2.3. Konvertering av tall fra ett tallsystem til et annet

2.3.1. Konvertering av heltall fra ett tallsystem til et annet

Det er mulig å formulere en algoritme for å konvertere heltall fra et radixsystem s inn i et system med en base q :

1. Uttrykk grunnlaget for det nye tallsystemet i tall originalt system beregninger og alle påfølgende handlinger utføres i det opprinnelige tallsystemet.

2. Del konsekvent det gitte tallet og de resulterende heltallskvotientene med basisen til det nye tallsystemet til vi får en kvotient som er mindre enn divisoren.

3. De resulterende restene, som er sifrene i tallet i nytt system tall, bring dem i tråd med alfabetet til det nye tallsystemet.

4. Lag et tall i det nye tallsystemet, og skriv det fra den siste resten.

Eksempel 2.12. Oversette desimaltall 173 10 tommer oktalt system notasjon:

Vi får: 173 10 = 255 8

Eksempel 2.13. Konverter desimaltallet 173 10 til heksadesimalt tallsystem:

Vi får: 173 10 = AD 16.

Eksempel 2.14. Konverter desimaltall 11 10 til binært system Regning. Det er mer praktisk å skildre sekvensen av handlinger diskutert ovenfor (oversettelsesalgoritme) som følger:

Vi får: 11 10 = 1011 2.

Eksempel 2.15. Noen ganger er det mer praktisk å skrive ned oversettelsesalgoritmen i tabellform. La oss konvertere desimaltallet 363 10 til et binært tall.

Deler

Vi får: 363 10 =101101011 2

2.3.2. Konvertering av brøktall fra ett tallsystem til et annet

Det er mulig å formulere en algoritme for å konvertere en egenbrøk med en base s til en brøk med en base q:

1. Uttrykk basisen til det nye tallsystemet med tall fra det opprinnelige tallsystemet og utfør alle påfølgende handlinger i det opprinnelige tallsystemet.

2. Multipliser konsekvent de gitte tallene og de resulterende brøkdelene av produktene med bunnen av det nye systemet til brøkdel verkene vil ikke lik null eller den nødvendige nøyaktigheten av tallrepresentasjonen vil bli oppnådd.

3. De resulterende heltallsdelene av produktene, som er sifre i tallet i det nye tallsystemet, bør bringes i samsvar med alfabetet til det nye tallsystemet.

4. Komponer brøkdelen av et tall i det nye tallsystemet, med utgangspunkt i heltallsdelen av det første produktet.

Eksempel 2.17. Konverter tallet 0,65625 10 til det oktale tallsystemet.

Vi får: 0,65625 10 =0,52 8

Eksempel 2.17. Konverter tallet 0,65625 10 til et heksadesimalt tallsystem.

	x 16

Vi får: 0,65625 10 =0,A8 1

Eksempel 2.18. Konverter desimalbrøken 0,5625 10 til det binære tallsystemet.

	x 2
	x 2
	x 2
	x 2

Vi får: 0,5625 10 =0,1001 2

Eksempel 2.19. Konverter desimalbrøken 0,7 10 til det binære tallsystemet.

Selvfølgelig kan denne prosessen fortsette i det uendelige, og gir flere og flere nye tegn i bildet av den binære ekvivalenten til tallet 0,7 10. Så i fire trinn får vi tallet 0,1011 2, og i syv trinn tallet 0,1011001 2, som er en mer nøyaktig representasjon av tallet 0,7 10 i binær tallsystem, og etc. En slik endeløs prosess avsluttes på et visst trinn, når det anses at den nødvendige nøyaktigheten av tallrepresentasjon er oppnådd.

2.3.3. Oversettelse av vilkårlige tall

Oversettelse av vilkårlige tall, dvs. tall som inneholder heltalls- og brøkdeler utføres i to trinn. Separat oversatt hele delen, separat - brøk. I den endelige registreringen av det resulterende tallet er heltallsdelen atskilt fra brøkdelen med et komma (prikk).

Eksempel 2.20. Konverter tallet 17,25 10 til det binære tallsystemet.

Vi får: 17,25 10 =1001,01 2

Eksempel 2.21. Konverter tallet 124,25 10 til oktal system.

Vi får: 124,25 10 =174,2 8

2.3.4. Konvertering av tall fra grunntall 2 til grunntall 2 n og omvendt

Oversettelse av heltall. Hvis basisen til q-ary-tallsystemet er en potens av 2, kan konverteringen av tall fra q-ary-tallsystemet til 2-ary-tallsystemet og tilbake utføres ved å bruke mer enkle regler. For å skrive et heltalls binært tall i tallsystemet med grunntall q=2 n, trenger du:

1. Del det binære tallet fra høyre til venstre i grupper med n sifre hver.

2. Hvis den siste venstre gruppen har mindre enn n sifre, må den til venstre suppleres med nuller til ønsket antall sifre.

Eksempel 2.22. Tallet 101100001000110010 2 vil bli konvertert til det oktale tallsystemet.

Vi deler tallet fra høyre til venstre i treklanger og under hver av dem skriver vi det tilsvarende oktale sifferet:

Vi får den oktale representasjonen av det opprinnelige tallet: 541062 8 .

Eksempel 2.23. Tallet 1000000000111110000111 2 vil bli konvertert til det heksadesimale tallsystemet.

Vi deler tallet fra høyre til venstre i tetrader og under hver av dem skriver vi det tilsvarende heksadesimale sifferet:

Vi får den heksadesimale representasjonen av det opprinnelige tallet: 200F87 16.

Oversettelse brøktall. For å skrive et binært brøktall i et tallsystem med grunntall q=2 n, trenger du:

1. Del det binære tallet fra venstre til høyre i grupper med n sifre hver.

2. Hvis den siste høyregruppen har mindre enn n sifre, må den til høyre suppleres med nuller til ønsket antall sifre.

3. Betrakt hver gruppe som et n-bit binært tall og skriv det med det tilsvarende sifferet i tallsystemet med grunntallet q=2 n.

Eksempel 2.24. Tallet 0,10110001 2 vil bli konvertert til det oktale tallsystemet.

Vi deler tallet fra venstre til høyre i treklanger og under hver av dem skriver vi det tilsvarende oktale sifferet:

Vi får den oktale representasjonen av det opprinnelige tallet: 0,542 8 .

Eksempel 2.25. Tallet 0,100000000011 2 vil bli konvertert til det heksadesimale tallsystemet. Vi deler tallet fra venstre til høyre i tetrader og under hver av dem skriver vi det tilsvarende heksadesimale sifferet:

Vi får den heksadesimale representasjonen av det opprinnelige tallet: 0,803 16

Oversettelse av vilkårlige tall. For å skrive et vilkårlig binært tall i tallsystemet med grunntallet q=2 n, trenger du:

1. Del heltallsdelen av et gitt binært tall fra høyre til venstre, og brøkdelen fra venstre til høyre i grupper med n sifre hver.

2. Hvis de siste venstre og/eller høyre gruppene har mindre enn n sifre, må de suppleres til venstre og/eller høyre med nuller til det nødvendige antall sifre;

3. Betrakt hver gruppe som et n-bit binært tall og skriv det med det tilsvarende sifferet i tallsystemet med grunntallet q = 2 n

Eksempel 2.26. La oss konvertere tallet 111100101.0111 2 til det oktale tallsystemet.

Vi deler heltalls- og brøkdelene av tallet i treklanger og under hver av dem skriver vi det tilsvarende oktale sifferet:

Vi får den oktale representasjonen av det opprinnelige tallet: 745,34 8 .

Eksempel 2.27. Tallet 11101001000,11010010 2 vil bli konvertert til det heksadesimale tallsystemet.

Vi deler heltalls- og brøkdelene av tallet inn i notatbøker og under hver av dem skriver vi det tilsvarende heksadesimale sifferet:

Vi får den heksadesimale representasjonen av det opprinnelige tallet: 748,D2 16.

Konvertering av tall fra tallsystemer med grunntall q=2n til binær. For å vilkårlig nummer, skrevet i tallsystemet med grunntallet q=2 n, konvertert til det binære tallsystemet, må du erstatte hvert siffer i dette tallet med dets n-sifrede ekvivalent i det binære tallsystemet.

Eksempel 2.28.La oss konvertere det heksadesimale tallet 4AC35 16 til det binære tallsystemet.

I følge algoritmen:

Vi får: 1001010110000110101 2 .

Oppgaver for selvstendig gjennomføring (Svar)

2,38. Fyll ut tabellen, i hver rad hvor det samme heltall må skrives i forskjellige tallsystemer.

Binær	Oktal	Desimal	Heksadesimal

2,39. Fyll ut tabellen, i hver rad hvor det samme brøktallet skal skrives i forskjellige tallsystemer.

Binær	Oktal	Desimal	Heksadesimal

2,40. Fyll ut tabellen, i hver rad hvor det samme vilkårlige tallet (tallet kan inneholde både et heltall og en brøkdel) må skrives i forskjellige tallsystemer.

Binær	Oktal	Desimal	Heksadesimal
			59.B

Konvertering av tall fra ett tallsystem til et annet er en viktig del av maskinaritmetikk. La oss vurdere de grunnleggende reglene for oversettelse.

1. For å konvertere et binært tall til et desimaltall, er det nødvendig å skrive det i form av et polynom, bestående av produktene av sifrene til tallet og den tilsvarende potensen til 2, og beregne det i henhold til reglene for desimal aritmetikk:

Når du oversetter, er det praktisk å bruke tabellen over potenser av to:

Tabell 4. Potenser for 2. tall

n (grad)

Eksempel.

2. For oversettelse oktalt tall i desimal er det nødvendig å skrive det i form av et polynom, bestående av produktene av sifrene til tallet og den tilsvarende potensen til tallet 8, og beregne det i henhold til reglene for desimalregning:

Når du oversetter, er det praktisk å bruke potenstabellen på åtte:

Tabell 5. Potenser av tallet 8

n (grad)

Eksempel. Konverter tallet til desimaltallsystemet.

3. For oversettelse heksadesimalt tall i desimal er det nødvendig å skrive det i form av et polynom, bestående av produktene av sifrene til tallet og den tilsvarende potensen til tallet 16, og beregne det i henhold til reglene for desimalregning:

Ved oversettelse er den praktisk å bruke blitz av potenser av nummer 16:

Tabell 6. Potenser av tallet 16

n (grad)

Eksempel. Konverter tallet til desimaltallsystemet.

4. For å konvertere et desimaltall til binærsystemet må det sekvensielt divideres med 2 inntil det gjenstår en rest mindre enn eller lik 1. Et tall i det binære systemet skrives som en sekvens av siste divisjonsresultat og restene fra inndelingen i omvendt rekkefølge.

Eksempel. Konverter tallet til det binære tallsystemet.

5. For å konvertere et desimaltall til det oktale systemet, må det deles sekvensielt med 8 til det gjenstår en rest mindre enn eller lik 7. Et tall i det oktale systemet skrives som en sekvens av sifre av det siste delingsresultatet og resten av divisjonen i omvendt rekkefølge.

Eksempel. Konverter tallet til det oktale tallsystemet.

6. For å konvertere et desimaltall til det heksadesimale systemet, må det suksessivt divideres med 16 til det gjenstår en rest mindre enn eller lik 15. Tallet i heksadesimalt system skrives som en sekvens av sifre av siste divisjonsresultat og restene av divisjonen i omvendt rekkefølge.

Eksempel. Konverter tallet til et heksadesimalt tallsystem.

Leksjonens mål:

• gjenta materialet som er studert om emnet for tallsystemet;
• lære å konvertere et tall fra desimalsystemet til et hvilket som helst annet posisjoneltallsystem og omvendt;
• mestre prinsippene for å konvertere tall fra ett system til et annet;
• utvikle logisk tenkning.

I løpet av timene

I begynnelsen av timen en kort gjennomgang og kontroll av lekser.

I hvilken form presenteres numerisk informasjon i datamaskinens minne?

Hva brukes tallsystemer til?

Hvilke typer tallsystemer kjenner du til? Gi dine egne eksempler.

Hvordan skiller posisjonssystemer seg fra ikke-posisjonelle systemer?

Målet med leksjonen vår er å lære å konvertere et tall fra desimalsystem til et hvilket som helst annet posisjonsnummersystem og omvendt. Men først skal vi se på hvordan du kan

representerer et hvilket som helst ikke-negativt heltall:

I posisjonssystemer verdien av å skrive et heltall bestemmes av følgende regel: la a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 være en post av nummer A, og i er sifre, så

hvor p er et heltall større enn 1, som kalles grunnen til tallsystemet

For at, for en gitt p, kan ethvert ikke-negativt heltall skrives i henhold til formel (1) og dessuten på en unik måte, numeriske verdier forskjellige tall må være distinkte heltall som tilhører intervallet fra 0 til p-1.

1) Desimalsystem

tall: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

nummer 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0

2) Ternært system

tall: 0,1,2

tall 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0

Merk: underskriften i et tall angir grunnlaget for tallsystemet der nummeret er skrevet. For desimaltallsystemet trenger ikke indeksen skrives.

Representasjon av negative og brøktall:

I alle posisjonssystemer brukes "–"-tegnet for å skrive negative tall, akkurat som i desimalsystemet. Et komma brukes til å skille heltallsdelen av et tall fra brøkdelen. Verdien av oppføringen a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m av tallet A bestemmes av formelen, som er en generalisering av formel 1):

75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1

–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)

Konvertering av tall fra et vilkårlig tallsystem til desimal:

Det skal forstås at når du oversetter et tall fra ett tallsystem til et annet, endres ikke den kvantitative verdien av tallet, men bare formen for å skrive tallet endres, akkurat som når du oversetter navnet på et tall, for eksempel fra russisk til engelsk.

Konvertering av tall fra et vilkårlig tallsystem til desimal utføres ved direkte beregning ved bruk av formel (1) for heltall og formel (2) for brøker.

Konvertering av tall fra desimaltallsystemet til et vilkårlig tallsystem.

Å konvertere et tall fra desimalsystemet til et system med grunntall p betyr å finne koeffisientene i formel (2). Noen ganger er det lett å gjøre enkelt utvalg. La oss for eksempel si at du må konvertere tallet 23,5 til det oktale systemet. Det er lett å se at 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,48. Det er tydelig at svaret ikke alltid er like åpenbart. Generelt brukes metoden for å konvertere heltalls- og brøkdelene av et tall separat.

For å konvertere heltall brukes følgende algoritme (oppnådd basert på formel (1)):

1. Finn kvotienten og resten når du deler et tall på p. Resten vil være neste siffer ai (j=0,1,2...) av tallet i det nye tallsystemet.

2. Hvis kvotienten er lik null, er oversettelsen av tallet fullført, ellers bruker vi punkt 1 på kvoten.

Merknad 1. Sifrene ai i tallnotasjonen er nummerert fra høyre til venstre.

Merknad 2. Hvis p>10, er det nødvendig å introdusere notasjon for tall med numeriske verdier større enn eller lik 10.

Konverter tallet 165 til septaltallsystemet.

165:7 = 23 (resten 4) => a 0 = 4

23:7 = 3 (resten 2) => a 1 = 2

3:7 = 0 (resten 3) => a 2 = 3

La oss skrive ned resultatet: a 2 a 1 a 0 , dvs. 3247.

Etter å ha sjekket med formel (1), vil vi sørge for at oversettelsen er riktig:

3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.

For å konvertere brøkdeler av tall, brukes en algoritme oppnådd basert på formel (2):

1. Multipliser brøkdelen av tallet med p.

2. Heltallsdelen av resultatet vil være det neste sifferet am (m = –1, –2, –3 ...) for å skrive tallet i det nye tallsystemet. Hvis brøkdelen av resultatet er null, er oversettelsen av tallet fullført, ellers bruker vi trinn 1 på det.

Merknad 1. Sifrene a m i tallnotasjonen er ordnet fra venstre mot høyre i økende rekkefølge etter den absolutte verdien av m.

Merknad 2. Vanligvis antall brøksiffer i Ny inngang antall er begrenset på forhånd. Dette lar deg utføre en omtrentlig oversettelse med en gitt nøyaktighet. Når det gjelder uendelige brøker, sikrer en slik begrensning algoritmens endelighet.

Konverter tallet 0,625 til det binære tallsystemet.

0,625 2 = 1,25 (heltall del 1) => a -1 =1

0,25 2 = 0,5 (heltallsdel 0) => a- 2 = 0

0,5 2 = 1,00 (heltall del 1) => a- 3 = 1

Så 0,62510 = 0,1012

Etter å ha sjekket med formel (2), vil vi sørge for at oversettelsen er riktig:

0,1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.

Konverter tallet 0,165 til det kvartære tallsystemet, og begrense det til fire kvartære sifre.

0,165 4 = 0,66 (heltallsdel 0) => a -1 =0

0,66 4 = 2,64 (heltall del 2) => a -2 = 2

0,64 4 = 2,56 (heltall del 2) => a -3 = 2

0,56 4 = 2,24 (heltall del 2) => a -4 = 2

Så 0,16510" 0,02224

La oss gjøre det omvendt oversettelse for å sikre at den absolutte feilen ikke overstiger 4–4:

0,02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625

|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625

Konvertering av tall fra ett vilkårlig system til et annet

I dette tilfellet må du først konvertere tallet til desimalsystemet, og deretter fra desimalsystemet til det nødvendige.

En spesiell metode brukes til å konvertere tall for systemer med flere baser.

La p og q være grunnflatene til to tallsystemer. Vi vil kalle disse systemene tallsystemer med flere baser hvis p = qn eller q = pn, hvor n er et naturlig tall. Så for eksempel er tallsystemer med basene 2 og 8 flere grunntallsystemer.

La p = qn og du må konvertere et tall fra et tallsystem med grunntall q til et tallsystem med grunntall p. La oss dele heltalls- og brøkdelene av tallet inn i grupper med n sekvensielt skrevne sifre til venstre og høyre for desimaltegnet. Hvis antall sifre i heltallsdelen av et tall ikke er et multiplum av n, må du legge til det tilsvarende antallet nuller til venstre. Hvis antall sifre i brøkdelen av et tall ikke er et multiplum av n, legges nuller til høyre. Hver slik gruppe med sifre er et tall i gammelt system nummer vil tilsvare ett siffer i et tall i det nye tallsystemet.

La oss konvertere 1100001.111 2 til det kvartære tallsystemet.

Ved å legge til nuller og velge tallpar får vi 01100001.11102.

La oss nå oversette hvert par med sifre separat, ved å bruke delen Oversette tall fra ett vilkårlig system til et annet.

Så, 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.

La oss nå anta at vi må overføre fra et system med større base q til et system med mindre base p, dvs. q = pn. I dette tilfellet tilsvarer ett siffer av et tall i det gamle tallsystemet n sifre i et tall i det nye tallsystemet.

Eksempel: La oss sjekke den forrige oversettelsen av et tall.

1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112

I det heksadesimale systemet er det sifre med numeriske verdier 10,11,12, 13,14,15. For å angi dem, bruk de seks første bokstavene i det latinske alfabetet A, B, C, D, E, F.

Her er en tabell med tall fra 0 til 16, skrevet i tallsystemer med basene 10, 2, 8 og 16.

Tall i desimalsystem	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
I oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
I binær	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
I heksadesimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EN	B	C	D	E	F	10

For å skrive heksadesimale sifre kan du også bruke små latinske bokstaver a-f.

Eksempel: La oss konvertere tallet 110101001010101010100.11 2 til et heksadesimalt tallsystem.

La oss bruke multiplisiteten av basene til tallsystemene (16=2 4). La oss gruppere tallene med fire, og legge til det nødvendige antallet nuller til venstre og høyre

000110101001010101010100,1100 2

og når vi sjekker tabellen, får vi: 1A9554,C 16

Konklusjon:

Hvilket tallsystem som er best å skrive tall i er et spørsmål om bekvemmelighet og tradisjon. Fra et teknisk synspunkt er det praktisk å bruke det binære systemet i en datamaskin, siden det bare bruker to sifre 0 og 1 for å registrere et tall, som kan representeres av to lett gjenkjennelige tilstander "ingen signal" og "det er et signal."

