) вече многократно сме срещали частни производни на сложни функции като и по-трудни примери. Е, какво друго можете да говорите?! ...И всичко е като в живота - няма сложност, която да не е сложна =) Но математиката е това, за което е математиката, за да вмести многообразието на нашия свят в строга рамка. И понякога това може да стане с едно единствено изречение:

Най-общо сложната функция има формата , Където, поне единот букви представлява функция, което може да зависи от произволенброй променливи.

Минималният и най-простият вариант е отдавна познатата комплексна функция на една променлива, чиято производнанаучихме как да намираме миналия семестър. Вие също имате уменията да разграничавате функциите (разгледайте същите функции ) .

Така че сега ще се интересуваме точно от случая. Поради голямото разнообразие от сложни функции, общите формули за техните производни са много тромави и трудни за смилане. В тази връзка ще се огранича конкретни примери, от което можете да разберете общ принципнамиране на тези производни:

Пример 1

Като се има предвид сложна функция, където . Задължително:
1) намерете нейната производна и запишете общия диференциал от 1-ви ред;
2) изчислете стойността на производната при .

Решение: Първо, нека да разгледаме самата функция. Предлага ни се функция в зависимост от и , която от своя страна са функцииедна променлива:

Второ, нека обърнем голямо внимание на самата задача - от нас се изисква да намерим производна, тоест не говорим за частни производни, които сме свикнали да намираме! Тъй като функцията всъщност зависи само от една променлива, тогава думата „производна“ означава тотална производна. Как да я намеря?

Първото нещо, което идва на ум, е директно заместване и по-нататъшно диференциране. Да заместим да функционира:
, след което няма проблеми с желаната производна:

И съответно общият диференциал:

Това решение е математически правилно, но малък нюанс е, че когато проблемът е формулиран така, както е формулиран, никой не очаква такова варварство от вас =) Но сериозно, тук наистина можете да намерите грешка. Представете си, че функция описва полета на земна пчела и вложените функции се променят в зависимост от температурата. Извършване на директна замяна , получаваме само лична информация, което характеризира полета, да речем, само в горещо време. Освен това, ако на човек, който не е запознат с земните пчели, му бъде представен крайният резултат и дори му е казано каква е тази функция, тогава той никога няма да научи нищо за основния закон на полета!

И така, напълно неочаквано, нашият бръмчащ брат ни помогна да разберем смисъла и важността на универсалната формула:

Свикнете с „двуетажната“ нотация за производни - в разглежданата задача те са тези, които се използват. В този случай човек трябва да бъде много подреденов записа: производни с директни символи “de” са пълни производни, а производните със заоблени икони са частични производни. Да започнем с последните:

Е, с „опашките“ всичко е елементарно:

Нека заместим намерените производни в нашата формула:

Когато една функция първоначално е предложена по сложен начин, тя ще бъде логична (и това е обяснено по-горе!)оставете резултатите както са:

В същото време в „сложните“ отговори е по-добре да се въздържате дори от минимални опростявания (тук, например, моли да се премахнат 3 минуса)- и имате по-малко работа, а вашият космат приятел с удоволствие ще прегледа задачата по-лесно.

Една груба проверка обаче няма да е излишна. Да заместим в намерената производна и извършете опростявания:


(На последна стъпкаизползвани тригонометрични формули , )

В резултат на това се получава същият резултат, както при метода на „варварското“ решение.

Нека изчислим производната в точката. Първо е удобно да разберете „транзитните“ стойности (функционални стойности ) :

Сега правим окончателните изчисления, които в в такъв случайможе да се направи по различни начини. Използвам интересна техника, при която 3-ти и 4-ти „етаж“ се опростяват не според обичайните правила, а се трансформират като частно от две числа:

И, разбира се, е грях да не проверите с по-компактна нотация :

Отговор:

Случва се проблемът да бъде предложен в „полуобща“ форма:

„Намерете производната на функцията където »

Тоест, „основната“ функция не е дадена, но нейните „вмъквания“ са доста специфични. Отговорът трябва да бъде даден в същия стил:

Освен това условието може да бъде леко криптирано:

„Намерете производната на функцията »

В този случай имате нужда от сам по себе сиобозначавайте вложени функции с някои подходящи букви, например чрез и използвайте същата формула:

Между другото, о буквени обозначения. Многократно съм призовавал да не се „хващаме за буквите“, сякаш са спасителен пояс, и сега това е особено актуално! Анализирайки различни източници по темата, като цяло останах с впечатлението, че авторите са „полудели“ и са започнали безмилостно да хвърлят учениците в бурната бездна на математиката =) Така че, простете ми :))

Пример 2

Намерете производната на функция , Ако

Другите обозначения не бива да предизвикват объркване! Всеки път, когато срещнете задача като тази, трябва да отговорите на два прости въпроса:

1) От какво зависи „основната“ функция?В този случай функцията "zet" зависи от две функции ("y" и "ve").

2) От какви променливи зависят вложените функции?В този случай и двете „вложки“ зависят само от „X“.

Така че не би трябвало да имате затруднения с адаптирането на формулата към тази задача!

Кратко решение и отговор в края на урока.

Допълнителни примери от първия тип могат да бъдат намерени в Проблемна книга на Рябушко (IDZ 10.1), добре, ние се насочваме към функция на три променливи:

Пример 3

Дадена е функция, където .
Изчислете производната в точка

Производна формула сложна функция, както мнозина предполагат, има сродна форма:

Решете, след като познаете =)

За всеки случай ще дам обща формула за функцията:
, въпреки че на практика е малко вероятно да видите нещо по-дълго от Пример 3.

Освен това понякога е необходимо да се разграничи „скъсена“ версия - като правило, функция на формата или. Оставям този въпрос да го изучавате сами - измислете няколко прости примера, помислете, експериментирайте и изведете съкратени формули за производни.

Ако нещо все още не е ясно, моля, бавно прочетете и осмислете първата част от урока, защото сега задачата ще стане по-сложна:

Пример 4

Намерете частните производни на сложна функция, където

Решение: тази функцияима формата , и след директно заместване и получаваме обичайната функция на две променливи:

Но такъв страх не само не се приема, но човек вече не иска да прави разлика =) Затова ще използваме готови формули. За да ви помогна бързо да схванете модела, ще направя някои бележки:

Погледнете внимателно снимката отгоре надолу и отляво надясно...

Първо, нека намерим частичните производни на „главната“ функция:

Сега намираме производните на „X“ на „лайнерите“:

и запишете крайната производна „X“:

По същия начин с „играта“:

И

Можете да се придържате към друг стил - намерете всички „опашки“ наведнъж и след това запишете двете производни.

Отговор:

Относно заместването някак си изобщо не мисля за това =) =), но можете да промените малко резултатите. Въпреки че, отново, защо? – само затрудняват проверката на учителя.

Ако трябва, тогава пълен диференциалтук е написано по обичайната формула и, между другото, просто нататък тази стъпкаЛеката козметика става подходяща:


Това е... ...ковчег на колела.

Поради популярността на разглеждания тип сложна функция, няколко задачи за независимо решение. По-прост пример в „полуобща“ форма е за разбиране на самата формула;-):

Пример 5

Намерете частните производни на функцията, където

И по-сложно - с включване на техники за диференциране:

Пример 6

Намерете пълния диференциал на функция , Където

Не, изобщо не се опитвам да ви „пратя на дъното“ - всички примери са взети от реални произведения и „в открито море“ можете да срещнете всякакви писма. Във всеки случай ще трябва да анализирате функцията (отговорете на 2 въпроса – вижте по-горе), представете го в общ вид и внимателно модифицирайте формулите за частни производни. Сега може би сте малко объркани, но ще разберете самия принцип на тяхното изграждане! Защото истинските предизвикателства тепърва започват :)))

Пример 7

Намерете частични производни и създайте пълния диференциал на сложна функция
, Където

Решение: функцията “main” има формата и все още зависи от две променливи – “x” и “y”. Но в сравнение с Пример 4 е добавена друга вложена функция и следователно формулите за частни производни също са удължени. Както в този пример, за по-добро визуализиране на модела, ще маркирам „основните“ частични производни в различни цветове:

И отново внимателно проучете записа отгоре надолу и отляво надясно.

Тъй като проблемът е формулиран в „полу-обща“ форма, цялата ни работа по същество е ограничена до намиране на частични производни на вградени функции:

Първокласник може да се справи с:

И дори пълният диференциал се оказа доста хубав:

Умишлено не ви предложих никаква конкретна функция - така че ненужното претрупване да не пречи на доброто разбиране на схематична диаграмазадачи.

Отговор:

Доста често можете да намерите „смесени по размер“ инвестиции, например:

Тук функцията „main“, въпреки че има формата , все още зависи както от „x“, така и от „y“. Следователно работят същите формули - просто някои частни производни ще бъдат равни на нула. Освен това, това важи и за функции като , в която всяка „лайнер“ зависи от една променлива.

Подобна ситуация възниква в последните два примера на урока:

Пример 8

Намерете общия диференциал на сложна функция в точка

Решение: условието е формулирано по „бюджетен“ начин и ние трябва сами да етикетираме вложените функции. Мисля, че това е добър вариант:

„Вложките“ съдържат ( ВНИМАНИЕ!) ТРИ букви са доброто старо "X-Y-Z", което означава, че "главната" функция всъщност зависи от три променливи. Може да бъде формално пренаписано като , а частните производни в този случай се определят от следните формули:

Ние сканираме, задълбаваме, улавяме...

В нашата задача:

Функции на много променливи

§1. Концепцията за функция на много променливи.

Нека има нпроменливи количества. Всеки комплект
обозначава точка н- набор от размери
(П-дименсионален вектор).

Нека дадени комплекти
И
.

ОПР. Ако всяка точка
съвпада с единственото число
, тогава казваме, че е дадена числова функция нпроменливи:

.

се нарича област на дефиниция,
- набор от стойности на дадена функция.

Кога н=2 вместо това
обикновено пишат х, г, z. Тогава функцията на две променливи има формата:

z= f(х, г).

Например,
- функция на две променливи;

- функция на три променливи;

Линейна функция нпроменливи.

ОПР. Функционална графика нсе наричат ​​променливи н- размерна хиперповърхност в пространството
, всяка точка от които е зададена с координати

Например графика на функция на две променливи z= f(х, г) е повърхност в триизмерно пространство, всяка точка от която е зададена с координати ( х, г, z) , Където
, И
.

Тъй като не е възможно да се изобрази графика на функция на три или повече променливи, ние ще разгледаме главно (за яснота) функции на две променливи.

Начертаването на функции на две променливи е доста лесно предизвикателна задача. Изграждането на така наречените нивелирни линии може да окаже значителна помощ при решаването на този проблем.

ОПР. Линия на ниво на функция на две променливи z= f(х, г) се нарича множество от точки на равнината HOU, които са проекцията на сечението на графиката на функцията с паралелна равнина HOU.Във всяка точка от линията на нивото функцията има една и съща стойност. Линиите на нивото се описват от уравнението f(х, г)=c, Където с– определено число. Има безкрайно много линии на ниво и една от тях може да бъде начертана през всяка точка от дефиниционната област.

ОПР. Функция за ниво на повърхността нпроменливи г= f (
) се нарича хиперповърхност в пространството
, във всяка точка от които стойността на функцията е постоянна и равна на определена стойност с. Уравнение на повърхността на нивото: f (
)=s.

Пример. Начертайте графика на функция на две променливи

.

.

Когато c=1:
;
.

С c=4:
;
.

При c=9:
;
.

Линиите на нивото са концентрични кръгове, чийто радиус намалява с увеличаване z.

§2. Предел и непрекъснатост на функция на няколко променливи.

За функции на много променливи се дефинират същите понятия като за функции на една променлива. Например, можете да дадете определения за граница и непрекъснатост на функция.

ОПР. Числото A се нарича граница на функция на две променливи z= f(х, г) при
,
и е обозначен
, ако за всяко положително число има положително число , така че ако точката
далеч от точката
по-малко разстояние , след това количествата f(х, г) и A се различават с по-малко от .

ОПР. Ако функцията z= f(х, г) определена в точка
и има граница в тази точка, равна на стойността на функцията
, тогава се нарича непрекъснат в дадена точка.

.

§3. Частични производни на функции на няколко променливи.

Да разгледаме функция на две променливи
.

Нека например да коригираме стойността на един от аргументите му , поставяне
. След това функцията
има функция на една променлива . Нека има производна в точката :

.

Тази производна се нарича частна производна (или частна производна от първи ред) на функцията
от в точката
и се обозначава:
;
;
;
.

Разликата се нарича частично увеличение и е обозначен
:

Като вземем предвид горните обозначения, можем да напишем

.

Определено по подобен начин

.

Частична производнафункции на няколко променливи в една от тези променливи се нарича границата на съотношението на частичното нарастване на функция към увеличението на съответната независима променлива, когато това увеличение клони към нула.

При намиране на частната производна по отношение на който и да е аргумент, другите аргументи се считат за константа. Всички правила и формули за диференциране на функции на една променлива са валидни за частни производни на функции на много променливи.

Имайте предвид, че частните производни на функция са функции на едни и същи променливи. Тези функции от своя страна могат да имат частни производни, които се наричат втори частни производни(или частични производни от втори ред) на оригиналната функция.

Например функцията
има четири частични производни от втори ред, които се означават по следния начин:

;
;

;
.

И
- смесени частични производни.

Пример.Намерете частични производни от втори ред за функция

.

Решение.
,
.

,
.

,
.

Упражнение.

1. Намерете частични производни от втори ред за функции

,
;

2. За функция
докажи това
.

Пълен диференциал функции на много променливи.

С едновременни промени в стойностите хИ прифункция
ще се промени със сума, наречена общо увеличение на функцията z в точката
. Точно както в случая на функция на една променлива, възниква проблемът с приблизителното заместване на увеличението
към линейна функция на
И
. Ролята на линейна апроксимация се изпълнява от пълен диференциалХарактеристика:

Общ диференциал от втори ред:

=
.

=
.

Общо взето тотален диференциал П-та поръчка има формата:

Производна по посока. Градиент.

Нека функцията z= f(х, г) е дефинирана в някаква околност на точката M( х, г) И - някаква посока, определена от единичния вектор
. Координатите на единичен вектор се изразяват чрез косинусите на ъглите, образувани от вектора и координатните оси и се наричат ​​насочващи косинуси:

,

.

При преместване на точка M( х, г) в тази посока л точно
функция zще получи увеличение

наречено нарастване на функцията в дадена посока л.

д ако MM 1 =∆ л, Че

T

кога

ОТНОСНО

и т.н. Производна функции z= f(х, г) към се нарича границата на съотношението на увеличението на функцията в тази посока към големината на преместването ∆ л тъй като последният клони към нула:

Производната по посока характеризира скоростта на промяна на функция в дадена посока. Очевидно е, че частичните производни И представляват производни в посоки, успоредни на осите вол И Ой. Лесно е да се покаже това

Пример. Изчисляване на производната на функция
в точка (1;1) по посока
.

ОПР. Градиентфункции z= f(х, г) е вектор с координати, равни на частни производни:

.

Разгледайте скаларното произведение на векторите
И
:

Лесно е да се види това
, т.е. производната по посока е равна на скаларното произведение на градиента и единичния вектор на посоката .

Тъй като
, тогава скаларното произведение е максимално, когато векторите имат еднакви посоки. По този начин градиентът на функция в точка определя посоката на най-бързото нарастване на функцията в тази точка, а модулът на градиента е равен на максималната скорост на нарастване на функцията.

Познавайки градиента на функция, човек може локално да конструира линии на функционално ниво.

Теорема. Нека е дадена диференцируема функция z= f(х, г) и в точката
градиентът на функцията не е нула:
. Тогава градиентът е перпендикулярен на линията на нивото, минаваща през дадената точка.

Така, ако, започвайки от определена точка, построим градиента на функцията и малка част от линията на нивото, перпендикулярна на нея в близките точки, тогава можем (с известна грешка) да построим линии на ниво.

Локален екстремум на функция на две променливи

Нека функцията
определени и непрекъснати в някаква околност на точката
.

ОПР. Точка
се нарича локална максимална точка на функцията
, ако има такава близост на точката , в който за всяка точка
важи неравенството:

.

По подобен начин се въвежда понятието локален минимум.

Теорема (необходимо условие за локален екстремум).

За да има диференцируема функция
имаше локален екстремум в точката
, е необходимо всички негови частични производни от първи ред в тази точка да бъдат равни на нула:

И така, точките на възможно наличие на екстремум са онези точки, в които функцията е диференцируема и нейният градиент е равен на 0:
. Както в случая на функция на една променлива, такива точки се наричат ​​стационарни.

Когато изучаваме много закономерности в природните науки и икономиката, човек среща функции на две (или повече) независими променливи.

Дефиниция (за функция на две променливи).Позволявам х , Y И З - множества. Ако всяка двойка (х, г) елементи от множества съответно х И Y по силата на някакъв закон f съвпада с един и само един елемент z от много З , тогава те казват, че дадена е функция на две променливи z = f(х, г) .

Общо взето област на функция на две променливи геометрично може да бъде представен от определен набор от точки ( х; г) самолет xOy .

Основните дефиниции, отнасящи се до функции на няколко променливи, са обобщение на съответните дефиниции за функция на една променлива .

Няколко дНаречен област на функцията z, и комплекта д – многото му значения. Променливи хИ гвъв връзка с функцията zсе наричат ​​нейни аргументи. Променлива zнаречена зависима променлива.

Частни стойности на аргументи

съответства на частната стойност на функцията

Област на функция на няколко променливи

Ако функция на няколко променливи (например две променливи) дадено от формулата z = f(х, г) , Че зона на неговото определение е множеството от всички такива точки на равнината x0y, за които изразът f(х, г) има смисъл и приема реални стойности. Изведени са общи правила за областта на функция на няколко променливи Общи правилаЗа област на дефиниране на функция на една променлива. Разликата е, че за функция от две област на променливитедефиницията е определен набор от точки на равнината, а не права линия, както за функция на една променлива. За функции на трипроменливи, домейнът на дефиниция е съответният набор от точки в триизмерното пространство, а за функция нпроменливи - съответният набор от точки на абстрактното н-измерно пространство.

Област на функция на две променливи с корен нта степен

В случай, когато функция на две променливи е дадена с формулата и н - естествено число :

Ако не четно число, тогава областта на дефиниране на функцията е набор от точки на равнината, съответстващи на всички стойности на радикалния израз, които са по-големи или равни на нула, т.е.

Ако не нечетно число, тогава домейнът на дефиниция на функцията е множеството от всякакви стойности, тоест цялата равнина x0y .

Област на степенна функция на две променливи с цяло число

:

Ако а- положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е цялата равнина x0y ;

Ако а- отрицателен, тогава домейнът на дефиниция на функцията е набор от стойности, различни от нула: .

Област на степенна функция на две променливи с дробен показател

В случай, че функцията е дадена от формулата :

ако е положителен, тогава домейнът на дефиниция на функцията е множеството от онези точки в равнината, в които тя приема стойности, по-големи или равни на нула: ;

ако - е отрицателно, тогава домейнът на дефиниция на функцията е множеството от онези точки в равнината, в които тя приема стойности, по-големи от нула: .

Област на дефиниране на логаритмична функция на две променливи

Логаритмична функция на две променливи е дефиниран при условие, че неговият аргумент е положителен, т.е. домейнът на неговата дефиниция е множеството от онези точки в равнината, в които приема стойности, по-големи от нула: .

Област на дефиниране на тригонометрични функции на две променливи

Функционален домейн - целият самолет x0y .

Функционален домейн - целият самолет x0y .

Областта на дефиниране на функцията е цялата равнина x0y

Функционален домейн - целият самолет x0y, с изключение на двойки числа, за които приема стойности.

Област на дефиниране на обратни тригонометрични функции на две променливи

Функционален домейн .

Функционален домейн - множеството от точки на равнината, за които .

Функционален домейн - целият самолет x0y .

Функционален домейн - целият самолет x0y .

Областта на дефиниране на дроб като функция на две променливи

Ако функцията е дадена от формулата, тогава областта на дефиниране на функцията е всички точки от равнината, в която .

Област на линейна функция на две променливи

Ако функцията е дадена с формула от вида z = брадва + от + ° С , тогава областта на дефиниране на функцията е цялата равнина x0y .

Пример 1.

Решение. Съгласно правилата за областта на дефиниция съставяме двойно неравенство

Умножаваме цялото неравенство по и получаваме

Полученият израз определя областта на дефиниране на тази функция на две променливи.

Пример 2.Намерете домейна на функция на две променливи.

Граница на функция на две променливи.
Концепция и примери за решения

Добре дошли в третия урок по темата FNP, където всичките ви страхове най-накрая започнаха да се сбъдват =) Както мнозина подозираха, концепцията за граница се простира и до функция от произволен брой аргументи, което трябва да разберем днес. Има обаче някои оптимистични новини. Състои се в това, че границата е до известна степен абстрактна и съответните задачи са изключително редки на практика. В тази връзка вниманието ни ще бъде насочено към границите на функция на две променливи или както по-често го пишем: .

Много идеи, принципи и методи са подобни на теорията и практиката на „обикновените“ ограничения, което означава, че този моментти трябва можете да намерите границии най-важното РАЗБЕРЕТЕ какво е то граница на функция на една променлива. И тъй като съдбата ви доведе на тази страница, тогава най-вероятно вече разбирате и знаете много. И ако не, всичко е наред, всички пропуски наистина могат да бъдат запълнени за няколко часа и дори минути.

Събитията от този урок се развиват в нашия триизмерен свят, и затова би било просто огромен пропуск да не участваме активно в тях. Първо, нека изградим добре познат Декартова координатна система в пространството. Нека станем и да се разходим малко из стаята... ...подът, по който ходите, е самолет. Нека да поставим оста някъде... добре, например, в който и да е ъгъл, за да не пречи. Страхотен. Сега, моля, погледнете нагоре и си представете, че одеялото виси там, разстлано. Това повърхност, дадена от функцията. Нашето движение по пода, както е лесно да се разбере, имитира промяна в независими променливи и можем да се движим изключително под одеялото, т.е. V област на дефиниране на функция на две променливи. Но забавлението тепърва започва. Малка хлебарка пълзи по одеялото точно над върха на носа ви и където и да отидете, там е и тя. Нека го наречем Фреди. Неговото движение симулира промяна в стойностите на съответните функции (с изключение на случаите, когато повърхността или нейните фрагменти са успоредни на равнината и височината не се променя). Уважаеми читателю на име Фреди, не се обиждайте, това е необходимо за науката.

Нека вземем шило в ръцете си и пробием одеялото в произволна точка, чиято височина ще обозначим с , след което ще залепим инструмента в пода точно под дупката - това ще бъде точката. Сега нека започнем безкрайно близоприближете се до дадена точка , и имаме право да подходим по ВСЯКАКВА траектория (всяка точка от която, разбира се, е включена в областта на дефиницията). Ако във ВСИЧКИ случаи Фреди ще бъде безкрайно близопълзи до пункцията до височина и ТОЧНО ТАЗИ ВИСОЧИНА, тогава функцията има ограничение в точката на :

Ако при посочените условия пробитата точка се намира на ръба на одеялото, тогава границата все още ще съществува - важно е в произволно малък кварталвърховете на шилото бяха поне някои точки от областта на дефиниране на функцията. Освен това, какъвто е случаят с граница на функция на една променлива, няма значение, дали функцията е дефинирана в точка или не. Тоест нашата пункция може да бъде запечатана с дъвка (мисля, че функцията на две променливи е непрекъсната) и това няма да повлияе на ситуацията - помним, че самата същност на ограничението предполага безкрайно близко приближение, а не „точен подход“ към точка.

Безоблачният живот обаче е помрачен от факта, че за разлика от по-малкия си брат, границата много по-често не съществува. Това се дължи на факта, че обикновено има много пътища до определена точка на самолета и всеки от тях трябва да води Фреди строго до пункцията (по избор „запечатано с дъвка“)и то строго на височината. И има повече от достатъчно странни повърхности със също толкова странни прекъсвания, което води до нарушаване на това строго условие в някои точки.

Да се ​​организираме най-прост пример– вземете нож в ръцете си и изрежете одеялото така, че прободената точка да лежи на линията на среза. Имайте предвид, че ограничението все още съществува, единственото нещо е, че загубихме правото да влизаме в точки под линията на изрязване, тъй като тази зона „изпадна“ от функционална област. Сега нека внимателно повдигнем лявата част на одеялото по оста и, напротив, преместете дясната част надолу или дори я оставете на място. Какво се промени? И следното се промени фундаментално: ако сега се приближим до точка отляво, тогава Фреди ще бъде на по-голяма надморска височина, отколкото ако се приближим до дадена точка отдясно. Така че няма ограничение.

И разбира се прекрасни границиКъде щяхме да сме без тях? Нека да разгледаме пример, който е поучителен във всеки смисъл:

Пример 11

Използваме до болка познатата тригонометрична формула, където организираме чрез стандартна изкуствена техника първи забележителни граници :

Да преминем към полярните координати:
Ако , тогава

Изглежда, че решението върви към естествен изход и нищо не предвещава неприятности, но в самия край има голям риск да направите сериозен недостатък, чието естество вече загатнах малко в Пример 3 и описах подробно след пример 6. Първо края, след това коментара:

Нека да разберем защо би било лошо да пишем просто „безкрайност“ или „плюс безкрайност“. Нека да разгледаме знаменателя: тъй като , полярният радиус клони към безкрайно малъкположителна стойност: . Освен това, . Така знакът на знаменателя и цялата граница зависи само от косинуса:
, ако полярният ъгъл (2-ра и 3-та координатна четвъртина: );
, ако полярният ъгъл (1-ва и 4-та координатна четвърт: ).

Геометрично това означава, че ако се приближите до началото отляво, тогава повърхността, определена от функцията , се простира до безкрайност:

ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ

1. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ

Нека: z - променлива стойност с диапазон на промени R; R - числова линия; D - площ на координатната равнина R2.

Всяко преобразуване D->R се нарича функция на две променливи с домейн D и се записва z = f(x;y).

С други думи:

Ако всяка двойка (x; y) от две независими променливи от домейна D, съгласно някакво правило, е свързана с една специфична стойност z от R, тогава променливата z се нарича функция на две независими променливи x и y с домейна на определение D и се записва

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

Пример 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Областта на дефиниция е част от равнината, разположена вътре в окръжност с радиус r = 3, с център в началото, вижте фигурата.

Пример 3.Намерете и начертайте домейна на функция

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2. ГЕОМЕТРИЧНА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НА ФУНКЦИЯТА НА ДВЕ

ПРОМЕНЛИВИ

2.1.Графика на функция на две променливи

Нека разгледаме правоъгълна координатна система в пространството и област D в равнината xOy. Във всяка точка M(x;y) от тази област възстановяваме перпендикуляр към равнината xOy и нанасяме върху него стойността z = f(x;y). Геометрично разположение на получените точки

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Това са окръжности с център в началото, радиус R = C1/2 и уравнение

x2 + y2 = R2, вижте фигурата.

Линиите на нивото ни позволяват да представим разглежданата повърхност, която дава концентрични кръгове, когато се сече от равнини z = C.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> и намерете .

Решение. Нека използваме метода на раздела.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– в равнината – парабола.

– в равнината – парабола.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src="> – кръг.

Необходимата повърхност е параболоид на въртене.

Разстояние между две произволни точкии (евклидовото) пространство се нарича число

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> се нарича отворен кръг радиус с център в точка r.

Отворена окръжност с радиус ε с център в точка А се нарича - ε - заобикалящата среда точка А.

3задача

Намерете и изобразете графично областта на дефиниране на функцията:

Начертайте линии на функционално ниво:

3. ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯ НА ДВЕ ПРОМЕНЛИВИ

Основни понятия математически анализ, въведени за функция на една променлива, се разширяват до функции на няколко променливи.

определение:

Постоянно число A се нарича граница на функция от две променливи z = f(x;y) за x -> x0, y -> y0, ако за всяко

ε >0 има δ >0 такова, че |f(x; y) - A|< ε , как только

|x - x0|< δ и |у – у0| < δ.

Този факт е посочен по следния начин:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src="> За функция на две променливи, тенденцията към гранична точка на равнината може да възникне според безкраен бройпосоки (и не непременно по права линия), и следователно изискването за съществуване на граница за функция на две (или няколко) променливи е „по-строго“ в сравнение с функция на една променлива.

Пример 1.Намирам .

Решение.Нека желанието да достигне пределната точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Тогава

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> зависи от.

Пример 2.Намирам .

Решение.За всяка права линия ограничението е същото:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29"> След това

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (останалото е по аналогия).

Определение.Номерът се нарича лимитфункции за и , Ако за такива, че неравенствата и предполагат неравенството . Този факт е написан накратко, както следва:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

къде е граничната точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> с домейна на дефиниция и нека – гранична точка на множеството, т.е. точката, към която клонят аргументите хИ при.

Определение 1.Казват функцията е непрекъсната в точка, ако:

1) ;

2) , т.е. .

Нека формулираме определението за непрекъснатост в еквивалентна форма..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24"> е непрекъсната в точка, ако е изпълнено равенството

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> нека дадем произволно увеличение. Функцията ще получи частично увеличение от х

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> е функция на една променлива. По същия начин,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> се нарича непрекъснато в точка над променлива (над променлива) ако

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Теорема.Ако функциятае дефинирана в определена околност на точка и е непрекъсната в тази точка, тогава тя е непрекъсната в тази точка във всяка от променливите.

Обратното твърдение не е вярно.

ПРИМЕРНека докажем, че функцията

непрекъснато в точката http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24 " > в точка, съответстваща на нарастването http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, което означава, че е непрекъснат в точка от променливата.

По подобен начин може да се докаже непрекъснатост в точка по отношение на променлива.

Нека покажем, че няма ограничение. Нека точка се доближава до точка по права линия, минаваща през точката. Тогава получаваме

.

Така, приближавайки се до точката http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, получаваме различни гранични стойности. От това следва, че границата на това функция не съществува в точката, което означава, че функцията http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Други обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Други обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Решение. Ние имаме:

,

Пример 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

Пример 3.Намерете частични производни на функция

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Пример 4.Намерете частични производни на функция

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Диференциали от първи ред на функция на две променливи

Частичните диференциали на функцията z = f(x, y) по отношение на променливите x и y се определят съответно от формулите x(x;y) и f"y(x;y) съществуват в точката ( x0;y0) и в някои от нейните околности и са непрекъснати в тази точка, тогава по аналогия с функция на една променлива се установява формула за пълно нарастване на функция на две променливи

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

където http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

С други думи, функцията z = f(x, y) е диференцируема в точката (x, y), ако нейното увеличение Δz е еквивалентно на функцията:

Изразяване

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

Като се вземе предвид факта, че Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> е диференцируем в точката, тогава е непрекъснат в тази точка.

Обратното твърдение е невярно, т.е. непрекъснатостта е само необходимо, но не и достатъчно условие за диференцируемостта на функция. Нека го покажем.

ПРИМЕРНека намерим частичните производни на функцията http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Получените формули губят значението си в точката http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> няма частични производни в точката. Всъщност, . Тази функция на една променлива, както е известно, няма производна в точката http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> има не съществуват в точката По същия начин няма частична производна и функцията , очевидно е непрекъснат в точката .

И така, ние показахме, че една непрекъсната функция може да няма частични производни. Остава да се установи връзката между диференцируемостта и съществуването на частни производни.

5.4. Връзка между диференцируемостта и съществуването на частни производни.

Теорема 1.Необходимо условие за диференцируемост.

Ако функцията z = f(x, y) е диференцируема в точката M(x, y), тогава тя има частни производни по отношение на всяка променлива и в точката M.

Обратната теорема не е вярна, т.е. съществуването на частни производни е необходимо, но не и достатъчно условие за диференцируемостта на функция.

Теорема 2. Достатъчно условиедиференцируемост. Ако функцията z = f(x, y) има непрекъснати частични производни в точката, тогава тя е диференцируема в точката (и общият й диференциал в тази точка се изразява с формулата http://pandia.ru/text/78 /481/images/image130 .gif" width="101 height=29" height="29">

Пример 2.Изчислете 3021,97

3задача

Изчислете приблизително с диференциал:

5.6. Правила за разграничаване на сложни и неявни функции. Пълна производна.

Случай 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Функциите u и v са непрекъснати функции на аргументите x, y.

По този начин функцията z е сложна функция на аргументите x и y: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Да приемем, че функциите f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имат непрекъснати частни производни по отношение на всички техни аргументи.

Нека поставим задачата да изчислим http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Нека дадем на аргумента x увеличение Δx, фиксирайки стойността на аргумента y. Тогава функции на две променливи u= φ(x, y) и

v= φ(x, y) ще получи частични увеличения Δxu и Δxv. Следователно z=f(u, v) ще получи пълното увеличение, дефинирано в параграф 5.2 (диференциали от първи ред на функция от две променливи):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Ако xu→ 0, тогава Δxu → 0 и Δxv → 0 (поради непрекъснатостта на функциите u и v). Преминавайки към границата при Δx→ 0, получаваме:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

ПРИМЕР

Z=ln(u2+v), u=ex+y² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

След това, използвайки формула (*), получаваме:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

За да се получи крайният резултат, в последните две формули вместо u и v е необходимо да се заменят съответно еx+y² и x2+y.

Случай 2.

Функциите x и y са непрекъснати функции.

Така функцията z=f(x, y) зависи чрез x и y от една независима променлива t, т.е. нека приемем, че x и y не са независими променливи, а функции на независимата променлива t, и дефинираме производната http: / /pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Нека разделим двете страни на това равенство на Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Случай 3.

Нека сега приемем, че ролята на независимата променлива t се играе от променливата x, тоест, че функцията z = f(x, y) зависи от независимата променлива x както директно, така и чрез променливата y, която е непрекъсната функция на x.

Като се има предвид, че http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Производна x(x, y)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Намиране на частични производни

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Доказаното правило за диференциране на сложни функции се прилага за намиране на производната на неявна функция.

Производна на функция, указана имплицитно.

