Умножение матриц второго порядка пример. Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец
1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Будем последовательно “исключать” неизвестные. Для этого первое уравнение системы оставим без изменений, а второе и третье преобразуем:
1) ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на –2, и приведем его к виду –3x 2 –2x 3 = –2;
2) к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на – 4, и приведем его к виду –3x 2 – 4x 3 = 2.
В результате из второго и третьего уравнений будет исключено неизвестное x 1 и система примет вид
Второе и третье уравнения системы умножим на –1, получим
Коэффициент 1 в первом уравнении при первом неизвестном х 1 называется ведущим элементом первого шага исключения.
На втором шаге первое и второе уравнения остаются без изменений, а к третьему уравнению применим тот же способ исключения переменной x 2 . Ведущим элементом второго шага является коэффициент 3. К третьему уравнению прибавим второе, умноженное на –1, тогда система преобразуется к виду
(1.2) |
Процесс приведения системы (1.1) к виду (1.2) называются прямым ходом метода Гаусса.
Порядок действий решения системы (1.2) называется обратным ходом. Из последнего уравнения получим х 3 = –2. Подставляя это значение во второе уравнение, получим х 2 = 2. После этого первое уравнение дает х 1 = 1. Таким образом, - решение системы (1.1).
Понятие матрицы
Рассмотрим величины, входящие в систему (1.1). Набор из девяти числовых коэффициентов, стоящих в уравнениях перед неизвестными, образует таблицу чисел, которая называется матрицей :
А = . | (1.3) |
Числа таблицы называются элементами матрицы. Элементы образуют строки и столбцы матрицы. Количество строк и количество столбцов образуют размерность матрицы. Матрица А имеет размерность 3´3 (“три на три”), причем первое число указывает количество строк, а второе – столбцов. Часто матрицу обозначают, указывая ее размерность А (3 ´ 3) . Так как число строк и столбцов в матрице А одинаково, матрица называется квадратной. Количество строк (и столбцов) в квадратной матрице называется ее порядком , поэтому А – матрица третьего порядка .
Правые части уравнений, также образуют таблицу чисел, т.е. матрицу:
Каждая строка этой матрицы образована единственным элементом, поэтому B (3 ´ 1) называется матрицей–столбцом , ее размерность 3´1. Набор неизвестных также можно представить как матрицу-столбец:
Умножение квадратной матрицы на матрицу-столбец
С матрицами можно производить различные операции, которые будут подробно рассмотрены в дальнейшем. Здесь же разберем только правило умножения квадратной матрицы на матрицу-столбец. По определению , результатом умножения матрицы А (3 ´ 3) на столбец В (3 ´ 1) является столбец D (3 ´ 1) , элементы которого равны суммам произведений элементов строк матрицы А на элементы столбца В :
2)второй элемент столбца D равен сумме произведений элементов второй строки матрицы А на элементы столбца В :
Из приведенных формул видно, что умножить матрицу на столбец В можно только в случае, если число столбцов матрицы А равно числу элементов в столбце В .
Рассмотрим еще два числовых примера умножения матрицы (3 ´3) на столбец (3 ´1) :
Пример 1.1
АВ
=
.
Пример 1.2
АВ = .
Главные применения матриц связаны м операцией умножения.
Даны две матрицы:
А – размера mn
B – размера nk
Т.к.
длина строки в матрице А совпадает с
высотой столбца в матрице В, можно
определить матрицу С=АВ, которая будет
иметь размеры mk.
Элемент
матрицы
С, расположенный в произвольнойi-й
строке (i=1,…,m)
и произвольном j-м
столбце (j=1,…,k),
по определению равен скалярному
проиведению двух векторов из
:i-й
строк марицы А и j-го
столбца матрицы В:
Свойства:
Как определяется операция умножения матрицы А на число λ?
Произведением А на число λ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента А на λ. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
13. Определение обратной матрицы и ее свойства.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .
Cвойства обратных матриц
Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A -1) -1 = A;
2) (AB) -1 = B -1 A -1
3) (A T) -1 = (A -1) T .
1. Если обратная матрица существует, то она единственная.
2. Не у всякой ненулевой квадратной матрицы существует обратная.
14. Приведите основные свойства определителей. Проверьте справедливость свойства |АВ|=|А|*|В| для матриц
А= и В=
Свойства определителей:
1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.
2. При перестановке двух строк определитель умножается на -1.
3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.
4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
5. Если элементы некоторой строки определителя А представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Б и Д. В определителе Б указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д - из вторых слагаемых. Остальные строки определителей Б и Д - те же, что и в А.
6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.
7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равны 0.
8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А т, т.е. определитель не меняется при транспонировании.
15. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа. Запишите в тригонометрической форме числа √3+ i , -1+ i .
Каждому комплексному числу z=a+ib может быть поставлен в соответствие вектор (a,b)€R 2. Длина этого вектора, равная √a 2 + b 2 называется модулем комплексного числа z и обозначается через |z|. Угол φ между данным вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.
Любое комплексное число z≠0 может быть представлено в виде z=|z|(cosφ +isinφ).
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);
1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).
Каждому комплексному числу Z = a + ib может быть поставлен вектор (а; b), принадлежащий R^2. Длина этого вектора, равная КВ из a^2 + b^2, называется модулем комплексного числа и обозначается через модуль Z. Угол между данным вектором и положительным направлением оси Оx называется аргументом комплексного числа (обозначается arg Z).