• hjem
  •  > 
  • Nettleserplugins
  •  > 
  • Regelen for å sette fellesfaktoren utenfor parentes. Ta den generelle faktoren ut av parentes – Kunnskapshypermarked

Regelen for å sette fellesfaktoren utenfor parentes. Ta den generelle faktoren ut av parentes – Kunnskapshypermarked

§ 10. Faktorisering av polynomer ved bruk av metoden å sette fellesfaktoren utenfor parentes

I 6. klasse faktoret vi sammensatte tall inn i primfaktorer, det vil si at vi presenterte naturlige tall som et produkt. For eksempel, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.

Noen polynomer kan også representeres som et produkt. Dette betyr at disse polynomene kan faktoriseres. For eksempel, 5a: - 5y - 5(x - y); a 3 og 3a 2 = a 2 (a + 3) og lignende.

La oss vurdere en av måtene å faktorisere polynomer - subtraksjon felles multiplikator ut av parentes. Et av eksemplene på en slik utvidelse kjent for oss er den distributive egenskapen til multiplikasjon a(b + c) = ab + ac, hvis skrevet i omvendt rekkefølge: ab + ac - a(b + c). Dette betyr at polynomet ab + ac ble dekomponert i to faktorer a og b + c.

Ved faktorisering av polynomer med heltallskoeffisienter, velges faktoren som tas ut av parenteser slik at vilkårene til polynomet som forblir i parentes ikke har en felles bokstavfaktor, og modulene til koeffisientene deres ikke har felles divisorer.

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 1. Faktor uttrykket:

3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.

R a s i z a n i.

1) Fellesfaktoren er tallet 4, altså

8m + 4 = 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).

2) Fellesfaktoren er derfor variabelen a

ved + 7ap = a(t + 7p).

3) B i dette tilfellet den felles numeriske faktoren er den største felles divisor av tallene 10 og 15 - tallet 5, og den felles bokstavfaktoren er monomialet a 2 b. Så,

15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).

Eksempel 2. Ta hensyn til:

1) 2m(b-s) + 3r(b-s);

2) x(y - t) + c(t - c).

R az v ’ i z a n n i.

1) I dette tilfellet er den felles faktoren binomialet b = c.

Derfor, 2m( b - Med) + 3р( b - c) = (b - с)(2m + 3р).

2) Begrepene har faktorer in - t og t - in, som er motsatte uttrykk. Derfor, i andre ledd tar vi faktoren -1 ut av parentes, får vi: c(t - в) = -с(у - t).

Derfor er x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).

For å kontrollere riktigheten av faktoriseringen, bør du multiplisere de resulterende faktorene. Resultatet må være lik det gitte polynomet.

Faktorisering av polynomer forenkler ofte prosessen med å løse en ligning.

Eksempel 3. Finn røttene til ligningen 5x 2 - 7x = 0.

R az v ’ i z a n n i. La oss faktorisere venstre side av ligningen ved å ta fellesfaktoren ut av parentes: x(5x - 7) = 0. Tatt i betraktning at produktet er lik null hvis og bare hvis minst én av faktorene lik null, vil vi ha: x = 0 eller 5x - 7 = 0, hvorav x = 0 eller x = 1,4.

Svar: 0; 1.4.

Hvilken transformasjon kalles faktorisering av et polynom? Ved å bruke eksemplet med polynomet ab + ac, forklar hvordan faktorisering utføres ved å plassere fellesfaktoren utenfor parentes.

  1. (Muntlig) Finn fellesfaktoren i uttrykket:
  1. (Munnelig) Faktor inn i:
  1. Ta den felles faktoren ut av parentes:
  1. (Muntlig) korrekt utførte faktoriseringene:

1) 7a + 7 = 7a;

2) 5m-5 = 5(m-5);

3) 2a-2 = 2(a-1);

4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);

5) 5mn + bn = 5m(n + 3);

6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?

  1. Skriv beløpet som et produkt:
  1. Faktorer det ut:
  1. Faktorer det ut:

4) 7a + 21ау;

5) 9x 2 - 27x;

6) 3a - 9a 2;

8) 12ax - 4a 2;

9) -18xy + 24v 2;

10) a2b-ab2;

11) rm - p 2 m;

12) -x 2 y 2 - xy.

