi kender allerede deres direkte produkt:

\[\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]\]

Men hvis vi bytter matricerne, får vi et helt andet resultat:

\[\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix )\højre]\]

Det viser sig, at $A\cdot B\ne B\cdot A$. Derudover er multiplikationsoperationen kun defineret for de konsistente matricer $A=\venstre[ m\times n \right]$ og $B=\left[ n\times k \right]$, men ingen har garanteret, at de vil forblive konsekvente, hvis de byttes. For eksempel er matricerne $\venstre[ 2\gange 3 \højre]$ og $\venstre[ 3\gange 5 \højre]$ ret konsistente i den angivne rækkefølge, men de samme matricer $\venstre[ 3\gange 5 \right] $ og $\left[ 2\gange 3 \right]$ skrevet ind omvendt rækkefølge, er ikke længere aftalt. Trist.:(

Blandt kvadratiske matricer given størrelse$n$ vil der altid være dem, der giver samme resultat både når de ganges i direkte og i omvendt rækkefølge. Hvordan man beskriver alle sådanne matricer (og hvor mange der er generelt) er et emne for en separat lektion. Det taler vi ikke om i dag :)

Imidlertid er matrixmultiplikation associativ:

\[\venstre(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Derfor, når du skal gange flere matricer i træk på én gang, er det slet ikke nødvendigt at gøre det ligeud: det er meget muligt, at nogle er i nærheden stående matricer når de ganges, giver de et interessant resultat. For eksempel en nulmatrix, som i opgave 2 diskuteret ovenfor.

I rigtige opgaver skal vi oftest gange kvadratiske matricer af størrelsen $\venstre[ n\ gange n \right]$. Mættet af alle sådanne matricer er angivet med $((M)^(n))$ (dvs. indtastningerne $A=\left[ n\ gange n \right]$ og \ betyder det samme), og det vil nødvendigvis indeholde matrix $E$, som kaldes identitetsmatrixen.

Definition. En identitetsmatrix af størrelse $n$ er en matrix $E$ sådan, at for enhver kvadratisk matrix $A=\venstre[ n\ gange n \right]$ gælder ligheden:

En sådan matrix ser altid ens ud: der er ener på dens hoveddiagonal og nuller i alle andre celler.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \venstre(A+B \højre)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Med andre ord, hvis du skal gange en matrix med summen af to andre, kan du gange den med hver af disse "to andre" og derefter tilføje resultaterne. I praksis skal vi normalt udføre den modsatte operation: vi bemærker den samme matrix, tager den ud af parentes, udfører addition og forenkler derved vores liv. :)

Bemærk: for at beskrive fordelingsevnen var vi nødt til at skrive to formler: hvor summen er i den anden faktor, og hvor summen er i den første. Dette sker netop fordi matrixmultiplikation er ikke-kommutativ (og generelt er der i ikke-kommutativ algebra en masse sjove ting, der ikke engang kommer til at tænke på, når man arbejder med almindelige tal). Og hvis du for eksempel skal skrive denne egenskab ned i en eksamen, så sørg for at skrive begge formler, ellers kan læreren blive lidt sur.

Okay, det var alle eventyr om firkantede matricer. Hvad med rektangulære?

Tilfældet med rektangulære matricer

Men intet - alt er det samme som med firkantede.

Opgave 3. Gør multiplikationen:

\[\venstre[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Vi har to matricer: $A=\venstre[ 3\gange 2 \højre]$ og $B=\venstre[ 2\ gange 2 \højre]$. Lad os skrive tallene ned, der angiver størrelserne i en række:

Som du kan se, er de to centrale tal sammenfaldende. Det betyder, at matricerne er konsistente og kan multipliceres. Desuden får vi ved output matricen $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(array) \right]. \end(align)\]

Alt er klart: den endelige matrix har 3 rækker og 2 kolonner. Ganske $=\venstre[ 3\ gange 2 \right]$.

Svar: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(array) \right]$.

Lad os nu se på en af de bedste træningsopgaver for dem, der lige er begyndt at arbejde med matricer. I det behøver du ikke bare gange nogle to tabletter, men først bestemme: er en sådan multiplikation tilladt?

Opgave 4. Find alle mulige parvise produkter af matricer:

\\]; $B=\venstre[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrix) \\\end(matrix) \right]$; $C=\venstre[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Løsning. Lad os først skrive størrelserne af matricerne ned:

\;\ B=\venstre[ 4\gange 2 \højre];\ C=\venstre[ 2\gange 2 \højre]\]

Vi finder, at matricen $A$ kun kan forenes med matricen $B$, da antallet af kolonner i $A$ er 4, og kun $B$ har dette antal rækker. Derfor kan vi finde produktet:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ venstre[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Jeg foreslår, at læseren gennemfører de mellemliggende trin uafhængigt. Jeg vil kun bemærke, at det er bedre at bestemme størrelsen af den resulterende matrix på forhånd, selv før nogen beregninger:

\\cdot \venstre[ 4\gange 2 \højre]=\venstre[ 2\gange 2 \højre]\]

Med andre ord fjerner vi simpelthen "transit"-koefficienterne, der sikrede konsistensen af matricerne.

Hvilke andre muligheder er mulige? Selvfølgelig kan man finde $B\cdot A$, da $B=\venstre[ 4\gange 2 \højre]$, $A=\venstre[ 2\gange 4 \højre]$, så det bestilte par $\ left(B ;A \right)$ er konsistent, og produktets dimension vil være:

\\cdot \venstre[ 2\gange 4 \højre]=\venstre[ 4\gange 4 \højre]\]

Kort sagt vil outputtet være en matrix $\left[ 4\time 4 \right]$, hvis koefficienter let kan beregnes:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ venstre[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]\]

Du kan selvfølgelig også aftale $C\cdot A$ og $B\cdot C$ - og det er det. Derfor skriver vi blot de resulterende produkter ned:

Det var nemt.:)

Svar: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Generelt kan jeg varmt anbefale at gøre denne opgave selv. Og endnu en lignende opgave, som er i lektier. Disse tilsyneladende enkle tanker vil hjælpe dig med at øve dig på alle de vigtigste stadier af matrix multiplikation.

Men historien slutter ikke der. Lad os gå videre til specielle tilfælde af multiplikation. :)

Rækkevektorer og kolonnevektorer

En af de mest almindelige matrix operationer er multiplikation med en matrix, der har en række eller en kolonne.

Definition. En kolonnevektor er en matrix med størrelsen $\venstre[ m\gange 1 \right]$, dvs. bestående af flere rækker og kun én kolonne.

En rækkevektor er en matrix med størrelsen $\venstre[ 1\gange n \right]$, dvs. bestående af en række og flere kolonner.

Faktisk har vi allerede stødt på disse objekter. For eksempel er en almindelig tredimensionel vektor fra stereometri $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ intet andet end en rækkevektor. Fra et teoretisk synspunkt er der næsten ingen forskel på rækker og kolonner. Du skal kun være forsigtig, når du koordinerer med de omgivende multiplikatormatricer.

Opgave 5. Gør multiplikationen:

\[\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Her har vi produktet af matchede matricer: $\venstre[ 3\gange 3 \højre]\cdot \venstre[ 3\gange 1 \højre]=\venstre[ 3\gange 1 \højre]$. Lad os finde dette stykke:

\[\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]

Svar: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Opgave 6. Gør multiplikationen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Igen er alt aftalt: $\venstre[ 1\gange 3 \højre]\cdot \venstre[ 3\gange 3 \højre]=\venstre[ 1\gange 3 \højre]$. Vi tæller produktet:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Svar: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Som du kan se, når vi multiplicerer en rækkevektor og en kolonnevektor med en kvadratisk matrix, resulterer outputtet altid i en række eller kolonne af samme størrelse. Dette faktum har mange anvendelser - fra løsning lineære ligninger til alle mulige koordinattransformationer (som i sidste ende også kommer ned til ligningssystemer, men lad os ikke tale om triste ting).

Jeg tror, at alt var indlysende her. Lad os gå videre til den sidste del af dagens lektion.

Matrix eksponentiering

Blandt alle multiplikationsoperationerne fortjener eksponentiering særlig opmærksomhed - det er når vi multiplicerer det samme objekt med sig selv flere gange. Matricer er ingen undtagelse; de kan også hæves til forskellige magter.

Sådanne arbejder aftales altid:

\\cdot \venstre[ n\gange n \højre]=\venstre[ n\gange n \højre]\]

Og de betegnes på nøjagtig samme måde som almindelige grader:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

Ved første øjekast er alt simpelt. Lad os se, hvordan det ser ud i praksis:

Opgave 7. Hæv matricen til den angivne styrke:

$((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Løsning. Nå ok, lad os bygge. Lad os først kvadrere det:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\venstre[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\venstre[ \begin) (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrix) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Det er alt.:)

Svar: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Opgave 8. Hæv matrixen til den angivne styrke:

\[((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Løsning. Bare lad være med at græde nu over det faktum, at "graden er for stor", "verden er ikke retfærdig" og "lærerne har fuldstændig mistet deres kyster." Det er faktisk nemt:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\venstre[ \begin) (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\venstre[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Bemærk, at vi i anden linje brugte multiplikationsassociativitet. Faktisk brugte vi det i den forrige opgave, men det var implicit der.

Svar: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved at hæve en matrix til en magt. Sidste eksempel kan opsummeres:

\[((\venstre[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\venstre[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Dette faktum er let at bevise gennem matematisk induktion eller direkte multiplikation. Det er dog ikke altid muligt at fange sådanne mønstre, når man hæver til en magt. Vær derfor forsigtig: Ofte viser det sig at gange flere matricer "tilfældigt" at være nemmere og hurtigere end at lede efter en form for mønstre.

Generelt skal du ikke lede efter højere betydning, hvor der ikke er nogen. Lad os endelig se på matrixeksponentiering større størrelse- så meget som $\venstre[ 3\gange 3 \right]$.

Opgave 9. Hæv matrixen til den angivne styrke:

\[((\venstre[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Løsning. Lad os ikke lede efter mønstre. Vi arbejder videre:

\[((\venstre[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \venstre[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrix)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\]

Lad os først kvadrere denne matrix:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\venstre[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r) )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Lad os nu kube det:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \venstre[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\venstre[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Det er alt. Problemet er løst.

Svar: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Som du kan se, er mængden af beregninger blevet større, men betydningen har ikke ændret sig overhovedet. :)

Dette afslutter lektionen. Næste gang vil vi overveje den omvendte operation: ved at bruge det eksisterende produkt vil vi lede efter de oprindelige faktorer.

Som du sikkert allerede har gættet, vil vi tale om omvendt matrix og metoder til at finde det.

Matrix tilføjelse:

Subtraktion og addition af matricer reducerer til de tilsvarende operationer på deres elementer. Matrix addition operation kun indtastet for matricer samme størrelse, dvs. for matricer, hvor antallet af rækker og kolonner er ens. Summen af matricer A og B kaldes matrix C, hvis elementer er lig med summen af de tilsvarende elementer. C = A + B c ij = a ij + b ij Defineret på samme måde matrix forskel.

Multiplicer en matrix med et tal:

Matrix multiplikation (division) operation af enhver størrelse med et vilkårligt tal reduceres til at gange (dividere) hvert element matricer for dette nummer. Matrix produkt Og tallet k kaldes matrix B, sådan at

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrix- A = (-1) × A kaldes det modsatte matrix EN.

Egenskaber ved at tilføje matricer og gange en matrix med et tal:

Matrix additionsoperationer Og matrix multiplikation på et tal har følgende egenskaber: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 x A = A; 6. a x (A + B) = aA + aB; 7. (a + β) x A = αA + βA; 8. a x (βA) = (αβ) x A; , hvor A, B og C er matricer, α og β er tal.

Matrix multiplikation (Matrix produkt):

Operation ved at gange to matricer indtastes kun for det tilfælde, hvor antallet af kolonner af den første matricer lig med antallet af linjer i sekundet matricer. Matrix produkt Og m×n på matrix I n×p, kaldet matrix Med m×p således, at med ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , dvs. summen af produkterne af elementerne i den i-te række findes matricer Og til de tilsvarende elementer i den jth kolonne matricer B. Hvis matricer A og B er kvadrater af samme størrelse, så eksisterer produkterne AB og BA altid. Det er let at vise, at A × E = E × A = A, hvor A er kvadratisk matrix, E - enhed matrix samme størrelse.

Egenskaber for matrixmultiplikation:

Matrix multiplikation ikke kommutativ, dvs. AB ≠ BA, selvom begge produkter er defineret. Dog hvis for nogen matricer forholdet AB=BA er opfyldt, så sådan matricer kaldes kommutative. Det mest typiske eksempel er en enkelt matrix, som pendler med enhver anden matrix samme størrelse. Kun firkantede kan være permutable matricer af samme orden. A × E = E × A = A

Matrix multiplikation har følgende egenskaber: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A x (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) x C = AC + BC; 4. a x (AB) = (aA) x B; 5. A x 0 = 0; 0 x A = 0; 6. (AB) T = B TAT; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinanter af 2. og 3. orden. Determinanters egenskaber.

Matrix determinant anden orden, eller determinant anden orden er et tal, der beregnes med formlen:

Matrix determinant tredje orden, eller determinant tredje orden er et tal, der beregnes med formlen:

Dette tal repræsenterer en algebraisk sum bestående af seks led. Hvert led indeholder præcis et element fra hver række og hver kolonne matricer. Hvert led består af produktet af tre faktorer.

Skilte med hvilke medlemmer determinant for matricen inkluderet i formlen finde matricens determinant tredje orden kan bestemmes ved hjælp af det givne skema, som kaldes trekantsreglen eller Sarrus regel. De første tre led tages med et plustegn og bestemmes ud fra venstre figur, og de næste tre led tages med minustegn og bestemmes ud fra højre figur.

Bestem antallet af udtryk, der skal findes determinant for matricen, i en algebraisk sum, kan du beregne faktoren: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Egenskaber for matrixdeterminanter

Egenskaber for matrixdeterminanter:

Ejendom #1:

Matrix determinantændres ikke, hvis dens rækker erstattes med kolonner, hver række med en kolonne med samme nummer og omvendt (Transposition). |A| = |A| T

Følge:

Kolonner og rækker determinant for matricen er ens, derfor er de iboende egenskaber i rækker også opfyldt for kolonner.

Ejendom #2:

Ved omarrangering af 2 rækker eller kolonner matrix determinant vil ændre tegnet til det modsatte og bevare den absolutte værdi, dvs.:

Ejendom #3:

Matrix determinant at have to ens rækker er lig nul.

Ejendom #4:

Fælles faktor for elementer i enhver serie determinant for matricen kan tages som et tegn determinant.

Følger fra ejendomme nr. 3 og nr. 4:

Hvis alle elementer i en bestemt serie (række eller kolonne) er proportionale med de tilsvarende elementer i en parallel serie, så matrix determinant lig med nul.

Ejendom #5:

determinant for matricen er lig med nul, så matrixdeterminant lig med nul.

Ejendom #6:

Hvis alle elementer i en række eller kolonne determinant præsenteret som en sum af 2 led, så determinant matricer kan repræsenteres som summen af 2 determinanter efter formlen:

Ejendom #7:

Hvis til en række (eller kolonne) determinant tilføj derefter de tilsvarende elementer i en anden række (eller kolonne) ganget med det samme tal matrixdeterminant vil ikke ændre sin værdi.

Eksempel på brug af egenskaber til beregning determinant for matricen: