Метод неопределенных множителей лагранжа в механике примеры. Задача Лагранжа с одним ограничением
1.9 Метод неопределенных множителей Лагранжа
Естественно, что решение задач условной оптимизации значительно сложнее решения задач безусловной оптимизации . Естественно стремление сведения задачи условной оптимизации (поиска относительного экстремума) к более простой задаче безусловной оптимизации (поиска абсолютного экстремума). Такая процедура осуществляется в методе Лагранжа. Рассмотрим сущность этого метода.
Необходимо найти условный экстремум нелинейной функции
n переменных, при m ограничениях
(1.56)
Ограничения-неравенства преобразуются в равенства, а свободные члены переносятся в левые части ограничений, т.е. система (1.56) приводится к виду
(1.57)
В соответствии с методом Лагранжа вместо относительного экстремума функции (1.55) при ограничениях (1.57) ищется абсолютный экстремум функции Лагранжа, которая имеет следующий вид:
где - неопределенные множители Лагранжа, являющиеся, как и переменные искомыми переменными.
Видно, что в функцию Лагранжа входит целевая функция плюс каждое ограничение, умноженное на множитель Лагранжа.
Доказано, что относительный экстремум целевой функции (1.55) при ограничениях (1.57) совпадает с абсолютным экстремумом функции Лагранжа (1.58).
Поиск абсолютного экстремума функции (1.58) выполняется известными методами. В частности, определяются и приравниваются к нулю частные производные функции Лагранжа:
(1.59)
Последние m уравнений представляют собой ограничения (1.57) оптимизационной задачи.
Система (1.59) содержит (m+n) уравнений и такое же количество неизвестных.
Решение системы (1.59) даст координаты абсолютного минимума функции Лагранжа (1.58) или относительного минимума целевой функции (1.55) при ограничениях (1.57).
Решение системы (1.59) выполняется известными методами вычислительной математики. Если система (1.59) линейная, используется, как правило, метод Гаусса. Если система (1.59) нелинейная – метод Ньютона.
1.10 Выбор метода оптимизации
Перед выбором метода оптимизации, проведем краткий анализ задач, которые должно решать разрабатываемое программное обеспечение:
программа должна решать задачу условной минимизации, т.е. находить относительный экстремум, так как в математической модели кроме линейных ограничений будут иметь место и нелинейные;
так как целевая функция – функция нескольких переменных, то она может иметь несколько экстремумов, и в этом случае программа должна осуществлять поиск локального минимума.
Проведя анализ наиболее часто использующихся методов оптимизации, для реализации поставленной цели был выбран градиентный метод квадратичного программирования, который представляет собой наиболее эффективный из вышеперечисленных градиентных методов, модифицированный с методами полиномиальной аппроксимации.
Предполагается, что целевая функция и граничные условия аппроксимируются квадратичными зависимостями или полиномами второго порядка. Более подробно этот метод будет рассмотрен далее в разделе "Разработка программного обеспечения метода оптимизации".
Данный метод позволяет создать надежную программу, соответствующую всем вышеперечисленным требованиям.
2. Разработка метода оптимизации по реактивной мощности
Требуемая в электроэнергетической системе (ЭЭС) суммарная мощность компенсирующих устройств определяется из уравнения баланса реактивной мощности (6.1). Эту мощность необходимо разместить в узлах электрической сети с минимальными затратами.
где - суммарная реактивная мощность, генерируемая в ЭЭС, включая реактивную мощность, поступающую из соседних ЭЭС;
Суммарная реактивная мощность потребителей ЭЭС, включая реактивную мощность, отдавая в соседние ЭЭС;
Суммарная реактивная мощность собственных нужд электростанций;
Суммарные потери реактивной мощности;
Суммарное потребление реактивной мощности в ЭЭС.
Рассмотрим простейшую схему существующей сети (рис.2.1). от источника питания с напряжением U через сопротивление сети R получает питание нагрузка мощностью S=P+jQ . На шинах нагрузки установлено компенсирующее устройство мощностью Qк.
Рисунок 2.1 – Простейшая схема компенсации реактивной мощности
Потери активной мощности в линии при отсутствии у потребителя компенсирующего устройства () составляют
. (2.2)
При установке у потребителя компенсирующего устройства () эти потери уменьшатся до величины
. (2.3)
Таким образом, компенсация реактивной мощности позволяет уменьшить потери активной мощности в схеме электроснабжения и, следовательно, улучшить технико-экономические показатели этой схемы.
Оценим влияние КУ на затраты в сети.
Выражение для суммарных затрат на передачу мощности к нагрузке при установке КУ будет иметь вид:
(2.4)
где ЗК – затраты на КУ;
соΔР – затраты на покрытие потерь активной мощности в сети;
со – стоимость единицы потерянной активной мощности;
зк – удельные затраты на КУ.
Для определения минимума функции З приравняем к нулю ее производную от переменной QK:
(2.5)
Из (2.5) определяется экономически целесообразная реактивная мощность, передача которой от источника к потребителю отвечает минимуму затрат З
(2.6)
Величина QЭ не зависит от активной мощности Р, а зависит лишь от соотношения стоимостных показателей зк и со и параметров сети U и R, по которой передается мощность.
Вопрос о размещении компенсирующих устройств в электрической сети реальной ЭЭС представляет собой сложную оптимизационную задачу. Сложность заключается в том, что электроэнергетические системы являются большими системами, состоящими из взаимосвязанных подсистем. Рассматривать изолированно каждую отдельную подсистему нельзя, поскольку свойства больших систем определяются характером взаимосвязей отдельных подсистем.
При анализе больших систем используется системный подход , согласно которому анализ большой системы выполняется при разделении ее на подсистемы, непосредственно не связанные между собой, но влияющие друг на друга через систему более высокого уровня.
Применительно к рассматриваемому вопросу электрическая сеть представляется разными уровнями, как это показано на рис. 2.2. верхний уровень – это электрическая сеть напряжением 110 кВ и выше. Эта сложнозамкнутая электрическая сеть, представляемая полной схемой замещения, показана на рис.2.2 условно, как ЭС1. Реактивные мощности, вырабатываемые генераторами электростанций QЭС, компенсирующими устройствами QК, линиями электропередачи QС, а также реактивные мощности, протекающие по связям с соседними ЭС2 и ЭС3 (Q12, Q21, Q13, Q31) обеспечивают в ЭС1 располагаемую реактивную мощность Qр1.
Рисунок 2.2 – Схема размещения КУ в электрической сети
Второй уровень – это множество n разомкнутых местных распределительных сетей напряжением 35 кВ и ниже, присоединенных к n узлам электрической сети верхнего уровня через трансформаторы Т. Эти местные распределительные сети непосредственно не связаны между собой, но влияют друг на друга через сеть верхнего уровня. Синхронные генераторы, компенсаторы и двигатели в каждой такой распределительной сети представлены одной эквивалентной синхронной машиной G. От местных электрических сетей через распределительные трансформаторы Т1 питаются низковольтные потребители P+jQ.
Компенсирующие устройства могут устанавливаться на шинах высшего (jQкв) и низшего (jQкс) напряжения трансформаторов Т, а также на шинах 0,4 кВ распределительных трансформаторов Т1 и в самой сети 0,4 кВ (jQкн). Значение мощностей этих КУ и подлежит определению.
В общем виде задача оптимизации размещения КУ формулируется следующим образом: определить реактивные мощности имеющихся в узлах 6…35 кВ синхронных машин G, мощности КУ в сетях всех напряжений Qкв, Qкс, Qкн, а также значения реактивных мощностей Qэi (i=1, 2, …n), передаваемых в сети потребителей, при которых обеспечивается минимум суммарных затрат.
Расчеты компенсации реактивной мощности для сетей всех видов выполняются как при проектировании развития электрических сетей, так и в условиях их эксплуатации. При проектировании определяются мощности КУ и решается задача их распределения в электрической сети. В условиях эксплуатации определяют оптимальные режимы имеющихся КУ в течение суток. Критериями оптимальности в этом случае служат минимум потерь мощности и энергии и соответствие отклонений напряжений допустимым значениям.
При проектировании схемы электроснабжения, как правило, минимизируются денежные затраты на эту схему. Снижение потерь мощности за счет установки КУ уменьшает затраты на схему, по следующим причинам:
каждый потерянный кВт мощности необходимо выработать на электростанциях и, следовательно, затратить на это денежные средства;
генерация недополученной реактивной мощности на электростанциях обходится гораздо дороже, чем потребление (в 3 раза!).
Однако и компенсирующие устройства требуют денежных затрат.
В связи с этим возникает задача определения оптимальной мощности компенсирующих устройств, отвечающей минимуму суммарных затрат. Такая задача относится к задаче безусловной оптимизации и может быть решена, например, градиентными методами.
Рассмотрим такую задачу для магистральной схемы электроснабжения (рис. 2.3). Необходимо определить мощности компенсирующих устройств QК1 и QК2 в узлах 1 и 2 исходя из условия минимума суммарных затрат на установку этих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме.
Рисунок 2.3 – Схема электроснабжения
Исходные данные:
напряжение схемы U;
сопротивления линий R1 и R2;
реактивные нагрузки узлов 1 и 2 Q1 и Q2;
удельные затраты на установку компенсирующих устройств zo;
удельные затраты на покрытие потерь активной мощности со.
Целевая функция, представляющая собой суммарные затраты на установку компенсирующих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме, имеет следующий вид
где а1=R1∙co∙10-3/U2=0,0006;
а2=R2∙co∙10-3/U2=0,0004.
Введение числового коэффициента 10-3 необходимо для приведения всех составляющих целевой функции к одной размерности (у.е.).
Для решения задачи выберем метод покоординатного спуска. Определим частные производные целевой функции Z по переменным Q1 и Q2:
(2.8)
Примем исходное приближение:
Для этих значений вычислим значения целевой функции и ее частных производных.
Примем, что в направлении переменной Qk2 целевая функция Z убывает сильнее, чем в направлении переменной Qk1, т.е.
(2.10)
В направлении переменной Qk2 и начнем спуск.
Примем величину шага =400 квар. Первое приближение (первый шаг) будет Qk11=0, Qk21=400 квар. Рассчитываем значение целевой функции Z1.
Второй шаг: Qk12=0, Qk22=400 квар. Рассчитываем значение целевой функции Z2.
Спуск по координате Qk2 следует продолжать до тех пор, пока Zn Выполним новый шаг в направлении другой переменной Qk1. Находится новое значение целевой функции Z. Спуск по этой переменной продолжается так же, как и в направлении Qk2 – до тех пор, пока Zm Точка с полученными координатами Qk1m-1, Qk2n-1 находится в окрестности минимума целевой функции Z. При принятой длине шага =400квар более точное решение получено быть не может. Для получения более точного решения необходимо уменьшить шаг и продолжить спуск. Абсолютно точно что, чем меньше шаг, тем точнее будет результат. Посредством ручного расчета мы не можем добиться такой точности. Для решения этой задачи целесообразно будет использовать программное обеспечение, предназначенное для решения задачи нелинейного программирования с нелинейными ограничениями. Одним из таких языков программирования является язык С++. Это была рассмотрена задача безусловной оптимизации, т.е. нахождения абсолютного минимума. При решении поставленной задачи для нахождения оптимального режима работы сети ОАО "ММК им. Ильича" требуется найти относительный минимум, так как система ограничений будет иметь нелинейный вид (см. далее "Разработка программного обеспечения"). Таким образом, перед нами ставится задача условной оптимизации по реактивной мощности, для которой мы применяем выбранный ранее градиентный метод квадратичного программирования.
Информация о работе «Анализ режимов работы электрических сетей ОАО "ММК им. Ильича" и разработка адаптивной системы управления режимами электропотребления» Метод множителей
Лагранжа
(в англ. литературе «LaGrange"s method of undetermined multipliers») ˗ это численный метод решения оптимизационных задач, который позволяет определить «условный» экстремум целевой функции (минимальное или максимальное значение)
при наличии заданных ограничений на ее переменные в виде равенств (т.е. определена область допустимых значений) Метод множителей Лагранжа позволяет задачу поиска условного экстремума целевой функции на множестве допустимых значений преобразовать к задаче безусловной оптимизации функции. В случае если функции Таким образом, в соответствии с методом множителей Лагранжа для поиска экстремума целевой функции на множестве допустимых значений составляю функцию Лагранжа L(х, λ), которую в дальнейшем оптимизируют: где λ ˗ вектор дополнительных переменных, называемых неопределенными множителями Лагранжа. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции f(x) свелась к задаче поиска безусловного экстремума функции L(x, λ). Необходимое условие экстремума функции Лагранжа задается системой уравнений (система состоит из «n + m» уравнений): Решение данной системы уравнений позволяет определить аргументы функции (Х), при которых значение функции L(x, λ), а также значение целевой функции f(x) соответствуют экстремуму. Величина множителей Лагранжа (λ) имеет практический интерес в случае, если ограничения представлены в форме со свободным членом уравнения (константой). В этом случае можно рассматривать дальнейшее (увеличение/уменьшение) значения целевой функции за счет изменения значения константы в системе уравнения . Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы. Существует несколько способов определения характера экстремума полученной функции: Первый способ: Пусть – координаты точки экстремума, а - соответствующее значение целевой функции. Берется точка , близкая к точке , и вычисляется значение целевой функции : Если Если Второй способ: Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, является знак второго дифференциала функции Лагранжа. Второй дифференциал функции Лагранжа определяется следующим образом: Если в заданной точке Третий способ: Также характер экстремума функции можно выяснить рассмотрев гессиан функции Лагранжа. Матрица Гессе представляет собой симметричную квадратную матрицу вторых частных производных функции в точке , в которой элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали. Для определения типа экстремума (максимум или минимум функции) можно воспользоваться правилом Сильвестра: 1. Для того, чтобы второй дифференциал функции Лагранжа был знакоположителен 2. Для того, чтобы второй дифференциал функции Лагранжа был знакоотрицателен Под угловым минором понимаем минор, расположенный в первых k строках и k столбцах исходной матрицы. Основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной и, соответственно, расширить арсенал доступных методов решения задачи. Однако задача решения системы уравнений, к которой сводится данный метод, в общем случае не проще исходной задачи поиска экстремума. Такие методы называются непрямыми. Их применение объясняется необходимостью получить решение экстремальной задачи в аналитической форме (допустим, для тех или иных теоретических выкладок). При решении конкретных практических задач обычно используются прямые методы, основанные на итеративных процессах вычисления и сравнения значений оптимизируемых функций. Методика расчета
1 шаг
: Определяем функцию Лагранжа из заданной целевой функции и системы ограничений: Вперёд
Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте. Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x,y)=0$. Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=\psi(x)$, то подставив $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма. Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
$$
\left \{ \begin{aligned}
& \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\
& \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\
& \varphi (x,y)=0.
\end{aligned} \right.
$$
Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F < 0$, то условный максимум. Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: $\varphi_{x}^{"}dx+\varphi_{y}^{"}dy=0$, $dy=-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx$, поэтому в любой стационарной точке имеем:
$$d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dx\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)+F_{yy}^{""}\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)^2=\\
=-\frac{dx^2}{\left(\varphi_{y}^{"} \right)^2}\cdot\left(-(\varphi_{y}^{"})^2 F_{xx}^{""}+2\varphi_{x}^{"}\varphi_{y}^{"}F_{xy}^{""}-(\varphi_{x}^{"})^2 F_{yy}^{""} \right)$$
Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме: Красным цветом выделены элементы определителя $\left| \begin{array} {cc} F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|$, который является гессианом функции Лагранжа. Если $H > 0$, то $d^2F < 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F > 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$. Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть
$$
H=-\left|\begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|
$$
В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H < 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы. Допустим, мы имеем функцию $n$ переменных $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнений связи ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:
$$\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial F}{\partial x_i}=0; (i=\overline{1,n})\\
& \varphi_j=0; (j=\overline{1,m})
\end{aligned} \right.$$
Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F < 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу: Определитель матрицы $\left| \begin{array} {ccccc} \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{n}}\\
\frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_1} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{n}}\\
\frac{\partial^2F}{\partial x_{3} \partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}^{2}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{n}}\\
\ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots\\
\frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}^{2}}\\
\end{array} \right|$, выделенной в матрице $L$ красным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Используем следующее правило: Пример №1 Найти условный экстремум функции $z(x,y)=x+3y$ при условии $x^2+y^2=10$. Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости $z=x+3y$ для точек ее пересечения с цилиндром $x^2+y^2=10$. Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию $z(x,y)=x+3y$ несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа. Обозначив $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, составим функцию Лагранжа:
$$
F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\
\frac{\partial F}{\partial x}=1+2\lambda x; \frac{\partial F}{\partial y}=3+2\lambda y.
$$
Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:
$$
\left \{ \begin{aligned}
& 1+2\lambda x=0;\\
& 3+2\lambda y=0;\\
& x^2+y^2-10=0.
\end{aligned} \right.
$$
Если предположить $\lambda=0$, то первое уравнение станет таким: $1=0$. Полученное противоречие говорит о том, что $\lambda\neq 0$. При условии $\lambda\neq 0$ из первого и второго уравнений имеем: $x=-\frac{1}{2\lambda}$, $y=-\frac{3}{2\lambda}$. Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:
$$
\left(-\frac{1}{2\lambda} \right)^2+\left(-\frac{3}{2\lambda} \right)^2-10=0;\\
\frac{1}{4\lambda^2}+\frac{9}{4\lambda^2}=10; \lambda^2=\frac{1}{4}; \left[ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2};\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}. \end{aligned} \right.\\
\begin{aligned}
& \lambda_1=-\frac{1}{2}; \; x_1=-\frac{1}{2\lambda_1}=1; \; y_1=-\frac{3}{2\lambda_1}=3;\\
& \lambda_2=\frac{1}{2}; \; x_2=-\frac{1}{2\lambda_2}=-1; \; y_2=-\frac{3}{2\lambda_2}=-3.\end{aligned}
$$
Итак, система имеет два решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac{1}{2}$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac{1}{2}$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. Для этого вычислим определитель $H$ в каждой из точек.
$$
\varphi_{x}^{"}=2x;\; \varphi_{y}^{"}=2y;\; F_{xx}^{""}=2\lambda;\; F_{xy}^{""}=0;\; F_{yy}^{""}=2\lambda.\\
H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|=
\left| \begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end{array} \right|=
8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|
$$
В точке $M_1(1;3)$ получим: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|=
8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end{array} \right|=40 > 0$, поэтому в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_{\max}=z(1;3)=10$. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|=
8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end{array} \right|=-40$. Так как $H < 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$. Отмечу, что вместо вычисления значения определителя $H$ в каждой точке, гораздо удобнее раскрыть его в общем виде. Дабы не загромождать текст подробностями, этот способ скрою под примечание. Запись определителя $H$ в общем виде. показать\скрыть $$
H=8\cdot\left|\begin{array}{ccc}0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end{array}\right|
=8\cdot\left(-\lambda{y^2}-\lambda{x^2}\right)
=-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right).
$$
В принципе, уже очевидно, какой знак имеет $H$. Так как ни одна из точек $M_1$ или $M_2$ не совпадает с началом координат, то $y^2+x^2>0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:
$$
\begin{aligned}
&H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\\
&H(M_2)=-8\cdot\frac{1}{2}\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40.
\end{aligned}
$$ Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:
$$
d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=2\lambda \left(dx^2+dy^2\right)
$$
Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $\left(dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac{1}{2}$ получим $d^2F < 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$. Ответ
: в точке $(-1;-3)$ функция имеет условный минимум, $z_{\min}=-10$. В точке $(1;3)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=10$ Пример №2 Найти условный экстремум функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условии $x+y=0$. Обозначив $\varphi(x,y)=x+y$ составим функцию Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2-xy+\lambda(x+y)$.
$$
\frac{\partial F}{\partial x}=8x-y+\lambda; \; \frac{\partial F}{\partial y}=9y^2-x+\lambda.\\
\left \{ \begin{aligned} & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\lambda=0; \\ & x+y=0. \end{aligned} \right.
$$
Решив систему, получим: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac{10}{9}$, $y_2=-\frac{10}{9}$, $\lambda_2=-10$. Имеем две стационарные точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9} \right)$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителя $H$.
$$
H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|=
\left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end{array} \right|=-10-18y
$$
В точке $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 < 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 > 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_{\max}=\frac{500}{243}$. Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:
$$
d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=8dx^2-2dxdy+18ydy^2
$$
Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$
d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2
$$
Так как $ d^2F \Bigr|_{M_1}=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F \Bigr|_{M_2}=-10 dx^2 < 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума. Из уравнения связи $x+y=0$ получим: $y=-x$. Подставив $y=-x$ в функцию $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получим некоторую функцию переменной $x$. Обозначим эту функцию как $u(x)$:
$$
u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2.
$$
Таким образом задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.
$$
u_{x}^{"}=-9x^2+10x;\\
-9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\
x_1=0; \; y_1=-x_1=0;\\
x_2=\frac{10}{9}; \; y_2=-x_2=-\frac{10}{9}.
$$
Получили точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9}\right)$. Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак $u_{xx}^{""}$ в каждой стационарной точке или проверяя смену знака $u_{x}^{"}$ в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом. Например, проверим знак $u_{xx}^{""}$:
$$u_{xx}^{""}=-18x+10;\\
u_{xx}^{""}(M_1)=10;\;u_{xx}^{""}(M_2)=-10.$$
Так как $u_{xx}^{""}(M_1)>0$, то $M_1$ - точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_{\min}=u(0)=0$. Так как $u_{xx}^{""}(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$. Значения функции $u(x)$ при заданном условии связи совпадают с значениями функции $z(x,y)$, т.е. найденные экстремумы функции $u(x)$ и есть искомые условные экстремумы функции $z(x,y)$. Ответ
: в точке $(0;0)$ функция имеет условный минимум, $z_{\min}=0$. В точке $\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=\frac{500}{243}$. Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака $d^2F$. Пример №3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5xy-4$, если переменные $x$ и $y$ положительны и удовлетворяют уравнению связи $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$. Составим функцию Лагранжа: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1 \right)$. Найдем стационарные точки функции Лагранжа:
$$
F_{x}^{"}=5y+\frac{\lambda x}{4}; \; F_{y}^{"}=5x+\lambda y.\\
\left \{ \begin{aligned}
& 5y+\frac{\lambda x}{4}=0;\\
& 5x+\lambda y=0;\\
& \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0;\\
& x > 0; \; y > 0.
\end{aligned} \right.
$$
Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac{5x}{y}$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-\frac{5x}{y}\cdot \frac{x}{4}=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $\frac{4y^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, $y^2=1$, $y=1$. Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.
$$
F_{xx}^{""}=\frac{\lambda}{4}; \; F_{xy}^{""}=5; \; F_{yy}^{""}=\lambda.
$$
Так как $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, то:
$$
d\left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1\right)=0; \; d\left(\frac{x^2}{8} \right)+d\left(\frac{y^2}{2} \right)=0; \; \frac{x}{4}dx+ydy=0; \; dy=-\frac{xdx}{4y}.
$$
В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:
$$
F_{xx}^{""}=\frac{-5}{2}; \; F_{xy}^{""}=-10; \; dy=-\frac{dx}{2}.\\
d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=-\frac{5}{2}dx^2+10dx\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)-10\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)^2=\\
=-\frac{5}{2}dx^2-5dx^2-\frac{5}{2}dx^2=-10dx^2.
$$
Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:
$$
d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=\frac{\lambda}{4}dx^2+10\cdot dx\cdot \frac{-xdx}{4y} +\lambda\cdot \left(-\frac{xdx}{4y} \right)^2=\\
=\frac{\lambda}{4}dx^2-\frac{5x}{2y}dx^2+\lambda \cdot \frac{x^2dx^2}{16y^2}=\left(\frac{\lambda}{4}-\frac{5x}{2y}+\frac{\lambda \cdot x^2}{16y^2} \right)\cdot dx^2
$$
Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:
$$
d^2 F=\left(\frac{-10}{4}-\frac{10}{2}-\frac{10 \cdot 4}{16} \right)\cdot dx^2=-10dx^2.
$$
Так как $d^2F=-10\cdot dx^2 < 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$. Ответ
: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=6$. В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных. Способ определения
условного экстремума начинается с
построения вспомогательной функции
Лагранжа, которая в области допустимых
решений достигает максимума для тех же
значений переменных x
1
,
x
2
,
..., x
n
,
что и целевая функция z
.
Пусть
решается задача определения условного
экстремума функции
z = f (X)
при
ограничениях
φ
i
(
x
1
,
x
2
,
...,
x
n
) = 0,
i
= 1, 2, ...,
m
,
m
<
n
Составим функцию которая называется
функцией
Лагранжа
.
X
,
- постоянные множители (множители
Лагранжа
).
Отметим, что множителям Лагранжа можно
придать экономический смысл. Если f
(x
1
,
x
2
,
..., x
n
)
- доход,
соответствующий плану X
= (x
1
,
x
2
,
..., x
n
)
, а функция
φ
i
(x
1
,
x
2
,
..., x
n
)
- издержки
i-го ресурса, соответствующие этому
плану, то X
,
- цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая
изменение экстремального значения
целевой функции в зависимости от
изменения размера i-го ресурса (маргинальная
оценка). L(Х)
- функция n
+ m
переменных
(x
1
,
x
2
,
..., x
n
, λ
1
,
λ
2
,
..., λ
n
)
. Определение
стационарных точек этой функции приводит
к решению системы уравнений Легко заметить,
что
полученными путем
дифференцирования уравнений связи. Настройка
Поиск
решения
позволяет находить решение системы
нелинейных уравнений с двумя неизвестными: где
Известно,
что пара (x
,
y
)
является решением системы уравнений
(10) тогда и только тогда, когда она
является решением следующего уравнение
с двумя неизвестными: С
другой
стороны, решение системы (10) - это точки
пересечения двух
кривых:
f
]
(x
,
y
)
=
C
и
f
2
(х,
у) = С
2
на
плоскости ХО
Y
.
Из
этого следует метод нахождения корней
системы. нелинейных уравнений: Определить
(хотя бы приближенно) интервал
существования решения
системы уравнений (10) или уравнения
(11). Здесь необходимо
учитывать вид уравнений, входящих в
систему, область определения
каждого их уравнений и т. п. Иногда
применяется подбор
начального приближения решения; Протабулировать
решение уравнения (11) по переменным x
и y
на
выбранном интервале, либо построить
графики функций f
1
(x
,
y
)
=
С,
и f
2
(х,у)
= С
2
(система(10)). Локализовать
предполагаемые корни системы уравнений
- найти
несколько минимальных значений из
таблицы табулирование корней
уравнения (11), либо определить точки
пересечения кривых, входящих в систему
(10). 4. Найти
корни для системы уравнений (10) с помощью
надстройки
Поиск
решения.
Рассмотрим
задачу условной оптимизации, содержащую
только ограничения в виде равенств min при
наличии ограничений Эта
задача в принципе может быть решена
как задача безусловной оптимизации,
полученная путем исключения из целевой
функции m
независимых переменных с помощью
заданных равенств. Наличие ограничений
в виде равенств фактически позволяет
уменьшить размерность исходной задачи.
Новая задача может быть решена с помощью
подходящего метода безусловной
оптимизации. Пример
.
Требуется минимизировать функцию при
ограничении Исключив
переменную
минимизировать
, которую
можно решить одним из методов безусловной
оптимизации. Однако
метод исключения переменных применим
лишь в тех случаях, когда уравнения,
представляющие ограничения, можно
разрешить относительно некоторого
набора переменных. При наличии большого
числа ограничений в виде равенств
процесс исключения переменных становится
весьма трудоемкой процедурой. Кроме
того, возможны ситуации, когда уравнение
не удается разрешить относительно
переменной. В этом случае целесообразно
использовать метод множителей Лагранжа. С
помощью метода множителей Лагранжа по
существу устанавливаются необходимые
условия, позволяющие идентифицировать
точки оптимума в задачах оптимизации
с ограничениями в виде равенств. Рассмотрим задачу min при
наличии ограничений Из
курса математического анализа хорошо
известно, что точка условного минимума
функции
при
этом седловая точка должна обеспечивать
минимум по переменным
Решение
системы
Рассмотрим
задачу нелинейного программирования
с ограничениями в виде неравенств min при
ограничениях Сведем
ограничения в виде неравенств к
ограничениям-равенствам добавлением
к каждому из них ослабляющих переменных
Сформируем
функцию Лагранжа: Тогда
необходимые условия минимума принимают
вид Можно
умножить последнее уравнение на
Окончательно
получаем необходимые условия существования
минимума задачи нелинейного
программирования с ограничениями
неравенствами, которые называются
условиями Куна- Таккера: Ограничение
в виде неравенства
Уравнение
(3) означает, что либо
˗ это значения аргумента функции (управляемые параметры) на вещественной области при котором значение функции стремится к экстремуму. Применение названия «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие, которое ограничивает область допустимых значений при поиске экстремума функции.
и 
непрерывны вместе со своими частными производными, то существуют такие переменные λ не равные одновременно нулю, при которых выполняется следующее условие:
и 
, то в точке имеет место максимум.
, то в точке имеет место минимум.
минимум
, если же 
, то целевая функция f(x) имеет в данной точке условный максимум.
необходимо, чтобы угловые миноры функции были положительными . При таких условиях функция в этой точке имеет минимум.
, необходимо, чтобы угловые миноры функции чередовались, причем первый элемент матрицы должен быть отрицательнsv . При таких условиях функция в этой точке имеет максимум.
Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.
Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
Метод множителей Лагранжа для функций n переменных
Первый способ (метод множителей Лагранжа)
Второй способ
.
Таким образом, задача нахождения
условного экстремума функции z
= f (X)
сводится к нахождению локального
экстремума функции L(X)
.
Если стационарная точка найдена, то
вопрос о существовании экстремума в
простейших случаях решается на основании
достаточных условий экстремума -
исследования знака второго дифференциала
d
2
L(X)
в стационарной точке при условии, что
переменные приращения Δx
i
- связаны соотношениями
Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными с помощью средства Поиск решения
-
нелинейная функция от переменныхx
и
y
,
-
произвольная постоянная.
,
.
с помощью уравнения, получим оптимизационную
задачу с двумя переменными без
ограничений:
,
.
совпадает с седловой точкой функции
Лагранжа:
,
и максимум по параметрам
.
Эти параметры называются множителями
Лагранжа. Приравнивая частные производные
функции
по
и по
к нулю, получим необходимые условия
стационарной точки:
,
,
,
.
уравнений определяет стационарную
точку функции Лагранжа. Достаточные
условия существования минимума исходной
задачи содержат, кроме выше упомянутых,
положительную определенность матрицы
Гессе целевой функции.4.2. Условия куна - таккера
,
.
,
:
.
,
;
,
;
, 
.
и заменить ослабляющие переменные,
выразив их из второго уравнения. Второе
уравнение можно преобразовать, отбросив
ослабляющие переменные и переходя к
ограничениям-неравенствам. Следует
добавить еще одно условие
,
которое должно выполняться в точке
условного минимума.
,
;
(1)
,
;
(2)
,
;
(3)
,
.
(4)
называется активным в точке
,
если оно превращается в равенство
,
и называется неактивным, если
.
Если существует возможность обнаружить
до непосредственного решения задачи
ограничения, которые неактивны в точке
оптимума, то эти ограничения можно
исключить из модели и тем самым уменьшить
ее размеры.
,
либо
.
Если
,
то
и ограничение является активным и
представляет собой ограничение
равенство. С другой стороны, если
ограничение является строгим неравенством
,
то множитель Лагранжа будет иметь вид
т.е. ограничение
является неактивным и им можно пренебречь.
Конечно, предварительно не известно
какими ограничениями можно пренебречь.