Да приемем, че уравнението

дефинира y като неявна функция на x с производна

y' = φ'(x)_

Като заместим y = φ(x) в уравнението F(x, y) = 0, ще трябва да получим идентичността 0 = 0, тъй като y = φ(x) е решение на това уравнение. Следователно виждаме, че константата нула може да се разглежда като сложна функция на x, която зависи от x както директно, така и чрез y =φ(x).

Производната по отношение на x на тази константа трябва да бъде нула; прилагайки правило (***), получаваме

F’x(x, y) + F’y(x, y) y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

следователно

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> е вярно както за едната, така и за другата функция.

5.7. Общ диференциал от първи ред. Инвариантност на формата на диференциал от първи ред

Нека заместим изразите за http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> дефинирани от равенства (*) (вижте случай 1 в клауза 5.6 "Правила за диференциране на сложни и неявни функции. Тотална производна") във формулата за тотален диференциал

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Тогава формулата за общ диференциал от първи ред на функция на две променливи има формата

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Сравнявайки последното равенство с формулата за първия диференциал на функция от две независими променливи, можем да кажем, че изразът за пълния диференциал от първи ред на функция от няколко променливи има същата форма, каквато би имал, ако u и v бяха независими променливи.

С други думи, формата на първия диференциал е инвариантна, т.е. не зависи от това дали променливите u и v са независими променливи или зависят от други променливи.

ПРИМЕР

Намерете общия диференциал от първи ред на сложна функция

z=u2v3, u=x2 sin г, v=x3·ey.

Решение Използвайки формулата за общ диференциал от първи ред, имаме

dz = 2uv3 du+3u2v2 dv =

2uv3 (2x грях г·dx+x2·cos г·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Този израз може да се пренапише така

dz=(2uv3 2x siny+3u2v2 3x2 ey) dx+(2uv3x2 cozy+3u2v2x3 ey) dy=

Свойството за инвариантност на диференциал ни позволява да разширим правилото за намиране на диференциал на сума, произведение и частно към случай на функция на няколко променливи:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Това

функцията ще бъде хомогенна от трета степен за всички реални x, y и t. Същата функция ще бъде всеки хомогенен полином по x и y от трета степен, т.е. такъв полином във всеки член, чийто сбор от експонентите xn е равен на три:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

са хомогенни функции от степени 1, 0 и (- 1) съответно..jpg" width="36" height="15">. Наистина,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Приемайки t=1, намираме

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Частични производни http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), като цяло

С други думи, те са функции на променливите x и y. Следователно от тях отново могат да се намерят частни производни. Следователно има четири частични производни от втори ред на функция на две променливи, тъй като всяка от функциите и може да бъде диференцирана по отношение както на x, така и на y.

Вторите частни производни се означават, както следва:

е производната от n-ти ред; тук функцията z първо беше диференцирана p пъти по отношение на x, а след това n - p пъти по отношение на y.

За функция на произволен брой променливи, частни производни от по-високи порядъци се определят по подобен начин.

П Р И м д r 1.Изчислете частични производни от втори порядък на функция

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

Пример 2.Изчислете и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

Пример 3.Изчислете дали

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy и f"yx са дефинирани и непрекъснати в точката M(x, y) и в някои от нейните околности, тогава в тази точка

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

следователно

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Решение.

Смесените производни са равни.

5.10. Диференциали от по-висок порядък на функциянпроменливи.

Общ диференциал d uфункции на няколко променливи на свой ред са функция на същите променливи и можем да определим общия диференциал на тази последна функция. Така ще получим диференциал от втори ред d2u на оригиналната функция и, който също ще бъде функция на същите променливи, а неговият пълен диференциал ще ни отведе до диференциал от трети ред d3u на оригиналната функция и т.н.

Нека разгледаме по-подробно случая на функцията u=f(x, y) на две променливи x и y и да приемем, че променливите x и y са независими променливи. А-приори

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Изчислявайки d3u по абсолютно същия начин, получаваме

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

Освен това тази формула трябва да се разбира по следния начин: сборът в скобите трябва да бъде повдигнат на степен n, като се използва биномиалната формула на Нютон, след което степенните степени y и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235 .jpg " width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> с насочващи косинуси cos α, cos β (α + β = 90°). Върху вектора разгледайте точката M1(x + Δx; y + Δy). При преместване от точка M до точка M1 функцията z = f(x; y) ще получи пълно увеличение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> клоняща към нула (вижте фигурата).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

където http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, и следователно получаваме:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> при Δs->0 се нарича производство

водна функция z = f(x; y) в точката (x; y) по посока на вектора и се обозначава

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

По този начин, знаейки частните производни на функцията

z = f(x; y) можете да намерите производната на тази функция във всяка посока и всяка частична производна е специален случай на производната по посока.

ПРИМЕРНамерете производната на функция

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Следователно функцията z = f(x;y) нараства в дадена посока.

5. 12 . Градиент

Градиентът на функция z = f(x; y) е вектор, чиито координати са съответните частни производни на тази функция

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

т.е..jpg" width="89" height="33 src=">

в точка М(3;4).

Решение.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">