MED Essensen av Lagrange-metoden er å redusere problemet med et betinget ekstremum til å løse et problem uten betinget ekstremum. Tenk på den ikke-lineære programmeringsmodellen:

(5.2)

Hvor
– kjente funksjoner,

EN
– gitte koeffisienter.

Merk at i denne problemformuleringen er begrensningene spesifisert av likheter, og det er ingen betingelse for at variablene skal være ikke-negative. I tillegg mener vi at funksjonene
er kontinuerlige med deres første partielle derivater.

La oss transformere forhold (5.2) slik at det er på venstre eller høyre side av likhetene null:

(5.3)

La oss komponere Lagrange-funksjonen. Den inkluderer objektivfunksjonen (5.1) og høyresiden av begrensningene (5.3), tatt henholdsvis med koeffisientene
. Det vil være like mange Lagrange-koeffisienter som det er begrensninger i problemet.

Ekstrempunktene for funksjon (5.4) er ekstremumpunktene originalt problem og omvendt: den optimale planen for problem (5.1)-(5.2) er det globale ekstremumpunktet for Lagrange-funksjonen.

Faktisk, la en løsning bli funnet
problemer (5.1)-(5.2), så er betingelsene (5.3) oppfylt. La oss erstatte planen
inn i funksjon (5.4) og verifiser gyldigheten av likhet (5.5).

For å finne den optimale planen for det opprinnelige problemet, er det derfor nødvendig å undersøke Lagrange-funksjonen for ekstremumet. Funksjonen har ekstreme verdier på punkter der dens partielle derivater er like null. Slike punkter kalles stasjonær.

La oss definere de partielle deriverte av funksjonen (5.4)

,

.

Etter utjevning null derivater får vi systemet m+n ligninger med m+n ukjent

,(5.6)

I det generelle tilfellet vil system (5.6)-(5.7) ha flere løsninger, som vil inkludere alle maksima og minima for Lagrange-funksjonen. For å fremheve det globale maksimum eller minimum, beregnes verdiene til objektivfunksjonen på alle funnet punkter. Den største av disse verdiene vil være det globale maksimum, og den minste vil være det globale minimum. I noen tilfeller er det mulig å bruke tilstrekkelige forhold for et strengt ekstremum kontinuerlige funksjoner (se Oppgave 5.2 nedenfor):

la fungere
er kontinuerlig og to ganger differensierbar i et eller annet nabolag av det stasjonære punktet (de.
)). Deretter:

EN ) Hvis
, (5.8)

At – punkt for strengt maksimum av funksjonen
;

b) Hvis
, (5.9)

At – punkt for strengt minimum av funksjonen
;

G ) Hvis
,

da forblir spørsmålet om tilstedeværelsen av et ekstremum åpent.

I tillegg kan noen løsninger av system (5.6)-(5.7) være negative. Noe som ikke stemmer overens med den økonomiske betydningen av variablene. I dette tilfellet bør du vurdere å erstatte negative verdier med nullverdier.

Økonomisk betydning av Lagrange-multiplikatorer. Optimal multiplikatorverdi
viser hvor mye kriterieverdien vil endre seg Z når ressursen øker eller minker j med én enhet, siden

Lagrange-metoden kan også brukes i tilfellet der begrensningene er ulikheter. Dermed finne funksjonens ytterpunkt
under forhold

,

utføres i flere stadier:

1. Bestem stasjonære punkter for objektivfunksjonen, som de løser et likningssystem for

.

2. Fra de stasjonære punktene velger du de hvis koordinater tilfredsstiller betingelsene

3. Bruk Lagrange-metoden, løs problemet med likhetsbegrensninger (5.1)-(5.2).

4. Undersøk punktene funnet i andre og tredje trinn for det globale maksimum: sammenlign verdiene objektiv funksjon på disse punktene – den høyeste verdien tilsvarer den optimale planen.

Oppgave 5.1 La oss løse oppgave 1.3, vurdert i den første delen, ved å bruke Lagrange-metoden. Den optimale fordelingen av vannressurser er beskrevet av en matematisk modell

.

La oss komponere Lagrange-funksjonen

La oss finne det ubetingede maksimum av denne funksjonen. For å gjøre dette, beregner vi de partielle deriverte og likestiller dem til null

,

Dermed fikk vi et system med lineære ligninger av formen

Løsningen på ligningssystemet representerer en optimal plan for fordeling av vannressurser på tvers av vanningsområder

, .

Mengder
målt i hundretusenvis av kubikkmeter.
- mengden nettoinntekt per hundre tusen kubikkmeter vanningsvann. Derfor er marginalprisen på 1 m 3 vanningsvann lik
hi. enheter

Maksimal ekstra nettoinntekt fra vanning vil være

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (den. enheter)

Oppgave 5.2 Løs et ikke-lineært programmeringsproblem

La oss representere begrensningen i skjemaet:

.

La oss komponere Lagrange-funksjonen og bestemme dens partielle deriverte

.

For å bestemme de stasjonære punktene til Lagrange-funksjonen, bør dens partielle deriverte settes lik null. Som et resultat får vi et ligningssystem

.

Fra den første ligningen følger det

. (5.10)

Uttrykk la oss erstatte inn i den andre ligningen

,

som innebærer to løsninger for :

Og
. (5.11)

Å erstatte disse løsningene i den tredje ligningen, får vi

,
.

Verdiene av Lagrange-multiplikatoren og det ukjente La oss beregne ved å bruke uttrykk (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Dermed har vi to ytterpunkter:

;
.

For å finne ut om disse poengene er maksimum eller minimumspoeng, bruker vi tilstrekkelige betingelser for strengt ekstremum (5.8)-(5.9). Foruttrykk for , hentet fra begrensningen til den matematiske modellen, erstatter vi den med objektivfunksjonen

,

. (5.12)

For å sjekke betingelsene for et strengt ekstremum, bør vi bestemme tegnet til den andre deriverte av funksjon (5.11) ved ekstrempunktene vi fant
Og
.

,
;

.

Dermed, (·)
er minimumspunktet for det opprinnelige problemet (
), A (·)
– maksimalt poeng.

Optimal plan:

,
,
,

.

• Opplæringen

Alle sammen god dag. I denne artikkelen vil jeg vise en av grafiske metoder konstruksjon matematiske modeller for dynamiske systemer, som kalles obligasjonsgraf("binding" - forbindelser, "graf" - graf). I russisk litteratur fant jeg beskrivelser av denne metoden bare i læreboken til Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 Vis også klassisk metode gjennom Lagrange-ligningen av 2. type.

Lagrange-metoden

Jeg vil ikke beskrive teorien, jeg vil vise stadier av beregninger med noen få kommentarer. Personlig er det lettere for meg å lære av eksempler enn å lese teori 10 ganger. Det virket for meg at i russisk litteratur er forklaringen av denne metoden, og faktisk matematikk eller fysikk generelt, veldig rik på komplekse formler, som følgelig krever en seriøs matematisk bakgrunn. Mens jeg studerte Lagrange-metoden (jeg studerer ved Polytechnic University of Torino, Italia), studerte jeg russisk litteratur for å sammenligne beregningsmetoder, og det var vanskelig for meg å følge fremdriften med å løse denne metoden. Selv med å huske modelleringskursene ved Kharkov Aviation Institute, var utledningen av slike metoder veldig tungvint, og ingen brydde seg om å prøve å forstå dette problemet. Dette er det jeg bestemte meg for å skrive, en manual for å konstruere matematiske modeller i henhold til Lagrange, da det viste seg at det ikke er vanskelig i det hele tatt, det er nok å vite hvordan man beregner derivater med hensyn til tid og partielle derivater. For mer komplekse modeller legges det også til rotasjonsmatriser, men det er heller ikke noe komplisert i dem.

Funksjoner ved modelleringsmetoder:

• Newton-Euler: vektorligninger basert på dynamisk likevekt makt Og øyeblikk
• Lagrange: skalare ligninger basert på tilstandsfunksjoner assosiert med kinetikk og potensial energier
• Obligasjonsantall: flytbasert metode makt mellom systemelementer

La oss begynne med enkelt eksempel. Masse med fjær og demper. Vi ignorerer tyngdekraften.

Figur 1. Masse med fjær og demper

Først og fremst utpeker vi:

• innledende system koordinater(NSK) eller fast sk R0(i0,j0,k0). Hvor? Du kan peke fingeren mot himmelen, men ved å rykke i tuppene til nevronene i hjernen, går ideen gjennom å plassere NSC på bevegelseslinjen til M1-kroppen.
• koordinatsystemer for hver kropp med masse(vi har M1 R1(i1,j1,k1)), orienteringen kan være vilkårlig, men hvorfor komplisere livet ditt, angi det med minimal forskjell fra NSC
• generaliserte koordinater q_i(minste antall variabler som kan beskrive bevegelsen), i i dette eksempletén generalisert koordinat, bevegelse kun langs j-aksen

Fig 2. Vi legger ned koordinatsystemer og generaliserte koordinater

Fig 3. Plassering og hastighet på kroppen M1

Deretter vil vi finne de kinetiske (C) og potensielle (P) energiene og den dissipative funksjonen (D) for spjeldet ved hjelp av formlene:

Fig 4. Komplett formel for kinetisk energi

I vårt eksempel er det ingen rotasjon, den andre komponenten er 0.

Fig 5. Beregning av kinetisk, potensiell energi og dissipativ funksjon

Lagrange-ligningen har følgende form:

Fig 6. Lagrange-ligning og Lagrangian

Delta W_i Dette virtuelt arbeid perfeksjonert av påførte krefter og momenter. La oss finne henne:

Fig 7. Beregning av virtuelt arbeid

Hvor delta q_1 virtuell bevegelse.

Vi erstatter alt i Lagrange-ligningen:

Fig 8. Den resulterende massemodellen med fjær og demper

Det var her Lagranges metode endte. Som du kan se, er det ikke så komplisert, men det er fortsatt et veldig enkelt eksempel, hvor Newton-Euler-metoden mest sannsynlig vil være enda enklere. For mer komplekse systemer, hvor det vil være flere kropper rotert i forhold til hverandre av annen vinkel, vil Lagranges metode være enklere.

Bond graf metode

Jeg skal vise deg med en gang hvordan modellen ser ut i bond-graf for et eksempel med en masse, en fjær og en demper:

Fig 9. Bond-grafmasser med fjær og demper

Her må du fortelle litt teori, som vil være nok å bygge enkle modeller. Hvis noen er interessert, kan du lese boka ( Bond Graph Metodikk) eller ( Voronin A.V. Modellering av mekatroniske systemer: opplæringen. – Tomsk: Tomsk Polytechnic University Publishing House, 2008).

La oss først bestemme det komplekse systemer består av flere domener. For eksempel består en elektrisk motor av elektriske og mekaniske deler eller domener.

obligasjonsgraf basert på utveksling av makt mellom disse domenene, subsystemene. Merk at kraftutveksling, uansett form, alltid bestemmes av to variabler ( variabel effekt ) ved hjelp av denne kan vi studere interaksjonen mellom ulike delsystemer innenfor et dynamisk system (se tabell).

Som det fremgår av tabellen, er maktuttrykket nesten det samme overalt. Oppsummert, Makt- Denne jobben " flyt - f"på" innsats - e».

En innsats(Engelsk) innsats) i det elektriske domenet er dette spenning (e), i det mekaniske domenet er det kraft (F) eller dreiemoment (T), i hydraulikk er det trykk (p).

Strømme(Engelsk) strømme) i det elektriske domenet er det strøm (i), i det mekaniske domenet er det hastighet (v) eller vinkelhastighet (omega), i hydraulikk er det strømningen eller strømningshastigheten til væske (Q).

Ved å ta disse notasjonene får vi et uttrykk for makt:

Fig. 10. Potensformel gjennom potensvariabler

I obligasjonsgrafspråket er forbindelsen mellom to delsystemer som utveksler kraft representert av en obligasjon. knytte bånd). Det er derfor denne metoden kalles obligasjonsgraf eller g raf-forbindelser, koblet graf. La oss vurdere blokkdiagram koblinger i en modell med en elektrisk motor (dette er ikke en bond-graf ennå):

Fig. 11. Blokkdiagram over strømflyt mellom domener

Hvis vi har en spenningskilde, genererer den følgelig spenning og overfører den til motoren for vikling (dette er grunnen til at pilen er rettet mot motoren), avhengig av motstanden til viklingen, vises en strøm i henhold til Ohms lov (rettet fra motoren til kilden). Følgelig er en variabel en inngang til delsystemet, og den andre må være exit fra delsystemet. Her er spenningen ( innsats) – inngang, strøm ( strømme) - exit.

Hvis du bruker en gjeldende kilde, hvordan vil diagrammet endre seg? Ikke sant. Strømmen vil bli rettet til motoren, og spenningen til kilden. Deretter gjeldende ( strømme) - inngangsspenning ( innsats) - exit.

La oss se på et eksempel innen mekanikk. Kraft som virker på en masse.

Fig 12. Kraft påført masse

Blokkdiagrammet vil være som følger:

Fig 13. Blokkdiagram

I dette eksemplet, Styrke ( innsats) – inngangsvariabel for masse. (Kraft påført masse)
I følge Newtons andre lov:

Masse svarer med hastighet:

I dette eksemplet, hvis en variabel ( makt - innsats) er inngang inn i det mekaniske domenet, deretter en annen potensvariabel ( hastighet - strømme) – blir automatisk exit.

For å skille hvor inngangen er og hvor utgangen er, brukes en vertikal linje på slutten av pilen (forbindelsen) mellom elementene, denne linjen kalles tegn på årsakssammenheng eller årsakssammenheng (kausalitet). Det viser seg: påført kraft er årsaken, og hastighet er effekten. Dette tegnet er veldig viktig for riktig konstruksjon av en systemmodell, siden kausalitet er en konsekvens av den fysiske oppførselen og maktutvekslingen til to delsystemer, derfor kan ikke valget av plassering av kausalitetstegnet være vilkårlig.

Fig 14. Betegnelse på årsakssammenheng

Denne vertikale linjen viser hvilket delsystem som mottar kraften ( innsats) og som et resultat produsere en flyt ( strømme). I eksemplet med masse ville det vært slik:

Fig 14. Årsakssammenheng for kraften som virker på massen

Det er tydelig fra pilen at inndata for masse er - makt, og utgangen er hastighet. Dette gjøres for ikke å rote diagrammet med piler og systematisere konstruksjonen av modellen.

Neste viktig poeng. Generalisert impuls(mengde bevegelse) og flytte(energivariabler).

Tabell over effekt- og energivariabler i ulike domener

Tabellen ovenfor introduserer ytterligere to fysiske størrelser som brukes i obligasjonsgrafmetoden. De heter generalisert impuls (R) Og generalisert bevegelse (q) eller energivariabler, og de kan oppnås ved å integrere effektvariabler over tid:

Fig 15. Sammenheng mellom kraft- og energivariabler

I det elektriske domenet :

Basert på Faradays lov, Spenning ved endene av lederen er lik den deriverte av den magnetiske fluksen gjennom denne lederen.

EN Nåværende styrke - fysisk mengde, lik forholdet mellom mengden ladning Q som går gjennom en tid t tverrsnitt dirigent, til verdien av denne tidsperioden.

