• У дома
  •  > 
  • Безопасност
  •  > 
  • Графичен метод за решаване на задачи онлайн. Графичен метод за решаване на задачи по линейно програмиране

Графичен метод за решаване на задачи онлайн. Графичен метод за решаване на задачи по линейно програмиране

Пример 6.1.

Решение:

Задачата за линейно програмиране е дадена в стандартна форма и следователно има два проектни параметъра

Възможно е да се реши с помощта на геометричния метод.

Етап 1: ( ODR ).

Разгледайте първото ограничение, заменете знака за неравенство със знак за равенство и изразете променливата x2през x1:

.

По същия начин определяме точките за останалите ограничения на системата и от тях изграждаме прави линии, съответстващи на всяко неравенство (фиг. 1). Номерираме редовете според приетата по-рано схема.

Етап 2: .

Нека дефинираме полуравнини - решения на всяко от неравенствата.

Нека разгледаме първото неравенство на системата за ограничения на проблема. Да вземем някаква точка (контролна точка), която не принадлежи на линията, съответстваща на това неравенство, например точка (0; 0). Нека го заместим в разглежданото неравенство:

При заместване на координати контролна точканеравенството остава справедливо. Следователно наборът от точки, принадлежащи на тази линия (тъй като неравенството не е строго), както и тези, разположени под него, ще бъдат решения на разглежданото неравенство (нека маркираме на графиката (фиг. 1) намерената половина -равнина с две стрелки, сочещи надолу до линията аз ) .

По същия начин определяме решенията на други неравенства и съответно ги отбелязваме на графиката. В резултат на това графиката ще изглежда така:

Етап 3: .

Намерените полуравнини (решения на всяко от неравенствата на системата от ограничения) образуват многоъгълник при пресичане ABCDEO, което е ODD на разглеждания проблем.

Ориз. 1. Площ допустими решениязадачи

Етап 4:
Градиентният вектор показва посоката на максимизиране целева функция. Да определим координатите му: координатите на началната му точка (точка на приложение) – (0; 0), координатите на втората точка:

Нека начертаем този вектор върху графиката (фиг. 2).

Етап 5: .

Нека разгледаме обективната функция на този проблем:

.

Нека му дадем някаква стойност, например, . Нека изразим променливата x2през x1:

.

За да построим права линия, използвайки това уравнение, ще посочим две произволни точки, например:

Да построим права линия, съответстваща на целевата функция (фиг. 2).

Ориз. 2. Конструиране на целевата функция F(X) и градиентния вектор C

Етап 6: определяне на максимума на целевата функция.

Преместване по права линия Е(х) успореден на себе си по посока на градиентния вектор, определяме крайната точка (точки) на ODR. Според графиката (фиг. 3), такава точка е точка C - точката на пресичане на линиите аз И II .

Ориз. 3. Определяне на максималната точка на целевата функция F(X)

Нека да определим координатите на точка C, като за целта решаваме следната система от линейни уравнения:

Нека заместим намерените координати в целевата функция и намерим нейната оптимална (максимална) стойност:

Отговор:при дадени ограничения максималната стойност на целевата функция Е(х)=24, което се постига в точка C, чиито координати x1=6, x2=4.

Пример 6.2.Решете проблема с линейното програмиране, като използвате геометричния метод:

Решение:

Етапи 1-3 са подобни на съответните етапи от предишната задача.
Етап 4: изграждане на градиентен вектор.
Изграждането на градиентния вектор се извършва по същия начин, както в предишната задача. Нека начертаем този вектор върху графиката (фиг. 4). Отбелязваме също тази диаграмастрелката е посоката, противоположна на градиентния вектор – посоката на минимизиране на целевата функция Е (х).

Етап 5: изграждане на директна целева функция.

Построяване на пряка целева функция Е(х) се извършва по същия начин, както в предишната задача (резултатът от конструирането е показан на фиг. 4).

Ориз. 4. Построяване на целевата функция F(x) и градиентния вектор C

Етап 6: определяне на оптимума на целевата функция.

