Преобразуване на 8 в двоичен код. Учебен комплекс вт
Цели на урока:
- повторете изучения материал по темата за числовата система;
- да се научат да преобразуват число от десетичната система във всяка друга позиционна бройна система и обратно;
- овладяват принципите на преобразуване на числата от една система в друга;
- развиват логическо мислене.
Напредък на урока
В началото на урока кратък преглед и проверка на домашната работа.
В каква форма се представя цифровата информация в компютърната памет?
За какво се използват бройните системи?
Какви видове бройни системи познавате? Дайте собствени примери.
Как се различават позиционните системи от непозиционните системи?
Целта на нашия урок е да научим как да конвертираме число от десетична системакъм всяка друга позиционна бройна система и обратно. Но първо ще разгледаме как можете
представлява всяко неотрицателно цяло число:
IN позиционни системистойността на записване на цяло число се определя от следното правило: нека a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 е запис на число A и i са цифри, тогава
където p е цяло число, по-голямо от 1, което се нарича основа на бройната система
За да може за дадено p всяко неотрицателно цяло число да бъде записано съгласно формула (1) и освен това по уникален начин, числови стойности различни числатрябва да са различни цели числа, принадлежащи към интервала от 0 до p-1.
1) Десетична система
числа: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
число 5735 = 5 10 3 +7 10 2 +3 10 1 +8 10 0
2) Тройна система
числа: 0,1,2
число 201 3 = 2·3 2 +0·3 1 +1·3 0
Забележка: долният индекс в числото показва основата на бройната система, в която е записано числото. За десетичната бройна система не е необходимо индексът да се записва.
Представяне на отрицателни и дробни числа:
Във всички позиционни системи знакът „–“ се използва за запис на отрицателни числа, точно както в десетичната система. Запетая се използва за разделяне на цялата част от числото от дробната част. Стойността на записа a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 , a -1 a -2 …a m-2 a m-1 a m на числото A се определя от формулата, която е обобщение на формула (1):
75,6 = 7·10 1 +5·10 0 +6·10 –1
–2,314 5 = –(2 5 0 +3 5 –1 +1 5 –2 +4 5 –3)
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична:
Трябва да се разбере, че при превод на число от една бройна система в друга, количествената стойност на числото не се променя, а само формата на записване на числото се променя, точно както при превода на името на число, например от руски на английски.
Преобразуването на числа от произволна бройна система в десетична се извършва чрез директно изчисление, като се използва формула (1) за цели числа и формула (2) за дроби.
Преобразуване на числа от десетична бройна система в произволна бройна система.
Преобразуването на число от десетичната система в система с основа p означава намиране на коефициентите във формула (2). Понякога е лесно да се направи прост избор. Например, да кажем, че трябва да преобразувате числото 23,5 в осмичната система. Лесно се вижда, че 23,5 = 16+7+0,5 = 2·8+7+4/8 = 2·8 1 +7·8 0 +4·8 –1 =27,48. Ясно е, че отговорът не винаги е толкова очевиден. По принцип се използва методът за отделно преобразуване на целите и дробните части на числото.
За преобразуване на цели числа се използва следният алгоритъм (получен на базата на формула (1)):
1. Намерете частното и остатъка при деление на число на p. Остатъкът ще бъде следващата цифра ai (j=0,1,2 ...) от въведеното число нова системаОтчитане.
2. Ако частното е равно на нула, тогава преводът на числото е завършен, в противен случай прилагаме точка 1 към частното.
Забележка 1. Цифрите ai в числовия запис са номерирани отдясно наляво.
Забележка 2. Ако p>10, тогава е необходимо да се въведат обозначения за числа с числени стойности, по-големи или равни на 10.
Преобразувайте числото 165 в септалната бройна система.
165:7 = 23 (остатък 4) => a 0 = 4
23:7 = 3 (остатък 2) => a 1 = 2
3:7 = 0 (остатък 3) => a 2 = 3
Нека запишем резултата: a 2 a 1 a 0 , т.е. 3247.
След като проверихме с формула (1), ще се уверим, че преводът е правилен:
3247=3·7 2 +2·7 1 +4·7 0 =3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165.
За преобразуване на дробни части от числа се използва алгоритъм, получен въз основа на формула (2):
1. Умножете дробна частчисла на стр.
2. Цялата част от резултата ще бъде следващата цифра am (m = –1, –2, –3 ...) от записването на числото в новата бройна система. Ако дробната част на резултата е нула, тогава преводът на числото е завършен, в противен случай прилагаме стъпка 1 към него.
Забележка 1. Цифрите a m в числовия запис са подредени отляво надясно в нарастващ ред на абсолютната стойност на m.
Бележка 2. Обикновено броят на дробните цифри в нов записбройките са предварително ограничени. Това ви позволява да извършите приблизителен превод с определена точност. В случай на безкрайни дроби такова ограничение осигурява крайността на алгоритъма.
Преобразувайте числото 0,625 в двоична системаОтчитане.
0,625 2 = 1,25 ( цяла част 1) => a -1 =1
0,25 2 = 0,5 (цяла част 0) => a- 2 = 0
0,5 2 = 1,00 (цяла част 1) => a- 3 = 1
Така че 0,62510 = 0,1012
След като проверихме с формула (2), ще се уверим, че преводът е правилен:
0,1012=1·2 -1 +0·2- 2 +1·2 -3 =1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Преобразувайте числото 0,165 в кватернерната бройна система, като я ограничите до четири кватернерни цифри.
0,165 4 = 0,66 (цяла част 0) => a -1 =0
0,66 4 = 2,64 (цяло число 2) => a -2 = 2
0,64 4 = 2,56 (цяло число 2) => a -3 = 2
0,56 4 = 2,24 (цяло число 2) => a -4 = 2
Така че 0,16510" 0,02224
нека го направим обратен преводза да се гарантира, че абсолютната грешка не надвишава 4–4:
0,02224 = 0·4 -1 +2·4 -2 +2·4 -3 +2·4 -4 = 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
|0,1640625–0,165| = 0,00094 < 4–4 = 0,00390625
Преобразуване на числа от една произволна система в друга
В този случай първо трябва да преобразувате числото в десетичната система, а след това от десетичната система в необходимата.
Използва се специален метод за преобразуване на числа за системи с множество бази.
Нека p и q са основите на две бройни системи. Ще наричаме тези системи бройни системи с множество бази, ако p = qn или q = pn, където n е естествено число. Така например бройните системи с основи 2 и 8 са системи с множество бази.
Нека p = qn и трябва да преобразувате число от бройна система с основа q в бройна система с основа p. Нека разделим цялата и дробната част на числото на групи от n последователно записани цифри отляво и отдясно на десетичната запетая. Ако броят на цифрите в цялата част на числото не е кратен на n, тогава трябва да добавите съответния брой нули отляво. Ако броят на цифрите в дробната част на числото не е кратно на n, тогава отдясно се добавят нули. Всяка такава група от цифри е число в стара системаномер ще съответства на една цифра от число в новата бройна система.
Нека преобразуваме 1100001,111 2 в кватернерната бройна система.
Като добавим нули и изберем двойки числа, получаваме 01100001.11102.
Сега нека преведем всяка двойка цифри поотделно, като използваме раздела Превод на числа от една произволна система в друга.
И така, 1100001,1112 = 01100001,11102 = 1201,324.
Нека сега приемем, че трябва да преминем от система с по-голяма основа q към система с по-малка база p, т.е. q = pn. В този случай на една цифра от число в старата бройна система отговарят n цифри от число в новата бройна система.
Пример: Да проверим предишния превод на число.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
IN шестнадесетична системаима числа с числени стойности 10,11,12, 13,14,15. За да ги обозначите, използвайте първите шест букви от латинската азбука A, B, C, D, E, F.
Ето таблица с числата от 0 до 16, записани в бройни системи с основи 10, 2, 8 и 16.
| Число в десетична система | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| В осмичен | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
| В двоичен код | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
| В шестнадесетичен | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | А | б | В | г | д | Е | 10 |
За да пишете шестнадесетични цифри, можете да използвате и малки латински букви a-f.
Пример: Нека преобразуваме числото 110101001010101010100.11 2 в шестнадесетична бройна система.
Нека използваме кратността на основите на бройните системи (16=2 4). Нека групираме числата по четири, като добавим необходимия брой нули отляво и отдясно
000110101001010101010100,1100 2
и, проверявайки таблицата, получаваме: 1A9554,C 16
Заключение:
В коя бройна система е най-добре да се пишат числата е въпрос на удобство и традиция. От техническа гледна точка е удобно да се използва двоичната система в компютър, тъй като тя използва само две цифри 0 и 1 за запис на число, което може да бъде представено с две лесно разграничими състояния „няма сигнал“ и „има сигнал."
Напротив, за човек е неудобно да се занимава с двоични числа поради факта, че те са по-дълги от десетичните числа и в тях има много повтарящи се цифри. Ето защо, ако е необходимо, работете с машинни представяния на числа, използвайте осмични или шестнадесетични бройни системи. Основите на тези системи са цели степени на две и следователно числата лесно се преобразуват от тези системи в двоични и обратно.
Запишете домашното:
а) Запишете датите на раждане на всички членове на вашето семейство в различни бройни системи.
б) Преобразувайте числата от двоични в осмични и шестнадесетични и след това проверете резултатите, като извършите обратните преобразувания:
а) 1001111110111,011 2;
Калкулаторът ви позволява да конвертирате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на бройната система не може да бъде по-малка от 2 и по-голяма от 36 (10 цифри и 26 латински буквив крайна сметка). Дължината на числата не трябва да надвишава 30 знака. За да въведете дробни числа, използвайте символа. или, . За да конвертирате число от една система в друга, въведете оригиналното число в първото поле, основа оригинална системаномер във второто и основата на бройната система, в която искате да преобразувате числото в третото поле, след което щракнете върху бутона "Вземи запис".
Оригинален номер написана на 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.
Искам да напиша число 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.
Вземете вход
Завършени преводи: 1363703
Бройни системи
Бройните системи са разделени на два вида: позиционенИ не позиционно. Използваме арабската система, тя е позиционна, но има и римска система - тя не е позиционна. В позиционните системи позицията на цифра в число еднозначно определя стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като се разгледа някакво число като пример.
Пример 1. Нека вземем числото 5921 в десетичната бройна система. Нека номерираме числото отдясно наляво, започвайки от нула:
Числото 5921 може да се запише в следния вид: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Числото 10 е характеристика, която определя бройната система. Стойностите на позицията на дадено число се приемат като степени.
Пример 2. Помислете за реалното десетично число 1234.567. Нека го номерираме, като започнем от нулева позициячисла от десетичната запетая отляво и отдясно:
Числото 1234.567 може да се запише в следната форма: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
Повечето по прост начинпреобразуването на число от една бройна система в друга означава първо да преобразувате числото в десетична бройна система, а след това получения резултат в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
За да преобразувате число от която и да е бройна система в десетична, е достатъчно да номерирате цифрите му, като започнете с нула (цифрата вляво от десетичната запетая) подобно на примери 1 или 2. Нека намерим сумата от произведенията на цифрите на числото по основата на бройната система на степен на позицията на тази цифра:
1.
Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетичната бройна система.
Решение: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
отговор: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Преобразувайте числото E8F.2D 16 в десетичната бройна система.
Решение: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
отговор: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числата от десетичната бройна система в друга бройна система, целите и дробните части на числото трябва да се преобразуват отделно.
