Функция нескольких переменных примеры решения онлайн. Функция двух переменных.Область определения и линии уровня
При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.
Определение (для функции двух переменных). Пусть X , Y и Z - множества. Если каждой паре (x , y ) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z , то говорят, что задана функция двух переменных z = f (x , y ) .
В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x ; y ) плоскости xOy .
Основные определения, относящиеся к функциям нескольких переменных, являются обобщением соответствующих определений для функции одной переменной .
Множество D называется областью определения функции z , а множество E – множеством её значений . Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.
Частным значениям аргументов
соответствует частное значение функции
Область определения функции нескольких переменных
Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f (x , y ) , то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y , для которых выражение f (x , y ) имеет смысл и принимает действительные значения . Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной . Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных - соответствующее множество точек абстрактного n -мерного пространства.
Область определения функции двух переменных с корнем n -й степени
В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n - натуральное число :
если n - чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть
если n - нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y .
Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени
:
если a - положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y ;
если a - отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .
Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени
В случае, когда функция задана формулой :
если - положительное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения большие или равное нулю: ;
если - отрицательное, то областью определения функции является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .
Область определения логарифмической функции двух переменных
Логарифмическая функция двух переменных определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .
Область определения тригонометрических функций двух переменных
Область определения функции - вся плоскость x0y .
Область определения функции - вся плоскость x0y .
Область определения функции - вся плоскость x0y
Область определения функции - вся плоскость x0y , кроме пар чисел, для которых принимает значения .
Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных
Область определения функции .
Область определения функции - множество таких точек плоскости, для которых .
Область определения функции - вся плоскость x0y .
Область определения функции - вся плоскость x0y .
Область определения дроби как функции двух переменных
Если функция задана формулой , то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .
Область определения линейной функции двух переменных
Если функция задана формулой вида z = ax + by + c , то область определения функции - вся плоскость x0y .
Пример 1.
Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство
Умножаем всё неравенство на и получаем
Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.
Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .
Частные производные функции трёх переменных
Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных : первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную? Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите!
Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных . Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных обычно представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.
Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называются независимыми переменными или аргументами , переменная называется зависимой переменной или функцией . Например: – функция трёх переменных
А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает четырехмерное пространство
(и действительно, переменных же три + сама функция). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность
. Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:
– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?
– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
– Возможно ли путешествие в прошлое?
– Возможно ли путешествие в будущее?
– Существуют ли инопланетяне?
На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю
Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-)
Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры!
Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных . Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!
Пример 1
Решение : Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:
Или – частная производная по «икс»;
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».
В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс».
Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменные и считаются константами (постоянными числами) . А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:
Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.
(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».
(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.
Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменные и считаются константами :
(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.
(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.
И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменные и считаются константами :
Общее правило очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную по какой-либо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами.
При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь пропущу)
Пример 2
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.
Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?
Верный ответ: Наукой это не запрещено . Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.
Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =)
Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных . Навёрстываем упущенное:
Пример 3
Решение : вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.
Разберём пример последовательно, чётко и понятно.
Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
или ещё можно записать так:
Это степенная
функция со сложным основанием (синусом). По :
Теперь вспоминаем, что , таким образом:
На чистовике, конечно, решение следует оформить так:
Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:
Это показательная
функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции
:
Теперь вспоминаем нашу замену:
Таким образом:
На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:
И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы):
При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.
Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:
И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных.
Забавный пример для самостоятельного решения:
Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка
Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите . Такие примеры быстро не решаю даже я.
Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.
Верный ответ: Да . Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно скомпилированная Эйнштейном по материалам трудов Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у него Нобелевская премия? В научном мире был нешуточный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу троечника Эйнштейна примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Дальнейшее, что называется, раскрутка и пиар.
К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.
Разберём еще пару типовых задач:
Пример 5
Решение
: Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .
Решаем:
(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): .
(2) Используем свойства линейности.
(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы.
По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную:
Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:
Как видите, шаблон решения практически такой же.
Вычислим значение найденной частной производной в точке :
И, наконец, производная по «зет»:
Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.
Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.
Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое?
Верный ответ: Нет . Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину.
Пример 6
Найти частные производные первого порядка в точке
Пример 7
Найти частные производные первого порядка в точке
Это два несложных примера для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Но вы не расстраивайтесь из-за второго закона термодинамики, сейчас я всех приободрю более сложными примерами:
Пример 8
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Решение
: Найдем частные производные первого порядка:
(1) Начиная находить производную, следует придерживаться того же подхода, что и для функции одной переменной. Используем свойства линейности, в данном случае выносим за знак производной константы .
(2) Под знаком производной у нас находится произведение двух функций, каждая из которых зависит от нашей «живой» переменной «икс». Поэтому необходимо использовать правило дифференцирования произведения .
(3) С производной сложностей никаких, а вот производная является производной сложной функции: сначала необходимо найти, по сути, табличный логарифм и домножить его на производную от вложения.
(4) Думаю, все уже освоились с простейшими примерами вроде – тут у нас «живой» только , производная которого равна
Практически зеркален случай с производной по «игрек», его я запишу короче и без комментариев:
Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое:
(1) Выносим константы за знак производной.
(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения.
(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.
Пример 9
Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.
Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом:
Возможно ли путешествие в будущее?
Верный ответ: Наукой это не запрещено . Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой.
Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.
Частные производные второго порядка функции трёх переменных
Общий принцип нахождения частных производных второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных. Поэтому, если вы хорошо проработали урок Частные производные функции двух переменных , то будет всё очень просто.
Для того чтобы найти частные производные второго порядка, сначала необходимо найти частные производные первого порядка или в другой записи: .
Частных производных второго порядка девять штук.
Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:
или – вторая производная по «икс»;
или – вторая производная по «игрек»;
или – вторая производная по «зет».
Вторая группа – это смешанные
частные производные 2-го порядка, их шесть:
или – смешанная
производная «икс по игрек»;
или – смешанная
производная «игрек по икс»;
или – смешанная
производная «икс по зет»;
или – смешанная
производная «зет по икс»;
или – смешанная
производная «игрек по зет»;
или – смешанная
производная «зет по игрек».
) мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! …А всё как в жизни – нет такой сложности, которую было бы нельзя усложнить =) Но математика – на то и математика, чтобы укладывать многообразие нашего мира в строгие рамки. И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением:
В общем случае сложная функция имеет вид , где, по меньшей мере, одна из букв представляет собой функцию , которая может зависеть от произвольного количества переменных.
Минимальный и самый простой вариант – это давно знакомая сложная функция одной переменной, производную которой мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете (взгляните на те же функции ) .
Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай . По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных:
Пример 1
Дана сложная функция , где . Требуется:
1) найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
2) вычислить значение производной при .
Решение
: во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, зависящая от и , которые в свою очередь являются функциями
одной переменной:
Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание – от нас требуется найти производнУЮ , то есть, речь идёт вовсе не о частных производных , которые мы привыкли находить! Так как функция фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная . Как её найти?
Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Подставим в функцию :
, после чего с искомой производной никаких проблем:
И, соответственно, полный дифференциал:
Это решение математически корректно, но маленький нюанс состоит в том, что когда задача формулируется так, как она сформулирована – такого варварства от вас никто не ожидает =) А если серьёзно, то придраться тут действительно можно. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановку , мы получаем лишь частную информацию , которая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это за функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта!
Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы:
Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных – в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным
в записи: производные с прямыми значками «дэ» – это полные производные
, а производные с округлыми значками – это частные производные
. С последних и начнём:
Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно:
Подставим найденные производные в нашу формулу:
Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным (и тому дано объяснение выше!)
оставить в таком же виде и результаты:
При этом в «навороченных» ответах лучше воздержаться даже от минимальных упрощений (тут, например, напрашивается убрать 3 минуса)
– и вам работы меньше, и мохнатый друг доволен рецензировать задание проще.
Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим в найденную производную и проведём упрощения:
(на последнем шаге использованы тригонометрические формулы
, )
В результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения.
Вычислим производную в точке . Сначала удобно выяснить «транзитные» значения (значения функций )
:
Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно выполнить по-разному. Использую интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по обычным правилам , а преобразуются как частное двух чисел:
И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи :
Ответ
:
Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде:
«Найти производную функции , где »
То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» вполне конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле:
Более того, условие могут немного подшифровать:
«Найти производную функции »
В этом случае нужно самостоятельно
обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через и воспользоваться той же формулой:
К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Анализируя различные источники по теме, у меня вообще сложилось впечатление, что авторы «пошли вразнос» и стали безжалостно бросать студентов в бурные пучины математики =) Так что уж простите:))
Пример 2
Найти производную функции , если
Другие обозначения не должны приводить в замешательство! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса:
1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).
2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса».
Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче!
Краткое решение и ответ в конце урока.
Дополнительные примеры по первому виду можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.1) , ну а мы берём курс на функцию трёх переменных :
Пример 3
Дана функция , где .
Вычислить производную в точке
Формула производной сложной функции , как многие догадываются, имеет родственный вид:
Решайте, раз догадались =)
На всякий случай приведу и общую формулу для функции :
, хотя на практике вы вряд ли встретите что-то длиннее Примера 3.
Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант – как правило, функцию вида либо . Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования – придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных.
Если что-то осталось недопонятым, пожалуйста, неторопливо перечитайте и осмыслите первую часть урока, поскольку сейчас задача усложнится:
Пример 4
Найти частные производные сложной функции , где
Решение
: данная функция имеет вид , и после прямой подстановки и мы получаем привычную функцию двух переменных:
Но такой страх не то чтобы не принято, а уже и не хочется дифференцировать =) Поэтому воспользуемся готовыми формулами. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки:
Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо….
Сначала найдём частные производные «главной» функции:
Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»:
и записываем итоговую «иксовую» производную:
Аналогично с «игреком»:
и
Можно придерживаться и другого стиля – сразу найти все «хвосты» и потом записать обе производные.
Ответ
:
О подстановке что-то как-то совсем не думается =) =), а вот причесать результаты немножко можно. Хотя, опять же, зачем? – только усложните проверку преподавателю.
Если потребуется, то полный дифференциал
тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика:
Такой вот... ....гроб на колёсиках.
Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде – на понимание самой формулы;-):
Пример 5
Найти частные производные функции , где
И посложнее – с подключением техники дифференцирования:
Пример 6
Найти полный дифференциал функции , где
Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» – все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию (ответив на 2 вопроса – см. выше) , представить её в общем виде и аккуратно модифицировать формулы частных производных. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются:)))
Пример 7
Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функции
, где
Решение
: «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных – «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами:
И снова – внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо.
Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций:
Справится первоклассник:
И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный:
Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию – чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи.
Ответ
:
Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например:
Здесь «главная» функция хоть и имеет вид , но всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы – просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вроде , у которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной.
Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока:
Пример 8
Найти полный дифференциал сложной функции в точке
Решение
: условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант:
Во «вкладышах» присутствуют (ВНИМАНИЕ!
) ТРИ буквы – старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в виде , и частные производные в этом случае определяются следующими формулами:
Сканируем, вникаем, улавливаем….
В нашей задаче:
Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.
Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z )называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z.
Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .
Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).
Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел , являющихся аргументами функции нескольких переменных.
Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z )называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М , если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.
Обозначения: z = f , z = z .
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Рассмотрим функцию z = f(x,y) , (1.1)
Определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.
z = f(x,y)
Примерами могут служить изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости
z = ax + by + c
и поверхностей второго порядка:
z = x ² + y ² (параболоид вращения),
(конус) и т.д.
Замечание. Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.
Линии и поверхности уровня.
Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .
Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами . Например, при с =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .
Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .
Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями 3x + 5y – 7z –12 + с = 0.
До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента . Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные . Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .
Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).
Данную функцию обозначают следующим образом:
Либо , или же другой стандартной буквой:
Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости , то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.
Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.
С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:
Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения .
Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .
Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть . Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .
Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:
Как двух переменных?
Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!
Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:
Пример 1
Найти область определения функции
Решение
: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:
Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой
Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж .
Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.
Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.
Пример 2
Найти область определения функции
Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Ответ : полуплоскость
Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость . Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.
Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!
Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти область определения функции
Двухстрочное решение и ответ в конце урока.
Продолжаем разминаться:
Пример 4
И изобразить её на чертеже
Решение
: легко понять, что такая формулировка задачи требует
выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:
Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств .
Сначала чертим линию , которую задаёт соответствующее равенство . Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром .
Теперь берём произвольную
точку плоскости, не принадлежащую
окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :
Получено неверное неравенство
, таким образом, точка не удовлетворяет
неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:
Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг
с центром в начале координат, радиуса .
Ответ : внешняя часть круга
Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция представляет собой следующую поверхность
:
На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над
плоскостью (ближний и дальний от нас октанты)
, местами – под
плоскостью (левый и правый относительно нас октанты)
. Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения
. Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет»)
, о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.
Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс , гиперболу или параболу .
Идём на повышение:
Пример 6
Найти область определения функции
Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .
С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства : чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое , то сама прямая также будет являться решением.
Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.
Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:
Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены
сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.
Ответ : область определения:
К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.
Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства . Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.
Пример 7
Найти область определения функции
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:
Пример 8
Найти область определения функции
Решение : используя формулу разности квадратов , разложим подкоренное выражение на множители: .
Произведение двух множителей неотрицательно , когда оба множителя неотрицательны: ИЛИ когда оба неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств и ОБЪЕДИНИТЬ полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)
Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: . Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь верхний «уголок». Штрихуем.
Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: . Второе неравенство неверно, следовательно, и весь
правый «уголок» не является решением системы .
Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.
И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: . Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.
В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!
Ответ : область определения представляет собой объединение решений систем .
Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.
А это ваш орешек:
Пример 9
Найти область определения функции
Хороший студент всегда скучает по логарифмам:
Пример 10
Найти область определения функции
Решение : аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .
Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .
Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду
. В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.
Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом и его соседями:
Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:
мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…
Ответ :
Следующий логарифм ваш:
Пример 11
Найти область определения функции
В ходе решения придётся построить параболу , которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.
Решение, чертёж и ответ в конце урока.
Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:
Пример 12
Найти область определения функции
Решение
: аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:
Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной
могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств
:
Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:
Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.
Ответ : область определения представляет собой решение системы
Пример 13
Найти область определения функции
В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.
На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу . Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид , «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук) , и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.
Линии уровня
Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой : чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.
Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня ? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .
Определение : линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .
Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:
Пример 14
Найти и построить несколько линий уровня графика функции
Решение : исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»:
Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна) . Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).
Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.
Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство :
Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку .
Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность плоскостью (подставляем в уравнение поверхности) :
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса .
Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!
Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность (подставляем в уравнение поверхности) :
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .
И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :
– окружность с центром в точке радиуса 3 .
Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:
Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность
представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)
Ответ : линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида
Примечание : при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)
Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты
. Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:
На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.