Преместване по права линия Е(х) успореден на себе си в посока, обратна на градиентния вектор, определяме крайната точка (точки) на ODR. Според графиката (фиг. 5) такава точка е точка O с координати (0; 0).

Ориз. 5. Определяне на точката на минимум на целевата функция

Замествайки координатите на минималната точка в целевата функция, ние определяме нейната оптимална (минимална) стойност, която е равна на 0.
Отговор:при дадени ограничения минимална стойностцелева функция Е(х)=0, което се достига в точка O (0; 0).

Пример 6.3.Решете следната задача на линейното програмиране, като използвате геометричния метод:

Решение:

Разглежданата задача за линейно програмиране е дадена в канонична форма, ние избираме като основни променливи х 1 И х2 .

Нека създадем разширена матрица и я изберем с помощта на метода Йордан-Гаусосновни променливи х1 И х 2 .

Умножете (елемент по елемент) първия ред по –3 и го добавете към втория:
.

Умножете втория ред по:

.

Нека добавим втория ред към първия ред:

.

В резултат на това системата от ограничения ще приеме следната форма:

Нека изразим основните променливи чрез свободни:

Нека също изразим целевата функция по отношение на свободни променливи; за да направим това, заместваме получените стойности на основните променливи в целевата функция:

Нека напишем получената задача за линейно програмиране:

Тъй като променливите х1 И х2 неотрицателна, тогава получената система от ограничения може да бъде записана в следната форма:

Тогава първоначален проблемможе да се запише под формата на следния еквивалент стандартна задачалинейно програмиране:

Този проблем има два проектни параметъра, следователно може да бъде решен с помощта на геометричния метод.

Етап 1: изграждане на прави линии, ограничаващи зоната на приложимите решения ( ODR ).

Нека разгледаме системата от ограничения на задачата за линейно програмиране (за удобство номерираме неравенствата):

Нека построим прави, съответстващи на всяко неравенство (фиг. 6). Номерираме правите линии според приетата по-рано схема.

Етап 2: определяне на решението на всяко от неравенствата на системата от ограничения.

Чрез контролни точки определяме полуравнини - решения на всяко от неравенствата и ги маркираме на графиката (фиг. 6) със стрелки.

Етап 3: определяне на ODD на задача на линейно програмиране.

Намерените полуравнини (т.е. решения на всяко от неравенствата на ограничителната система) нямат общо пресичане (така че решенията на неравенството I като цяло противоречат на останалите неравенства на ограничителната система), следователно ограничителната система е непоследователна и следователно проблемът с линейното програмиране няма решение.

Ориз. 6. Фрагмент от документ на MathCAD:

изграждане на регион от възможни решения на проблем

Отговор:Разглежданата задача за линейно програмиране няма решение поради несъгласуваност на системата от ограничения.

Ако след заместване на координатите на контролната точка в неравенството, неговият смисъл е нарушен, тогава решението на това неравенство е полуравнина, която не съдържа тази точка (т.е. разположена от другата страна на линията).

Посоката, противоположна на градиентния вектор, съответства на посоката на минимизиране на целевата функция.

Най-простият и визуален метод за решаване на задача с линейно програмиране (LPP) е графичният метод. Базира се на геометричната интерпретация на проблема с линейното програмиране и се използва за решаване на ZLP с две неизвестни:

Ще разгледаме решението на този проблем в самолет. Всяко неравенство на системата от функционални ограничения геометрично определя полуравнина с гранична линия a p x, + + a j2 x 2 = b n i = 1, T.Условията за неотрицателност определят полуравнини с гранични линии Х (= 0, х 2= 0 съответно. Ако системата е непротиворечива, то полуравнините, пресичайки се, образуват обща част, която е изпъкнало множество и представлява набор от точки; координатите на всяка от тези точки са решение на тази система. Множеството от тези точки се нарича полигон за решение.Може да бъде точка, отсечка, лъч, ограничен или неограничен многоъгълник.

