• Главная
  •  > 
  • Советы
  •  > 
  • Системы счисления и перевод между ними. Двоичная система счисления

Системы счисления и перевод между ними. Двоичная система счисления

«Позиционные и непозиционные системы счисления» - Поэтому преимущественное применение получили позиционные системы счисления. На практике используют сокращенную запись чисел: А= anan-1 ... a1a0a-1... a-m. Основные недостатки непозиционных систем счисления: Примеры развернутой формы записи чисел в позиционных системах счисления. Например, умножить: XXXII и XXIV.

«Перевод систем счисления» - Перевод чисел из 10-ой системы счисления в 2-ую. 2E. 01. Десятичная. 2. Перевод целых чисел в 2, 8, 16-ю системы счисления. 1 способ. 8.

«Разные системы счисления» - Арифметические операции в двоичной СС. Правила сложения и умножения. Непозиционные системы счисления. Домашнее задание. Позиционные Системы счисления. Например, IX - обозначает 9, XI - обозначает 11. Система счисления. Практическое задание: Подведение итогов урока, домашнее задание. Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание.

«Запись систем счисления» - Непозиционные системы счисления. Да, можно: Позиционные системы счисления. Виды систем счисления. 333. Система счисления – это… Сухоногово 2005. … Способ записи чисел (1, 221, XIX, 10200). МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Муниципальная общеобразовательная Чернопенская средняя школа.

«Системы счисления урок» - Часы работают в двенадцатиричной СС. Двоичная арифметика (8 сс). А посуду, постельное белье мы считаем дюжинами (12 предметов). Число месяцев в году тоже равно 12. Перевод чисел из 2 сс в 10 сс? Как работает человек? . Представление информации. III, VVV. Перевод чисел из 10 сс в 2 сс? Урок 5. Системы счисления.

«Двоичная система» - Двоичная система счисления. Вильгельм Готфрид Лейбниц (1646-1716). Переведем число 121 в двоичную систему счисления. 1 способ – метод разностей. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... Любое десятичное число можно представить в виде суммы слагаемых ряда: Перевод целых десятичных чисел в двоичный код.

Всего в теме 13 презентаций

При переводе чисел из 2-ой в 16-ую систему счисления надо число разбить на триады (по четыре разряда) и записать каждую триаду соответствующей ей цифрой шестнадцатеричной системы счисления, недостающее число разрядов надо дополнить слева нулями.

Примеры:

1001 1110 2 = 9E 16

0010 0010 2 = 22 16

Двоичная СС Шестнадцатеричная СС
A
B
C
D
E
F

Перевод числа из 16-ой в 2-ую с. с.

Как видно из таблицы, каждая цифра в 16-ой с.с. соответствует четверке цифр в 2-ой с.с. Поэтому при переводе каждая цифра в 16-ричной записи числа заменяется соответствующей ей четверкой в 2-ой записи. Например:

251 8 =10 101 001 2 ,

11.Понятия и операции формальной логики.(таблица истинности)

Основные понятия и операции алгебры логики Формальной логикой принято называть античную логику, основанную Аристотелем. Это название происходит от основного принципа логики как науки, который гласит, что правильность рассуждения (умозаключения) определяется только его логической формой. Формами мышления являются: понятие, суждение, умоза­ключение. Понятие - форма мышления, отражающая существенные свойства предмета или класса однородных предметов. Харак­теризуется содержанием и объемом. Содержание понятия - те признаки предмета, которые позволяют отличить предмет от всех остальных. Объем понятия - множество предметов, каждому из которых принадлежат эти признаки. Суждение - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о наличии предмета, его свойствах и действиях. Характеризуется содержанием и формой. Содержанием суждения является его смысл. Форма - способ построения. Суждения бывают истинными и ложными. Умозаключение - форма мышления, в которой из одно­го или нескольких суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение (вывод, или за­ключение). Алгебра логики имеет приложения при синтезе релейно-контактных и электронных схем. В этой теории отвлекаются от содержания высказывания, а рассматривают только то его свойство, что оно представляет собой или истину, или ложь. Тогда высказывание можно рассматривать как величину, которая может принимать два значения: «истина» и «ложь». Высказывания обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, D ..., а их значения «Истина» или «Ложь» можно записывать как TRUE и FALSE, или Т и F, или 1 и 0, или И и Л. Примеры высказываний: «Луна - спутник Земли». «Все числа - целые».



Над высказываниями в алгебре логики определяются следующие основные логические операции:

Логическое отрицание (инверсия) - это логическая операция, применяемая к одному высказыванию. Высказыва­ние А есть высказывание, которое ложно, когда А истинно, и истинно, когда А ложно. Высказывание называется отрицанием А. Возможные обозначения отрицания: not А, не А.

Логическое умножение (конъюнкция) - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Возможные обозначения конъюнкции: A И В, А & В, A AND В, А·В, А U В, АВ.

Логическое сложение (дизъюнкция) - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний. Возможные обозначения дизъюнкции: А ИЛИ В, A OR В, А + В, А || В.

Логическое следование (импликация) - это высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Возможные обозначения импликации: А => В. -Эквивалентность - это высказывание истинно тогда и только тогда, когда А и В оба истинны или оба ложны. Возможные обозначения эквивалентности: А ~ В, А U В. Логические операции позволяют каждой формуле при за­данных значениях входящих в нее высказываний приписать одно из двух значений: 0 или 1.

Примеры решения задач на операции формальной логики.

В формальной длгике над высказываниями можно производить определенные логические операции. К таким логическим операциям относятся: логическое умножение (конъюнкция), логическое сложение (дизъюнкция), логическое отрицание (инверсия), логическое следование (импликация), логическое равенство (эквивалентность).

1. Операция, выражаемая связкой “и”, называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается знаком & (может также обозначаться знаками ^ или ). Высказывание А & В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Пример: Высказывание “10 делится на 2 и 5 больше 3” истинно, а высказывания “10 делится на 2 и 5 не больше 3”, “10 не делится на 2 и 5 больше 3”, “10 не делится на 2 и 5 не больше 3” ложны.

2. Операция, выражаемая связкой “или” (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Пример: Высказывание “10 не делится на 2 или 5 не больше 3” ложно, а высказывания “10 делится на 2 или 5 больше 3”, “10 делится на 2 или 5 не больше 3”, “10 не делится на 2 или 5 больше 3” истинны.

3. Операция, выражаемая словом “не”, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание A истинно, когда A ложно, и ложно, когда истинно.

Пример: «Луна - спутник Земли» (А истинно), «Луна - не спутник Земли» (А ложно).

4. Операция, выражаемая связками “если..., то”, “из... следует”, “... влечет...”, называется импликацией (лат. implico - тесно связаны) и обозначается знаком =>. Высказывание А => В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В - ложно. Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник - квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В). Рассмотрим составное высказывание А В, понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность”. Есть три варианта, когда высказывание А =>В истинно: А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность; А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника); A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

5. Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно...”, называется эквивалентностью или двойной импликацией и обозначается знаком <=> или ~ . Высказывание А <=> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Пример: высказывания “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”, “23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3” истинны, а высказывания “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”, “21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3” ложны.

Перевод чисел из двоичной сс в восьмеричную, шестнадцатеричную сс.

Цель: научиться переводить из двоичной сс в восьмеричную, шестнадцатеричную сс, минуя десятичную сс.

Задачи:

  1. составить алгоритм перевода из двоичной в восьмеричную
  2. составить алгоритм перевода из двоичной в шестнадцатеричную

План урока

  1. Актуализация знаний
  2. Теория
  3. Практика
  4. Контроль
  5. Рефлексия
  6. Оценивание

Конспект урока

1.Проверочная работа в течении 10 минут на раздатках

Ответы: А1 - 2; А2 – 2; А3 - 3; А4 – 4; В1 – 8-ная; В2 - САВ.

Перевести числа из одной системы счисления в другую

Теперь, поменяйтесь с соседом по парте листочком. На экране, вы видите правильные варианты ответов. Проверьте данный вам листочек. Выставьте оценки в соответствии со шкалой на экране.

2. Попробуйте ответить на вопрос “Можно ли переводить из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления, минуя десятичную?”

Варианты ответов: Да можно/ Нет нельзя.

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2 n ), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 2 1 ), восьмеричной (q = 2 3 ) и шестнадцатеричной (q = 2 4 ) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

2 = 2 i . Так как 2 = 2 1 , то i = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2 i . Так как 8 = 2 3 , то i = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 101001 2 в восьмеричное:

101 001 2 => 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 => 51 8 .

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Двоичные триады

Восьмеричные цифры

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А 2 = 0,110101 2 в восьмеричную систему счисления:

Двоичные триады

Восьмеричные цифры

Получаем: А 8 = 0,65 8 .

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

16 = 2 i . Так как 16 = 2 4 , то i = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцате-ричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А 2 = 101001 2 в шестнадцатеричное:

Двоичные тетрады

0010

1001

Шестнадцатеричные цифры

В результате имеем: А 16 = 29 16 .

Переведем дробное двоичное число А 2 =0,110101 2 в шестнадцатеричную систему счисления:

Двоичные тетрады

1101

0100

Шестнадцатеричные цифры

Получаем: А 16 = 0,D4 16 .

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А 8 = 0,47 8

Восьмеричные цифры

Двоичные триады

Получаем: А 2 = 0,100111 2 .

Переведем целое шестнадцатеричное число А 16 = АВ 16 в двоичную систему счисления:

Шестнадцатеричные цифры

Двоичные тетрады

1010

1011

В результате имеем: А 2 = 10101011 2

3. 3адания

1.17. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие целые числа: 1111 2 , 1010101 2 .

1.18. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие дробные числа: 0,01111 2 , 0,10101011 2 .

1.19. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие числа: 11,01 2 , 110,101 2 .

1.20. Перевести в двоичную систему счисления следующие числа: 46,27 8 , ЕF,12 16 .

1.21. Сравнить числа, выраженные в различных системах счисления: 1101 2 и D 16 ; 0,11111 2 и 0,22 8 ; 35,63 8 и 16,С 16 .

Литература

http://www.5byte.ru/11/0006.php

Шаблон для проверки своих знаний

Фамилия, Имя ______________________________

А1. Вычислите значение суммы в десятичной СС:

10 2 + 10 4 + 10 6 + 10 8 = ?

1. 22

2. 20

3. 18

4. 24

А2. Двоичным эквивалентом числа 60 является:

1. 111100

2. 10110

3. 110

4. 110101

А3. Сколько единиц содержит двоичная запись числа 25?

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

А4. В системе с некоторым основанием число 17 записывается как

101. Укажите это основание.

1. 2

2. 3

3. 4

4. 8

В1. В коробке 31 шар. Из них 12 красных и 17 желтых.

В какой системе счисления такое возможно?

В2. Даны 3 числа. Поставьте их в порядке убывания.

А = 203 4 В = 10101 2 С = 135 6

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Ответы: А1 - 2; А2 – 1; А3 - 3; А4 – 3; В1 – 8-ная; В2 - САВ.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления. Цель: научиться переводить из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления, минуя десятичную.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение: 2 = 2 i . Так как 2 = 2 1 , то i = 1 бит. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации. Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение: 8 = 2 i . Так как 8 = 2 3 , то i = 3 бита.

Триады Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. Решаем показательное уравнение: 16 = 2 i . Так как 16 = 2 4 , то i = 4 бита. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Тетрады для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру.

Задания 1.17 Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие целые числа: 1111 2 , 1010101 2 . 1.18. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие дробные числа: 0,01111 2 , 0,10101011 2 . 1.19. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие числа: 11,01 2 , 110,101 2 . 1.20. Перевести в двоичную систему счисления следующие числа: 46,27 8 , ЕF,12 16 . 1.21. Сравнить числа, выраженные в различных системах счисления: 1101 2 и D 16 ; 0,11111 2 и 0,22 8 ; 35,63 8 и 16,С 16 .


Системы счисления 2

Двоичная система счисления 3

Контрольная работа. 5

Перевод чисел из 10-ой системы счисления в двоичную 8

Самостоятельная работа 12

Решение примеров на перевод. 13

Контрольная работа. 14

Системы счисления

Каждый день мы с вами используем слова «число» и «цифра». А что означают эти слова?

Определение: Цифра – это символ, участвующий в записи числа.

Под числом будем понимать его величину, а не его символьную запись. Число изображается несколькими символами (цифрами) некоторого алфавита.

Определение: Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел; способ представления числа символами некоторого алфавита (цифрами).

Системы счисления делятся на:

непозиционные

позиционные

Определение: Непозиционной называется такая система счисления, в которой величина числа не зависит от положения цифры в числе, т.е. число определяется как сумма или разность цифр в числе.

Например: римская система счисления.

Определение: Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Например: десятичная система счисления.

История развития систем счисления

Группы систем счисления

I. Анатомического происхождения:

II. Алфавитные:

    славянская

    древнеармянская

    древнегрузинская

    древнегреческая (ионическая)

III. Машинные:

IV. Прочие:

    вавилонская (60-ная)

  1. египетская

Домашнее задание: написать реферат.

Для подготовки реферата – литература:

    Мир чисел

    Энциклопедии

    История математики в России

    «За страницами учебника математики»

    Я познаю мир

План реферата:

      Где была распространена, как развивалась и где сохранилась.

    1. Примеры записи чисел.

      Использованная литература.

Двоичная система счисления

Алфавит: 0,1.

Свойства сложения: 0+0=0

При сложении необходимо учитывать возможные переносы единиц из младших разрядов в старшие.

А) +10101 б) +1001 в) +1101 г) +110111

1010 1010 1011 11010

11111 10011 11000 1010001

д) +101011 е) +100001

11101 110010

Примеры для самостоятельного решения раздаются на карточках. Отдельно записаны ответы. Необходимо решить примеры и найти соответствие между номерами примеров и номерами ответов.

    10010011+1011011=11101110 7

    10110111+10011011=101010010 2

    10011101+11101101=110001010 9

    10010111+1011100=11110011 15

    11101001+10011101=110000110 1

    11010011+11011011=110101110 11=6

    11001011+11011011=110100110 8

    11101111+10111111=110101110 6=11

    10101010+11001100=101110110 12

10) 10110011+1010101=100001000 4

11) 110011001+111011101=1101110110 14

12) 100110011+101110111=1010101010 3

13) 110111011+101010101=1100010000 16

14) 110111011+110110110=1101110001 10

15) 11011101+100110011=1000010000 5

16) 101110110+101100111=1011011101 13

Записать на полях тетради: 1+1=10

Домашнее задание: Те примеры, которые не успели решить в классе. Часть примеров проверяется у доски, остальные по номерам ответов.

Вычитание в двоичной системе счисления

      Повторить свойства сложения.

      Свойства вычитания: 1-0=1

      Примеры разбираются у доски учителем:

А) -100010 б) -100001 в) –1010001 г) - 1010100

101 110 101 1011

11101 11011 1001100 1001001

д) -100111 е) - 100100 ж) - 110011 з) - 101110

10111 10111 11101 11010

10000 1101 10110 10100

и) - 10011101 к) - 10111011

1101101 1011101

      Примеры для самостоятельного решения.

Примеры раздаются на карточках. Варианты возможных ответов записываются на доске.

Нужно найти соответствие между множеством примеров и множеством ответов.

К доске для решения примеров вызываются слабые ученики.

Вычитание всегда можно проверить сложением.

    10110011-10001000=101011 3

    11001100-10111011=10001 8

    110101110-10111111=11101111 11

    110100110-11001011=11011011 4

    110101110-11011011=11010011 6

    110000110-10011101=11101001 1

    11110011-10010111=1011100 7

    101001010-11101101=1011101 10

    101010010-10011011=10110111 5

10) 11101110-1011011=10010011 9

11) 1010111001-11101110=111001011 12

12) 111110101-10110111=100111110 2

Домашнее задание: примеры, которые не успели в классе.

Умножение в двоичной системе счисления

    Что такое система счисления?

    Назовите системы счисления анатомического происхождения?

    Объясните анатомическое происхождение 5-ой, 10-ой, 12-ой, 20-ой систем счисления?

    Где и как сегодня используются 12-ая, 60-ая, 20-ая системы счисления?

    Почему возникновение 10-ой системы счисления считается одним из важнейших достижений человеческой мысли?

    Какова причина того, что 10-ая система счисления стала общепринятой?

    Правильно ли называть цифры 10-ой системы счисления арабскими?

    Какие системы счисления называются позиционными и непозиционными?

    Римская система счисления: чем она удобна, правила записи чисел, где используется?

II.Повторение сложения и вычитания:

    10101+101=11010 5) 1010100-11=1010001

    11010+1011=100101 6) 1010001-101=1001100

    10101+1011=100000 7) 100000-1011=10101

    1010100+111=1011011 8) 100010-101=11101

III. Свойства умножения: 0*0=0

А) *1011 б) *10001 в) *11010 г) *11001

11 11 101 1101

1011 10001 11010 11001

1011 10001 11010 11001

100001 110011 10000010 11001

IV. Примеры для самостоятельного решения.

    111101*111101=111010001001 2

    100001*111111=100000011111 11

    111110*100010=100000111100 12

    100011*111101=100001010111 6

    111100*100100=100001110000 3

    100101*11011=1111100111 7

    111010*100110=100010011100 10

    100111*111011=100010101111 4

    111000*101000=100011000000 8

10) 101001*110111=100011001111 5

11) 110110*101010=100011011100 9

12) 101011*110101=100011100111 1

Контрольная работа.

Проверить примеры №10-12 из домашнего задания.

    10010011+1011011=11101110

    11101001+10011101=110000110

    10010111+1011100=11110011

    11001011+11011011=110100110

    10101010+11001100=101110110

    100001000-10110011=1010101

    110101110-10111111=11101111

    11011011-1101011=1110000

    11110011-10010111=1011100

10) 101010010-10011011=10110111

11) 100001*111111=100000011111

12) 100011*111101=100001010111

13) 100101*111011=100010000111

14) 100111*111001=100010101111

15) 101001*110111=100011001111

    1011101+11101101=101001010

    10110111+10011011=101010010

    11010011+11011011=110101110

    11101111+10111111=110101110

    10110011+1010101=100001000

    11001100-1011101=1101111

    11001011-1101001=1100010

    110000110-10011101=11101001

    101001010-10011011=10101111

    11101110-1011011=10010011

    111110*100010=100000111100

    111100*100100=100001110000

    111010*100100=100000101000

    111000*101000=100011000000

    110110*101010=100011011100

Домашнее задание: повторить все правила.

Деление в двоичной системе счисления

I. Повторить свойства и правила сложения и вычитания.

У доски: 1101011+11011=

1110100-11=1110001

111100*111110=111010001000

101111*110001=100011111111

II. Сначала разбираем у доски.

А) 100001/11 б) 10000010/1101 0

11 1011 1101 101

11 1101

в) 11001100/11 0

11 100010

III.Примеры для самостоятельного решения:

    11100110101:101101=101001 9

    100011111100:110010=101110 10

    100011001111:110111=101001 9

    100001110000:111100=100100 11

    111010000101:111111=111011 6

    101000100101:110101=110001 2

    100011110111:101101=110011 1

    111010001001:111101=111101 8

    11111100101:101011=101111 4

10) 100011011100:110110=101010 5

11) 1110100001000:111100=111110 3

12) 101111001101:110101=111001 12

13) 100011111111:101111=110001 2

14) 100010000111:111011=100101 7

15) 101011110101:110111=110011 1

IV. Домашнее задание: примеры №9-12.

Решение примеров на умножение и деление

    Проверить домашнее задание

    Решение примеров:

    101001*101101=11100110101

    101110*110010=100011111100

    110111*101001=100011001111

    100100*111100=100001110000

    111111*111011=111010000101

    111110*100010=100000111100

    111010*100110=100010011100

    111000*10100=10001100000

И примеры №13-15 (предыдущего урока)

Перевод чисел из 10-ой системы счисления в двоичную

Повторить правила операций сложения, умножения в двоичной системе счисления.

    Объяснить, что все системы счисления связаны между собой. Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

    Записать в словари алгоритмы и примеры.

Алгоритм перевода целого числа:

      Делить данное число и получаемые неполные частные на 2 до тех пор, пока не получили неполное частное равное 0

      Составить число в двоичной системе счисления, записывая остатки от деления, начиная с последнего остатка.

10 5/2

1 4 2/2

1 2 1/2

Алгоритм перевода дробной части:

    Дробную часть умножаем на 2 до тех пор, пока в правой части не получим 0, или не будет достигнута необходимая точность вычислений.

    Составить число, записывая его начиная с первой целой части.

0,5625 10 = 0,1001 2

Алгоритм перевода смешанных чисел

    Отдельно перевести целую и дробную части

    Записать результат.

17,25 10 = 10001,01 2 12,24 10 = 1100,0011 2

17 10 = 10001 2 12 10 =1100 2

Решение примеров:

    513 10 =1000000001 2

    600 10 =1001011000 2

    602 10 =1001011010 2

    1000 10 =11111010001 2

Перевод чисел из 10-ой системы счисления в двоичную

Алгоритмы перевода целых, дробных, смешанных чисел из 10-ой системы счисления в двоичную.

      Решение примеров.

А) 1) 2304 10 = 100100000000 2

2) 5001 10 = 1001110001001 2

3) 7000 10 = 1101101011000 2

4) 8192 10 = 10000000000000 2

б) 5) 0,4622 10 =0,011101 2

6) 0,5198 10 = 0,100001 2

7) 0,5803 10 = 0,100101 2

8) 0,6124 10 = 0,100111 2

9) 0,7351 10 = 0,101111 2

10) 0,7982 10 = 0,110011 2

11) 0,8544 10 = 0,110110 2

12) 0,9321 10 = 0,111011 2

В) III. Домашнее задание

13) 40,5 10 = 101000,1 2

14) 31,75 10 = 11111,11 2

15) 124,25 10 = 1111100,01 2

16) 173,2 10 = 10101101,00110

17)33,28 10 = 100001,010001 2

Перевод чисел из любой системы счисления в 10-ую

Правила перевода чисел из 10-ой системы счисления в любую другую.

Что такое основание системы счисления?

    Перевод в 10-ую систему счисления осуществляется по степенному ряду.

Любое число в 10-ой системе счисления можно представить в следующем виде:

284 10 = 2*100+8*10+4*1= 2*10 2 +8*10 1 +4*10 0 =284 10

Это и есть представление числа в виде степенного ряда.

Все цифры числа умножаем на степень десятки, так как число в 10-ой системе счисления.

Давайте представим в этом виде число 2102 3 , оно записано в 3-ой системе счисления, значит будем каждую цифру числа умножать на степень числа 3:

1) 2102 3 = 2*3 3 +1*3 2 +0*3 1 +2*3 0 =54+9+0+2=65 10

Алгоритм: само число представляем в виде суммы произведений степеней основания системы счисления на цифры числа.

    Решение примеров:

1) 1101011 2 = 2 6 *1+2 5 *1+2 4 *0+2 3 *1+2 2 *0+2 1 *1+2 0 =107 10

2) 6104 8 = 8 3 *6+8 2 *1+8 1 *0+8 0 *4=3140 10

3) 29 16 =16 1 *2+16 0 *9=41 10

4) 128 16 = 16 2 *1+16 1 *2+16 0 *8=296 10

5) 4226 8 = 2198 10

6) 101011 2 = 43 10

9)11111 2 = 31 10

10)6234 16 = 25140 10

    Восьмеричная система счисления.

    Вспомнить особенности 2-ой системы счисления.

    Записать в словари алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7

    Заполнить таблицу:

        Перевести числа из 10-ой системы счисления в 8-ую.

    2. 1023 10 = 1777 8

      1500 10 = 2734 8

      1777 10 = 3361 8

        Сформулировать правила арифметических операций в 8-ой системе счисления и решить примеры.

    1) 770 8 + 236 8 = 1226 8

    2) 715 8 + 373 8 =1310 8

    3) 524 8 + 57 8 =603 8

    4) 712 8 +763 8 =1675 8

    5) 3217 8 +765 8 =4204 8

        Самостоятельная работа. 8) 7213 8 -537 8 =6454 8

    6)5731 8 +1376 8 =7327 8 9) 7125 8 -756 8 =6157 8

    7) 6351 8 +737 8 =7310 8 10) 531 8 -452 8 =57 8

    Арифметические операции в 8-ой системе счисления

        Повторить алфавит 8-ой системы счисления.

    Правила перевода чисел из 10-ой системы счисления в 8-ую.

    Правила арифметических операций.

        Решение примеров.

      776472+ 763342=1762034

      532661+257721=1012602

      354243+467566=1044031

      432077+645662=1277761

      273462-156777=114463

      700056-365762=312074

      300064-212373=65471

      2101,01-735,4567=1143,3311

    Шестнадцатеричная система счисления

Правила перевода, правила арифметических операций.

II. Записать в словарь алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

III. Заполнить таблицу.

IV. Перевести числа в 16-ую систему счисления.

  2. 1023 10 = 3FF 16

    1500 10 = 5DC 16

    1777 10 = 6F1 16

    Решить примеры

    207 16 +3d4 16 =5db

    118 16 +da 16 =1f2

    a25 16 +b9df 16 =c404

    Домашнее задание

2) 3914 10 =f4a 16

4) 6403 10 =1903 16

7) d2c+9797=a4c3

8) 2ca9+b62f=e2d8

VII. Перевести числа из одной системы счисления в другую

1) 2b 16 = 43 10

2) 623e 16 =25150 10

3) 1000 16 = 4096 10

4) 12f 16 = 303 10

5) 3842 10 =182 16

6) 573 10 =23d 16

7) 975 10 =6f 16

Самостоятельная работа

I вариант.

Перевести:

1) 31,5 10 =11111,1 2

2) 124,25 10 =1111100,01 2

3) 489 10 =751 8

4) 2277 10 =8e5 16

5) 110011 2 =51 10

6) 11010 2 =26 10

7) 7512 8 =3914 10

8) fad 16 =4013 10

9) 2749 10 =5275 8

10) 114 8 =76 10

II вариант.

Перевести:

1) 40,75 10 =101000,11 2

2) 173,5 10 =10101101,1 2

3) 141 10 =215 8

4) 2377 10 =949 16

5) 10011 2 =19 10

6) 110101 2 =53 10

7) 5327 8 =2775 10

8) abc 16 =2748 10

9) 2750 10 =5276 8

10) 115 8 =77 10

11) f2c7 16 -bcb 16 =e6fc 16

12) a4c3 16 -d2c 16 =9797 16

13) 7f10 16 -5fac 16 =1f64 16

14) abc 16 +e57 16 =1913 16

15) a39 16 +19bc 16 =23f5 16

11) ae53 16 -cf8 16 =a15b 16

12) e2d8 16 -2ca9 16 =b62f 16

13) a2fd 16 -fda 16 =9323 16

14) fad 16 +b86 16 =1b33 16

15) 9e6 16 +b16f 16 =bb55 16

Перевод чисел из 2-ой системы счисления в 8-ную и 16-ную

I Работа над ошибками

1) 3915 10 =f4b 16

2) 623e 16 =251501 10

3) 45 10 =101101 2

4) 4226 8 =2198 10

5) 101100 2 =44 10

6)110 2 *1101 2 =1001110 2

    Правила перевода целой и дробной части из 10-ой системы счисления в 2-ую

    Правила перевода чисел из 8-ой, 2-ой, 16-ой в 10-ую систему счисления.

II Алгоритм:

Для того, чтобы любое двоичное число перевести в систему счисления с основанием q=2 n , нужно:

      данное двоичное число разбить слева и справа от запятой на группы по n цифр в каждой.

      если в последних правой и левой группах окажется меньше n цифр, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа цифр

      рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n .

III Решение примеров:

    10100010010110 2 =24226 8

    10110011011011 2 =26333 8

    11100110101001 2 =34651 8

    1111011110100 2 =17364 8

    110001000111110 2 =61076 8

    110101011 2 =653 8

    1100111000010 2 =14702 8

    1100111011111001 2 =

Перевод чисел из 8-ой, 16-ой систем счисления в 2-ую.

Все правила перевода!

II Алгоритм:

Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2 n перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в 2-ой системе счисления.

Например:

    4ac35 16 =01001010110000110101 2

    41035 8 =100001011101 2

III Решение примеров:

    e69fd1d 16 =1110011010011111110100011101 2

    f7a0 16 =1111011110100000 2

    ae5d73b 16 =1010111001011101011100111011 2

    2a10 16 =10101000010000 2

    1234 8 =001010011100 2

    1234 16 =0001001000110100 2

    f1f72 16 =11110001111101110010 2

    2856 16 =0010100001010110 2

Решение примеров на перевод.

    алгоритм перевода из 10-ой системы счисления в любую другую

    алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в 10-ую

    алгоритм перевода из 8-ой и 16-ой систем счисления в 2-ную

    алгоритм перевода из 2-ой в 8-ую и 16-ую системы счисления

    сформулировать правила сложения в 16-ой системе счисления

    сформулировать правила вычитания в 8-ой системе счисления.

II Решение примеров:

  1. 4820 10 =11324 8

    4820 10 =12d4 16

  3. 11100110101 2:101001 2 =101101 2

    11100 2 *10110 2 =1001101000 2

    110011 2 *1011 2 =1000110001 2

    111010000101 2:111111 2 =111011 2

10)f1a5 16 =1111000110100101 2 =170645 8

Контрольная работа.

I вариант.

  2. 293 10 =100100101 2

  3. 111100110101 2 =7465 8 =f35 16

    b26a 16 =1011001001101010 2 =131152 8

    a15b 16 +cf8 16 =ae53 16

    9323 16 +fda 16 =a2fd 16

    110101 2 *110001 2 =101000100101 2

10) 100011011100 2:101010 2 =110110 2

11) 4204 8 -765 8 =3217 8

12) 1310 8 -715 8 =373 8

II вариант.

  2. 107 10 =1101011 2

  3. 100011111100 2 =4374 8 =8fc 16

    f7ce 16 =1111011111001110 2 =173716 8

    e6fc 16 +bcb 16 =f2c7 16

    1f64 16 +5fac 16 =7f10 16

    110011 2 *101101 2 =100011110111 2

10) 100010011100 2:111010 2 =100110 2

11) 1675 8 -712 8 =763 8

а) из 10–ой с/с в 2–ую систему счисления: 165; 541; 600; 720; 43,15; 234,99.

б) из 2–ой в 10–ую систему счисления: 110101 2 ; 11011101 2 ; 110001011 2 ; 1001001,111 2

в) из 2–ой с/с в 8–ую,16–ую с/с:

100101110 2 ; 100000111 2 ; 111001011 2 ; 1011001011 2 ; 110011001011 2 ; 10101,10101 2 ; 111,011 2

г) из 10–ой с/с в 8–ую, 16–ую с/с: 69; 73; 113; 203; 351; 641; 478,99; 555,555

д) из 8–ой с/с в 10–ую с/с: 35 8 ; 65 8 ; 215 8 ; 327 8 ; 532 8 ; 751 8 ; 45,454 8

е) из 16–ой с/с в 10–ую с/с: D8 16 ; 1AE 16 ; E57 16 ; 8E5 16 ; FAD 16 ; AFF,6A7 16

2. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим чсловым промежуткам:

3. Выполнить операции:

а) сложение в двоичной системе счисления

10010011 2 + 1011101 2 + 10110011 2 +10111001,1 2

1011011 2 11101101 2 1010101 2 10001101,1 2

б) вычитание в 2–ой системе счисления

– 100001000 2 – 110101110 2 – 11101110 2 -10111001,1 2

10110011 2 10111111 2 1011011 2 10001101,1 2

в) умножение в 2–ой системе счисления

´ 100001 2 ´ 100101 2 ´ 111101 2 ´ 11001,01 2

111111 2 111011 2 111101 2 11,01 2

г) деление в 2–ой системе счисления

1) 111010001001 2 / 111101 2

2) 100011011100 2 / 110110 2

3) 10000001111 2 / 111111 2

д) сложение 8–ых чисел

715 8 + 524 8 + 712 8 + 321 8 + 5731 8 + 6351 8

73 8 57 8 763 8 765 8 1376 8 737 8

е) вычитание 8–ых чисел

– 137 8 – 436 8 – 705 8 – 538 8 – 7213 8

72 8 137 8 76 8 57 8 537 8

ж) сложение 16–ых чисел

А13 16 + F0B 16 + 2EA 16 + ABC 16 + A2B 16

16F 16 1DA 16 FCE 16 C7C 16 7F2 16

з) вычитание 16–ых чисел

– À17 16 – DFA 16 – FO5 16 – DE5 16 – D3C1 16

1FС 16 1AE 16 AD 16 AF 16 D1F 16

4. Вычислите выражение:

(1111101 2 + AF 16) / 36 8 ; 125 8 + 11101 2 ´ A2 16 / 1417 8

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1. Системы счисления

Система счисления, или просто счисление, или нумерация,- набор конкретных знаков–цифр вместе с системой приемов записи, которая представляет числа этими цифрами.

Цель работы – приобретение навыков выполнения операций в различных системах счисления.

Основные понятия систем счисления

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: .

Различают два типа систем счисления:

Позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

Непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где - основание системы счисления;

Цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n - количество разрядов числа.

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр -– 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1.

Таблица 1. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
A
B
C
D
E
F

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 2. Степени числа 2

n

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 3.4. Степени числа 8

n

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 3. Степени числа 16

n

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.