Typer af lineær programmering. Løsning af lineære programmeringsproblemer ved hjælp af den grafiske metode

Anmærkning: Dette foredrag afslører en række emner, der er viet til lineær programmering som et af afsnittene matematisk programmering; formulerer især hovedtyperne af opgaver lineær programmering, afslører forskellene mellem disse opgaver og klassiske problemer matematisk analyse; introducerer forskellige former registrerer disse opgaver, sætter dem op og studerer deres struktur. Spørgsmålet om at løse lineære programmeringsproblemer ved hjælp af simplex-metoden er mest udforsket.

1. Begrebet matematisk programmering

er en matematisk disciplin, der udvikler metoder til at finde ekstreme værdier objektiv funktion blandt sættet af dets mulige værdier, bestemt af restriktioner.

Tilstedeværelsen af ​​begrænsninger gør problemerne fundamentalt forskellige fra de klassiske problemer med matematisk analyse med at finde ekstreme værdier af en funktion. Metoder til matematisk analyse til søgning ekstremum af funktionen i opgaver matematisk programmering vise sig at være uegnet.

At løse problemer matematisk programmering Særlige metoder og teorier er blevet udviklet og er under udvikling. Da løsning af disse problemer kræver at udføre en betydelig mængde beregninger, hvornår sammenlignende vurdering metoder stor betydning er givet til effektiviteten og bekvemmeligheden af ​​deres implementering på en computer.

Det kan betragtes som et sæt uafhængige sektioner, der er involveret i undersøgelse og udvikling af metoder til løsning af visse klasser af problemer.

Afhængigt af egenskaberne af den objektive funktion og begrænsningsfunktionen, alle problemer matematisk programmering er opdelt i to hovedklasser:

• lineære programmeringsproblemer,
• opgaver ikke-lineær programmering.

Hvis objektivfunktionen og begrænsningsfunktionerne er lineære funktioner, så er det tilsvarende problem med at finde et ekstremum et lineært programmeringsproblem. Hvis mindst en af specificerede funktioner er ikke-lineær, så er det tilsvarende problem med at finde et ekstremum problemet ikke-lineær programmering.

2. Begrebet lineær programmering. Typer af lineære programmeringsproblemer

Lineær programmering(LP) – et af de første og mest grundigt studerede afsnit matematisk programmering. Nemlig lineær programmering var det afsnit, hvorfra selve disciplinen begyndte at udvikle sig" matematisk programmering". Udtrykket "programmering" i disciplinens titel har intet til fælles med udtrykket "programmering (dvs. kompilering af et program) til en computer" har intet at gøre med disciplinen " lineær programmering" opstod allerede før den tid, hvor computere begyndte at blive meget brugt til at løse matematiske, tekniske, økonomiske og andre problemer.

Begrebet " lineær programmering" opstod som følge af en unøjagtig oversættelse af det engelske "lineær programmering". En af betydningerne af ordet "programmering" er at lave planer, planlægge. Derfor ville den korrekte oversættelse af det engelske "lineær programmering" ikke være " lineær programmering", og "lineær planlægning", som mere præcist afspejler indholdet af disciplinen. Men vilkårene lineær programmering, ikke-lineær programmering, matematisk programmering etc. er blevet almindeligt accepterede i vor litteratur og vil derfor blive bevaret.

Så, lineær programmering opstod efter Anden Verdenskrig og begyndte at udvikle sig hurtigt, hvilket tiltrak sig opmærksomhed fra matematikere, økonomer og ingeniører på grund af muligheden for bred praktisk anvendelse såvel som matematisk harmoni.

Det kan man sige lineær programmering anvendelig til løsning matematiske modeller de processer og systemer, der kan baseres på hypotesen om en lineær repræsentation af den virkelige verden.

Lineær programmering bruges til at løse økonomiske problemer, i opgaver som ledelse og produktionsplanlægning; i problemer med at bestemme optimal placering udstyr på søfartøjer, i værksteder; i problemer med at bestemme optimal plan godstransport ( transport problem); i opgaver optimal fordeling personale mv.

Lineært programmeringsproblem(LP), som det allerede fremgår af det, der blev sagt ovenfor, består i at finde minimum (eller maksimum) lineær funktion under lineære restriktioner.

Generel form problemet har formen: find under betingelserne

Sammen med generel form også meget brugt kanonisk Og standard formularer. Både i kanonisk og standardform

De der. alle variabler i enhver mulig løsning på problemet skal have ikke-negative værdier (sådanne variabler kaldes normalt ikke-negativ i modsætning til den såkaldte gratis variabler, hvis værdiområde ikke er underlagt sådanne begrænsninger). Forskellen mellem disse former er, at i det ene tilfælde I 2 = 0, og i det andet - I 1 = 0.

LP-problemet i kanonisk form.

Lineær programmering

Lineær programmering- en matematisk disciplin dedikeret til teori og metoder til løsning af ekstreme problemer på sæt af dimensionelle vektorrum defineret af systemer af lineære ligninger og uligheder.

Lineær programmering er et særligt tilfælde af konveks programmering, som igen er et særligt tilfælde af matematisk programmering. Samtidig er det grundlaget for flere metoder til løsning af heltals- og ikke-lineære programmeringsproblemer. En generalisering af lineær programmering er fraktioneret lineær programmering.

Mange egenskaber ved lineære programmeringsproblemer kan også tolkes som egenskaber ved polyedre og dermed geometrisk formuleret og bevist.

Historie

Den indre punktmetode blev første gang nævnt af I. I. Dikin i 1967.

Opgaver

Det vigtigste (standard) lineære programmeringsproblem kaldes problemet med at finde minimum af en lineær objektiv funktion (lineær form) af formen:

under forhold

, .

Det lineære programmeringsproblem vil have kanonisk opfattelse , hvis der i hovedproblemet i stedet for det første system af uligheder er et system af ligninger:

,

Hovedproblemet kan reduceres til kanonisk ved at indføre yderligere variabler.

Lineære programmeringsproblemer af den mest generelle form (problemer med blandede begrænsninger: ligheder og uligheder, tilstedeværelsen af ​​variable fri for begrænsninger) kan reduceres til ækvivalente (som har det samme sæt af løsninger) ved at erstatte variabler og erstatte ligheder med et par uligheder.

Det er let at se, at problemet med at finde maksimum kan erstattes af opgaven med at finde minimum ved at tage koefficienter med modsat fortegn.

Prøveproblemer

Maksimal matchning

Overvej det maksimale matchningsproblem i en todelt graf: Der er flere drenge og piger, og for hver dreng og pige ved man, om de er attraktive for hinanden. Vi er nødt til at gifte det maksimale antal par med gensidig sympati.

Lad os introducere variabler, der svarer til parret af -drengen og -pigen og opfylder begrænsningerne:

med objektiv funktion. Det kan vises, at blandt de optimale løsninger på dette problem er der et heltal. Variabler lig med 1 vil svare til par, der bør være gift.

Maksimalt flow

Lad der være en graf (med orienterede kanter), hvori for hver kant dens gennemløb. Og to toppunkter er givet: dræn og kilde. Det er nødvendigt at angive for hver kant, hvor meget væske der vil strømme gennem den (ikke mere end dens kapacitet) for at maksimere den samlede strøm fra kilde til afløb (væske kan ikke forekomme eller forsvinde ved alle hjørner undtagen afløbet og kilden).

Lad os tage mængden af ​​væske, der strømmer gennem ribben, som variable. Derefter

,

hvor er kapaciteten af ​​den kant. Disse uligheder skal suppleres med ligheden mellem mængden af ​​indstrømmende og udstrømmende væske for hvert toppunkt, undtagen afløbet og kilden. Som en funktion er det naturligt at tage forskellen mellem mængden af ​​udstrømmende og indstrømmende væske ved kilden.

En generalisering af det tidligere problem er maksimal strøm af minimumsomkostninger. I denne opgave er omkostningerne for hver kant angivet, og blandt de maksimale flows skal du vælge et flow med minimumsomkostninger. Dette problem kommer ned til to lineære programmeringsproblemer: først skal du løse problemet med det maksimale flow, og derefter tilføje begrænsningen til dette problem, hvor er værdien af ​​det maksimale flow, og løse problemet med ny funktion- flowomkostninger.

Disse problemer kan løses hurtigere end med generelle algoritmer til løsning af lineære programmeringsproblemer på grund af den særlige struktur af ligninger og uligheder.

Transportopgave

Der er en vis homogen last, der skal flyttes fra lagre til fabrikker. For hvert lager er det kendt, hvor meget last det indeholder, og for hvert anlæg er dets efterspørgsel efter last kendt. Omkostningerne til transport er proportionale med afstanden fra lageret til fabrikken (alle afstande fra th lager til th fabrik er kendt). Det kræves at komponere mest billig plan transport.

Afgørende variable i I dette tilfælde er mængden af ​​gods, der transporteres fra th lager til th fabrik. De opfylder begrænsningerne:

Den objektive funktion har formen: , som skal minimeres.

Nul sum spil

Der er en størrelsesmatrix. Den første spiller vælger et tal fra 1 til , den anden - fra 1 til . Så tjekker de tallene, og den første spiller får point, og den anden får point (nummeret valgt af den første spiller får det andet). Vi skal finde den optimale strategi for den første spiller.

Antag, at i en optimal strategi, for eksempel, skal den første spiller vælge et tal med sandsynlighed . Så er den optimale strategi en løsning på følgende lineære programmeringsproblem:

, , (),

hvor funktionen skal maksimeres. Værdien i den optimale løsning vil være den matematiske forventning om den første spillers udbetaling i værste fald.

Løsningsalgoritmer

Den mest berømte og udbredte i praksis til løsning af et generelt lineær programmeringsproblem (LP) er simpleksmetoden. På trods af at simplex-metoden er en ret effektiv algoritme, der har vist gode resultater i løsning af anvendte LP-problemer, er det en algoritme med eksponentiel kompleksitet. Årsagen til dette er den kombinatoriske karakter af simplex-metoden, som sekventielt itererer over polyederens hjørner tilladte løsninger når man leder efter den optimale løsning.

Den første polynomielle algoritme, ellipsoidmetoden, blev foreslået i 1979 af den sovjetiske matematiker L. Khachiyan, og løste dermed et problem, der havde været uløst i lang tid. Ellipsoidmetoden har en helt anden, ikke-kombinatorisk karakter end simpleksmetoden. Men fra et beregningsmæssigt synspunkt viste denne metode sig ikke at være lovende. Men selve kendsgerningen om polynomisk kompleksitet af problemer førte til skabelsen af ​​en hel klasse effektive algoritmer LP - indvendige punktmetoder, hvoraf den første var N. Karmarkars algoritme foreslået i 1984. Algoritmer af denne type bruger en kontinuerlig fortolkning af LP-problemet, når der i stedet for at opregne hjørnerne af polyederet af løsninger til LP-problemet, udføres en søgning langs baner i rummet problemvariabler, der ikke passerer gennem polyederens hjørner. Den indre punktmetode, som i modsætning til simplex-metoden omgår punkter fra det indre af regionen acceptable værdier, bruger log-barriere ikke-lineære programmeringsmetoder udviklet i 1960'erne af Fiacco og McCormick.

se også

• Grafisk metode til løsning af et lineært programmeringsproblem

Noter

Litteratur

• Thomas H. Corman et al. Kapitel 29. Lineær programmering // Algoritmer: konstruktion og analyse = INTRODUKTION TIL ALGORITHMER. - 2. udg. - M.: "Williams", 2006. - S. 1296. - ISBN 5-8459-0857-4
• Akulich I.L. Kapitel 1. Lineære programmeringsproblemer, Kapitel 2. Særlige lineære programmeringsproblemer // Matematisk programmering i eksempler og opgaver. - M.: Højere skole, 1986. - 319 s. - ISBN 5-06-002663-9
• Karmanov V.G. Matematisk programmering. - 3. udgave. - M.: Nauka, 1986. - 288 s.
• Danzig George Bernard "Erindringer om begyndelsen af ​​lineær programmering"

Links

• - Gratis optimeringspakke designet til at løse lineære, heltal- og målprogrammeringsproblemer.
• Vershik A. M. "Om L. V. Kantorovich og lineær programmering"
• Bolshakova I. V., Kuralenko M. V. "Lineær programmering. Pædagogisk og metodisk manual til testen."
• Barsov A. S. "Hvad er lineær programmering", Populære forelæsninger om matematik, Gostekhizdat, 1959.
• M. N. Vyalyi Lineære uligheder og kombinatorik. - MCNMO, 2003.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Salten, Felix
• Glagow, Martina

Se, hvad "Lineær programmering" er i andre ordbøger:

lineær programmering- - lineær programmering Et område med matematisk programmering, der er viet til teorien og metoderne til at løse ekstreme problemer karakteriseret ved lineær afhængighed mellem… … Teknisk oversættervejledning

Lineær programmering

Lineær programmering- et felt af matematisk programmering, der er viet til teori og metoder til løsning af ekstreme problemer karakteriseret ved en lineær sammenhæng mellem variabler. I sin mest generelle form er problemet med L.p. kan skrives sådan. Er givet… … Økonomisk-matematisk ordbog

Lineær programmering opstod som en separat gren af ​​anvendt matematik i 40'erne og 50'erne. XX århundrede takket være arbejdet fra den sovjetiske videnskabsmand, nobelprisvinderen L.V. Kantorovich. I 1939 udgav han værket "Matematiske metoder til at organisere og planlægge produktion", hvori han brugte matematik til at løse økonomiske problemer vedr. bedste download maskiner, skæring af materialer til den laveste pris, fordeling af last på tværs af flere transportformer og andre, foreslår metoden til at løse multiplikatorer 8.

L.V. Kantorovich var den første til at formulere så udbredte økonomiske og matematiske begreber som optimal plan, optimal allokering af ressourcer, objektivt bestemte vurderinger, der angiver adskillige økonomiske områder, hvor de kan anvendes.

Begrebet lineær programmering blev introduceret af den amerikanske matematiker D. Dantzig, som i 1949 foreslog en algoritme til løsning af det lineære programmeringsproblem, kaldet den "simplekse metode".

Matematisk programmering, som inkluderer lineær programmering, er i øjeblikket et af områderne for operationsforskning. Afhængigt af typen af ​​problemer, der løses, skelner den mellem områder som lineær, ikke-lineær, diskret, dynamisk programmering osv. Begrebet "programmering" blev introduceret på grund af det faktum, at ukendte variable, der er i gang med at løse et problem, normalt bestemmer et program eller plan for en økonomisk enhed.

I klassisk matematisk analyse studeres den generelle formulering af problemet med at bestemme et betinget ekstremum. Men i forbindelse med udviklingen af ​​industriel produktion, transport, landbrug og banksektoren var de traditionelle resultater af matematisk analyse ikke nok. Praksisbehovet og udviklingen af ​​computerteknologi har ført til behovet for at bestemme optimale løsninger ved analyse af komplekse økonomiske systemer.

Det vigtigste værktøj til at løse sådanne problemer er matematisk modellering. I dette tilfælde bygges en simpel model først, derefter udføres dens forskning, hvilket gør det muligt at forstå, hvilke af objektets integrerende egenskaber, der ikke er fanget af det formelle skema, hvorefter dens større tilstrækkelighed ved at komplicere modellen til virkeligheden er sikret. I mange tilfælde er den første tilnærmelse til virkeligheden en model, hvor alle afhængigheder mellem de variabler, der karakteriserer objektets tilstand, er lineære. Praksis viser, at et tilstrækkeligt antal økonomiske processer er beskrevet ganske fuldt ud af lineære modeller. Følgelig lineær programmering som en enhed, der giver dig mulighed for at finde et betinget ekstremum på et givet sæt lineære ligninger og uligheder, spiller en vigtig rolle i analysen af ​​disse processer.

Lineær programmering har fået en udbredt udvikling, fordi det er fastslået, at en række planlægnings- og styringsproblemer kan formuleres i form af lineære programmeringsproblemer, til løsning af hvilke der findes effektive metoder. Ifølge eksperter er cirka 80-85 % af alle optimeringsproblemer, der løses i praksis, lineære programmeringsproblemer.

Det skabte matematiske apparat i kombination med computerprogrammer, der udfører arbejdskrævende beregninger, gør det muligt i vid udstrækning at anvende lineære programmeringsmodeller i økonomisk videnskab og praksis.

Definition 1 9 . Lineær programmering (LP) er et felt inden for matematisk programmering, som er en gren af ​​matematikken, der studerer metoder til at finde ekstreme (største og mindste) værdier af en lineær funktion af et begrænset antal variabler, hvis ubekendte er underlagt lineære begrænsninger.

Denne lineære funktion kaldes målfunktionen, og begrænsningerne, som repræsenterer kvantitative sammenhænge mellem variable, der udtrykker det økonomiske problems betingelser og krav og er skrevet matematisk i form af ligninger eller uligheder, kaldes et system af begrænsninger.

En bred vifte af spørgsmål om planlægning af økonomiske processer reduceres til lineære programmeringsproblemer, hvor opgaven med at finde den bedste (optimale) løsning stilles.

Et generelt lineært programmeringsproblem (GLP) er at finde den ekstreme værdi (maksimum eller minimum) af en lineær funktion, kaldet målet 10:

fra n variabler x 1 , x 2 , …, x n med pålagte funktionsbegrænsninger:

(3.2)

og direkte restriktioner (kravet om ikke-negativitet af variabler)

, (3.3)

Hvor -en ij , b jeg , c j– givet konstante værdier.

I begrænsningssystemet (3.2) kan tegnene "mindre end eller lig med", "lig med" og "større end eller lig med" optræde samtidigt.

ZLP i en mere kortfattet form har formen:

,

med restriktioner:

;

.

Vektor` x = (x 1 , x 2 , …, x n), hvis komponenter opfylder de funktionelle og direkte begrænsninger af problemet kaldes plan(eller acceptabel løsning) ZLP.

Alle mulige løsninger dannes domæne lineære programmeringsproblemer, eller region med mulige løsninger (ODR). En gennemførlig løsning, der leverer maksimum eller minimum af den objektive funktion f(`x), kaldes den optimale plan for problemet og betegnes f(`x * ), Hvor ` x * =(x 1 * , x 2 * , …, x n * ).

En anden form for registrering af PPP:

,

Hvor f(`x * ) er den maksimale (minimum) værdi f(MED, x), overtaget alle løsninger inkluderet i sættet mulige løsninger x .

Definition 2 11 . Det matematiske udtryk for den objektive funktion og dens begrænsninger kaldes en matematisk model af et økonomisk problem.

For at kompilere en matematisk model skal du bruge:

1) identificere variablerne;

2) skabe en objektiv funktion baseret på målet med problemet;

3) nedskriv et system af restriktioner under hensyntagen til indikatorerne i problemformuleringen og deres kvantitative mønstre.

Lineær programmering betragtes som en revolutionerende præstation, der gav mennesket evnen til at formulere generelle mål og finde optimale løsninger for en bred klasse gennem simplex-metoden praktiske problemer træffe beslutninger af stor kompleksitet.

Lineær programmering- en matematisk disciplin dedikeret til teori og metoder til løsning af problemer om ekstrema af lineære funktioner i mængder n-dimensionelt vektorrum defineret af systemer af lineære ligninger og uligheder.

Det kan man sige lineær programmering anvendelig til at løse matematiske modeller af de processer og systemer, der kan baseres på hypotesen om en lineær repræsentation af den virkelige verden.

Lineært programmeringsproblem(LP), består i at finde minimum (eller maksimum) af en lineær funktion under lineære begrænsninger.

Lineær programmering bruges til at løse følgende økonomiske problemer:

1. Problemet med produktionsstyring og planlægning.

2. Problemer med at bestemme den optimale placering af udstyr på søfartøjer, i værkstederne.

3. Problemet med at bestemme den optimale godstransportplan (transportproblem).

4. Problemet med optimal personalefordeling.

5. Problemer omkring blandinger, kost (planlægning af produktsammensætning) mv.

3. LINEÆR PROGRAMMERINGSMODEL, DENS REPRÆSENTATION I MS EXCEL ELEKTRONISKE TABELLER.

Traditionelt refererer ledelsesvidenskab til konstruktionen af ​​detaljerede modeller, som et resultat af analysen af ​​hvilke ledelsesbeslutninger der træffes. I dag er der millioner af ledere at analysere forretningsopgaver regneark bruges. Moderne regneark har mange kraftfulde værktøjer, der kan bruges til at analysere modeller mere præcist, hvilket resulterer i mere afbalancerede og tættere modeller. optimale løsninger. I betragtning af den stadig mere udbredte brug regneark I ledelsesprocessen skal fremtidige specialister have professionelle modeludviklingsfærdigheder - hvordan man "planlægger" et tomt regneark for at opnå en nyttig og praktisk model af en forretningssituation uden at dykke ned i de algoritmiske og matematiske forviklinger af beregninger.

De vigtigste trin til oprettelse af en lineær programmeringsmodel i Excel:

1. At skrive og teste en symbolsk lineær programmeringsmodel. Modellen er nedskrevet på papir i matematisk form.

2. Oprettelse og fejlretning tabelmodel lineær programmering. Baseret på den symbolske model af lægemiddelproduktet oprettes dets repræsentation i Excel .

3. Et forsøg på at optimere modellen ved hjælp af SOLUTION SEARCH-tilføjelsen.

4. BRUG AF TILFØJELSEN SØGER EFTER EN LØSNING.

Ved hjælp af regneark kan du simulere virkelige situationer og evaluere resultaterne. Med andre ord kan du ved hjælp af regneark analysere resultaterne af operationer og forudsige virksomhedens fremtidsudsigter. Disse opgaver i miljøet MS Excel gør det muligt at løse med Search for Solution tilføjelsesprogrammet.

At finde en løsning – Dette er en tilføjelse, der er designet til at optimere modeller i nærvær af begrænsninger. Den består af to software komponenter: programmer skrevet i Visuelt sprog Basic, som oversætter oplysningerne på arbejdsbrevet til intern repræsentation, som bruges af et andet program. Det andet program er placeret i computerens hukommelse som et separat software modul. Det udfører optimeringen og returnerer den fundne løsning til det første program, som genoptager dataene på regnearket. Du kan bruge det til at finde optimal værdi formel, der er gemt i målcellen. Denne procedure virker på en gruppe celler, der er direkte relateret til en formel i målcellen. For at få et formelresultat i en målcelle ændrer proceduren værdien i de celler, der påvirker søgningen. For at reducere flerheden af ​​værdier, der bruges i problemmodellen, anvendes en begrænsning. Disse begrænsninger kan indeholde en henvisning til andre celler, der påvirker søgningen.

Generel algoritme arbejder med tilføjelsen At finde en løsning.

1. På menuen Service vælge et hold At finde en løsning.
2. I marken Indstiller målcellen Indtast adressen på cellen, der indeholder formlen for at optimere modellen.
3. For at maksimere værdien af ​​en målcelle ved at ændre værdierne for påvirkende celler, skal du indstille kontakten til Maksimal værdi . For at minimere værdien af ​​målcellen ved at ændre værdierne for de påvirkende celler, skal du indstille kontakten til Minimumsværdi . For at målcellen kan erhverve en værdi specifikt nummer, sæt kontakten til position Betyder og indtast det relevante nummer.
4. I marken Ændring af celler Indtast adresserne på de celler, der ændrer deres værdier, og adskil dem med kommaer. De celler, der modificeres, skal være direkte eller indirekte relateret til målcellen. Installation op til 200 er tilladt udskiftelige celler.
5. I marken Begrænsninger indtaste alle de begrænsninger, der er pålagt søgningen efter en løsning.
6. Klik på knappen Udfør.
7. For at gemme den fundne løsning skal du vælge kontakten i dialogboksen Løsningssøgeresultater at positionere Gem den fundne løsning. Indstil kontakten til for at genoptage inputdata Gendan oprindelige værdier.
8. Tryk på tasten for at afbryde søgningen efter en løsning Esc. MS Excel vil genberegne arket under hensyntagen til de fundne celleværdier, der påvirker resultatet.

Robotalgoritme med nadbudova At finde en løsning.

5. LØSNING AF ET LINEÆRT PROGRAMMERINGSPROBLEM VED BRUG AF ET PROGRAM MS EXCEL.

Eksempel. Konfekturebutik til fremstilling af tre typer karamel A, B, C bruger tre hovedtyper af råvarer: sukker, melasse og frugtmos. Standard sukkerforbrug til fremstilling af 1 kg karamel af hver type, henholdsvis niveauer: 0,8 kg; 0,5 kg; 0,6 kg; melasse - 04 kg; 0,4 kg; 0,3 kg; frugtpuré - 0 kg; 0,1 kg; 0,1 kg. Slik kan produceres i enhver mængde (salg er garanteret), men udbuddet af råvarer er begrænset: sukkerreserver - 80 kg, melasse - 60 kg, frugtpuré - 12 kg. Fortjeneste ved salg af 1 kg karamel EN er 10 UAH, type I – 11 UAH, type MED – 12 UAH.

tabel 1

Bestem en plan for produktion af karamel, der giver maksimal profit fra konfekturebutikkens aktiviteter.

15. Analysemetoder. Lineære programmeringsmetoder.

15.1. Analytiske metoder

Gennem hele sin evolution søgte mennesket, når det udførte visse handlinger, at opføre sig på en sådan måde, at resultatet opnået som følge af en handling viste sig i en vis forstand at være det bedste. Han flyttede fra et punkt til et andet og søgte at finde den kortest mulige vej. Da han byggede en bolig, ledte han efter en geometri, der ville give acceptable levevilkår med det mindste brændstofforbrug. Mens han byggede skibe, forsøgte han at give dem en form, hvor vandet ville yde mindst mulig modstand. Listen over lignende eksempler kan nemt fortsættes.

De bedste løsninger på problemer i en vis forstand kaldes normalt optimal. I øjeblikket kan intet problem løses uden brug af optimeringsprincipper. komplekst problem. Ved opstilling og løsning af optimeringsproblemer opstår to spørgsmål: hvad og hvordan optimerer man?

Svaret på det første spørgsmål er opnået som et resultat af en dybdegående undersøgelse af det problem, der skal løses. Parameteren, der bestemmer graden af ​​perfektion af løsningen på det opståede problem, identificeres. Denne parameter kaldes normalt målfunktion eller kvalitetskriteriet. Dernæst etableres et sæt af mængder, der bestemmer den objektive funktion. Til sidst formuleres alle de begrænsninger, der skal tages i betragtning ved løsning af problemet. Herefter opbygges en matematisk model, som består i at fastslå objektivfunktionens analytiske afhængighed af alle argumenter og den analytiske formulering af de begrænsninger, der er forbundet med problemet. Dernæst begynder vi at søge efter et svar på det andet spørgsmål.

Så lad, som et resultat af formaliseringen af ​​det anvendte problem, fastslå, at den objektive funktion er, hvor mængden X er en generalisering af restriktioner, kaldes det sættet af gennemførlige løsninger. Essensen af ​​optimeringsproblemet er at søge efter en sådan løsning på sættet X - sættet af mulige løsninger
, hvor målet fungerer f når sin minimums- eller maksimumværdi.

En integreret del af optimeringsmetoder er lineær programmering.

15.2. Grundlæggende begreber for lineær programmering

Den første omtale (1938) af matematiske metoder i effektiv produktionsstyring tilhører den sovjetiske matematiker L. V. Kantorovich. Et år senere, i 1939, udgav L. V. Kantorovich værket "Matematiske metoder til organisering og planlægning af produktion" og anvendte praktisk de opnåede resultater. Udtrykket "lineær programmering" blev introduceret af amerikanske matematikere J. Danzig og T. Koopmans i slutningen af ​​40'erne. J. Dantzig udviklede simplex-metodens matematiske apparat til løsning af lineære programmeringsproblemer (1951). Enkel metode bruges til at løse en lang række lineære programmeringsproblemer og er stadig en af ​​hovedmetoderne.

Lineær programmering er en gren af ​​matematikken fokuseret på at finde et ekstremum (maksimum eller minimum) i problemer, der er beskrevet af lineære ligninger. Desuden beskriver lineære ligninger både selve objektivfunktionen og inputparametrene (variablerne) af betingelserne for restriktioner på input parametre. En nødvendig betingelse for lineære programmeringsproblemer er den obligatoriske tilstedeværelse af restriktioner på ressourcer (råmaterialer, materialer, finansiering, efterspørgsel efter fremstillede produkter osv.). Til andre en vigtig betingelse løsning af problemet er valget af stopkriterium for algoritmen, dvs. objektivfunktionen skal være optimal i en eller anden forstand. Optimaliteten af ​​den objektive funktion skal udtrykkes kvantitativt. Hvis målfunktionen er repræsenteret af en eller to ligninger, kan sådanne problemer i praksis løses ganske let. Algoritmestopkriteriet (eller optimalitetskriteriet) skal opfylde følgende krav:

være den eneste til en given opgave;

målt i mængdeenheder;

lineært afhænger af inputparametrene.

Baseret på ovenstående kan vi formulere det lineære programmeringsproblem i generel form:

find yderpunktet af den objektive funktion

under restriktioner i form af ligestilling:

(2.2)

under restriktioner i form af uligheder:

(2.3)

og betingelser for ikke-negativitet af inputparametre:

I kort form kan det lineære programmeringsproblem skrives som følger:

(2.5)

givet det

Hvor
- inputvariabler;

Tal er positive, negative og lig med nul.

I matrixform kan dette problem skrives som følger:

Lineære programmeringsproblemer kan løses analytisk og grafisk.

15.3. Kanonisk lineær programmeringsproblem

, i=1,…,m,

, j=1,…,n.

De vigtigste beregningsmetoder til løsning af lineære programmeringsproblemer blev udviklet specifikt til det kanoniske problem.

15.4. Generelt lineært programmeringsproblem

Det er nødvendigt at maksimere (minimere) en lineær funktion af n variabler.

under restriktioner

, jeg=1,…, k,

, jeg=1+ k,…, m,

, …,

Her k≤ m, r≤ n. Standardproblemet fås som et specialtilfælde af det generelle med k= m, r= n; kanonisk – kl k=0, r= n.

Eksempel.

Konfekturefabrikken producerer flere slags slik. Lad os kalde dem "A", "B" og "C". Det er kendt, at salget af ti kilo slik "A" giver et overskud på 90 rubler, "B" - 100 rubler og "C" - 160 rubler. Slik kan produceres i enhver mængde (salget er garanteret), men forsyningerne af råvarer er begrænsede. Det er nødvendigt at bestemme, hvilken slags slik og hvor mange titalls kilo, der skal produceres, så den samlede fortjeneste fra salget maksimeres. Forbrugsraterne for råvarer til fremstilling af 10 kg slik af hver type er angivet i tabel 1.

Tabel 1. Råvareforbrugsrater

til produktion

Den økonomiske og matematiske formulering af problemet har formen

Find sådanne variabelværdier X=(x1, x2, x3), til

objektiv funktion

under betingelser-begrænsninger: