Zasada umieszczania wspólnego czynnika w nawiasach. Wyjmując czynnik ogólny z nawiasów - Hipermarket Wiedzy
§ 10. Rozkład na czynniki wielomianów metodą wyjmując wspólny czynnik z nawiasów
W szóstej klasie rozłożyliśmy liczby złożone na czynniki pierwsze, czyli przedstawiliśmy liczby naturalne jako iloczyn. Na przykład 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 dr.
Niektóre wielomiany można również przedstawić jako iloczyn. Oznacza to, że te wielomiany można rozłożyć na czynniki. Na przykład 5a: - 5y - 5(x - y); za 3 i 3a 2 = za 2 (a + 3) i tym podobne.
Rozważmy jeden ze sposobów rozkładu wielomianów na czynniki - odejmowanie wspólny mnożnik poza nawiasami. Jednym ze znanych nam przykładów takiego rozwinięcia jest rozdzielność mnożenia a(b + c) = ab + ac, jeśli zapisana jest w Odwrotna kolejność: ab + ac - a(b + c). Oznacza to, że wielomian ab + ac został rozłożony na dwa czynniki a i b + c.
Podczas rozkładu na czynniki wielomianów o współczynnikach całkowitych, współczynnik wyjmowany z nawiasów jest wybierany w taki sposób, że wyrazy wielomianu znajdujące się w nawiasach nie mają wspólnego współczynnika literowego, a moduły ich współczynników nie mają wspólnych dzielników.
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 1. Rozłóż wyrażenie na czynniki:
3) 15a 3 b - 10a 2 b 2.
R a s i z a n i .
1) Wspólnym czynnikiem jest liczba 4, tzw
8 m + 4 = 4 . 2m+ 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).
2) Zatem wspólnym czynnikiem jest zmienna a
w + 7ap = a(t + 7p).
3) B w tym przypadku wspólnym czynnikiem liczbowym jest największy wspólny dzielnik liczb 10 i 15 - liczba 5, a wspólnym czynnikiem literowym jest jednomian a 2 b. Więc,
15a 3 b - 10a 2 b 2 = 5a 2 b ∙ 3a - 5a 2 b ∙ b = 5a 2 b(3a - 2b).
Przykład 2. Uwzględnij:
1) 2m(b - s) + 3р(b - s);
2) x(y - t) + c(t - c).
R az v’ i z an n i.
1) W tym przypadku wspólnym czynnikiem jest dwumian b = c.
Dlatego 2 m ( B - Z) + 3р( B - C) = (b - с)(2m + 3р).
2) Terminy mają czynniki in - t i t - in, które są wyrażeniami przeciwnymi. Dlatego w drugim terminie usuwamy współczynnik -1 z nawiasów, otrzymujemy: c(t - в) = -с(у - t).
Dlatego x(y - t) + c(t - b) = x(y - t) - c(y - t) = (y - t) (x - c).
Aby sprawdzić poprawność faktoryzacji, należy pomnożyć otrzymane czynniki. Wynik musi być równy podanemu wielomianowi.
Rozkładanie wielomianów na czynniki często upraszcza proces rozwiązywania równania.
Przykład 3. Znajdź pierwiastki równania 5x 2 - 7x = 0.
R az v’ i z an n i. Rozłóżmy lewą stronę równania na czynniki, wyjmując wspólny czynnik z nawiasów: x(5x - 7) = 0. Biorąc pod uwagę, że iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników równy zeru, będziemy mieli: x = 0 lub 5x - 7 = 0, skąd x = 0 lub x = 1,4.
Odpowiedź: 0; 1.4.
Jakie przekształcenie nazywa się faktoryzacją wielomianu? Na przykładzie wielomianu ab + ac wyjaśnij, w jaki sposób przeprowadza się rozkład na czynniki, umieszczając wspólny czynnik w nawiasach.
- (Ustnie) Znajdź wspólny czynnik w wyrażeniu:
- (Doustnie) Uwzględnij:
- Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:
- (Ustnie) poprawnie przeprowadził faktoryzację:
1) 7a + 7 = 7a;
2) 5m - 5 = 5(m - 5);
3) 2a - 2 = 2(a - 1);
4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);
5) 5mn + bn = 5m(n + 3);
6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?
- Zapisz kwotę jako iloczyn:
- Rozważ to:
- Rozważ to:
4) 7a + 21ау;
5) 9x 2 - 27x;
6) 3a - 9a 2;
8) 12ax - 4a 2;
9) -18xy + 24v 2;
10) a 2 b - ab 2 ;
11) rm - p 2 m;
12) -x 2 y 2 - xy.
- Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:
4) 15xy + 5x;
6) 15m - 30m 2 ;
7) 9xy + 6x2;
9) -p 2 q - pq 2.
- Rozważ to:
5) 3b 2 - 9b 3;
7) 4 lata 2 + 12 lat 4;
8) 5m 5 + 15m 2 ;
9) -16a 4 - 20a.
- Rozważ to:
4) 18p 3 - 12p 2 ;
5) 14b 3 + 7b 4 ;
6) -25m 3 - 20m.
- Zapisz sumę 6x 2 in + 15x jako iloczyn i znajdź jej wartość, jeśli x = -0,5, y = 5.
- Zapisz wyrażenie 12a 2 b - 8a jako iloczyn i znajdź jego wartość, jeśli a = 2, 6 = .
- Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:
1) za 4 + za 3 - za 2;
2) m 9 - m 2 + m 7;
3) b 6 + b 5 - b 9;
4) - o 7 - o 12 - o 3.
- Przedstaw go jako produkt:
1) str. 7 + str. 3 - str. 4;
2) 10 - 5 + 8;
3) b 7 - b 5 - b 2;
4) -m 8 - m 2 - m 4.
- Oblicz w wygodny sposób:
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
- Rozwiązać równanie:
1) x 2 - 2x = 0;
2) x 2 + 4x = 0.
- Znajdź pierwiastki równania:
1) x 2 + 3x = 0;
2) x 2 -7x = 0.
1) 4a 3 + 2a 2 - 8a;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6;
3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.
- Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:
1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;
3) 8r 7 - 4r 5 + 10r 3;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3.
- Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;
2) 12a 2 b - 18ab 2 + 30ab 3;
3) 8x 2 y 2 - 4x 3 w 5 + 12x 4 w 3;
4) 5 p 4 q 2 - 10 p 2 q 4 + 15 pq 3.
- Rozłóż wielomian na czynniki:
1) 12a – 6a 2 x 2 – 9a 3;
2) 12b 2 cale - 18b 3 - 30b 4 cale;
3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x;
4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5.
- Oblicz w wygodny sposób:
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
- Znajdź znaczenie wyrażenia:
1) 4,23 a - a 2, jeśli a = 5,23;
2) x 2 y + x 3, jeśli x = 2,51, b = -2,51;
3) am 5 - m 6, jeśli = -1, a = -5;
4) -xy - x 2, jeśli x = 2,7, b = 7,3.
- Znajdź znaczenie wyrażenia:
1) 9,11 a + a 2, jeśli a = -10,11;
2) 5x 2 + 5a 2 x, jeśli a = ; x = .
- Rozłóż wielomian na czynniki:
1) 2p(x - y) + q(x - y);
2) a(x + y) - (x + y);
3) (a - 7) - b(a - 7);
4) 5(a + 1) + (a + 1) 2;
5) (x + 2) 2 - x(x + 2);
6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .
- Wyraź wyrażenie jako iloczyn:
1) a(x - y) + b(y - x);
2) g(b - 5) - n(5 - b);
3) 7x - (2b - 3) + 5y(3 - 2b);
4) (x - y) 2 - a(y - x);
5) 5(x - 3) 2 - (3 - x);
6) (a + 1)(2b - 3) - (a + 3)(3 - 2b).
- Rozważ to:
1) 3x(b - 2) + y(b - 2);
2) (m 2 - 3) - x(m 2 - 3);
3) a(b - 9) + c(9 - b);
4) 7(a + 2) + (a + 2) 2;
5) (s - m) 2 - 5 (m - s);
6) -(x + 2y) - 5(x + 2y) 2.
- Znajdź pierwiastki równania:
1) 4x 2 - x = 0;
2) 7x2 + 28x = 0;
3) x 2 + x = 0;
4)x 2 - x = 0.
- Rozwiązać równanie:
1) 12x 2 + x = 0;
2) 0,2 x 2 - 2 x = 0;
3) x 2 - x = 0;
4) 1 - x 2 + - x = 0.
- Rozwiązać równanie:
1) x(3x + 2) - 5(3x + 2) = 0;
2) 2x(x - 2) - 5(2 - x) = 0.
- Rozwiązać równanie:
1) x(4x + 5) - 7(4x + 5) = 0;
2) 7(x - 3) - 2x(3 - x) = 0.
1) 17 3 + 17 2 jest wielokrotnością 18;
2) 9 14 - 81 6 jest wielokrotnością 80.
- Udowodnij, że znaczenie wyrażenia jest następujące:
1) 39 9 - 39 8 dzieli się przez 38;
2) 49 5 - 7 8 dzieli się przez 48.
- Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:
1) (5m - 10) 2 ;
2) (18a + 27b) 2 .
- Znajdź pierwiastki równania:
1) x(x - 3) = 7x - 21;
2) 2x(x - 5) = 20 - 4x.
- Rozwiązać równanie:
1) x(x - 2) = 4x - 8;
2) 3x(x - 4) = 28 - 7x.
- Udowodnić, że liczba:
1) 10 4 + 5 3 jest podzielne przez 9;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 dzieli się przez 13;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 dzieli się przez 25;
4) 21 3 + 14 a - 7 3 dzieli się przez 34.
Ćwiczenia do powtórzenia
- Uprość wyrażenie i znajdź jego znaczenie:
1) -3x 2 + 7x 3 – 4x 2 + 3x 2, jeśli x = 0,1;
2) 8m + 5n - 7m + 15n, jeśli m = 7, n = -1.
- Zamiast gwiazdek wpisz następujące współczynniki jednomianowe, tak aby równość zamieniła się w tożsamość:
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;
2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (*x 2 - *xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.
- Długość prostokąta jest trzykrotnością jego szerokości. Jeśli długość prostokąta zmniejszymy o 5 cm, wówczas jego pole zmniejszy się o 40 cm 2. Znajdź długość i szerokość prostokąta.
Ciekawe zadania dla leniwych uczniów
Wiadomo, że A< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >|s| i |b|< |с|?
Chichaeva Darina 8. klasa
W pracy uczeń klasy 8 opisał zasadę rozkładu na czynniki wielomianu poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika z nawiasu wraz ze szczegółową procedurą rozwiązywania wielu przykładów na ten temat. Dla każdego omawianego przykładu oferowane są 2 przykłady niezależna decyzja, na które są odpowiedzi. Praca pomoże Ci w nauce ten temat tym uczniom, którzy z jakiegoś powodu nie opanowali go podczas zaliczania materiał programowy 7. klasie i (lub) podczas powtarzania kursu algebry w 8. klasie po wakacjach.
Pobierać:
Zapowiedź:
Miejska budżetowa instytucja oświatowa
gimnazjum nr 32
„Szkoła Stowarzyszona UNESCO „Rozwój Eureki”
Wołżski, obwód Wołgogradu
Praca skończona:
Uczeń klasy 8B
Cziczajewa Darina
Wołżski
2014
Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów
- - Jednym ze sposobów rozkładu wielomianu na czynniki jestwyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów;
- - Przy wyjmowaniu ogólnego mnożnika z nawiasów jest on stosowanywłasność rozdzielcza;
- - Jeśli wszystkie warunki wielomianu zawierają wspólny czynnik współczynnik ten można wyjąć z nawiasów.
Podczas rozwiązywania równań, obliczeń i wielu innych problemów przydatne może być zastąpienie wielomianu iloczynem kilku wielomianów (które mogą obejmować jednomiany). Reprezentowanie wielomianu jako iloczynu dwóch lub więcej wielomianów nazywa się rozkładem wielomianu na czynniki.
Rozważ wielomian 6a 2 b+15b 2 . Każdy z jego terminów można zastąpić iloczynem dwóch czynników, z których jeden jest równy 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →z tego otrzymujemy: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.
Wynikowe wyrażenie oparte na właściwości rozkładu mnożenia można przedstawić jako iloczyn dwóch czynników. Jednym z nich jest wspólny mnożnik 3b , a druga to suma 2a 2 i 5b → 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →W ten sposób rozwinęliśmy wielomian: 6a 2 b+15b 2 na czynniki, przedstawiając to jako iloczyn jednomianu 3b i wielomian 2a 2 +5b. Ta metoda rozkładanie wielomianu na czynniki nazywa się wyciąganiem wspólnego czynnika z nawiasów.
Przykłady:
Rozważ to:
A) kx-px.
Mnożnik x x wyjęliśmy to z nawiasów.
kx:x=k; px:x=p.
Otrzymujemy: kx-px=x*(k-p).
b) 4a-4b.
Mnożnik 4 występuje zarówno w pierwszym, jak i drugim terminie. Dlatego 4 wyjęliśmy to z nawiasów.
4a:4=a; 4b:4=b.
Otrzymujemy: 4a-4b=4*(a-b).
c) -9m-27n.
9m i -27n są podzielne przez -9 . Dlatego usuwamy współczynnik liczbowy z nawiasów-9.
9m: (-9)=m; -27n: (-9)=3n.
Mamy: -9m-27n=-9*(m+3n).
d) 5 lat 2 -15 lat.
5 i 15 są podzielne przez 5; y2 i y są dzielone przez y.
Dlatego usuwamy wspólny czynnik z nawiasów 5у.
5y 2: 5y=y; -15 lat: 5 lat = -3.
Zatem: 5 lat 2 -15 lat = 5 lat*(y-3).
Komentarz: Z dwóch stopni o tej samej podstawie wyciągamy stopień o mniejszym wykładniku.
e) 16у 3 +12у 2.
16 i 12 są podzielne przez 4; y 3 i y 2 są dzielone przez y 2.
Zatem wspólny czynnik 4 lata 2 .
16 lat 3: 4 lata 2 = 4 lata; 12 lat 2 : 4 lata 2 = 3.
W rezultacie otrzymujemy: 16 lat 3 +12 lat 2 = 4 lata 2 *(4 lata +3).
f) Rozłóż wielomian na czynniki 8b(7lat+a)+n(7lat+a).
W tym wyrażeniu widzimy, że występuje ten sam czynnik(7 lat+a) , które można wyjąć z nawiasów. Otrzymujemy więc:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).
g) a(b-c)+d(c-b).
Wyrażenia b-c i c-b są przeciwne. Dlatego, aby uczynić je takimi samymi wcześniej d zmień znak „+” na „-”:
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c).
a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).
Przykłady rozwiązań niezależnych:
- mx+mój;
- aha+aj;
- 5x+5 lat ;
- 12x+48 lat;
- 7 topór + 7 bx;
- 14x+21 lat;
- –ma-a;
- 8m-4m2;
- -12 lat 4 -16 lat;
- 15 lat 3 -30 lat 2 ;
- 5c(y-2c)+y2(y-2c);
- 8m(a-3)+n(a-3);
- x(y-5)-y(5-y);
- 3a(2x-7)+5b(7-2x);
Odpowiedzi.
1) m(x+y); 2) a(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3 lata); 7) -а(m+1); 8) 4m(2nm);
9) -4 lata (3 lata 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).
\(5x+xy\) można przedstawić jako \(x(5+y)\). Są to rzeczywiście identyczne wyrażenia, możemy to sprawdzić otwierając nawiasy: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Jak widać, w rezultacie otrzymujemy oryginalne wyrażenie. Oznacza to, że \(5x+xy\) jest rzeczywiście równe \(x(5+y)\). Swoją drogą, to niezawodny sposób aby sprawdzić poprawność wspólnych czynników - otwórz powstały nawias i porównaj wynik z pierwotnym wyrażeniem.
Główna zasada dotycząca nawiasów:
Na przykład w wyrażeniu \(3ab+5bc-abc\) z nawiasu można wyjąć tylko \(b\), ponieważ jest to jedyny wyraz występujący we wszystkich trzech wyrazach. Proces wyjmowania wspólnych czynników z nawiasów pokazano na poniższym schemacie:
Zasady nawiasów
W matematyce zwyczajowo usuwa się wszystkie wspólne czynniki na raz.
Przykład:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Pamiętaj, że tutaj moglibyśmy rozwinąć w ten sposób: \(3(xy-xz)\) lub w ten sposób: \(x(3y-3z)\). Byłyby to jednak rozkłady niepełne. Należy usunąć zarówno C, jak i X.
Czasami wspólne elementy nie są od razu widoczne.
Przykład:\(10x-15y=2,5·x-3,5·y=5(2x-3y)\)
W tym przypadku potoczne określenie (pięć) zostało ukryte. Jednak po rozwinięciu \(10\) jako \(2\) pomnożonego przez \(5\) i \(15\) jako \(3\) pomnożonego przez \(5\) - „wciągnęliśmy piątkę do światło Boże”, po czym z łatwością udało im się go wyjąć ze wspornika.
Jeśli jednomian zostanie całkowicie usunięty, pozostaje z niego jeden.
Przykład: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Umieszczamy \(x\) w nawiasach, a trzeci jednomian składa się tylko z x. Dlaczego z tego pozostaje? Ponieważ jeśli jakiekolwiek wyrażenie zostanie pomnożone przez jeden, nie ulegnie ono zmianie. Oznacza to, że ten sam \(x\) można przedstawić jako \(1\cdot x\). Mamy wtedy następujący łańcuch przekształceń:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Co więcej, jest to jedyny Właściwy sposób usunięcie, bo jeśli go nie zostawimy, to po otwarciu nawiasów nie wrócimy do pierwotnego wyrażenia. Rzeczywiście, jeśli wykonamy ekstrakcję w ten sposób \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), to po rozwinięciu otrzymamy \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Brakuje trzeciego członka. Oznacza to, że takie stwierdzenie jest nieprawidłowe.
Możesz umieścić znak minus poza nawiasem, co spowoduje odwrócenie znaków terminów w nawiasie.
Przykład:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Zasadniczo tutaj stawiamy „minus”, który można „wybrać” przed dowolnym jednomianem, nawet jeśli przed nim nie było minusa. Używamy tutaj faktu, że można go zapisać jako \((-1) \cdot (-1)\). Oto ten sam przykład, szczegółowo opisany:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Nawias może być również częstym czynnikiem.
Przykład:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Z taką sytuacją (usuwaniem nawiasów z nawiasów) spotykamy się najczęściej przy faktoryzacji metodą grupowania lub
Wśród różnych wyrażeń uwzględnianych w algebrze są ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów standardowy widok:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Korzystając z rozdzielności mnożenia, możesz przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z niektórymi wyrażeniami w przekształceniach algebraicznych musisz mieć do czynienia częściej niż z innymi. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy aib nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów i iloczynu podwójnego.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniejszą rzeczą jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, w jaki sposób zastępowane są w nich zmienne a i b. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
Lekcja matematyki w klasie 7
| 1. | Imię i nazwisko (pełne imię i nazwisko) | Trofimenko Nadieżda Pawłowna |
| 2. | Miejsce pracy | Miejska placówka oświatowa „Szkoła Milosławska” |
| 3. | Stanowisko | Nauczyciel matematyki |
| 4. | Przedmiot | |
| 5. | Klasa | |
| 6. | Temat i numer lekcji w temacie | Wyjmowanie wspólnego czynnika z nawiasów (1 lekcja na temat) |
| 7. | Podstawowy samouczek | Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Szabunin. Podręcznik „Algebra 7. klasa” dla organizacji kształcenia ogólnego M. Prosveshchenie. 2016. |
8. Cele lekcji
Dla nauczyciela:
edukacyjny
organizować zajęcia edukacyjne:
Opanowując algorytm usuwania wspólnego czynnika z nawiasów i rozumiejąc logikę jego konstrukcji;
Wykształcenie umiejętności stosowania algorytmu usuwania wspólnego czynnika z nawiasów
rozwijający się
stworzyć warunki do rozwoju umiejętności regulacyjnych:
Określ swoje własne cele Działania edukacyjne;
Zaplanuj sposoby osiągnięcia celów;
Koreluj swoje działania z planowanymi wynikami;
Monitorować i oceniać działania edukacyjne na podstawie wyników;
Organizuj współpracę edukacyjną i wspólne działania z nauczycielem i rówieśnikami.
- edukacyjny
Stwarzać warunki do kształtowania odpowiedzialnej postawy wobec nauki;
Stwarzać warunki do rozwoju samodzielności uczniów w organizowaniu i prowadzeniu zajęć edukacyjnych.
Stworzyć warunki do wychowania patriotycznego
Tworzenie warunków do edukacji ekologicznej
Dla uczniów:
Opanuj algorytm usuwania wspólnego czynnika z nawiasów i zrozumienia logiki jego konstrukcji;
Rozwiń umiejętność stosowania algorytmu usuwania wspólnego czynnika z nawiasów
9. Stosowane UUD: regulacyjne (wyznaczanie celów, planowanie działań, kontrola i ocena)
10. Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału
11.Formy pracy studenta: frontalny, łaźnia parowa, indywidualny
12. NiezbędnyWyposażenie techniczne: komputer, projektor, logo lekcji, podręczniki do matematyki, prezentacja elektroniczna wykonana w programie Power Point, Rozdawać
Struktura i przebieg lekcji
| Kroki lekcji | Działalność nauczyciela | Działalność studencka | Edukacyjny | ||
| Organizacyjny | Cześć chłopaki! Bardzo się cieszę, że to widzę Ty! Nasze motto lekcji: Słyszę i zapominam. Nadajmy naszej lekcji niezwykłą kolorystykę (emblemat zielonego drzewa i czerwone serce), emblemat na tablicy. Pod koniec lekcji ujawnimy tajemnicę tego emblematu | Sprawdzać Miejsce pracy, przywitaj się z nauczycielem, włącz się w roboczy rytm lekcji | |||
| Aktualizowanie wiedzy i motywacji | Dzisiaj na lekcji dowiesz się nowy materiał. Ale najpierw popracujmy werbalnie. 1.Pomnóż jednomiany: 2a 2 *3a; 2av*(-a 4) ; 6x 2 *(-2x); -3s*5x; -3x*(-xy 2); -4a 2 b*(-0,2av 2) Jeśli odpowiedź jest prawidłowa, otwórz pierwszą literę 2) Które jednomiany należy wstawić w miejsce *, aby uzyskać poprawną równość: x 3 * = x 6; - za 6 = za 4 *; *y 7 = r 8; -2a 3 * = 8a 5 ; 5xy 4 * = 25x 2 y 6. Jeśli odpowiedź jest prawidłowa, otwórz drugi list 3) Wprowadź jednomian 12x 3 Na 4 jako iloczyn dwóch czynników, z których jeden jest równy 2x 3 ; 3 ty 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 Na ; 6x 2 Na 2 . Jeśli odpowiedź jest prawidłowa, ujawniana jest trzecia litera 4) Obecny różne sposoby jednomian 6x 2 Na jako iloczyn dwóch czynników. Otwórz czwarty list 5) Student pomnożył jednomian przez wielomian, po czym jednomian został wymazany. Przywróć to …*(x – y) = 3ax – 3ay …*(-x + y 2 – 1) = xy 2 – y 4 + y …*(a +b – 1) = 2ah +2in – 2x …*(a – b) = za 2 c – za 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2. Otwórz piątą literę 6. Oblicz 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Otwórz szósty list. Litery utworzyły imię niemieckiego matematyka. | Wykonaj zadanie ustnie Skomentuj rozwiązanie, korzystając z reguł Otwórz litery na tablicy Student (otrzymał zadanie z wyprzedzeniem) Odniesienie historyczne : Michel Stiefel (1487-1567), niemiecki matematyk i wędrowny kaznodzieja; autor książki „Arytmetyka pełna”, wprowadził pojęcie „wykładnik”, a także rozważał własności wielomianów i wniósł znaczący wkład w rozwój algebry (foto) | |||
| 3. Wyznaczanie celów i motywacja | Zapewnienie dzieciom motywacji do nauki i akceptacji celów lekcji. | Na tablicy: Znajdź wartość wyrażenia A 2 – 3aw Na a = 106,45; w = 2,15 . Jak to zrobić? a) Można zastąpić wartości liczbowe A I V i znaleźć znaczenie tego wyrażenia, ale jest to trudne. c) Czy można postąpić inaczej? Jak? Na tablicy zapisujemy temat lekcji: „Umieszczanie wspólnego czynnika w nawiasach”. Chłopaki, piszcie uważnie! Pamiętaj, że aby wyprodukować tonę papieru, trzeba ściąć około 17 dojrzałych drzew. Spróbujmy wyznaczyć cele lekcji według następującego schematu: Z jakimi pojęciami się zapoznasz? Jakie umiejętności i zdolności opanujemy? | Oferują własne rozwiązania | ||
| 4. Asymilacja nowej wiedzy i metody asymilacji (wstępna znajomość materiału) | Zapewnienie dzieciom percepcji, zrozumienia i pierwotnego zapamiętania studiowanego tematu | Otwórz podręcznik na str. 120-121, przeczytaj i odpowiedz na pytania ze str. 121. Podkreśl punkty algorytmu Algorytm usuwania wspólnego czynnika z nawiasów Znajdź wspólny współczynnik współczynników wielomianów Wyciągnij go z nawiasu 3.Nauczyciel: Podam przykład usunięcia mnożnika z nawiasów w języku rosyjskim. W wyrażeniu „Weź książkę, weź długopis, weź notatnik” funkcję wspólnego czynnika pełni czasownik „weź”, a książka, notatnik i długopis są dopełnieniami. 4 Napisałem regułę mnożenia jednomianu przez wielomian w formie diagramu. Spróbuj narysować schematyczną regułę odejmowania wspólnego czynnika | Przeczytaj materiał Odpowiadać na pytania Znajdź arkusz z algorytmem
Och, teraz spróbuj: Narysuj na tablicy odwrotny diagram | ||
| 5. Relaks | Zawiera kreskówkę „Letnie zadanie” Z zimowej pogody czeka nas ciepłe lato. Ale fragment jest pouczający, spróbuj uchwycić główną myśl | Oglądają fragment kreskówki i wyciągają wnioski na temat piękna ojczyzny | Fragment kreskówki „Zadanie letnie” | ||
| 6.Konsolidacja pierwotna | Ugruntowanie poprawności i świadomości studiowania tematu. Identyfikacja luk w początkowym rozumieniu badanego materiału, korygowanie zidentyfikowanych luk, zapewnienie, że wiedza i metody działania potrzebne do ich niezależna praca na nowym materiale. | Frontalnie do tablicy: № 318, 319, 320,321,324,325,328 Na zmianę, według uznania | Rozwiązuj na tablicy z komentarzami | ||
| 6. Organizacja kontroli pierwotnej | Identyfikacja jakości i poziomu przyswojenia wiedzy oraz metod działania, a także identyfikacja braków w wiedzy i sposobach działania, ustalenie przyczyn zidentyfikowanych braków | Rozwiąż samodzielnie na podstawie tekstu na kartkach papieru i sprawdź odpowiedzi na tablicy: PRACA NIEZALEŻNA (zróżnicowana) 1 opcja Dokończ rozkład na czynniki wielomianu: 5akh – 30ау = 5а(…………..) x 4 – 5x 3 – x 2 = x 2 (…………..) Rozłóż wielomian na czynniki - 5ав + 15а 2 в, biorąc współczynnik z nawiasów: a) 5а; b) -5a. Rozważ to: 5x + 5y = 7av + 14ac = 20a – 4b= 5min – 5= ah – ay= 3x 2 – 6x= 2a – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 opcja Zakończ wpis: 18av +16v= 2v(…………) 4a 2 s – 8ac= 4ac(………..) Rozłóż wielomian -15a 2 na + 5ab 4 na dwa sposoby: a) wyjąć współczynnik 5ab z nawiasów; b) biorąc współczynnik -5av z nawiasów. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 в= 12av – 9v= x 3 -4x 2 +6x= 6a 4 – 4a 2 = 4a 4 -8a 3 +12a 2 = 24x 2 y -12xy= 9v 2 -6v 4 +3v= 4. Znajdź wartość wyrażenia rozkładając je na czynniki: xy 2 + y 3 przy x=97, y=3. Opcja 3 Wyjmij wspólny czynnik z nawiasu i sprawdź, mnożąc jednomian przez wielomian: a) 12xy+ 18x= b) 36ab 2 – 12a 2 c= 2. Zakończ nagrywanie: 18a 3 w 2 +36av = 18av(…………) 18a 3 w 2 +36av = -18av(…………) 3. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów: 12a 2 +16a= -11x 2 y 2 +22xy= 2a 4 -6a 2 = -12a 3 w 3 +6av= 30a 4 b- 6av 4 = x 8 -8x 4 + x 2 = 4. Zastąp M wielomianem lub jednomianem, aby uzyskana równość była tożsamością: 12a 2 b-8av 2 +6av=M*(6a-4b+3) 15x 2 y-10x3y2+25x 4 y 3 =5x 2 lata*M 5. Znajdź znaczenie wyrażenia: a) 2,76a-ab przy a=1,25 i b=0,76; b) 2xy + 2y2 przy x=0,27 i b=0,73. | Wykonują swoją pracę, po jej zakończeniu otrzymują klucze i sprawdzają, stawiają + lub minus, oceniają swoją pracę według kryteriów na tablicy: (odpowiedzi na tablicy) 10-12 punktów - „5” 8-9 punktów - „4” 6-7 punktów - „3” Mniej niż 6 - musisz pracować więcej. | Zróżnicowane arkusze zadań | |
| 7. Podsumowanie lekcji. | Dokonaj jakościowej oceny pracy klasy i poszczególnych uczniów | Zaznacz aktywnie pracujących uczniów i podsumuj wyniki samodzielnej pracy: Podnieś rękę, kto ma 5,4,3. | Przeanalizuj ich pracę | ||
| 8. Informacje nt Praca domowa | Zapewnienie, że dzieci rozumieją cel, treść i sposób odrabiania zadań domowych. | Paragraf nr 19 Robimy to według przykładowych zadań na zajęciach | Zapisuj zadania w pamiętniku | ||
| 9. Refleksja | Nauczyciel: To była lekcja – poszukiwanie. Ty i ja szukaliśmy ze sobą wspólnej płaszczyzny, nauczyliśmy się komunikować, a także ujawniliśmy jeden ze sposobów wyjaśnienia i utrwalenia tematu. Wróćmy do celów lekcji i przeanalizujmy, jak je osiągnęliśmy Och, o czym jeszcze rozmawialiśmy, poza usunięciem wspólnego czynnika z nawiasów? Wróćmy do logo lekcji. | Przeczytaj cele i przeanalizuj ich realizację O związku matematyki z językiem rosyjskim O pięknie naszej ojczyzny, o ekologii |