Tvert imot er det upraktisk for en person å forholde seg til binære tall på grunn av det faktum at de er lengre enn desimaltall og det er mange repeterende sifre i dem. Arbeid derfor om nødvendig med maskinrepresentasjoner av tall, bruk oktale eller heksadesimale tallsystemer. Basene til disse systemene er heltallspotenser av to, og derfor konverteres tall enkelt fra disse systemene til binære og omvendt.

Skriv ned hjemmeoppgaven:

a) Skriv ned fødselsdatoen til alle medlemmer av familien din i forskjellige tallsystemer.

b) Konverter tall fra binære til oktale og heksadesimale, og kontroller deretter resultatene ved å utføre de omvendte konverteringene:

a) 1001111110111.011 2;

De som tar Unified State-eksamenen og mer...

Det er merkelig at de i informatikktimer på skolene vanligvis viser elevene den mest komplekse og upraktiske måten å konvertere tall fra ett system til et annet. Denne metoden består i å dele det opprinnelige tallet sekvensielt med basen og samle restene fra divisjonen i omvendt rekkefølge.

For eksempel må du konvertere tallet 810 10 til binært:

Vi skriver resultatet i omvendt rekkefølge fra bunn til topp. Det viser seg 81010 = 11001010102

Hvis du trenger å konvertere til det binære systemet, ganske store tall, så tar delingsstigen på størrelse med en fleretasjes bygning. Og hvordan kan du samle alle enerne og nullene og ikke gå glipp av en eneste?

I Unified State eksamensprogram i informatikk inkluderer flere oppgaver knyttet til oversettelse av tall fra ett system til et annet. Vanligvis er dette en konvertering mellom oktale og heksadesimale systemer og binære. Dette er strekningene A1, B11. Men det er også problemer med andre tallsystemer, som i avsnitt B7.

Til å begynne med, la oss minne om to tabeller som ville være gode å kunne utenat for de som velger informatikk som sitt fremtidige yrke.

Tabell over potenser av nummer 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Det oppnås enkelt ved å multiplisere det forrige tallet med 2. Så hvis du ikke husker alle disse tallene, er resten ikke vanskelig å få i tankene dine fra de du husker.

Bord binære tall fra 0 til 15 med heksadesimal representasjon:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EN	B	C	D	E	F

De manglende verdiene er også enkle å beregne ved å legge til 1 til de kjente verdiene.

Heltallskonvertering

Så la oss starte med å konvertere direkte til det binære systemet. La oss ta det samme tallet 810 10. Vi må dekomponere dette tallet i termer lik to potenser.

1. Vi ser etter kraften til to som er nærmest 810 og ikke overskrider den. Dette er 2 9 = 512.
2. Trekk 512 fra 810, vi får 298.
3. Gjenta trinn 1 og 2 til det ikke er noen 1-ere eller 0-ere igjen.
4. Vi fikk det slik: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

Så er det to metoder, du kan bruke hvilken som helst av dem. Hvor lett er det å se at i ethvert tallsystem er grunntallet alltid 10. Kvadraten til grunntall vil alltid være 100, terningen 1000. Det vil si at graden av grunnflaten til tallsystemet er 1 (en), og det er like mange nuller bak som graden er.

Metode 1: Ordne 1 i henhold til rekkene av indikatorene til begrepene. I vårt eksempel er disse 9, 8, 5, 3 og 1. De resterende plassene vil inneholde nuller. Så vi fikk den binære representasjonen av tallet 810 10 = 1100101010 2. Enhetene plasseres på 9., 8., 5., 3. og 1. plass, tellende fra høyre til venstre fra null.

Metode 2: La oss skrive begrepene som potenser av to under hverandre, og starter med den største.

810 =

La oss nå legge disse trinnene sammen, som å brette en vifte: 1100101010.

Det er alt. Samtidig er problemet "hvor mange enheter er i den binære notasjonen av tallet 810?" også enkelt løst.

Svaret er like mange som det er termer (to potenser) i denne representasjonen. 810 har 5 av dem.

Nå er eksemplet enklere.

La oss konvertere tallet 63 til det 5-årige tallsystemet. Den nærmeste potensen fra 5 til 63 er 25 (kvadrat 5). En kube (125) vil allerede være mye. Det vil si at 63 ligger mellom kvadratet på 5 og kuben. Deretter velger vi koeffisienten for 5 2. Dette er 2.

Vi får 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Og til slutt, veldig enkle oversettelser mellom 8 og heksadesimale systemer. Siden basen deres er en potens av to, gjøres oversettelsen automatisk, ganske enkelt ved å erstatte tallene med deres binære representasjon. For det oktale systemet erstattes hvert siffer med tre binære sifre, og for det heksadesimale systemet fire. I dette tilfellet kreves alle innledende nuller, bortsett fra det mest signifikante sifferet.

La oss konvertere tallet 547 8 til binært.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

En til, for eksempel 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	EN

La oss konvertere tallet 7368 til det heksadesimale systemet. Skriv først tallene i trillinger, og del dem deretter i firdobler fra slutten: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. La oss konvertere tallet C25 16 til det oktale systemet. Først skriver vi tallene i firere, og deler dem deretter i treere fra slutten: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. La oss nå se på å konvertere tilbake til desimal. Det er ikke vanskelig, det viktigste er ikke å gjøre feil i beregningene. Vi utvider tallet til et polynom med potenser av grunnflaten og koeffisienter for dem. Så multipliserer vi og legger til alt. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474.

Konvertering av negative tall

Her må du ta hensyn til at nummeret vil bli presentert i tilleggskode. For å konvertere et tall til tilleggskode må du vite det endelig størrelse tall, det vil si hva vi vil passe det inn i - i en byte, to byte, fire. Det mest signifikante sifferet i et tall betyr tegnet. Hvis det er 0, så er tallet positivt, hvis 1, så er det negativt. Til venstre er nummeret supplert med et tegnsiffer. Vi tar ikke hensyn til usignerte tall; de er alltid positive, og den viktigste biten i dem brukes som informasjon.

For å oversette negativt tall må konverteres til binært komplement positivt tall inn i det binære systemet, endre så null til enere og enere til null. Legg deretter til 1 til resultatet.

Så la oss konvertere tallet -79 til det binære systemet. Nummeret tar oss én byte.

Vi konverterer 79 til det binære systemet, 79 = 1001111. Vi legger til nuller til venstre til størrelsen på byten, 8 biter, vi får 01001111. Vi endrer 1 til 0 og 0 til 1. Vi får 10110000. Vi legger til 1 til resultatet får vi svaret 10110001. Underveis svarer vi på Unified State Exam-spørsmålet "hvor mange enheter i binær representasjon tall -79?" Svaret er 4.

Å legge til 1 til inversen av et tall eliminerer forskjellen mellom representasjonene +0 = 00000000 og -0 = 11111111. I tos komplementkode vil de skrives det samme som 00000000.

Konvertering av brøktall

Brøktall konverteres på motsatt måte ved å dele hele tall med grunntall, som vi så på helt i begynnelsen. Det vil si å bruke sekvensiell multiplikasjon med en ny base med samlingen av hele deler. Heltallsdelene oppnådd under multiplikasjon samles, men deltar ikke i følgende operasjoner. Bare brøker multipliseres. Hvis det opprinnelige tallet er større enn 1, blir heltalls- og brøkdelene oversatt separat og deretter limt sammen.

La oss konvertere tallet 0,6752 til det binære systemet.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Prosessen kan fortsette i lang tid til vi får alle nullene i brøkdelen eller den nødvendige nøyaktigheten er oppnådd. La oss stoppe ved det sjette skiltet for nå.

Det viser seg 0,6752 = 0,101011.

Hvis tallet var 5,6752, vil det i binært være 101,101011.

Kalkulatoren lar deg konvertere hele og brøktall fra ett tallsystem til et annet. Grunnlaget for tallsystemet kan ikke være mindre enn 2 og større enn 36 (10 sifre og 26 latinske bokstaver tross alt). Lengden på tallene må ikke overstige 30 tegn. For å legge inn brøktall, bruk symbolet. eller, . For å konvertere et tall fra ett system til et annet, skriv inn det opprinnelige tallet i det første feltet, grunntallet til det opprinnelige tallsystemet i det andre, og grunnlaget for tallsystemet du vil konvertere tallet til i det tredje feltet, klikk deretter på "Get Record"-knappen.

Originalnummer skrevet på 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 364 3 5 -te tallsystem.

Jeg ønsker å få skrevet inn et nummer 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -te tallsystem.

Få inngang

Fullførte oversettelser: 1363703

Tallsystemer

Tallsystemer er delt inn i to typer: posisjonell Og ikke posisjonsmessig. Vi bruker det arabiske systemet, det er posisjonsbestemt, men det er også det romerske systemet – det er ikke posisjonelt. I posisjonssystemer bestemmer posisjonen til et siffer i et tall entydig verdien av det tallet. Dette er lett å forstå ved å se på et tall som eksempel.

Eksempel 1. La oss ta tallet 5921 i desimaltallsystemet. La oss nummerere tallet fra høyre til venstre fra null:

Tallet 5921 kan skrives i følgende form: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Tallet 10 er en egenskap som definerer tallsystemet. Verdiene for posisjonen til et gitt tall tas som potenser.

Eksempel 2. Tenk på det reelle desimaltallet 1234.567. La oss nummerere det fra null posisjon tall fra desimaltegn til venstre og høyre:

Tallet 1234.567 kan skrives i følgende form: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3.

Konvertering av tall fra ett tallsystem til et annet

Mest på en enkel måteå konvertere et tall fra ett tallsystem til et annet er å først konvertere tallet til et desimaltallsystem, og deretter det resulterende resultatet til det nødvendige tallsystemet.

Konvertering av tall fra et hvilket som helst tallsystem til desimaltallsystemet

For å konvertere et tall fra et hvilket som helst tallsystem til desimal, er det nok å nummerere dets sifre, og starter med null (sifferet til venstre for desimaltegnet) på samme måte som eksempel 1 eller 2. La oss finne summen av produktene til sifrene av tallet ved basis av tallsystemet i potens av posisjonen til dette sifferet:

1. Konverter tallet 1001101.1101 2 til desimaltallsystemet.
Løsning: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Svar: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konverter tallet E8F.2D 16 til desimaltallsystemet.
Løsning: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Svar: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Konvertering av tall fra desimaltallsystemet til et annet tallsystem

For å konvertere tall fra desimaltallsystemet til et annet tallsystem, må heltalls- og brøkdelene av tallet konverteres separat.

Konvertering av en heltallsdel av et tall fra et desimaltallsystem til et annet tallsystem

En heltallsdel konverteres fra et desimaltallsystem til et annet tallsystem ved sekvensielt å dele heltallsdelen av et tall med tallsystemets grunnflate inntil en hel rest er oppnådd som er mindre enn tallsystemets grunnflate. Resultatet av oversettelsen vil være en registrering av resten, og starter med den siste.

3. Konverter tallet 273 10 til det oktale tallsystemet.
Løsning: 273 / 8 = 34 og resten 1. 34 / 8 = 4 og resten 2. 4 er mindre enn 8, så beregningen er fullført. Rekorden fra saldoene vil se slik ut: 421
Undersøkelse: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, resultatet er det samme. Dette betyr at oversettelsen ble utført riktig.
Svar: 273 10 = 421 8

Vurder oversettelsen av riktige desimalbrøker til ulike systemer Regning.

Konvertering av brøkdelen av et tall fra desimaltallsystemet til et annet tallsystem

Husk at en riktig desimalbrøk kalles reelt tall med null heltallsdel. For å konvertere et slikt tall til et tallsystem med base N, må du sekvensielt multiplisere tallet med N til brøkdelen går til null eller det nødvendige antallet sifre er oppnådd. Hvis det under multiplikasjon oppnås et tall med en heltallsdel som ikke er null, blir ikke heltallsdelen tatt videre i betraktning, siden den legges inn sekvensielt i resultatet.

4. Konverter tallet 0,125 10 til det binære tallsystemet.
Løsning: 0,125·2 = 0,25 (0 er heltallsdelen, som blir det første sifferet i resultatet), 0,25·2 = 0,5 (0 er det andre sifferet i resultatet), 0,5·2 = 1,0 (1 er det tredje sifferet av resultatet, og siden brøkdelen er null, er oversettelsen fullført).
Svar: 0.125 10 = 0.001 2