Геометрично ZLP е намиране на ъглова точка на многоъгълника на решението, чиито координати осигуряват максималната (минималната) стойност на линейната целева функция,Освен това всички точки от многоъгълника на решението са допустими решения.

Линейно уравнение описва набор от точки, лежащи на една права. Линейно неравенствоописва някакъв регион в равнината.

Нека определим коя част от равнината описва неравенството 2x (+ 3x 2 12.

Първо, нека построим права линия 2x, + Zx 2 = 12. Минава през точките (6; 0) и (0; 4). Второ, определяме коя полуравнина удовлетворява неравенството. За да направите това, изберете всяка точка от графиката, която не принадлежи на линията, и заменете нейните координати в неравенството. Ако неравенството е в сила, тогава дадена точкае допустимо решение и полуравнината, съдържаща точката, удовлетворява неравенството. Удобно е да се използва началото на координатите за заместване в неравенството. Да заместим x ( = x 2 = 0 към неравенство 2x, + 3x 2 12. Получаваме 2 0 + 3 0

По подобен начин можете графично да изобразите всички ограничения на проблем с линейно програмиране.

Решението на всяко неравенство на ограничителната система ZLP е полуравнина, съдържаща граничната линия и разположена от едната й страна. Пресечната точка на полуравнини, всяка от които се определя от съответното неравенство на системата, се нарича област на осъществими решения(ODR) или област на дефиниция.

Трябва да се помни, че областта на допустимите решения отговаря на условията за неотрицателност (Xj > 0, j = 1, П).Координатите на всяка точка, принадлежаща към домейна на дефиниция, са валидно решение на проблема.

За да намерите екстремната стойност на целевата функция при графично решаване на ZLP, използвайте градиентен вектор,чиито координати са частични производни на целевата функция:

Този вектор показва посоката на най-бързата промяна на целевата функция. Направо c [ x l + c 2 x 2 = f(x 0),перпендикулярен на градиентния вектор е линия на нивоцелева функция (фиг. 2.2.2). Във всяка точка на линията на нивото целевата функция приема същата стойност. Нека приравним целевата функция към постоянна стойност А.Промяна на смисъла а,получаваме семейство от успоредни прави, всяка от които е линия на ниво на целевата функция.


Ориз. 2.2.2.

Важно свойство на линията на ниво линейна функцияе, че когато линията е успоредно изместена на една страна, нивото е само се увеличаваа при преместване на другата страна – само намалява.

Графичен методрешението на ПЧП се състои от четири етапа:

  • 1. Построена е областта на допустимите решения (ADA) на PLP.
  • 2. Градиентният вектор на целевата функция (TF) се конструира с начало в точката х 0(0; 0): V = (s, от 2).
  • 3. Линия на нивото CjXj + c 2 x 2 = a (a -постоянна стойност) - права линия, перпендикулярна на вектора на градиента V, - се движи в посоката на вектора на градиента в случай на максимизиране на целевата функция f(x v x 2)докато напусне ODR. При минимизиране /(*, х 2)линията на нивото се движи в посока, обратна на градиентния вектор. Крайната точка (или точки) на ODR по време на това движение е максималната (минималната) точка f(x pjc 2).

Ако правата линия, съответстваща на линията на нивото, не напуска ODR по време на движението си, тогава минимумът (максимумът) на функцията f(x p x 2) не съществува.

Ако линията на нивото на целевата функция е успоредна на функционалното ограничение на задачата, при която оптимална стойност CF, тогава оптималната стойност на CF ще бъде постигната във всяка точка на това ограничение, разположена между две оптимални ъглови точки, и съответно всяка от тези точки е оптималното решение на ZLP.

4. Определят се координатите на максималната (минималната) точка. За да направите това, достатъчно е да решите система от уравнения на линии, които дават максимална (минимална) точка на пресечната точка. Значение f(x ( , x 2),намерена в резултатната точка е максималната (минималната) стойност на целевата функция.

Възможни ситуации графично решение PAPs са представени в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Тип ODR

Тип оптимално решение

Ограничен

Единственото решение

Безкрайни решения

Неограничен

CF не е ограничен отдолу

CF не е ограничен отгоре

Единственото решение

Безкрайни решения

Единственото решение

Безкрайни решения

Пример 2.2.1. Планиране на производството на шивашко предприятие (проблем за костюми).

Предвижда се да бъдат пуснати два вида костюми - мъжки и дамски. За един женски костюм са необходими 1 м вълна, 2 м лавсан и 1 човеко-ден труд; за мъже - 3,5 м вълна, 0,5 м лавсан и 1 човекоден труд. Общо има 350 м вълна, 240 м лавсан и 150 човекодни труд.

Необходимо е да се определи колко костюма от всеки тип трябва да бъдат ушити, за да се осигури максимална печалба, ако печалбата от продажбата на дамски костюм е 10 ден. единици, а от мъже - 20 ден. единици Трябва да се има предвид, че е необходимо да се ушият поне 60 мъжки костюма.

Икономически и математически модел на задачата

Променливи: Х, - брой дамски костюми; х 2 -брой мъжки костюми.

Целева функция:

Ограничения:

Първото ограничение (на вълна) има формата x (+ 3.5x 2 x ( + 3.5x 2 = 350 минава през точките (350; 0) и (0; 100). Второто ограничение (според lavsan) има формата 2x (+ 0,5x 2 2x x + 0,5x 2 = 240 минава през точките (120; 0) и (0; 480). Третото ограничение (на труда) има формата x y + x 2 150. Направо x ( + x 2 = 150 минава през точките (150; 0) и (0; 150). Четвъртото ограничение (за броя на мъжките костюми) има формата х 2> 60. Решението на това неравенство е полуравнината, лежаща над правата x 2 = 60.

В резултат на пресичането на построените четири полуравнини се получава многоъгълник, който е областта на допустимите решения на нашата задача. Всяка точка от този многоъгълник удовлетворява и четирите функционални неравенства и за всяка точка извън този многоъгълник поне едно неравенство ще бъде нарушено.

На фиг. 2.2.3 областта на възможните решения (ADA) е защрихована. За да определим посоката на движение към оптимума, ние конструираме вектор-градиент V, чиито координати са частични производни на целевата функция:

За да конструирате такъв вектор, трябва да свържете точката (10; 20) с началото. За удобство можете да конструирате вектор, пропорционален на вектора V. Така на фиг. 2.2.3 показва вектора (30; 60).

След това ще изградим линия на ниво 10xj + 20x 2 = А.Нека приравним целевата функция към постоянна стойност А.Промяна на смисъла А, получаваме семейство от успоредни прави, всяка от които е линия на ниво на целевата функция.

Графичният метод за решаване на ZLP се основава на твърденията, дадени в параграф 2.1. Съгласно теорема 2, оптимално решениее в горната част на областта на допустимите решения и следователно решаване на ZLP - намиране на върха на областта на допустимите решения, чиито координати дават оптималната стойност на целевата функция.

Графичният метод се използва за решаване на ограничен клас проблеми с две променливи, понякога с три променливи. Трябва да се отбележи, че за три променливи тази област не е достатъчно ясна.

Алгоритъм за графичния метод за решаване на задачи

Ще разгледаме прилагането на графичния метод за решаване на ZLP с помощта на примери.

Пример 2.2.1. Решете ZLP графично:

(2.2.1)

макс z=х 1 + 4х 2 (2.2.2)

Решение.За да конструираме област от възможни решения, която се състои от пресичане на полуравнини, съответстващи на всяко неравенство на системата от ограничения (2.2.1), записваме уравненията на граничните прави линии:

л 1: х 1 + 5х 2 = 5; л 2: х 1 + х 2 = 6; л 3: 7х 1 + х 2 = 7.

л 1 на формата (2.2.3.) разделяме двете му части на 5:
. Така, направо л 1 реже по ос о 1 5 единици, на ос о 2 1 единица. По същия начин имаме за л 2:
И л 3:
.

