Eksempler på matrisemultiplikasjon 2x2. Multiplisere en kvadratisk matrise med en kolonnematrise

Vi vil sekvensielt "ekskludere" de ukjente. For å gjøre dette vil vi la den første ligningen til systemet være uendret, og transformere den andre og tredje:

1) til den andre ligningen legger vi til den første, multiplisert med –2, og bringer den til formen –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) til den tredje ligningen legger vi til den første, multiplisert med – 4, og bringer den til formen –3 x 2 – 4x 3 = 2.

Som et resultat vil det ukjente bli ekskludert fra den andre og tredje ligningen x 1 og systemet vil ta formen

Vi multipliserer den andre og tredje likningen av systemet med –1, vi får

Koeffisient 1 i den første ligningen for den første ukjente X 1 kalles ledende element det første trinnet i eliminering.

I det andre trinnet forblir den første og andre ligningen uendret, og den samme metoden for å eliminere variabelen brukes på den tredje ligningen x 2 . Ledende element av det andre trinnet er koeffisienten 3. Til den tredje ligningen legger vi den andre, multiplisert med –1, så transformeres systemet til formen

(1.2)

Prosessen med å redusere system (1.1) til form (1.2) kalles direkte fremdriften av metoden Gauss.

Prosedyren for å løse system (1.2) kalles baklengs. Fra den siste ligningen får vi X 3 = –2. Ved å erstatte denne verdien i den andre ligningen får vi X 2 = 2. Etter dette gir den første ligningen X 1 = 1. Dermed er en løsning på systemet (1.1).

Matrisekonsept

La oss vurdere mengdene som inngår i systemet (1.1). Et sett med ni numeriske koeffisienter som vises foran de ukjente i ligninger danner en talltabell kalt matrise:

EN= .

(1.3)

Tabellnumrene kalles elementer matriser. Elementer dannes rader og kolonner matriser. Antall rader og antall kolonner dannes dimensjon matriser. Matrise EN har en dimensjon på 3´3 ("tre ganger tre"), med det første tallet som indikerer antall rader, og det andre antallet kolonner. Ofte er en matrise betegnet ved å indikere dens dimensjon A (3 ´ 3). Siden antall rader og kolonner i matrisen EN det samme kalles matrisen torget. Antall rader (og kolonner) i en kvadratisk matrise kalles dens i rekkefølge, Derfor EN- matrise tredje orden.

Høyresidene av ligningene danner også en talltabell, dvs. matrise:

Hver rad i denne matrisen er dannet av et enkelt element, så B(3 ´ 1) kalles matrise-kolonne, dens dimensjon er 3´1. Settet med ukjente kan også representeres som en kolonnematrise:

Multiplikasjon kvadratisk matrise til matrise-kolonne

Med matriser er det mulig å produsere ulike operasjoner, som vil bli diskutert i detalj senere. Her skal vi kun analysere regelen for å multiplisere en kvadratisk matrise med en kolonnematrise. Av definisjon, resultatet av matrisemultiplikasjon EN(3 ´ 3) per kolonne I(3 ´ 1) er kolonnen D(3 ´ 1) , hvis elementer er lik summen av produktene til elementene i matriseradene EN til kolonneelementer I:

2)sekund kolonneelement D lik summen av produktene til elementene sekund matriserader EN til kolonneelementer I:

Fra formlene ovenfor er det klart at multiplisere en matrise med en kolonne I er bare mulig hvis antall matrisekolonner EN lik antall elementer i kolonnen I.

La oss se på ytterligere to numeriske eksempler på matrisemultiplikasjon (3 ´3) per kolonne (3 ´1):

Eksempel 1.1

AB =
.

Eksempel 1.2

AB= .

1. år, høyere matematikk, studerer matriser og grunnleggende handlinger på dem. Her systematiserer vi de grunnleggende operasjonene som kan utføres med matriser. Hvor skal man begynne å bli kjent med matriser? Selvfølgelig, fra de enkleste ting - definisjoner, grunnleggende konsepter og enkle operasjoner. Vi forsikrer deg om at matrisene vil bli forstått av alle som bruker minst litt tid på dem!

Matrisedefinisjon

Matrise er en rektangulær tabell med elementer. Vel, hva om på enkelt språk– talltabell.

Vanligvis er matriser angitt med store bokstaver med latinske bokstaver. For eksempel matrise EN , matrise B og så videre. Matriser kan være forskjellige størrelser: rektangulær, kvadratisk, det finnes også radmatriser og kolonnematriser kalt vektorer. Størrelsen på matrisen bestemmes av antall rader og kolonner. La oss for eksempel skrive en rektangulær matrise av størrelse m på n , Hvor m – antall linjer, og n - Antall kolonner.

Varer for hvilke i=j (a11, a22, .. ) danner hoveddiagonalen til matrisen og kalles diagonal.

Hva kan du gjøre med matriser? Legg til/trekk fra, gange med et tall, formere seg mellom seg, transponere. Nå om alle disse grunnleggende operasjonene på matriser i rekkefølge.

