Brug metoden med ubestemte Lagrange-multiplikatorer, find det betingede ekstremum. Lagrange multiplikatormetode for funktioner af to variable

Lagrange multiplikatormetode er en klassisk metode til at løse problemer matematisk programmering(især konveks). Desværre hvornår praktisk ansøgning Metoden kan støde på betydelige beregningsmæssige vanskeligheder, hvilket indsnævrer anvendelsesområdet for dens anvendelse. Vi betragter Lagrange-metoden her primært, fordi det er et apparat, der aktivt bruges til at underbygge forskellige moderne numeriske metoder, meget brugt i praksis. Hvad angår Lagrange-funktionen og Lagrange-multiplikatorerne, spiller de en uafhængig og eksklusivt vigtig rolle i teori og anvendelser ikke kun af matematisk programmering.

Lad os overveje klassisk problem optimering

max (min) z=f(x) (7,20)

Dette problem skiller sig ud fra problem (7.18), (7.19) ved, at blandt restriktionerne (7.21) er der ingen uligheder, der er ingen betingelser for at variablerne er ikke-negative, deres diskrethed og funktionerne f(x) er kontinuert og har partielle afledte mhp i det mindste anden orden.

Den klassiske tilgang til problemløsning (7.20), (7.21) giver et system af ligninger ( de nødvendige betingelser), som skal være opfyldt af punktet x*, som giver funktionen f(x) et lokalt ekstremum på sættet af punkter, der opfylder begrænsninger (7.21) (for det konvekse programmeringsproblem, det fundne punkt x*, iht. Sætning 7.6, vil samtidig være punktet for det globale ekstremum).

Lad os antage, at x*-funktionen (7.20) i punktet har en lokal betinget ekstremum og matrixens rang er. Så vil de nødvendige betingelser blive skrevet i formen:

(7.22)

der er en Lagrange-funktion; - Lagrange multiplikatorer.

Der er også tilstrækkelige forhold, hvorunder løsningen af ​​ligningssystemet (7.22) bestemmer ekstremumpunktet for funktionen f(x). Dette spørgsmål er løst baseret på undersøgelsen af ​​tegnet for den anden differential af Lagrange-funktionen. Tilstrækkelige betingelser er dog hovedsageligt af teoretisk interesse.

Du kan specificere følgende procedure til løsning af problem (7.20), (7.21) ved hjælp af Lagrange multiplikatormetoden:

1) komponer Lagrange-funktionen (7.23);

2) find de partielle afledte af Lagrange-funktionen med hensyn til alle variable og sæt dem lig med nul. Dette vil resultere i system (7.22), der består af ligninger. Løs det resulterende system (hvis dette viser sig at være muligt!) og find således alle de stationære punkter i Lagrange-funktionen;

3) fra stationære punkter taget uden koordinater, vælg punkter, hvor funktionen f(x) har betingede lokale ekstrema i nærvær af restriktioner (7.21). Dette valg træffes for eksempel ved at bruge tilstrækkelige betingelser for et lokalt ekstremum. Ofte forenkles undersøgelsen, hvis der anvendes specifikke forhold ved problemet.

Eksempel 7.3. Find optimal fordeling begrænset ressource i en enhed. mellem n forbrugere, hvis fortjenesten modtaget ved at allokere x j ressourceenheder til den j. forbruger beregnes ved formlen .

Løsning. Den matematiske model af problemet har følgende form:

Vi sammensætter Lagrange-funktionen:

.

Vi finder partielle afledte af Lagrange-funktionen og lig dem med nul:

Ved at løse dette ligningssystem får vi:

Således, hvis den j. forbruger tildeles enheder. ressource, så vil den samlede fortjeneste nå sin maksimale værdi og beløbe sig til den. enheder

Vi undersøgte Lagrange-metoden som anvendt på et klassisk optimeringsproblem. Denne metode kan generaliseres til det tilfælde, hvor variablerne er ikke-negative, og nogle begrænsninger er givet i form af uligheder. Denne generalisering er dog primært teoretisk og fører ikke til specifikke beregningsalgoritmer.

Afslutningsvis, lad os give Lagrange-multiplikatorerne økonomisk fortolkning. For at gøre dette, lad os vende os til det enkleste klassiske optimeringsproblem

max (min) z=f(x 1 , x 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7,25)

Lad os antage, at det betingede ekstremum nås på punktet. Funktionens tilsvarende ekstreme værdi f(x)

Lad os antage, at i restriktioner (7.25) mængden b kan ændre sig, så koordinaterne for ekstremumpunktet og derfor ekstremværdien f* funktioner f(x) bliver mængder afhængig af b, dvs. ,, og derfor afledet af funktion (7.24)

Multiplikator metodeLagrange(i engelsk litteratur "LaGranges metode til ubestemte multiplikatorer") ˗ er en numerisk metode til løsning af optimeringsproblemer, der giver dig mulighed for at bestemme det "betingede" ekstremum af den objektive funktion (minimum eller maksimum værdi)

i nærværelse af specificerede restriktioner på dets variabler i form af ligheder (dvs. området acceptable værdier)

˗ disse er værdierne af funktionsargumentet (kontrollerbare parametre) på det reelle domæne, hvor funktionsværdien har en tendens til et ekstremum. Brugen af ​​navnet "betinget" ekstremum skyldes, at variablerne er underlagt yderligere betingelse, som begrænser rækkevidden af ​​acceptable værdier, når du søger efter yderpunktet af en funktion.

Lagrange multiplikatormetoden gør det muligt at omdanne problemet med at finde et betinget ekstremum af en objektiv funktion på et sæt tilladte værdier til problemet ubetinget optimering funktioner.

I tilfælde af funktionerne Og er kontinuerte sammen med deres partielle afledte, så er der sådanne variable λ, der ikke samtidigt er lig med nul, under hvilke følgende betingelse er opfyldt:

I overensstemmelse med Lagrange-multiplikatormetoden komponerer jeg således Lagrange-funktionen L(x, λ), for at finde yderpunktet af den objektive funktion på sættet af tilladte værdier, som er yderligere optimeret:

hvor λ ˗ er en vektor af yderligere variable kaldet ubestemte Lagrange-multiplikatorer.

Således er problemet med at finde det betingede ekstremum af funktionen f(x) blevet reduceret til problemet med at finde det ubetingede ekstremum af funktionen L(x, λ).

Og

Den nødvendige betingelse for ekstremumet af Lagrange-funktionen er givet af et system af ligninger (systemet består af "n + m" ligninger):

Løsning af dette ligningssystem giver os mulighed for at bestemme argumenterne for funktionen (X), hvor værdien af ​​funktionen L(x, λ), såvel som værdien af ​​målfunktionen f(x) svarer til ekstremummet.

Størrelsen af ​​Lagrange-multiplikatorerne (λ) er af praktisk interesse, hvis begrænsningerne præsenteres i form med et frit led i ligningen (konstant). I dette tilfælde kan vi overveje yderligere (øge/sænke) værdien af ​​den objektive funktion ved at ændre værdien af ​​konstanten i ligningssystemet. Lagrange-multiplikatoren karakteriserer således ændringshastigheden i maksimum af den objektive funktion, når den begrænsende konstant ændres.

Der er flere måder at bestemme arten af ​​ekstremum af den resulterende funktion:

Første metode: Lad være koordinaterne for ekstremumpunktet, og være den tilsvarende værdi af den objektive funktion. Et punkt tæt på punktet tages og værdien af ​​objektivfunktionen beregnes:

Hvis , så er der et maksimum på punktet.

Hvis , så er der et minimum på punktet.

Anden metode: En tilstrækkelig betingelse, ud fra hvilken arten af ​​ekstremum kan bestemmes, er tegnet på den anden differential af Lagrange-funktionen. Den anden differential af Lagrange-funktionen er defineret som følger:

Hvis i givet point minimum, hvis , så har objektivfunktionen f(x) en betinget maksimum.

Tredje metode: Også arten af ​​funktionens ekstremum kan bestemmes ved at overveje Lagrange-funktionens hessian. Den hessiske matrix er en symmetrisk kvadratisk matrix anden partielle afledninger af en funktion ved det punkt, hvor matrixelementerne er symmetriske omkring hoveddiagonalen.

For at bestemme typen af ​​ekstremum (maksimum eller minimum af en funktion), kan du bruge Sylvesters regel:

1. For at den anden differential af Lagrange-funktionen skal have positivt fortegn det er nødvendigt, at funktionens vinklede minorer er positive. Under sådanne forhold har funktionen på dette tidspunkt et minimum.

