) har vi allerede gentagne gange stødt på partielle afledninger af komplekse funktioner som og mere vanskelige eksempler. Så hvad kan du ellers tale om?! ...Og alt er som i livet - der er ingen kompleksitet, der ikke kan kompliceres =) Men matematik er det, matematik er for, at passe vores verdens mangfoldighed ind i en stram ramme. Og nogle gange kan dette gøres med en enkelt sætning:

Generelt har den komplekse funktion formen , Hvor, mindst en af bogstaver repræsenterer fungere, hvilket kan afhænge af vilkårlig antallet af variable.

Den mindste og enkleste mulighed er den længe velkendte komplekse funktion af en variabel, hvis afledte vi lærte at finde sidste semester. Du har også evnerne til at differentiere funktioner (se på de samme funktioner ) .

Derfor vil vi nu være interesserede i netop sagen. På grund af det store udvalg af komplekse funktioner er de generelle formler for deres derivater meget besværlige og svære at fordøje. I den forbindelse vil jeg begrænse mig konkrete eksempler, som du kan forstå generelt princip at finde disse derivater:

Eksempel 1

Givet en kompleks funktion hvor . Påkrævet:
1) find dens afledte og skriv 1. ordens samlede differential ned;
2) beregn værdien af ​​derivatet til .

Løsning: Lad os først se på selve funktionen. Vi tilbydes en funktion afhængig af og , som igen er funktioner en variabel:

For det andet, lad os være meget opmærksomme på selve opgaven - vi skal finde afledte, det vil sige, vi taler ikke om partielle afledte, som vi er vant til at finde! Siden funktionen afhænger faktisk kun af én variabel, så betyder ordet "afledt". samlet afledt. Hvordan finder man hende?

Det første, der kommer til at tænke på, er direkte substitution og yderligere differentiering. Lad os erstatte at fungere:
, hvorefter der ikke er problemer med den ønskede afledte:

Og følgelig den samlede forskel:

Denne løsning er matematisk korrekt, men en lille nuance er, at når problemet er formuleret, som det er formuleret, er der ingen, der forventer sådan et barbari af dig =) Men seriøst, du kan virkelig finde fejl her. Forestil dig, at en funktion beskriver en humlebi flugt, og de indlejrede funktioner ændrer sig afhængigt af temperaturen. Udførelse af en direkte udskiftning , får vi kun private oplysninger, som kendetegner flyvning, for eksempel kun i varmt vejr. Desuden, hvis en person, der ikke er vidende om humlebier, bliver præsenteret for det færdige resultat og endda fortalt, hvad denne funktion er, så vil han aldrig lære noget om den grundlæggende lov om flyvning!

Så helt uventet hjalp vores summende bror os med at forstå betydningen og vigtigheden af ​​den universelle formel:

Væn dig til "to-etagers" notationen for derivater - i den pågældende opgave er det dem, der er i brug. I dette tilfælde burde man være det meget pænt i indgangen: afledte med direkte symboler "de" er komplette derivater, og derivater med afrundede ikoner er partielle derivater. Lad os starte med de sidste:

Nå, med "halerne" er alt generelt elementært:

Lad os erstatte de fundne derivater i vores formel:

Når en funktion oprindeligt foreslås på en indviklet måde, vil det være logisk (og dette er forklaret ovenfor!) lad resultaterne være som de er:

Samtidig er det i "sofistikerede" svar bedre at afstå fra selv minimale forenklinger (her beder det f.eks. om at blive fjernet 3 minusser)- og du har mindre arbejde, og din lodne ven gennemgår gerne opgaven lettere.

En grov kontrol vil dog ikke være overflødig. Lad os erstatte ind i den fundne afledte og udfør forenklinger:


(på sidste skridt Brugt trigonometriske formler , )

Som et resultat blev det samme resultat opnået som med den "barbariske" opløsningsmetode.

Lad os beregne den afledede ved punktet. Først er det praktisk at finde ud af "transit"-værdierne (funktionsværdier ) :

Nu udarbejder vi de endelige beregninger, som i I dette tilfælde kan gøres på forskellige måder. Jeg bruger en interessant teknik, hvor 3. og 4. "etage" forenkles ikke efter de sædvanlige regler, men transformeres som kvotienten af ​​to tal:

Og det er selvfølgelig synd ikke at tjekke med en mere kompakt notation :

Svar:

Det sker, at problemet foreslås i en "semi-generel" form:

"Find den afledede af funktionen hvor »

Det vil sige, at "hoved"-funktionen ikke er givet, men dens "indsæt" er ret specifikke. Svaret skal gives i samme stil:

Desuden kan tilstanden være lidt krypteret:

"Find den afledede af funktionen »

I dette tilfælde har du brug for på egen hånd udpege indlejrede funktioner med nogle passende bogstaver, for eksempel gennem og brug samme formel:

Forresten, åh bogstavbetegnelser. Jeg har gentagne gange opfordret til ikke at "klæbe sig til bogstaver", som om de var en livredder, og nu er dette særligt relevant! Ved at analysere forskellige kilder om emnet fik jeg generelt det indtryk, at forfatterne "gik amok" og begyndte nådesløst at kaste eleverne ud i matematikkens stormfulde afgrund =) Så tilgiv mig :))

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion , hvis

Andre betegnelser bør ikke være forvirrende! Hver gang du støder på en opgave som denne, skal du besvare to enkle spørgsmål:

1) Hvad afhænger "hoved"-funktionen af? I dette tilfælde afhænger funktionen "zet" af to funktioner ("y" og "ve").

2) Hvilke variabler afhænger indlejrede funktioner af? I dette tilfælde afhænger begge "indsæt" kun af "X".

Så du burde ikke have nogen problemer med at tilpasse formlen til denne opgave!

En kort løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Yderligere eksempler på den første type kan findes i Ryabushkos problem bog (IDZ 10.1), jamen vi er på vej til funktion af tre variable:

Eksempel 3

Givet en funktion hvor .
Beregn afledt ved punkt

Afledt formel kompleks funktion, som mange gætter, har en relateret form:

Beslut dig når du har gættet det =)

For en sikkerheds skyld vil jeg give en generel formel for funktionen:
, selvom du i praksis næppe vil se noget længere end eksempel 3.

Derudover er det nogle gange nødvendigt at differentiere en "trunkeret" version - som regel en funktion af formen eller. Jeg overlader dette spørgsmål til dig at studere på egen hånd - kom med nogle enkle eksempler, tænk, eksperimenter og udled forkortede formler for derivater.

Hvis noget stadig er uklart, så læs langsomt igen og forstå den første del af lektionen, for nu bliver opgaven mere kompliceret:

Eksempel 4

Find de partielle afledte af en kompleks funktion, hvor

Løsning: denne funktion har formen , og efter direkte substitution får vi den sædvanlige funktion af to variable:

Men sådan frygt er ikke kun ikke accepteret, men man ønsker ikke længere at differentiere =) Derfor vil vi bruge færdige formler. For at hjælpe dig med hurtigt at forstå mønsteret vil jeg lave nogle noter:

Se nøje på billedet fra top til bund og fra venstre mod højre...

Lad os først finde de partielle afledte af "hoved"-funktionen:

Nu finder vi "X"-derivaterne af "linerne":

og skriv den endelige "X"-afledte ned:

På samme måde med "spillet":

Og

Du kan holde dig til en anden stil - find alle "halerne" på én gang og skriv derefter begge afledte ned.

Svar:

Om substitution på en eller anden måde tænker jeg slet ikke over det =) =), men du kan justere resultaterne lidt. Selvom, igen, hvorfor? – gør det kun sværere for læreren at tjekke.

Hvis det er nødvendigt, så fuld differens her er det skrevet efter den sædvanlige formel, og i øvrigt bare på dette trin Let kosmetik bliver passende:


Dette er... ...en kiste på hjul.

På grund af populariteten af ​​den type komplekse funktion, der overvejes, er der et par opgaver til selvstændig beslutning. Et enklere eksempel i en "semi-generel" form er at forstå selve formlen;-):

Eksempel 5

Find de partielle afledte af funktionen, hvor

Og mere kompliceret - med inklusion af differentieringsteknikker:

Eksempel 6

Find hele differentialet for en funktion , Hvor

Nej, jeg prøver slet ikke at "sende dig til bunden" - alle eksemplerne er taget fra rigtige værker, og "på åbent hav" kan du støde på alle bogstaver. Under alle omstændigheder skal du analysere funktionen (besvare 2 spørgsmål – se ovenfor), præsentere det i generel form og omhyggeligt ændre de partielle afledte formler. Du er måske lidt forvirret nu, men du vil forstå selve princippet om deres konstruktion! For de virkelige udfordringer er lige begyndt :)))

Eksempel 7

Find partielle afledte og skab den komplette differential af en kompleks funktion
, Hvor

Løsning: "hoved"-funktionen har formen og afhænger stadig af to variable - "x" og "y". Men sammenlignet med eksempel 4 er der tilføjet en anden indlejret funktion, og derfor er de partielle afledte formler også forlænget. Som i det eksempel, for en bedre visualisering af mønsteret, vil jeg fremhæve de "hoved" partielle derivater i forskellige farver:

Og igen, omhyggeligt studere posten fra top til bund og fra venstre mod højre.

Da problemet er formuleret i en "semi-generel" form, er alt vores arbejde i det væsentlige begrænset til at finde delvise afledte af indlejrede funktioner:

En første klasse kan håndtere:

Og selv det fulde differentiale viste sig ganske fint:

Jeg tilbød dig bevidst ikke nogen specifik funktion - så unødvendigt rod ikke skulle forstyrre en god forståelse af skematisk diagram opgaver.

Svar:

Ganske ofte kan du finde "blandede" investeringer, for eksempel:

Her afhænger "hoved"-funktionen, selvom den har formen , stadig af både "x" og "y". Derfor virker de samme formler - bare nogle partielle afledte vil være lig med nul. Desuden gælder dette også for funktioner som , hvor hver "liner" afhænger af en variabel.

En lignende situation opstår i de sidste to eksempler i lektionen:

Eksempel 8

Find den samlede differential for en kompleks funktion i et punkt

Løsning: betingelsen er formuleret på en "budgetmæssig" måde, og vi skal selv mærke de indlejrede funktioner. Jeg synes dette er en god mulighed:

"Indlæggene" indeholder ( OPMÆRKSOMHED!) TRE bogstaver er det gode gamle "X-Y-Z", hvilket betyder, at "hoved"-funktionen faktisk afhænger af tre variable. Det kan formelt omskrives som , og de partielle derivater i dette tilfælde bestemmes af følgende formler:

Vi scanner, vi dykker ned i, vi fanger….

I vores opgave:

Funktioner af mange variabler

§1. Begrebet en funktion af mange variable.

Lad der være n variable mængder. Hvert sæt
angiver et punkt n- dimensionssæt
(P-dimensionel vektor).

Lad givne sæt
Og
.

ODA. Hvis hvert punkt
svarer til entalstallet
, så siger vi, at der er givet en numerisk funktion n variabler:

.

kaldes definitionsdomænet,
- et sæt værdier for en given funktion.

Hvornår n=2 i stedet for
normalt skrive x, y, z. Så har funktionen af ​​to variable formen:

z= f(x, y).

For eksempel,
- funktion af to variable;

- funktion af tre variable;

Lineær funktion n variabler.

ODA. Funktionsgraf n variabler kaldes n- dimensionel hyperflade i rummet
, hvor hvert punkt er angivet med koordinater

For eksempel en graf over en funktion af to variable z= f(x, y) er en overflade i et tredimensionelt rum, hvor hvert punkt er specificeret ved koordinater ( x, y, z) , Hvor
, Og
.

Da det ikke er muligt at afbilde en graf af en funktion af tre eller flere variable, vil vi hovedsageligt (for klarhedens skyld) overveje funktioner af to variable.

Det er ret nemt at plotte funktioner af to variable udfordrende opgave. Konstruktionen af ​​såkaldte niveaulinjer kan give betydelig hjælp til at løse dette problem.

ODA. Niveaulinje af en funktion af to variable z= f(x, y) kaldes planetens punkter HOU, som er projektionen af ​​sektionen af ​​grafen for funktionen af ​​en plan parallel HOU. På hvert punkt på niveaulinjen har funktionen den samme værdi. Niveaulinjer er beskrevet af ligningen f(x, y)=c, Hvor Med– et vist antal. Der er uendeligt mange niveaulinjer, og en af ​​dem kan trækkes gennem hvert punkt i definitionsdomænet.

ODA. Funktion til overfladeniveau n variabler y= f (
) kaldes en hyperflade i rummet
, ved hvert punkt, hvor værdien af ​​funktionen er konstant og lig med en bestemt værdi Med. Niveau overflade ligning: f (
)=s.

Eksempel. Tegn graf en funktion af to variable

.

.

Når c=1:
;
.

Med c=4:
;
.

Ved c=9:
;
.

Niveaulinjer er koncentriske cirkler, hvis radius aftager med stigende z.

§2. Grænse og kontinuitet af en funktion af flere variable.

For funktioner af mange variable er de samme begreber defineret som for funktioner af en variabel. For eksempel kan du give definitioner af grænse og kontinuitet for en funktion.

ODA. Tallet A kaldes grænsen for en funktion af to variable z= f(x, y) på
,
og er udpeget
, hvis for et positivt tal der er et positivt tal , sådan at hvis pointen
væk fra pointen
mindre afstand , derefter mængderne f(x, y) og A afviger med mindre end .

ODA. Hvis funktionen z= f(x, y) defineret på punktet
og har en grænse på dette tidspunkt svarende til værdien af ​​funktionen
, så kaldes det kontinuert på et givet punkt.

.

§3. Partielle afledninger af funktioner af flere variable.

Overvej en funktion af to variable
.

Lad os f.eks. rette værdien af ​​et af dets argumenter , sætte
. Derefter funktionen
der er en funktion af en variabel . Lad det have en afledt ved punktet :

.

Denne afledte kaldes den partielle afledte (eller første ordens partielle afledede) af funktionen
Ved på punktet
og betegnes:
;
;
;
.

Forskellen kaldes den delvise stigning og er udpeget
:

Under hensyntagen til ovenstående notationer kan vi skrive

.

Defineret på samme måde

.

Delvis afledt funktioner af flere variable i en af ​​disse variable kaldes grænsen for forholdet mellem en funktions partielle stigning og stigningen af ​​den tilsvarende uafhængige variabel, når denne stigning har en tendens til nul.

Når man finder den partielle afledte med hensyn til ethvert argument, betragtes de andre argumenter som konstante. Alle regler og formler for differentiering af funktioner af en variabel er gyldige for partielle afledte funktioner af mange variable.

Bemærk, at de partielle afledte af en funktion er funktioner af de samme variable. Disse funktioner kan til gengæld have partielle afledte, som kaldes anden partielle derivater(eller andenordens partielle afledninger) af den oprindelige funktion.

For eksempel funktionen
har fire andenordens partielle derivater, som er angivet som følger:

;
;

;
.

Og
- blandede partielle derivater.

Eksempel. Find andenordens partielle afledninger for en funktion

.

Løsning.
,
.

,
.

,
.

Dyrke motion.

1. Find andenordens partielle afledninger for funktioner

,
;

2. Til funktion
bevis det
.

Fuld differential funktioner af mange variabler.

Med samtidige ændringer i værdier x Og på fungere
vil ændre sig med et beløb, der kaldes den samlede stigning af funktionen z på punktet
. Ligesom i tilfælde af en funktion af en variabel, opstår problemet med omtrentlig udskiftning af inkrementet
til en lineær funktion af
Og
. Rollen som lineær tilnærmelse udføres af fuld differens Funktioner:

Anden ordens total forskel:

=
.

=
.

Generelt en total forskel P-te ordre har formen:

Retningsbestemt afledt. Gradient.

Lad funktionen z= f(x, y) er defineret i et eller andet område af punktet M( x, y) Og - en eller anden retning angivet af enhedsvektoren
. Koordinaterne for en enhedsvektor udtrykkes gennem cosinus af vinklerne dannet af vektoren og koordinatakserne og kaldes retningscosinus:

,

.

Når du flytter punkt M( x, y) i denne retning l Nemlig
fungere z vil modtage en stigning

kaldet tilvæksten af ​​funktionen i en given retning l.

E hvis MM 1 =∆ l, At

T

hvornår

OM

etc. Afledte funktioner z= f(x, y) hen imod kaldes grænsen for forholdet mellem tilvæksten af ​​funktionen i denne retning og størrelsen af ​​forskydningen ∆ l da sidstnævnte har en tendens til nul:

Den retningsbestemte afledede karakteriserer ændringshastigheden af ​​en funktion i en given retning. Det er indlysende, at partielle derivater Og repræsentere afledte i retninger parallelt med akserne Okse Og Åh. Det er nemt at vise det

Eksempel. Beregn den afledede af en funktion
ved punkt (1;1) i retningen
.

ODA. Gradient funktioner z= f(x, y) er en vektor med koordinater lig med partielle derivater:

.

Overvej skalarproduktet af vektorer
Og
:

Det er nemt at se det
, dvs. den retningsbestemte afledte er lig med skalarproduktet af gradienten og enhedsretningsvektoren .

Fordi
, så er skalarproduktet maksimalt, når vektorerne har samme retninger. Gradienten af ​​en funktion i et punkt angiver således retningen for den hurtigste stigning i funktionen på dette punkt, og gradientens modul er lig med den maksimale væksthastighed for funktionen.

Ved at kende gradienten af ​​en funktion kan man lokalt konstruere funktionsniveaulinjer.

Sætning. Lad en differentierbar funktion gives z= f(x, y) og på punktet
gradienten af ​​funktionen er ikke nul:
. Så er gradienten vinkelret på niveaulinjen, der går gennem det givne punkt.

Hvis vi således ud fra et bestemt punkt konstruerer gradienten af ​​funktionen og en lille del af niveaulinjen vinkelret på den i nærliggende punkter, så kan vi (med en vis fejl) konstruere niveaulinjer.

Lokalt ekstremum af en funktion af to variable

Lad funktionen
defineret og kontinuerligt i et eller andet område af punktet
.

ODA. Prik
kaldes det lokale maksimumpunkt for funktionen
, hvis der er et sådant naboskab af punktet , hvori for ethvert punkt
ulighed gælder:

.

Begrebet et lokalt minimum indføres tilsvarende.

Sætning (nødvendig betingelse for lokalt ekstremum).

For at få en differentierbar funktion
havde et lokalt ekstremum på det tidspunkt
, er det nødvendigt, at alle dens førsteordens partielle afledte på dette tidspunkt er lig med nul:

Så punkterne for mulig tilstedeværelse af et ekstremum er de punkter, hvor funktionen er differentierbar, og dens gradient er lig med 0:
. Som i tilfældet med en funktion af en variabel kaldes sådanne punkter stationære.

Når man studerer mange mønstre inden for naturvidenskab og økonomi, støder man på funktioner af to (eller flere) uafhængige variable.

Definition (for en funktion af to variable).Lade x , Y Og Z - skarer. Hvis hvert par (x, y) elementer fra sæt hhv x Og Y i kraft af en eller anden lov f matcher kun ét element z fra mange Z , så siger de det en funktion af to variable er givet z = f(x, y) .

Generelt domæne af en funktion af to variable geometrisk kan repræsenteres af et bestemt sæt punkter ( x; y) fly xOy .

De grundlæggende definitioner vedrørende funktioner af flere variable er en generalisering af de tilsvarende definitioner for en funktion af en variabel .

En masse D hedder funktionens domæne z, og sættet E – dens mange betydninger. Variabler x Og y i forhold til funktion z kaldes dets argumenter. Variabel z kaldet den afhængige variabel.

Private værdier af argumenter

svarer til den private værdi af funktionen

Domæne af en funktion af flere variable

Hvis funktion af flere variable (for eksempel to variable) givet af formlen z = f(x, y) , At område af dens definition er mængden af ​​alle sådanne punkter i flyet x0y, for hvilket udtrykket f(x, y) giver mening og accepterer reelle værdier. Generelle regler for domænet af en funktion af flere variable er afledt af almindelige regler Til definitionsdomæne af en funktion af en variabel. Forskellen er, at for en funktion af to variable område definition er et bestemt sæt af punkter på planet, og ikke en ret linje, som for en funktion af en variabel. Til funktioner af tre variable, er definitionsdomænet det tilsvarende sæt af punkter i tredimensionelt rum og for en funktion n variabler - det tilsvarende sæt af punkter i abstraktet n-dimensionelt rum.

Domæne af en funktion af to variable med en rod n grad

I det tilfælde, hvor en funktion af to variable er givet af formlen og n - naturligt tal :

Hvis n er et lige tal, så er definitionsdomænet for funktionen det sæt af punkter i planet, der svarer til alle værdier af det radikale udtryk, der er større end eller lig med nul, dvs.

Hvis n er et ulige tal, så er definitionsdomænet for funktionen mængden af ​​alle værdier, det vil sige hele planet x0y .

Domæne for en potensfunktion af to variable med en heltalseksponent

:

Hvis -en- positiv, så er definitionsdomænet for funktionen hele planet x0y ;

Hvis -en- negativ, så er definitionsdomænet for funktionen det værdisæt, der er forskelligt fra nul: .

Domæne for en potensfunktion af to variable med en brøkeksponent

I det tilfælde, hvor funktionen er givet af formlen :

hvis er positivt, så er definitionsdomænet for funktionen sættet af de punkter i planet, hvor det tager værdier større end eller lig med nul: ;

hvis - er negativ, så er definitionsdomænet for funktionen sættet af de punkter i planen, hvor den tager værdier større end nul: .

Domæne for definition af en logaritmisk funktion af to variable

Logaritmisk funktion af to variable er defineret, forudsat at dets argument er positivt, det vil sige, at dens definitions domæne er sættet af de punkter i planet, hvor det tager værdier større end nul: .

Domæne for definition af trigonometriske funktioner af to variable

Funktion Domæne - hele flyet x0y .

Funktion Domæne - hele flyet x0y .

Funktionens definitionsdomæne er hele planet x0y

Funktion Domæne - hele flyet x0y, bortset fra par af tal, som tager værdier for.

Domæne for definition af inverse trigonometriske funktioner af to variable

Funktion Domæne .

Funktion Domæne - det sæt af punkter på flyet, for hvilket .

Funktion Domæne - hele flyet x0y .

Funktion Domæne - hele flyet x0y .

Definitionsdomænet for en brøk som funktion af to variable

Hvis en funktion er givet af formlen, så er definitionsdomænet for funktionen alle punkter på det plan, hvor .

Domæne af en lineær funktion af to variable

Hvis funktionen er givet af formlens formel z = økse + ved + c , så er definitionsdomænet for funktionen hele planet x0y .

Eksempel 1.

Løsning. Ifølge reglerne for definitionsdomænet sammensætter vi en dobbelt ulighed

Vi ganger hele uligheden med og får

Det resulterende udtryk specificerer definitionsdomænet for denne funktion af to variable.

Eksempel 2. Find domænet for en funktion af to variable.

Grænse for en funktion af to variable.
Koncept og eksempler på løsninger

Velkommen til den tredje lektion om emnet FNP, hvor al din frygt endelig begyndte at gå i opfyldelse =) Som mange havde mistanke om, strækker begrebet en grænse sig også til en funktion af et vilkårligt antal argumenter, hvilket er det, vi skal finde ud af i dag. Der er dog nogle optimistiske nyheder. Den består i, at grænsen til en vis grad er abstrakt, og de tilsvarende opgaver er yderst sjældne i praksis. I denne henseende vil vores opmærksomhed være fokuseret på grænserne for en funktion af to variable eller, som vi oftere skriver det: .

Mange ideer, principper og metoder ligner teori og praksis om "almindelige" grænser, hvilket betyder, at dette øjeblik du må kunne finde grænser og vigtigst af alt FORSTÅ, hvad det er grænse for en funktion af en variabel. Og da skæbnen bragte dig til denne side, så forstår og ved du højst sandsynligt meget. Og hvis ikke, er det okay, alle hullerne kan virkelig udfyldes i løbet af få timer og endda minutter.

Begivenhederne i denne lektion finder sted i vores tredimensionel verden, og derfor ville det simpelthen være en kæmpe udeladelse ikke at tage aktiv del i dem. Lad os først bygge en velkendt Kartesisk koordinatsystem i rummet. Lad os rejse os og gå lidt rundt i rummet... ...gulvet du går på er et fly. Lad os sætte aksen et sted... ja, for eksempel i et hvilket som helst hjørne, så den ikke kommer i vejen. Store. Kig nu op og forestil dig, at tæppet hænger der, spredt ud. Det her overflade, givet af funktionen. Vores bevægelse på gulvet efterligner, som det er let at forstå, en ændring i uafhængige variable, og vi kan udelukkende bevæge os under tæppet, dvs. V definitionsdomæne af en funktion af to variable. Men det sjove er lige begyndt. En lille kakerlak kravler på tæppet lige over næsetippen, og hvor end du går, så gør den det også. Lad os kalde ham Freddy. Dens bevægelse simulerer en ændring i de tilsvarende funktionsværdier (bortset fra de tilfælde, hvor overfladen eller dens fragmenter er parallelle med planet, og højden ikke ændres). Kære læser ved navn Freddie, bliv ikke fornærmet, dette er nødvendigt for videnskaben.

Lad os tage en syl i vores hænder og gennembore tæppet på et vilkårligt punkt, hvis højde vi vil angive med , hvorefter vi stikker værktøjet ind i gulvet strengt under hullet - dette vil være punktet. Lad os nu begynde uendeligt tæt på nærme sig et givet punkt , og vi har ret til at nærme os ad ENHVER bane (hvoraf hvert punkt selvfølgelig er inkluderet i definitionsdomænet). Hvis i ALLE tilfælde vil Freddy være det uendeligt tæt på kravle til punkteringen til en højde og PRÆCIS DENNE HØJDE, så har funktionen en grænse ved punktet kl. :

Hvis det gennemborede punkt under de angivne forhold er placeret på kanten af ​​tæppet, vil grænsen stadig eksistere - det er vigtigt, at i vilkårligt lille kvarter spidserne af sylen var i det mindste nogle punkter fra funktionens definitionsdomæne. Desuden, som det er tilfældet med grænse for en funktion af en variabel, betyder ikke noget, uanset om funktionen er defineret ved et punkt eller ej. Det vil sige, at vores punktering kan forsegles med tyggegummi (Tænk det funktionen af ​​to variable er kontinuert) og dette vil ikke påvirke situationen - vi husker, at selve essensen af ​​grænsen indebærer uendelig tæt tilnærmelse, og ikke en "præcis tilgang" til et punkt.

Et skyfrit liv bliver dog overskygget af, at grænsen i modsætning til sin lillebror langt oftere ikke eksisterer. Dette skyldes det faktum, at der normalt er mange stier til et bestemt punkt på flyet, og hver af dem skal føre Freddy strengt til punkteringen (valgfrit "forseglet med tyggegummi") og strengt til højden. Og der er mere end nok bizarre overflader med lige så bizarre diskontinuiteter, hvilket fører til overtrædelse af denne strenge betingelse på nogle punkter.

Lad os organisere enkleste eksempel– tag en kniv i hænderne og skær tæppet til, så den gennemborede spids ligger på skærelinjen. Bemærk, at grænsen stadig eksisterer, det eneste er, at vi har mistet retten til at træde ind i punkter under skærelinjen, da dette område "faldt ud" af funktionsdomæne. Lad os nu forsigtigt løfte den venstre del af tæppet langs aksen, og tværtimod flytte den højre del ned eller endda lade den være på plads. Hvad ændrede sig? Og følgende har fundamentalt ændret sig: Hvis vi nu nærmer os et punkt til venstre, så vil Freddy være i en højere højde, end hvis vi nærmede os et givet punkt til højre. Så der er ingen grænse.

Og selvfølgelig vidunderlige grænser Hvor ville vi være uden dem? Lad os se på et eksempel, der er lærerigt i enhver forstand:

Eksempel 11

Vi bruger den smerteligt velkendte trigonometriske formel, hvor vi organiserer ved hjælp af en standard kunstig teknik første bemærkelsesværdige grænser :

Lad os gå videre til polære koordinater:
Hvis så

Det ser ud til, at løsningen er på vej mod et naturligt resultat, og intet forudsiger problemer, men til sidst er der en stor risiko for at lave en alvorlig fejl, hvis karakter jeg allerede har antydet lidt i eksempel 3 og beskrevet i detaljer efter eksempel 6. Først slutningen, så kommentaren:

Lad os finde ud af, hvorfor det ville være dårligt at skrive "uendeligt" eller "plus uendeligt." Lad os se på nævneren: siden , har den polære radius tendens til uendelig lille positiv værdi:. Desuden. Således afhænger nævnerens fortegn og hele grænsen kun af cosinus:
, hvis den polære vinkel (2. og 3. koordinatkvarter: );
, hvis den polære vinkel (1. og 4. koordinatkvarter: ).

Geometrisk betyder det, at hvis man nærmer sig oprindelsen fra venstre, så er overfladen defineret af funktionen , strækker sig ned til det uendelige:

FLERE VARIABERS FUNKTIONER

1. GRUNDKONCEPT

Lad: z - en variabel værdi med en række ændringer R; R - tallinje; D - område på koordinatplan R2.

Enhver mapping D->R kaldes en funktion af to variable med domæne D og skrevet z = f(x;y).

Med andre ord:

Hvis hvert par (x; y) af to uafhængige variable fra domænet D ifølge en eller anden regel er forbundet med en specifik værdi z fra R, så kaldes variablen z en funktion af to uafhængige variable x og y med domænet af definition D og er skrevet

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Eksempel 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Definitionsdomænet er en del af planet, der ligger inde i en cirkel med radius r = 3, med centrum i origo, se figur.

Eksempel 3. Find og tegn en funktions domæne

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. GEOMETRISK FORTOLKNING AF FUNKTIONEN AF TO

VARIABLER

2.1.Graf af en funktion af to variable

Lad os betragte et rektangulært koordinatsystem i rummet og et område D på xOy-planet. I hvert punkt M(x;y) fra dette område gendanner vi en vinkelret på xOy-planet og plotter værdien z = f(x;y) på den. Geometrisk placering af de opnåede punkter

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Disse er cirkler centreret ved origo, radius R = C1/2 og ligning

x2 + y2 = R2, se figur.

Niveaulinjer giver os mulighed for at repræsentere overfladen under overvejelse, hvilket giver koncentriske cirkler, når de er sektioneret af planer z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> og find .

Løsning. Lad os bruge sektionsmetoden.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– i flyet – en parabel.

– i flyet – parabel.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – cirkel.

Den nødvendige overflade er en omdrejningsparaboloid.

Afstand mellem to vilkårlige punkter og (Euklidisk) rum kaldes et tal

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> kaldes åben cirkel radius centreret i punkt r.

En åben cirkel med radius ε med centrum i punktet A kaldes - ε - omgivelser punkt A.

3 opgave

Find og afbild grafisk definitionsdomænet for funktionen:

Tegn funktionsniveaulinjer:

3. GRÆNSE FOR EN FUNKTION PÅ TO VARIABLER

Basale koncepter matematisk analyse, indført for en funktion af en variabel, udvides til funktioner af flere variable.

Definition:

Et konstant tal A kaldes grænsen for en funktion af to variable z = f(x;y) for x -> x0, y -> y0, hvis for nogen

ε >0 er der δ >0, således at |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Dette faktum er angivet som følger:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. For en funktion af to variable, tendensen til et grænsepunkt på planet kan ske iflg uendeligt antal retninger (og ikke nødvendigvis i en ret linje), og derfor er kravet om eksistensen af ​​en grænse for en funktion af to (eller flere) variable "strammere" sammenlignet med en funktion af en variabel.

Eksempel 1. Find .

Løsning. Lad ønsket om at nå det begrænsende punkt http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> afhænger af.

Eksempel 2. Find .

Løsning. For enhver ret linje er grænsen den samme:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Så

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (resten er analogt).

Definition. Nummeret ringes op begrænse fungerer for og , hvis for sådan, at ulighederne og indebærer uligheden . Dette faktum er kort skrevet som følger:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

hvor er grænsepunktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> med definitionsdomænet og lad – grænsepunktet for sættet, det vil sige det punkt, som argumenterne tenderer til x Og på.

Definition 1. De siger funktionen er kontinuerlig på et punkt, hvis:

1) ;

2) , dvs. .

Lad os formulere definitionen af ​​kontinuitet i en tilsvarende form..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> er kontinuerlig på et tidspunkt, hvor ligestillingen holder

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> lad os give en vilkårlig stigning. Funktionen vil modtage en delvis stigning pr x

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> er en funktion af én variabel. Tilsvarende

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> kaldes kontinuert i et punkt over en variabel (over en variabel) hvis

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Sætning.Hvis funktionener defineret i et bestemt område af et punkt og er kontinuert på dette punkt, så er det kontinuert på dette punkt i hver af variablerne.

Det omvendte udsagn er ikke sandt.

EKSEMPEL Lad os bevise, at funktionen

kontinuerlig på punktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > på et punkt svarende til stigningen http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, hvilket betyder at den er kontinuert i et punkt i variablen.

På samme måde kan man bevise kontinuitet på et punkt med hensyn til en variabel.

Lad os vise, at der ikke er nogen grænse. Lad et punkt nærme sig et punkt langs en lige linje, der går gennem punktet. Så får vi

.

Når vi således nærmer os punktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20"> opnår vi forskellige grænseværdier. Det følger heraf, at grænsen for denne funktionen eksisterer ikke på punktet, hvilket betyder funktionen http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Andre betegnelser

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Andre betegnelser

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Løsning. Vi har:

,

Eksempel 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Eksempel 3. Find partielle afledte af en funktion

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Eksempel 4. Find partielle afledte af en funktion

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Første ordens differentialer af en funktion af to variable

De partielle differentialer af funktionen z = f(x, y) med hensyn til variablerne x og y bestemmes henholdsvis af formlerne x(x;y) og f"y(x;y) eksisterer i punktet ( x0;y0) og i nogle af dets nabolag og er kontinuerte på dette tidspunkt, så etableres der analogt med en funktion af en variabel en formel for den fuldstændige forøgelse af en funktion af to variable

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

hvor http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Med andre ord er funktionen z = f(x, y) differentierbar i punktet (x, y), hvis dens stigning Δz er ækvivalent med funktionen:

Udtryk

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Under hensyntagen til det faktum, at Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> er differentierbar på punktet, så er den kontinuerlig på dette tidspunkt.

Det omvendte udsagn er falsk, dvs. kontinuitet er kun en nødvendig, men ikke en tilstrækkelig betingelse for differentiabiliteten af ​​en funktion. Lad os vise det.

EKSEMPEL Lad os finde de partielle afledninger af funktionen http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

De resulterende formler mister deres betydning på punktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> har ingen partielle afledninger på punktet. Faktisk, . Denne funktion af én variabel, som det er kendt, har ikke en afledet på det punkt http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> gør eksisterer ikke på punktet. Tilsvarende er der ingen partiel afledt, og funktionen , er åbenbart kontinuerlig på punktet .

Så vi har vist, at en kontinuerlig funktion muligvis ikke har partielle afledte. Det er tilbage at fastslå sammenhængen mellem differentiabilitet og eksistensen af ​​partielle derivater.

5.4. Forholdet mellem differentiabilitet og eksistensen af ​​partielle derivater.

Sætning 1. En nødvendig betingelse for differentiabilitet.

Hvis funktionen z = f(x, y) er differentierbar i punktet M(x, y), så har den partielle afledte med hensyn til hver variabel og i punktet M.

Den omvendte sætning er ikke sand, dvs. eksistensen af ​​partielle afledte er nødvendig, men ikke en tilstrækkelig betingelse for differentiabiliteten af ​​en funktion.

Sætning 2. Tilstrækkelig stand differentierbarhed. Hvis funktionen z = f(x, y) har kontinuerte partielle afledte ved punktet , så er den differentierbar i punktet (og dens samlede differential på dette punkt er udtrykt med formlen http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Eksempel 2. Beregn 3.021,97

3 opgave

Beregn cirka ved hjælp af differential:

5.6. Regler for differentiering af komplekse og implicitte funktioner. Fuld afledt.

Case 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Funktionerne u og v er kontinuerte funktioner af argumenterne x, y.

Funktionen z er således en kompleks funktion af argumenterne x og y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Lad os antage, at funktionerne f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) har kontinuerte partielle afledte med hensyn til alle deres argumenter.

Lad os indstille opgaven til at beregne http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Lad os give argumentet x en stigning Δx, der fikserer værdien af ​​argumentet y. Så funktioner af to variable u= φ(x, y) og

v= φ(x, y) vil modtage partielle stigninger Δxu og Δxv. Som følge heraf vil z=f(u, v) modtage det fulde tilvækst defineret i afsnit 5.2 (førsteordens differenser af en funktion af to variable):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Hvis xu→ 0, så Δxu → 0 og Δxv → 0 (på grund af kontinuiteten af ​​funktionerne u og v). Når vi passerer til grænsen ved Δx→ 0, får vi:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

EKSEMPEL

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Ved at bruge formel (*) får vi:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

For at opnå det endelige resultat i de sidste to formler, i stedet for u og v, er det nødvendigt at erstatte henholdsvis еx+y² og x2+y.

Tilfælde 2.

Funktionerne x og y er kontinuerte funktioner.

Således afhænger funktionen z=f(x, y) gennem x og y af én uafhængig variabel t, dvs. lad os antage, at x og y ikke er uafhængige variable, men funktioner af den uafhængige variabel t, og definere den afledte http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Lad os dividere begge sider af denne lighed med Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Tilfælde 3.

Lad os nu antage, at rollen for den uafhængige variabel t spilles af variablen x, det vil sige, at funktionen z = f(x, y) afhænger af den uafhængige variabel x både direkte og gennem variablen y, som er en kontinuerlig funktion af x.

Under hensyntagen til, at http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Afledt x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

At finde partielle derivater

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Den gennemprøvede regel for differentiering af komplekse funktioner anvendes til at finde den afledede af en implicit funktion.

Afledt af en funktion specificeret implicit.

Lad os antage, at ligningen

definerer y som en implicit funktion af x med afledet

y' = φ'(x)_

Hvis y = φ(x) indsættes i ligningen F(x, y) = 0, skal vi opnå identiteten 0 = 0, da y = φ(x) er en løsning på denne ligning. Vi ser derfor, at konstanten nul kan betragtes som en kompleks funktion af x, der afhænger af x både direkte og gennem y =φ(x).

Den afledte med hensyn til x af denne konstant skal være nul; anvender regel (***), får vi

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Derfor,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> gælder for både den ene og den anden funktion.

5.7. Første ordens total forskel. Invarians af formen af ​​en førsteordens differential

Lad os erstatte udtrykkene med http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> defineret af ligheder (*) (se tilfælde 1 i klausulen 5.6 "Regler for differentiering af komplekse og implicitte funktioner. Total afledt") til den totale differentialformel

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Så har formlen for første ordens samlede differential af en funktion af to variable formen

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Ved at sammenligne den sidste lighed med formlen for den første differentiale af en funktion af to uafhængige variable, kan vi sige, at udtrykket for den komplette førsteordens differentiale af en funktion af flere variable har samme form, som det ville have, hvis u og v var uafhængige variable.

Med andre ord er formen af ​​den første differentiale invariant, det vil sige, at den ikke afhænger af, om variablerne u og v er uafhængige variable eller afhænger af andre variable.

EKSEMPEL

Find førsteordens samlede differential af en kompleks funktion

z=u2v3, u=x2 sin y, v=x3·ey.

Løsning: Ved at bruge formlen for første ordens samlede differential, har vi

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x synd y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Dette udtryk kan omskrives sådan

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Invariansegenskaben for en differential giver os mulighed for at udvide reglen for at finde differentialet for en sum, produkt og kvotient til tilfældet med en funktion af flere variable:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Denne

funktionen vil være homogen af ​​tredje grad for alle reelle x, y og t. Den samme funktion vil være et hvilket som helst homogent polynomium i x og y af tredje grad, dvs. et sådant polynomium i hvert led, hvor summen af ​​eksponenterne xn er lig med tre:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

er homogene funktioner af henholdsvis grader 1, 0 og (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Faktisk,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Hvis vi antager t=1, finder vi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Delvis afledte http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), generelt

De er med andre ord funktioner af variablerne x og y. Derfor kan der igen findes partielle derivater fra dem. Følgelig er der fire andenordens partielle afledninger af en funktion af to variable, da hver af funktionerne og kan differentieres med hensyn til både x og y.

De anden partielle derivater er angivet som følger:

er den afledte af n'te orden; her blev funktionen z først differentieret p gange i forhold til x, og derefter n - p gange i forhold til y.

For en funktion af et vilkårligt antal variable bestemmes partielle afledte af højere ordener på samme måde.

P R Og m e r 1. Beregn andenordens partielle afledninger af en funktion

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Eksempel 2. Beregn og http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Eksempel 3. Beregn hvis

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy og f"yx er definerede og kontinuerte i punktet M(x, y) og i noget af dets naboskab, derefter på dette punkt

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Derfor,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Løsning.

Blandede derivater er lige store.

5.10. Højere ordens differentialer af en funktionnvariabler.

Total forskel d u funktioner af flere variable er igen en funktion af de samme variable, og vi kan bestemme den samlede differential af denne sidste funktion. Således vil vi få en andenordens differential d2u af den oprindelige funktion og, som også vil være en funktion af de samme variable, og dens fuldstændige differential vil føre os til en tredjeordens differential d3u af den oprindelige funktion osv.

Lad os se nærmere på tilfældet med funktionen u=f(x, y) af to variable x og y og antage, at variablerne x og y er uafhængige variable. A-priory

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Ved at beregne d3u på nøjagtig samme måde får vi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Desuden skal denne formel forstås som følger: summen i parentes skal hæves til potensen n ved hjælp af Newtons binomiale formel, hvorefter eksponenterne y og http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> med retning cosinus cos α, cos β (α + β = 90°). Betragt punktet M1(x + Δx; y + Δy) på vektoren. Når du flytter fra punkt M til punkt M1, vil funktionen z = f(x; y) modtage en fuld stigning

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> tendens til nul (se figur).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

hvor http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, og derfor får vi:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> for Δs->0 kaldes produktet

vandfunktion z = f(x; y) i punktet (x; y) i vektorens retning og betegnes

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Altså at kende de partielle afledte af funktionen

z = f(x; y) du kan finde den afledede af denne funktion i en hvilken som helst retning, og hver partiel afledet er et specialtilfælde af den afledede i retning.

EKSEMPEL Find den afledede af en funktion

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Følgelig øges funktionen z = f(x;y) i en given retning.

5. 12 . Gradient

Gradienten af ​​en funktion z = f(x; y) er en vektor, hvis koordinater er de tilsvarende partielle afledte af denne funktion

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

dvs..jpg" width="89" height="33 src=">

ved punkt M(3;4).

Løsning.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">