Matriseaddisjons- og subtraksjonsoperasjoner

La oss umiddelbart advare deg om at du bare kan legge til matriser av samme størrelse. Resultatet vil være en matrise av samme størrelse. Å legge til (eller trekke fra) matriser er enkelt - du trenger bare å legge sammen de tilsvarende elementene . La oss gi et eksempel. La oss legge til to matriser A og B med størrelse to og to.

Subtraksjon utføres analogt, bare med motsatt fortegn.

På vilkårlig nummer Du kan multiplisere hvilken som helst matrise. Å gjøre dette, du må multiplisere hvert av elementene med dette tallet. La oss for eksempel multiplisere matrisen A fra det første eksemplet med tallet 5:

Matrisemultiplikasjonsoperasjon

Ikke alle matriser kan multipliseres sammen. For eksempel har vi to matriser - A og B. De kan bare multipliseres med hverandre hvis antall kolonner i matrise A er lik antall rader i matrise B. I dette tilfellet hvert element i den resulterende matrisen plassert i i-te rad og jth kolonne, vil være lik summen av produktene til de tilsvarende elementene i i-te linje den første faktoren og den j-te kolonnen i den andre. For å forstå denne algoritmen, la oss skrive ned hvordan to kvadratiske matriser multipliseres:

Og et eksempel med reelle tall. La oss multiplisere matrisene:

Matrisetransponeringsoperasjon

Matrisetransponering er en operasjon der de tilsvarende radene og kolonnene byttes. La oss for eksempel transponere matrisen A fra det første eksemplet:

Matrisedeterminant

Determinant, eller determinant, er et av de grunnleggende begrepene i lineær algebra. Det var en gang folk kom opp med lineære ligninger, og etter dem måtte de komme med en determinant. Til syvende og sist er det opp til deg å takle alt dette, så det siste dyttet!

Determinanten er en numerisk karakteristikk av en kvadratisk matrise, som er nødvendig for å løse mange problemer.
For å beregne determinanten til den enkleste kvadratiske matrisen, må du beregne forskjellen mellom produktene til elementene i hoved- og sekundærdiagonalene.

Determinanten til en matrise av første orden, det vil si bestående av ett element, er lik dette elementet.

Hva om matrisen er tre ganger tre? Dette er vanskeligere, men du kan klare det.

For en slik matrise er verdien av determinanten lik summen av produktene til elementene i hoveddiagonalen og produktene til elementene som ligger på trekantene med en flate parallelt med hoveddiagonalen, hvorfra produktet av elementer av sekundærdiagonalen og produktet av elementene som ligger på trekantene med forsiden av den parallelle sekundære diagonalen trekkes fra.

Heldigvis er det i praksis sjelden nødvendig å beregne determinanter for matriser av store størrelser.

Her så vi på grunnleggende operasjoner på matriser. Selvfølgelig, i det virkelige liv du kan aldri støte på et hint av et matrisesystem av ligninger, eller tvert imot, du kan støte på mye mer komplekse saker når du virkelig må gruble deg. Det er for slike saker det finnes profesjonelle studenttjenester. Be om hjelp, få kvalitet og detaljert løsning, nyt din akademiske suksess og fritid.

Gitt Verktøysett vil hjelpe deg å lære hvordan du presterer operasjoner med matriser: addisjon (subtraksjon) av matriser, transponering av en matrise, multiplikasjon av matriser, finne den inverse matrisen. Alt materiale presenteres i en enkel og tilgjengelig form, relevante eksempler er gitt, slik at selv en uforberedt person kan lære å utføre handlinger med matriser. For egenkontroll og selvtesting kan du laste ned en matrisekalkulator gratis >>>.

Jeg vil prøve å minimere teoretiske beregninger; noen steder er forklaringer "på fingrene" og bruk av ikke-vitenskapelige termer mulig. Elskere av solid teori, vennligst ikke delta i kritikk, vår oppgave er lære å utføre operasjoner med matriser.

For SUPERRASK forberedelse til temaet (hvem er «tennende») er det et intensivt pdf-kurs Matrise, determinant og test!

En matrise er en rektangulær tabell av noen elementer. Som elementer vi vil vurdere tall, det vil si numeriske matriser. ELEMENT er et begrep. Det er lurt å huske begrepet, det vil dukke opp ofte, det er ingen tilfeldighet at jeg brukte fet skrift for å fremheve det.

Betegnelse: matriser er vanligvis merket med store latinske bokstaver

Eksempel: Tenk på en to-av-tre-matrise:

Denne matrisen består av seks elementer:

Alle tall (elementer) inne i matrisen eksisterer på egen hånd, det vil si at det ikke er snakk om noen subtraksjon:

Det er bare en tabell (sett) med tall!

Vi er også enige ikke omorganiser tall, med mindre annet er angitt i forklaringene. Hvert nummer har sin egen plassering og kan ikke stokkes!

Den aktuelle matrisen har to rader:

og tre kolonner:

STANDARD: når man snakker om matrisestørrelser, da først angi antall rader, og først da antall kolonner. Vi har nettopp brutt ned to-av-tre-matrisen.

Hvis antall rader og kolonner i en matrise er det samme, kalles matrisen torget, For eksempel: – en tre-av-tre-matrise.

Hvis en matrise har én kolonne eller én rad, kalles også slike matriser vektorer.