За да определите полуравнини, които отговарят на ограниченията на системата (2.2.1), трябва да замените координатите на всяка точка, която не лежи на граничната линия, в ограниченията. Ако получим истинско неравенство, то всички точки от тази полуравнина са решения на това неравенство. В противен случай изберете друга полуравнина.

Така първата и втората желани полуравнини са разположени в обратна посока от началото на координатите (0 – 5 0 - 5; 7 0 + 0 7), а втората – към началото на координатите (0 + 0 6). Областта на осъществимите решения на фигура 2.2.1 е защрихована.

Фигура 2.2.1 – Област на осъществими решения

За да намерите оптималния план, който ще бъде разположен на върха на многоъгълника на решението, трябва да конструирате вектор от посоки
=(с 1 ,с 2), което показва посоката на най-голямото увеличение на целевата функция z=с 1 х 1 +с 2 х 2 .

В тази задача векторът на посоката
= (1, 4): започва от точката ОТНОСНО(0,0) и завършва в точката н(1, 4).

След това изграждаме права линия, която минава през областта на възможните решения, перпендикулярна на вектора, и се нарича линия на целево ниво функции. Преместваме линията на нивото по посока на вектора в случай на максимизиране на целевата функция zи в обратната посока, в случай на минимизиране z, до последното пресичане с областта на възможните решения. В резултат се определя точката или точките, където целевата функция достига екстремна стойност или се установява неограничеността на целевата функция zвърху набора от решения на проблема.

По този начин максималната точка на целевата функция zе точката Апресичания на линии л 2 и л 3 .

Да се ​​изчисли оптималната стойност на целевата функция z намерете координатите на точкатаА . Тъй като точкатаА е пресечната точка на линиител 2 ил 3, тогава неговите координати удовлетворяват система от уравнения, съставена от уравненията на съответните гранични линии:



Така че точкатаА има координатих 1 =1/6, х 2 = 35/6.

За да изчислите оптималната стойност на целевата функция, трябва да замените координатите на точката в неяА .

Заместване на координатите на точкатаА в целевата функция (2.4), получаваме

макс z = 1/6 + 4·(35/6) = 47/2.

Пример 2.2.2. Конструирайте в равнината областта на възможните решения на системата от линейни неравенства (2.2.4) и намерете най-големите и най-малките стойности на целевата функция (2.2.5):

(2.2.4)

z= –2х 1 –х 2 (2.2.5)

Решение.За да конструираме област от възможни решения, която се състои от пресичане на полуравнини, съответстващи на всяко неравенство на системата от ограничения (2.2.4), записваме уравненията на граничните прави линии:

л 1: 4х 1 – х 2 = 0; л 2: х 1 + 3х 2 = 6; л 3: х 1 – 3х 2 = 6; л 4: х 2 = 1.

Направо л 1 минава през точката с координати (0;0). За да го конструираме, ние изразяваме х 2 чрез х 1: х 2 = 4х 1 . Нека намерим друга точка, през която минава правата л 1, например (1;4). През точката с координати (0;0) и точката с координати (1;4) прекарваме права линия л 1 .

Да се ​​намали уравнението на права линия л 2 до формата на сегменти по осите (2.2.3), разделяме двете му части на 6:
. Така, направо л 2 разфасовки по оста о 16 единици, на ос о 2 - 2 единици. По същия начин имаме за л 3:
и Директно л 4 успоредно на оста о 1 и минава през точката с координати (0;1) .

За да се определят полуравнини, които отговарят на ограниченията на системата (2.2.4), е необходимо да се заменят координатите на всяка точка, която не лежи на граничната линия в ограниченията. Поради ограничениях 1 0, х 2 0, областта на допустимите решения на ZLP лежи в първата четвърт на координатната равнина.

ОТНОСНО
областта на осъществимите решения на фигура 2.2.2 е защрихована.

Фигура 2.2.2 – Област на осъществими решения

Нека построим вектор от посоки
= (–2,–1). След това изграждаме линия на ниво, перпендикулярна на вектора .

Да намеря най-висока стойностна целевата функция преместваме линията на нивото по посока на вектора до последното пресичане с областта на допустимите решения. По този начин максималната точка на целевата функция zе точката А(пресечна точка на линии л 1 и л 2).

Да се ​​изчисли оптималната стойност на целевата функция zнамерете координатите на точката А. Тъй като точката Ае пресечната точка на линиите л 1 и л 2, тогава неговите координати удовлетворяват система от уравнения, съставена от уравненията на съответните гранични линии:



Така че точкатаА има координатих 1 =6/13, х 2 = 24/13.

Заместване на координатите на точкатаА в целевата функция (2.2.5), получаваме оптималната стойност на целевата функция

макс z= – 2·(6/13) – (24/13) = – 36/13.

За да намерим най-малката стойност на целевата функция, преместваме линията на нивото в посока, обратна на вектора, до последното пресичане с областта на възможните решения. В този случай целевата функция е неограничена в областта на възможните решения, т.е. ЗЛП няма минимум.

В резултат на решението на ПЧП са възможни следните случаи:

    Целевата функция достига своята оптимална стойност в един връх на многоъгълника на решението;

    Целевата функция достига оптималната си стойност във всяка точка на ръба на многоъгълника на решение (ZLP има алтернатива референтни плановесъс същите стойности z );

    PAP няма оптимални планове;

    PAP има оптимален планв случай на неограничен набор от възможни решения.

Линейното програмиране използва графичен метод за определяне на изпъкнали множества (полиедър на решение). Ако основната задача на линейното програмиране има оптимален план, тогава целевата функция приема стойност в един от върховете на полиедъра на решението (виж фигурата).

Цел на услугата. Като се използва на тази услугавъзможно в онлайн режимрешаване на проблема с линейното програмиране с помощта на геометричния метод, както и получаване на решение на двойния проблем (оценка на оптималното използване на ресурсите). Освен това в Excel се създава шаблон за решение.

Инструкции. Изберете броя на редовете (броя на ограниченията).

Брой ограничения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ако броят на променливите е повече от две, е необходимо системата да се приведе в SZLP (виж пример и пример № 2). Ако ограничението е двойно, например 1 ≤ x 1 ≤ 4, то се разделя на две: x 1 ≥ 1, x 1 ≤ 4 (т.е. броят на редовете се увеличава с 1).
Можете също така да изградите зона за осъществимо решение (ADA), като използвате тази услуга.

Следните също се използват с този калкулатор:
Симплексен метод за решаване на ЗЛП

Решение на транспортния проблем
Решаване на матрична игра
С помощта на онлайн услугата можете да определите цената на матрична игра (долна и горна граница), да проверите за наличието на седлова точка, да намерите решение на смесена стратегия, като използвате следните методи: минимаксен, симплексен метод, графичен (геометричен ) метод, метод на Браун.
Екстремум на функция на две променливи
Изчисляване на граници

Решаването на задача за линейно програмиране чрез графичен метод включва следните стъпки:

  1. В равнината X 1 0X 2 са построени прави.
  2. Определят се полуравнини.
  3. Дефиниране на многоъгълник на решение;
  4. Конструира се вектор N(c 1 ,c 2), който показва посоката на целевата функция;
  5. Движение напред целева функция c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 по посока на вектор N към крайната точка на многоъгълника на решението.
  6. Изчисляват се координатите на точката и стойността на целевата функция в тази точка.
Могат да възникнат следните ситуации:

Пример. Фирмата произвежда два вида продукти - Р1 и Р2. За производството на продуктите се използват два вида суровини - C1 и C2. Цени на едроединица продукция е равна на: 5 бр. за P1 и 4 бр за P2. Разходът на суровини за единица продукт от тип Р1 и тип Р2 е даден в таблицата.
Таблица - Разход на суровини за производство

Установени са ограничения за търсенето на продукти: дневният обем на производството на продуктите P2 не трябва да надвишава дневния обем на производството на продуктите P1 с не повече от 1 тон; Максималният дневен обем на производство на P2 не трябва да надвишава 2 тона.
Трябва да определите:
Колко продукта от всеки вид трябва да произведе предприятието, за да максимизира приходите от продажбите на продукта?
  1. Формулирайте математически моделпроблеми с линейното програмиране.
  2. Решаване на задача за линейно програмиране графично(за две променливи).
Решение.
Нека формулираме математически модел на проблема с линейното програмиране.
x 1 - производство на продукти P1, единици.
x 2 - производство на продукти P2, единици.
x 1 , x 2 ≥ 0

Ограничения на ресурсите
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6

Ограничения на търсенето
x 1 +1 ≥ x 2
x 2 ≤ 2

Целева функция
5x 1 + 4x 2 → макс

Тогава получаваме следния PLP:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x 2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → макс

Задача. Решете графично проблема с линейното програмиране, като определите екстремната стойност на целевата функция:

под ограничения

Нека изградим област от възможни решения, т.е. Нека да решим графично системата от неравенства. За да направим това, ние конструираме всяка права линия и дефинираме полуравнините, дефинирани от неравенствата (полуравнините са обозначени с просто).

Нека съставим уравнението 3x 1 +x 2 = 9 в две точки.
За да намерим първата точка, приравняваме x 1 = 0. Намираме x 2 = 9. За да намерим втората точка, приравняваме x 2 = 0. Намираме x 1 = 3. Свързваме точката (0;9) с (3;0) с права линия. Нека дефинираме полуравнината, определена от неравенството. След като избрахме точката (0; 0), дефинираме знака за неравенство в полуравнината: 3. 0 + 1. 0 - 9 ≤ 0, т.е. 3x 1 +x 2 - 9≥ 0 в полуравнината над правата линия.
Нека съставим уравнението x 1 +2x 2 = 8 в две точки.
За да намерим първата точка, приравняваме x 1 = 0. Намираме x 2 = 4. За да намерим втората точка, приравняваме x 2 = 0. Намираме x 1 = 8. Свързваме точката (0;4) с (8;0) с права линия. Нека дефинираме полуравнината, определена от неравенството. След като сме избрали точката (0; 0), дефинираме знака за неравенство в полуравнината: 1. 0 + 2. 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +2x 2 - 8≥ 0 в полуравнината над правата линия.
Нека съставим уравнението x 1 + x 2 = 8 в две точки.
За да намерим първата точка, приравняваме x 1 = 0. Намираме x 2 = 8. За да намерим втората точка, приравняваме x 2 = 0. Намираме x 1 = 8. Свързваме точката (0;8) с (8;0) с права линия. Нека дефинираме полуравнината, определена от неравенството. След като сме избрали точката (0; 0), дефинираме знака за неравенство в полуравнината: 1. 0 + 1. 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +x 2 - 8≤ 0 в полуравнината под правата линия.

Пресечната точка на полуравнините ще бъде област, чиито координати на точката удовлетворяват неравенствата на системата от ограничения на проблема.
Нека обозначим границите на областта на многоъгълника на решението.

Можете да проверите правилността на конструкцията на функционалните графики с помощта на калкулатор

Да разгледаме целевата функция на задачата F = 4x 1 +6x 2 → min.
Нека построим права линия, съответстваща на стойността на функцията F = 0: F = 4x 1 +6x 2 = 0. Градиентният вектор, съставен от коефициентите на целевата функция, показва посоката на минимизиране на F(X). Началото на вектора е точка (0; 0), краят е точка (4; 6). Нека преместим тази права линия по паралелен начин. Тъй като се интересуваме минимално решение, така че преместваме правата линия, докато първо докосне обозначената област. На графиката тази права линия е обозначена с пунктирана линия.

Направо F(x) = 4x 1 +6x 2 пресича областта в точка B. Тъй като точка B се получава в резултат на пресичането на прави (1) И (2) , тогава неговите координати удовлетворяват уравненията на тези прави:
3x 1 +x 2 =9
x 1 +2x 2 =8

След като решим системата от уравнения, получаваме: x 1 = 2, x 2 = 3
Как можем да намерим минималната стойност на целевата функция:
F(X) = 4*2 + 6*3 = 26