  1. Ta den felles faktoren ut av parentes:

4) 15xy + 5x;

6) 15m - 30m 2 ;

7) 9xy + 6x2;

9) -p 2 q - pq 2.

  1. Faktorer det ut:

5) 3b 2 - 9b 3;

7) 4y 2 + 12y 4 ;

8) 5m 5 + 15m 2 ;

9) -16a 4 - 20a.

  1. Faktorer det ut:

4) 18p 3 - 12p 2 ;

5) 14b 3 + 7b 4;

6) -25m 3 - 20m.

  1. Skriv summen 6x 2 in + 15x som et produkt og finn verdien hvis x = -0,5, y = 5.
  2. Skriv uttrykket 12a 2 b - 8a som et produkt og finn verdien hvis a = 2, 6 = .
  3. Ta den felles faktoren ut av parentes:

1) a 4 + a 3 - a 2;

2) m9 - m2 + m7;

3) b 6 + b 5 - b 9;

4) - klokken 7 - klokken 12 - klokken 3.

  1. Presenter det som et produkt:

1) p 7 + p 3 - p 4;

2) a 10 - a 5 + a 8;

3) b 7 - b 5 - b 2;

4) -m 8 - m 2 - m 4.

  1. Beregn på en praktisk måte:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;

2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.

  1. Løs ligningen:

1) x 2 - 2 x = 0;

2) x 2 + 4x = 0.

  1. Finn røttene til ligningen:

1) x 2 + 3 x = 0;

2) x 2 -7x = 0.

1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;

2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;

3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;

4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.

  1. Ta den felles faktoren ut av parentes:

1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;

2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;

3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;

4) 21b - 28b 4 - 14b 3.

  1. Ta den felles faktoren ut av parentes:

1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;

2) 12a 2 b - 18ab 2 + 30ab 3;

3) 8x 2 y 2 - 4x 3 i 5 + 12x 4 i 3;

4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.

  1. Faktor polynomet:

1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3;

2) 12b 2 tommer - 18b 3 - 30b 4 tommer;

3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;

4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5.

  1. Beregn på en praktisk måte:

1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;

2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.

  1. Finn betydningen av uttrykket:

1) 4,23 a - a 2, hvis a = 5,23;

2) x 2 y + x 3, hvis x = 2,51, b = -2,51;

3) am 5 - m 6, hvis = -1, a = -5;

4) -xy - x 2, hvis x = 2,7, b = 7,3.

  1. Finn betydningen av uttrykket:

1) 9,11 a + a 2, hvis a = -10,11;

2) 5x 2 + 5a 2 x, hvis a = ; x = .

  1. Faktor polynomet:

1) 2p(x-y) + q(x-y);

2) a(x + y) - (x + y);

3) (a - 7) - b(a - 7);

4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;

5) (x + 2) 2-x(x + 2);

6) -5m(m-2) + 4(m-2)2.

  1. Uttrykk uttrykket som et produkt:

1) a(x-y) + b(y-x);

2) g(b-5)-n(5-b);

3) 7x - (2b - 3) + 5y (3 - 2b);

4) (x-y) 2-a(y-x);

5) 5(x-3)2-(3-x);

6) (a + 1)(2b - 3) - (a + 3)(3 - 2b).

  1. Faktorer det ut:

1) 3x(b-2) + y(b-2);

2) (m2-3) -x(m2-3);

3) a(b-9) + c(9-b);

4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;

5) (s - m) 2 - 5 (m - s);

6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.

  1. Finn røttene til ligningen:

1) 4x 2 - x = 0;

2) 7x 2 + 28x = 0;

3) x 2 + x = 0;

4) x 2 - x = 0.

  1. Løs ligningen:

1) 12x2 + x = 0;

2) 0,2 x 2 - 2 x = 0;

3) x 2 - x = 0;

4) 1 - x 2 + - x = 0.

  1. Løs ligningen:

1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;

2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.

  1. Løs ligningen:

1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;

2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.

1) 17 3 + 17 2 er et multiplum av 18;

2) 9 14 - 81 6 er et multiplum av 80.

  1. Bevis at betydningen av uttrykket er:

1) 39 9 - 39 8 er delt på 38;

2) 49 5 - 7 8 er delt på 48.

  1. Ta den felles faktoren ut av parentes:

1) (5m - 10) 2;

2) (18a + 27b) 2.

  1. Finn røttene til ligningen:

1) x(x - 3) = 7x - 21;

2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.

  1. Løs ligningen:

1) x(x - 2) = 4x - 8;

2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.

  1. Bevis at tallet:

1) 10 4 + 5 3 er delelig med 9;

2) 4 15 - 4 14 + 4 13 er delt på 13;

3) 27 3 - 3 7 + 9 3 er delt på 25;

4) 21 3 + 14 a - 7 3 er delt på 34.

Øvelser å gjenta

  1. Forenkle uttrykket og finn dets betydning:

1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, hvis x = 0,1;

2) 8m + 5n - 7m + 15n, hvis m = 7, n = -1.

  1. Skriv følgende monomiale koeffisienter i stedet for stjerner slik at likheten blir til en identitet:

1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2;

2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.

  1. Lengden på et rektangel er tre ganger bredden. Hvis lengden på et rektangel reduseres med 5 cm, vil arealet reduseres med 40 cm 2. Finn lengden og bredden på rektangelet.

Interessante oppgaver for late elever

Det er kjent at a< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| og |b|< |с|?

Chichaeva Darina 8. klasse

I arbeidet beskrev en elev på 8. trinn regelen for faktorisering av et polynom ved å sette fellesfaktoren ut av parentes med en detaljert prosedyre for å løse mange eksempler om dette emnet. For hvert omtalte eksempel tilbys det 2 eksempler uavhengig avgjørelse, som det finnes svar på. Arbeidet vil hjelpe deg å studere dette emnet til de elevene som av en eller annen grunn ikke mestret det ved bestått programmateriell 7. klasse og (eller) ved repetisjon av algebrakurs i 8. klasse etter sommerferien.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon

ungdomsskole nr. 32

"UNESCO Associated School "Eureka Development"

Volzhsky, Volgograd-regionen

Arbeidet fullført:

8B klasse elev

Chichaeva Darina

Volzhsky

2014

Å ta den felles faktoren ut av parentes

  • – En måte å faktorisere et polynom på erå sette den felles faktoren utenfor parentes;
  • - Når du tar den generelle multiplikatoren ut av parentes, brukes denfordelingseiendom;
  • - Hvis alle ledd i et polynom inneholder felles faktor da denne faktoren kan tas ut av parentes.

Ved løsning av ligninger, i beregninger og en rekke andre oppgaver, kan det være nyttig å erstatte et polynom med produktet av flere polynomer (som kan inkludere monomer). Å representere et polynom som et produkt av to eller flere polynomer kalles faktorisering av polynomet.

Tenk på polynomet 6a 2 b+15b 2 . Hver av termene kan erstattes av produktet av to faktorer, hvorav en er lik 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2, + 15b 2 = 3b*5b →av dette får vi: 6a2b+15b2 =3b*2a2 +3b*5b.

Det resulterende uttrykket basert på fordelingsegenskapen til multiplikasjon kan representeres som et produkt av to faktorer. En av dem er felles multiplikatoren 3b , og den andre er summen 2a 2 og 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Dermed utvidet vi polynomet: 6a 2 b+15b 2 inn i faktorer, som representerer det som et produkt av et monomial 3b og polynomet 2a 2 +5b. Denne metoden faktorisering av et polynom kalles å ta fellesfaktoren ut av parentes.

Eksempler:

Faktorer det ut:

A) kx-px.

Multiplikator x x vi setter den utenfor parentes.

kx:x=k; px:x=p.

Vi får: kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Multiplikator 4 finnes både i 1. termin og 2. termin. Derfor 4 vi setter den utenfor parentes.

4a:4=a; 4b:4=b.

Vi får: 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m og -27n er delbare med -9 . Derfor tar vi den numeriske faktoren ut av parentes-9.

9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.

Vi har: -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5y 2 -15y.

5 og 15 er delbare med 5; y 2 og y deles på y.

Derfor tar vi fellesfaktoren ut av parentes 5у.

5y2: 5y=y; -15y: 5y=-3.

Altså: 5y 2 -15y=5y*(y-3).

Kommentar: Fra to grader med samme base tar vi ut graden med den mindre eksponenten.

e) 16у 3 +12у 2.

16 og 12 er delbare med 4; y 3 og y 2 er delt på y 2.

Så den felles faktoren 4y 2.

16y3:4y2=4y; 12y 2 : 4y 2 =3.

Som et resultat får vi: 16y 3 +12y 2 =4y 2 *(4y+3).

f) Faktorer polynomet 8b(7y+a)+n(7y+a).

I dette uttrykket ser vi at den samme faktoren er til stede(7 år+a) , som kan tas ut av parentes. Så vi får:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) a(b-c)+d(c-b).

Uttrykk b-c og c-b er motsatte. Derfor, for å gjøre dem det samme, før d endre "+"-tegnet til "-":

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Eksempler på uavhengige løsninger:

  1. mx+my;
  2. ah+ay;
  3. 5x+5y ;
  4. 12x+48y;
  5. 7ax+7bx;
  6. 14x+21y;
  7. –ma-a;
  8. 8mn-4m2;
  9. -12y 4 -16y;
  10. 15y 3 -30y 2;
  11. 5c(y-2c)+y2(y-2c);
  12. 8m(a-3)+n(a-3);
  13. x(y-5)-y(5-y);
  14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Svar.

1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3y); 7) -a(m+l); 8) 4m(2n-m);

9) -4y(3y3+4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

\(5x+xy\) kan representeres som \(x(5+y)\). Dette er faktisk identiske uttrykk, vi kan bekrefte dette hvis vi åpner parentesene: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Som du kan se, får vi det originale uttrykket. Dette betyr at \(5x+xy\) faktisk er lik \(x(5+y)\). Forresten, dette pålitelig måte for å kontrollere riktigheten av de vanlige faktorene - åpne den resulterende braketten og sammenlign resultatet med det opprinnelige uttrykket.


Hovedregelen for bracketing:

For eksempel, i uttrykket \(3ab+5bc-abc\) kan bare \(b\) tas ut av parentesen, fordi det er den eneste som er til stede i alle tre ledd. Prosessen med å ta vanlige faktorer ut av parentes er vist i diagrammet nedenfor:

Bracketing regler

    I matematikk er det vanlig å ta ut alle vanlige faktorer på en gang.

    Eksempel:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
    Vær oppmerksom på at her kan vi utvide slik: \(3(xy-xz)\) eller slik: \(x(3y-3z)\). Dette vil imidlertid være ufullstendige dekomponeringer. Både C og X må tas ut.

    Noen ganger er de vanlige medlemmene ikke umiddelbart synlige.

    Eksempel:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
    I dette tilfellet var det vanlige begrepet (fem) skjult. Etter å ha utvidet \(10\) som \(2\) multiplisert med \(5\), og \(15\) som \(3\) multiplisert med \(5\) - trakk vi de fem inn i Guds lys”, hvoretter de lett kunne ta den ut av braketten.

    Hvis en monomial fjernes fullstendig, forblir man fra den.

    Eksempel: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
    Vi setter \(x\) ut av parentes, og den tredje monomialen består bare av x. Hvorfor forblir man fra det? For hvis et uttrykk multipliseres med én, vil det ikke endre seg. Det vil si at den samme \(x\) kan representeres som \(1\cdot x\). Da har vi følgende kjede av transformasjoner:

    \(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)

    Dessuten er dette den eneste Den riktige måten fjerning, for hvis vi ikke forlater en, vil vi ikke gå tilbake til det opprinnelige uttrykket når vi åpner parentesene. Faktisk, hvis vi gjør ekstraksjonen på denne måten \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), vil vi når utvidet få \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Det tredje medlemmet mangler. Det betyr at en slik påstand er feil.

    Du kan plassere et minustegn utenfor parentesen, og fortegnene til begrepene i parentesen er reversert.

    Eksempel:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
    I hovedsak setter vi ut "minus en", som kan "velges" foran hvilken som helst monomial, selv om det ikke var noen minus foran den. Vi bruker her det faktum at man kan skrives som \((-1) \cdot (-1)\). Her er det samme eksempelet, beskrevet i detalj:

    \(x-y=\)
    \(=1·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
    \(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
    \(=-(-x+y)=\)
    \(-(y-x)\)

    En parentes kan også være en felles faktor.

    Eksempel:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
    Vi støter oftest på denne situasjonen (fjerning av parenteser fra parenteser) ved faktorisering ved bruk av grupperingsmetoden eller

Blant de ulike uttrykkene som vurderes i algebra er viktig sted okkuperer summer av monomer. Her er eksempler på slike uttrykk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Summen av monomer kalles et polynom. Termene i et polynom kalles termer for polynomet. Monomialer er også klassifisert som polynomer, og vurderer et monomial for å være et polynom som består av ett medlem.

For eksempel et polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.

La oss representere alle termer i form av monomialer standard visning:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

La oss presentere lignende termer i det resulterende polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynom, der alle termer er monomer av standardformen, og blant dem er det ingen lignende. Slike polynomer kalles polynomer av standardform.

Bak grad av polynom av en standardform ta den høyeste av kreftene til medlemmene. Dermed har binomialet \(12a^2b - 7b\) tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den andre.

Vanligvis er vilkårene for standardformpolynomer som inneholder én variabel ordnet i synkende rekkefølge av eksponenter. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Summen av flere polynomer kan transformeres (forenkles) til et polynom av standardform.

Noen ganger må termene til et polynom deles inn i grupper, og omslutter hver gruppe i parentes. Siden omsluttende parenteser er den omvendte transformasjonen av åpningsparenteser, er det lett å formulere regler for åpning av parentes:

Hvis et "+"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentes med de samme tegnene.

Hvis et "-"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentesene med motsatte tegn.

Transformasjon (forenkling) av produktet av et monomial og et polynom

Ved å bruke den fordelende egenskapen til multiplikasjon kan du transformere (forenkle) produktet av et monom og et polynom til et polynom. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produktet av et monomer og et polynom er identisk lik summen av produktene til dette monomet og hvert av leddene til polynomet.

Dette resultatet er vanligvis formulert som en regel.

For å multiplisere et monomer med et polynom, må du multiplisere det monomet med hver av termene i polynomet.

Vi har allerede brukt denne regelen flere ganger for å multiplisere med en sum.

Produkt av polynomer. Transformasjon (forenkling) av produktet av to polynomer

Generelt er produktet av to polynom identisk lik summen av produktet av hvert ledd i ett polynom og hvert ledd i det andre.

Vanligvis brukes følgende regel.

For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene.

Forkortede multiplikasjonsformler. Sum kvadrater, forskjeller og forskjell av kvadrater

Du må håndtere noen uttrykk i algebraiske transformasjoner oftere enn andre. De kanskje vanligste uttrykkene er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet av summen, kvadratet av forskjellen og forskjellen på kvadrater. Du la merke til at navnene på disse uttrykkene ser ut til å være ufullstendige, for eksempel er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke bare kvadratet av summen, men kvadratet av summen av a og b . Kvadraten av summen av a og b forekommer imidlertid ikke så ofte; som regel, i stedet for bokstavene a og b, inneholder den forskjellige, noen ganger ganske komplekse, uttrykk.

Uttrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan enkelt konverteres (forenkles) til polynomer av standardformen; faktisk har du allerede møtt denne oppgaven når du multipliserer polynomer:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Det er nyttig å huske de resulterende identitetene og bruke dem uten mellomliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjelper dette.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet av summen er lik summen av kvadratene og dobbeltproduktet.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet av forskjellen er lik summen av kvadrater uten det doble produktet.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskjellen av kvadrater er lik produktet av forskjellen og summen.

Disse tre identitetene gjør at man kan erstatte de venstre delene med de høyre delene i transformasjoner og omvendt - høyre delene med de venstre. Det vanskeligste er å se de tilsvarende uttrykkene og forstå hvordan variablene a og b erstattes i dem. La oss se på flere eksempler på bruk av forkortede multiplikasjonsformler.

Mattetime i 7. klasse

1.

Fullt navn (fullt navn)

Trofimenko Nadezhda Pavlovna

2.

Arbeidssted

Kommunal utdanningsinstitusjon "Miloslavskaya skole"

3.

Jobbtittel

Matematikklærer

4.

Punkt

5.

Klasse

6.

Emne og leksjonsnummer i emnet

Ta den felles faktoren ut av parentes (1 leksjon per emne)

7.

Grunnleggende opplæring

Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin. "Algebra 7. klasse" lærebok for allmennutdanningsorganisasjoner. M. Prosveshchenie. 2016.

8. Leksjonens mål

For læreren:

pedagogisk

organisere pedagogiske aktiviteter:

Ved å mestre algoritmen for å ta den felles faktoren ut av parentes og forstå logikken i dens konstruksjon;

Å utvikle evnen til å bruke algoritmen for å ta fellesfaktoren ut av parentes

utvikle seg

skape forutsetninger for utvikling av regulatoriske ferdigheter:

Bestem dine egne mål pedagogiske aktiviteter;

Planlegg måter å oppnå mål på;

Korreler handlingene dine med de planlagte resultatene;

Overvåke og evaluere pedagogiske aktiviteter basert på resultater;

Organisere pedagogisk samarbeid og felles aktiviteter med lærer og jevnaldrende.

- pedagogisk

    Skape forutsetninger for dannelse av en ansvarlig holdning til læring;

Skape forutsetninger for utvikling av elevenes selvstendighet i organisering og gjennomføring av undervisningsaktiviteter.

Skape betingelser for patriotisk utdanning

Legge forholdene til rette for miljøundervisning

For studenter:

Mestre algoritmen for å ta den felles faktoren ut av parentes og forstå logikken i dens konstruksjon;

Utvikle evnen til å bruke algoritmen for å ta den felles faktoren ut av parentes

9. UUD-er brukt: regulatorisk (målsetting, aktivitetsplanlegging, kontroll og evaluering)

10.Leksjonstype: lære nytt materiale

11.Former for elevarbeid: frontal, dampbad, individuell

12. NødvendigTeknisk utstyr: datamaskin, projektor, leksjonslogo, lærebøker i matematikk, elektronisk presentasjon laget i Power Point, Gi ut

Leksjonsstruktur og flyt

Leksjonstrinn

Læreraktiviteter

Studentaktiviteter

Pedagogisk

Organisatorisk

Hei folkens! Jeg er veldig glad for å se

du! Vårt leksjonsmotto:

Jeg hører og glemmer.
Jeg ser og husker.
jeg gjør og Forstå.
Konfucius.

La oss gi leksjonen vår en uvanlig fargelegging (emblemet til et grønt tre og et rødt hjerte), emblemet på brettet. På slutten av leksjonen vil vi avsløre hemmeligheten bak dette emblemet

Kryss av arbeidsplass, hils på læreren, bli med på arbeidsrytmen i leksjonen

Oppdatere kunnskap og motivasjon

I dag i leksjonen vil du lære nytt materiale. Men først, la oss jobbe verbalt.

1. Multipliser monomer:

2a 2 *3av; 2av*(-a 4); 6x 2 *(-2x); -3s*5x; -3x*(-xy 2);-4a 2 b*(-0,2av 2)

Hvis svaret er riktig, åpner du den første bokstaven

2) Hvilke monomer bør settes i stedet for * for å få riktig likhet:

x 3 * = x 6; - a 6 = a 4 *; *y7 = y8; -2a3* = 8a5; 5xy 4 * = 25x 2 y 6. Hvis svaret er riktig, åpner du den andre bokstaven

3) Introduser en monomial 12x 3 på 4 som et produkt av to faktorer, hvorav den ene er lik 2x 3 ; 3u 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 på ; 6x 2 på 2 .

Hvis svaret er riktig, avsløres den tredje bokstaven

4) Tilstede forskjellige måter monomial 6x 2 på som et produkt av to faktorer.

Åpne den fjerde bokstaven

5) Eleven multipliserte et monomial med et polynom, hvoretter monomiet ble slettet. Gjenopprett den

…*(x – y) = 3ax – 3ay

…*(-x + y 2 – 1) = xy 2 – y 4 + y

…*(a +b – 1) = 2ah +2in – 2x

…*(a – b) = a 2 c – a 3

…*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2. Åpne den 5. bokstaven

6.Regn ut

768*95 – 668*95 =

76,8*9,5 + 23,2*9,5 =

Åpne den 6. bokstaven.

Bokstavene dannet navnet på en tysk matematiker.

Utfør oppgaven muntlig

Kommenter løsningen ved å bruke reglene

Åpne bokstavene på tavlen

Student (mottok oppgaven på forhånd)

Historisk referanse : Michel Stiefel (1487-1567), tysk matematiker og omreisende predikant; forfatter av boken "Complete Arithmetic", han introduserte begrepet "eksponent", og vurderte også egenskapene til polynomer og ga et betydelig bidrag til utviklingen av algebra. (foto)

3. Målsetting og motivasjon

Gi motivasjon for barn til å lære og deres aksept for leksjonens mål.

På tavla: Finn uttrykksverdi EN 2 – 3av på a = 106,45; inn = 2,15 .

Hvordan gjøre det?

a) Du kan erstatte numeriske verdier EN Og V og finne meningen med uttrykket, men det er vanskelig.

c) Er det mulig å gjøre noe annet? Hvordan?

På tavlen skriver vi ned emnet for leksjonen: «Å sette den felles faktoren utenfor parentes.» Gutter, skriv forsiktig! Husk at for å produsere massevis av papir, må du kutte ned rundt 17 modne trær.

La oss prøve å sette leksjonsmål i henhold til følgende skjema:

Hvilke konsepter vil du bli kjent med?

Hvilke ferdigheter og evner vil vi mestre?

Tilby egne løsninger

4. Assimilering av ny kunnskap og metoder for assimilering

(første kjennskap til materialet)

Sikre barnas oppfatning, forståelse og primære memorering av emnet som studeres

    Åpne læreboka s. 120-121, les og svar på spørsmålene på s. 121.

    Fremhev punktene til algoritmen

Algoritme for å ta den felles faktoren ut av parentes

    Finn fellesfaktoren til koeffisientene til polynomer

    Ta den ut av braketten

3.Lærer: Jeg vil gi et eksempel på å ta en multiplikator ut av parentes på russisk. I uttrykket "Ta en bok, ta en penn, ta en notatbok," utføres funksjonen til en felles faktor av verbet "ta", og boken, notatboken og pennen er komplementer.
Det samme uttrykket kan sies på en annen måte: "ta en bok, notatbok og penn."

4 Jeg skrev regelen for å multiplisere et monom med et polynom i form av et diagram.
En merknad vises på tavlen:

Prøv å tegne en skjematisk regel for å trekke fra en felles faktor

      Les materialet

      Svar på spørsmål

      Finn et ark med en algoritme

      Å, nå prøver du:

      • Spis: suppe, grøt, salat

Tegn et omvendt diagram på tavlen

5. Avslapping

Inkluderer tegneserien "Summer Assignment"

Fra vintervær befinner vi oss i varm sommer.

Men fragmentet er lærerikt, prøv å fange hovedideen

De ser på et fragment av en tegneserie og trekker konklusjoner om skjønnheten i hjemlandet

Tegneseriefragment

"Sommeroppdrag"

6. Primær konsolidering

Etablere riktigheten og bevisstheten om å studere emnet.

Identifisere hull i den innledende forståelsen av det studerte materialet, korrigere de identifiserte hullene, sikre at kunnskapen og handlingsmetodene de trenger for å selvstendig arbeid på nytt materiale.

    Foran styret:

№ 318, 319, 320,321,324,325,328

Ta svinger, etter ønske

Løs i styret med kommentarer

6. Organisering av primærkontroll

Identifisering av kvaliteten og nivået på assimilering av kunnskap og handlingsmetoder, samt identifisering av mangler i kunnskap og handlingsmetoder, fastsettelse av årsakene til identifiserte mangler

Løs selvstendig ut fra teksten på papirlapper og sjekk svarene på tavlen:

    UAVHENGIG ARBEID (differensiert)

1 alternativ

    Fullfør faktoriseringen av polynomet:

5akh ​​– 30ау = 5а(…………..)

x 4 – 5x 3 – x 2 = x 2 (…………..)

    Faktor polynomet - 5ав + 15а 2 в, ta faktoren ut av parentes: a) 5а; b) -5a.

    Faktorer det ut:

5x + 5y = 7av + 14ac =

20a – 4b= 5 min – 5=

ah – ay= 3x 2 – 6x=

2a – 10ау= 15a 2 + 5a 3 =

2 alternativ

    Fullfør oppføringen:

18av +16v= 2v(…………)

4a 2 s – 8ac= 4ac(………..)

    Faktor polynomet -15a 2 i + 5ab 4 på to måter:

a) ta faktoren 5ab ut av parentes;

b) ta faktoren -5av ut av parentes.

5х+6ху= 2ав – 3а 3 в=

12av – 9v= x 3 -4x 2 +6x=

6a 4 – 4a 2 = 4a 4 -8a 3 +12a 2 =

24x 2 y -12xy= 9v 2 -6v 4 +3v=

4. Finn verdien av uttrykket ved å faktorisere det:

xy2 +y3 med x=97, y=3.

Alternativ 3

    Ta den felles faktoren ut av parentes og kontroller ved å multiplisere monomet med polynomet:

a) 12xy+ 18x= b) 36ab 2 – 12a 2 c=

2. Fullfør opptaket:

18a 3 i 2 +36av = 18av(…………)

18a 3 i 2 +36av = -18av(…………)

3. Ta den felles faktoren ut av parentes:

12a 2 +16a= -11x 2 y 2 +22xy=

2a 4 -6a 2 = -12a 3 i 3 +6av=

30a 4 b- 6av 4 = x 8 -8x 4 + x 2 =

4. Erstatt M med et polynom eller monomial slik at den resulterende likheten er identiteten:

12a 2 b-8av 2 +6av=M*(6a-4b+3)

15x 2 y-10x3y2+25x 4 y 3 =5x 2 y*M

5. Finn betydningen av uttrykket:

a) 2,76a-ab ved a=1,25 og b=0,76;

b) 2xy + 2y2 ved x=0,27 og b=0,73.

De gjør arbeidet sitt, etter ferdigstillelse mottar de nøklene og sjekker, setter + eller minus, vurderer arbeidet sitt etter kriteriene på tavlen: (svar på tavlen)

10-12 poeng - "5"

8-9 poeng - "4"

6-7 poeng - "3"

Mindre enn 6 - du må jobbe mer.

Differensierte oppgaveark

7. Oppsummering av leksjonen.

Gi en kvalitativ vurdering av arbeidet til klassen og enkeltelever

Merk aktivt arbeidende studenter og oppsummer resultatene av selvstendig arbeid:

Rekk opp hendene hvem som har 5,4,3.

Analyser arbeidet deres

8. Informasjon om hjemmelekser

Sikre at barn forstår formålet, innholdet og metodene for å fullføre lekser.

Paragraf nr. 19
№ 322,326, 329

Vi gjør det etter eksempeloppgaver i klassearbeid

Registrer oppgaver i en dagbok

9. Refleksjon

Lærer: Det var en leksjon – et søk. Du og jeg så etter felles grunn med hverandre, lærte å kommunisere, og avslørte også en av metodene for å forklare og konsolidere emnet.

La oss gå tilbake til leksjonsmålene og analysere hvordan vi oppnådde dem

Å, hva mer snakket vi om, enn å ta den felles faktoren ut av parentes? La oss gå tilbake til leksjonslogoen.

Les opp målene og analyser gjennomføringen av dem

Om forbindelsen mellom matematikk og det russiske språket,

Om skjønnheten i vårt hjemland, om økologi