Mekanisk domene:

Fra Newtons andre lov, Makt– tidsavledet av impuls

Og tilsvarende, hastighet- tidsderiverte av forskyvning:

La oss oppsummere:

Grunnleggende elementer

Alle elementer i dynamiske systemer, kan deles inn i to-polet og fire-polet komponenter.
La oss vurdere bipolare komponenter:

Kilder
Det er kilder til både innsats og flyt. Analogi i det elektriske domenet: kilde til innsats – spenningskilde, strømkilde – gjeldende kilde. Årsakstegn for kilder skal bare være slik.

Fig 16. Årsakssammenhenger og betegnelse av kilder

Komponent R – dissiperende element

Komponent I – treghetselement

Komponent C – kapasitivt element

Som det fremgår av figurene, ulike elementer en type R,C,I beskrevet av de samme ligningene. BARE det er forskjell for elektrisk kapasitans, du må bare huske dette!

Quadrupol komponenter:

La oss se på to komponenter: en transformator og en gyrator.

Siste viktige komponenter I bond-graph-metoden brukes koblinger. Det er to typer noder:

Det er det med komponentene.

Hovedtrinnene for å etablere årsakssammenhenger etter å ha konstruert en obligasjonsgraf:

1. Gi årsakssammenhenger til alle kilder
2. Gå gjennom alle nodene og skriv ned årsakssammenhenger etter punkt 1
3. Til komponenter I tilordne en input årsakssammenheng (innsats er inkludert i denne komponenten), for komponenter C tilordne utgangskausalitet (innsats kommer ut av denne komponenten)
4. Gjenta punkt 2
5. Sett inn årsakssammenhenger for R komponenter

Dette avslutter minikurset om teori. Nå har vi alt vi trenger for å bygge modeller.
La oss løse et par eksempler. La oss begynne med elektrisk krets, er det bedre å forstå analogien med å konstruere en obligasjonsgraf.

Eksempel 1

La oss begynne å bygge en bindingsgraf med en spenningskilde. Bare skriv Se og legg inn en pil.

Se, alt er enkelt! La oss se videre, R og L er koblet i serie, noe som betyr at den samme strømmen flyter i dem, hvis vi snakker i effektvariabler - samme flyt. Hvilken node har samme flyt? Riktig svar er 1-node. Vi kobler kilden, motstand (komponent - R) og induktans (komponent - I) til 1-noden.

Deretter har vi kapasitans og motstand parallelt, noe som betyr at de har samme spenning eller innsats. 0-node er egnet som ingen andre. Vi kobler kapasitansen (komponent C) og motstand (komponent R) til 0-noden.

Vi kobler også node 1 og 0 til hverandre. Retningen til pilene er valgt vilkårlig; retningen på forbindelsen påvirker kun tegnet i ligningene.

Du får følgende koblingsgraf:

Nå må vi etablere årsakssammenhenger. La oss begynne med kilden ved å følge instruksjonene for rekkefølgen av plasseringen.

1. Vi har en spenningskilde (innsats), en slik kilde har bare en variant av kausalitet - utgang. La oss ta den på.
2. Deretter er det komponent I, la oss se hva de anbefaler. Vi putter
3. Vi legger den ned for 1-node. Spise
4. En 0-node må ha én inngang og alle utgangsårsaksforbindelser. Vi har en fridag for nå. Vi ser etter komponent C eller I. Vi fant den. Vi putter
5. La oss liste opp det som er igjen

Det er alt. Obligasjonsgraf er bygget. Hurra, kamerater!

Alt som gjenstår er å skrive ligningene som beskriver systemet vårt. For å gjøre dette, lag en tabell med 3 kolonner. Den første vil inneholde alle komponentene i systemet, den andre vil inneholde inngangsvariabelen for hvert element, og den tredje vil inneholde utgangsvariabelen for samme komponent. Vi har allerede definert input og output ved årsakssammenhenger. Så det burde ikke være noen problemer.

La oss nummerere hver tilkobling for å gjøre det enkelt å registrere nivåene. Vi tar likningene for hvert element fra listen over komponentene C, R, I.

Etter å ha kompilert en tabell, definerer vi tilstandsvariablene, i dette eksemplet er det 2 av dem, p3 og q5. Deretter må du skrive ned tilstandsligningene:

Det er det, modellen er klar.

Eksempel 2. Jeg vil umiddelbart be om unnskyldning for kvaliteten på bildet, det viktigste er at du kan lese

La oss løse et annet eksempel for mekanisk system, den samme som vi løste ved hjelp av Lagrange-metoden. Jeg vil vise løsningen uten kommentarer. La oss sjekke hvilken av disse metodene som er enklere og enklere.

I Matbala ble begge matematiske modellene med samme parametere kompilert, oppnådd ved Lagrange-metoden og bond-graph. Resultatet er nedenfor: Legg til tagger

MultiplikatormetodeLagrange(i engelsk litteratur "LaGranges metode for ubestemte multiplikatorer") ˗ dette numerisk metode løsninger optimaliseringsproblemer, som lar deg bestemme det "betingede" ekstremumet til objektivfunksjonen (minimum eller maksimum verdi)

i nærvær av spesifiserte restriksjoner på variablene i form av likheter (dvs. området akseptable verdier)

˗ dette er verdiene til funksjonsargumentet (kontrollerbare parametere) på det virkelige domenet der funksjonsverdien har en tendens til et ekstremum. Bruken av navnet «betinget» ekstremum skyldes det faktum at variablene er underlagt tilleggsbetingelse, som begrenser utvalget av akseptable verdier når du søker etter ytterpunktet til en funksjon.

Lagrange multiplikatormetoden lar problemet med å søke etter et betinget ekstremum av en objektiv funksjon på et sett med tillatte verdier transformeres til problemet uten betinget optimalisering funksjoner.

I tilfelle funksjonene Og er kontinuerlige sammen med deres partielle derivater, så er det slike variabler λ som ikke samtidig er lik null, under hvilke følgende betingelse er oppfylt:

I samsvar med Lagrange-multiplikatormetoden, for å finne ekstremumet til objektivfunksjonen på settet med tillatte verdier, komponerer jeg Lagrange-funksjonen L(x, λ), som er ytterligere optimalisert:

hvor λ ˗ er en vektor av tilleggsvariabler kalt ubestemte Lagrange-multiplikatorer.

Dermed er problemet med å finne det betingede ekstremumet til funksjonen f(x) redusert til problemet med å finne det ubetingede ekstremumet til funksjonen L(x, λ).

Og

Den nødvendige betingelsen for ekstremumet til Lagrange-funksjonen er gitt av et system av ligninger (systemet består av "n + m" ligninger):

Ved å løse dette ligningssystemet kan vi bestemme argumentene til funksjonen (X) der verdien av funksjonen L(x, λ), samt verdien av målfunksjonen f(x) tilsvarer ekstremumet.

Størrelsen på Lagrange-multiplikatorene (λ) er av praktisk interesse hvis begrensningene presenteres i form med et fritt ledd i ligningen (konstant). I dette tilfellet kan vi vurdere ytterligere (øke/redusere) verdien av objektivfunksjonen ved å endre verdien av konstanten i ligningssystemet. Dermed karakteriserer Lagrange-multiplikatoren endringshastigheten i maksimum av objektivfunksjonen når den begrensende konstanten endres.

Det er flere måter å bestemme arten av ekstremumet til den resulterende funksjonen:

Første metode: La være koordinatene til ekstremumpunktet, og være den tilsvarende verdien av objektivfunksjonen. Et punkt nær punktet tas og verdien av objektivfunksjonen beregnes:

Hvis , så er det et maksimum på punktet.

Hvis , så er det et minimum på punktet.

Andre vei: Tilstrekkelig tilstand, hvorfra naturen til ekstremumet kan bestemmes, er tegnet på den andre differensialen til Lagrange-funksjonen. Den andre differensialen til Lagrange-funksjonen er definert som følger:

Hvis i gitt poeng minimum, hvis , så har objektivfunksjonen f(x) en betinget maksimum.

Tredje metode: Naturen til funksjonens ytterpunkt kan også bestemmes ved å vurdere Hessian av Lagrange-funksjonen. Den hessiske matrisen er en symmetrisk kvadratisk matrise andre partielle deriverte av en funksjon ved punktet der matriseelementene er symmetriske om hoveddiagonalen.

For å bestemme typen ekstremum (maksimum eller minimum av en funksjon), kan du bruke Sylvesters regel:

1. For at den andre differensialen til Lagrange-funksjonen skal ha positivt fortegn det er nødvendig at de vinkelformede minorene til funksjonen er positive. Under slike forhold har funksjonen på dette tidspunktet et minimum.

2. For at den andre differensialen til Lagrange-funksjonen skal være negativ i fortegn , er det nødvendig at de vinkelformede minorene til funksjonen veksler, og det første elementet i matrisen må være negativsv. Under slike forhold har funksjonen på dette tidspunktet et maksimum.

Med vinkelmoll mener vi den moll som ligger i de første k radene og k kolonnene i den opprinnelige matrisen.

Den viktigste praktiske betydningen av Lagrange-metoden er at den lar deg gå fra betinget optimalisering til ubetinget optimalisering og følgelig utvide arsenalet ditt. tilgjengelige metoder løse problemet. Problemet med å løse likningssystemet som denne metoden reduserer til er imidlertid, i det generelle tilfellet, ikke enklere enn det opprinnelige problemet med å finne et ekstremum. Slike metoder kalles indirekte. Bruken deres forklares av behovet for å få en løsning på et ekstremt problem i analytisk form (for eksempel for visse teoretiske beregninger). Når du løser spesifikke praktiske problemer Direkte metoder brukes vanligvis, basert på iterative prosesser for å beregne og sammenligne verdiene til funksjonene som optimaliseres.

Beregningsmetode

1 trinn: Vi bestemmer Lagrange-funksjonen fra den gitte objektivfunksjonen og systemet med begrensninger:

Framover

For å legge til kommentaren din til artikkelen, vennligst registrer deg på nettstedet.

LAGRANGE-METODE

En metode for å redusere en kvadratisk form til en sum av kvadrater, indikert i 1759 av J. Lagrange. La det bli gitt

fra variabler x 0 , x 1 ,..., x s. med koeffisienter fra feltet k egenskaper Det kreves å bringe denne formen til den kanoniske. sinn

bruker ikke-degenerert lineær transformasjon variabler. L. m. består av følgende. Vi kan anta at ikke alle koeffisienter av form (1) er lik null. Derfor er to tilfeller mulige.

1) For noen g, diagonal Da

der formen f 1 (x) ikke inneholder en variabel x g. 2) Hvis alt Men At

der formen f 2 (x) ikke inneholder to variabler x g Og x h. Skjemaene under de firkantede tegnene i (4) er lineært uavhengige. Ved å bruke transformasjoner av formen (3) og (4) form (1) etter endelig antall trinn reduseres til summen av kvadrater av lineært uavhengige lineære former. Ved å bruke partielle derivater kan formlene (3) og (4) skrives i skjemaet

Tent.: G a n t m a k h e r F. R., Theory of matrices, 2. utg., M., 1966; K u r o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11. utgave, M., 1975; Alexandrov P. S., Forelesninger om analytisk geometri..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Matematisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Se hva "LAGRANGE METHOD" er i andre ordbøker:

Lagrange-metoden- Lagrange-metoden - en metode for å løse en rekke klasser av problemer matematisk programmering ved å finne sadelpunktet (x*, λ*) til Lagrange-funksjonen, som oppnås ved å likestille de partielle deriverte av denne funksjonen med null med hensyn til... ... Økonomisk og matematisk ordbok

Lagrange-metoden- En metode for å løse en rekke klasser av matematiske programmeringsproblemer ved å finne sadelpunktet (x*, ?*) til Lagrange-funksjonen, som oppnås ved å likestille de partielle deriverte av denne funksjonen med hensyn til xi og?i til null . Se Lagrangian. )