• hjem
  •  > 
  • Browser plugins
  •  > 
  • Reglen for at sætte den fælles faktor ud af parentes. At tage den generelle faktor ud af parentes - Videnshypermarked

Reglen for at sætte den fælles faktor ud af parentes. At tage den generelle faktor ud af parentes - Videnshypermarked

§ 10. Faktorisering af polynomier ved hjælp af metoden at sætte den fælles faktor ud af parentes

I 6. klasse indregnede vi sammensatte tal i primfaktorer, det vil sige, at vi præsenterede naturlige tal som et produkt. For eksempel, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.

Nogle polynomier kan også repræsenteres som et produkt. Det betyder, at disse polynomier kan faktoriseres. For eksempel, 5a: - 5y - 5(x - y); a 3 og 3a 2 = a 2 (a + 3) og lignende.

Lad os overveje en af ​​måderne at faktorisere polynomier på - subtraktion fælles multiplikator uden for parentes. Et af eksemplerne på en sådan udvidelse, vi kender, er den fordelingsmæssige egenskab ved multiplikation a(b + c) = ab + ac, hvis den er skrevet i omvendt rækkefølge: ab + ac - a(b + c). Det betyder, at polynomiet ab + ac blev opdelt i to faktorer a og b + c.

Ved faktorisering af polynomier med heltalskoefficienter vælges den faktor, der tages ud af parenteser, således at vilkårene for polynomiet, der forbliver i parentes, ikke har en fælles bogstavfaktor, og modulerne af deres koefficienter ikke har fælles divisorer.

Lad os se på et par eksempler.

Eksempel 1. Faktor udtrykket:

3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.

R a s i z a n i.

1) Den fælles faktor er tallet 4, så

8m + 4 = 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Fællesfaktoren er derfor variablen a

ved + 7ap = a(t + 7p).

3) B I dette tilfælde den fælles numeriske faktor er den største fælles divisor af tallene 10 og 15 - tallet 5, og den fælles bogstavfaktor er monomiet a 2 b. Så,

15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).

Eksempel 2. Indregn i:

1) 2m(b-s) + 3r(b-s);

2) x(y - t) + c(t - c).

R az v ’ i z a n n i.

1) I dette tilfælde er den fælles faktor binomialet b = c.

Derfor 2m( b - Med) + 3р( b - c) = (b - с)(2m + 3р).

2) Udtrykkene har faktorer in - t og t - in, som er modsatte udtryk. Derfor, i andet led tager vi faktoren -1 ud af parentes, får vi: c(t - в) = -с(у - t).

Derfor er x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).

For at kontrollere rigtigheden af ​​faktoriseringen skal du gange de resulterende faktorer. Resultatet skal svare til det givne polynomium.

Faktorering af polynomier forenkler ofte processen med at løse en ligning.

Eksempel 3. Find rødderne til ligningen 5x 2 - 7x = 0.

R az v ’ i z a n n i. Lad os faktorisere venstre side af ligningen ved at tage den fælles faktor ud af parentes: x(5x - 7) = 0. I betragtning af at produktet er lig med nul, hvis og kun hvis mindst en af ​​faktorerne lig med nul, vil vi have: x = 0 eller 5x - 7 = 0, hvorfra x = 0 eller x = 1,4.

Svar: 0; 1.4.

Hvilken transformation kaldes faktoriseringen af ​​et polynomium? Brug eksemplet med polynomiet ab + ac, og forklar, hvordan faktorisering udføres ved at placere den fælles faktor uden for parenteser.

  1. (Oral) Find den fælles faktor i udtrykket:
  1. (Mundtligt) Indregn i:
  1. Tag den fælles faktor ud af parentes:
  1. (Oralt) udførte faktoriseringerne korrekt:

1) 7a + 7 = 7a;

2) 5m-5 = 5(m-5);

3) 2a-2 = 2(a-1);

4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

  1. Skriv beløbet som et produkt:
  1. Tag det ud:
  1. Tag det ud:

4) 7a + 21ау;

5) 9x 2 - 27x;

6) 3a - 9a 2;

8) 12ax - 4a 2;

9) -18xy + 24v2;

10) a2b-ab2;

11) rm - p 2 m;

12) -x 2 y 2 - xy.

