По методу гомори примеры решения. Составление дополнительного ограничения (сечения Гомори)

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

· оно должно быть линейным;

· должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

· не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением .

Геометрически добавление каждого линейного ограничения отвечает проведению прямой (гиперплоскости), которая отсекает от многоугольника (многогранника) решений некоторую его часть вместе с нецелыми координатами, но не затрагивает ни одной из целых точек этого многогранника. В результате новый многогранник решений содержит все целые точки, заключавшиеся в первоначальном многограннике решений и соответственно полученное при этом многограннике оптимальное решение будет целочисленным (рис. 6.24).

Один из алгоритмов решения задачи линейного целочисленного программирования (6.59)…(6.62), предложенный Гомори, основан на симплексном методе и использует достаточно простой способ построения правильного отсечения.

Рис. 6.18. Графическая иллюстрация целочисленного решения

Пусть задача линейного программирования (6.52)…(6.55) имеет конечный оптимум и на последнем шаге ее решения симплексным методом получены следующие уравнения, выражающие основные переменные через неосновные переменные оптимального решения

(6.56)

так, что оптимальным решением задачи (6.52)…(6.55) является , в котором, например β i − нецелая компонента. В этом случае можно доказать, что неравенство

сформированное по i -му уравнению системы (6.56), обладает всеми свойствами правильного отсечения.

В неравенстве (6.57) присутствует символ , означающий дробную часть числа. Число а называется конгруэнтным числу в (обозначается ) тогда и только тогда, когда разность а - в − целое число.

Целой частью числа а называется наибольшее целое число , не превосходящее а . Дробная часть числа определяется как разность между этим числом и его целой частью, т.е. . Например, для = 2, ; для = -3 и .

Для решения задачи целочисленного линейного программирования (6.52)…(6.55) методом Гомори используется следующий алгоритм:

1. Симплексным методом решить задачу (6.52)…(6.55) без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования (6.52)…(6.55). Если первая задача (6.52)…(6.54) неразрешима (т.е. не имеет конечного оптимума или условия ее противоречивы), то вторая задача (6.52)…(6.55) также неразрешима.

2. Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то выбрать компоненту с наибольшей целой частью и по соответствующему уравнению системы (6.56) сформировать правильное отсечение (6.57).

3. Неравенство (6.57) введением дополнительной неотрицательной целочисленной переменной преобразовать в равносильное уравнение

и включить его в систему ограничений (6.53).

4. Полученную расширенную задачу решить симплексным методом. Если найденный оптимальный план будет целочисленным, то задача целочисленного программирования (6.52)…(6.55) решена. В противном случае вернуться к п. 2 алгоритма.

Если задача разрешима в целых числах, то после конечного числа шагов (итераций) оптимальный целочисленный план будет найден.

Если в процессе решения появится уравнение (выражающее основную переменную через неосновные) с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В этом случае и данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.

Недостатком метода Гомори является требование целочисленности для всех переменных − как основных (выражающих, например, в задаче об использовании ресурсов единицы продукции), так и дополнительных переменных (выражающих величину неиспользованных ресурсов, которые могут быть и дробными).

Отметим, что переход к каноническому виду в полностью целочисленной задаче линейного программирования, содержащей ограничения − неравенства

не приводит, вообще говоря, к полностью целочисленной задаче в каноническом виде, так как в преобразованных ограничениях (6.59)

вспомогательные переменные x n + i не подчинены требованию целочисленности.

Однако если все коэффициенты a ij , b i в (6.59) − целые числа, то условие целочисленности можно распространить и на x n + i , как это сделано при решении примера 6.10.

Полностью целочисленную задачу в каноническом виде можно получить также, если в (6.59) a ij , b i − рациональные числа. Для этого следует умножить (6.59) на общее кратное знаменателей коэффициентов − a ij , b i (т.е. перейти к целым коэффициентам в (6.59)) и лишь после этого ввести вспомогательные переменные .

Пример 6.20. Решить задачу полностью целочисленного программирования

при ограничениях

Решение. Приведем задачу к каноническому виду, введя дополнительные неотрицательные переменные . Получим систему ограничений:

Решаем задачу симплексным методом. Для наглядности решение иллюстрируем графически (рис. 6.19).

Рис. 6.19. Графическая иллюстрация решения задачи

На рис. 6.19 0KLM – область допустимых решений задачи ограниченная прямыми (1), (2), (3) и осями координат; L (2/3;8) – точка оптимального, но нецелочисленного решения задачи ; (4) – прямая, отсекающая это нецелочисленное решение; 0KNM – область допустимых решений расширенной задачи (6.64") N (2; 7) – точка оптимального целочисленного решения.

I шаг

	х 1	х 2
х 3
х 4
х 5

Первое базисное решение Х 1 = (0;0;60;34;8) – допустимое. Соответствующее значение линейной функции f 1 = 0.

Переводим в основные переменные переменную х 2 , которая входит в выражение линейной функции с наибольшим положительным коэффициентом. Находим максимально возможное значение переменной х 2 , которое позволяет принять система ограничений, из условия минимума соответствующих отношений:

т.е. разрешающим (выделенным) является третье уравнение. При х 2 = 8 в этом уравнении х 5 = 0, и в неосновные переменные переходит х 5 .

II шаг . Основные переменные ; неосновные переменные .

	х 1	х 5
х 3		-5
х 4		-4
х 2
		-3	-24

Х 2 = (0;8;20;2;0); f = 24. Переводим в основные переменные х 1 , , а в неосновные х 4 .

Ш шаг . Основные переменные ; неосновные переменные . После преобразований получим:

	х 4	х 5				х 4	х 5
х 3	-3	-3		х 3	-1	-1
х 1		-4		х 1	1/3	-4/3	2/3
х 2				х 2
	-2	-1	-76		-2/3	-1/3	-76/3

Базисное решение Х 3 оптимально для задачи , так как в выражении линейной функции отсутствуют неосновные переменные с положительными коэффициентами.

Однако решение Х 3 не удовлетворяет условию целочисленности (6.55"). По первому уравнению с переменной х 1 , получившей нецелочисленное значение в оптимальном решении (2/3), составляем дополнительное ограничение (6.57):

Обращаем внимание на то, что согласно (6.56) и (6.57) берем дробную часть свободного члена с тем же знаком, который он имеет в уравнении, а дробные части коэффициентов при неосновных переменных х 4 и х 5 − с противоположными знаками.

Так как дробные части

то последнее неравенство запишем в виде

Введя дополнительную целочисленную переменную х 6 ≥ 0, получим равносильное неравенству (6.57") уравнение

Уравнение (6.58) необходимо включить в систему ограничений (6.56") исходной канонической задачи, после чего повторить процесс решения задачи симплексным методом применительно к расширенной задаче. При этом для сокращения числа шагов (итераций) рекомендуется вводить дополнительное уравнение (6.58") в систему, полученную на последнем шаге решения задачи (без условия целочисленности).

IV шаг . Основные переменные ; неосновные переменные .

	х 4	х 5
х 1	1/3	-4/3	2/3
х 2
х 3	-1	-1
х 6	-1/3	-2/3	-2/3
	-2/3	-1/3	-76/3

Базисное решение − недопустимое. Заметим, что после включения в систему ограничений дополнительного уравнения, соответствующего правильному отсечению, всегда будет получаться недопустимое базисное решение.

Для получения допустимого базисного решения необходимо перевести в основные переменную, входящую с положительным коэффициентом в уравнение, в котором свободный член отрицательный, т.е. х 4 или х 5 (на этом этапе линейную функцию не рассматриваем). Переводим в основные, например, переменную х 5 .

V шаг . Основные переменные ; неосновные переменные . Получим после преобразований:

	х 4	х 6				х 4	х 6
х 1	-6/9	4/3	-12/9	х 1		-2
х 2	1/3	-1	-14/3	х 2	-1/2	3/2
х 3	1/3		38/3	х 3	-1/2	-3/2
х 5	-1/3		-2/3	х 5	1/2	-3/2
	3/9	1/3	150/9		-1/2	-1/2	-25

Х 5 = (2;7;19;0;1;0); f 5 = 25.

Так как в выражении линейной функции нет основных переменных с положительными коэффициентами, то Х 5 − оптимальное решение.

Итак, f max = 25 при оптимальном целочисленном решении Шестая компонента содержательного смысла не имеет.

Для геометрической интерпретации на плоскости 0х 1 х 2 (см. рис. 6.19) отсечения (6.57") необходимо входящие в него переменные х 4 и х 5 выразить через переменные х 1 и х 2 . Получим (см. 2-е и 3-е уравнения системы ограничений (6.56"):

(см. отсечение прямой (4) на рис. 6.19).

По смыслу значительной части экономических задач, относящихся к задачам линейного программирования, компоненты решения должны выражаться в целых числах, т.е. быть целочисленными. К ним относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при загрузке оборудования, число судов при распределениях по линиям, число турбин в энергосистеме, число вычислительных машин в управляющем комплексе и многие другие.

Задача линейного целочисленного программирования формулируется следующим образом: найти такое решение (план) i, при котором линейная функция

принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях

(8.2)

(8.3)

– целые числа. (8.4)

Следует отметить, что классическая транспортная задача и некоторые другие задачи транспортного типа "автоматически" обеспечивают решение задачи в целых числах (если, конечно, целочисленны параметры условий). Однако в общем случае условие целочисленности (8.4), добавляемое к обычным задачам линейного программирования, существенно усложняет ее решение.

Для решения задач линейного целочисленного программирования используется ряд методов. Самый простой из них – обычный метод линейного программирования. В случае если компоненты оптимального решения оказываются нецелочисленными, их округляют до ближайших целых чисел. Этот метод применяют тогда, когда отдельная единица совокупности составляет малую часть объема всей совокупности. В противном случае округление может привести к далекому от оптимального целочисленному решению, поэтому используют специально разработанные методы.

Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы: а) методы отсечения; б) комбинаторные методы; в) приближенные методы. Остановимся подробнее на методах отсечения.

Методы отсечения. Метод Гомори

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленное™. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

оно должно быть линейным;
должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;
не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением .

Геометрически добавление каждого линейного ограничения отвечает проведению прямой (гиперплоскости), которая отсекает от многоугольника (многогранника) решений некоторую его часть вместе с оптимальной точкой с нецелыми координатами, но не затрагивает ни одной из целых точек этого многогранника. В результате новый многогранник решений содержит все целые точки, заключавшиеся

в первоначальном многограннике решений, и соответственно полученное при этом многограннике оптимальное решение будет целочисленным (рис. 8.1).

Один из алгоритмов решения задачи линейного целочисленного программирования (8.1)-(8.4), предложенный Р. Гомори, основан на симплексном методе и использует достаточно простой способ построения правильного отсечения.

Пусть задача линейного программирования (8.1)-(8.3) имеет конечный оптимум, и на последнем шаге ее решения симплексным методом получены следующие уравнения, выражающие основные переменные через неосновные переменные оптимального решения:

(8.5)

так что оптимальным решением задачи (8.1)-(8.3) является i, в котором, например, β; – нецелая компонента. В этом случае можно доказать, что неравенство, сформированное по i- му уравнению системы (8.5), обладает всеми свойствами правильного отсечения.

Для решения задачи целочисленного линейного программирования (8.1)-(8.4) методом Гомори используется следующий алгоритм.

1. Симплексным методом решить задачу (8.1)-(8.3) без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования (8.1)-(8.4). Если первая задача (8.1)-(8.3) неразрешима (т.е. нс имеет конечного оптимума или условия ее противоречивы), то и вторая задача (8.1)-(8.4) также неразрешима.
2. Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то выбрать компоненту с наибольшей целой частью и по соответствующему уравнению системы (8.5) сформировать правильное отсечение (8.6).
3. Неравенство (8.6) введением дополнительной неотрицательной целочисленной переменной преобразовать в равносильное уравнение и включить его в систему ограничений (8.2).
4. Полученную расширенную задачу решить симплексным методом. Если найденный оптимальный план будет целочисленным, то задача целочисленного программирования (8.1)–(8.4) решена. В противном случае вернуться к п. 2 алгоритма.

1 В неравенстве (8.6) присутствует символ { }, означающий дробную часть числа. Целой частью числа а называется наибольшее целое число [в], не превосходящее а, дробной частью числа – число {а}, равное разности между этим числом и его целой частью, т.е. {а} = а-[в].

Например, для (обратите внимание, именно -3, а не -2) и

8.1. Для приобретения оборудования по сортировке зерна фермер выделяет 34 ден. ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 60 кв. м. Фермер может заказать оборудование двух видов: менее мощные машины типа А стоимостью 3 ден. ед., требующие производственную площадь 3 кв. м (с учетом проходов), и производительностью за смену 2 т зерна, и более мощные машины типа В стоимостью 4 ден. ед., занимающие площадь 5 кв. м, и производительностью за смену 3 т сортового зерна.

Требуется составить оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность при условии, что фермер может приобрести не более 8 машин типа В.

Решение. Обозначим черезколичество машин соответственно типа А и В, через Z – общую производительность. Тогда математическая модель задачи примет вид

(!!!8.8)

при ограничениях:

(8.2)

– целые числа. (8.4)

Приведем задачу к каноническому виду, введя дополнительные неотрицательные переменные. Получим систему ограничений:

(8.5)

Решаем задачу симплексным методом. Для наглядности решение иллюстрируем графически (рис. 8.2).

На рис. 8.2 OKLM – область допустимых решений задачи (8.Г)–(8.3"), ограниченная прямыми (1), (2), (3) и осями координат; L (2/3; 8) – точка оптимального, но нецелочисленного решения задачи (8.1")–(8.3"); (4) – прямая, отсекающая это нецелочисленное решение; OKNM – область допустимых решений расширенной задачи (8.1")–(8.3"), (8.6"); N(2; 7) – точка оптимального целочисленного решения.

I шаг. Основные переменные Неосновные переменные

Первое базисное решение– допусти

мое. Соответствующее значение линейной функции

Переводим в основные переменные переменную, которая входит в выражение линейной функции с наибольшим положительным коэффициентом. Находим максимально возможное значение переменной, которое "позволяет"

принять система ограничений, из условия минимума соответствующих отношений:

т.е. разрешающим (выделенным) является третье уравнение. При х. 2 = 8 в этом уравнении х- = 0, и в неосновные переходит переменная х 5.

II шаг. Основные переменные х 2, х 3, х 4.

Неосновные переменные.г, ху

После преобразований получим

Переводим в основные переменнуюа в неосновные х4.

III шаг. Основные переменные х, х 2, х 3.

Неосновные переменные х4, х5.

После преобразований получим

Базисное решение X., оптимально для задачи (8.1")–(8.3") (), так как в выражении линейной функции

отсутствуют неосновные переменные с положительными коэффициентами.

Однако решение Х 3 не удовлетворяет условию целочисленности (8.4") По первому уравнению с переменной х, получившей нецелочисленное значение в оптимальном решении (2/3), составляем дополнительное ограничение (8.6):

Обращаем внимание на то, что согласно (8.5) и (8.6) берем дробную часть свободного члена с тем же знаком, который он имеет в уравнении, а дробные части коэффициентов при неосновных переменных х 4 и х- – с противоположными знаками.

Так как дробные части,

, го последнее неравенство запишем

(8.6")

Введя дополнительную целочисленную переменную х6 ≥ 0, получим равносильное неравенству (8.6") уравнение

(8.7")

Уравнение (8.7") необходимо включить в систему ограничений (8.5") исходной канонической задачи, после чего повторить процесс решения задачи симплексным методом применительно к расширенной задаче. При этом для сокращения числа шагов (итераций) рекомендуется вводить дополнительное уравнение (8.7") в систему, полученную на последнем шаге решения задачи (без условия целочисленности).

IV шаг. Основные переменные x v х 2, х3, χβ.

Неосновные переменные х4, х5.

Базисное решение – недопусти

мое. (Заметим, что после включения в систему ограничений дополнительного уравнения, соответствующего правильному отсечению, всегда будет получаться недопустимое базисное решение.)

Для получения допустимого базисного решения необходимо перевести в основные переменную, входящую с положительным коэффициентом в уравнение, в котором свободный член отрицательный, т.е. х, или х. (на этом этапе линейную функцию не рассматриваем). Переводим в основные, например, переменную х5 .

V шаг. Основные переменные х, х2, х3, х5.

Неосновные переменные х4, х6.

Получим после преобразований

Так как в выражении линейной функции нет основных переменных с положительными коэффициентами, то Х 5 – оптимальное решение.

Итак, Zmax = 25 при оптимальном целочисленном решении X* = Х 5 = (2; 7; 19; 0; 1; 0), т.е. максимальную производительность 25 т сортового зерна за смену можно получить приобретением 2 машин типа Л и 7 машин типа В при этом незанятая площадь помещения составит 19 кв. м, остатки денежных средств из выделенных равны нулю, в резерве для покупки – 1 машина типа В (шестая компонента содержательного смысла не имеет).

Замечание. Для геометрической интерпретации на плоскости Ох,х2 (см. рис. 8.2) отсечения (8.6") необходимо входящие в него переменные х 4 и х- выразить через переменные х, и х2. Получим (см. 2-е и 3-е уравнения системы ограничений (8.5"))

(см. отсечение прямой (4) на рис. 8.2).
8.2. Имеется достаточно большое количество бревен длиной 3 м. Бревна следует распилить на заготовки двух видов: длиной 1,2 и 0,9 м, причем заготовок каждого вида должно быть получено не менее 50 и 81 шт. соответственно. Каждое бревно можно распилить на указанные заготовки несколькими способами: 1) на 2 заготовки но 1,2 м; 2) па 1 заготовку 1,2 м и 2 заготовки по 0,9 м; 3) на 3 заготовки по 0,9 м. Найти число бревен, распиливаемых каждым способом, с тем чтобы заготовок любого вида было получено из наименьшего числа бревен.

Решение. Обозначим через х {} х2, х3 число бревен, распиливаемых соответственно 1, 2 и 3-м способами. Из них можно получить 2xj +х2 заготовок по 1,2 м и 2х х +3х2 заготовок по 0,9 м. Общее количество бревен обозначим Z. Тогда математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

Введя дополнительные переменныепри

ведем систему неравенств к равносильной системе уравнений:

(8.5")

Решая полученную каноническую задачу (без условия целочисленности) симплексным методом, на последнем, III, шаге решения найдем следующие выражения основных переменных и линейной функции через неосновные переменные (рекомендуем студентам получить их самостоятельно).

III шаг. Основные переменные x v х 2.

Неосновные переменные х у х А, х 5.

т.е.при оптимальном решении

Получилось, что две компоненты оптимального решения не удовлетворяют условию целочисленности (8.4"), причем бо́льшую целую часть имеет компонента х 2. В соответствии с ∏. 2 алгоритма решения задачи целочисленного программирования (см. с. 166) по второму уравнению, содержащему эту переменную х 2, составляем дополнительное ограничение (8.6):

Найдем дробные части

и запишем последнее неравенство в виде

(8.6")

Введя дополнительную переменнуюполучим

равносильное неравенству (8.6") уравнение:

(8.7")

Выразим из (8.7") дополнительную переменную х6 и полученное уравнение введем в систему ограничений, которую мы имели на последнем, III, шаге решения задачи (8.1")– (8.3") (без условия целочисленности).

IV шаг. Основные переменные х {, х у х 6.

Неосновные переменные х 3, х4, х 5.

Решая эту расширенную задачу симплексным методом (предлагаем студентам выполнить самостоятельно), получим следующее.

V шаг. Основные переменные х); х 2, х3.

Неосновные переменные х4, х5, хб.

т.е.при оптимальном решении

Полученное оптимальное решение расширенной задачи (8.1")–(8.3"), (8.6") вновь не удовлетворяет условию целочисленности (8.4"). По первому уравнению с переменной Xj, получившей нецелочисленное значение в оптимальном

решении (), еоставляем второе дополнительное ограни

чение (8.6):

которое приводим к виду

С помощью дополнительной переменнойприво

дим это неравенство к равносильному уравнению, которое включаем в систему ограничений, полученную на последнем, V, шаге решения расширенной задачи (8. Г")–(8.3"), (8.6") симплексным методом.

VI шаг. Основные переменные x v х 2, х у х т

Неосновные переменные х 4, X-, х 6.

Опуская дальнейшее решение задачи симплексным методом (предлагаем сделать это самим студентам), на заключительном, VII, шаге получим.

VII шаг. Основные переменные x v х т х3, х г

Неосновные переменные x v х 6, х т

Так как в выражении линейной функции нет неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, то Х 7 – оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Следует обратить внимание на то, что в полученном выражении линейной функции Z отсутствуют неосновные переменные х Г) и х 6. Это означает, что, вообще говоря, существует бесконечное множество оптимальных решений (любых, не обязательно целочисленных), при которых Z" = Zmjn = 46. Эти решения получаются при значении неосновной переменной х 7 (входящей в выражение для Z), равной нулю (т.е. при х 7 = 0), и при любых значениях неосновных переменных ж5 и х 6 (не входящих в выражение для Z), которые "позволяет" принять система ограничений: 0<лг5 х 5 ≤ 1 и 0 < x (i ≤ 1. Но в силу условия целочисленности переменные х- и х (> могут принять только значения 0 или 1. Поэтому задача будет иметь четыре целочисленных оптимальных решения, когда х. и *6 в любой комбинации принимают значения 0 или 1, а х 7 = 0. Подставляя эти значения в систему ограничений на VII шаге, найдем эти оптимальные решения:

Наличие альтернативных оптимальных целочисленных решений позволяет осуществить выбор одного из них, руководствуясь дополнительными критериями, не учитываемыми в математической модели задачи. Например, из условия данной задачи следует, что распиливание бревен не дает отходов лишь по 3-му способу, поэтому естественно при выборе одного из четырех оптимальных решений отдать предпочтение решению Х^ 3 при котором максимальное число бревен (х 2 = 41) распиливается без отходов.

Итак, Zmin=46 при оптимальных целочисленных решениях (5; 41; 0), (6; 39; 1), (7; 36; 3), (6; 38; 2). При записи оптимальных решений мы оставили лишь первые три компоненты, выражающие число бревен, распиливаемых соответственно 1, 2 и 3-м способами, и исключили последние четыре компоненты, не имеющие смыслового значения.

Недостатком метода Гомори является требование целочисленности для всех переменных – как основных (выражающих, например, в задаче об использовании ресурсов единицы продукции), так и дополнительных (выражающих величину неиспользованных ресурсов, которые могут быть и дробными).

Можно убедиться, что при этом решение задачи короче.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра вычислительной техники и информационных технологий

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ГОМОРИ

Методические указания и задания к практическим занятиям по курсу

«Экономико-математические методы» для студентов экономических специальностей

Составитель Н.Ю.Коломарова

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 5 от 30.11.99

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2000

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Существует ряд задач оптимального планирования, в которых переменные могут принимать лишь целочисленные значения. Такие задачи связаны с определением количества единиц неделимой продукции, числа станков при загрузке оборудования, численности работников в структурных подразделениях предприятия и т.д. Достаточно часто возникают задачи с так называемыми булевыми переменными, решениями которых являются суждения типа «да-нет». Если функция и ограничения в таких задачах линейны, то мы говорим о задаче линейного целочисленного программирования.

Задача линейного целочисленного программирования формулиру-

ется следующим образом: найти такое решение (план)

Х = (x1 , x2 , ..., xn ),

принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях

2. МЕТОД ГОМОРИ

Одним из методов решения задач линейного целочисленного программирования является метод Гомори. Сущность метода заключается в построении ограничений, отсекающих нецелочисленные решения задачи линейного программирования, но не отсекающих ни одного целочисленного плана.

Рассмотрим алгоритм решения задачи линейного целочисленного программирования этим методом.

1. Решаем задачу симплексным методом без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования. Если обнаруживается неразрешимость задачи, то и неразрешима задача целочисленного программирования.

2. Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то к ограничениям задачи добавляем новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

Оно должно быть линейным; - должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный

план; - не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Для построения ограничения выбираем компоненту оптимального плана с наибольшей дробной частью и по соответствующей этой компоненте k -й строке симплексной таблицы записываем ограничение Гомори.

		f k = ∑	f kj x j − S * ,S * ≥ 0 ,

где f k	Xj - ;
	Zkj - ;
		Новая переменная;
Ближайшее целое, не превосходящееx j иz kj соответст-

		Составленное ограничение добавляем к имеющимся в сим-

плексной таблице, тем самым получаем расширенную задачу. Чтобы получить опорный план этой задачи, необходимо ввести в базис тот

вектор, для которого величина		∆ j	минимальна. И если для этого век-
вектор, для которого величина		f kj	минимальна. И если для этого век-
		f kj
тора величина θ = min	получается по дополнительной строке, то в
тора величина θ = min	получается по дополнительной строке, то в
z ij> 0

следующей симплексной таблице будет получен опорный план. Если же величина θ не соответствует дополнительной строке, то необходимо

переходить к М-задаче (вводить искусственную переменную в ограничение Гомори).

4. Решаем при помощи обычных симплексных преобразований полученную задачу. Если решение этой задачи приводит к целочисленному оптимальному плану, то искомая задача решена. Если мы получили нецелочисленное решение, то снова добавляем одно дополнительное ограничение, и процесс вычислений повторяется. Проделав конечное число итераций, либо получаем оптимальный план задачи целочисленного программирования, либо устанавливаем ее неразрешимость.

Замечания:

1. Если дополнительная переменная S * вошла в базис, то после пересчета какого-либо последующего плана соответствующие ей строку и столбец можно удалить (тем самым сокращается размерность задачи).

2. Если для дробного x j обнаружится целочисленность всех коэффициентов соответствующего уравнения (строки), то задача не имеет целочисленного решения.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ГОМОРИ

Задача: Для приобретения нового оборудования предприятие выделяет 19 ден.ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 16 кв.м. Предприятие может заказать оборудование двух видов: машины типа «А» стоимостью 2 ден.ед., требующие производственную площадь 4 кв.м и обеспечивающие производительность за смену 8 т продукции, и машины типа «В» стоимостью 5 ден.ед., занимающие площадь 1 кв.м и обеспечивающие производительность за смену 6 т продукции.

Требуется составить оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность.

Решение: Обозначим черезx 1 ,x 2 количество машин соответственно типа «А» и «В», черезL - их общую производительность. Тогда математическая модель задачи:

max L = 8 x1 +6 x2

при ограничениях:


2x 1	5x 2
4x 1
x 1≥		0, x2 ≥ 0

x1 , x2 - целые числа

Решаем задачу симплексным методом без учета целочисленности.






	∆ j






	∆ j






	∆ j

Получен оптимальный нецелочисленный план Х опт = (61/18;22/9).

L max = 376/9.

Т.к. у компоненты плана х 2 максимальная дробная часть: max(4/9;7/18) = 4/9, то дополнительное ограничение записываем по первой строке.

22/9 - = (2/9 - )x 3 + (-1/9 - [-1/9])x 4 -S 1 , S 1 ≥0 22/9 - 2 = (2/9 - 0)x 3 + (-1/9 - (-1))x 4 -S 1 , S 1 ≥0

4/9 = 2/9x3 + 8/9x4 - S1 , S1 ≥ 0 - первое ограничение Гомори

Составленное ограничение дописываем к имеющимся в симплексной таблице.

После построения дополнительного ограничения имеем новую задачу линейного программирования, в которой 3 ограничения. Для получения опорного плана этой задачи необходимо найти третий базис-


ный вектор. Для этого определяем: min
ный вектор. Для этого определяем: min	f kj
	f kj

базис вводим вектор х 4 .		4 / 9
Рассчитываем величину θ =


	z ij> 0	8 / 9

Минимальное значение θ получено по дополнительной строке, значит, не прибегая к искусственной переменной, получаем опорный план расширенной задачи.







	∆ j

Найденный план оптимален, но нецелочисленный. Строим новое ограничение Гомори.

Т.к. максимальная дробная часть среди компонент плана равна 1/2, записываем дополнительное ограничение по первой строке (можно и по третьей).

5/2 - = (1/4 - )x 3 + (-1/8 - [-1/8])S 1 -S 2 , S 2 ≥0

1/2 = 1/4x3 + 7/8S1 - S2 , S2 ≥ 0 - второе ограничение Гомори

Это ограничение добавляем в последнюю симплексную таблицу.

Получили задачу, в которой 4 ограничения, следовательно, в базисе должно быть 4 единичных вектора.

								2 . Можно

ввести либо x 3 , либоS 1 . Введем векторS 1 .

1/ 2

4 / 7

соответствует дополнительному

7 / 8

ограничению.

∆ j

Получаем новый оптимальный нецелочисленный план. Учитывая замечание 1, вычеркиваем строку и столбец, соответствующие пере-

менной S 1 .

В полученном плане максимальную дробную часть имеет компонента х 2 , поэтому записываем дополнительное ограничение по первой строке.

	4/7 = 2/7x3 + 6/7S2 - S3 , S3 ≥ 0	Третье ограничение Гомори.
	Определяем вектор, вводимый в базис:

вектор х 3 . Минимальное значениеθ = 2, что соответствует дополнительной строке.

После проведения очередных симплексных преобразований получили:








	∆ j

План Х 5 - оптимальный нецелочисленный. Дополнительное ограничение запишем по второй строке:

1/2 = 1/4S3 - S4 , S4 ≥ 0

Четвертое ограничение Гомори.

Т.к. базисной компонентой может быть S 3 , определяем величину

0. Минимальное значение θ получилось по 3

строке, а не по строке Гомори, следовательно, переходим к М-задаче:

введем дополнительную переменную х 5			в ограничение Гомори.

С5 ’	Б5 ’	Х5 ’







	∆ j

∆ j

Дробная часть = max(1/3; 2/3) = 2/3

дополнительное ограниче-

ние записываем по второй строке.

2/3 = 1/3х4 + 2/3S4 - S5

S5 ≥

Пятое ограничение Гомори.

16 / 3

2 вводим х 4 .

Вектор, вводимый в базис: min

2 / 3

θ =

соответствует строке Гомори.

∆ j

План Х 8 = (3; 2; 3; 2) - оптимальный целочисленный.L max = 36.

Экономическая интерпретация: согласно полученному решению предприятию необходимо закупить 3 машины типа «А» и 2 машины типа «В». При этом будет достигнута максимальная производительность работы оборудования, равная 36 т продукции за смену. Полученную экономию денежных средств в размере 3 ден.ед. можно будет направить на какие-либо иные цели, например, на премирование рабочих, которые будут заниматься отладкой полученного оборудования. На излишнюю площадь в 2 кв.м можно поставить ящик с цветами.

Геометрическая интерпретация метода Гомори: строим множе-

ство планов (см. рисунок). В точке 1 - оптимальный нецелочисленный план.

Для решения целочисленных задач линейного программирования с произвольным числом переменных можно использовать метод Гомори, с помощью которого от области программ отсекаются точки с нецелочисленными координатами. Сформулируем алгоритм Гомори для решения целочисленной задачи линейного программирования в стандартной форме

Алгоритм Гомори

ГП С помощью симплекс-метода находим оптимальную программу. Если получились целочисленные значения для всех Xj , то задача решена. В противном случае среди Xj имеются нецслочисленные значения.

|~2~1 Среди нецелых Xj выбираем произвольный элемент х г и в задаче добавляем еще одно ограничение

что равносильно добавлению в симплекс-таблице еще одной строки, после чего она перестает соответствовать допустимому базисному решению новой задачи линейного программирования, которую она описывает. В ограничении применяются дробные части элементов строки, в которой находится х г. Применяемое обозначение для дробной части исходит из того, что всякое действительное число у можно представить в виде суммы у = [у] + {?у}, где [у] - целая часть и {у} = У ~ [у] ~ дробная часть.

[з] Находим допустимое базисное решение, считая новую строку разрешающей, т.е. I = п + 1.

а) Если все коэффициенты уц > 0, то задача не имеет решения (т.е. целочисленная задача решена).
б) В противном случае находим индекс к такой, что

(критерий входа в новый базис). Заметим, что выбор разрешающего элемента у и* не изменяет знак у критериев Aj.

[4] Если в новой таблице имеется хотя бы один х 3 s и повторить указанные процедуры необходимое число раз.

[~5~| Если полученное оптимальное решение целочисленно, то поставленная задача решена. В противном случае надо вернуться к пункту .

Пример 4.6.1. Решить методом Гомори целочисленную задачу

Решение. После добавления вспомогательных переменных имеется следующая задача линейного программирования в стандартной форме:

с матрицами

Таблица 1


	Х 4

к = 1 Т

С помощью метода вращения заполним следующие таблицы. Разрешающий элемент - 6*.

Таблица 2		х 2



	„ _ 1 Ж Z ~_3_

к" = 2 Т

Разрешающий элемент - 1/2*.

Х в ^ 0). Следовательно, программа {xi = 11/3, х 2 = 5} даст максимум экономической функции z, равный 1370/3 = 45б|, т.с. z = z max = 456§. "

Так как эта оптимальная программа не является целочисленной, применим алгоритм Гомори для нахождения целочисленной оптимальной программы. В качестве строки, на базе которой образуем дополнительную строку из дробных частей се элементов, выбираем вторую строку (индекс 7’ = 1). Заполним таблицу 3", добавив в таблицу 3 дополнительную строку (4.14) с дробными частями для дополнительной переменной Ж5 и дополнительный столбец. Получаем

к" = 4 Т

После добавления новой строки симплекс-таблица 3" перестает соответствовать допустимому базисному решению задачи, которую она описывает. Находим допустимое базисное решение, считая новую строку разрешающей, т.е. /" = 5.

Находим разрешающий столбец, т.с. индекс к" такой, что

(критерий входа в новый базис). Разрешающий элемент - (-2/3*). Заметим, что такой выбор разрешающего элемента не изменяет знак у критериев Aj.

Заполним симплекс-таблицу 4.

Таблица 4		Х 2

	Х 2

Значения всех критериев ^ 0, (Х в ^ 0). Следовательно, программа {xi = 3, ж 2 = 6, х± = 1} дает максимум экономической функции г, равный 450, т.с. z = z ma ^ = 450. Эта оптимальная программа является целочисленной. ?

Пример 4.6.2. Решить методом Гомори целочисленную задачу

Решение. Имеется задача линейного программирования с матрицами

Заполним симплекс-таблицу с начальной программой.

Таблица 1

к = 1 Т

С помощью метода вращения заполним следующие таблицы. Разрешающий элемент - 1*.

Таблица 2				Х 2

Разрешающий элемент - 5*.

Таблица 3

Значения всех критериев ^ 0, (Х в ^ 0). Следовательно, программа {xi = 12/5, 24 = 1/5, 25 = 28/5} дает минимум экономической функции г, равный -11/5 = -2.2, т.с. z =

~min = -2.2.

Так как эта оптимальная программа не является целочисленной, применим алгоритм Гомори для нахождения целочисленной оптимальной программы. В качестве строки, на базе которой образуем дополнительную строку из дробных частей сс элементов, выбираем, например, третью етроку (индекс г = 5) с максимальной дробной частью. Заполним таблицу 3", добавив в таблицу 3 дополнительную строку (4.14) с дробными частями третьей строки для дополнительной переменной xq (эта строка позволяет отсечь от области программ части, содержащие точки с нецслочислснными координатами) и дополнительный столбец. Получаем

Таблица 3"





		г - -И

к" = 3 Т

Находим разрешающий столбец, т.е. индекс к" такой, что

(критерий входа в новый базис). Разрешающий элемент - (-3/5*). Заметим, что такой выбор разрешающего элемента не изменяет знак у критериев Aj.

Заполним симплекс-таблицу 4.

Таблица 4

Значения всех критериев ^ 0, (Х в ^ 0). Следовательно, программа {х = 2, Х 2 = 0, хз = 1, х 4 = 0, ж 5 = 5} даст минимум экономической функции z 9 равный (-2), т.с. z = -min = - 2. Эта оптимальная программа является целочисленной. ?

Задача 4.6.1. Решить методом Гомори целочисленную задачу

Ответ. Программа

дает минимум экономической функции z, равный (-31), т.с. z = 2 m i n = -31. Эта оптимальная программа является целочисленной.

В задачах целочисленного программирования в отличие от задач линейного программирования вводится дополнительное ограничение на переменные величины: они могут принимать лишь целые значения.

В некоторых задачах, например, транспортного типа, это условие выполняется автоматически, если исходные данные (количества отправляемых и получаемых грузов) выражены целыми числами. Но в общей задаче линейного программирования обычные методы решения целочисленности не гарантируют, независимо от того, целыми или дробными являются исходные величины.

В математической записи общая задача целочисленного программирования выглядит следующим образом:

максимизировать

при условиях

x j ≥ 0, x j – целые.

Экономические задачи линейного программирования чаще всего требует целочисленного решения. Это относится к задачам, в которых переменные величины обозначают количество единиц неделимой продукции, оборудования, работников (задачи наилучшего распределения производственных заданий между предприятиями, задачи оптимизации производственной программы отдельных предприятий, задачи оптимальной загрузки оборудования и др.). Часто такие задачи решаются обычным симплекс-методом с последующим округлением полученных значений переменных величин до целых чисел. Но в этом случае можно получить лишь некоторое приближение к действительно оптимальному целочисленному плану.

В другой группе задач линейного программирования подлежащими определению величинами являются производственные мощности, наиболее эффективно обеспечивающие заданную потребность. Поскольку «носителями» производственной мощности выступают отдельные предприятия, неделимые единицы оборудования и т. д., эти задачи также сводятся к целочисленным задачам линейного программирования.

Целочисленными являются также задачи рационального раскроя мерного материала (задачи на минимум отходов), так как переменные обозначают в них, как правило, количество исходных заготовок, раскраиваемое тем или иным способом.

Во всех упомянутых задачах решение может быть найдено обычными методами линейного программирования с последующей корректировкой и получением целочисленного плана, более или менее близкого к оптимальному. Но имеются задачи, нецелочисленное решение которых не имеет смысла. К ним относятся задачи выбора, в которых численные значения переменных служат лишь для определения альтернативы («или - или», «да – нет»).

К целочисленным моделям выбора относят некоторые задачи оперативно-календарного планирования, например, задачи об оптимальной последовательности запуска различных изделий (деталей) в производство. Допустим необходимо определить порядок запуска n деталей, каждая из которых последовательно обрабатывается на нескольких станках. Переменные х ij равняются единице, если деталь j должна запускаться за деталью i , и нулю - во всех остальных случаях. Для каждого фиксированного j , так же как и для каждого i , только одна из n переменных может равняться единице, поэтому в число ограничений задачи входят следующие:

Минимизируется общее время обработки всех деталей на станках данной группы. Нецелочисленное решение такой задачи лишено смысла.

Существует несколько методов решения задач целочисленного программирования. Наиболее известен метод Гомори , основывающийся на использовании симплексного метода.

Рассмотрим математические понятия: конгруэнтности чисел, целой и дробной части числа . Число а конгруэнтно числу b в том и только том случае, когда разность а – b является целым числом. Конгруэнтность обозначают тремя горизонтальными черточками (≡ ); таким образом, а ≡ b , если а – b есть целое число.

Например: 5 / 3 ≡ 2 / 3 , т.к. 5 / 3 - 2 / 3 = 1;

- 1 / 3 ≡ 2 / 3 , т.к.- 1 / 3 - 2 / 3 = 1.

Все целые числа конгруэнтны друг другу и конгруэнтны нулю. Нецелочисленные элементы можно представить в виде суммы целой и дробной части числа а = [a ] + {a }. Квадратные скобки означают взятие целой части числа, заключённого в них, фигурные – взятие дробной части числа.

Целой частью числа а называется наибольшее целое число [a ], не превосходящее а .

Дробная часть числа а определяется как наименьшее неотрицательное число {a }, конгруэнтное числу а . Дробная часть числа а равна разности между числом а и его целой частью: {a }= а - [a ]

Например, для а = 2 1 / 3 [a ]= 2 {a} = 1 / 3

для a = - 2 1 / 3 [a ]= -3 {a} = 2 / 3

Свойства конгруэнтности чисел:

1. Если а ≡ b , то {а } = {b }.

2. {а +b } = {а } + {b }.

3. Если n - целое число, то для любого а

nа ≡ {nа } ≡ n {а }.

При решении задач целочисленного программирования методом Гомори первый этап совпадает с обычным расчетом по симплексному алгоритму. Полученное решение в общем виде будет удовлетворять всем условиям задачи, кроме требования целочисленности (не исключено, конечно, получение целочисленного решения уже на первом этапе). Если среди значений переменных в оптимальном плане (точка А на рис.13) есть дробные, то составляется дополнительное ограничение, как бы «отсекающее» дробную часть решения (линия 1 на рис.13), но оставляющее в силе все ограничения задачи, которым должен удовлетворять оптимальный план. Дополнительное ограничение присоединяется к исходным ограничениям задачи и к расширенной системе вновь применяется симплексная процедура. Если оптимальное решение снова окажется нецелочисленным (точка В на рис.13), то добавляется еще одно дополнительное ограничение (линия 2 на рис.13) и процесс вычислений повторяется. Алгоритм позволяет за конечное число шагов прийти к оптимальному целочисленному решению (если оно существует) (точка С на рис.13).

Рис. 13. Метод отсечений Гомори

Пример решения задачи целочисленного программирования. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 20 ден.ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 38 м 2 . Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные машины типа А стоимостью 5 ден.ед, требующие производственную площадь 8 м 2 (с учетом проходов) и обеспечивающие производительность 7 тыс, единиц продукции за смену; менее мощные машины типа Б стоимостью 2 ден.ед, занимающие площадь 4 м 2 и дающие за смену 3 тыс, единиц продукции.

Обозначим через х 1 количество приобретаемых машин А и через х 2 - количество приобретаемых машин Б, получаем математические условия задачи:

максимизировать 7х 1 + 3х 2 → max

при условиях: 5х 1 + 2х 2 ≤ 20

8х 1 + 4х 2 ≤ 38

х 1 , х 2 ≥ 0 (целые).

С помощью дополнительных переменных х 3 и х 4 исходные неравенства преобразуются в уравнения (приводятся к каноническому виду):

5х 1 + 2х 2 + х 3 = 20

8х 1 + 4х 2 + х 4 = 38

Если основные переменные х 1 и х 2 - целые числа, то из уравнений непосредственно следует, что и переменные х 3 и х 4 могут принимать только целочисленные значения.

Задача решается вначале без учета требования целочисленности.

Симплексная таблица имеет следующий вид:

Базис	С	План					θ
Х 1	Х 2	Х 3	Х 4
X 1 →Х 3							20/5=4 min
Х 4							38/8=4,75
f(x) = 0	-7	-3

X 1				2/5	1/5		4:2/5=10
X 2 →X 4				4/5	-8/5		6:4/5=7,5 min
f(x) =28		-1/5	7/5

X 1						-1/2
X 2		7,5			-2	5/4
f(x) =29,5				1/4

В оптимальном плане Х 1 =1, Х 2 =7,5; максимум целевой функции составляет 29,5. Таким образом, необходимо купить один станок типа А и 7 станков типа В (на 8 станков не хватит ни денег, ни места), тогда объём выпуска продукции составит f(x) =7×1+3×7=28 тыс. единиц продукции.

Найдём целочисленное решение методом Гомори. Для переменной Х 2 , получившей нецелочисленное значение в плане, составляем следующее уравнение, непосредственно вытекающее из приведенной симплексной таблицы:

7,5 = Х 2 – 2Х 3 + 1,25Х 4 .

Х 2 = 7,5 + 2Х 3 – 1,25Х 4 .

Это уравнение, очевидно, должно быть справедливо и для допустимого целочисленного решения задачи.

Поскольку Х 2 - целое число, то целым является и выражение в правой части уравнения; следовательно, величина правой части данного уравнения конгруэнтна нулю:

7,5 + 2Х 3 – 1 ,25Х 4 ≡ 0,

–2Х 3 + 1,25Х 4 ≡ 7,5.

Учитывая приведенные выше свойства конгруэнтности, а также и то, что Х 3 и Х 4 - целые числа, это выражение можно преобразовать в следующее:

{-2}X 3 + {1,25}X 4 ≡ {7,5} ;

отсюда получаем:

0,25X 4 ≡ 0,5.

Поскольку X 4 - неотрицательное целое число, имеем:

0,25X 4 = 0,5, или 1,5, или 2,5, ...;

следовательно,

0,25X 4 ≥ 0,5.

Полученное неравенство преобразуется в уравнение и добавляется к исходной системе ограничений, которая содержит теперь следующие три уравнения:

5х 1 + 2х 2 + х 3 = 20

8х 1 + 4х 2 + х 4 = 38

0,25х 4 – x 5 = 0,5.

Повторив процесс решения симплексным методом применительно к расширенной системе ограничений, получим новый оптимальный план, в котором значения переменных, входящих в базис, равны: Х 1 = 2; Х 2 = 5; Х 4 = 2 (остаток свободной площади).

Таким образом, получено оптимальное целочисленное решение задачи: при данных ограничениях максимум производительности (29 тыс. единиц продукции) обеспечивается приобретением 2 машин типа А и 5 машин типа Б.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Этот метод можно применить для решения как полностью, так и частично целочисленных задач дискретного программирования.

Рассмотрим модель

при ограничениях

Допустим, что для каждой целочисленной переменной можно задать верхнюю и нижнюю границы, в пределах которых, безусловно, содержатся ее оптимальные значения

H j ≤ X j ≤ V j ; j=1,2,…,k,…,n.

Обычно H j = 0, но это условие не обязательно. Задача решается симплекс-методом. Если X k принимает дробные значения, то полагаем, что оптимальное решение задачи, будет удовлетворять линейному ограничению X k ≤ D k , либо линейному ограничению X k ≤ D k + 1 , где D k =[X k ] – ближайшее целое число в меньшую сторону от значения X k ; D k + 1 – ближайшее целое в большую сторону от X k . При этом H j ≤ D k ≤ V j – 1 . Тогда необходимо решить пару задач линейного программирования симплекс-методом:

А.

В.

Получаем итерационный процесс, представляемый в виде дерева, вершина которого соответствует решению исходной задачи, а две соединенные с ней ветви являются решениями пары задач линейного программирования А и В. Полученные значения целевых функций при этом могут быть меньше или равны значению целевой функции исходной задачи f(X) A ≤ f(X) 0 ; f(X) B ≤ f(X) 0 . Каждая из двух новых полученных вершин ветвей может иметь свои дальнейшие ветвления.

1) Итерационный процесс ветвления продолжается до тех пор, пока среди полученных планов не будет получено целочисленное решение, причем значение целевой функции должно быть большим или равным значениям функций целей других ветвящихся вершин.

2) Если на очередном шаге итерации обе задачи имеют нецелочисленные решения, то для дальнейшего ветвления выбирается вершина, соответствующая задача с большим значением функции цели. Для одной из переменных, получивших дробные значения, составляются новые ограничения для следующих задач линейного программирования.

3) Если на очередном шаге итерации одна из задач имеет целочисленное решение, а среди значений переменных во второй задаче имеются дробные, то из них выбирается задача, имеющая наибольшее значение функции цели. Если это задача, получившая целочисленное решение, то процесс заканчивается, если же эта задача с дробными значениями переменных, то для нее производится дальнейший процесс ветвления.

4) Если на очередном шаге итерации одна из задач не имеет решения, а вторая задачи среди значений переменных в получаемом решении имеет дробные величины. Тогда для первой задачи процесс ветвления прекращается, а для дальнейшего преобразования второй задачи выбирается одна из нецелочисленных переменных, для которой составляются дополнительные ограничения для новой пары задач линейного программирования.

5) Если на очередном шаге итерации одна из задач не имеет решения, а для другой получено целочисленное решение, и нет других вариантов с большим целочисленным значением функции цели и для которых можно продолжать ветвление, то процесс заканчивается, а найденное решение является оптимальным целочисленным решением исходной задачи.

Если выбранная задача приводит к обрыву (тупику) или значение функции меньшему, чем в задаче В.1 f(X) A.4 < f(X) В,1 ., то происходит возврат к задаче В.1 и происходит новое ветвление.

Рис.14. Блок-схема алгоритма метода ветвей и границ

Рис. 15. Метод «ветвей и границ»