5 w systemie dziesiętnym. Jaki jest system liczb binarnych? Jak zamienić liczbę dziesiętną na binarną
Wynik został już otrzymany!
Systemy liczbowe
Istnieją pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe. Arabski system liczbowy, w którym używamy Życie codzienne, jest pozycyjny, ale Roman nie. W systemy pozycyjne W zapisie pozycja liczby jednoznacznie określa jej wielkość. Rozważmy to na przykładzie liczby 6372 w systemie dziesiętnym. Ponumerujmy tę liczbę od prawej do lewej, zaczynając od zera:
Następnie liczbę 6372 można przedstawić w następujący sposób:
6372=6000+300+70+2 =6,10 3 +3,10 2 +7,10 1 +2,10 0 .
Liczba 10 określa system liczbowy (w w tym przypadku to jest 10). Wartości położenia danej liczby przyjmowane są jako potęgi.
Rozważ rzeczywistość liczba dziesiętna 1287,923. Ponumerujmy ją zaczynając od pozycji zerowej liczby od kropki dziesiętnej w lewo i w prawo:
Następnie liczbę 1287,923 można przedstawić jako:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1,10 3 +2,10 2 +8,10 1 +7,10 0 +9,10 -1 +2,10 -2 +3· 10 -3.
Ogólnie formułę można przedstawić w następujący sposób:
C rz S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
gdzie C n jest liczbą całkowitą na pozycji N, D -k - liczba ułamkowa na pozycji (-k), S- system liczbowy.
Kilka słów o systemach liczbowych system dziesiętny system liczbowy składa się z wielu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), w systemie ósemkowym - z wielu cyfr (0,1,2,3,4,5, 6, 7), w systemie liczb binarnych – ze zbioru cyfr (0,1), w systemie liczb szesnastkowych – ze zbioru cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7, 8,9,A,B,C,D,E,F), gdzie A,B,C,D,E,F odpowiadają liczbom 10,11,12,13,14,15. Tabela 1 pokazuje liczby W różne systemy Rachunek
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacja | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | mi | 15 | 1111 | 17 | F |
Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny
Aby przekonwertować liczby z jednego systemu liczbowego na inny, najłatwiej jest najpierw przekonwertować liczbę na system dziesiętny, a następnie dokonać konwersji z systemu dziesiętnego na wymagany system liczbowy.
Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny
Korzystając ze wzoru (1), możesz przekonwertować liczby z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny.
Przykład 1. Konwertuj liczbę 1011101.001 z systemu liczb binarnych (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Przykład2. Konwertuj liczbę 1011101.001 z ósemkowego systemu liczbowego (SS) na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
Przykład 3 . Konwertuj liczbę AB572.CDF z szesnastkowego systemu liczbowego na dziesiętny SS. Rozwiązanie:
Tutaj A-zastąpiony przez 10, B- o godzinie 11, C- o godzinie 12, F- do 15.
Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Aby przekonwertować liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy, należy osobno przekonwertować część całkowitą liczby i część ułamkową liczby.
Część całkowitą liczby konwertuje się z dziesiętnego SS na inny system liczbowy poprzez kolejne podzielenie części całkowitej liczby przez podstawę systemu liczbowego (dla SS binarnego - przez 2, dla 8-arowego SS - przez 8, dla 16 -ary SS - o 16 itd.) aż do uzyskania całej reszty, mniejszej niż zasada CC.
Przykład 4 . Przekonwertujmy liczbę 159 z dziesiętnego SS na binarny SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Jak widać z rys. 1, liczba 159 przy dzieleniu przez 2 daje iloraz 79, a reszta 1. Ponadto liczba 79 przy dzieleniu przez 2 daje iloraz 39 i resztę 1 itd. W efekcie konstruując liczbę z reszt z dzielenia (od prawej do lewej) otrzymujemy liczbę w formacie binarnym SS: 10011111 . Dlatego możemy napisać:
159 10 =10011111 2 .
Przykład 5 . Przekonwertujmy liczbę 615 z dziesiętnego SS na ósemkowy SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Konwertując liczbę z dziesiętnego SS na ósemkowy SS, należy kolejno dzielić liczbę przez 8, aż otrzymamy resztę całkowitą mniejszą niż 8. W rezultacie konstruując liczbę z reszt dzielenia (od prawej do lewej) otrzymujemy liczba ósemkowa SS: 1147 (Patrz rys. 2). Dlatego możemy napisać:
615 10 =1147 8 .
Przykład 6 . Przekonwertujmy liczbę 19673 z systemu dziesiętnego na szesnastkowy SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Jak widać z rysunku 3, dzieląc sukcesywnie liczbę 19673 przez 16, reszty wynoszą 4, 12, 13, 9. W systemie liczb szesnastkowych liczba 12 odpowiada C, liczba 13 - D. Dlatego też nasz liczba szesnastkowa- to jest 4CD9.
Aby zamienić zwykłe ułamki dziesiętne (liczbę rzeczywistą z zerową częścią całkowitą) na system liczbowy o podstawie s, potrzebujesz podany numer sukcesywnie mnożymy przez s, aż część ułamkowa będzie równa zero lub otrzymamy wymaganą liczbę cyfr. Jeżeli podczas mnożenia otrzymana zostanie liczba o części całkowitej innej niż zero, to ta część całkowita nie jest brana pod uwagę (są one kolejno uwzględniane w wyniku).
Spójrzmy na powyższe na przykładach.
Przykład 7 . Przekonwertujmy liczbę 0,214 z systemu dziesiętnego na binarny SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Jak widać na ryc. 4, liczbę 0,214 mnoży się kolejno przez 2. Jeżeli wynikiem mnożenia jest liczba z częścią całkowitą inną niż zero, to cała część jest zapisywany osobno (po lewej stronie liczby), a liczba jest zapisywana z zerową częścią całkowitą. Jeżeli w wyniku mnożenia zostanie wygenerowana liczba posiadająca zerową część całkowitą, wówczas po jej lewej stronie wpisuje się zero. Proces mnożenia trwa aż część ułamkowa osiągnie czyste zero lub otrzymamy wymaganą liczbę cyfr. Zapisując pogrubione liczby (ryc. 4) od góry do dołu, otrzymujemy wymaganą liczbę w systemie liczb binarnych: 0. 0011011 .
Dlatego możemy napisać:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Przykład 8 . Przekonwertujmy liczbę 0,125 z systemu dziesiętnego na binarny SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Aby przekonwertować liczbę 0,125 z dziesiętnego SS na binarny, liczbę tę mnoży się kolejno przez 2. W trzecim etapie wynikiem jest 0. W rezultacie otrzymuje się następujący wynik:
0.125 10 =0.001 2 .
Przykład 9 . Przekonwertujmy liczbę 0,214 z dziesiętnego systemu liczbowego na szesnastkowy SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Idąc za przykładami 4 i 5, otrzymujemy liczby 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale w systemie szesnastkowym liczby 12 i 11 odpowiadają liczbom C i B. Dlatego mamy:
0,214 10 = 0,36C8B4 16 .
Przykład 10 . Przekonwertujmy liczbę 0,512 z systemu dziesiętnego na ósemkowy SS.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Dostał:
0.512 10 =0.406111 8 .
Przykład 11 . Przekonwertujmy liczbę 159,125 z systemu dziesiętnego na binarny SS. Aby to zrobić, tłumaczymy osobno część całkowitą liczby (przykład 4) i część ułamkową liczby (przykład 8). Dalsze połączenie tych wyników otrzymujemy:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Przykład 12 . Przekonwertujmy liczbę 19673.214 z systemu dziesiętnego na szesnastkowy SS. Aby to zrobić, tłumaczymy osobno część całkowitą liczby (przykład 6) i część ułamkową liczby (przykład 9). Ponadto, łącząc te wyniki, otrzymujemy.
Operacje arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych wykonywane są przy użyciu jednego algorytmu. Zatem dodawanie liczb binarnych odbywa się według klasycznego algorytmu „kolumnowego” z przeniesieniem liczby będącej wielokrotnością dwóch przez jeden do następnej cyfry.
Rozważmy ten algorytm na przykładzie dwóch liczb binarnych 1010101 2 i 110111 2:
Wynik dodania wygląda następująco: 10001100 2. Sprawdźmy wynik dodawania, konwertując wszystkie liczby na system dziesiętny:
1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .
System binarny, będący podstawą arytmetyki komputerowej, jest bardzo uciążliwy i niewygodny w użyciu przez człowieka. Dlatego programiści używają dwóch wielokrotności systemu liczb binarnych: ósemkowej i szesnastkowej. W przypadku systemu szesnastkowego brakuje cyfr arabskich, a jako liczby używa się pierwszych sześciu wielkich liter alfabetu łacińskiego. Podano przykłady zapisu liczb naturalnych od 1 do 16 w czterech systemach liczbowych Tabela 2.
Tabela 2. Przykłady zapisu liczb naturalnych od 1 do 16
w czterech systemach liczbowych
Z Tabele 2 Można zauważyć, że w systemie binarnym zapis liczb drugiej ósemki (od 8 do 15) różni się od zapisu pierwszej ósemki (od 0 do 7) obecnością jednostki w czwartej (po prawej) ) cyfra. Na tym opiera się algorytm konwersji liczb binarnych na liczby ósemkowe „przez triady”. Aby zastosować ten algorytm, należy podzielić liczbę binarną na trójki cyfr (licząc od prawej) i zamiast każdej trójki wpisać cyfrę ósemkową:
10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .
Trójka znajdująca się najbardziej po lewej stronie może być niekompletna (jak w przykładzie); aby uzyskać pełne trójki, możesz dodać brakujące zera po lewej stronie.
Upewnijmy się, że algorytm jest poprawny:
10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;
255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .
Aby przekonwertować liczby z systemu ósemkowego na system binarny, stosuje się algorytm odwrotny: cyfry ósemkowe zastępuje się trójkami cyfr binarnych (w razie potrzeby brakujące zera dodaje się po lewej stronie):
325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .
Do konwersji liczb z postaci binarnej na szesnastkową stosuje się algorytm „by tetrad”. Ciąg cyfr binarnych jest dzielony na czwórki i zamiast tego zapisywane są cyfry szesnastkowe:
10101101 2 → 1010 1101 → AD 16.
To działa w ten sam sposób algorytm odwrotny: Cyfry szesnastkowe są zastępowane poczwórnymi cyframi binarnymi.
Łatwiej jest przekonwertować z ósemkowego na szesnastkowy i odwrotnie, używając systemu binarnego:
D5 16 → D 5 →1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8 .
Podczas wykonywania zadań dodawania liczb z różnych systemów liczbowych należy je przekształcić w jeden system liczbowy. Najlepiej zastosować układ, w jakim powinien zostać przedstawiony wynik.
Zadanie 14. (Wersja demonstracyjna zadania A6 2004)
Oblicz wartość sumy w zapisie dziesiętnym:
10 2 +10 8 +10 16 = ? 10
Rozwiązanie.
Przekonwertujmy wszystkie liczby na zapis dziesiętny:
10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .
Odpowiedź: 26.
Zadanie 15.
Znajdź sumę x+y jeśli x=1110101 2 , y=1011011 2 . Wyraź swoją odpowiedź w notacji ósemkowej.
Rozwiązanie.
Znajdźmy sumę: 1110101 2 + 1011011 2:
1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2
Przekonwertujmy wynikową liczbę z systemu binarnego na ósemkowy:
11 010 000 → 320 8 .
Odpowiedź: 320.
Zadanie 16.(Zadanie B1 wersji demonstracyjnej z 2004 r.)
W systemie liczbowym o pewnej podstawie liczbę 12 zapisuje się jako 110. Znajdź tę podstawę.
Rozwiązanie.
Oznaczmy wymaganą podstawę przez n. Na podstawie zasad zapisywania liczb w zapisach pozycyjnych 110 n =n 2 +n 1 +0. Zróbmy równanie: n 2 + n=12, znajdź pierwiastki: n 1 =-4, n 2 =3. Pierwiastek n 1 = -4 nie jest odpowiedni, ponieważ podstawą systemu liczbowego jest z definicji liczba naturalna większa niż jeden. Sprawdźmy, czy pierwiastek n=3 jest odpowiedni:
110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10
Odpowiedź: 3.
Ćwiczenia17 .
W klasie 1111 są 2 dziewczynki i 1100 2 chłopców. Ilu uczniów jest w klasie?
Rozwiązanie.
1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .
1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10
15 10 +12 10 =27 10
Odpowiedź: W klasie jest 27 uczniów.
Ćwiczenia18 .
W ogrodzie rośnie 100 drzew owocowych, z czego 33 to jabłonie, 22 to grusze, 16 to śliwki i 5 to wiśnie. W jakim systemie liczbowym liczone są drzewa?
Rozwiązanie.
100 x = 33 x + 22 x + 16 x + 5 x
1*x 2 =3*x 1 +3*x 0 +2*x 1 +2*x 0 + 1*x 1 +6*x 0 +5*x 0
x 2 =3x+3+2x+2+ 1x+6+5
D=b2 -4ac=36+4*16=36+64=100
x 1,2 = 
= (6±10)/2
x 1 = - 2 – nie odpowiada sensowi problemu,
x 2 = 8 – podstawa żądanego systemu liczbowego.
Odpowiedź: drzewa liczone są w systemie ósemkowym.
Ćwiczenia19 .
Oddzielone przecinkami, w kolejności rosnącej, wskazują wszystkie podstawy systemów liczbowych, w których liczba 17 kończy się na 2.
Rozwiązanie.
Ostatnia cyfra liczby to reszta z dzielenia liczby przez podstawę systemu liczbowego. Ponieważ 17-2=15, to wymaganymi podstawami systemów liczbowych będą dzielniki 15, są to: 3, 5, 15.
Sprawdźmy naszą odpowiedź, przedstawiając liczbę 17 w odpowiednich systemach liczbowych:
Podczas nauki spotykamy się z systemem liczb binarnych dyscypliny komputerowe. Przecież to na bazie tego systemu budowany jest procesor i niektóre rodzaje szyfrowania. Istnieją specjalne algorytmy zapisywania liczby dziesiętnej w systemie binarnym i odwrotnie. Jeśli znasz zasadę budowy systemu, operowanie w nim nie będzie trudne.
Zasada konstruowania systemu zer i jedynek
System liczb binarnych zbudowany jest z dwóch cyfr: zera i jedynki. Dlaczego akurat te liczby? Wynika to z zasady konstruowania sygnałów stosowanych w procesorze. Na najniższym poziomie sygnał przyjmuje tylko dwie wartości: fałsz i prawdę. Dlatego zwyczajowo oznaczano brak sygnału jako „fałszywy” przez zero, a jego obecność jako „prawdę” przez jeden. To połączenie jest łatwe do wdrożenia pod względem technicznym. Liczby w systemie binarnym tworzy się w taki sam sposób, jak w systemie dziesiętnym. Kiedy cyfra osiągnie górną granicę, jest resetowana do zera i dodawana jest nowa cyfra. Zasadę tę stosuje się do poruszania się po dziesiątce w systemie dziesiętnym. Zatem liczby składają się z kombinacji zer i jedynek, a kombinacja ta nazywa się „ system binarny rachunek".
Rejestracja numeru w systemie |
|||
W systemie dziesiętnym | W formacie binarnym | W systemie dziesiętnym | W formacie binarnym |
Jak zapisać liczbę binarną jako liczbę dziesiętną?
Istnieją usługi online, które konwertują liczby na dane binarne i odwrotnie, ale lepiej jest móc to zrobić samodzielnie. Po przetłumaczeniu system binarny jest oznaczony indeksem dolnym 2, na przykład 101 2. Każdą liczbę w dowolnym systemie można przedstawić jako sumę liczb, na przykład: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - w systemie dziesiętnym. Liczba jest również reprezentowana w postaci binarnej. Weźmy dowolna liczba 101 i rozważ to. Ma 3 cyfry, więc ustawiamy liczbę w następujący sposób: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, gdzie indeks 10 oznacza system dziesiętny.
Jak zapisać liczbę pierwszą w systemie binarnym?
Bardzo łatwo jest przejść na system binarny, dzieląc liczbę przez dwa. Konieczne jest dzielenie, aż będzie możliwe jego całkowite ukończenie. Weźmy na przykład liczbę 871. Zaczynamy dzielić, pamiętając o zapisaniu reszty:
871:2=435 (reszta 1)
435:2=217 (reszta 1)
217:2=108 (reszta 1)
Odpowiedź zapisuje się zgodnie z otrzymanymi resztami w kierunku od końca do początku: 871 10 =101100111 2. Poprawność obliczeń możesz sprawdzić za pomocą transfer odwrotny, opisany wcześniej.
Dlaczego musisz znać zasady tłumaczenia?
System liczb binarnych jest stosowany w większości dziedzin związanych z elektroniką mikroprocesorową, kodowaniem, transmisją danych i szyfrowaniem, a także w różnych obszarach programowania. Znajomość podstaw tłumaczenia z dowolnego systemu na plik binarny pomoże programiście opracować różne mikroukłady i kontrolować działanie procesora i innych podobne systemy programowo. Binarny system liczbowy jest także niezbędny do realizacji metod przesyłania pakietów danych kanałami szyfrowanymi i tworzenia na ich podstawie projekty oprogramowania Typ „klient-serwer”. Na szkolnym kursie informatyki podstawy konwersji do systemu binarnego i odwrotnie stanowią podstawowy materiał do przyszłej nauki programowania i tworzenia prostych programów.
1. Liczenie porządkowe w różnych systemach liczbowych.
W Nowoczesne życie stosujemy pozycyjne systemy liczbowe, czyli takie, w których liczba oznaczona cyfrą zależy od pozycji cyfry w zapisie liczby. Dlatego w przyszłości będziemy mówić tylko o nich, pomijając określenie „pozycyjne”.
Aby dowiedzieć się, jak konwertować liczby z jednego systemu na drugi, zrozumiemy, jak następuje sekwencyjne zapisywanie liczb na przykładzie systemu dziesiętnego.
Ponieważ mamy dziesiętny system liczbowy, mamy 10 symboli (cyfr) do konstruowania liczb. Zaczynamy liczyć: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby się skończyły. Zwiększamy głębokość bitową liczby i resetujemy najmniejszą cyfrę: 10. Następnie ponownie zwiększamy najmniejszą cyfrę, aż znikną wszystkie cyfry: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zwiększamy cyfrę wyższego rzędu o 1 i resetujemy cyfrę młodszego rzędu: 20. Kiedy wykorzystamy wszystkie cyfry dla obu cyfr (otrzymamy liczbę 99), ponownie zwiększamy pojemność cyfrową liczby i resetujemy istniejące cyfry: 100. I tak dalej.
Spróbujmy zrobić to samo w systemie 2., 3. i 5. (wprowadzamy notację dla systemu 2., dla 3. itd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Jeśli system liczbowy ma podstawę większą niż 10, będziemy musieli wejść dodatkowe znaki, zwyczajowo wpisuje się litery alfabetu łacińskiego. Na przykład dla systemu 12-cyfrowego oprócz dziesięciu cyfr potrzebujemy dwóch liter ( i ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Konwersja z systemu dziesiętnego na dowolny inny.
Aby przekonwertować dodatnią liczbę całkowitą na system liczbowy o innej podstawie, należy podzielić tę liczbę przez podstawę. Podziel uzyskany iloraz przez podstawę ponownie i dalej, aż iloraz będzie mniejszy niż podstawa. W rezultacie zapisz w jednym wierszu ostatni iloraz i wszystkie reszty, zaczynając od ostatniego.
Przykład 1. Zamieńmy liczbę dziesiętną 46 na system binarny.
Przykład 2. Zamieńmy liczbę dziesiętną 672 na układ ósemkowy Rachunek
Przykład 3. Zamieńmy liczbę dziesiętną 934 na system szesnastkowy Rachunek
3. Konwersja z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny.
Aby dowiedzieć się, jak konwertować liczby z dowolnego innego systemu na dziesiętny, przeanalizujmy zwykły zapis liczby dziesiętnej.
Na przykład liczba dziesiętna 325 to 5 jednostek, 2 dziesiątki i 3 setki, tj.
Sytuacja wygląda dokładnie tak samo w innych systemach liczbowych, tyle że będziemy mnożyć nie przez 10, 100 itd., ale przez potęgi podstawy systemu liczbowego. Weźmy na przykład liczbę 1201 w trójskładnikowym systemie liczbowym. Ponumerujmy cyfry od prawej do lewej, zaczynając od zera i wyobraźmy sobie naszą liczbę jako sumę iloczynów cyfry i trzech do potęgi cyfry liczby:
To jest to Notacja dziesiętna nasz numer, tj.
Przykład 4. Przejdźmy do dziesiętnego systemu liczbowego liczba ósemkowa 511.
Przykład 5. Przekonwertujmy liczbę szesnastkową 1151 na system dziesiętny.
4. Konwersja z systemu binarnego do systemu o podstawowej „potędze dwójki” (4, 8, 16 itd.).
Przekonwertować na Liczba binarna w liczbie o podstawie „potęga dwójki” należy podzielić ciąg binarny na grupy według liczby cyfr równej potędze od prawej do lewej i zastąpić każdą grupę odpowiednią cyfrą nowy system Rachunek
Na przykład przekonwertujmy liczbę binarną 1100001111010110 na system ósemkowy. W tym celu podzielimy go na grupy po 3 znaki zaczynając od prawej strony (od ), a następnie skorzystamy z tabeli korespondencji i każdą grupę zastąpimy nową liczbą:
W kroku 1 nauczyliśmy się budować tabelę korespondencji.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Te.
Przykład 6. Przekonwertujmy liczbę binarną 1100001111010110 na liczbę szesnastkową.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | mi |
| 1111 | F |
5. Konwersja z systemu o podstawowej „potędze dwójki” (4, 8, 16 itd.) na system binarny.
Tłumaczenie to jest podobne do poprzedniego, dokonanego w r Odwrotna strona: Zastępujemy każdą cyfrę grupą cyfr binarnych z tabeli przeglądowej.
Przykład 7. Przekonwertujmy liczbę szesnastkową C3A6 na system liczb binarnych.
Aby to zrobić, zastąp każdą cyfrę liczby grupą 4 cyfr (od ) z tabeli korespondencji, w razie potrzeby uzupełniając grupę zerami na początku:
Kalkulator umożliwia konwersję liczb całkowitych i ułamkowych z jednego systemu liczbowego na inny. Podstawa systemu liczbowego nie może być mniejsza niż 2 i większa niż 36 (10 cyfr i 26 Litery łacińskie Mimo wszystko). Długość cyfr nie może przekraczać 30 znaków. Aby wejść liczby ułamkowe użyj symbolu. Lub, . Aby przekonwertować liczbę z jednego systemu na inny, wpisz pierwotną liczbę w pierwszym polu, radix oryginalny system liczbę na drugie i podstawę systemu liczbowego, na który chcesz przeliczyć liczbę na trzecie pole, a następnie kliknij przycisk „Pobierz rekord”.
Numer oryginalny zapisane w 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.
Chcę zapisać numer 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.
Uzyskaj wpis
Ukończono tłumaczenia: 1363710
Systemy liczbowe
Systemy liczbowe dzielą się na dwa typy: pozycyjny I nie pozycyjny. Używamy systemu arabskiego, jest on pozycyjny, ale jest też system rzymski – nie jest pozycyjny. W systemach pozycyjnych pozycja cyfry w liczbie jednoznacznie określa wartość tej liczby. Łatwo to zrozumieć, patrząc na przykład na jakąś liczbę.
Przykład 1. Weźmy liczbę 5921 w systemie dziesiętnym. Ponumerujmy liczbę od prawej do lewej, zaczynając od zera:
Liczbę 5921 można zapisać w następującej postaci: 5921 = 5000+900+20+1 = 5,10 3 +9,10 2 +2,10 1 +1,10 0 . Liczba 10 jest cechą definiującą system liczbowy. Wartości położenia danej liczby przyjmowane są jako potęgi.
Przykład 2. Rozważmy rzeczywistą liczbę dziesiętną 1234,567. Policzmy to zaczynając od pozycja zerowa liczby od przecinka dziesiętnego w lewo i w prawo:
Liczbę 1234,567 można zapisać w następującej postaci: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1,10 3 +2,10 2 +3,10 1 +4,10 0 +5,10 -1 + 6,10 -2 +7,10 -3 .
Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny
Bardzo w prosty sposób konwersja liczby z jednego systemu liczbowego na inny polega na najpierw przekształceniu liczby na system dziesiętny, a następnie otrzymanego wyniku na wymagany system liczbowy.
Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na system dziesiętny
Aby zamienić liczbę z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny, wystarczy ponumerować jej cyfry, zaczynając od zera (cyfry po lewej stronie przecinka) analogicznie jak w przykładach 1 lub 2. Znajdźmy sumę iloczynów cyfr liczby przez podstawę systemu liczbowego do potęgi pozycji tej cyfry:
1.
Konwertuj liczbę 1001101.1101 2 na system dziesiętny.
Rozwiązanie: 10011.1101 2 = 1,2 4 +0,2 3 +0,2 2 +1,2 1 +1,2 0 +1,2 -1 +1,2 -2 +0,2 -3 +1,2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Odpowiedź: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Konwertuj liczbę E8F.2D 16 na system dziesiętny.
Rozwiązanie: E8F.2D 16 = 14,16 2 +8,16 1 +15,16 0 +2,16 -1 +13,16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Odpowiedź: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Aby przekonwertować liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy, należy osobno przekonwertować część całkowitą i ułamkową liczby.
Konwersja części całkowitej liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Część całkowitą przekształca się z dziesiętnego systemu liczbowego na inny system liczbowy poprzez kolejne dzielenie części całkowitej liczby przez podstawę systemu liczbowego, aż do uzyskania reszty całkowitej mniejszej niż podstawa systemu liczbowego. Rezultatem tłumaczenia będzie zapis reszty, zaczynając od ostatniego.
3.
Konwertuj liczbę 273 10 na system liczb ósemkowych.
Rozwiązanie: 273 / 8 = 34 i reszta 1,34 / 8 = 4 i reszta 2,4 jest mniejsza niż 8, więc obliczenia są zakończone. Zapis z sald będzie wyglądał następująco: 421
Badanie: 4,8 2 +2,8 1 +1,8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, wynik jest taki sam. Oznacza to, że tłumaczenie zostało wykonane poprawnie.
Odpowiedź: 273 10 = 421 8
Rozważ tłumaczenie właściwych ułamków dziesiętnych na różne systemy Rachunek
Konwersja części ułamkowej liczby z systemu dziesiętnego na inny system liczbowy
Przypomnijmy, że nazywa się to ułamkiem dziesiętnym właściwym liczba rzeczywista z zerową częścią całkowitą. Aby przekonwertować taką liczbę na system liczbowy o podstawie N, należy kolejno pomnożyć liczbę przez N, aż frakcja nie zostanie zresetowany lub wymagana liczba cyfr nie zostanie odebrana. Jeżeli podczas mnożenia zostanie uzyskana liczba z częścią całkowitą inną niż zero, część całkowita nie jest dalej brana pod uwagę, ponieważ jest sekwencyjnie wprowadzana do wyniku.
4.
Konwertuj liczbę 0,125 · 10 na system liczb binarnych.
Rozwiązanie: 0,125,2 = 0,25 (0 to część całkowita, która stanie się pierwszą cyfrą wyniku), 0,25,2 = 0,5 (0 to druga cyfra wyniku), 0,5,2 = 1,0 (1 to trzecia cyfra wyniku, a ponieważ część ułamkowa wynosi zero, to tłumaczenie jest zakończone).
Odpowiedź: 0.125 10 = 0.001 2