Faktisk har vi kjent konseptet med en matrise siden skolen; tenk for eksempel på et punkt med koordinatene "x" og "y": . I hovedsak er koordinatene til et punkt skrevet inn i en en-og-to-matrise. Her er forresten et eksempel på hvorfor rekkefølgen på tallene betyr noe: og er to helt forskjellige punkter på flyet.

La oss nå gå videre til å studere operasjoner med matriser:

1) Akt én. Fjerne et minus fra matrisen (introdusere et minus i matrisen).

La oss gå tilbake til matrisen vår . Som du sikkert har lagt merke til, er det for mange negative tall i denne matrisen. Dette er svært upraktisk fra et ytelsessynspunkt. ulike handlinger med en matrise er det upraktisk å skrive så mange minuser, og det ser bare stygt ut i designet.

La oss flytte minus utenfor matrisen ved å endre fortegnet til HVERT element i matrisen:

Ved null, som du forstår, endres ikke tegnet; null er også null i Afrika.

Omvendt eksempel: . Det ser stygt ut.

La oss introdusere et minus i matrisen ved å endre tegnet til HVERT element i matrisen:

Vel, det ble mye finere. Og viktigst av alt, det vil være LETTERE å utføre alle handlinger med matrisen. Fordi det er et slikt matematisk folketegn: jo flere minuser, jo mer forvirring og feil.

2) Akt to. Multiplisere en matrise med et tall.

Eksempel:

Det er enkelt, for å multiplisere en matrise med et tall, trenger du hver matriseelement multiplisert med gitt nummer. I i dette tilfellet- for tre.

En annen nyttig eksempel:

– multiplisere en matrise med en brøk

La oss først se på hva vi skal gjøre INGEN BEHOV:

Det er IKKE NØDVENDIG å legge inn en brøk i matrisen, for det første kompliserer det bare ytterligere handlinger med en matrise, for det andre gjør det det vanskelig for læreren å sjekke løsningen (spesielt hvis – endelig svar på oppgaven).

Og spesielt, INGEN BEHOV del hvert element i matrisen med minus syv:

Fra artikkelen Matematikk for dummies eller hvor du skal begynne, husker vi at i høyere matematikk prøver de å unngå desimalbrøker med komma på alle mulige måter.

Det eneste er helst Det du skal gjøre i dette eksemplet er å legge til et minus i matrisen:

Men hvis bare ALLE matriseelementer ble delt på 7 uten et spor, da ville det vært mulig (og nødvendig!) å dele.

Eksempel:

I dette tilfellet kan du TRENGER Å multipliser alle matriseelementer med , siden alle matrisetall er delbare med 2 uten et spor.

Merk: i teorien om matematikk på høyere skole er det ikke noe begrep om "divisjon". I stedet for å si «dette delt på det», kan du alltid si «dette multiplisert med en brøkdel». Det vil si at deling er spesielt tilfelle multiplikasjon.

3) Tredje akt. Matrix Transponere.

For å transponere en matrise, må du skrive dens rader inn i kolonnene i den transponerte matrisen.

Eksempel:

Transponer matrise

Det er bare én linje her, og i henhold til regelen må den skrives i en kolonne:

– transponert matrise.

En transponert matrise er vanligvis indikert med et hevet skrift eller et primtall øverst til høyre.

Steg for steg eksempel:

Transponer matrise

Først omskriver vi den første raden til den første kolonnen:

Så skriver vi om den andre linjen til den andre kolonnen:

Og til slutt, omskriver vi den tredje raden til den tredje kolonnen:

Klar. Grovt sett betyr transponering å snu matrisen på siden.

4) Akt fire. Sum (forskjell) av matriser.

Summen av matriser er en enkel operasjon.
IKKE ALLE MATRISKER KAN BETES. For å utføre addisjon (subtraksjon) av matriser, er det nødvendig at de har SAMME STØRRELSE.

For eksempel, hvis en to-til-to-matrise er gitt, kan den bare legges til med en to-til-to-matrise og ingen andre!

Eksempel:

Legg til matriser Og

For å legge til matriser, må du legge til de tilsvarende elementene:

For forskjellen av matriser er regelen lik, det er nødvendig å finne forskjellen mellom de tilsvarende elementene.

Eksempel:

Finn matriseforskjell ,

Hvordan bestemme dette eksemplet lettere for ikke å bli forvirret? Det er tilrådelig å kvitte seg med unødvendige minuser; for å gjøre dette, legg til et minus til matrisen:

Merk: i teorien om matematikk på høyere skole er det ikke noe konsept for "subtraksjon". I stedet for å si "trekk dette fra dette", kan du alltid si "legg dette til dette." et negativt tall" Det vil si at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon.

5) Akt fem. Matrisemultiplikasjon.

Hvilke matriser kan multipliseres?

For at en matrise skal multipliseres med en matrise, er det nødvendig slik at antall matrisekolonner er lik antall matriserader.

Eksempel:
Er det mulig å multiplisere en matrise med en matrise?

Dette betyr at matrisedata kan multipliseres.

Men hvis matrisene omorganiseres, er multiplikasjon i dette tilfellet ikke lenger mulig!

Derfor er multiplikasjon ikke mulig:

Det er ikke så sjeldent å møte oppgaver med et triks, når eleven blir bedt om å multiplisere matriser, hvis multiplikasjon åpenbart er umulig.

Det skal bemerkes at det i noen tilfeller er mulig å multiplisere matriser på begge måter.
For eksempel for matriser, og både multiplikasjon og multiplikasjon er mulig

Så i forrige leksjon så vi på reglene for å legge til og subtrahere matriser. Det er så enkle operasjoner at de fleste elever forstår dem bokstavelig talt rett på gang.

Imidlertid gleder du deg tidlig. Freebie er over - la oss gå videre til multiplikasjon. Jeg vil advare deg med en gang: å multiplisere to matriser er slett ikke å multiplisere tall i celler med de samme koordinatene, som du kanskje tror. Alt er mye morsommere her. Og vi må starte med foreløpige definisjoner.

Matchende matriser

En av de viktigste egenskapene matrise er størrelsen. Vi har allerede snakket om dette hundre ganger: å skrive $A=\venstre[ m\ ganger n \right]$ betyr at matrisen har nøyaktig $m$ rader og $n$ kolonner. Vi har også allerede diskutert hvordan man ikke kan forveksle rader med kolonner. Noe annet er viktig nå.

Definisjon. Matriser av formen $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ og $B=\venstre[ n\ ganger k \høyre]$, der antall kolonner i den første matrisen sammenfaller med antall rader i den andre kalles konsistente.

Nok en gang: antall kolonner i den første matrisen er lik antall rader i den andre! Herfra får vi to konklusjoner på en gang:

Rekkefølgen på matrisene er viktig for oss. For eksempel er matrisene $A=\venstre[ 3\ ganger 2 \høyre]$ og $B=\venstre[ 2\ ganger 5 \høyre]$ konsistente (2 kolonner i den første matrisen og 2 rader i den andre) , men omvendt — matrisene $B=\venstre[ 2\ ganger 5 \høyre]$ og $A=\venstre[ 3\ ganger 2 \høyre]$ er ikke lenger konsistente (5 kolonner i den første matrisen er ikke 3 rader i den andre).
Konsistens kan enkelt kontrolleres ved å skrive ned alle dimensjonene etter hverandre. Ved å bruke eksempelet fra forrige avsnitt: "3 2 2 5" - det er identiske tall i midten, så matrisene er konsistente. Men "2 5 3 2" er ikke konsistente, siden det er forskjellige tall i midten.

I tillegg ser det ut til at Captain Obviousness antyder at kvadratiske matriser av samme størrelse $\left[ n\ ganger n \right]$ alltid er konsistente.

I matematikk, når rekkefølgen på listeobjekter er viktig (for eksempel i definisjonen diskutert ovenfor er rekkefølgen på matriser viktig), snakker vi ofte om ordnede par. Vi møtte dem tilbake på skolen: Jeg tror det er ufattelig at koordinatene $\left(1;0 \right)$ og $\left(0;1 \right)$ definerer forskjellige punkter på flyet.

Altså: koordinater er også ordnede par som er bygd opp av tall. Men ingenting hindrer deg i å lage et slikt par fra matriser. Så kan vi si: "Et ordnet par med matriser $\left(A;B \right)$ er konsistent hvis antall kolonner i den første matrisen er det samme som antall rader i den andre."

Vel, hva så?

Definisjon av multiplikasjon

Tenk på to konsistente matriser: $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ og $B=\venstre[ n\ ganger k \høyre]$. Og vi definerer multiplikasjonsoperasjonen for dem.

Definisjon. Produktet av to matchende matriser $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ og $B=\venstre[ n\ ganger k \høyre]$ er ny matrise$C=\venstre[ m\ ganger k \right]$, hvis elementer er beregnet i henhold til formelen:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Et slikt produkt er betegnet på standardmåten: $C=A\cdot B$.

De som ser denne definisjonen for første gang har umiddelbart to spørsmål:

Hva slags heftig spill er dette?
Hvorfor er det så vanskelig?

Vel, første ting først. La oss starte med det første spørsmålet. Hva betyr alle disse indeksene? Og hvordan ikke gjøre feil når du jobber med ekte matriser?

Først av alt, merker vi at den lange linjen for å beregne $((c)_(i;j))$ (jeg satte spesielt et semikolon mellom indeksene for ikke å bli forvirret, men det er ikke nødvendig å sette dem inn generelt - Jeg ble selv lei av å skrive formelen i definisjonen) kommer faktisk ned til en enkel regel:

Ta $i$th rad i den første matrisen;
Ta $j$th-kolonnen i den andre matrisen;
Vi får to tallrekker. Vi multipliserer elementene i disse sekvensene med de samme tallene, og legger deretter til de resulterende produktene.

Denne prosessen er lett å forstå fra bildet:

Opplegg for å multiplisere to matriser

Nok en gang: vi fikser rad $i$ i den første matrisen, kolonne $j$ i den andre matrisen, multipliserer elementer med de samme tallene, og legger så til de resulterende produktene - vi får $((c)_(ij))$ . Og så videre for alle $1\le i\le m$ og $1\le j\le k$. De. Det vil være $m\ ganger k$ av slike "perversjoner" totalt.

Faktisk har vi allerede møtt matrisemultiplikasjon i skolens læreplan, bare i sterkt redusert form. La vektorene gis:

\[\begin(align) & \vec(a)=\venstre(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overhøyrepil(b)=\venstre(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \høyre). \\ \end(align)\]

Da vil deres skalarprodukt være nøyaktig summen av parvise produkter:

\[\overhøyrepil(a)\ ganger \overhøyrepil(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

I utgangspunktet, da trærne var grønnere og himmelen var lysere, multipliserte vi ganske enkelt radvektoren $\overrightarrow(a)$ med kolonnevektoren $\overrightarrow(b)$.

Ingenting har endret seg i dag. Det er bare det at nå er det flere av disse rad- og kolonnevektorene.

Men nok teori! La oss ta en titt på virkelige eksempler. Og la oss starte helt fra begynnelsen enkel sak— kvadratiske matriser.

Kvadratmatrisemultiplikasjon

Oppgave 1. Gjør multiplikasjonen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Så vi har to matriser: $A=\venstre[ 2\ ganger 2 \høyre]$ og $B=\venstre[ 2\ ganger 2 \høyre]$. Det er tydelig at de er konsistente (kvadratmatriser av samme størrelse er alltid konsistente). Derfor utfører vi multiplikasjonen:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(array)\right]. \end(align)\]

Det er alt!

Svar: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Oppgave 2. Gjør multiplikasjonen:

\[\venstre[ \begin(matrise) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(matrise)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Igjen, konsistente matriser, så vi utfører følgende handlinger:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrise) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrise) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrise) \right ] . \end(align)\]

Som du kan se, er resultatet en matrise fylt med nuller

Svar: $\left[ \begin(matrise) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrise) \right]$.

Fra eksemplene ovenfor er det åpenbart at matrisemultiplikasjon ikke er en så komplisert operasjon. Av i det minste for kvadratiske matriser i størrelse 2 x 2.

I prosessen med beregninger kompilerte vi en mellommatrise, der vi direkte beskrev hvilke tall som er inkludert i en bestemt celle. Det er nettopp dette som bør gjøres når man løser reelle problemer.

Grunnleggende egenskaper til matriseproduktet

I et nøtteskall. Matrisemultiplikasjon:

Ikke-kommutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ i det generelle tilfellet. Det finnes selvfølgelig spesielle matriser hvor likheten $A\cdot B=B\cdot A$ (for eksempel hvis $B=E$ er identitetsmatrisen), men i de aller fleste tilfeller fungerer ikke dette ;
Assosiativt: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Det er ingen alternativer her: står i nærheten matriser kan multipliseres uten å bekymre deg for hva som er til venstre og høyre for disse to matrisene.
Fordelingsvis: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ og $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (på grunn av produktets ikke-kommutativitet, er det nødvendig å spesifisere høyre og venstre distributivitet separat.

Og nå - alt er det samme, men mer detaljert.

Matrisemultiplikasjon ligner på mange måter klassisk tallmultiplikasjon. Men det er forskjeller, den viktigste er det Matrisemultiplikasjon er generelt sett ikke-kommutativ.

La oss se igjen på matrisene fra oppgave 1. Vi kjenner allerede deres direkte produkt:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]\]

Men hvis vi bytter ut matrisene, får vi et helt annet resultat:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(matrise) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrise) )\Ikke sant]\]

Det viser seg at $A\cdot B\ne B\cdot A$. I tillegg er multiplikasjonsoperasjonen kun definert for de konsistente matrisene $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ og $B=\venstre[ n\ ganger k \høyre]$, men ingen har garantert at de vil forbli konsekvente hvis de byttes. For eksempel er matrisene $\venstre[ 2\ ganger 3 \høyre]$ og $\venstre[ 3\ ganger 5 \høyre]$ ganske konsistente i den angitte rekkefølgen, men de samme matrisene $\venstre[ 3\ ganger 5 \right] $ og $\left[ 2\ ganger 3 \right]$ skrevet inn omvendt rekkefølge, er ikke lenger avtalt. Lei seg.:(

Blant kvadratiske matriser gitt størrelse$n$ vil det alltid være de som gir samme resultat både når de multipliseres i direkte og omvendt rekkefølge. Hvordan man skal beskrive alle slike matriser (og hvor mange det er generelt) er et tema for en egen leksjon. Det skal vi ikke snakke om i dag. :)

Imidlertid er matrisemultiplikasjon assosiativ:

\[\venstre(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Derfor, når du trenger å multiplisere flere matriser på rad samtidig, er det slett ikke nødvendig å gjøre det rett frem: det er ganske mulig at noen er i nærheten stående matriser når de multipliseres gir de et interessant resultat. For eksempel en nullmatrise, som i Oppgave 2 diskutert ovenfor.

I reelle problemer må vi oftest multiplisere kvadratiske matriser med størrelsen $\venstre[ n\ ganger n \høyre]$. Settet med alle slike matriser er betegnet med $((M)^(n))$ (dvs. oppføringene $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ og \ betyr det samme), og det vil nødvendigvis inneholde matrise $E$, som kalles identitetsmatrisen.

Definisjon. En identitetsmatrise av størrelse $n$ er en matrise $E$ slik at for enhver kvadratisk matrise $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ gjelder likheten:

En slik matrise ser alltid lik ut: det er ener på hoveddiagonalen, og nuller i alle andre celler.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \venstre(A+B \høyre)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Med andre ord, hvis du trenger å multiplisere en matrise med summen av to andre, kan du multiplisere den med hver av disse "to andre" og deretter legge til resultatene. I praksis må vi vanligvis utføre den motsatte operasjonen: vi legger merke til den samme matrisen, tar den ut av parentes, utfører tillegg og forenkler dermed livet vårt. :)

Merk: for å beskrive distributivitet, måtte vi skrive to formler: hvor summen er i den andre faktoren og hvor summen er i den første. Dette skjer nettopp fordi matrisemultiplikasjon er ikke-kommutativ (og generelt, i ikke-kommutativ algebra er det mange morsomme ting som ikke en gang kommer til tankene når du arbeider med vanlige tall). Og hvis du for eksempel trenger å skrive ned denne egenskapen i en eksamen, så sørg for å skrive begge formlene, ellers kan læreren bli litt sint.

Ok, dette var alle eventyr om kvadratiske matriser. Hva med rektangulære?

Tilfellet av rektangulære matriser

Men ingenting - alt er det samme som med firkantede.

Oppgave 3. Gjør multiplikasjonen:

\[\venstre[ \begin(matrise) \begin(matrise) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrise) & \begin(matrise) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrise) \ \\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Vi har to matriser: $A=\venstre[ 3\ ganger 2 \høyre]$ og $B=\venstre[ 2\ ganger 2 \høyre]$. La oss skrive ned tallene som indikerer størrelsene på rad:

Som du kan se, faller de to sentrale tallene sammen. Dette betyr at matrisene er konsistente og kan multipliseres. Dessuten, ved utgangen får vi matrisen $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrise) \begin(matrise) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrise) & \begin(matrise) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrise) \\\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(array) \right]. \end(align)\]

Alt er klart: den endelige matrisen har 3 rader og 2 kolonner. Ganske $=\venstre[ 3\ ganger 2 \høyre]$.

Svar: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrise) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrise) \\\end(matrise) \right]$.

La oss nå se på en av de beste treningsoppgavene for de som akkurat har begynt å jobbe med matriser. I den trenger du ikke bare multiplisere noen to tabletter, men først bestemme: er en slik multiplikasjon tillatt?

Oppgave 4. Finn alle mulige parvise produkter av matriser:

\\]; $B=\venstre[ \begin(matrise) \begin(matrise) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrise) & \begin(matrise) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrise) \\\end(matrise) \right]$; $C=\venstre[ \begin(matrise)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrise) \right]$.

Løsning. La oss først skrive ned størrelsene på matrisene:

\;\ B=\venstre[ 4\ganger 2 \høyre];\ C=\venstre[ 2\ganger 2 \høyre]\]

Vi finner at matrisen $A$ bare kan forenes med matrisen $B$, siden antall kolonner i $A$ er 4, og bare $B$ har dette antallet rader. Derfor kan vi finne produktet:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ venstre[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Jeg foreslår at leseren fullfører de mellomliggende trinnene uavhengig. Jeg vil bare merke at det er bedre å bestemme størrelsen på den resulterende matrisen på forhånd, selv før noen beregninger:

\\cdot \venstre[ 4\ ganger 2 \ høyre]=\ venstre[ 2\ ganger 2 \ høyre]\]

Med andre ord, vi fjerner ganske enkelt "transit"-koeffisientene som sørget for konsistensen til matrisene.

Hvilke andre alternativer er mulige? Selvfølgelig kan man finne $B\cdot A$, siden $B=\venstre[ 4\ ganger 2 \høyre]$, $A=\venstre[ 2\ ganger 4 \høyre]$, så det bestilte paret $\ left(B ;A \right)$ er konsistent, og dimensjonen til produktet vil være:

\\cdot \venstre[ 2\ ganger 4 \ høyre]=\ venstre[ 4\ ganger 4 \ høyre]\]

Kort fortalt vil utgangen være en matrise $\venstre[ 4\ ganger 4 \right]$, hvis koeffisienter lett kan beregnes:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ venstre[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]\]

Selvfølgelig kan du også bli enige om $C\cdot A$ og $B\cdot C$ - og det er det. Derfor skriver vi ganske enkelt ned de resulterende produktene:

Det var lett.:)

Svar: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Generelt anbefaler jeg på det sterkeste å gjøre denne oppgaven selv. Og enda en lignende oppgave, som er inne hjemmelekser. Disse tilsynelatende enkle tankene vil hjelpe deg med å øve på alle nøkkelstadiene av matrisemultiplikasjon.

Men historien slutter ikke der. La oss gå videre til spesielle tilfeller av multiplikasjon. :)

Radvektorer og kolonnevektorer

En av de vanligste matriseoperasjoner er multiplikasjon med en matrise som har én rad eller én kolonne.

Definisjon. En kolonnevektor er en matrise med størrelsen $\venstre[ m\ ganger 1 \høyre]$, dvs. som består av flere rader og kun én kolonne.

En radvektor er en matrise med størrelse $\venstre[ 1\ ganger n \høyre]$, dvs. som består av en rad og flere kolonner.

Faktisk har vi allerede møtt disse gjenstandene. For eksempel er en vanlig tredimensjonal vektor fra stereometri $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ ikke mer enn en radvektor. Fra et teoretisk synspunkt er det nesten ingen forskjell mellom rader og kolonner. Du trenger bare å være forsiktig når du koordinerer med de omkringliggende multiplikatormatrisene.

Oppgave 5. Gjør multiplikasjonen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Her har vi produktet av matchede matriser: $\venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]\cdot \venstre[ 3\ ganger 1 \høyre]=\venstre[ 3\ ganger 1 \høyre]$. La oss finne dette stykket:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]

Svar: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Oppgave 6. Gjør multiplikasjonen:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Løsning. Igjen er alt avtalt: $\venstre[ 1\ ganger 3 \høyre]\cdot \venstre[ 3\ ganger 3 \høyre]=\venstre[ 1\ ganger 3 \høyre]$. Vi teller produktet:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Svar: $\left[ \begin(matrise) 5 & -19 & 5 \\\end(matrise) \right]$.

Som du kan se, når vi multipliserer en radvektor og en kolonnevektor med en kvadratisk matrise, resulterer utdataene alltid i en rad eller kolonne av samme størrelse. Dette faktum har mange bruksområder - fra å løse lineære ligninger til alle slags koordinattransformasjoner (som til syvende og sist også kommer ned til likningssystemer, men la oss ikke snakke om triste ting).

Jeg tror alt var åpenbart her. La oss gå videre til siste del av dagens leksjon.

Matriseeksponentiering

Blant alle multiplikasjonsoperasjonene fortjener eksponentiering spesiell oppmerksomhet - dette er når vi multipliserer det samme objektet med seg selv flere ganger. Matriser er intet unntak, de kan også heves til ulike makter.

Slike arbeider avtales alltid:

\\cdot \venstre[ n\ ganger n \høyre]=\venstre[ n\ ganger n \høyre]\]

Og de er utpekt på nøyaktig samme måte som vanlige grader:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

Ved første øyekast er alt enkelt. La oss se hvordan dette ser ut i praksis:

Oppgave 7. Hev matrisen til den angitte styrken:

$((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(3))$

Løsning. Vel OK, la oss bygge. La oss først kvadrere det:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(2))=\venstre[ \begin(matrise ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]\cdot \venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(3))=((\venstre[ \begin) (matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrise) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Det er alt.:)

Svar: $\left[ \begin(matrise)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]$.

Oppgave 8. Hev matrisen til den angitte styrken:

\[((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(10))\]

Løsning. Bare ikke gråt nå over det faktum at «graden er for stor», «verden er ikke rettferdig» og «lærerne har mistet kysten fullstendig». Det er faktisk enkelt:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(10))=((\venstre[ \begin (matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(3))\cdot ((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrise) \right])^(3))\cdot ((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrise) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(matrise) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrise) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right ] \right)= \\ & =\venstre[ \begin(matrise) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(matrise) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(matrise) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right] \end(align)\ ]

Legg merke til at i den andre linjen brukte vi multiplikasjonsassosiativitet. Egentlig brukte vi det i forrige oppgave, men det var implisitt der.

Svar: $\left[ \begin(matrise) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right]$.

Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å heve en matrise til en potens. Siste eksempel kan oppsummeres:

\[((\venstre[ \begin(matrise) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrise) \right])^(n))=\venstre[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Dette faktum er lett å bevise gjennom matematisk induksjon eller direkte multiplikasjon. Det er imidlertid ikke alltid mulig å fange slike mønstre når man hever til en makt. Vær derfor forsiktig: å multiplisere flere matriser "tilfeldig" viser seg ofte å være enklere og raskere enn å lete etter en slags mønstre.

Generelt, ikke se etter høyere mening der det ikke er noen. Til slutt, la oss se på matriseeksponentiering større størrelse- så mye som $\venstre[ 3\ ganger 3 \right]$.

Oppgave 9. Hev matrisen til den angitte styrken:

\[((\venstre[ \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right])^(3))\]

Løsning. La oss ikke se etter mønstre. Vi jobber fremover:

\[((\venstre[ \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\slutt(matrise) \right])^(3))=(( \venstre[ \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrise)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right]\]

La oss først kvadrere denne matrisen:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right])^( 2))=\venstre[ \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right]\cdot \left[ \begin(matrise ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right]= \\ & =\venstre[ \begin(array)(*(35)(r) )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

La oss nå kube det:

\[\begin(align) & ((\venstre[ \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right])^( 3))=\venstre[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \venstre[ \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right]= \\ & =\venstre[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Det er alt. Problemet er løst.

Svar: $\left[ \begin(matrise) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrise) \right]$.

Som du kan se, har volumet av beregninger blitt større, men betydningen har ikke endret seg i det hele tatt. :)

Dette avslutter leksjonen. Neste gang vil vi vurdere den omvendte operasjonen: ved å bruke det eksisterende produktet vil vi se etter de opprinnelige faktorene.

Som du sikkert allerede har gjettet, vil vi snakke om invers matrise og metoder for å finne den.

Matrisetillegg:

Subtraksjon og addisjon av matriser reduserer til tilsvarende operasjoner på elementene deres. Matrise addisjon operasjon oppgitt kun for matriser samme størrelse, dvs. for matriser, der antall rader og kolonner er henholdsvis likt. Sum av matriser A og B kalles matrise C, hvis elementer er lik summen av de tilsvarende elementene. C = A + B c ij = a ij + b ij Definert tilsvarende matriseforskjell.

Multiplisere en matrise med et tall:

Matrix multiplikasjon (divisjon) operasjon av en hvilken som helst størrelse med et vilkårlig tall reduseres til å multiplisere (dele) hvert element matriser for dette nummeret. Matriseprodukt Og tallet k kalles matrise B, slik at

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrise- A = (-1) × A kalles det motsatte matrise EN.

Egenskaper for å legge til matriser og multiplisere en matrise med et tall:

Matriseaddisjonsoperasjoner Og matrisemultiplikasjon på et tall har følgende egenskaper: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 x A = A; 6. a x (A + B) = aA + aB; 7. (a + β) x A = αA + βA; 8. a x (βA) = (αβ) x A; , hvor A, B og C er matriser, α og β er tall.

Matrisemultiplikasjon (matriseprodukt):

Operasjon av å multiplisere to matriser angis bare for tilfellet når antall kolonner av den første matriser lik antall linjer i sekundet matriser. Matriseprodukt Og m×n på matrise I n×p, kalt matrise Med m×p slik at med ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a i × b nk , dvs. summen av produktene til elementene i den i-te raden finnes matriser Og til de tilsvarende elementene i den jth kolonnen matriser B. Hvis matriser A og B er kvadrater av samme størrelse, da finnes produktene AB og BA alltid. Det er lett å vise at A × E = E × A = A, hvor A er kvadratisk matrise, E - enhet matrise samme størrelse.

Egenskaper for matrisemultiplikasjon:

Matrisemultiplikasjon ikke kommutativ, dvs. AB ≠ BA selv om begge produktene er definert. Imidlertid, hvis for noen matriser forholdet AB=BA er tilfredsstilt, da slikt matriser kalles kommutative. Det mest typiske eksemplet er en singel matrise, som pendler med andre matrise samme størrelse. Bare firkantede kan være permuterbare matriser av samme rekkefølge. A × E = E × A = A

Matrisemultiplikasjon har følgende egenskaper: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A x (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) x C = AC + BC; 4. a x (AB) = (aA) x B; 5. A x 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinanter for 2. og 3. orden. Egenskaper til determinanter.

Matrisedeterminant andre orden, eller avgjørende faktor andre orden er et tall som beregnes med formelen:

Matrisedeterminant tredje orden, eller avgjørende faktor tredje orden er et tall som beregnes med formelen:

Dette tallet representerer en algebraisk sum som består av seks ledd. Hvert ledd inneholder nøyaktig ett element fra hver rad og hver kolonne matriser. Hvert ledd består av produktet av tre faktorer.

Skilt med hvilke medlemmer determinant for matrisen inkludert i formelen finne determinanten til matrisen tredje orden kan bestemmes ved hjelp av det gitte skjemaet, som kalles triangelregelen eller Sarrus regel. De tre første leddene tas med plusstegn og bestemmes fra venstre figur, og de neste tre leddene tas med minustegn og bestemmes ut fra høyre figur.

Bestem antall termer du skal finne determinant for matrisen, i en algebraisk sum, kan du beregne faktoren: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Egenskaper til matrisedeterminanter

Egenskaper til matrisedeterminanter:

Eiendom #1:

Matrisedeterminant vil ikke endres hvis radene erstattes med kolonner, hver rad med en kolonne med samme nummer, og omvendt (Transponering). |A| = |A| T

Konsekvens:

Kolonner og rader determinant for matrisen er like, derfor oppfylles egenskapene som ligger i rader også for kolonner.

Eiendom #2:

Når du omorganiserer 2 rader eller kolonner matrisedeterminant vil endre tegnet til det motsatte, og opprettholde den absolutte verdien, dvs.:

Eiendom #3:

Matrisedeterminantå ha to like rader er lik null.

Eiendom #4:

Felles faktor for elementer i enhver serie determinant for matrisen kan tas som et tegn avgjørende faktor.

Følger fra eiendom nr. 3 og nr. 4:

Hvis alle elementene i en bestemt serie (rad eller kolonne) er proporsjonale med de tilsvarende elementene i en parallell serie, så matrisedeterminant lik null.

Eiendom #5:

determinant for matrisen er lik null, da matrisedeterminant lik null.

Eiendom #6:

Hvis alle elementene i en rad eller kolonne avgjørende faktor presentert som en sum av 2 ledd, da avgjørende faktor matriser kan representeres som summen av 2 determinanter i henhold til formelen:

Eiendom #7:

Hvis til en hvilken som helst rad (eller kolonne) avgjørende faktor legg til de tilsvarende elementene i en annen rad (eller kolonne), multiplisert med det samme tallet, deretter matrisedeterminant vil ikke endre verdien.

Eksempel på bruk av egenskaper for beregning determinant for matrisen: