Begrensningen i kanonisk form har formen. Ulike former for å skrive et lineært programmeringsproblem

kanonisk form, hvis du ønsker å maksimere objektivfunksjonen, er alle systembegrensninger ligninger og ikke-negativitetsbetingelsen pålegges alle variabler.

Oppgave lineær programmering satt i symmetrisk form, hvis det kreves for å maksimere den objektive funksjonen, er alle systemrestriksjoner ulikheter "" (eller minimer den objektive funksjonen, alle systemrestriksjoner er ulikheter "") og ikke-negativitetsbetingelsen pålegges alle variabler.

Et sett med tall kalles akseptabel løsning (plan), hvis det tilfredsstiller restriksjonssystemet i ZLP.

Mye av alle tillatte løsninger kalt område med gjennomførbare løsninger(ODR).

En tillatt løsning som maksimal (minimum) verdi av funksjonen er oppnådd kalles optimal plan for PAP.

Begrepene "plan" og "optimal plan" stammer fra økonomiske applikasjoner.

Alle tre former for ZLP-opptak er likeverdige i den forstand at det finnes algoritmer for overgang fra en form til en annen. Således, hvis det er en måte å løse et problem på i en av skjemaene, er det alltid mulig å bestemme den optimale planen for et problem gitt i en annen form. Problemet løses i symmetrisk form grafisk metode, og i kanonisk form – ved simpleksmetoden.

La oss vurdere algoritmer for overgang fra en form til en annen.

• 
  Symmetrisk  kanonisk. Overgangen utføres ved å legge til en ekstra ikke-negativ variabel på venstre side av hver ulikhet. Hvis ulikheten var "≤", legges balansevariabelen til venstre side av ulikheten med et "+"-tegn. Hvis ulikheten var "", blir balansevariabelen lagt til venstre side av ulikheten med et "–"-tegn. De nye variablene som er introdusert kalles balanse. Problemet med å minimere funksjonen Z erstattes av problemet med å maksimere funksjonen (–Z) og det brukes at min Z = –max (–Z).
• 
  Kanonisk  symmetrisk. For å utføre en slik overgang finnes en generell løsning på ligningssystemet – begrensninger, målfunksjonen uttrykkes i form av frie variabler. Deretter, ved å dra nytte av ikke-negativiteten til basisvariablene, kan vi ekskludere dem fra problemet. Den symmetriske formen av problemet vil inneholde ulikheter som kun relaterer seg til de frie variablene og en objektiv funksjon som kun er avhengig av de frie variablene. Verdiene til de grunnleggende variablene er funnet fra den generelle løsningen av det opprinnelige ligningssystemet.
• 
  Generelt  kanonisk. Hver variabel som ikke-negativitetsbetingelsen ikke ble pålagt, er representert som forskjellen mellom to nye ikke-negative variabler. Ulikheter konverteres til ligninger ved å introdusere en balansevariabel på venstre side av hver ulikhet på samme måte som ble beskrevet i overgangen fra symmetrisk til kanonisk form. Problemet med å minimere funksjonen Z erstattes av problemet med å maksimere funksjonen (–Z) på samme måte som ble beskrevet under overgangen fra den symmetriske til den kanoniske formen.

1. Grafisk metode for å løse et lineært programmeringsproblem

Den grafiske metoden brukes til å løse LLP gitt i symmetrisk form. Denne metoden brukes mest effektivt til å løse problemer med to variabler, fordi krever grafiske konstruksjoner. Ved tre variabler, konstruksjoner i R 3 , i tilfelle av fire variabler, konstruksjoner i R 4 etc.

Settet med punkter kalles konveks, hvis det for to punkter i settet inneholder et segment som forbinder dem.

Eksempel 1

Følgende sett med punkter på planet er konvekse:

Følgende sett med punkter på planet er ikke konvekse:

Teorem 1 Skjæringspunktet mellom et hvilket som helst antall konvekse sett er et konveks sett.

Teorem 2 La det være to vilkårlige punkter i rommet R n. Deretter for et hvilket som helst punkt i segmentet [ PQ] må utføres: .hvor .

Hyperplan i verdensrommet R n er et sett med punkter som tilfredsstiller ligningen. Merk at i det todimensjonale tilfellet er hyperplanet en rett linje.

Halvplass er et sett med punkter som tilfredsstiller en av ulikhetene eller . Et hyperplan deler punkter i rommet i to halvrom. I det todimensjonale tilfellet er hyperplanet et halvplan.

Teorem 3 Et halvrom er et konveks sett.

Konsekvens Skjæringspunktet mellom et hvilket som helst antall halvrom er et konveks sett.

Polyeder kalles skjæringspunktet mellom ett eller flere halvrom. Et polyeder i det todimensjonale tilfellet kalles en polygon.

Eksempel 2

Følgende sett er polygoner.

Begrenset sett

Ubegrenset sett

Enkelt poeng

Tomt sett

Et punkt i en konveks sett kalles kantete, hvis den ikke ligger inne i noe segment som forbinder to andre punkter fra settet.

Eksempel 3

Hjørnepunktene til en trekant er dens toppunkter (det er tre av dem). Hjørnepunktene til en sirkel er punktene i sirkelen som avgrenser den (det er et uendelig antall av dem).

Hjørnepunktet til et polyeder kalles dets topp.

La oss vurdere ZLP gitt i symmetrisk form.

Teorem 4 Den optimale planen til ZLP tilsvarer toppunktet til beslutningspolyederet bestemt av dets system av begrensninger.

I det generelle tilfellet er et lineært programmeringsproblem skrevet på en slik måte at begrensningene er både ligninger og ulikheter, og variablene kan enten være ikke-negative eller vilkårlig varierende. I tilfellet der alle begrensninger er ligninger og alle variabler tilfredsstiller ikke-negativitetsbetingelsen, kalles det lineære programmeringsproblemet kanonisk. Det kan representeres i koordinat-, vektor- eller matrisenotasjon.

1. Det kanoniske lineære programmeringsproblemet i koordinatnotasjon har formen

.

I en mer kompakt form denne oppgaven kan skrives ved hjelp av summeringstegnet,

(1.7)

2. Det kanoniske lineære programmeringsproblemet i vektornotasjon har formen

(1.8)

Hvor ,

.

3. Det kanoniske lineære programmeringsproblemet i matrisenotasjon har formen

(1.9)

, .

Her EN- matrise av koeffisienter for ligningssystemet, X– matrise-kolonne problemvariabler, – matrise-kolonne av de høyre delene av restriksjonssystemet.

Lineære programmeringsproblemer brukes ofte, kalt symmetrisk, som i matrisenotasjon har formen

(1.10)

(1.11)

1.4. Å bringe felles oppgave lineær programmering
til kanonisk form

I de fleste metoder for å løse lineære programmeringsproblemer, antas det at systemet av begrensninger består av ligninger og naturlige forhold for variables ikke-negativitet. Men ved kompilering av matematiske modeller økonomiske oppgaver restriksjoner er hovedsakelig formet til systemer av ulikheter, så det er nødvendig å kunne gå fra et system av ulikheter til et likningssystem. For dette formål beviser vi følgende teorem.

Teorem 1.1. Om å erstatte en ulikhet med en ligning. Hver avgjørelse ulikheter

tilsvarer en unik løsning på ligningen

og ulikheter

, (1.14)

og omvendt tilsvarer hver løsning til ligning (1.13) og ulikhet (1.14) en unik løsning på ulikhet (1.12).

Bevis. La er løsningen på ulikhet (1.12), da . La oss betegne forskjellen mellom høyre og venstre side av denne ulikheten med , dvs.

Åpenbart . La oss erstatte i ligning (1.13) i stedet variable verdier , vi får

Dermed tilfredsstiller ligning (1.13) og ulikhet (1.14). Dette betyr at den første delen av teoremet er bevist.

La nå tilfredsstille ligning (1.13) og ulikhet (1.14), dvs. vi har

OG

Forkaster vi den ikke-negative verdien på venstre side av den siste likheten, får vi

dvs. tilfredsstiller ulikhet (1,12). Teoremet er bevist.

Hvis ulikheten er , må en ekstra ikke-negativ variabel introduseres på venstre side med et minustegn, dvs.

Ikke-negative variabler introdusert i ulikhetsbegrensninger for å gjøre dem om til ligninger kalles tilleggsvariabler. Ytterligere variabler introduseres i objektivfunksjonen med null koeffisienter og påvirker derfor ikke verdien.

I tilfellet når problemet har vilkårlig skiftende variabler, erstattes enhver slik variabel med forskjellen mellom to ikke-negative variabler, dvs. , Hvor Og .

Noen ganger blir det nødvendig å flytte inn et problem fra å finne minimum til å finne maksimum eller omvendt. For å gjøre dette er det nok å endre tegnene til alle koeffisientene til den objektive funksjonen til de motsatte, og ellers la problemet være uendret. De optimale løsningene av maksimal- og minimumsproblemene oppnådd på denne måten faller sammen, og verdiene til de objektive funksjonene optimale løsninger avvike bare i tegn.

Eksempel 1.1. Bring det lineære programmeringsproblemet til kanonisk form.

D

Løsning. La oss gå videre til problemet med å finne maksimum av den objektive funksjonen. For å gjøre dette endrer vi tegnene til koeffisientene til den objektive funksjonen. For å transformere den andre og tredje ulikheten i systemet av begrensninger til ligninger, introduserer vi ikke-negative tilleggsvariabler (på matematisk modell denne operasjonen er merket med bokstaven D). Variabelen introduseres på venstre side av den andre ulikheten med et "+"-tegn, siden ulikheten har formen . Variabelen introduseres på venstre side av den tredje ulikheten med et "-"-tegn, siden ulikheten har formen . Variabler legges inn i målfunksjonen med en koeffisient lik null. Variabelen som ikke-negativitetsbetingelsen ikke er pålagt erstattes av differansen , . Vi skriver oppgaven i kanonisk form

I noen tilfeller blir det nødvendig å ta med kanonisk problem Til symmetrisk problem. La oss se på et eksempel.

Eksempel 1.2. Bring et lineært programmeringsproblem til en symmetrisk form

Side 1

Kanonisk form problemet er preget av følgende tre trekk: 1) et homogent system av begrensninger i form av et ligningssystem; 2) homogene ikke-negativitetsforhold som gjelder for alle variabler involvert i problemet, og 3) maksimering, lineær funksjon. I dette problemet er alle tre av disse funksjonene krenket.

Problemets kanoniske form er preget av følgende tre trekk: 1) et homogent system av begrensninger i form av et ligningssystem; 2) homogene ikke-negativitetsforhold som gjelder for alle variabler involvert i problemet, og 3) maksimering av en lineær funksjon. I dette problemet er alle tre av disse funksjonene krenket.

Den kanoniske formen for det lineære programmeringsproblemet er praktisk fordi startpunktet er lett å finne gyldig område.  

La oss vurdere den kanoniske formen for det lineære programmeringsproblemet og Jordan-Gauss-elimineringsmetoden.

Den kanoniske formen for et lineært programmeringsproblem er ofte praktisk.

Når du transformerer et system av begrensninger til den kanoniske formen av et lineært programmeringsproblem, må ulikheter (12) og (13) erstattes av likheter. For å gjøre dette introduseres flere ikke-negative variabler.

Bevis at parvis pendlende reelle matriser samtidig reduseres til den kanoniske formen til Oppgave 1128 ved en likhetstransformasjon ved bruk av en ortogonal matrise.

I hovedsak kan (4) - (5) betraktes som den kanoniske formen for det ikke-lineære programmeringsproblemet, siden metodene skissert i kap. Vanligvis i ikke-lineære programmeringsproblemer er det ingen krav om at variablene skal være heltall.

Typer restriksjoner og metoder for deres transformasjon.

Problemets kanoniske form er preget av homogeniteten til systemet av begrensninger i form av et ligningssystem; maksimere den objektive funksjonen; betingelsen om ikke-negativitet for alle variabler som er involvert i problemet.

Ingen tilleggsfunksjoner den kanoniske formen for problemer bidrar ikke til beregningsskjemaet som vurderes.

La oss først vurdere den andre kanoniske formen for minimumsproblemet.

Simplex-mete-algoritmen kan deles inn i to trinn. På det første stadiet, ved å eliminere variabler, finner vi grunnleggende løsning. Hvis det blir funnet, har vi den kanoniske formen for problemet for å gå til andre trinn. Det andre trinnet er å sjekke om det er et avgrenset optimum. Hvis det eksisterer, bestemmes tillatte grunnleggende løsninger og hvorfra den optimale velges.

Hvis problemet løses i kanonisk form, brukes bare en del av operasjonene introdusert i andre ledd. Således, for det kanoniske minimumsproblemet, er det bare tilfellet i paragraf 3.4.1 som er realisert, og bare operasjonene med syklisk omorganisering av kolonner, passering av kolonnen gjennom den vertikale kantsonen, korrigering av strukturelle brudd og en del av trunkeringsoperasjonen er nødvendig. Symmetrisk, når man løser det kanoniske maksimale problemet, realiseres bare tilfellet i avsnitt 3.4.2, og operasjoner med syklisk omorganisering av strenger, passering av en streng gjennom den horisontale kantsonen, korrigering av strukturelle brudd og en annen del av trunkeringsoperasjonen er behov for. Ellers gir ikke den kanoniske formen for problemet noen ekstra spesifisitet.

Første avsnitt av innledningen viste hvordan et generelt lineært programmeringsproblem kan reduseres til en av de kanoniske formene. For kanonisk (samme oppgavebeskrivelse av metoden konsekvent forbedring er formelt forenklet, siden det ikke er behov for å vurdere to alternativer for brudd på optimalitetsbetingelsene og to alternativer for å nå neste toppunkt. Dette øker imidlertid størrelsen basismatrise A [ /, J ], som hovedsakelig bestemmer kompleksiteten til en shat. I mange tilfeller viser det seg imidlertid å være å foretrekke å bruke metoden på de kanoniske formene av problemet, og i denne delen vil vi dvele ved varianter av metoden oppnådd for spesielle lineære programmeringsproblemer.

Sider:      1

Lineært programmeringsproblem av formen ax = b hvor a er koeffisientmatrisen, b er begrensningsvektoren.
Eksempel:

I hvert LP-problem søkes verdier av variabler under forutsetning av at:

• disse verdiene tilfredsstilte et system lineære ligninger eller ulikheter;
• ved disse verdiene vil objektivfunksjonen gå til et minimum eller maksimum.

Bruksanvisning. Velg antall variabler og antall rader (antall begrensninger). Den resulterende løsningen lagres i en Word-fil.

En av universelle metoder LP er simpleks metode, som imidlertid kan brukes hvis LP-problemet har en kanonisk form.

Definisjon. LP-problemet har en kanonisk form hvis alle systembegrensninger kun består av ligninger (bortsett fra ulikheter som uttrykker variablenes ikke-negativitet) og den objektive funksjonen må minimeres.
Et eksempel på et slikt LP-problem i kanonisk form er Oppgave 1 – et balansert transportproblem med et system av begrensninger (1) og en objektiv funksjon (2).
I de fleste økonomiske problemer inkluderer imidlertid systemet med begrensninger i utgangspunktet ikke bare ligninger, men også ulikheter.

Uttalelse. Ethvert generelt LP-problem kan reduseres til kanonisk form.
Å redusere det generelle LP-problemet til kanonisk form oppnås ved å introdusere nye (de kalles tilleggsvariabler).
Systemet av begrensninger (3) i dette problemet består av fire ulikheter. Ved å introdusere tilleggsvariabler y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0, kan vi gå til systemet med restriksjoner:

Disse tilleggsvariablene y Jeg har en helt klar økonomisk betydning, nemlig at de betyr mengden ubrukt arbeidstid (maskinnedetid Jeg-te typen).
For eksempel, hvis maskiner av den første typen jobbet i alle 18 timer, så er x + y = 18, derfor y 1 = 0. Men vi tillater muligheten for ufullstendig bruk av driftstiden til den første maskinen x + y<18. В этом случае y 1 får en positiv verdi og kan betraktes som en ubrukt frist. For eksempel, å vite løsningen på dette problemet fra avsnitt 3.3.2, x = 12, y= 6, kan vi konkludere fra systemet med restriksjoner (3.9) at y 1 = y 2 = y 3 = 0, og y 4 = 12 – 6 = 6. Det vil si at maskiner av den første, andre, tredje typen bruker arbeidstiden fullstendig. Men den fjerde maskinen er bare halvlastet, 6 timer, og, gitt den optimale planen, er den inaktiv. Kanskje, etter slike konklusjoner, vil lederen av foretaket ønske å laste det med annet arbeid, leie det ut for denne gang osv.
Så, ved å introdusere tilleggsvariabler, kan vi redusere enhver ulikhetstypebegrensning til en ligning.

La oss vurdere blandingsproblemet. Systemet med restriksjoner har formen:
Ulikhetene ble vendt mot "mer", og ved å introdusere tilleggsvariabler y 1, y 2, y 3 ≥ 0, må de trekkes fra venstre side for å utjevne den med høyre. Vi får et system med restriksjoner i kanonisk form:
Variablene y i vil også gi økonomisk mening. Hvis du husker det praktiske innholdet i oppgaven, så vil variabelen y 1 bety mengden av overflødig stoff A i blandingen, y 2 vil bety mengden av overflødig stoff I i blandingen y 3 – overskudd MED i blandingen.
Oppgaven med å finne maksimumsverdien til objektivfunksjonen kan reduseres til å finne minimum for funksjonen - F på grunn av åpenheten av utsagnet max F = –min (– F). Se på bildet: hvis på et tidspunkt x= x 0 funksjon y= F(x) når sitt maksimum, deretter funksjonen y= –F(x), symmetrisk til den i forhold til aksen OKSE, på samme punkt x 0 vil nå et minimum, og F maks = – (– F min) kl x = x 0 .

Konklusjon. For å representere LP-problemet i kanonisk form er det nødvendig:

• transformere ulikhetene inkludert i systemet med begrensninger av problemet til ligninger ved å introdusere tilleggsvariabler;
• hvis den objektive funksjon F→maks (maksimerer), den erstattes av funksjonen – F→ min (som er minimert).

MP-oppgaver

General ZLP kalles <,=,>=)bi (i=1,n) (2) underlagt xj>

Symmetrisk < либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком > Kanonisk blandet.

min f(x) = -maks(-f(x))

<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>

Geometrisk tolkning av den objektive funksjonen og begrensningene til ZLP. Geometrisk formulering av ZLP.

La oppgaven f=c1x1+c2x2-max (1) gis

a11x1+a12x2<=b1 }

am1x1+am2x2<=bm}

x1>=0, x2>=0 (3)

Planen for oppgaven (x1,x2) er et punkt på planet. Hver ulikhet med-vi 2 representasjoner. er et halvt fly. Et halvplan er et konveks sett. Konveks kalles et sett der punktene til segmentet som forbinder (x1 og x2) som hører til dette settet også tilhører settet. C-ma 2 representerer skjæringspunktet mellom halvplan. Ved kryssing kan du få:

1) konveks polygonalt lukket område.

2) konveks åpent polygonalt område

3) enkelt poeng

4) tomt sett

5) bjelke og segment

Geometrisk tolkning av objektivfunksjonen: Funksjon 1 er en familie av parallelle rette linjer, som kalles nivålinjer (linjer med konstant verdi av objektivfunksjonen). De partielle deriverte av funksjonen med hensyn til x1 og x2 viser økningshastigheten til objektivfunksjonen langs koordinatene til aksene. Gradientvektor viser retningen til den raskeste økningen i objektivfunksjonen For oppgave 1-3 forlater gradientvektoren = (c1; c2) punktet (0,0) og rettes til punktet med koordinater (c1; c2). Gradientvektoren er vinkelrett på nivålinjene. Skjæringspunktet mellom halvplan kalles vanligvis område for tillatte løsninger (ADD).

Hovedteoremet til LP. Skjematisk diagram løsning av ZLP, som følger av denne teoremet.

Hvis ZLP har en løsning, når målfunksjonen en ekstrem verdi ved minst ett av ytterpunktene til planpolyederet. Hvis objektivfunksjonen når en ekstremverdi ved mer enn ett ytterpunkt, når den en og samme verdi, som er en konveks lineær kombinasjon av dem, når som helst. Når du løser ZLP manuelt, er det praktisk å bruke en tabelloppføring.

BP		SP -Xm+1 -Xm+2 -Xn
x1	b1o	b11 b12 b1n-m
x2	b2o	b21 b22 b2n-m
xm	bm	bm1 bm2 bmn-m
f	buh	bo1 bo2 bon-m

Algoritme for simpleksmetoden.

1. bringe problemmodellen til kanonisk form;

2. finn den første referanseplan;

3. skriv oppgaven enkelt. bord;

5. flytte til en ny referanseplan, til en ny symp. bord. For å gå over til en ny referanseplan er det nok å erstatte én grunnvariabel med en ledig. Variabelen som er inkludert i grunnlaget og den tilsvarende oppløsningskolonnen bestemmes av det største absolutte negative elementet i f-raden. Variabelen som ekskluderer fra grunnlaget og den tilsvarende oppløsningslinjen bestemmes av det minste simpleksforholdet, dvs. forholdet mellom elementene i enhetskolonnen og det tilsvarende elementet i oppløsningskolonnen. Simplexforholdet er en ikke-negativ størrelse. I skjæringspunktet mellom den løsende raden og den løsende kolonnen er det et løsende element med hensyn til simpleks transformasjon neste regel: 1. elementene i den tillate strengen er delt inn i det tillate elementet; 2. elementene i oppløsningskolonnen deles inn i oppløsningselementet og endrer fortegn til det motsatte; 3. de gjenværende elementene i tabellen er omorganisert i henhold til rektangelregelen:

bij bis bkj=(bkj*bis-bij*bks)/bi

Det andre dualitetsteoremet.

hvis ett av de doble problemene har en optimal plan, så er det andre også løsbart, dvs. har en optisk plan. I dette tilfellet faller ekstremverdiene til objektivfunksjonene sammen (j=fra 1 til n) Σcjxj*= (i=fra 1 til m)Σbiyi* hvis den er i originalen. problem, objektivfunksjonen er ubegrenset på settet med planer, deretter inn dobbelt problem restriksjonssystemet er inkonsekvent.

Teorem om rangeringen til TK-matrisen.

Rangeringen av matrise A for transportproblemet er én mindre enn antall ligninger: r(A)=m+n-1.

39. Algoritme for å konstruere den første referanseplanen til ZLP.

For å finne den første referanseplanen kan vi foreslå følgende algoritme:

1. skriv oppgaven i form av en Jordan-tabell slik at alle elementene i kolonnen med frie termer er ikke-negative, dvs. ulikheten aio>=0 (i=1,m) ble tilfredsstilt. De ligningene der de frie leddene er negative, multipliseres først med -1.

		-x1….. -xn
0=	a1o	a11…. a1n
…..	…..	………………………..
0=	amo	am1…..amn
f=		-c1…. -cn

Transformer tabellen ved å bruke Jordan-elimineringstrinn, og bytt ut nullene i venstre kolonne med den tilsvarende x. Samtidig, på hvert trinn permissive kan velges enhver kolonne som inneholder minst ett positivt element. Den løsende raden bestemmes av det minste av forholdet mellom de frie leddene og de tilsvarende positive elementene i den løsende kolonnen. Hvis det i elimineringsprosessen støtes på en 0-rad, hvis elementer er null, og frileddet er ikke-null, så har systemet med begrensningsligninger ingen løsninger. Hvis vi møter en 0-rad der det, bortsett fra frileddet, ikke er andre positive elementer, så har ikke settet med restriktive ligninger ikke-negative løsninger Hvis settet med restriktive ligninger ledd, så etter et visst antall trinn vil alle nullene i venstre kolonne bli erstattet med x og derved oppnå en viss basis, og følgelig en tilsvarende referanseplan.

40. Algoritme for å konstruere den optimale referanseplanen til ZLP.

Ho sin første støtteplan undersøkes for optimalitet.

Hvis det ikke er negative elementer i f-raden (ikke medregnet frileddet), er -planen optimal. Hvis det heller ikke er nullelementer i f-raden, så er det bare en optimal plan; hvis det er minst en null blant elementene, er det et uendelig antall optimale planer. Hvis det er minst ett negativt element i f-raden, og det ikke er noen positive elementer i den tilsvarende kolonnen, er objektivfunksjonen ikke begrenset i det mulige området. Problemet er ikke løsbart. Hvis det er minst ett negativt element i f-raden, og i hver kolonne med et slikt element er det minst ett positivt element, så kan du flytte til en ny referanseplan som er nærmere den optimale. For å gjøre dette tas kolonnen med et negativt element i f-raden som ettergivende; De bestemmer oppløsningsstrengen fra minimum simpleksrelasjonen og utfører Jordan-elimineringstrinnet. Den resulterende referanseplanen undersøkes igjen for optimalitet. Dette gjentas til den optimale referanseplanen er funnet eller problemets uløselighet er etablert.

Algoritme for Gomori-metoden.

1. Ved å bruke simpleksmetoden finner man den optimale planen for problemet. Hvis alle komponentene i en optimal plan er heltall, er den optimal. Ellers går du til trinn 2

2. Blant ikke-heltallskomponentene bør du velge den med brøkdel er den største, og ved å bruke den tilsvarende raden i simplekstabellen formulerer du den korrekte avskjæringen ved å bruke formelen

(n-m,s=1)∑ (αkm+1)Xm+1≥(βk)

3. Forvandle den formulerte ulikheten til en ekvivalent nulllikhet og inkludere den i simplex bord med en optimal plan uten heltall

4. Det resulterende utvidede problemet løses ved hjelp av simpleksmetoden. Hvis den resulterende planen ikke er heltall, fortsett til trinn 2.

Hvis det under løsningsprosessen dukker opp en linje med et ikke-heltalls fri ledd og andre heltallskoeffisienter, så har ikke den tilsvarende ligningen en løsning i heltall. I dette tilfellet, og originalt problem kan ikke avgjøres i heltall. Gomoris metode har begrenset anvendelse. Med dens hjelp er det tilrådelig å løse små problemer, fordi... antall interaksjoner kan være svært stort.

Ulike former for notasjon av ZLP (generelt, kanonisk, symmetrisk)

MP-oppgaver: bestemmelse av den optimale planen, bestemmelse av det optimale produksjonsvolumet, bestemmelse av den optimale kombinasjonen av avlinger, dannelse av den optimale pakken av eiendeler, maksimering av bankfortjeneste, etc.

General ZLP kalles maksimering (minimisering) problem lineær funksjon f=Σcj*xj-max(min) (1) under lineære begrensninger ∑aij *xj(=<,=,>=)bi (i=1,n) (2) gitt xj>=0(j=1,n1), xj-vilkårlig (j=n1+1,n)(3) hvor cj,aij, bi-konstanter tall .

Symmetrisk Formen for å skrive ZLP kalles problemet med å maksimere funksjon (1) under lineære begrensninger i signerte ulikheter< либо = и не отрицательных переменных и задача минимизации функции (1) при линейных ограничениях в неравенствах со знаком >eller = og ikke-negative variabler. Kanonisk Formen for å skrive ZLP kalles problemet med maksimal funksjon (1) under lineære begrensninger av likheter og ikke-negative variabler. Enhver annen form kalles blandet.

min f(x) = -maks(-f(x))

Transformasjonen av en ulikhet til en ligning og vice versa utføres på grunnlag av Lemma: for hver løsning x1...xn av ulikheten a1x1+...+anxn<=b (5)соответствует вполне определенное решение х1…хn, xn+1 уравненияa1x1+…+anxn+xn+1=b (6) при условии что хn+1>=0(7) og omvendt. Hver løsning x1…xn,xn+1 av ligning 6 og ulikhet 7 tilsvarer en løsning x1…xn av ulikhet 5.

For å gå fra den bakre sim-formen til den bakerste kanoniske formen, må du gå inn balanse (utjevne) variabler. Dette er basert på ulikhetsteoremet: enhver ulikhet kan representeres som en ligning eller en enkel ulikhet.