MainWindow.xaml fil:

Og MainWindow.xaml.cs kodefilen:

Bruke System.Linq; bruker System.Windows; bruker System.Windows.Controls; bruker System.Windows.Media; bruker System.Windows.Shapes; navneområde WpfLinesLevels ( ///

FORelesningsnotater OM MATANALYSE

Funksjoner av flere variabler. Geometrisk representasjon av en funksjon av to variabler. Nivålinjer og overflater. Begrensning og kontinuitet av funksjoner til flere variabler, deres egenskaper. Partielle derivater, deres egenskaper og geometriske betydning.

Definisjon 1.1. Variabel z (med endringsområde Z) kalt funksjon av to uavhengige variabler x,y i overflod M, hvis hvert par ( x,y) fra mange M z fra Z.

Definisjon 1.2. En haug med M, der variablene er spesifisert x,y, kalt domene til funksjonen, og seg selv x,y- henne argumenter.

Betegnelser: z = f(x, y), z = z(x, y).

Eksempler.

Kommentar. Siden et par tall ( x,y) kan betraktes som koordinatene til et bestemt punkt på planet, vil vi deretter bruke begrepet "punkt" for et par argumenter til en funksjon av to variabler, samt for et ordnet sett med tall
, som er argumenter til en funksjon av flere variabler.

Definisjon 1.3. . Variabel z (med endringsområde Z) kalt funksjon av flere uavhengige variabler
i overflod M, hvis hvert sett med tall
fra mange M i henhold til en regel eller lov tildeles én bestemt verdi z fra Z. Begrepene argumenter og domene introduseres på samme måte som for en funksjon av to variabler.

Betegnelser: z = f
,z = z
.

Geometrisk representasjon av en funksjon av to variabler.

Vurder funksjonen

z = f(x, y) , (1.1)

definert på et eller annet område M på O-planet xy. Deretter settet med punkter i tredimensjonalt rom med koordinater ( x, y, z) , hvor , er grafen til en funksjon av to variabler. Siden ligning (1.1) definerer en viss overflate i tredimensjonalt rom, vil det være det geometriske bildet av funksjonen som vurderes.

z = f(x,y)

M y

Kommentar. For en funksjon av tre eller flere variabler vil vi bruke begrepet "overflate inn n-dimensjonalt rom», selv om det er umulig å skildre en slik overflate.

Nivålinjer og overflater.

For en funksjon av to variabler gitt av ligning (1.1), kan vi vurdere et sett med punkter ( x,y) O fly xy, for hvilket z får samme konstante verdi, altså z= konst. Disse punktene danner en linje på planet kalt nivålinje.

Eksempel.

Finn nivålinjene for overflaten z = 4 – x² - y². Ligningene deres ser ut som x² + y² = 4 – c (c=const) – likninger av konsentriske sirkler med et sentrum i origo og med radier
. For eksempel når Med=0 får vi en sirkel x² + y² = 4.

For en funksjon av tre variabler u = u (x, y, z) ligningen u (x, y, z) = c definerer en overflate i tredimensjonalt rom, som kalles jevn overflate.

Eksempel.

For funksjon u = 3x + 5y – 7z–12 plane flater vil være en familie av parallelle plan gitt av ligningene

3x + 5y – 7z –12 + Med = 0.

Begrensning og kontinuitet for en funksjon av flere variabler.

La oss introdusere konseptet δ-nabolag poeng M 0 (X 0 , y 0 ) på O-planet xy som en sirkel med radius δ med sentrum i et gitt punkt. På samme måte kan vi definere et δ-nabolag i tredimensjonalt rom som en kule med radius δ med sentrum i punktet M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Til n-dimensjonalt rom vil vi kalle δ-nabolaget til et punkt M 0 sett med poeng M med koordinater
, som tilfredsstiller betingelsen

Hvor
- punktkoordinater M 0 . Noen ganger kalles dette settet en "ball" i n-dimensjonalt rom.

Definisjon 1.4. Tallet A kalles grense funksjoner til flere variabler f
på punktet M 0 hvis

slik at | f(M) – EN| < ε для любой точки M fra δ-nabolaget M 0 .

Betegnelser:
.

Det må tas i betraktning at i dette tilfellet punktet M kan nærme seg M 0, relativt sett, langs en hvilken som helst bane inne i δ-området til punktet M 0 . Derfor bør man skille grensen for en funksjon av flere variabler i generell forstand fra den såkalte gjentatte grenser oppnådd ved påfølgende passasjer til grensen for hvert argument separat.

Eksempler.

Kommentar. Det kan bevises at fra eksistensen av en grense på et gitt punkt i vanlig forstand og eksistensen på dette punktet av grenser for individuelle argumenter, følger eksistensen og likheten av gjentatte grenser. Det motsatte utsagnet er ikke sant.

Definisjon 1.5. Funksjon f
kalt kontinuerlige på punktet M 0
, Hvis
(1.2)

Hvis vi introduserer notasjonen

Den betingelsen (1.2) kan skrives om i skjemaet

(1.3)

Definisjon 1.6. Indre punkt M 0 funksjonsdomene z = f (M) kalt bruddpunkt funksjon hvis betingelsene (1.2), (1.3) ikke er oppfylt på dette tidspunktet.

Kommentar. Mange diskontinuitetspunkter kan dannes på et fly eller i rommet linjer eller bruddflate.

∙ går gjennom ett punkt på et plan parallelt med en linje parallelt med det planet.

3.4 Hovedplanlinjer

For å løse mange problemer beskrivende geometri bruk linjer med bestemt posisjon - nivålinjer.

Nivålinjer er linjer på et plan parallelt med PP. En linje parallelt med den horisontale PP er horisontal, Frontal er frontal, Profil PP er en profillinje.

Siden nivålinjene er parallelle med projeksjonsplanene deres, vil projeksjonene på andre PP være parallelle med koordinataksene. For eksempel er frontprojeksjonen av horisontalen parallell med x-aksen 12.

Eksempler på å konstruere nivålinjer: ∙ Horisontal h (fig. 3.13);

h 11 1

Ris. 3.13 Horisontalt på et plan

Hvis planet er definert av spor, vil nivålinjene h og f være parallelle med sporene på deres projeksjonsplan: horisontale til horisontale spor, frontale til frontale spor, etc. (Fig. 3.14). I hovedsak er plansporet en nivålinje uendelig nær projeksjonsplanet.

Ris. 3.14 Nivålinjer i et plan definert av spor

3.5 Pek på et fly

Et punkt ligger på et plan hvis det tilhører en linje på dette planet. For å konstruere et punkt på et plan, er det derfor nødvendig å først konstruere en hjelpelinje på planet slik at den passerer gjennom en gitt projeksjon av det ønskede punktet og deretter finne et punkt på den konstruerte hjelpelinjen langs forbindelseslinjen .

Eksempler på å konstruere et punkt på et plan (fig. 3.15):

Ris. 3.15 Punkt på et fly

Konstruere et punkt på et plan definert av spor.

Hvis planet er spesifisert med spor, brukes nivålinjer som linjer som tilhører planet, ved hjelp av hvilke tilhørigheten til et punkt til planet kontrolleres, som er enkle å konstruere ved å trekke parallelt med de gitte sporene (fig. 3.16). Det bør huskes at projeksjonen av et punkt som tilhører sporet til planet på et annet projeksjonsplan vil være på aksen som skiller projeksjonsplanene (se (.)1).

Ris. 3.16 Bruke nivålinjer for å konstruere glass på et plan definert av spor

Emne 4 Gjensidig posisjon geometriske former: rett linje og plan, to plan.

En rett linje og et plan, samt to plan, kan være:

∙ parallelle med hverandre

∙ krysse,

∙ vinkelrett på hverandre.

4.1 Parallelle figurer

4.1.1 Rett linje parallelt med planet

Eksempel 1 (Fig. 4.1). Det er et plan Σ(a Ç b).

Gitt (.)A og frontal projeksjon 2 rett. Tegn en linje gjennom (.)A parallelt med planet Σ

En 2l 2

Ris. 4.1 Konstruksjon av en rett linje parallelt med planet

Eksempel 2. Gjennom (.)A tegne en horisontal linje parallelt med planet

Σ(ABC) (fig. 4.2).

Ris. 4.2 Horisontalt parallelt med planet

4.1.2 Gjensidig parallelle plan

To plan er innbyrdes parallelle dersom to kryssende linjer i ett plan er parallelle med to kryssende linjer i et annet plan (fig. 4.3).

Ris. 4.3 Innbyrdes parallelle plan

Byggeteknikk:

1. På planet Г, ved hjelp av en rett linje, velges et vilkårlig hjelpepunkt1.

2. Gjennom (.) 1 tegner du to vilkårlige rette linjer l og k slik at de skjærer en annen rett linje, og definerer planet - linje b.

3. Gjennom et gitt punkt Og tegn to linjer m og n, parallelt med henholdsvis hjelpelinjene l og k. Disse to

de kryssende linjene l og k vil definere det ønskede planet Q, parallelt med det gitte planet Г.

Ris. 4.6 Parallelle plan

Byggeteknikk:

1. På frontal PP gjennom frontalprojeksjonen Og 2 gitt punkt A, tegnes en rett linje A 2 C 2 ||m 2 ≡ n 2. Denne rette linjen vil være frontsporet til det ønskede planet D. Planet parallelt med det frontale projiserende planet må være selve frontalprojiseringsplanet!

2. To punkter er tilfeldig valgt på en horisontal PP På 1 og

C1.

3. Frontale projeksjoner I 2 og C 2 søkes punktene B og C langs kommunikasjonslinjer på det konstruerte sporet til det ønskede planet D.

NB! Til tross for at punktene B og C ble valgt vilkårlig på den horisontale PP, vil planet definert av punktene АВС være parallelt med det gitte frontal-projiserte planet fordi på frontal PP er punktene АВС plassert på samme linje parallelt med frontal spor av det gitte planetΣ.

4.2 Skjæringspunktet mellom en linje og et plan. Krysspunkt

La oss vurdere spesielt tilfelle, når det er nødvendig å finne (.)K skjæringspunkter for en linje generell stilling l og horisontalt prosjekterende planΣ.

Eksempel 4.9: Konstruer skjæringspunktet mellom den rette linjen l med det horisontale projeksjonsplanet Σ (fig. 4.7):

Ris. 4.7 Skjæring av en rett linje med et prosjekterende plan

Konstruksjonen er veldig enkel. Siden det projiserte planet Σ har en kollektiv egenskap, skjæringspunktet med linjen

er plassert som skjæringspunktet mellom den horisontale kurven Σ 1 av planet og den horisontale projeksjonen av 1-linjen. Frontprojeksjonen av skjæringspunktet finnes langs kommunikasjonslinjen.

For å konstruere skjæringspunktet mellom en vilkårlig rett linje med et generelt plan, bør hjelpeplan brukes som et hjelpeelement.

Eksempel 4.10: Konstruer skjæringspunktet mellom linje m og planet

(a Ç b) (Fig. 4.8).

l1 11

Ris. 4.8 Skjæringspunkter mellom en linje og et plan

For konstruksjon ble det brukt et hjelpeplan Σ som gikk gjennom linjen m.

Skjæringslinjen l av planene Σ Ç ligger i samme plan med den rette linjen m, siden hjelpeplanet ble spesielt trukket gjennom den rette linjen. Følgelig, ved å være i samme plan, vil rette linjer l og m, hvis de skjærer hverandre, gi et punkt som vil være det ønskede skjæringspunktet for den gitte rette linjen m og planet

Hvis linjene l og m viser seg å være parallelle, vil dette bety at den gitte linjen m og planet er parallelle.

NB! Skjæringslinjen tilhører horisontalplanet til nivået Σ, derfor er den horisontal.

Enkelheten med å konstruere skjæringslinjen mellom generelle plan med spesielle plan gir hendig verktøy konstruere skjæringslinjen for to plan i generell posisjon.

Ris. 4.10 Hjelpekappeplan

Et slikt verktøy er hjelpeskjæreplan av en bestemt posisjon, for eksempel nivåplan (fig. 4.10).

For å konstruere skjæringslinjen for planene Φ og Θ ble to horisontale plan Г" og Г"" brukt. Skjæringspunktene M og N

par av linjer a"

S "X lX m

Ris. 4.11 Konstruksjon av skjæringslinjen mellom fly

For konstruksjon ble horisontalplanene Σ" og Σ"" brukt.

Eksempel 4.7: Konstruer skjæringslinjen til planet Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

Ris. 4.12 Konstruksjon av skjæringslinjen mellom fly

For konstruksjon benyttes hjelpeplan "og" som på fronten PP passerer langs frontprojeksjonene av parallelle rette linjer l og m, og definerer planet T. Hjelpeplanet "skjærer det gitte planet Φ (ABC) langs linje 12. Den horisontale projeksjonen av denne linjen skjærer den horisontale projeksjonen av linjen ved punkt E 1. Dette punktet søkes på frontal PP langs kommunikasjonslinjen. Punkt E er felles for planet Φ(ABC) og Τ(l ||m). Dermed er dette punktet et av punktene på skjæringslinjen mellom planene Φ(ABC) og Τ(l ||m). Punktet F for skjæringspunktet mellom planet "" og linjen m ble også funnet. Punkt F er også punktet for skjæringslinjen mellom planene Φ(ABC) og Τ(l ||m). Koble til de oppnådde punktene E og

h"1 M 1 h 1

Ris. 4.13 Konstruksjon av skjæringslinjen mellom fly

Punktene til skjæringslinjen er (.)M skjæringspunkt mellom horisontal tracesh og h" av gitte plan og (.)N skjæringspunkt for frontal tracesh og f" . Å koble disse punktene på de tilsvarende projeksjonsplanene gir projeksjonen av skjæringslinjen til de gitte planene.

Så langt har vi vurdert det enkleste funksjonell modell, hvori funksjon avhenger av det eneste argument. Men når vi studerer ulike fenomener i omverdenen, møter vi ofte samtidige endringer i mer enn to mengder, og mange prosesser kan effektivt formaliseres funksjon av flere variabler, Hvor - argumenter eller uavhengige variabler. La oss begynne å utvikle emnet med det vanligste i praksis. funksjoner til to variabler .

Funksjon av to variabler kalt lov, i henhold til hvilket hvert par av verdier uavhengige variabler(argumenter) fra definisjonsdomene tilsvarer verdien av den avhengige variabelen (funksjonen).

Denne funksjonen angitt som følger:

Enten eller den andre standard brev:

Siden det ordnede paret med verdier "x" og "y" bestemmer punkt på flyet, da skrives funksjonen også gjennom , hvor er et punkt på planet med koordinater . Denne notasjonen er mye brukt i noen praktiske oppgaver.

Geometrisk betydning av en funksjon av to variabler veldig enkelt. Hvis en funksjon av en variabel tilsvarer en bestemt linje på et plan (for eksempel den kjente skoleparablen), er grafen til en funksjon av to variabler plassert i tredimensjonalt rom. I praksis må vi oftest forholde oss til flate, men noen ganger kan grafen til en funksjon for eksempel være en(e) romlig linje(r) eller til og med et enkelt punkt.

Vi er godt kjent med det elementære eksemplet på en flate fra kurset analytisk geometri- Dette flyet. Forutsatt at , kan ligningen lett skrives om som funksjonell form:

Den viktigste egenskapen til en funksjon av 2 variabler er den allerede oppgitte domene.

Domene til en funksjon av to variabler kalt et sett alle par som verdien eksisterer for.

Grafisk er definisjonsdomenet hele flyet eller deler av det. Dermed domenet for definisjon av funksjonen er hele koordinatplanet - av den grunn at for noen punkt eksisterer verdi.

Men en slik tomgangsordning skjer ikke alltid, selvfølgelig:

Som to variabler?

Med tanke på ulike konsepter funksjoner av flere variabler, er det nyttig å tegne analogier med de tilsvarende konseptene for funksjoner til en variabel. Spesielt når man skal finne ut definisjonsdomene vi ga spesiell oppmerksomhet til de funksjonene som inneholder brøker, røtter jevn grad, logaritmer osv. Her er alt helt likt!

Oppgaven med å finne definisjonsdomenet til en funksjon av to variabler med nesten 100% sannsynlighet vil bli møtt i ditt tematiske arbeid, så jeg vil analysere et anstendig antall eksempler:

Eksempel 1

Finn domenet til en funksjon

Løsning: siden nevneren ikke kan gå til null, da:

Svar: hele koordinatplanet unntatt punkter som tilhører linjen

Ja, ja, det er bedre å skrive svaret i denne stilen. Definisjonsdomenet til en funksjon av to variabler er sjelden betegnet med noe symbol; det brukes mye oftere verbal beskrivelse og/eller tegning.

Hvis etter betingelse nødvendig lage en tegning, så ville det være nødvendig å skildre koordinatplanet og stiplet linje lag en rett linje. Den stiplede linjen indikerer at linjen Ekskludert inn i definisjonsdomenet.

Som vi vil se litt senere, i vanskeligere eksempler kan du ikke klare deg uten en tegning i det hele tatt.

Eksempel 2

Finn domenet til en funksjon

Løsning: det radikale uttrykket må være ikke-negativt:

Svar: halvplan

Grafisk bilde her er det også primitivt: vi tegner et kartesisk koordinatsystem, fast tegne en rett linje og skyggelegg toppen halvplan. Den heltrukne linjen indikerer det faktum at det inkludert inn i definisjonsdomenet.

Merk følgende! Hvis du ikke forstår NOE fra det andre eksemplet, vennligst studer/gjenta leksjonen i detalj Lineære ulikheter– uten ham blir det veldig vanskelig!

Miniatyrbilde for uavhengig avgjørelse:

Eksempel 3

Finn domenet til en funksjon

To linjers løsning og svar på slutten av timen.

La oss fortsette å varme opp:

Eksempel 4

Og avbilde det på tegningen

Løsning: det er lett å forstå at dette er formuleringen av problemet krever utførelse av tegningen (selv om definisjonsdomenet er veldig enkelt). Men først, analytikk: det radikale i uttrykket må være ikke-negativt: og gitt at nevneren ikke kan gå til null, blir ulikheten streng:

Hvordan bestemme området som ulikheten definerer? Jeg anbefaler den samme handlingsalgoritmen som i løsningen lineære ulikheter.

Først tegner vi linje, som er satt tilsvarende likestilling. Ligningen bestemmer sirkel sentrert ved opprinnelsen til en radius som deler koordinatplanet inn i to deler - "innsiden" og "eksteriør" av sirkelen. Siden vi har ulikhet streng, så vil selve sirkelen absolutt ikke være inkludert i definisjonsdomenet og derfor må den tegnes stiplet linje.

La oss nå ta det vilkårlig plan punkt, ikke tilhører sirkel, og erstatte dens koordinater med ulikheten. Den enkleste måten er selvfølgelig å velge opprinnelse:

Mottatt falsk ulikhet, altså, pek tilfredsstiller ikke ulikhet Dessuten er denne ulikheten ikke tilfredsstilt med noe punkt som ligger innenfor sirkelen, og derfor er det ønskede definisjonsdomenet dens ytre del. Definisjonsområdet er tradisjonelt klekket ut:

Hvem som helst kan ta et hvilket som helst punkt som tilhører det skraverte området og sørge for at dets koordinater tilfredsstiller ulikheten. For øvrig gir den motsatte ulikheten sirkel sentrert ved origo, radius .

Svar: ytre del av sirkelen

La oss gå tilbake til den geometriske betydningen av problemet: vi har funnet definisjonsdomenet og skyggelagt det, hva betyr dette? Dette betyr at på hvert punkt i det skraverte området er det en verdi "zet" og grafisk funksjonen er følgende flate:

Den skjematiske tegningen viser tydelig at denne overflaten er plassert stedvis ovenfor flyet (nær og fjern oktanter fra oss), noen steder – under flyet (venstre og høyre oktant i forhold til oss). Overflaten går også gjennom aksene. Men oppførselen til funksjonen som sådan er ikke særlig interessant for oss nå - det som er viktig er det alt dette skjer utelukkende innen definisjonsfeltet. Hvis vi tar et punkt som tilhører sirkelen, vil det ikke være noen overflate der (siden det ikke er noen "zet"), som det runde rommet i midten av bildet viser.

Vennligst forstå dette eksemplet godt, fordi i det jeg i mer detalj forklarte selve essensen av problemet.

Følgende oppgave skal du løse på egen hånd:

Eksempel 5

En kort løsning og tegning på slutten av timen. Generelt, i emnet under vurdering blant 2. ordens linjer den mest populære er sirkelen, men som et alternativ kan de "dytte" inn i problemet ellipse, overdrivelse eller parabel.

La oss gå oppover:

Eksempel 6

Finn domenet til en funksjon

Løsning: det radikale uttrykket må være ikke-negativt: og nevneren kan ikke være lik null: . Dermed er definisjonsdomenet spesifisert av systemet.

Vi behandler den første tilstanden ved å bruke standardordningen som er omtalt i leksjonen. Lineære ulikheter: tegn en rett linje og bestem halvplanet som tilsvarer ulikheten. Fordi ulikhet ikke-streng, da vil også den rette linjen i seg selv være en løsning.

Med den andre tilstanden til systemet er alt også enkelt: ligningen spesifiserer ordinataksen, og siden , bør den ekskluderes fra definisjonsdomenet.

La oss tegne tegningen, og ikke glemme at den heltrukne linjen indikerer at den kommer inn i definisjonsområdet, og den stiplede linjen indikerer at den er ekskludert fra dette området:

Det skal bemerkes at her er vi allerede tvunget lage en tegning. Og denne situasjonen er typisk – i mange oppgaver er en verbal beskrivelse av området vanskelig, og selv om du beskriver det, vil du mest sannsynlig bli dårlig forstått og tvunget til å skildre området.

Svar: domene:

Forresten, et slikt svar uten tegning ser virkelig fuktig ut.

La oss gjenta det igjen geometrisk betydning oppnådd resultat: i det skraverte området er det en graf av funksjonen, som representerer overflate av tredimensjonalt rom. Denne overflaten kan være plassert over/under planet, eller kan krysse planet - i dette tilfellet er alt dette parallelt med oss. Selve faktumet av eksistensen av overflaten er viktig, og det er viktig å finne regionen der den eksisterer riktig.

Eksempel 7

Finn domenet til en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Et omtrentlig eksempel på en siste oppgave på slutten av leksjonen.

Det er ikke uvanlig at tilsynelatende enkle funksjoner produserer en langsiktig løsning:

Eksempel 8

Finn domenet til en funksjon

Løsning: ved hjelp av kvadratforskjellsformel, la oss faktorisere det radikale uttrykket: .

Produktet av to faktorer er ikke-negativt , Når både multiplikatorer er ikke-negative: ELLER Når både ikke-positive: . Dette er en typisk funksjon. Derfor må vi løse to systemer med lineære ulikheter Og KOMBINERE mottatte områder. I en lignende situasjon, i stedet for standardalgoritmen, fungerer metoden for vitenskapelig, eller rettere sagt, praktisk poking mye raskere =)

Vi tegner rette linjer som deler koordinatplanet i 4 "hjørner". Vi tar et punkt som tilhører det øvre "hjørnet", for eksempel et punkt og erstatter dets koordinater med likningene til det første systemet: . De riktige ulikhetene oppnås, noe som betyr at løsningen på systemet er alleøverste "hjørne". Skyggelegging.

Nå tar vi punktet som hører til høyre "hjørne". Det andre systemet gjenstår, der vi erstatter koordinatene til dette punktet: . Den andre ulikheten er derfor ikke sann, og alt høyre "hjørne" er ikke en løsning på systemet.

En lignende historie er med venstre "hjørne", som heller ikke er inkludert i definisjonens omfang.

Og til slutt erstatter vi koordinatene til det eksperimentelle punktet til det nedre "hjørnet" i det andre systemet: . Begge ulikhetene er sanne, noe som betyr at løsningen på systemet er og alt det nedre "hjørnet", som også skal skygges.

I virkeligheten er det selvfølgelig ikke nødvendig å beskrive det så detaljert - alle de kommenterte handlingene utføres enkelt muntlig!

Svar: definisjonsdomenet er Union systemløsninger .

Som du kanskje gjetter, er det usannsynlig at et slikt svar vil fungere uten en tegning, og denne omstendigheten tvinger deg til å plukke opp en linjal og blyant, selv om tilstanden ikke krevde det.

Og dette er din nøtt:

Eksempel 9

Finn domenet til en funksjon

En god elev savner alltid logaritmer:

Eksempel 10

Finn domenet til en funksjon

Løsning: argumentet for logaritmen er strengt tatt positivt, så definisjonsdomenet er gitt av systemet.

Ulikheten indikerer det høyre halvplanet og ekskluderer aksen.

Med den andre betingelsen er situasjonen mer intrikat, men også gjennomsiktig. La oss huske sinusformet. Argumentet er "Igrek", men dette bør ikke forvirre meg - Igrek, så Igrek, Zyu, så Zyu. Hvor er sinus større enn null? Sinus er større enn null, for eksempel på intervallet. Siden funksjonen er periodisk, er det uendelig mange slike intervaller og i sammenslått form vil løsningen på ulikheten skrives slik:
, hvor er et vilkårlig heltall.

Et uendelig antall intervaller kan selvfølgelig ikke avbildes, så vi vil begrense oss til intervallet og dets naboer:

La oss fullføre tegningen, og ikke glemme at i henhold til den første betingelsen er aktivitetsfeltet vårt strengt begrenset til høyre halvplan:

hmm ... det viste seg å være en slags spøkelsestegning ... en god representasjon av høyere matematikk ...

Svar:

Den neste logaritmen er din:

Eksempel 11

Finn domenet til en funksjon

Under løsningen må du bygge parabel, som vil dele flyet i 2 deler - "innsiden" som ligger mellom grenene, og ytre del. Metoden for å finne den nødvendige delen har dukket opp gjentatte ganger i artikkelen Lineære ulikheter og tidligere eksempler i denne leksjonen.

Løsning, tegning og svar på slutten av timen.

De siste nøttene i avsnittet er viet "buer":

Eksempel 12

Finn domenet til en funksjon

Løsning: Arcsine-argumentet må være innenfor følgende grenser:

Så er det to tekniske evner: mer forberedt lesere i analogi med siste eksempler lekse Domene til en funksjon av en variabel de kan "rulle" den doble ulikheten og la "Y" være i midten. For dummies anbefaler jeg å konvertere "lokomotivet" til et tilsvarende system av ulikheter:

Systemet løses som vanlig - vi konstruerer rette linjer og finner de nødvendige halvplanene. Som et resultat:

Vær oppmerksom på at her er grensene inkludert i definisjonsområdet og rette linjer er tegnet som heltrukne linjer. Dette må alltid overvåkes nøye for å unngå en alvorlig feil.

Svar: definisjonsdomenet representerer løsningen til systemet

Eksempel 13

Finn domenet til en funksjon

Prøveløsningen bruker en avansert teknikk - konvertering av doble ulikheter.

I praksis møter vi også noen ganger problemer med å finne definisjonsdomenet funksjoner til tre variabler Definisjonsdomenet til en funksjon av tre variabler kan være Alle tredimensjonalt rom, eller deler av det. I det første tilfellet er funksjonen definert for noen punkter i rommet, i det andre - bare for de punktene som hører til et romlig objekt, oftest - kropp. Det kan være et rektangulært parallellepiped, ellipsoid, "innsiden" parabolsylinder etc. Oppgaven med å finne definisjonsdomenet til en funksjon av tre variabler består vanligvis i å finne denne kroppen og lage en tredimensjonal tegning. Slike eksempler er imidlertid ganske sjeldne. (Jeg fant bare et par stykker), og derfor vil jeg begrense meg til bare denne oversiktsparagrafen.

Nivålinjer

For bedre å forstå dette begrepet, vil vi sammenligne aksen med høyde: jo høyere "Z"-verdi, jo større høyde, jo lavere "Z"-verdi, jo lavere høyde. Høyden kan også være negativ.

En funksjon i sitt definisjonsdomene er en romlig graf; for tydelighet og større klarhet vil vi anta at dette er en triviell overflate. Hva er nivålinjer? Figurativt sett er nivålinjer horisontale "skiver" av overflaten i forskjellige høyder. Disse "skivene" eller, mer korrekt, seksjoner utført med fly, hvoretter de projiseres på flyet .

Definisjon: en funksjonsnivålinje er en linje på planet ved hvert punkt hvor funksjonen opprettholder en konstant verdi: .

Dermed hjelper nivålinjer til å finne ut hvordan en bestemt overflate ser ut – og de hjelper uten å konstruere en tredimensjonal tegning! La oss vurdere spesifikk oppgave:

Eksempel 14

Finn og plott flere nivålinjer i en funksjonsgraf

Løsning: Vi undersøker formen på en gitt overflate ved hjelp av nivålinjer. For enkelhets skyld utvider vi oppføringen "bakover til forsiden":

Åpenbart kan ikke "zet" (høyde) i dette tilfellet ta negative verdier (siden summen av kvadrater er ikke-negativ). Dermed er overflaten plassert i det øvre halvrommet (over planet).

Siden betingelsen ikke sier i hvilke spesifikke høyder nivålinjene må "klippes av", står vi fritt til å velge flere "Z"-verdier etter eget skjønn.

Vi undersøker overflaten i null høyde, for å gjøre dette legger vi verdien i likheten :

Løsningen på denne ligningen er poenget. Det vil si når nivålinjen representerer et punkt.

Vi stiger til en enhetshøyde og "skjærer" overflaten vår flyet (bytt inn i overflateligningen):

Dermed, for høyde er nivålinjen en sirkel sentrert ved et punkt med enhetsradius.

Jeg minner deg på det alle "skiver" projiseres på flyet, og det er derfor jeg skriver ned to, ikke tre, koordinater for poeng!

Nå tar vi for eksempel et fly og "skjærer" overflaten som studeres med det (erstatninginn i overflateligningen):

Dermed, for høydennivålinjen er en sirkel sentrert ved radiuspunktet.

Og la oss bygge en ny nivålinje, si for eksempel :

–sirkel sentrert i et punkt med radius 3.

Nivålinjene, som jeg allerede har understreket, er plassert på flyet, men hver linje er signert - hvilken høyde den tilsvarer:

Det er ikke vanskelig å forstå at andre nivålinjer på overflaten som vurderes også er sirkler, og jo høyere vi går opp (vi øker "Z"-verdien), jo større blir radiusen. Dermed, selve overflaten Det er en endeløs bolle med en eggformet bunn, hvor toppen er plassert på et plan. Denne "skålen", sammen med aksen, "kommer rett ut mot deg" fra LCD-skjermen, det vil si at du ser på bunnen =) Og dette er ikke uten grunn! Bare jeg heller det på veien så dødelig =) =)

Svar: nivålinjene til en gitt overflate er konsentriske sirkler av formen

Merk : når en degenerert sirkel med null radius (punkt) oppnås

Selve konseptet med en nivålinje kommer fra kartografi. For å parafrasere det etablerte matematiske uttrykket, kan vi si det nivålinje er en geografisk plassering av punkter med samme høyde. Tenk på et visst fjell med nivålinjer på 1000, 3000 og 5000 meter:

Figuren viser tydelig at øvre venstre skråning av fjellet er mye brattere enn nedre høyre skråning. Dermed lar nivålinjer deg reflektere terrenget på et "flat" kart. Forresten, her får negative høydeverdier også en veldig spesifikk betydning - tross alt er noen områder av jordens overflate plassert under nullnivået til verdenshavene.

FUNKSJONER TIL FLERE VARIABLER

1. GRUNNLEGGENDE KONSEPT

La: z - en variabelverdi med en rekke endringer R; R - talllinje; D - område på koordinatplanet R2.

Enhver mapping D->R kalles en funksjon av to variabler med domene D og skrevet z = f(x;y).

Med andre ord:

Hvis hvert par (x; y) av to uavhengige variabler fra domenet D, ifølge en eller annen regel, er assosiert med én spesifikk verdi z fra R, kalles variabelen z en funksjon av to uavhengige variabler x og y med domenet av definisjon D og er skrevet

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Eksempel 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Definisjonsdomenet er en del av planet som ligger innenfor en sirkel med radius r = 3, med sentrum i origo, se figur.

Eksempel 3. Finn og tegn domenet til en funksjon

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. GEOMETRISK TOLKNING AV FUNKSJONEN TIL TO

VARIABLER

2.1.Graf av en funksjon av to variabler

La oss se på et rektangulært koordinatsystem i rommet og et område D på xOy-planet. I hvert punkt M(x;y) fra dette området gjenoppretter vi en vinkelrett på xOy-planet og plotter verdien z = f(x;y) på det. Geometrisk plassering av de oppnådde punktene

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Dette er sirkler sentrert ved origo, radius R = C1/2 og ligning

x2 + y2 = R2, se figur.

Nivålinjer lar oss representere overflaten som vurderes, noe som gir konsentriske sirkler når de er seksjonert med plan z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> og finn .

Løsning. La oss bruke seksjonsmetoden.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– i flyet – en parabel.

– i flyet – parabel.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – sirkel.

Den nødvendige overflaten er en revolusjonsparaboloid.

Avstand mellom to vilkårlige punkter og (euklidisk) rom kalles et tall

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> kalles åpen sirkel radius sentrert i punkt r.

En åpen sirkel med radius ε med sentrum i punktet A kalles - ε - omgivelser punkt A.

3 oppgave

Finn og vis grafisk definisjonsdomenet til funksjonen:

Tegn funksjonsnivålinjer:

3. GRENSE FOR EN FUNKSJON PÅ TO VARIABLER

Enkle konsepter matematisk analyse, introdusert for en funksjon av en variabel, utvides til funksjoner av flere variabler.

Definisjon:

Et konstant tall A kalles grensen for en funksjon av to variabler z = f(x;y) for x -> x0, y -> y0, hvis for noen

ε >0 er det δ >0 slik at |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Dette faktum er indikert som følger:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. For en funksjon av to variabler, tendensen til et grensepunkt på planet kan skje iht uendelig antall retninger (og ikke nødvendigvis i en rett linje), og derfor er kravet til eksistensen av en grense for en funksjon av to (eller flere) variabler "strammere" sammenlignet med en funksjon av en variabel.

Eksempel 1. Finn .

Løsning. La ønsket om å nå grensepunktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Deretter

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> avhenger av.

Eksempel 2. Finn .

Løsning. For enhver rett linje er grensen den samme:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Deretter

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (resten er analogt).

Definisjon. Nummeret ringes opp grense funksjoner for og , hvis for slik at ulikhetene og innebærer ulikheten . Dette faktum er kort skrevet som følger:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

hvor er grensepunktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> med definisjonsdomenet og la – settets grensepunkt, det vil si punktet som argumentene går mot X Og på.

Definisjon 1. De sier funksjonen er kontinuerlig på et punkt hvis:

1) ;

2) , dvs. .

La oss formulere definisjonen av kontinuitet i en ekvivalent form..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> er kontinuerlig på et punkt hvis likheten holder

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> la oss gi en vilkårlig økning. Funksjonen vil motta en delvis økning innen X

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> er en funksjon av én variabel. Tilsvarende

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> kalles kontinuerlig i et punkt over en variabel (over en variabel) hvis

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Teorem.Hvis funksjonener definert i et bestemt nabolag til et punkt og er kontinuerlig på dette punktet, så er det kontinuerlig på dette punktet i hver av variablene.

Det motsatte utsagnet er ikke sant.

EKSEMPEL La oss bevise at funksjonen

kontinuerlig på punktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > på et punkt som tilsvarer økningen http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, som betyr at den er kontinuerlig i et punkt i variabelen.

På samme måte kan man bevise kontinuitet på et punkt med hensyn til en variabel.

La oss vise at det ikke er noen grense. La et punkt nærme seg et punkt langs en rett linje som går gjennom punktet. Så får vi

.

Når vi nærmer oss punktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20"> får vi forskjellige grenseverdier. Det følger at grensen for denne funksjonen eksisterer ikke på punktet, noe som betyr at funksjonen http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Andre betegnelser

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Andre betegnelser

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Løsning. Vi har:

,

Eksempel 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Eksempel 3. Finn partielle deriverte av en funksjon

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Eksempel 4. Finn partielle deriverte av en funksjon

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Førsteordens differensialer av en funksjon av to variabler

De partielle differensialene til funksjonen z = f(x, y) med hensyn til variablene x og y bestemmes henholdsvis av formlene x(x;y) og f"y(x;y) eksisterer i punktet ( x0;y0) og i noen av dets nabolag og er kontinuerlige på dette punktet, så, analogt med en funksjon av en variabel, etableres en formel for den fullstendige økningen av en funksjon av to variabler

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

hvor http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Med andre ord, funksjonen z = f(x, y) er differensierbar i punktet (x, y) hvis økningen Δz er ekvivalent med funksjonen:

Uttrykk

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Ta i betraktning det faktum at Δx = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> er differensierbar på punktet, så er den kontinuerlig på dette punktet.

Det omvendte utsagnet er usant, dvs. kontinuitet er bare en nødvendig, men ikke en tilstrekkelig betingelse for differensierbarheten til en funksjon. La oss vise det.

EKSEMPEL La oss finne de partielle derivatene av funksjonen http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

De resulterende formlene mister sin betydning på punktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> har ingen partielle derivater på punktet. Faktisk, . Denne funksjonen til én variabel, som kjent, har ikke en derivert på punktet http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> gjør eksisterer ikke på punktet. På samme måte er det ingen partiell derivert, og funksjonen , er åpenbart kontinuerlig på punktet .

Så vi har vist at en kontinuerlig funksjon kanskje ikke har partielle deriverte. Det gjenstår å etablere sammenhengen mellom differensierbarhet og eksistensen av partielle derivater.

5.4. Forholdet mellom differensierbarhet og eksistensen av partielle derivater.

Teorem 1. En nødvendig betingelse for differensiering.

Hvis funksjonen z = f(x, y) er differensierbar i punktet M(x, y), så har den partielle deriverte med hensyn til hver variabel og i punktet M.

Det omvendte teoremet er ikke sant, dvs. eksistensen av partielle derivater er nødvendig, men ikke en tilstrekkelig betingelse for differensierbarheten til en funksjon.

Teorem 2. Tilstrekkelig tilstand differensierbarhet. Hvis funksjonen z = f(x, y) har kontinuerlige partielle deriverte ved punktet , er den differensierbar ved punktet (og dens totale differensial på dette punktet uttrykkes med formelen http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Eksempel 2. Beregn 3 021,97

3 oppgave

Beregn omtrent ved å bruke differensial:

5.6. Regler for å skille komplekse og implisitte funksjoner. Fullt derivat.

Sak 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Funksjonene u og v er kontinuerlige funksjoner av argumentene x, y.

Dermed er funksjonen z en kompleks funksjon av argumentene x og y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

La oss anta at funksjonene f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) har kontinuerlige partielle deriverte med hensyn til alle sine argumenter.

La oss sette oppgaven til å beregne http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

La oss gi argumentet x en økning Δx, og fikser verdien av argumentet y. Da funksjoner av to variable u= φ(x, y) og

v= φ(x, y) vil motta partielle inkrementer Δxu og Δxv. Følgelig vil z=f(u, v) motta hele inkrementet definert i avsnitt 5.2 (førsteordens differensialer av en funksjon av to variabler):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Hvis xu→ 0, så Δxu → 0 og Δxv → 0 (på grunn av kontinuiteten til funksjonene u og v). Går vi til grensen ved Δx→ 0, får vi:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

EKSEMPEL

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Ved å bruke formel (*) får vi:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

For å oppnå det endelige resultatet, i de to siste formlene, i stedet for u og v, er det nødvendig å erstatte henholdsvis еx+y² og x2+y.

Tilfelle 2.

Funksjonene x og y er kontinuerlige funksjoner.

Dermed avhenger funksjonen z=f(x, y) gjennom x og y av én uavhengig variabel t, dvs. la oss anta at x og y ikke er uavhengige variabler, men funksjoner til den uavhengige variabelen t, og definerer den deriverte http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

La oss dele begge sider av denne likheten med Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Tilfelle 3.

La oss nå anta at rollen til den uavhengige variabelen t spilles av variabelen x, det vil si at funksjonen z = f(x, y) avhenger av den uavhengige variabelen x både direkte og gjennom variabelen y, som er en kontinuerlig funksjon av x.

Tar i betraktning at http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Derivat x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Finne partielle derivater

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Den velprøvde regelen for å differensiere komplekse funksjoner brukes for å finne den deriverte av en implisitt funksjon.

Derivert av en funksjon spesifisert implisitt.

La oss anta at ligningen

definerer y som en implisitt funksjon av x som har en derivert

y' = φ'(x)_

Ved å erstatte y = φ(x) i ligningen F(x, y) = 0, må vi få identiteten 0 = 0, siden y = φ(x) er en løsning på denne ligningen. Vi ser derfor at konstanten null kan betraktes som kompleks funksjon på x, som avhenger av x både direkte og gjennom y =φ(x).

Den deriverte med hensyn til x av denne konstanten må være null; å bruke regel (***), får vi

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Derfor,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> gjelder både for den ene og den andre funksjonen.

5.7. Første ordens total differensial. Invarians av formen til en førsteordens differensial

La oss erstatte uttrykkene med http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> definert av likheter (*) (se tilfelle 1 i klausulen 5.6 "Regler for differensiering av komplekse og implisitte funksjoner. Total derivert") til totaldifferensialformelen

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Da har formelen for førsteordens totale differensial av en funksjon av to variabler formen

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Ved å sammenligne den siste likheten med formelen for den første differensialen til en funksjon av to uavhengige variabler, kan vi si at uttrykket for den komplette førsteordens differensialen til en funksjon av flere variabler har samme form som det ville ha hvis u og v var uavhengige variabler.

Med andre ord er formen til den første differensialen invariant, det vil si at den ikke avhenger av om variablene u og v er uavhengige variabler eller avhenger av andre variabler.

EKSEMPEL

Finn første ordens totale differensial for en kompleks funksjon

z=u2v3, u=x2 sin y, v=x3·ey.

Løsning: Ved å bruke formelen for første ordens totale differensial, har vi

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x synd y·dx+x2·cos y·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Dette uttrykket kan skrives om slik

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Invariansegenskapen til en differensial lar oss utvide regelen for å finne differensialen til en sum, produkt og kvotient til tilfellet av en funksjon av flere variabler:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Denne

funksjonen vil være homogen av tredje grad for alle reelle x, y og t. Den samme funksjonen vil være et hvilket som helst homogent polynom i x og y av tredje grad, dvs. et slikt polynom i hvert ledd hvor summen av eksponentene xn er lik tre:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

er homogene funksjoner av henholdsvis grader 1, 0 og (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Faktisk,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Forutsatt at t=1, finner vi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Delvise derivater http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), generelt

De er med andre ord funksjoner av variablene x og y. Derfor kan partielle derivater igjen bli funnet fra dem. Følgelig er det fire andreordens partielle deriverte av en funksjon av to variabler, siden hver av funksjonene og kan differensieres med hensyn til både x og y.

De andre partielle derivatene er betegnet som følger:

er den deriverte av n-te orden; her ble funksjonen z først differensiert p ganger med hensyn til x, og deretter n - p ganger med hensyn til y.

For en funksjon av et hvilket som helst antall variabler, bestemmes partielle derivater av høyere orden på samme måte.

P R Og m e r 1. Beregn andre ordens partielle deriverte av en funksjon

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Eksempel 2. Beregn og http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Eksempel 3. Regn ut hvis

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy og f"yx er definert og kontinuerlige i punktet M(x, y) og i noe av området, deretter på dette punktet

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Derfor,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Løsning.

Blandede derivater er like.

5.10. Høyere ordens differensialer for en funksjonnvariabler.

Total differensial d u funksjoner av flere variabler er i sin tur en funksjon av de samme variablene, og vi kan bestemme den totale differensialen til denne siste funksjonen. Dermed vil vi få en andreordens differensial d2u av den opprinnelige funksjonen og, som også vil være en funksjon av de samme variablene, og dens fullstendige differensial vil føre oss til en tredjeordens differensial d3u av den opprinnelige funksjonen, etc.

La oss se nærmere på tilfellet med funksjonen u=f(x, y) til to variable x og y og anta at variablene x og y er uavhengige variabler. A-priory

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Å beregne d3u på nøyaktig samme måte, får vi

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Dessuten må denne formelen forstås som følger: summen i parentes må heves til potensen n ved å bruke Newtons binomiale formel, hvoretter eksponentene y og http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> med retning cosinus cos α, cos β (α + β = 90°). Betrakt punktet M1(x + Δx; y + Δy) på vektoren. Når du beveger deg fra punkt M til punkt M1, vil funksjonen z = f(x; y) motta en full økning

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> har en tendens til null (se figur).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

hvor http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, og derfor får vi:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> for Δs->0 kalles produktet

vannfunksjon z = f(x; y) i punktet (x; y) i vektorens retning og er betegnet

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Altså å kjenne de partielle deriverte av funksjonen

z = f(x; y) du kan finne den deriverte av denne funksjonen i alle retninger, og hver partiell deriverte er et spesialtilfelle av den deriverte i retning.

EKSEMPEL Finn den deriverte av en funksjon

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Derfor er funksjonen z = f(x;y) in i denne retningenøker.

5. 12 . Gradient

Gradienten til en funksjon z = f(x; y) er en vektor hvis koordinater er de tilsvarende partielle deriverte av denne funksjonen

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

dvs..jpg" width="89" height="33 src=">

ved punkt M(3;4).

Løsning.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">