2. For at den anden differentiale af Lagrange-funktionen skal være negativ i fortegn , er det nødvendigt, at funktionens kantede molorer veksler, og det første element i matricen skal være negativsv. Under sådanne forhold har funktionen på dette tidspunkt et maksimum.

Med vinkelmol mener vi den mol, der er placeret i de første k rækker og k kolonner i den oprindelige matrix.

Den vigtigste praktiske betydning af Lagrange-metoden er, at den giver dig mulighed for at gå fra betinget optimering til ubetinget optimering og dermed udvide arsenalet tilgængelige metoder løse problemet. Men problemet med at løse et system af ligninger, som det reducerer denne metode, generelt er det ikke nemmere oprindelige problem søger efter et ekstremum. Sådanne metoder kaldes indirekte. Deres brug forklares med behovet for at opnå en løsning på et ekstremt problem i analytisk form (for eksempel til visse teoretiske beregninger). Ved løsning af specifikke praktiske problemer Direkte metoder bruges normalt, baseret på iterative processer til at beregne og sammenligne værdierne af de funktioner, der optimeres.

Beregningsmetode

1 trin: Vi bestemmer Lagrange-funktionen ud fra den givne objektive funktion og system af restriktioner:

Frem

For at tilføje din kommentar til artiklen skal du registrere dig på webstedet.

Lad os overveje et begrænset optimeringsproblem, der kun indeholder begrænsninger i form af ligheder

min

underlagt restriktioner

,
.

Dette problem kan i princippet løses som et ubegrænset optimeringsproblem opnået ved at eliminere m uafhængige variable fra objektivfunktionen ved hjælp af givne ligheder. Tilstedeværelsen af ​​begrænsninger i form af ligheder gør det faktisk muligt at reducere dimensionen af ​​det oprindelige problem. Det nye problem kan løses ved hjælp af en passende ubegrænset optimeringsmetode.

Eksempel. Det er nødvendigt for at minimere funktionen

når begrænset

Ved at eliminere variablen ved hjælp af ligningen får vi et optimeringsproblem med to variable uden begrænsninger:

minimere

som kan løses ved hjælp af en af ​​de ubetingede optimeringsmetoder.

Metoden til eliminering af variabler er dog kun anvendelig i tilfælde, hvor ligningerne, der repræsenterer begrænsningerne, kan løses med hensyn til et bestemt sæt variable. Hvis der er et stort antal begrænsninger i form af ligheder, bliver processen med at eliminere variabler en meget arbejdskrævende procedure. Derudover kan der være situationer, hvor ligningen ikke kan løses med hensyn til en variabel. I dette tilfælde er det tilrådeligt at bruge Lagrange-multiplikatormetoden.

Ved at bruge Lagrange-multiplikatormetoden etableres de nødvendige betingelser for at tillade identifikation af optimale punkter i optimeringsproblemer med lighedsbegrænsninger.

Lad os overveje problemet

min

underlagt restriktioner

,
.

Fra forløbet af matematisk analyse er det velkendt, at funktionens betingede minimumspunkt falder sammen med sadelpunktet for Lagrange-funktionen:

,

i dette tilfælde skal sadelpunktet give et minimum med hensyn til variabler og maksimale parametre . Disse parametre kaldes Lagrange multiplikatorer. Ligestilling af partielle afledte funktioner Ved og af til nul opnår vi de nødvendige betingelser for et stationært punkt:

,
,

,
.

Systemløsning
ligninger bestemmer det stationære punkt for Lagrange-funktionen. Tilstrækkelige betingelser for eksistensen af ​​et minimum af det oprindelige problem indeholder, ud over de ovenfor nævnte, den positive bestemthed af den objektive funktions hessiske matrix.

4.2. Coon-tucker forhold

Lad os overveje problemet ikke lineær programmering med restriktioner i form af uligheder

min

under restriktioner

,
.

Lad os reducere begrænsninger i form af uligheder til lighedsbegrænsninger ved at tilføje svækkende variabler til hver af dem ,
:

.

Lad os danne Lagrange-funktionen:

Så tager de nødvendige betingelser for et minimum formen

,
;

,
;

,
.

Du kan gange den sidste ligning med og erstatte de dæmpende variable ved at udtrykke dem fra den anden ligning. Den anden ligning kan transformeres ved at kassere de dæmpende variable og flytte til ulighedsbegrænsninger. Endnu en betingelse bør tilføjes
, som skal være opfyldt på det betingede minimumspunkt.

Endelig opnår vi de nødvendige betingelser for eksistensen af ​​et minimum af et ikke-lineært programmeringsproblem med ulighedsbegrænsninger, som kaldes Kuhn-Tucker-betingelserne:

,
; (1)

,
; (2)

,
; (3)

,
. (4)

Ulighedsbegrænsning
kaldet aktiv på et tidspunkt , hvis det bliver til ligestilling
, og kaldes inaktiv hvis
. Hvis det er muligt, før man direkte løser problemet, begrænsninger, der er inaktive på det optimale tidspunkt, kan disse begrænsninger udelukkes fra modellen og derved reducere dens størrelse.

Ligning (3) betyder, at enten
, eller
. Hvis
, At
og begrænsningen er aktiv og repræsenterer en lighedsbegrænsning. På den anden side, hvis begrænsningen er en streng ulighed
, så vil Lagrange-multiplikatoren have formen
de der. begrænsning
er inaktiv og kan ignoreres. Det vides naturligvis ikke på forhånd, hvilke restriktioner der kan negligeres.

Beskrivelse af metoden

Hvor .

Begrundelse

Den følgende begrundelse for Lagrange-multiplikatormetoden er ikke et strengt bevis på det. Den indeholder heuristisk ræsonnement for at hjælpe med at forstå geometrisk betydning metode.

Todimensionel sag

Niveaulinjer og kurve.

Lad det være påkrævet at finde ekstremumet af en eller anden funktion af to variable under den betingelse, der er angivet af ligningen . Vi vil antage, at alle funktioner er kontinuerligt differentierbare, og denne ligning definerer en glat kurve S på overfladen. Derefter reduceres problemet til at finde funktionens yderpunkt f på kurven S. Det vil vi også antage S går ikke gennem punkter, hvor gradienten f bliver til 0.

Lad os tegne funktionsniveaulinjer på planet f(det vil sige kurver). Ud fra geometriske betragtninger er det klart, at funktionens yderpunkt f på kurven S der kan kun være punkter, hvor der tangerer til S og den tilsvarende niveaulinje falder sammen. Faktisk, hvis kurven S krydser niveaulinjen f i et punkt på tværs (det vil sige i en vinkel, der ikke er nul), og bevæger sig derefter langs kurven S fra et punkt kan vi komme til niveaulinjerne svarende til en større værdi f, og mindre. Derfor kan et sådant punkt ikke være et ekstremum.

En nødvendig betingelse for et ekstremum i vores tilfælde vil således være sammenfaldet af tangenterne. For at skrive det i analytisk form skal du bemærke, at det svarer til paralleliteten af ​​funktionernes gradienter f og ψ i et givet punkt, da gradientvektoren er vinkelret på tangenten til niveaulinjen. Denne betingelse er udtrykt i følgende form:

hvor λ er et ikke-nul tal, der er en Lagrange multiplikator.

Lad os nu overveje Lagrange funktion, afhængig af og λ:

En nødvendig betingelse for dets ekstremum er, at gradienten er lig nul. I overensstemmelse med reglerne om differentiering skrives det i skemaet

Vi har fået et system, hvis første to ligninger svarer til den nødvendige betingelse for et lokalt ekstremum (1), og den tredje er ækvivalent med ligningen . Du kan finde det fra den. Desuden, da ellers gradienten af ​​funktionen f forsvinder på punktet , hvilket modsiger vores antagelser. Det skal bemærkes, at de punkter, der findes på denne måde, muligvis ikke er de ønskede punkter i det betingede ekstremum - den betragtede betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. At finde et betinget ekstremum ved hjælp af en hjælpefunktion L og danner grundlaget for Lagrange-multiplikatormetoden, anvendt her for det enkleste tilfælde af to variable. Det viser sig, at ovenstående ræsonnement generaliserer til sagen ethvert nummer variabler og ligninger, der specificerer betingelser.

Baseret på Lagrange-multiplikatormetoden er det muligt at bevise nogle tilstrækkelige betingelser for et betinget ekstremum, som kræver analyse af de anden afledede af Lagrange-funktionen.

Ansøgning

• Lagrange-multiplikatormetoden bruges til at løse ikke-lineære programmeringsproblemer, der opstår på mange områder (for eksempel inden for økonomi).
• Den vigtigste metode til at løse problemet med at optimere kvaliteten af ​​kodning af lyd- og videodata ved en given gennemsnitlig bitrate (forvrængningsoptimering - engelsk. Rate-Distortion optimering).

se også

Links

• Zorich V.A. Matematisk analyse. Del 1. - udg. 2. rev. og yderligere - M.: FAZIS, 1997.

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad "Lagrange Multipliers" er i andre ordbøger:

Lagrange multiplikatorer- yderligere faktorer, der ændrer sig målfunktion ekstremt problem med konveks programmering (især lineær programmering), når det løses af en af klassiske metoder metode til at løse multiplikatorer ... ... Økonomisk og matematisk ordbog

Lagrange multiplikatorer- Yderligere faktorer, der transformerer den objektive funktion af et ekstremt konveks programmeringsproblem (især lineær programmering), når det løses ved hjælp af en af ​​de klassiske metoder, metoden til at løse multiplikatorer (Lagrange-metoden).... ... Teknisk oversættervejledning

Mekanik. 1) Lagrangeligninger af 1. slags, differentialligninger for mekanisk bevægelse. systemer, som er givet i projektioner på rektangulære koordinatakser og indeholder de såkaldte. Lagrange multiplikatorer. Opnået af J. Lagrange i 1788. For et holonomisk system, ... ... Fysisk encyklopædi

Almindelig mekanik differentialligninger 2. orden, der beskriver bevægelserne af mekaniske. systemer under påvirkning af kræfter, der påføres dem. L.u. etableret af J. Lag-række i to former: L. u. 1. slags, eller ligninger i kartesiske koordinater med... ... Matematisk encyklopædi

1) i hydromekanik, ligningen for væske (gas) bevægelse i Lagrange-variabler, som er mediets koordinater. Modtog fransk videnskabsmand J. Lagrange (ca. 1780). Fra L. u. mediets bevægelseslov bestemmes i form af afhængigheder... ... Fysisk encyklopædi

Lagrange multiplikatormetode, en metode til at finde det betingede ekstremum af funktionen f(x), hvor i forhold til m begrænsninger varierer fra en til m. Indhold 1 Beskrivelse af metoden ... Wikipedia

En funktion, der bruges til at løse problemer på det betingede ekstremum af funktioner af mange variabler og funktionaler. Med hjælp fra L. f. de nødvendige betingelser for optimalitet i problemer på et betinget ekstremum nedskrives. I dette tilfælde er det ikke nødvendigt kun at udtrykke variabler... Matematisk encyklopædi

Metode til at løse problemer på Conditional extremum; L.M.M. består i at reducere disse problemer til problemer på det ubetingede yderpunkt af en hjælpefunktion, den såkaldte. Lagrange funktioner. For problemet med ekstremum af funktionen f (x1, x2,..., xn) for... ...

Variabler, ved hjælp af hvilke Lagrange-funktionen er konstrueret, når man studerer problemer på et betinget ekstremum. Brugen af ​​lineære metoder og Lagrange-funktionen giver os mulighed for at opnå de nødvendige optimalitetsbetingelser i problemer, der involverer et betinget ekstremum på en ensartet måde... Matematisk encyklopædi

1) i hydromekanik, bevægelsesligningerne for et flydende medium, skrevet i Lagrange-variabler, som er koordinaterne for mediets partikler. Fra L. u. loven om bevægelse af mediets partikler bestemmes i form af afhængighed af koordinater på tid, og ud fra dem... ... Store sovjetiske encyklopædi

Kort teori

Lagrange multiplikatormetoden er en klassisk metode til løsning af matematiske programmeringsproblemer (især konvekse). Desværre kan den praktiske anvendelse af metoden støde på betydelige beregningsmæssige vanskeligheder, som indsnævrer anvendelsesområdet for dens anvendelse. Vi betragter Lagrange-metoden her hovedsageligt, fordi det er et apparat, der aktivt bruges til at underbygge forskellige moderne numeriske metoder, som er meget brugt i praksis. Hvad angår Lagrange-funktionen og Lagrange-multiplikatorer, spiller de en uafhængig og ekstremt vigtig rolle i teorien og anvendelserne af ikke kun matematisk programmering.

Overvej et klassisk optimeringsproblem:

Blandt begrænsningerne af dette problem er der ingen uligheder, der er ingen betingelser for variablernes ikke-negativitet, deres diskretitet, og funktionerne er kontinuerlige og har partielle afledte af mindst anden orden.

Den klassiske tilgang til løsning af problemet giver et system af ligninger (nødvendige betingelser), der skal opfyldes af det punkt, der giver funktionen et lokalt ekstremum på det sæt af punkter, der opfylder begrænsningerne (for et konveks programmeringsproblem, det fundne punkt vil også være det globale ekstremum punkt).

Lad os antage, at funktion (1) på et punkt har et lokalt betinget ekstremum, og at matrixens rang er lig med . Så vil de nødvendige betingelser blive skrevet i formen:

der er en Lagrange-funktion; – Lagrange multiplikatorer.

Der er også tilstrækkelige betingelser, hvorunder løsningen af ​​ligningssystemet (3) bestemmer funktionens ekstremumpunkt. Dette spørgsmål er løst baseret på undersøgelsen af ​​tegnet for den anden differential af Lagrange-funktionen. Tilstrækkelige betingelser er dog hovedsageligt af teoretisk interesse.

Du kan angive følgende procedure til løsning af problem (1), (2) ved hjælp af Lagrange-multiplikatormetoden:

1) komponer Lagrange-funktionen (4);

2) find de partielle afledte af Lagrange-funktionen med hensyn til alle variable og lig dem

nul. Således opnås et system (3), bestående af ligninger Løs det resulterende system (hvis dette viser sig at være muligt!) og find således alle de stationære punkter i Lagrange-funktionen.

3) fra stationære punkter taget uden koordinater, vælg punkter, hvor funktionen har betingede lokale ekstrema i nærvær af restriktioner (2). Dette valg træffes for eksempel ved at bruge tilstrækkelige betingelser for et lokalt ekstremum. Ofte forenkles undersøgelsen, hvis der anvendes specifikke forhold ved problemet.

Eksempel på problemløsning

Opgaven

Virksomheden producerer to typer varer i mængder og . Den nyttige omkostningsfunktion bestemmes af relationen. Priserne på disse varer på markedet er lige store og i overensstemmelse hermed.

Bestem, med hvilke mængder output der opnås maksimal profit og hvad er det lig, hvis de samlede omkostninger ikke overstiger

Har du problemer med at forstå forløbet af en beslutning? Hjemmesiden tilbyder en service Løsning af problemer ved hjælp af metoder til optimale løsninger til bestilling

Løsningen af ​​problemet

Økonomisk og matematisk model af problemet

Profit funktion:

Omkostningsbegrænsninger:

Vi får følgende økonomiske og matematiske model:

Derudover efter opgavens betydning

Lagrange multiplikator metode

Lad os sammensætte Lagrange-funktionen:

Vi finder 1. ordens partielle afledte:

Lad os skabe og løse et ligningssystem:

Siden da

Maksimal fortjeneste:

Svar

Det er således nødvendigt at frigive mad. varer af 1. type og enheder. varer af 2. type. I dette tilfælde vil overskuddet være maksimalt og beløbe sig til 270.
Et eksempel på løsning af et kvadratisk konveks programmeringsproblem ved hjælp af en grafisk metode er givet.

Løsning af et lineært problem ved grafisk metode
Taget i betragtning grafisk metode løsning af et lineært programmeringsproblem (LPP) med to variable. Der gives et eksempel på opgaven Detaljeret beskrivelse konstruere en tegning og finde en løsning.

Wilsons lagerstyringsmodel
Ved at bruge eksemplet med løsning af problemet overvejes den grundlæggende model for lagerstyring (Wilson-modellen). Følgende modelindikatorer blev beregnet: optimal størrelse bestillingsmængder, årlige opbevaringsomkostninger, leveringsintervaller og bestillingspunkt.

Direct Cost Ratio Matrix og Input-Output Matrix
Ved at bruge eksemplet med at løse et problem, overvejes Leontievs tværsektorielle model. Beregningen af ​​matrixen af ​​koefficienter for direkte materialeomkostninger, matrixen "input-output", matrixen af ​​koefficienter for indirekte omkostninger, vektorer for endeligt forbrug og bruttooutput er vist.