  1. Tag den fælles faktor ud af parentes:

4) 15xy + 5x;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6x2;

9) -p 2 q - pq 2.

  1. Tag det ud:

5) 3b 2 - 9b 3;

7) 4y2 + 12y4;

8) 5m5 + 15m2;

9) -16a 4 - 20a.

  1. Tag det ud:

4) 18p 3 - 12p 2;

5) 14b3 + 7b4;

6) -25m 3 - 20m.

  1. Skriv summen 6x 2 in + 15x som et produkt, og find dets værdi, hvis x = -0,5, y = 5.
  2. Skriv udtrykket 12a 2 b - 8a som et produkt og find dets værdi, hvis a = 2, 6 = .
  3. Tag den fælles faktor ud af parentes:

1) a4 + a3 - a2;

2) m9 - m2 + m7;

3) b6 + b5 - b9;

4) - klokken 7 - klokken 12 - klokken 3.

  1. Præsenter det som et produkt:

1) p7 + p3 - p4;

2) a 10 - a 5 + a 8;

3) b 7 - b 5 - b 2;

4) -m 8 - m 2 - m 4.

  1. Beregn på en bekvem måde:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

  1. Løs ligningen:

1) x 2 - 2 x = 0;

2) x 2 + 4x = 0.

  1. Find rødderne til ligningen:

1) x 2 + 3 x = 0;

2) x 2 -7x = 0.

1) 4a3 + 2a2-8a;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.

  1. Tag den fælles faktor ud af parentes:

1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8r7 - 4r5 + 10r3;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3.

  1. Tag den fælles faktor ud af parentes:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14 m 3 ;

2) 12a 2b - 18ab 2 + 30ab 3;

3) 8x 2 y 2 - 4x 3 i 5 + 12x 4 i 3;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.

  1. Faktorer polynomiet:

1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;

2) 12b 2 in - 18b 3 - 30b 4 in;

3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5.

  1. Beregn på en bekvem måde:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

  1. Find betydningen af ​​udtrykket:

1) 4,23 a - a 2, hvis a = 5,23;

2) x 2 y + x 3, hvis x = 2,51, b = -2,51;

3) am 5 - m6, hvis = -1, a = -5;

4) -xy - x 2, hvis x = 2,7, b = 7,3.

  1. Find betydningen af ​​udtrykket:

1) 9,11 a + a 2, hvis a = -10,11;

2) 5x 2 + 5a 2 x, hvis a = ; x = .

  1. Faktorer polynomiet:

1) 2p(x-y) + q(x-y);

2) a(x + y) - (x + y);

3) (a-7)-b(a-7);

4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;

5) (x + 2) 2-x(x + 2);

6) -5m(m-2) + 4(m-2)2.

  1. Udtryk udtrykket som et produkt:

1) a(x-y) + b(y-x);

2) g(b-5)-n(5-b);

3) 7x - (2b - 3) + 5y(3 - 2b);

4) (x-y)2-a(y-x);

5) 5(x-3)2-(3-x);

6) (a + 1) (2b - 3) - (a + 3) (3 - 2b).

  1. Tag det ud:

1) 3x(b-2) + y(b-2);

2) (m2-3) -x(m2-3);

3) a(b-9) + c(9-b);

4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;

5) (s-m) 2-5(m-s);

6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.

  1. Find rødderne til ligningen:

1) 4x2 - x = 0;

2) 7x2 + 28x = 0;

3) x 2 + x = 0;

4) x 2 - x = 0.

  1. Løs ligningen:

1) 12x2 + x = 0;

2) 0,2 x 2 - 2 x = 0;

3) x 2 - x = 0;

4) 1 - x 2 + - x = 0.

  1. Løs ligningen:

1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;

2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.

  1. Løs ligningen:

1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;

2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.

1) 17 3 + 17 2 er et multiplum af 18;

2) 9 14 - 81 6 er et multiplum af 80.

  1. Bevis, at betydningen af ​​udtrykket er:

1) 39 9 - 39 8 er divideret med 38;

2) 49 5 - 7 8 er divideret med 48.

  1. Tag den fælles faktor ud af parentes:

1) (5m - 10) 2;

2) (18a + 27b) 2.

  1. Find rødderne til ligningen:

1) x(x-3) = 7x-21;

2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.

  1. Løs ligningen:

1) x(x-2) = 4x-8;

2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.

  1. Bevis at tallet:

1) 10 4 + 5 3 er deleligt med 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 er divideret med 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 divideres med 25;

4) 21 3 + 14 a - 7 3 er divideret med 34.

Øvelser til at gentage

  1. Forenkle udtrykket og find dets betydning:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, hvis x = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, hvis m = 7, n = -1.

  1. Skriv følgende monomiale koefficienter i stedet for stjerner, så ligheden bliver til en identitet:

1) 2m 2 - 4 mn + n 2 + (* m 2 - * m - * n 2) = 3 m 2 - 9 mn - 5n 2;

2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.

  1. Længden af ​​et rektangel er tre gange dets bredde. Hvis længden af ​​et rektangel reduceres med 5 cm, vil dets areal falde med 40 cm 2. Find længden og bredden af ​​rektanglet.

Interessante opgaver for dovne elever

Det er kendt, at en< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| og |b|< |с|?

Chichaeva Darina 8 klasse

I arbejdet beskrev en elev i 8. klasse reglen for faktorisering af et polynomium ved at sætte den fælles faktor ud af parentes med en detaljeret procedure til løsning af mange eksempler om dette emne. For hvert diskuteret eksempel tilbydes 2 eksempler til selvstændig beslutning, som der er svar på. Arbejdet vil hjælpe dig med at studere dette emne til de elever, der af en eller anden grund ikke mestrede det, da de bestod programmateriale 7. klasse og (eller) ved gentagelse af algebrakurset i 8. klasse efter sommerferien.

Hent:

Eksempel:

Kommunal budgetuddannelsesinstitution

gymnasiet nr. 32

"UNESCO Associated School "Eureka Development"

Volzhsky, Volgograd-regionen

Arbejde udført:

8B klasse elev

Chichaeva Darina

Volzhsky

2014

At tage den fælles faktor ud af parentes

  • - En måde at faktorisere et polynomium på erat sætte den fælles faktor ud af parentes;
  • - Når den generelle multiplikator tages ud af parentes, anvendes denfordelingsejendom;
  • - Hvis alle led i et polynomium indeholder fælles faktor da denne faktor kan tages ud af parentes.

Ved løsning af ligninger, i beregninger og en række andre problemer, kan det være nyttigt at erstatte et polynomium med produktet af flere polynomier (som kan omfatte monomer). At repræsentere et polynomium som et produkt af to eller flere polynomier kaldes faktorisering af polynomiet.

Overvej polynomiet 6a 2 b+15b 2 . Hver af dens termer kan erstattes af produktet af to faktorer, hvoraf den ene er lig med 3b: →6a2b = 3b*2a2, + 15b2 = 3b*5b → heraf får vi: 6a2b+15b2 =3b*2a2 +3b*5b.

Det resulterende udtryk baseret på fordelingsegenskaben ved multiplikation kan repræsenteres som et produkt af to faktorer. En af dem er den fælles multiplikator 3b , og den anden er summen 2a 2 og 5b→ 3b*2a2 +3b*5b=3b(2a2 +5b) →Sådan udvidede vi polynomiet: 6a 2 b+15b 2 ind i faktorer, der repræsenterer det som et produkt af et monomial 3b og polynomiet 2a 2 +5b. Denne metode faktorisering af et polynomium kaldes at tage den fælles faktor ud af parentes.

Eksempler:

Tag det ud:

A) kx-px.

Multiplikator x x vi sætter den ud af parentes.

kx:x=k; px:x=p.

Vi får: kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Multiplikator 4 findes i både 1. semester og 2. semester. Derfor 4 vi sætter den ud af parentes.

4a:4=a; 4b:4=b.

Vi får: 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m og -27n er delelige med -9 . Derfor tager vi den numeriske faktor ud af parentes-9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Vi har: -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5 år 2 -15 år.

5 og 15 er delelige med 5; y 2 og y divideres med y.

Derfor tager vi den fælles faktor ud af parentes 5у.

5y2: 5y=y; -15 år: 5 år=-3.

Så: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

Kommentar: Fra to grader med samme base udtager vi graden med den mindre eksponent.

e) 16у 3 +12у 2.

16 og 12 er delelige med 4; y 3 og y 2 divideres med y 2.

Altså den fælles faktor 4y 2.

16y3: 4y2=4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

Som et resultat får vi: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4y+3).

f) Faktorer polynomiet 8b(7y+a)+n(7y+a).

I dette udtryk ser vi, at den samme faktor er til stede(7 år+a) , som kan tages ud af beslag. Så vi får:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) a(b-c)+d(c-b).

Udtryk b-c og c-b er modsatte. Derfor, at gøre dem det samme, før d ændre "+" tegnet til "-":

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Eksempler på uafhængige løsninger:

  1. mx+my;
  2. ah+ay;
  3. 5x+5y ;
  4. 12x+48y;
  5. 7ax+7bx;
  6. 14x+21y;
  7. –ma-a;
  8. 8mn-4m2;
  9. -12y 4 -16y;
  10. 15y 3 -30y 2;
  11. 5c(y-2c)+y2(y-2c);
  12. 8m(a-3)+n(a-3);
  13. x(y-5)-y(5-y);
  14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Svar.

1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3y); 7) -a(m+1); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y3+4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y2); 12) (a-3) (8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

\(5x+xy\) kan repræsenteres som \(x(5+y)\). Disse er faktisk identiske udtryk, vi kan bekræfte dette, hvis vi åbner parenteserne: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Som du kan se, får vi det originale udtryk. Det betyder, at \(5x+xy\) faktisk er lig med \(x(5+y)\). Forresten, dette pålidelig måde for at kontrollere rigtigheden af ​​de fælles faktorer - åbn den resulterende parentes og sammenlign resultatet med det originale udtryk.


Hovedreglen for bracketing:

For eksempel kan i udtrykket \(3ab+5bc-abc\) kun \(b\) tages ud af parentesen, fordi det er den eneste, der er til stede i alle tre led. Processen med at tage almindelige faktorer ud af parentes er vist i diagrammet nedenfor:

Regler for bracketing

    I matematik er det sædvanligt at tage alle fælles faktorer ud på én gang.

    Eksempel:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
    Bemærk venligst, at her kunne vi udvide sådan: \(3(xy-xz)\) eller sådan her: \(x(3y-3z)\). Disse ville dog være ufuldstændige nedbrydninger. Både C og X skal tages ud.

    Nogle gange er fællesmedlemmerne ikke umiddelbart synlige.

    Eksempel:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
    I dette tilfælde var det almindelige udtryk (fem) skjult. Men efter at have udvidet \(10\) som \(2\) ganget med \(5\), og \(15\) som \(3\) ganget med \(5\) - trak vi de fem ind i Guds lys”, hvorefter de nemt kunne tage den ud af beslaget.

    Hvis en monomial fjernes fuldstændigt, forbliver man fra den.

    Eksempel: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
    Vi sætter \(x\) ud af parenteser, og det tredje monomial består kun af x. Hvorfor bliver man fra det? For hvis et udtryk ganges med én, ændres det ikke. Det vil sige, at den samme \(x\) kan repræsenteres som \(1\cdot x\). Så har vi følgende kæde af transformationer:

    \(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)

    Desuden er dette den eneste Den rigtige måde fjernelse, for hvis vi ikke efterlader en, så vender vi ikke tilbage til det oprindelige udtryk, når vi åbner parenteserne. Faktisk, hvis vi udfører ekstraktionen som denne \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), vil vi, når vi udvides, få \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Det tredje medlem mangler. Det betyder, at et sådant udsagn er forkert.

    Du kan placere et minustegn uden for parentesen, og fortegnene på vilkårene i parentesen er omvendt.

    Eksempel:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
    I det væsentlige sætter vi her "minus en", som kan "vælges" foran enhver monomial, selvom der ikke var nogen minus foran den. Vi bruger her, at man kan skrives som \((-1) \cdot (-1)\). Her er det samme eksempel, beskrevet i detaljer:

    \(x-y=\)
    \(=1·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
    \(=-(-x+y)=\)
    \(-(y-x)\)

    En parentes kan også være en fælles faktor.

    Eksempel:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
    Vi støder oftest på denne situation (fjernelse af parenteser fra parenteser), når vi faktoriserer ved hjælp af grupperingsmetoden eller

Blandt de forskellige udtryk, der betragtes i algebra er vigtigt sted optager summer af monomer. Her er eksempler på sådanne udtryk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Summen af ​​monomer kaldes et polynomium. Begreberne i et polynomium kaldes vilkår for polynomiet. Monomier er også klassificeret som polynomier, idet man betragter et monomer som et polynomium bestående af et medlem.

For eksempel et polynomium
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.

Lad os repræsentere alle udtryk i form af monomialer standard visning:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Lad os præsentere lignende udtryk i det resulterende polynomium:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynomium, hvis alle udtryk er monomer af standardformen, og blandt dem er der ingen lignende. Sådanne polynomier kaldes polynomier af standardform.

Bag grad af polynomium af en standardform tage den højeste af medlemmernes beføjelser. Således har binomialet \(12a^2b - 7b\) den tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den anden.

Typisk er vilkårene for standardformpolynomier, der indeholder én variabel, arrangeret i faldende rækkefølge af eksponenter. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Summen af ​​flere polynomier kan transformeres (forenklet) til et polynomium af standardform.

Nogle gange skal vilkårene for et polynomium opdeles i grupper, der omslutter hver gruppe i parentes. Da omsluttende parenteser er den omvendte transformation af åbne parenteser, er det let at formulere regler for åbning af parenteser:

Hvis et "+"-tegn er placeret foran parenteserne, skrives termerne i parentes med de samme tegn.

Hvis et "-"-tegn er placeret foran parenteserne, skrives termerne i parenteserne med modsatte tegn.

Transformation (simplificering) af produktet af et monomer og et polynomium

Ved at bruge den fordelende egenskab ved multiplikation kan du transformere (forenkle) produktet af et monomial og et polynomium til et polynomium. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produktet af et monomial og et polynomium er identisk lig med summen af ​​produkterne af dette monomial og hver af polynomiets vilkår.

Dette resultat er normalt formuleret som en regel.

For at gange et monomer med et polynomium skal du gange det monomial med hver af polynomiets vilkår.

Vi har allerede brugt denne regel flere gange til at gange med en sum.

Produkt af polynomier. Transformation (simplificering) af produktet af to polynomier

Generelt er produktet af to polynomier identisk lig med summen af ​​produktet af hvert led af det ene polynomium og hvert led af det andet.

Normalt bruges følgende regel.

For at gange et polynomium med et polynomium skal du gange hvert led i det ene polynomium med hvert led i det andet og tilføje de resulterende produkter.

Forkortede multiplikationsformler. Sum kvadrater, forskelle og forskel af kvadrater

Du skal beskæftige dig med nogle udtryk i algebraiske transformationer oftere end andre. De måske mest almindelige udtryk er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet af summen, kvadratet af forskellen og forskellen på kvadrater. Du har bemærket, at navnene på disse udtryk ser ud til at være ufuldstændige, for eksempel er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke kun kvadratet af summen, men kvadratet af summen af ​​a og b . Kvadraten af ​​summen af ​​a og b forekommer dog ikke særlig ofte; som regel indeholder det i stedet for bogstaverne a og b forskellige, nogle gange ret komplekse, udtryk.

Udtrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan nemt konverteres (forenklet) til polynomier af standardformen; faktisk har du allerede stødt på denne opgave, når du multiplicerer polynomier:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Det er nyttigt at huske de resulterende identiteter og anvende dem uden mellemliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjælper dette.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet af summen er lig med summen af ​​kvadraterne og dobbeltproduktet.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet af forskellen er lig med summen af ​​kvadrater uden det fordoblede produkt.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskellen mellem kvadrater er lig med produktet af forskellen og summen.

Disse tre identiteter gør det muligt at udskifte dens venstre dele med højrehåndsdele i transformationer og omvendt - højrehåndsdele med venstrehåndede. Det sværeste er at se de tilsvarende udtryk og forstå, hvordan variablerne a og b erstattes i dem. Lad os se på flere eksempler på brug af forkortede multiplikationsformler.

Matematiktime i 7. klasse

1.

Fulde navn (fulde navn)

Trofimenko Nadezhda Pavlovna

2.

Arbejdsplads

Kommunal uddannelsesinstitution "Miloslavskaya skole"

3.

Jobtitel

Matematiklærer

4.

Vare

5.

Klasse

6.

Emne og lektionsnummer i emnet

At tage den fælles faktor ud af parentes (1 lektion pr. emne)

7.

Grundlæggende tutorial

Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin. "Algebra 7. klasse" lærebog for almen uddannelsesorganisationer. M. Prosveshchenie. 2016.

8. Lektionens mål

Til læreren:

pædagogisk

organisere pædagogiske aktiviteter:

Ved at mestre algoritmen til at tage den fælles faktor ud af parentes og forstå logikken i dens konstruktion;

At udvikle evnen til at anvende algoritmen til at tage den fælles faktor ud af parentes

udvikle sig

skabe betingelser for udvikling af regulatoriske færdigheder:

Bestem dine egne mål pædagogiske aktiviteter;

Planlæg måder at nå mål på;

Korrelér dine handlinger med de planlagte resultater;

Overvåge og evaluere uddannelsesaktiviteter baseret på resultater;

Organiser pædagogisk samarbejde og fælles aktiviteter med lærer og kammerater.

- pædagogisk

    Skabe betingelser for dannelse af en ansvarlig holdning til læring;

Skabe betingelser for udvikling af elevernes selvstændighed i tilrettelæggelse og udførelse af deres undervisningsaktiviteter.

Skabe betingelser for patriotisk uddannelse

Skabe betingelser for miljøundervisning

For studerende:

Mestre algoritmen til at tage den fælles faktor ud af parentes og forstå logikken i dens konstruktion;

Udvikle evnen til at anvende algoritmen til at tage den fælles faktor ud af parentes

9. Anvendte UUD'er: regulering (målsætning, aktivitetsplanlægning, kontrol og evaluering)

10.Lektionstype: lære nyt stof

11.Former for elevarbejde: frontal, dampbad, individuel

12. NødvendigTeknisk udstyr: computer, projektor, lektionslogo, matematik lærebøger, elektronisk præsentation lavet i Power Point, Uddel

Lektionens struktur og flow

Lektionens trin

Læreraktiviteter

Elevaktiviteter

Pædagogisk

Organisatorisk

Hej gutter! Jeg er meget glad for at se

du! Vores lektionsmotto:

Jeg hører og glemmer.
Jeg ser og husker.
jeg gør og Forstå.
Konfucius.

Lad os give vores lektion en usædvanlig farve (emblemet på et grønt træ og et rødt hjerte), emblemet på tavlen. I slutningen af ​​lektionen vil vi afsløre hemmeligheden bag dette emblem

Kontrollere arbejdsplads, hils på læreren, kom med i lektionens arbejdsrytme

Opdatering af viden og motivation

I dag i lektionen vil du lære nyt materiale. Men først, lad os arbejde verbalt.

1. Multiplicer monomialer:

2a 2 * 3av; 2av*(-a 4); 6x2 *(-2x); -3s*5x; -3x*(-xy2);-4a2b*(-0,2av 2)

Hvis svaret er rigtigt, skal du åbne det første bogstav

2) Hvilke monomer skal sættes i stedet for * for at få den korrekte lighed:

x 3 * = x 6; - a 6 = a 4 *; *y7 = y8; -2a3* = 8a5; 5xy 4 * = 25x 2 y 6. Hvis svaret er rigtigt, skal du åbne det andet bogstav

3) Introducer en monomial 12x 3 på 4 som et produkt af to faktorer, hvoraf den ene er ens 2x 3 ; 3u 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 på ; 6x 2 på 2 .

Hvis svaret er rigtigt, afsløres det tredje bogstav

4) Tilstede forskellige veje monomial 6x 2 på som et produkt af to faktorer.

Åbn det 4. bogstav

5) Eleven multiplicerede et monomial med et polynomium, hvorefter monomialet blev slettet. Gendan den

…*(x – y) = 3ax – 3ay

…*(-x + y 2 – 1) = xy 2 – y 4 + y

…*(a +b – 1) = 2ah +2in – 2x

…*(a – b) = a 2 c – a 3

…*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2. Åbn det 5. bogstav

6.Beregn

768*95 – 668*95 =

76,8*9,5 + 23,2*9,5 =

Åbn det 6. bogstav.

Bogstaverne dannede navnet på en tysk matematiker.

Udfør opgaven mundtligt

Kommenter løsningen ved hjælp af reglerne

Åbn bogstaverne på tavlen

Elev (modtog opgaven på forhånd)

Historisk reference : Michel Stiefel (1487-1567), tysk matematiker og omrejsende prædikant; forfatter til bogen "Complete Arithmetic", han introducerede udtrykket "eksponent", og overvejede også polynomiers egenskaber og ydede et væsentligt bidrag til udviklingen af ​​algebra. (foto)

3. Målsætning og motivation

Giver børn motivation til at lære og deres accept af lektionens mål.

På tavlen: Find udtryksværdi EN 2 – 3av på a = 106,45; in = 2,15 .

Hvordan gør man det?

a) Du kan erstatte numeriske værdier EN Og V og finde meningen med udtrykket, men det er svært.

c) Er det muligt at gøre andet? Hvordan?

På tavlen skriver vi emnet for lektionen ned: "Sæt den fælles faktor ud af parentes." Gutter, skriv forsigtigt! Husk, at for at producere et ton papir, skal du fælde omkring 17 modne træer.

Lad os prøve at sætte lektionsmål i henhold til følgende skema:

Hvilke begreber vil du blive fortrolig med?

Hvilke færdigheder og evner vil vi mestre?

Tilbyde deres egne løsninger

4. Assimilering af ny viden og metoder til assimilering

(første bekendtskab med materialet)

Sikring af børns opfattelse, forståelse og primære memorering af det undersøgte emne

    Åbn lærebogen s. 120-121, læs og besvar spørgsmålene på s. 121.

    Fremhæv punkterne i algoritmen

Algoritme til at tage den fælles faktor ud af parentes

    Find den fælles faktor for koefficienterne for polynomier

    Tag den ud af beslaget

3.Lærer: Jeg vil give et eksempel på at tage en multiplikator ud af parentes på russisk. I udtrykket "Tag en bog, tag en pen, tag en notesbog" udføres funktionen af ​​en fælles faktor af verbet "tag", og bogen, notesbogen og pennen er komplementer.
Det samme udtryk kan siges på en anden måde: "tag en bog, notesbog og pen."

4 Jeg skrev reglen for at gange et monomial med et polynomium i form af et diagram.
En note vises på tavlen:

Prøv at tegne en skematisk regel for at trække en fælles faktor fra

      Læs materialet

      Besvare spørgsmål

      Find et ark med en algoritme

      Åh, nu prøver du:

      • Spis: suppe, grød, salat

Tegn et omvendt diagram på tavlen

5. Afslapning

Indeholder tegnefilmen "Sommeropgave"

Fra vintervejr befinder vi os i varm sommer.

Men fragmentet er lærerigt, prøv at fange hovedideen

De ser et fragment af en tegneserie og drager konklusioner om skønheden i deres hjemland

Tegnefilm fragment

"Sommeropgave"

6.Primær konsolidering

Etablering af rigtigheden og bevidstheden om at studere emnet.

Identificering af huller i den indledende forståelse af det undersøgte materiale, korrigering af de identificerede huller, sikring af, at den viden og de handlingsmetoder, de har brug for selvstændigt arbejde på nyt materiale.

    Frontal til tavlen:

№ 318, 319, 320,321,324,325,328

Skift til efter ønske

Løs ved tavlen med kommentarer

6. Organisering af primær kontrol

Identifikation af kvaliteten og niveauet for assimilering af viden og handlingsmetoder, samt identifikation af mangler i viden og handlingsmetoder, fastlæggelse af årsagerne til identificerede mangler

Løs selvstændigt ud fra teksten på stykker papir og tjek svarene på tavlen:

    UAFHÆNGIGT ARBEJDE (differentieret)

1 mulighed

    Fuldfør faktoriseringen af ​​polynomiet:

5akh ​​– 30ау = 5а(…………..)

x 4 – 5x 3 – x 2 = x 2 (…………..)

    Faktor polynomiet - 5ав + 15а 2 в, idet faktoren tages ud af parentes: a) 5а; b) -5a.

    Tag det ud:

5x + 5y = 7av + 14ac =

20a – 4b= 5 min – 5=

ah – ay= 3x 2 – 6x=

2a – 10ау= 15a 2 + 5a 3 =

2 mulighed

    Afslut indtastningen:

18av +16v= 2v(…………)

4a 2 s – 8ac= 4ac(………..)

    Faktor polynomiet -15a 2 i + 5ab 4 på to måder:

a) tage faktoren 5ab ud af parentes;

b) tage faktoren -5av ud af parentes.

5х+6ху= 2ав – 3а 3 в=

12av – 9v= x 3 -4x 2 +6x=

6a 4 – 4a 2 = 4a 4 -8a 3 +12a 2 =

24x 2 y -12xy= 9v 2 -6v 4 +3v=

4. Find værdien af ​​udtrykket ved at faktorisere det:

xy2 +y3 med x=97, y=3.

Mulighed 3

    Tag den fælles faktor ud af parentes og tjek ved at gange monomiet med polynomiet:

a) 12xy+ 18x= b) 36ab 2 – 12a 2 c=

2. Afslut optagelsen:

18a 3 i 2 +36av = 18av(…………)

18a 3 i 2 +36av = -18av(…………)

3. Tag den fælles faktor ud af parentes:

12a 2 +16a= -11x 2 y 2 +22xy=

2a 4 -6a 2 = -12a 3 i 3 +6av=

30a 4 b- 6av 4 = x 8 -8x 4 + x 2 =

4. Erstat M med et polynomium eller monomial, så den resulterende lighed er identiteten:

12a 2 b-8av 2 +6av=M*(6a-4b+3)

15x 2 y-10x3y2+25x 4 y 3 =5x 2 y*M

5. Find betydningen af ​​udtrykket:

a) 2,76a-ab ved a=1,25 og b=0,76;

b) 2xy + 2y2 ved x=0,27 og b=0,73.

De udfører deres arbejde, efter færdiggørelse modtager de nøglerne og tjekker, sætter + eller minus, vurderer deres arbejde efter kriterierne på tavlen: (svar på tavlen)

10-12 point - "5"

8-9 point - "4"

6-7 point - "3"

Mindre end 6 - du skal arbejde mere.

Differentierede opgaveark

7. Opsummering af lektionen.

Give en kvalitativ vurdering af klassens og de enkelte elevers arbejde

Marker aktivt arbejdende elever og opsummer resultaterne af selvstændigt arbejde:

Løft dine hænder, hvem der har 5,4,3.

Analyser deres arbejde

8. Oplysninger om lektier

Sikre, at børn forstår formålet, indholdet og metoderne til at udføre lektier.

Paragraf nr. 19
№ 322,326, 329

Vi gør det efter prøveopgaver i klassearbejdet

Optag opgaver i en dagbog

9. Refleksion

Lærer: Det var en lektie - en søgning. Du og jeg ledte efter fælles fodslag med hinanden, lærte at kommunikere og afslørede også en af ​​metoderne til at forklare og konsolidere emnet.

Lad os vende tilbage til lektionsmålene og analysere, hvordan vi nåede dem

Åh, hvad talte vi ellers om, udover at tage den fælles faktor ud af parentes? Lad os vende tilbage til lektionslogoet.

Læs målene op og analyser deres implementering

Om forbindelsen mellem matematik og det russiske sprog,

Om skønheden i vores fædreland, om økologi