Преобразуване на цяла част от число от десетична бройна система в друга бройна система
Една цяла част се преобразува от десетична бройна система в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система, докато се получи цял остатък, който е по-малък от основата на бройната система. Резултатът от превода ще бъде запис на остатъка, като се започне от последния.
3.
Преобразувайте числото 273 10 в осмичната бройна система.
Решение: 273/8 = 34 и остатък 1. 34/8 = 4 и остатък 2. 4 е по-малко от 8, така че изчислението е завършено. Записът от балансите ще изглежда така: 421
преглед: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, резултатът е същият. Това означава, че преводът е направен правилно.
отговор: 273 10 = 421 8
Помислете за превода на правилните десетични дроби в различни системиОтчитане.
Преобразуване на дробната част на число от десетичната бройна система в друга бройна система
Припомнете си, че се нарича правилна десетична дроб реално число с нулева цяла част. За да преобразувате такова число в бройна система с основа N, трябва последователно да умножите числото по N, докато дробната част стане нула или се получи необходимия брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част не се взема предвид допълнително, тъй като тя се въвежда последователно в резултата.
4.
Преобразувайте числото 0,125 10 в двоичната бройна система.
Решение: 0,125·2 = 0,25 (0 е цялата част, която ще стане първата цифра на резултата), 0,25·2 = 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5·2 = 1,0 (1 е третата цифра на резултата и тъй като дробната част е нула, тогава преводът е завършен).
отговор: 0.125 10 = 0.001 2
Бележка 1
Ако искате да преобразувате число от една бройна система в друга, тогава е по-удобно първо да го преобразувате в десетичната бройна система и едва след това да я преобразувате от десетичната бройна система във всяка друга бройна система.
Правила за преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична
IN компютърни технологии, използвайки машинна аритметика, важна роля играе преобразуването на числата от една бройна система в друга. По-долу даваме основните правила за такива трансформации (преводи).
Когато преобразувате двоично число в десетично, трябва да представите двоично числопод формата на полином, всеки елемент от който е представен като произведение на цифра от число и съответната степен на основното число, в в този случай$2$ и след това трябва да изчислите полинома, като използвате правилата на десетичната аритметика:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Фигура 1. Таблица 1
Пример 1
Преобразувайте числото $11110101_2$ в десетичната бройна система.
Решение.Използвайки дадената таблица с $1$ степени на основата $2$, представяме числото като полином:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
За да преобразувате число от осмичната бройна система в десетичната бройна система, трябва да го представите като полином, всеки елемент от който е представен като произведение на цифра от числото и съответната степен на основното число, в това случай $8$ и след това трябва да изчислите полинома според правилата на десетичната аритметика:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Фигура 2. Таблица 2
Пример 2
Преобразувайте числото $75013_8$ в десетичната бройна система.
Решение.Използвайки дадената таблица с $2$ степени на основата $8$, представяме числото като полином:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
За да преобразувате число от шестнадесетично в десетично, трябва да го представите като полином, всеки елемент от който е представен като произведение на цифра от числото и съответната степен на основното число, в този случай $16$, и след това трябва да изчислите полинома според правилата на десетичната аритметика:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Фигура 3. Таблица 3
Пример 3
Преобразувайте числото $FFA2_(16)$ в десетичната бройна система.
Решение.Използвайки дадената таблица с $3$ степени на основата $8$, представяме числото като полином:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Правила за преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга
- За да преобразувате число от десетичната бройна система в двоичната система, то трябва да бъде последователно разделено на $2$, докато остане остатък, по-малък или равен на $1$. Число в двоичната система се представя като последователност от последния резултат от деленето и остатъците от делението в обратен ред.
Пример 4
Преобразувайте числото $22_(10)$ в двоичната бройна система.
Решение:
Фигура 4.
$22_{10} = 10110_2$
- За да преобразувате число от десетичната бройна система в осмична, то трябва да бъде последователно разделено на $8$, докато остане остатък, по-малък или равен на $7$. Число в осмичната бройна система се представя като поредица от цифри от последния резултат от деленето и остатъците от делението в обратен ред.
Пример 5
Преобразувайте числото $571_(10)$ в осмичната бройна система.
Решение:
Фигура 5.
$571_{10} = 1073_8$
- За да преобразувате число от десетичната бройна система в шестнадесетичната система, то трябва последователно да бъде разделено на $16$, докато остане остатък, по-малък или равен на $15$. Число в шестнадесетичната система се представя като поредица от цифри от последния резултат от деленето и остатъка от делението в обратен ред.
Пример 6
Преобразувайте числото $7467_(10)$ в шестнадесетична бройна система.
Решение:
Фигура 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
За да се преобразува правилна дроб от десетична бройна система в недесетична бройна система, е необходимо последователно да се умножи дробната част на числото, което се преобразува, по основата на системата, към която трябва да се преобразува. Фракциите в новата система ще бъдат представени като цели части от продукти, като се започне от първата.
Например: $0,3125_((10))$ в осмична бройна система ще изглежда като $0,24_((8))$.
В този случай може да срещнете проблем, когато крайна десетична дроб може да съответства на безкрайна (периодична) дроб в недесетичната бройна система. В този случай броят на цифрите във фракцията, представена в новата система, ще зависи от необходимата точност. Трябва също да се отбележи, че целите числа си остават цели числа, а правилните дроби си остават дроби във всяка бройна система.
Правила за преобразуване на числа от двоична бройна система в друга
- За да преобразувате число от двоична бройна система в осмична, то трябва да бъде разделено на триади (тройки цифри), като започнете с най-малката цифра, ако е необходимо, като добавите нули към водещата триада, след което заменете всяка триада със съответната осмична цифра съгласно таблица 4.
Фигура 7. Таблица 4
Пример 7
Преобразувайте числото $1001011_2$ в осмичната бройна система.
Решение. Използвайки таблица 4, преобразуваме числото от двоичната бройна система в осмична:
$001 001 011_2 = 113_8$
- За да преобразувате число от двоична бройна система в шестнадесетична, то трябва да бъде разделено на тетради (четири цифри), като започнете с най-малката цифра, ако е необходимо, като добавите нули към най-значимата тетрада, след което заменете всяка тетрада със съответната осмична цифра съгласно таблица 4.
Резултатът вече е получен!
Бройни системи
Има позиционни и непозиционни бройни системи. Арабската бройна система, която използваме в ежедневието, е позиционен, но Роман не е. В позиционните бройни системи позицията на числото еднозначно определя големината на числото. Нека разгледаме това на примера на числото 6372 в десетичната бройна система. Нека номерираме това число отдясно наляво, започвайки от нула:
Тогава числото 6372 може да бъде представено по следния начин:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Числото 10 определя бройната система (в случая е 10). Стойностите на позицията на дадено число се приемат като степени.
Помислете за реалното десетично число 1287,923. Нека го номерираме, започвайки от нула, позицията на числото от десетичната запетая наляво и надясно:
Тогава числото 1287.923 може да бъде представено като:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Най-общо формулата може да бъде представена по следния начин:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
където C n е цяло число на позиция п, D -k - дробно числов позиция (-k), s- бройна система.
Няколко думи за бройните системи Числото в десетичната бройна система се състои от много цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), в осмичната бройна система то се състои от много цифри. (0,1, 2,3,4,5,6,7), в двоичната бройна система - от набор от цифри (0,1), в шестнадесетичната бройна система - от набор от цифри (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), където A,B,C,D,E,F съответстват на числата 10,11, 12,13,14,15 В таблицата табл.1 са представени числата в различни системиОтчитане.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Нотация | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | б |
| 12 | 1100 | 14 | В |
| 13 | 1101 | 15 | г |
| 14 | 1110 | 16 | д | 15 | 1111 | 17 | Е |
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
За да преобразувате числа от една бройна система в друга, най-лесният начин е първо да преобразувате числото в десетичната бройна система и след това да преобразувате от десетичната бройна система в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
Използвайки формула (1), можете да преобразувате числа от произволна бройна система в десетична бройна система.
Пример 1. Преобразувайте числото 1011101.001 от двоична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Пример2. Преобразувайте числото 1011101.001 от осмична системанотация (SS) до десетична SS. Решение:
Пример 3 . Преобразувайте числото AB572.CDF от шестнадесетична бройна система в десетична SS. Решение:
тук А-заменен с 10, б- на 11, В- на 12, Е- до 15.
Преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числа от десетичната бройна система в друга бройна система, трябва да преобразувате поотделно цялата част от числото и дробната част от числото.
Цялата част на числото се преобразува от десетична SS в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система (за двоична SS - на 2, за 8-дневна SS - на 8, за 16 -ary SS - с 16 и т.н. ), докато се получи цял остатък, по-малък от основата CC.
Пример 4 . Нека преобразуваме числото 159 от десетичен SS в двоичен SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Както се вижда от фиг. 1, числото 159, когато е разделено на 2, дава частното 79 и остатъка 1. Освен това, числото 79, когато е разделено на 2, дава частното 39 и остатъка 1 и т.н. В резултат на това, конструирайки число от остатъци от деление (отдясно наляво), получаваме число в двоичен SS: 10011111 . Следователно можем да напишем:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Нека преобразуваме числото 615 от десетичен SS в осмичен SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Когато преобразувате число от десетична SS в осмична SS, трябва последователно да разделите числото на 8, докато получите цяло число, по-малко от 8. В резултат на това, конструирайки число от остатъци от деление (отдясно наляво), получаваме число в осмичен SS: 1147 (виж Фиг. 2). Следователно можем да напишем:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Нека преобразуваме числото 19673 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Както може да се види от фигура 3, чрез последователно разделяне на числото 19673 на 16, остатъците са 4, 12, 13, 9. В шестнадесетичната бройна система числото 12 съответства на C, числото 13 - D. Следователно нашето шестнадесетично число- това е 4CD9.
За да преобразувате обикновени десетични дроби (реално число с нулева цяло число) в бройна система с основа s, трябва дадено числопоследователно умножаваме по s, докато дробната част стане чиста нула, или получим необходимия брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава тази цяла част не се взема предвид (те се включват последователно в резултата).
Нека разгледаме горното с примери.
Пример 7 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.214 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Както се вижда от фиг. 4, числото 0,214 се умножава последователно по 2. Ако резултатът от умножението е число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част се записва отделно (отляво на числото), а числото се записва с нулева цяла част. Ако резултатът от умножението е число с нулева цяла част, тогава вляво от него се записва нула. Процесът на умножение продължава, докато дробната част достигне чиста нула или получим необходимия брой цифри. Изписвайки удебелени числа (фиг. 4) отгоре надолу, получаваме търсеното число в двоичната бройна система: 0. 0011011 .
Следователно можем да напишем:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Нека преобразуваме числото 0,125 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.125 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.0 |
За да преобразувате числото 0,125 от десетична SS в двоична, това число се умножава последователно по 2. В третия етап резултатът е 0. Следователно се получава следният резултат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.
| 0.214 | ||
| х | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| х | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| х | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| х | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| х | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| х | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следвайки примери 4 и 5, получаваме числата 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадесетичния SS числата 12 и 11 съответстват на числата C и B. Следователно имаме:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Пример 10 . Нека преобразуваме числото 0,512 от десетичната бройна система в осмична SS.
| 0.512 | ||
| х | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| х | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| х | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.728 |
получено:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Нека преобразуваме числото 159.125 от десетичната бройна система в двоична SS. За целта превеждаме поотделно цялата част на числото (Пример 4) и дробната част на числото (Пример 8). По-нататъшно комбиниране на тези резултати получаваме:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Нека преобразуваме числото 19673,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS. За целта превеждаме поотделно цялата част на числото (Пример 6) и дробната част на числото (Пример 9). Освен това, комбинирайки тези резултати, получаваме.
За да преобразувате бързо числата от десетичната бройна система в двоичната система, трябва да имате добри познания за числата „2 на степен“. Например 2 10 =1024 и т.н. Това ще ви позволи да решите някои примери за превод буквално за секунди. Една от тези задачи е Задача A1 от демонстрацията на USE 2012. Можете, разбира се, да отнеме много и досадно време, за да разделите число на „2“. Но е по-добре да решите различно, спестявайки ценно време на изпита.
Методът е много прост. Същността му е следната: ако числото, което трябва да се преобразува от десетичната система, е равно на числото "2 на степен", то това число в двоичната система съдържа брой нули, равни на степента. Добавяме "1" пред тези нули.
- Нека преобразуваме числото 2 от десетичната система. 2=2 1 . Следователно в двоичната система числото съдържа 1 нула. Поставяме "1" отпред и получаваме 10 2.
- Нека преобразуваме 4 от десетичната система. 4=2 2 . Следователно в двоичната система числото съдържа 2 нули. Поставяме "1" отпред и получаваме 100 2.
- Нека преобразуваме 8 от десетичната система. 8=2 3 . Следователно в двоичната система числото съдържа 3 нули. Поставяме "1" отпред и получаваме 1000 2.
По същия начин за други числа "2 на степен".
Ако числото, което трябва да се преобразува, е по-малко от числото „2 на степен“ с 1, тогава в двоичната система това число се състои само от единици, чийто брой е равен на степента.
- Нека преобразуваме 3 от десетичната система. 3=2 2 -1. Следователно в двоичната система числото съдържа 2 единици. Получаваме 112.
- Нека преобразуваме 7 от десетичната система. 7=2 3 -1. Следователно в двоичната система числото съдържа 3 единици. Получаваме 111 2.
На фигурата квадратчетата показват двоично представянечисла, а отляво в розово е десетичната запетая.
Преводът е подобен за други числа "2 на степен-1".
Ясно е, че преводът на числата от 0 до 8 може да се извърши бързо или чрез разделяне, или просто да се знае наизуст тяхното представяне в двоичната система. Дадох тези примери, за да разберете принципа този методи го използва за превод на по-"впечатляващи числа", например за превод на числата 127,128, 255, 256, 511, 512 и т.н.
Можете да срещнете такива проблеми, когато трябва да преобразувате число, което не е равно на числото „2 на степен“, но е близко до него. Може да е по-голямо или по-малко от 2 на степен. Разликата между преведеното число и числото "2 на степен" трябва да е малка. Например до 3. Представянето на числата от 0 до 3 в двоичната система просто трябва да се знае без превод.
Ако числото е по-голямо от , тогава го решаваме по следния начин:
Първо преобразуваме числото „2 на степен“ в двоичната система. И тогава добавяме към него разликата между числото „2 на степен“ и числото, което се превежда.
Например, нека преобразуваме 19 от десетичната система. то повече брой„2 на степен“ от 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Ако числото е по-малко от числото "2 на степен", тогава е по-удобно да използвате числото "2 на степен-1". Решаваме го така:
Първо преобразуваме числото „2 на степен 1“ в двоичната система. И след това изваждаме от него разликата между числото „2 на степен 1“ и числото, което се превежда.
Например, нека преобразуваме 29 от десетичната система. То е по-голямо от числото „2 на степен-1“ с 2. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Ако разликата между числото, което се превежда, и числото "2 на степен" е повече от три, тогава можете да разделите числото на неговите компоненти, да конвертирате всяка част в двоичната система и да добавите.
Например, преобразувайте числото 528 от десетичната система. 528=512+16. Ние превеждаме 512 и 16 отделно.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Сега нека го добавим в колона:
