5 w formacie binarnym. Jak zapisać liczbę binarną jako liczbę dziesiętną? Konwersja części całkowitej liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Kalkulator umożliwia konwersję liczb całkowitych i ułamkowych z jednego systemu liczbowego na inny. Podstawa systemu liczbowego nie może być mniejsza niż 2 i większa niż 36 (10 cyfr i 26 Litery łacińskie Mimo wszystko). Długość cyfr nie może przekraczać 30 znaków. Aby wprowadzić liczby ułamkowe, użyj symbolu . Lub, . Aby przekonwertować liczbę z jednego systemu na inny, wpisz pierwotną liczbę w pierwszym polu, radix oryginalny system liczbę na drugie i podstawę systemu liczbowego, na który chcesz przeliczyć liczbę na trzecie pole, a następnie kliknij przycisk „Pobierz rekord”.
Numer oryginalny zapisane w 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.
Chcę zapisać numer 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.
Uzyskaj wpis
Ukończono tłumaczenia: 1363710
Systemy liczbowe
Systemy liczbowe dzielą się na dwa typy: pozycyjny I nie pozycyjny. Używamy systemu arabskiego, jest on pozycyjny, ale jest też system rzymski – nie jest pozycyjny. W systemach pozycyjnych pozycja cyfry w liczbie jednoznacznie określa wartość tej liczby. Łatwo to zrozumieć, patrząc na jakąś liczbę jako przykład.
Przykład 1. Weźmy liczbę 5921 w systemie dziesiętnym. Ponumerujmy liczbę od prawej do lewej, zaczynając od zera:
Liczbę 5921 można zapisać w następującej postaci: 5921 = 5000+900+20+1 = 5,10 3 +9,10 2 +2,10 1 +1,10 0 . Liczba 10 jest cechą definiującą system liczbowy. Wartości położenia danej liczby przyjmowane są jako potęgi.
Przykład 2. Rozważ rzeczywistość liczba dziesiętna 1234.567. Policzmy to zaczynając od pozycja zerowa liczby od przecinka dziesiętnego w lewo i w prawo:
Liczbę 1234,567 można zapisać w następującej postaci: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1,10 3 +2,10 2 +3,10 1 +4,10 0 +5,10 -1 + 6,10 -2 +7,10 -3 .
Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny
Bardzo w prosty sposób konwersja liczby z jednego systemu liczbowego na inny polega na najpierw przekształceniu liczby na system dziesiętny, a następnie otrzymanego wyniku na wymagany system liczbowy.
Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny
Aby zamienić liczbę z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny, wystarczy ponumerować jej cyfry, zaczynając od zera (cyfry po lewej stronie przecinka) analogicznie jak w przykładach 1 lub 2. Znajdźmy sumę iloczynów cyfr liczby przez podstawę systemu liczbowego do potęgi pozycji tej cyfry:
1.
Konwertuj liczbę 1001101.1101 2 na system dziesiętny.
Rozwiązanie: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Odpowiedź: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Konwertuj liczbę E8F.2D 16 na system dziesiętny.
Rozwiązanie: E8F.2D 16 = 14,16 2 +8,16 1 +15,16 0 +2,16 -1 +13,16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Odpowiedź: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Aby przekonwertować liczby z system dziesiętny Podczas liczenia w innym systemie liczbowym część całkowitą i ułamkową liczby należy przeliczyć oddzielnie.
Konwersja części całkowitej liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Część całkowitą przekształca się z dziesiętnego systemu liczbowego na inny system liczbowy poprzez kolejne dzielenie części całkowitej liczby przez podstawę systemu liczbowego, aż do uzyskania reszty całkowitej mniejszej niż podstawa systemu liczbowego. Rezultatem tłumaczenia będzie zapis reszty, zaczynając od ostatniego.
3.
Konwertuj liczbę 273 10 na system liczb ósemkowych.
Rozwiązanie: 273 / 8 = 34 i reszta 1,34 / 8 = 4 i reszta 2,4 jest mniejsza niż 8, więc obliczenia są zakończone. Zapis z sald będzie wyglądał następująco: 421
Badanie: 4,8 2 +2,8 1 +1,8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, wynik jest taki sam. Oznacza to, że tłumaczenie zostało wykonane poprawnie.
Odpowiedź: 273 10 = 421 8
Rozważmy tłumaczenie zwykłych ułamków dziesiętnych na różne systemy liczbowe.
Konwersja części ułamkowej liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Przypomnijmy, że nazywa się to ułamkiem dziesiętnym właściwym liczba rzeczywista z zerem cała część . Aby przekonwertować taką liczbę na system liczbowy o podstawie N, należy kolejno pomnożyć liczbę przez N, aż część ułamkowa spadnie do zera lub uzyskana zostanie wymagana liczba cyfr. Jeżeli podczas mnożenia zostanie uzyskana liczba z częścią całkowitą inną niż zero, część całkowita nie jest dalej brana pod uwagę, ponieważ jest sekwencyjnie wprowadzana do wyniku.
4.
Zamień liczbę 0,125 10 na system binarny Rachunek
Rozwiązanie: 0,125,2 = 0,25 (0 to część całkowita, która stanie się pierwszą cyfrą wyniku), 0,25,2 = 0,5 (0 to druga cyfra wyniku), 0,5,2 = 1,0 (1 to trzecia cyfra wyniku, a ponieważ część ułamkowa wynosi zero, to tłumaczenie jest zakończone).
Odpowiedź: 0.125 10 = 0.001 2
Wynik został już otrzymany!
Systemy liczbowe
Wyróżnia się pozycyjne i niepozycyjne systemy pozycjonowania Rachunek Arabski system liczbowy, w którym używamy Życie codzienne, jest pozycyjny, ale Roman nie. W systemach liczb pozycyjnych położenie liczby jednoznacznie określa wielkość liczby. Rozważmy to na przykładzie liczby 6372 w systemie dziesiętnym. Ponumerujmy tę liczbę od prawej do lewej, zaczynając od zera:
Następnie liczbę 6372 można przedstawić w następujący sposób:
6372=6000+300+70+2 =6,10 3 +3,10 2 +7,10 1 +2,10 0 .
Liczba 10 określa system liczbowy (w w tym przypadku to jest 10). Wartości położenia danej liczby przyjmowane są jako potęgi.
Rozważmy rzeczywistą liczbę dziesiętną 1287,923. Ponumerujmy ją zaczynając od pozycji zerowej liczby od kropki dziesiętnej w lewo i w prawo:
Następnie liczbę 1287,923 można przedstawić jako:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1,10 3 +2,10 2 +8,10 1 +7,10 0 +9,10 -1 +2,10 -2 +3· 10 -3.
Ogólnie formułę można przedstawić w następujący sposób:
C rz S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
gdzie C n jest liczbą całkowitą na pozycji N, D-k- liczba ułamkowa w pozycji (-k), S- system liczbowy.
Kilka słów o systemach liczbowych. Liczba w systemie dziesiętnym składa się z wielu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), w systemie ósemkowym składa się z wielu cyfr. (0,1, 2,3,4,5,6,7), w systemie binarnym – ze zbioru cyfr (0,1), w systemie szesnastkowym – ze zbioru cyfr (0,1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), gdzie A,B,C,D,E,F odpowiadają liczbom 10,11, 12,13,14,15. W tabeli Tab.1 przedstawiono liczby różne systemy Rachunek
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacja | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | mi | 15 | 1111 | 17 | F |
Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny
Aby przekonwertować liczby z jednego systemu liczbowego na inny, najłatwiej jest najpierw przekonwertować liczbę na system dziesiętny, a następnie dokonać konwersji z systemu dziesiętnego na wymagany system liczbowy.
Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny
Korzystając ze wzoru (1), możesz przekonwertować liczby z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny.
Przykład 1. Konwertuj liczbę 1011101.001 z systemu liczb binarnych (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Przykład2. Konwertuj liczbę 1011101.001 z systemu liczb ósemkowych (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
Przykład 3 . Konwertuj liczbę AB572.CDF z szesnastkowego systemu liczbowego na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
Tutaj A-zastąpiony przez 10, B- o godzinie 11, C- o godzinie 12, F- do 15.
Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Aby przekonwertować liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy, należy osobno przekonwertować całą część liczby i część ułamkowa liczby.
Część całkowitą liczby konwertuje się z dziesiętnego SS na inny system liczbowy poprzez kolejne podzielenie części całkowitej liczby przez podstawę systemu liczbowego (dla SS binarnego - przez 2, dla 8-arowego SS - przez 8, dla 16 -ary SS - o 16 itd.) aż do uzyskania całej reszty, mniejszej niż zasada CC.
Przykład 4 . Przekonwertujmy liczbę 159 z dziesiętnego SS na binarny SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Jak widać z rys. 1, liczba 159 przy dzieleniu przez 2 daje iloraz 79, a reszta 1. Ponadto liczba 79 przy dzieleniu przez 2 daje iloraz 39 i resztę 1 itd. W efekcie konstruując liczbę z reszt z dzielenia (od prawej do lewej) otrzymujemy liczbę w formacie binarnym SS: 10011111 . Dlatego możemy napisać:
159 10 =10011111 2 .
Przykład 5 . Przekonwertujmy liczbę 615 z dziesiętnego SS na ósemkowy SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Konwertując liczbę z dziesiętnego SS na ósemkowy SS, należy kolejno dzielić liczbę przez 8, aż otrzymamy resztę całkowitą mniejszą niż 8. W rezultacie konstruując liczbę z reszt dzielenia (od prawej do lewej) otrzymujemy liczba ósemkowa SS: 1147 (patrz ryc. 2). Dlatego możemy napisać:
615 10 =1147 8 .
Przykład 6 . Przekonwertujmy liczbę 19673 z systemu dziesiętnego na szesnastkowy SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Jak widać z rysunku 3, dzieląc sukcesywnie liczbę 19673 przez 16, reszty wynoszą 4, 12, 13, 9. W systemie liczb szesnastkowych liczba 12 odpowiada C, liczba 13 - D. Dlatego też nasz liczba szesnastkowa- to jest 4CD9.
Aby zamienić zwykłe ułamki dziesiętne (liczbę rzeczywistą z zerową częścią całkowitą) na system liczbowy o podstawie s, potrzebujesz podany numer sukcesywnie mnożymy przez s, aż część ułamkowa będzie równa zero lub otrzymamy wymaganą liczbę cyfr. Jeżeli w wyniku mnożenia zostanie liczba, której część całkowita jest różna od zera, to ta część całkowita nie jest brana pod uwagę (są one kolejno uwzględniane w wyniku).
Spójrzmy na powyższe na przykładach.
Przykład 7 . Przekonwertujmy liczbę 0,214 z systemu dziesiętnego na binarny SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Jak widać na ryc. 4, liczbę 0,214 mnoży się kolejno przez 2. Jeżeli wynikiem mnożenia jest liczba z częścią całkowitą inną niż zero, wówczas część całkowitą zapisuje się osobno (po lewej stronie liczby), a liczba jest zapisywana z zerową częścią całkowitą. Jeżeli w wyniku mnożenia powstaje liczba posiadająca zerową część całkowitą, wówczas po jej lewej stronie wpisuje się zero. Proces mnożenia trwa aż część ułamkowa osiągnie czyste zero lub otrzymamy wymaganą liczbę cyfr. Zapisując pogrubione liczby (ryc. 4) od góry do dołu, otrzymujemy wymaganą liczbę w systemie liczb binarnych: 0. 0011011 .
Dlatego możemy napisać:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Przykład 8 . Przekonwertujmy liczbę 0,125 z systemu dziesiętnego na binarny SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Aby przekonwertować liczbę 0,125 z dziesiętnego SS na binarny, liczbę tę mnoży się kolejno przez 2. W trzecim etapie wynikiem jest 0. W rezultacie otrzymuje się następujący wynik:
0.125 10 =0.001 2 .
Przykład 9 . Przekonwertujmy liczbę 0,214 z dziesiętnego systemu liczbowego na szesnastkowy SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Idąc za przykładami 4 i 5, otrzymujemy liczby 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale w systemie szesnastkowym liczby 12 i 11 odpowiadają liczbom C i B. Dlatego mamy:
0,214 10 = 0,36C8B4 16 .
Przykład 10 . Przekonwertujmy liczbę 0,512 z systemu dziesiętnego na ósemkowy SS.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Dostał:
0.512 10 =0.406111 8 .
Przykład 11 . Przekonwertujmy liczbę 159,125 z systemu dziesiętnego na binarny SS. Aby to zrobić, tłumaczymy osobno część całkowitą liczby (przykład 4) i część ułamkową liczby (przykład 8). Dalsze połączenie tych wyników otrzymujemy:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Przykład 12 . Przekonwertujmy liczbę 19673.214 z systemu dziesiętnego na szesnastkowy SS. Aby to zrobić, tłumaczymy osobno część całkowitą liczby (przykład 6) i część ułamkową liczby (przykład 9). Ponadto, łącząc te wyniki, otrzymujemy.
1. Liczenie porządkowe różne systemy Rachunek
W Nowoczesne życie stosujemy pozycyjne systemy liczbowe, czyli takie, w których liczba oznaczona cyfrą zależy od pozycji cyfry w zapisie liczby. Dlatego w przyszłości będziemy mówić tylko o nich, pomijając określenie „pozycyjne”.
Aby dowiedzieć się, jak konwertować liczby z jednego systemu na drugi, zrozumiemy, jak następuje sekwencyjne zapisywanie liczb na przykładzie systemu dziesiętnego.
Ponieważ mamy dziesiętny system liczbowy, mamy 10 symboli (cyfr) do konstruowania liczb. Zaczynamy liczyć: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby się skończyły. Zwiększamy głębokość bitową liczby i resetujemy najmniejszą cyfrę: 10. Następnie ponownie zwiększamy najmniejszą cyfrę, aż znikną wszystkie cyfry: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zwiększamy cyfrę wyższego rzędu o 1 i resetujemy cyfrę młodszego rzędu: 20. Kiedy wykorzystamy wszystkie cyfry dla obu cyfr (otrzymamy liczbę 99), ponownie zwiększamy pojemność cyfrową liczby i resetujemy istniejące cyfry: 100. I tak dalej.
Spróbujmy zrobić to samo w systemie 2., 3. i 5. (wprowadzamy notację dla systemu 2., dla 3. itd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Jeśli system liczbowy ma podstawę większą niż 10, będziemy musieli wejść dodatkowe znaki, zwyczajowo wpisuje się litery alfabetu łacińskiego. Na przykład dla systemu 12-cyfrowego oprócz dziesięciu cyfr potrzebujemy dwóch liter ( i ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Przejście z systemu dziesiętnego na dowolny inny.
Aby przekonwertować dodatnią liczbę całkowitą na system liczbowy o innej podstawie, należy podzielić tę liczbę przez podstawę. Podziel uzyskany iloraz przez podstawę ponownie i dalej, aż iloraz będzie mniejszy niż podstawa. W rezultacie zapisz w jednym wierszu ostatni iloraz i wszystkie reszty, zaczynając od ostatniego.
Przykład 1. Zamieńmy liczbę dziesiętną 46 na system binarny.
Przykład 2. Zamieńmy liczbę dziesiętną 672 na układ ósemkowy Rachunek
Przykład 3. Zamieńmy liczbę dziesiętną 934 na system szesnastkowy Rachunek
3. Konwersja z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny.
Aby dowiedzieć się, jak konwertować liczby z dowolnego innego systemu na dziesiętny, przeanalizujmy zwykły zapis liczby dziesiętnej.
Na przykład liczba dziesiętna 325 to 5 jednostek, 2 dziesiątki i 3 setki, tj.
Sytuacja wygląda dokładnie tak samo w innych systemach liczbowych, tyle że będziemy mnożyć nie przez 10, 100 itd., ale przez potęgi podstawy systemu liczbowego. Weźmy na przykład liczbę 1201 w trójskładnikowym systemie liczbowym. Ponumerujmy cyfry od prawej do lewej, zaczynając od zera i wyobraźmy sobie naszą liczbę jako sumę iloczynów cyfry i trzech do potęgi cyfry liczby:
To jest to Notacja dziesiętna nasz numer, tj.
Przykład 4. Przejdźmy do dziesiętnego systemu liczbowego liczba ósemkowa 511.
Przykład 5. Przekonwertujmy liczbę szesnastkową 1151 na system dziesiętny.
4. Konwersja z systemu binarnego do systemu o podstawowej „potędze dwójki” (4, 8, 16 itd.).
Aby przekonwertować liczbę binarną na liczbę o podstawie „potęgi dwójki”, należy podzielić ciąg binarny na grupy według liczby cyfr równej potędze od prawej do lewej i zastąpić każdą grupę odpowiednią cyfrą nowy system Rachunek
Na przykład przekonwertujmy liczbę binarną 1100001111010110 na system ósemkowy. W tym celu podzielimy go na grupy po 3 znaki zaczynając od prawej strony (od ), a następnie skorzystamy z tabeli korespondencji i każdą grupę zastąpimy nową liczbą:
W kroku 1 nauczyliśmy się budować tabelę korespondencji.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Te.
Przykład 6. Przekonwertujmy liczbę binarną 1100001111010110 na liczbę szesnastkową.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | mi |
| 1111 | F |
5. Konwersja z systemu o podstawowej „potędze dwójki” (4, 8, 16 itd.) na system binarny.
Tłumaczenie to jest podobne do poprzedniego, dokonanego w r Odwrotna strona: Zastępujemy każdą cyfrę grupą cyfr binarnych z tabeli przeglądowej.
Przykład 7. Przekonwertujmy liczbę szesnastkową C3A6 na system liczb binarnych.
Aby to zrobić, zastąp każdą cyfrę liczby grupą 4 cyfr (od ) z tabeli korespondencji, w razie potrzeby uzupełniając grupę zerami na początku: